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Cálculo volumen 2

3.3 Sustitución trigonométrica

Cálculo volumen 23.3 Sustitución trigonométrica

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 3.3.1 Resolver problemas de integración que impliquen la raíz cuadrada de una suma o diferencia de dos cuadrados.

En esta sección, exploramos las integrales que contienen expresiones de la forma a2 x2 ,a2 x2 , a2 +x2 ,a2 +x2 , y x2 a2 ,x2 a2 , donde los valores de aa son positivos. Ya hemos encontrado y evaluado integrales que contienen algunas expresiones de este tipo, pero muchas siguen siendo inaccesibles. La técnica de la sustitución trigonométrica es muy útil para evaluar estas integrales. Esta técnica utiliza la sustitución para reescribir estas integrales como integrales trigonométricas.

Integrales que implican a2 x2 a2 x2

Antes de desarrollar una estrategia general para las integrales que contienen a2 x2 ,a2 x2 , considere la integral 9x2 dx.9x2 dx. Esta integral no puede evaluarse con ninguna de las técnicas sobre las que hemos hablado hasta ahora. Sin embargo, si hacemos la sustitución x=3senθ,x=3senθ, tenemos dx=3cosθdθ.dx=3cosθdθ. Después de sustituir en la integral, tenemos

9x2 dx=9(3senθ)2 3cosθdθ.9x2 dx=9(3senθ)2 3cosθdθ.

Tras simplificar, tenemos

9x2 dx=91sen2 θcosθdθ.9x2 dx=91sen2 θcosθdθ.

Supongamos que 1sen2 θ=cos2 θ,1sen2 θ=cos2 θ, ahora tenemos

9x2 dx=9cos2 θcosθdθ.9x2 dx=9cos2 θcosθdθ.

Suponiendo que cosθ0,cosθ0, tenemos

9x2 dx=9cos2 θdθ.9x2 dx=9cos2 θdθ.

En este punto, podemos evaluar la integral utilizando las técnicas desarrolladas para integrar potencias y productos de funciones trigonométricas. Antes de completar este ejemplo, echemos un vistazo a la teoría general que hay detrás de esta idea.

Para evaluar las integrales que implican a2 x2 ,a2 x2 , hacemos la sustitución x=asenθx=asenθ y dx=acosθ.dx=acosθ. Para ver que esto realmente tiene sentido, considere el siguiente argumento: El dominio de a2 x2 a2 x2 es [a,a].[a,a]. Por lo tanto, axa.axa. En consecuencia, −1xa1.−1xa1. Dado que el rango de senxsenx en [(π/2 ),π/2 ][(π/2 ),π/2 ] es [−1,1],[−1,1], hay un ángulo único θθ que satisface (π/2 )θπ/2 (π/2 )θπ/2 por lo que senθ=x/a,senθ=x/a, o, de forma equivalente, de modo que x=asenθ.x=asenθ. Si sustituimos x=asenθx=asenθ en a2 x2 ,a2 x2 , obtenemos

a2 x2 =a2 (asenθ)2 Supongamos quex=asenθdondeπ2 θπ2 .Simplifique.=a2 a2 sen2 θSaque el factor comúna2 .=a2 (1sen2 θ)Sustituya1sen2 x=cos2 x.=a2 cos2 θTome la raíz cuadrada.=|acosθ|=acosθ.a2 x2 =a2 (asenθ)2 Supongamos quex=asenθdondeπ2 θπ2 .Simplifique.=a2 a2 sen2 θSaque el factor comúna2 .=a2 (1sen2 θ)Sustituya1sen2 x=cos2 x.=a2 cos2 θTome la raíz cuadrada.=|acosθ|=acosθ.

Dado que cosθ0cosθ0 en π2 θπ2 π2 θπ2 y a>0,a>0, |acosθ|=acosθ.|acosθ|=acosθ. Podemos ver, a partir de esta discusión, que al hacer la sustitución x=asenθ,x=asenθ, podemos convertir una integral que implique un radical en una integral que incluya funciones trigonométricas. Después de evaluar la integral, podemos volver a convertir la solución en una expresión que implique x.x. Para ver cómo hacer esto, vamos a empezar por suponer que 0<x<a.0<x<a. En este caso, 0<θ<π2 .0<θ<π2 . Dado que senθ=xa,senθ=xa, podemos dibujar el triángulo de referencia en la Figura 3.4 como ayuda para expresar los valores de cosθ,cosθ, tanθ,tanθ, y las funciones trigonométricas restantes en términos de x.x. Se puede demostrar que este triángulo produce realmente los valores correctos de las funciones trigonométricas evaluadas en θθ para todo θθ que satisface π2 θπ2 .π2 θπ2 . Es útil observar que la expresión a2 x2 a2 x2 aparece en realidad como la longitud de un lado del triángulo. Por último, si θθ aparece solo, utilizamos θ=sen−1(xa).θ=sen−1(xa).

Esta figura es un triángulo rectángulo. Tiene un ángulo marcado como theta. Este ángulo está opuesto al lado vertical. La hipotenusa está marcada como "a", el cateto vertical está marcado como "x" y el cateto horizontal está marcado como raíz cuadrada de (a^2 - x^2). A la izquierda del triángulo aparece la ecuación sen(theta) = x/a.
Figura 3.4 Un triángulo de referencia puede ayudar a expresar las funciones trigonométricas evaluadas en θ θ en términos de x . x .

Lo esencial de este debate se resume en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Integración de expresiones que implican a2 x2 a2 x2

  1. Una buena idea es asegurarse de que la integral no se puede evaluar fácilmente de otra manera. Por ejemplo, si bien este método puede aplicarse a integrales de la forma 1a2 x2 dx,1a2 x2 dx, xa2 x2 dx,xa2 x2 dx, y xa2 x2 dx,xa2 x2 dx, cada una de ellas se puede integrar directamente mediante fórmula o mediante una simple sustitución en u.
  2. Realice la sustitución x=asenθx=asenθ y dx=acosθdθ.dx=acosθdθ. Nota: Esta sustitución da como resultado a2 x2 =acosθ.a2 x2 =acosθ.
  3. Simplifique la expresión.
  4. Evalúe la integral utilizando las técnicas de la sección de integrales trigonométricas.
  5. Utilice el triángulo de referencia de la Figura 3.4 para reescribir el resultado en términos de x.x. Es posible que también tenga que utilizar algunas identidades trigonométricas y la relación θ=sen−1(xa).θ=sen−1(xa).

El siguiente ejemplo demuestra la aplicación de esta estrategia de resolución de problemas.

Ejemplo 3.21

Integración de una expresión que implica a2 x2 a2 x2

Evalúe 9x2 dx.9x2 dx.

Ejemplo 3.22

Integración de una expresión que implica a2 x2 a2 x2

Evalúe 4x2 xdx.4x2 xdx.

En el siguiente ejemplo, vemos que a veces podemos elegir entre varios métodos.

Ejemplo 3.23

Integración de una expresión que implica a2 x2 a2 x2 Dos maneras

Evalúe x31x2 dxx31x2 dx de dos maneras: primero utilizando la sustitución u=1x2 u=1x2 y luego utilizando una sustitución trigonométrica.

Punto de control 3.14

Reescriba la integral x325x2 dxx325x2 dx utilizando la sustitución trigonométrica adecuada (no evalúe la integral).

Integración de expresiones que implican a2 +x2 a2 +x2

Para las integrales que contienen a2 +x2 ,a2 +x2 , consideremos primero el dominio de esta expresión. Dado que a2 +x2 a2 +x2 se define para todos los valores reales de x,x, limitamos nuestra elección a aquellas funciones trigonométricas que tienen un rango de todos los números reales. Por lo tanto, nuestra elección se limita a seleccionar x=atanθx=atanθ o x=acotθ.x=acotθ. Cualquiera de estas sustituciones podría funcionar, pero la sustitución estándar es x=atanθx=atanθ o, de forma equivalente, tanθ=x/a.tanθ=x/a. Con esta sustitución, suponemos que (π/2 )<θ<π/2 ,(π/2 )<θ<π/2 , por lo que también tenemos θ=tan–1(x/a).θ=tan–1(x/a). El procedimiento para utilizar esta sustitución se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Integración de expresiones que implican a2 +x2 a2 +x2

  1. Compruebe si la integral se puede evaluar fácilmente utilizando otro método. En algunos casos, es más conveniente utilizar un método alternativo.
  2. Sustituya x=atanθx=atanθ y dx=asec2 θdθ.dx=asec2 θdθ. Esta sustitución da como resultado
    a2 +x2 =a2 +(atanθ)2 =a2 (1+tan2 θ)=a2 sec2 θ=|asecθ|=asecθ.a2 +x2 =a2 +(atanθ)2 =a2 (1+tan2 θ)=a2 sec2 θ=|asecθ|=asecθ. (Dado que π2 <θ<π2 π2 <θ<π2 y secθ>0secθ>0 en este intervalo, |asecθ|=asecθ.)|asecθ|=asecθ.)
  3. Simplifique la expresión.
  4. Evalúe la integral utilizando las técnicas de la sección de integrales trigonométricas.
  5. Utilice el triángulo de referencia de la Figura 3.7 para reescribir el resultado en términos de x.x. Es posible que también tenga que utilizar algunas identidades trigonométricas y la relación θ=tan–1(xa).θ=tan–1(xa). (Nota: El triángulo de referencia se basa en la suposición de que x>0;x>0; sin embargo, las razones trigonométricas producidas a partir del triángulo de referencia son las mismas que las razones para las que x0,)x0,)
Esta figura es un triángulo rectángulo. Tiene un ángulo marcado como theta. Este ángulo está opuesto al lado vertical. La hipotenusa está marcada como la raíz cuadrada de (a^2+x^2), el cateto vertical está marcado como "x" y el cateto horizontal está marcado como "a". A la izquierda del triángulo aparece la ecuación tan(theta) = x/a.
Figura 3.7 Se puede construir un triángulo de referencia para expresar las funciones trigonométricas evaluadas en θ θ en términos de x . x .

Ejemplo 3.24

Integración de una expresión que implica a2 +x2 a2 +x2

Evalúe dx1+x2 dx1+x2 y diferencie para comprobar la solución.

Ejemplo 3.25

Evaluar dx1+x2 dx1+x2 Utilizando una sustitución diferente

Utilice la sustitución x=senohθx=senohθ para evaluar dx1+x2 .dx1+x2 .

Análisis

Esta respuesta es muy diferente a la obtenida mediante la sustitución x=tanθ.x=tanθ. Para ver que las soluciones son las mismas, establezca y=senoh−1x.y=senoh−1x. Por lo tanto, senohy=x.senohy=x. De esta ecuación obtenemos:

eyey2 =x.eyey2 =x.

Después de multiplicar ambos lados por 2 ey2 ey y reescribiendo, esta ecuación se convierte en:

e2 y2 xey1=0.e2 y2 xey1=0.

Utilice la ecuación cuadrática para resolver ey:ey:

ey=2 x±4x2 +42 .ey=2 x±4x2 +42 .

Simplificando, tenemos:

ey=x±x2 +1.ey=x±x2 +1.

Dado que xx2 +1<0,xx2 +1<0, el caso debe ser que ey=x+x2 +1.ey=x+x2 +1. Por lo tanto,

y=ln(x+x2 +1).y=ln(x+x2 +1).

Por último, obtenemos

senoh−1x=ln(x+x2 +1).senoh−1x=ln(x+x2 +1).

Después de hacer la observación final de que, como x+x2 +1>0,x+x2 +1>0,

ln(x+x2 +1)=ln|1+x2 +x|,ln(x+x2 +1)=ln|1+x2 +x|,

vemos que los dos métodos diferentes producen soluciones equivalentes.

Ejemplo 3.26

Hallar una longitud de arco

Calcule la longitud de la curva y=x2 y=x2 en el intervalo [0,12 ].[0,12 ].

Punto de control 3.15

Reescriba x3x2 +4dxx3x2 +4dx utilizando una sustitución que implique tanθ.tanθ.

Integración de expresiones que implican x2 a2 x2 a2

El dominio de la expresión x2 a2 x2 a2 es (,a][a,+).(,a][a,+). Por lo tanto, o bien xaxa o xa.xa. Por lo tanto, xa1xa1 o xa1.xa1. Dado que estos intervalos corresponden al rango de secθsecθ en el conjunto [0,π2 )(π2 ,π],[0,π2 )(π2 ,π], tiene sentido utilizar la sustitución secθ=xasecθ=xa o, de forma equivalente, x=asecθ,x=asecθ, donde 0θ<π2 0θ<π2 o π2 <θπ.π2 <θπ. La sustitución correspondiente para dxdx es dx=asecθtanθdθ.dx=asecθtanθdθ. El procedimiento para utilizar esta sustitución se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Integrales que implican x2 a2 x2 a2

  1. Compruebe si la integral no se puede evaluar utilizando otro método. Si es así, podemos considerar la aplicación de una técnica alternativa.
  2. Sustituya x=asecθx=asecθ y dx=asecθtanθdθ.dx=asecθtanθdθ. Esta sustitución da produce
    x2 a2 =(asecθ)2 a2 =a2 (sec2 θ1)=a2 tan2 θ=|atanθ|.x2 a2 =(asecθ)2 a2 =a2 (sec2 θ1)=a2 tan2 θ=|atanθ|.

    Para xa,xa, |atanθ|=atanθ|atanθ|=atanθ y para xa,xa, |atanθ|=atanθ.|atanθ|=atanθ.
  3. Simplifique la expresión.
  4. Evalúe la integral utilizando las técnicas de la sección de integrales trigonométricas.
  5. Utilice los triángulos de referencia de la Figura 3.9 para reescribir el resultado en términos de x.x. Es posible que también tenga que utilizar algunas identidades trigonométricas y la relación θ=sec−1(xa).θ=sec−1(xa). (Nota: Necesitamos ambos triángulos de referencia, ya que los valores de algunas de las razones trigonométricas son diferentes dependiendo de si xaxa o xa.)xa.)
Esta figura tiene dos triángulos rectángulos. El primer triángulo está en el primer cuadrante del sistema de coordenadas xy y tiene un ángulo marcado como theta. Este ángulo está opuesto al lado vertical. La hipotenusa está marcada como "x", el cateto vertical está marcado como la raíz cuadrada de (x^2-a^2) y el cateto horizontal está marcado como "a". El cateto horizontal está en el eje x. A la izquierda del triángulo aparece la ecuación sec(theta) = x/a, x>a. También aparecen las ecuaciones sen(theta)= la raíz cuadrada de (x^2-a^2)/x, cos(theta) = a/x y tan(theta) = la raíz cuadrada de (x^2-a^2)/a. El segundo triángulo está en el segundo cuadrante, con la hipotenusa marcada como -x. El cateto horizontal está marcado como –a y está en el eje x negativo. El cateto vertical está marcado como raíz cuadrada de (x^2-a^2). A la izquierda del triángulo aparece la ecuación sec(theta) = x/a, x<-a. También aparecen las ecuaciones sen(theta)= la raíz cuadrada negativa de (x^2-a^2)/x, cos(theta) = a/x y tan(theta) = la raíz cuadrada negativa de (x^2-a^2)/a.
Figura 3.9 Utilice el triángulo de referencia adecuado para expresar las funciones trigonométricas evaluadas en θ θ en términos de x . x .

Ejemplo 3.27

Hallar el área de una región

Halle el área de la región entre el gráfico de f(x)=x2 9f(x)=x2 9 y el eje x en el intervalo [3,5].[3,5].

Punto de control 3.16

Evalúe dxx2 4.dxx2 4. Supongamos que x>2 .x>2 .

Sección 3.3 ejercicios

Simplifique las siguientes expresiones escribiendo cada una de ellas con una sola función trigonométrica.

126.

4 4 sen 2 θ 4 4 sen 2 θ

127.

9 sec 2 θ 9 9 sec 2 θ 9

128.

a 2 + a 2 tan 2 θ a 2 + a 2 tan 2 θ

129.

a 2 + a 2 senoh 2 θ a 2 + a 2 senoh 2 θ

130.

16 cosh 2 θ 16 16 cosh 2 θ 16

Utilice la técnica de completar el cuadrado para expresar cada trinomio como el cuadrado de un binomio o el cuadrado de un binomio más una constante.

131.

4 x 2 4 x + 1 4 x 2 4 x + 1

132.

2 x 2 8 x + 3 2 x 2 8 x + 3

133.

x 2 2 x + 4 x 2 2 x + 4

Integre utilizando el método de sustitución trigonométrica. Exprese la respuesta final en términos de la variable.

134.

d x 4 x 2 d x 4 x 2

135.

d x x 2 a 2 d x x 2 a 2

136.

4 x 2 d x 4 x 2 d x

137.

d x 1 + 9 x 2 d x 1 + 9 x 2

138.

x 2 d x 1 x 2 x 2 d x 1 x 2

139.

d x x 2 1 x 2 d x x 2 1 x 2

140.

d x ( 1 + x 2 ) 2 d x ( 1 + x 2 ) 2

141.

x 2 + 9 d x x 2 + 9 d x

142.

x 2 25 x d x x 2 25 x d x

143.

θ 3 d θ 9 θ 2 θ 3 d θ 9 θ 2

144.

d x x 6 x 2 d x x 6 x 2

145.

x 6 x 8 d x x 6 x 8 d x

146.

d x ( 1 + x 2 ) 3 / 2 d x ( 1 + x 2 ) 3 / 2

147.

d x ( x 2 9 ) 3 / 2 d x ( x 2 9 ) 3 / 2

148.

1 + x 2 d x x 1 + x 2 d x x

149.

x 2 d x x 2 1 x 2 d x x 2 1

150.

x 2 d x x 2 + 4 x 2 d x x 2 + 4

151.

d x x 2 x 2 + 1 d x x 2 x 2 + 1

152.

x 2 d x 1 + x 2 x 2 d x 1 + x 2

153.

–1 1 ( 1 x 2 ) 3 / 2 d x –1 1 ( 1 x 2 ) 3 / 2 d x

En los siguientes ejercicios, utilice las sustituciones x=senohθ,coshθ,x=senohθ,coshθ, o tanhθ.tanhθ. Exprese las respuestas finales en términos de la variable x.

154.

d x x 2 1 d x x 2 1

155.

d x x 1 x 2 d x x 1 x 2

156.

x 2 1 d x x 2 1 d x

157.

x 2 1 x 2 d x x 2 1 x 2 d x

158.

d x 1 x 2 d x 1 x 2

159.

1 + x 2 x 2 d x 1 + x 2 x 2 d x

Utilice la técnica de completar el cuadrado para evaluar las siguientes integrales.

160.

1 x 2 6 x d x 1 x 2 6 x d x

161.

1 x 2 + 2 x + 1 d x 1 x 2 + 2 x + 1 d x

162.

1 x 2 + 2 x + 8 d x 1 x 2 + 2 x + 8 d x

163.

1 x 2 + 10 x d x 1 x 2 + 10 x d x

164.

1 x 2 + 4 x 12 d x 1 x 2 + 4 x 12 d x

165.

Evalúe la integral sin usar cálculo: −339x2 dx.−339x2 dx.

166.

Halle el área encerrada por la elipse x2 4+y2 9=1.x2 4+y2 9=1.

167.

Evalúe la integral dx1x2 dx1x2 utilizando dos sustituciones diferentes. En primer lugar, supongamos que x=cosθx=cosθ y evalúe utilizando la sustitución trigonométrica. En segundo lugar, supongamos que x=senθx=senθ y utilice la sustitución trigonométrica. ¿Las respuestas son las mismas?

168.

Evalúe la integral dxxx2 1dxxx2 1 utilizando la sustitución x=secθ.x=secθ. A continuación, evalúe la misma integral utilizando la sustitución x=cscθ.x=cscθ. Demuestre que los resultados son equivalentes.

169.

Evalúe la integral xx2 +1dxxx2 +1dx utilizando la forma 1udu.1udu. A continuación, evalúe la misma integral utilizando x=tanθ.x=tanθ. ¿Los resultados son los mismos?

170.

Indique el método de integración que utilizaría para evaluar la integral xx2 +1dx.xx2 +1dx. ¿Por qué ha elegido este método?

171.

Indique el método de integración que utilizaría para evaluar la integral x2 x2 1dx.x2 x2 1dx. ¿Por qué ha elegido este método?

172.

Evalúe –11xdxx2 +1–11xdxx2 +1

173.

Halle la longitud de arco de la curva en el intervalo especificado: y=lnx,[1,5].y=lnx,[1,5]. Redondee la respuesta a tres decimales.

174.

Halle el área superficial del sólido que se genera al girar la región delimitada por los gráficos de y=x2 ,y=0,x=0,yx=2 y=x2 ,y=0,x=0,yx=2 alrededor del eje x. (Redondee la respuesta a tres decimales).

175.

La región delimitada por el gráfico de f(x)=11+x2 f(x)=11+x2 y el eje x entre x=0x=0 y x=1x=1 se gira alrededor del eje x. Calcule el volumen del sólido que se genera.

Resuelva el problema de valor inicial de y en función de x.

176.

( x 2 + 36 ) d y d x = 1 , y ( 6 ) = 0 ( x 2 + 36 ) d y d x = 1 , y ( 6 ) = 0

177.

( 64 x 2 ) d y d x = 1 , y ( 0 ) = 3 ( 64 x 2 ) d y d x = 1 , y ( 0 ) = 3

178.

Halle el área delimitada por y=2 644x2 ,x=0,y=0,yx=2 .y=2 644x2 ,x=0,y=0,yx=2 .

179.

Un tanque de almacenamiento de petróleo puede describirse como el volumen generado cuando se gira el área delimitada por y=1664+x2 ,x=0,y=0,x=2 y=1664+x2 ,x=0,y=0,x=2 alrededor del eje x. Calcule el volumen del tanque (en metros cúbicos).

180.

Durante cada ciclo, la velocidad v (en pies por segundo) de un dispositivo robotizado de soldadura está dada por v=2 t144+t2 ,v=2 t144+t2 , donde t es el tiempo en segundos. Determine la expresión del desplazamiento s (en pies) en función de t si s=0s=0 cuando t=0.t=0.

181.

Halle la longitud de la curva y=16x2 y=16x2 entre x=0x=0 y x=2 .x=2 .

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