Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

3.2 Integrales trigonométricas

Objetivos de aprendizaje

3.2.1 Resolver problemas de integración con productos y potencias de $sen x$ y $cos x .$
3.2.2 Resolver problemas de integración con productos y potencias de $tan x$ y $sec x .$
3.2.3 Utilizar fórmulas de reducción para resolver integrales trigonométricas.

En esta sección veremos cómo integrar una variedad de productos de funciones trigonométricas. Estas integrales se llaman integrales trigonométricas. Son una parte importante de la técnica de integración llamada sustitución trigonométrica, que aparece en Sustitución trigonométrica. Esta técnica nos permite convertir expresiones algebraicas que tal vez no podamos integrar en expresiones que implican funciones trigonométricas, que podremos integrar utilizando las técnicas descritas en esta sección. Además, este tipo de integrales aparecen con frecuencia cuando estudiamos más adelante los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Comencemos nuestro estudio con los productos de $sen x$ y $cos x .$

Integración de productos y potencias de senx y cosx

Una idea clave de la estrategia utilizada para integrar combinaciones de productos y potencias de $sen x$ y $cos x$ implica reescribir estas expresiones como sumas y diferencias de integrales de la forma $\int {sen}^{j} x cos x d x$ o $\int {cos}^{j} x sen x d x .$ Después de reescribir estas integrales, las evaluamos utilizando la sustitución en u. Antes de describir el proceso general en detalle, veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 3.8

Integración de $\int {cos}^{j} x sen x d x$

Evalúe $\int {cos}^{3} x sen x d x .$

Solución

Utilice la sustitución en $u$ y supongamos que $u = cos x .$ En este caso, $d u = − sen x d x .$ Por lo tanto,

\begin{matrix} \int {cos}^{3} x sen x d x & = − \int u^{3} d u \\ = - \frac{1}{4} u^{4} + C \\ = - \frac{1}{4} {cos}^{4} x + C . \end{matrix}

Punto de control 3.5

Evalúe $\int {sen}^{4} x cos x d x .$

Ejemplo 3.9

Un ejemplo preliminar: Integración de $\int {cos}^{j} x {sen}^{k} x d x$ donde k es impar

Evalúe $\int {cos}^{2} x {sen}^{3} x d x .$

Solución

Para convertir esta integral en integrales de la forma $\int {cos}^{j} x sen x d x,$ reescriba ${sen}^{3} x = {sen}^{2} x sen x$ y haga la sustitución ${sen}^{2} x = 1 - {cos}^{2} x .$ Por lo tanto,

\begin{matrix} \int {cos}^{3} x {sen}^{3} x d x & = \int {cos}^{2} x (1 - {cos}^{2} x) sen x d x & Supongamos que u = cos x; entonces d u = − sen x d x . \\ = − \int u^{2} (1 - u^{2}) d u \\ = \int (u^{4} - u^{2}) d u \\ = \frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{3} u^{3} + C \\ = \frac{1}{5} {cos}^{5} x - \frac{1}{3} {cos}^{3} x + C . \end{matrix}

Punto de control 3.6

Evalúe $\int {cos}^{3} x {sen}^{2} x d x .$

En el siguiente ejemplo, vemos la estrategia que debe aplicarse cuando solo hay potencias pares de $sen x$ y $cos x .$ Para las integrales de este tipo, las identidades

{sen}^{2} x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x) = \frac{1 - cos (2 x)}{2}

y

{cos}^{2} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 x) = \frac{1 + cos (2 x)}{2}

son inestimables. Estas identidades se conocen a veces como identidades de reducción de potencia y pueden derivarse de la identidad de doble ángulo $cos (2 x) = {cos}^{2} x - {sen}^{2} x$ y la identidad pitagórica ${cos}^{2} x + {sen}^{2} x = 1 .$

Ejemplo 3.10

Integración de una potencia par de $sen x$

Evalúe $\int {sen}^{2} x d x .$

Solución

Para evaluar esta integral, utilicemos la identidad trigonométrica ${sen}^{2} x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x) .$ Por lo tanto,

\begin{matrix} \int {sen}^{2} x d x & = \int (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x)) d x \\ = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} sen (2 x) + C . \end{matrix}

Punto de control 3.7

Evalúe $\int {cos}^{2} x d x .$

El proceso general de integración de productos de potencias de $sen x$ y $cos x$ se resume en el siguiente conjunto de directrices.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Integración de productos y potencias de sen x y cos x

Para integrar $\int {cos}^{j} x {sen}^{k} x d x$ utilice las siguientes estrategias:

Si $k$ es impar, reescriba ${sen}^{k} x = {sen}^{k - 1} x sen x$ y utilice la identidad ${sen}^{2} x = 1 - {cos}^{2} x$ para reescribir ${sen}^{k - 1} x$ en términos de $cos x .$ Integre utilizando la sustitución $u = cos x .$ Esta sustitución hace que $d u = − sen x d x .$
Si $j$ es impar, reescriba ${cos}^{j} x = {cos}^{j - 1} x cos x$ y utilice la identidad ${cos}^{2} x = 1 - {sen}^{2} x$ para reescribir ${cos}^{j - 1} x$ en términos de $sen x .$ Integre utilizando la sustitución $u = sen x .$ Esta sustitución hace que $d u = cos x d x .$ (Nota: Si ambos $j$ y $k$ son impares, se puede utilizar la estrategia 1 o la estrategia 2).
Si ambos $j$ y $k$ son pares, utilice ${sen}^{2} x = (1 / 2) - (1 / 2) cos (2 x)$ y ${cos}^{2} x = (1 / 2) + (1 / 2) cos (2 x) .$ Después de aplicar estas fórmulas, simplifique y vuelva a aplicar las estrategias 1 a 3 según corresponda.

Ejemplo 3.11

Integración de $\int {cos}^{j} x {sen}^{k} x d x$ donde k es impar

Evalúe $\int {cos}^{8} x {sen}^{5} x d x .$

Solución

Dado que la potencia en $sen x$ es impar, utilice la estrategia 1. Por lo tanto,

\begin{matrix} \int {cos}^{8} x {sen}^{5} x d x & = \int {cos}^{8} x {sen}^{4} x sen x d x & Desprenda sen x . \\ = \int {cos}^{8} x {({sen}^{2} x)}^{2} sen x d x & Reescriba {sen}^{4} x = {({sen}^{2} x)}^{2} . \\ = \int {cos}^{8} x {(1 - {cos}^{2} x)}^{2} sen x d x & Sustituya {sen}^{2} x = 1 - {cos}^{2} x . \\ = \int u^{8} {(1 - u^{2})}^{2} (− d u) & Supongamos que u = cos x y d u = − sen x d x . \\ = \int (− u^{8} + 2 u^{10} - u^{12}) d u & Expanda . \\ = - \frac{1}{9} u^{9} + \frac{2}{11} u^{11} - \frac{1}{13} u^{13} + C & Evalúe la integral . \\ = - \frac{1}{9} {cos}^{9} x + \frac{2}{11} {cos}^{11} x - \frac{1}{13} {cos}^{13} x + C . & Sustituya u = cos x . \end{matrix}

Ejemplo 3.12

Integración de $\int {cos}^{j} x {sen}^{k} x d x$ donde k y j son pares

Evalúe $\int {sen}^{4} x d x .$

Solución

Dado que la potencia en $sen x$ es par $(k = 4)$ y la potencia en $cos x$ es par $(j = 0),$ debemos utilizar la estrategia 3. Por lo tanto,

\begin{matrix} \int {sen}^{4} x d x & = \int {({sen}^{2} x)}^{2} d x & Reescriba {sen}^{4} x = {({sen}^{2} x)}^{2} . \\ = \int {(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x))}^{2} d x & Sustituya {sen}^{2} x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x) . \\ = \int (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} cos (2 x) + \frac{1}{4} {cos}^{2} (2 x)) d x & Expanda {(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x))}^{2} . \\ = \int (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} cos (2 x) + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (4 x)) d x . \end{matrix}

Dado que ${cos}^{2} (2 x)$ tiene una potencia par, sustituya ${cos}^{2} (2 x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (4 x) :$

\begin{matrix} = \int (\frac{3}{8} - \frac{1}{2} cos (2 x) + \frac{1}{8} cos (4 x)) d x & Simplifique . \\ = \frac{3}{8} x - \frac{1}{4} sen (2 x) + \frac{1}{32} sen (4 x) + C & Evalúe la integral . \end{matrix}

Punto de control 3.8

Evalúe $\int {cos}^{3} x d x .$

Punto de control 3.9

Evalúe $\int {cos}^{2} (3 x) d x .$

En algunas áreas de la física, como la mecánica cuántica, el procesamiento de señales y el cálculo de series de Fourier, a menudo es necesario integrar productos que incluyen $sen (a x),$ $sen (b x),$ $cos (a x),$ y $cos (b x) .$ Estas integrales se evalúan aplicando las identidades trigonométricas, como se indica en la siguiente regla.

Regla: integración de productos de senos y cosenos de diferentes ángulos

Para integrar productos que implican $sen (a x),$ $sen (b x),$ $cos (a x),$ y $cos (b x),$ utilice las sustituciones

sen (a x) sen (b x) = \frac{1}{2} cos ((a - b) x) - \frac{1}{2} cos ((a + b) x)

grandes.

(3.3)

sen (a x) cos (b x) = \frac{1}{2} sen ((a - b) x) + \frac{1}{2} sen ((a + b) x)

grandes.

(3.4)

cos (a x) cos (b x) = \frac{1}{2} cos ((a - b) x) + \frac{1}{2} cos ((a + b) x)

(3.5)

Estas fórmulas pueden derivarse de las fórmulas de suma de ángulos para el seno y el coseno.

Ejemplo 3.13

Evaluación de $\int sen (a x) cos (b x) d x$

Evalúe $\int sen (5 x) cos (3 x) d x .$

Solución

Aplique la identidad $sen (5 x) cos (3 x) = \frac{1}{2} sen (2 x) + \frac{1}{2} cos (8 x) .$ Por lo tanto,

\begin{matrix} \int sen (5 x) cos (3 x) d x & = \int \frac{1}{2} sen (2 x) dx + \int \frac{1}{2} sen (8 x) dx \\ = - \frac{1}{4} cos (2 x) - \frac{1}{16} cos (8 x) + C . \end{matrix}

Punto de control 3.10

Evalúe $\int cos (6 x) cos (5 x) d x .$

Integración de productos y potencias de tanx y secx

Antes de hablar de la integración de productos y potencias de $tan x$ y $sec x,$ es útil recordar las integrales que implican $tan x$ y $sec x$ que ya hemos aprendido:

$\int {sec}^{2} x d x = tan x + C$
$\int sec x tan x d x = sec x + C$
$\int tan x d x = ln | sec x | + C$
$\int sec x d x = ln | sec x + tan x | + C .$

Para la mayoría de las integrales de productos y potencias de $tan x$ y $sec x,$ reescribimos la expresión que queremos integrar como la suma o diferencia de integrales de la forma $\int {tan}^{j} x {sec}^{2} x d x$ o $\int {sec}^{j} x tan x d x .$ Como vemos en el siguiente ejemplo, podemos evaluar estas nuevas integrales utilizando la sustitución en u.

Ejemplo 3.14

Evaluación de $\int {sec}^{j} x tan x d x$

Evalúe $\int {sec}^{5} x tan x d x .$

Solución

Empiece por reescribir ${sec}^{5} x tan x$ como ${sec}^{4} x sec x tan x .$

\begin{matrix} \int {sec}^{5} x tan x d x & = \int {sec}^{4} x sec x tan x d x & Supongamos que u = sec x; entonces, d u = sec x tan x d x . \\ = \int u^{4} d u & Evalúe la integral . \\ = \frac{1}{5} u^{5} + C & Sustituya sec x = u . \\ = \frac{1}{5} {sec}^{5} x + C \end{matrix}

Medios

En este sitio web puede leer una información interesante para conocer una integral común en la que interviene la secante.

Punto de control 3.11

Evalúe $\int {tan}^{5} x {sec}^{2} x d x .$

A continuación, analizamos las distintas estrategias de integración de productos y potencias de $sec x$ y $tan x .$

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Integración de $\int {tan}^{k} x {sec}^{j} x d x$

Para integrar $\int {tan}^{k} x {sec}^{j} x d x,$ utilice las siguientes estrategias:

Si los valores de $j$ es par y $j \geq 2,$ reescriba ${sec}^{j} x = {sec}^{j - 2} x {sec}^{2} x$ y usamos ${sec}^{2} x = {tan}^{2} x + 1$ para reescribir ${sec}^{j - 2} x$ en términos de $tan x .$ Supongamos que $u = tan x$ y $d u = {sec}^{2} x dx .$
Si los valores de $k$ es impar y $j \geq 1,$ reescriba ${tan}^{k} x {sec}^{j} x = {tan}^{k - 1} x {sec}^{j - 1} x sec x tan x$ y usamos ${tan}^{2} x = {sec}^{2} x - 1$ para reescribir ${tan}^{k - 1} x$ en términos de $sec x .$ Supongamos que $u = sec x$ y $d u = sec x tan x d x .$ (Nota: Si los valores de $j$ es par y $k$ es impar, entonces se puede utilizar la estrategia 1 o la estrategia 2).
Si los valores de $k$ es impar donde $k \geq 3$ y $j = 0,$ reescriba ${tan}^{k} x = {tan}^{k - 2} x {tan}^{2} x = {tan}^{k - 2} x ({sec}^{2} x - 1) = {tan}^{k - 2} x {sec}^{2} x - {tan}^{k - 2} x .$ Puede ser necesario repetir este proceso en el término ${tan}^{k - 2} x$ .
Si los valores de $k$ es par y $j$ es impar, entonces utilice ${tan}^{2} x = {sec}^{2} x - 1$ para expresar ${tan}^{k} x$ en términos de $sec x .$ Utilice la integración por partes para integrar potencias impares de $sec x .$

Ejemplo 3.15

Integración de $\int {tan}^{k} x {sec}^{j} x d x$ cuando $j$ es par

Evalúe $\int {tan}^{6} x {sec}^{4} x d x .$

Solución

Dado que la potencia en $sec x$ es par, reescriba ${sec}^{4} x = {sec}^{2} x {sec}^{2} x$ y usamos ${sec}^{2} x = {tan}^{2} x + 1$ para reescribir la primera ${sec}^{2} x$ en términos de $tan x .$ Por lo tanto,

\begin{matrix} \int {tan}^{6} x {sec}^{4} x d x & = \int {tan}^{6} x ({tan}^{2} x + 1) {sec}^{2} x d x & Supongamos que u = tan x y d u = {sec}^{2} x dx . \\ = \int u^{6} (u^{2} + 1) d u & Expanda . \\ = \int (u^{8} + u^{6}) d u & Evalúe la integral . \\ = \frac{1}{9} u^{9} + \frac{1}{7} u^{7} + C & Sustituya tan x = u . \\ = \frac{1}{9} {tan}^{9} x + \frac{1}{7} {tan}^{7} x + C . \end{matrix}

Ejemplo 3.16

Integración de $\int {tan}^{k} x {sec}^{j} x d x$ cuando $k$ es impar

Evalúe $\int {tan}^{5} x {sec}^{3} x d x .$

Solución

Dado que la potencia en $tan x$ es impar, comience por reescribir ${tan}^{5} x {sec}^{3} x = {tan}^{4} x {sec}^{2} x sec x tan x .$ Por lo tanto,

\begin{matrix} {tan}^{5} x {sec}^{3} x & = & {tan}^{4} x {sec}^{2} x sec x tan x . & Escriba {tan}^{4} x = {({tan}^{2} x)}^{2} . \\ \int {tan}^{5} x {sec}^{3} x d x & = & \int {({tan}^{2} x)}^{2} {sec}^{2} x sec x tan x d x & Utilice {tan}^{2} x = {sec}^{2} x - 1 \\ = & \int {({sec}^{2} x - 1)}^{2} {sec}^{2} x sec x tan x d x & Supongamos que u = sec x y d u = sec x tan x d x . \\ = & \int {(u^{2} - 1)}^{2} u^{2} d u & Expanda . \\ = & \int (u^{6} - 2 u^{4} + u^{2}) d u & Integre . \\ = & \frac{1}{7} u^{7} - \frac{2}{5} u^{5} + \frac{1}{3} u^{3} + C & Sustituya sec x = u . \\ = & \frac{1}{7} {sec}^{7} x - \frac{2}{5} {sec}^{5} x + \frac{1}{3} {sec}^{3} x + C . \end{matrix}

Ejemplo 3.17

Integración de $\int {tan}^{k} x d x$ donde $k$ es impar y $k \geq 3$

Evalúe $\int {tan}^{3} x d x .$

Solución

Comience por reescribir ${tan}^{3} x = tan x {tan}^{2} x = tan x ({sec}^{2} x - 1) = tan x {sec}^{2} x - tan x .$ Por lo tanto,

\begin{matrix} \int {tan}^{3} x d x & = \int (tan x {sec}^{2} x - tan x) d x \\ = \int tan x {sec}^{2} x d x - \int tan x d x \\ = \frac{1}{2} {tan}^{2} x - ln | sec x | + C . \end{matrix}

Para la primera integral, utilice la sustitución $u = tan x .$ Para la segunda integral, utilice la fórmula.

Ejemplo 3.18

Integración de $\int {sec}^{3} x d x$

Integre $\int {sec}^{3} x d x .$

Solución

Esta integral requiere la integración por partes. Para empezar, supongamos que $u = sec x$ y $d v = {sec}^{2} x dx .$ Estas elecciones hacen que $d u = sec x tan x$ y $v = tan x .$ Por lo tanto,

\begin{matrix} \int {sec}^{3} x d x & = sec x tan x - \int tan x sec x tan x d x \\ = sec x tan x - \int {tan}^{2} x sec x d x & Simplifique . \\ = sec x tan x - \int ({sec}^{2} x - 1) sec x d x & Sustituya {tan}^{2} x = {sec}^{2} x - 1 \\ = sec x tan x + \int sec x d x - \int {sec}^{3} x d x & Reescriba . \\ = sec x tan x + ln | sec x + tan x | - \int {sec}^{3} x d x . & Evalúe \int sec x d x . \end{matrix}

Ahora tenemos

\int {sec}^{3} x d x = sec x tan x + ln | sec x + tan x | - \int {sec}^{3} x d x .

Dado que la integral $\int {sec}^{3} x d x$ ha vuelto a aparecer en el lado derecho, podemos resolver para $\int {sec}^{3} x d x$ sumándola a ambos lados. Al hacerlo, obtenemos

2 \int {sec}^{3} x d x = sec x tan x + ln | sec x + tan x | .

Dividiendo entre 2, llegamos a

\int {sec}^{3} x d x = \frac{1}{2} sec x tan x + \frac{1}{2} ln | sec x + tan x | + C .

Punto de control 3.12

Evalúe $\int {tan}^{3} x {sec}^{7} x d x .$

Fórmulas de reducción

Evaluación de $\int {sec}^{n} x d x$ para los valores de $n$ donde $n$ es impar requiere la integración por partes. Además, también debemos conocer el valor de $\int {sec}^{n - 2} x d x$ para evaluar $\int {sec}^{n} x d x .$ La evaluación de $\int {tan}^{n} x d x$ también requiere poder integrar $\int {tan}^{n - 2} x d x .$ Para facilitar el proceso, podemos derivar y aplicar las siguientes fórmulas de reducción de potencias. Estas reglas nos permiten sustituir la integral de una potencia de $sec x$ o $tan x$ por la integral de una potencia inferior de $sec x$ o $tan x .$

Regla: fórmulas de reducción para $\int {sec}^{n} x d x$ y $\int {tan}^{n} x d x$

\int {sec}^{n} x d x = \frac{1}{n - 1} {sec}^{n - 2} x tan x + \frac{n - 2}{n - 1} \int {sec}^{n - 2} x d x

(3.6)

\int {tan}^{n} x d x = \frac{1}{n - 1} {tan}^{n - 1} x - \int {tan}^{n - 2} x d x

(3.7)

La primera regla de reducción de potencias puede verificarse aplicando la integración por partes. La segunda puede verificarse siguiendo la estrategia expuesta para integrar las potencias impares de $tan x .$

Ejemplo 3.19

Repasando $\int {sec}^{3} x d x$

Aplique una fórmula de reducción para evaluar $\int {sec}^{3} x d x .$

Solución

Aplicando la primera fórmula de reducción, obtenemos

\begin{matrix} \int {sec}^{3} x d x & = \frac{1}{2} sec x tan x + \frac{1}{2} \int sec x d x \\ = \frac{1}{2} sec x tan x + \frac{1}{2} ln | sec x + tan x | + C . \end{matrix}

Ejemplo 3.20

Utilizar una fórmula de reducción

Evalúe $\int {tan}^{4} x d x .$

Solución

Aplicando la fórmula de reducción de $\int {tan}^{4} x d x$ tenemos

\begin{matrix} \int {tan}^{4} x d x & = \frac{1}{3} {tan}^{3} x - \int {tan}^{2} x d x \\ = \frac{1}{3} {tan}^{3} x - (tan x - \int {tan}^{0} x d x) & Aplique la fórmula de reducción a \int {tan}^{2} x d x . \\ = \frac{1}{3} {tan}^{3} x - tan x + \int 1 d x & Simplifique . \\ = \frac{1}{3} {tan}^{3} x - tan x + x + C . & Evalúe \int 1 d x . \end{matrix}

Punto de control 3.13

Aplique la fórmula de reducción a $\int {sec}^{5} x d x .$

Sección 3.2 ejercicios

Rellene el espacio en blanco para que la afirmación sea verdadera.

69.

${sen}^{2} x +_______= 1$

70.

${sec}^{2} x - 1 =_______$

Utilice una identidad para reducir la potencia de la función trigonométrica a una función trigonométrica elevada a la primera potencia.

71.

${sen}^{2} x =_______$

72.

${cos}^{2} x =_______$

Evalúe cada una de las siguientes integrales por sustitución en u.

73.

$\int {sen}^{3} x cos x d x$

74.

$\int \sqrt{cos x} sen x d x$

75.

$\int {tan}^{5} (2 x) {sec}^{2} (2 x) d x$

76.

$\int {sen}^{7} (2 x) cos (2 x) d x$

77.

$\int tan (\frac{x}{2}) {sec}^{2} (\frac{x}{2}) d x$

78.

$\int {tan}^{2} x {sec}^{2} x d x$

Calcule las siguientes integrales utilizando las directrices para integrar potencias de funciones trigonométricas. Utilice un CAS para comprobar las soluciones. (Nota: Algunos de los problemas pueden realizarse utilizando técnicas de integración aprendidas anteriormente).

79.

$\int {sen}^{3} x d x$

80.

$\int {cos}^{3} x d x$

81.

$\int sen x cos x d x$

82.

$\int {cos}^{5} x d x$

83.

$\int {sen}^{5} x {cos}^{2} x d x$

84.

$\int {sen}^{3} x {cos}^{3} x d x$

85.

$\int \sqrt{sen x} cos x d x$

86.

$\int \sqrt{sen x} {cos}^{3} x d x$

87.

$\int sec x tan x d x$

88.

$\int tan (5 x) d x$

89.

$\int {tan}^{2} x sec x d x$

90.

$\int tan x {sec}^{3} x d x$

91.

$\int {sec}^{4} x d x$

92.

$\int cot x d x$

93.

$\int csc x d x$

94.

$\int \frac{{tan}^{3} x}{\sqrt{sec x}} d x$

En los siguientes ejercicios, halle una fórmula general para las integrales.

95.

$\int {sen}^{2} a x cos a x d x$

96.

$\int sen a x cos a x d x .$

Utilice las fórmulas del ángulo doble para evaluar las siguientes integrales.

97.

$\int_{0}^{π} {sen}^{2} x d x$

98.

$\int_{0}^{π} {sen}^{4} x d x$

99.

$\int {cos}^{2} 3 x d x$

100.

$\int {sen}^{2} x {cos}^{2} x d x$

101.

$\int {sen}^{2} x d x + \int {cos}^{2} x d x$

102.

$\int {sen}^{2} x {cos}^{2} (2 x) d x$

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales definidas. Exprese las respuestas en forma exacta siempre que sea posible.

103.

$\int_{0}^{2 π} cos x sen 2 x d x$

104.

$\int_{0}^{π} sen 3 x sen 5 x d x$

105.

$\int_{0}^{π} cos (99 x) sen (101 x) d x$

106.

$\int_{− π}^{π} {cos}^{2} (3 x) d x$

107.

$\int_{0}^{2 π} sen x sen (2 x) sen (3 x) d x$

108.

$\int_{0}^{4 π} cos (x / 2) sen (x / 2) d x$

109.

$\int_{π / 6}^{π / 3} \frac{{cos}^{3} x}{\sqrt{sen x}} d x$ (Redondee esta respuesta a tres decimales).

110.

$\int_{− π / 3}^{π / 3} \sqrt{{sec}^{2} x - 1} d x$

111.

$\int_{0}^{π / 2} \sqrt{1 - cos (2 x)} d x$

112.

Calcule el área de la región delimitada por los gráficos de las ecuaciones $y = sen x, y = {sen}^{3} x, x = 0, y x = \frac{π}{2} .$

113.

Calcule el área de la región delimitada por los gráficos de las ecuaciones $y = {cos}^{2} x, y = {sen}^{2} x, x = - \frac{π}{4}, y x = \frac{π}{4} .$

114.

Una partícula se mueve en línea recta con la función de velocidad $v (t) = sen (ω t) {cos}^{2} (ω t) .$ Halle su función de posición $x = f (t)$ si $f (0) = 0 .$

115.

Calcule el valor promedio de la función $f (x) = {sen}^{2} x {cos}^{3} x$ en el intervalo $[− π, π] .$

En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones diferenciales.

116.

$\frac{d y}{d x} = {sen}^{2} x .$ La curva pasa por el punto $(0, 0) .$

117.

$\frac{d y}{d θ} = {sen}^{4} (π θ)$ grandes.

118.

Halle la longitud de la curva $y = ln (csc x), \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{2} .$

119.

Halle la longitud de la curva $y = ln (sen x), \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{2} .$

120.

Calcule el volumen generado al girar la curva $y = cos (3 x)$ alrededor del eje x, $0 \leq x \leq \frac{π}{36} .$

En los siguientes ejercicios, utilice esta información: El producto interior de dos funciones f y g en $[a, b]$ se define por $f (x) . g (x) = 〈 f, g 〉 = \int_{a}^{b} f . g d x .$ Se dice que dos funciones distintas f y g son ortogonales si $〈 f, g 〉 = 0 .$

121.

Demuestre que ${sen (2 x), cos (3 x)}$ son ortogonales en el intervalo $[− π, π] .$

122.

Evalúe $\int_{− π}^{π} sen (m x) cos (n x) d x .$

123.

Integre $y^{'} = \sqrt{tan x} {sec}^{4} x .$

Para cada par de integrales, determine cuál es más difícil de evaluar. Explique su razonamiento.

124.

$\int {sen}^{456} x cos x d x$ o $\int {sen}^{2} x {cos}^{2} x d x$

125.

$\int {tan}^{350} x {sec}^{2} x d x$ o $\int {tan}^{350} x sec x d x$

3.2 Integrales trigonométricas