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Cálculo volumen 2

4.3 Ecuaciones separables

Cálculo volumen 24.3 Ecuaciones separables

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 4.3.1 Utilizar la separación de variables para resolver una ecuación diferencial.
  • 4.3.2 Resolver aplicaciones utilizando la separación de variables.

A continuación examinamos una técnica de solución para hallar soluciones exactas a una clase de ecuaciones diferenciales conocidas como ecuaciones diferenciales separables. Estas ecuaciones son comunes en una gran variedad de disciplinas, como la física, la química y la ingeniería. Al final de la sección ilustramos algunas aplicaciones.

Separación de variables

Comenzamos con una definición y algunos ejemplos.

Definición

Una ecuación diferencial separable es cualquier ecuación que puede escribirse en la forma

y=f(x)g(y).y=f(x)g(y).
(4.3)

El término "separable" se refiere al hecho de que el lado derecho de la ecuación puede separarse en una función de xx veces una función de y.y. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales separables son

y=(x2 4)(3y+2 )y=6x2 +4xy=secy+tanyy=xy+3x2 y6.y=(x2 4)(3y+2 )y=6x2 +4xy=secy+tanyy=xy+3x2 y6.

La segunda ecuación es separable con f(x)=6x2 +4xf(x)=6x2 +4x y g(y)=1,g(y)=1, la tercera ecuación es separable con f(x)=1f(x)=1 y g(y)=secy+tany,g(y)=secy+tany, y el lado derecho de la cuarta ecuación se puede factorizar como (x2 )(y+3),(x2 )(y+3), por lo que también es separable. La tercera ecuación también se llama ecuación diferencial autónoma porque el lado derecho de la ecuación es una función de yy sola. Si una ecuación diferencial es separable, entonces es posible resolver la ecuación utilizando el método de separación de variables.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Separación de variables

  1. Compruebe si hay valores de yy que hacen g(y)=0.g(y)=0. Estos corresponden a soluciones constantes.
  2. Reescriba la ecuación diferencial en la forma dyg(y)=f(x)dx.dyg(y)=f(x)dx.
  3. Integre ambos lados de la ecuación.
  4. Resuelva la ecuación resultante para yy si es posible.
  5. Si existe una condición inicial, sustituya los valores adecuados por xx como yy en la ecuación y resuelva la constante.

Observe que el paso 4 indica "Resolver la ecuación resultante para yy si es posible" No siempre es posible obtener yy como función explícita de x.x. Muy a menudo tenemos que conformarnos con hallar yy como función implícita de x.x.

Ejemplo 4.10

Uso de la separación de variables

Halle una solución general a la ecuación diferencial y=(x2 4)(3y+2 )y=(x2 4)(3y+2 ) utilizando el método de separación de variables.

Punto de control 4.10

Utilice el método de separación de variables para hallar una solución general a la ecuación diferencial y=2 xy+3y4x6.y=2 xy+3y4x6.

Ejemplo 4.11

Resolución de un problema de valor inicial

Utilizando el método de separación de variables, resuelva el problema de valor inicial

y=(2 x+3)(y2 4),y(0)=−1.y=(2 x+3)(y2 4),y(0)=−1.

Punto de control 4.11

Halle la solución del problema de valor inicial

6y=(2 x+1)(y2 2 y8),y(0)=−36y=(2 x+1)(y2 2 y8),y(0)=−3

utilizando el método de separación de variables.

Aplicaciones de la separación de variables

Muchos problemas interesantes pueden describirse mediante ecuaciones separables. Ilustramos dos tipos de problemas: las concentraciones de soluciones y la ley de Newton del enfriamiento.

Concentraciones de soluciones

Considere un tanque que se llena con una solución salina. Queremos determinar la cantidad de sal presente en el tanque en función del tiempo. Podemos aplicar el proceso de separación de variables para resolver este problema y otros similares que impliquen concentraciones de soluciones.

Ejemplo 4.12

Determinación de la concentración de sal en el tiempo

Un tanque que contiene 100L100L de una solución de salmuera tiene inicialmente 4kg4kg de sal disuelta en la solución. En el tiempo t=0,t=0, otra solución de salmuera fluye hacia el tanque a una tasa de 2 L/min.2 L/min. Esta solución de salmuera contiene una concentración de 0,5kg/L0,5kg/L de sal. Al mismo tiempo, se abre una llave de paso en el fondo del tanque, lo que permite que la solución combinada salga a una tasa de 2 L/min,2 L/min, para que el nivel de líquido en el depósito se mantenga constante (Figura 4.16). Calcule la cantidad de sal en el tanque en función del tiempo (medido en minutos) y la cantidad límite de sal en el tanque, suponiendo que la solución en el tanque está bien mezclada en todo momento.

Un diagrama de un cilindro lleno de agua con entrada y salida. Se trata de un depósito de 100 litros que contiene inicialmente 4 kg de sal. La entrada es de 0,5 kg de sal/litro y 2 litros/minuto. La salida es de 2 litros/minuto.
Figura 4.16 Un tanque de salmuera con una cantidad inicial de solución salina admite un flujo de entrada y emite un flujo de salida. ¿Cómo cambia la cantidad de sal con el tiempo?

Punto de control 4.12

Un tanque contiene 33 kilogramos de sal disuelta en 7575 litros de agua. Una solución salina de 0,4kg de sal/L0,4kg de sal/L se bombea al tanque a una tasa de 6L/min6L/min y se drena a la misma tasa. Calcule la concentración de sal en el tiempo t.t. Suponga que el tanque está bien mezclado en todo momento.

Ley del enfriamiento de Newton

La ley del enfriamiento de Newton establece que la tasa de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su propia temperatura y la temperatura ambiente (es decir, la temperatura de su entorno). Supongamos que T(t)T(t) representa la temperatura de un objeto en función del tiempo, entonces dTdtdTdt representa la tasa a la que cambia esa temperatura. La temperatura del entorno del objeto puede representarse mediante Ts.Ts. Entonces la ley del enfriamiento de Newton se puede escribir en la forma

dTdt=k(T(t)Ts)dTdt=k(T(t)Ts)

o simplemente

dTdt=k(TTs).dTdt=k(TTs).
(4.6)

La temperatura del objeto al comienzo de cualquier experimento es el valor inicial del problema de valor inicial. Llamamos a esta temperatura T0.T0. Por tanto, el problema de valor inicial que hay que resolver tiene la forma

dTdt=k(TTs),T(0)=T0,dTdt=k(TTs),T(0)=T0,
(4.7)

donde kk es una constante que debe se debe dar o determinar en el contexto del problema. Utilizamos estas ecuaciones en el Ejemplo 4.13.

Ejemplo 4.13

Esperar a que se enfríe una pizza

Se saca una pizza del horno después de hornearla bien y su temperatura al salir del horno es 350°F.350°F. La temperatura de la cocina es 75°F,75°F, y después de 55 minutos la temperatura de la pizza es 340°F.340°F. Nos gustaría esperar hasta que la temperatura de la pizza alcance 300°F300°F antes de cortarla y servirla (Figura 4.17). ¿Cuánto tiempo más tendremos que esperar?

Un diagrama de una pizza. La temperatura ambiente es de 75 grados y la temperatura de la pizza es de 350 grados.
Figura 4.17 Por la ley del enfriamiento de Newton, si la pizza se enfría 10 ° F 10 ° F en 5 5 minutos, ¿cuánto tiempo pasará antes de que se enfríe a 300 ° F? 300 ° F?

Punto de control 4.13

Se retira un pastel del horno después de hornearlo completamente y la temperatura del pastel cuando sale del horno es 450°F.450°F. La temperatura de la cocina es 70 °F,70 °F, y después de 1010 minutos la temperatura del pastel es 330°F.330°F.

  1. Escriba el problema de valor inicial correspondiente para describir esta situación.
  2. Resuelva el problema de valor inicial para T(t).T(t).
  3. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que la temperatura del pastel tenga una diferencia menor que 5°F5°F de la temperatura ambiente?

Sección 4.3 ejercicios

Resuelva los siguientes problemas de valor inicial con la condición inicial y0=0y0=0 y grafique la solución.

119.

d y d t = y + 1 d y d t = y + 1

120.

d y d t = y 1 d y d t = y 1

121.

d y d t = y + 1 d y d t = y + 1

122.

d y d t = y 1 d y d t = y 1

Halle la solución general de la ecuación diferencial.

123.

x 2 y = ( x + 1 ) y x 2 y = ( x + 1 ) y

124.

y = tan ( y ) x y = tan ( y ) x

125.

y = 2 x y 2 y = 2 x y 2

126.

dydt=ycos(3t+2 )dydt=ycos(3t+2 ) grandes.

127.

2 x d y d x = y 2 2 x d y d x = y 2

128.

y = e y x 2 y = e y x 2

129.

(1+x)y=(x+2 )(y1)(1+x)y=(x+2 )(y1) grandes.

130.

dxdt=3t2 (x2 +4)dxdt=3t2 (x2 +4) grandes.

131.

t d y d t = 1 y 2 t d y d t = 1 y 2

132.

y = e x e y y = e x e y

Halle la solución del problema de valor inicial.

133.

y = e y x , y ( 0 ) = 0 y = e y x , y ( 0 ) = 0

134.

y = y 2 ( x + 1 ) , y ( 0 ) = 2 y = y 2 ( x + 1 ) , y ( 0 ) = 2

135.

d y d x = y 3 x e x 2 , y ( 0 ) = 1 d y d x = y 3 x e x 2 , y ( 0 ) = 1

136.

d y d t = y 2 e x sen ( 3 x ) , y ( 0 ) = 1 d y d t = y 2 e x sen ( 3 x ) , y ( 0 ) = 1

137.

y = x sech 2 y , y ( 0 ) = 0 y = x sech 2 y , y ( 0 ) = 0

138.

y = 2 x y ( 1 + 2 y ) , y ( 0 ) = –1 y = 2 x y ( 1 + 2 y ) , y ( 0 ) = –1

139.

d x d t = ln ( t ) 1 x 2 , x ( 1 ) = 0 d x d t = ln ( t ) 1 x 2 , x ( 1 ) = 0

140.

y = 3 x 2 ( y 2 + 4 ) , y ( 0 ) = 0 y = 3 x 2 ( y 2 + 4 ) , y ( 0 ) = 0

141.

y=ey5x,y(0)=ln(ln(5))y=ey5x,y(0)=ln(ln(5)) grandes.

142.

y = –2 x tan ( y ) , y ( 0 ) = π 2 y = –2 x tan ( y ) , y ( 0 ) = π 2

Para los siguientes problemas, utilice un programa de computadora o su calculadora para generar los campos de direcciones. Resuelva de manera explícita y dibuje las curvas de solución para varias condiciones iniciales. ¿Existen algunas condiciones iniciales críticas que cambien el comportamiento de la solución?

143.

[T] y=12 yy=12 y

144.

[T] y=y2 x3y=y2 x3

145.

[T] y=y3exy=y3ex

146.

[T] y=eyy=ey

147.

[T] y=yln(x)y=yln(x) grandes.

148.

La mayoría de los fármacos en el torrente sanguíneo se descomponen según la ecuación y=cy,y=cy, donde yy es la concentración del fármaco en el torrente sanguíneo. Si la vida media de un fármaco es de 2 2 horas, ¿qué fracción de la dosis inicial queda después de 66 ¿horas?

149.

Un medicamento se administra por vía intravenosa a un paciente a una tasa de rr mg/h y se elimina del organismo a una tasa proporcional a la cantidad de fármaco aún presente en el cuerpo, dd Plantee y resuelva la ecuación diferencial, suponiendo que no hay ningún fármaco inicialmente presente en el cuerpo.

150.

[T] ¿Con qué frecuencia debe tomarse un medicamento si su dosis es 33 mg, se elimina a una tasa de c=0,1c=0,1 mg/h y 11 mg es necesario que esté en el torrente sanguíneo en todo momento?

151.

Un tanque contiene 11 kilogramo de sal disuelta en 100100 litros de agua. Una solución salina de 0,10,1 kg de sal/L se bombea en el tanque a una tasa de 2 2 L/min y se drena a la misma tasa. Calcule la concentración de sal en el tiempo t.t. Supongamos que el tanque está bien mezclado.

152.

Un tanque que contiene 1010 kilogramos de sal disuelta en 1.0001.000 litros de agua se le bombean dos soluciones salinas. La primera solución de 0,20,2 kg de sal/L se bombea a una tasa de 2020 L/min y la segunda solución de 0,050,05 kg de sal/L se bombea a una tasa de 55 L/min. El tanque drena a 2525 L/min. Supongamos que el tanque está bien mezclado. Calcule la concentración de sal en el tiempo t.t.

153.

[T] Para el problema anterior, calcule la cantidad de sal que hay en el tanque 11 hora después del inicio del proceso.

154.

La ley de Torricelli establece que para un tanque de agua con un agujero en el fondo que tiene una sección transversal de AA y con una altura de agua hh por encima del fondo del tanque, la tasa de cambio del volumen de agua que fluye del tanque es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del agua, según dVdt=A2 gh,dVdt=A2 gh, donde gg es la aceleración debida a la gravedad. Tenga en cuenta que dVdt=Adhdt.dVdt=Adhdt. Resuelva el problema de valor inicial resultante para la altura del agua, suponiendo que el tanque tiene un agujero de radio 2 2 pies. La altura inicial del agua es 100100 pies.

155.

Para el problema anterior, determine el tiempo que tarda el tanque en vaciarse.

Para los siguientes problemas, utilice la ley del enfriamiento de Newton.

156.

La base líquida de un helado tiene una temperatura inicial de 200°F200°F antes de colocarla en un congelador con una temperatura constante de 0°F.0°F. Después de 11 hora, la temperatura de la base del helado ha disminuido a 140°F.140°F. Formule y resuelva el problema de valor inicial para determinar la temperatura del helado.

157.

[T] La base líquida de un helado tiene una temperatura inicial de 210°F210°F antes de colocarla en un congelador con una temperatura constante de 20 °F.20 °F. Después de 2 2 horas, la temperatura de la base del helado ha disminuido a 170°F.170°F. ¿A qué hora estará listo el helado para comerlo? (Supongamos que 30°F30°F es la temperatura óptima para comerlo).

158.

[T] Está organizando una fiesta de helados. La temperatura exterior es 80 °F80 °F y el helado está a 10°F.10°F. Después de 1010 minutos, la temperatura del helado ha aumentado 10°F.10°F. ¿Cuánto tiempo más puede esperar antes de que el helado se derrita a 40°F?40°F?

159.

Tiene una taza de café a una temperatura de 70°C70°C y la temperatura ambiente en la habitación es 20°C.20°C. Si suponemos una tasa de enfriamiento kde0,125,kde0,125, escriba y resuelva la ecuación diferencial para describir la temperatura del café con respecto al tiempo.

160.

[T] Tiene una taza de café a una temperatura de 70°C70°C que coloca en el exterior, donde la temperatura ambiente es 0°C.0°C. Después de 55 minutos, ¿cuánto se ha enfriado el café?

161.

Tiene una taza de café a una temperatura de 70°C70°C y vierte inmediatamente 11 porción de leche por 55 porciones de café. La leche está inicialmente a una temperatura de 1°C.1°C. Escriba y resuelva la ecuación diferencial que determina la temperatura de este café.

162.

Tiene una taza de café a una temperatura de 70°C,70°C, que deja enfriar 1010 minutos antes de verter la misma cantidad de leche a 1°C1°C como en el problema anterior. ¿Cómo se compara la temperatura con la taza anterior después de 1010 minutos?

163.

Resuelva el problema genérico y=ay+by=ay+b con condición inicial y(0)=c.y(0)=c.

164.

Demuestre la ecuación básica de interés compuesto continuo. Si suponemos un depósito inicial de P0P0 y una tasa de interés de r,r, plantee y resuelva una ecuación para el interés compuesto continuo.

165.

Supongamos una cantidad inicial de nutrientes de II kilogramos en un tanque con LL litros. Supongamos una concentración de cc kg/L que se bombea a una tasa de rr L/min. El tanque está bien mezclado y se vacía a una tasa de rr L/min. Halle la ecuación que describe la cantidad de nutrientes en el tanque.

166.

Las hojas se acumulan en el suelo del bosque a una tasa de 2 2 g/cm2/año y también se descomponen a una tasa de 90 %90 % por año. Escriba una ecuación diferencial que determine el número de gramos de hojarasca por centímetro cuadrado de suelo forestal, suponiendo que en el tiempo 00 no hay hojarasca en el suelo. ¿Se acerca esta cantidad a un valor estable? ¿Cuál es ese valor?

167.

Las hojas se acumulan en el suelo del bosque a una tasa de 44 g/cm2/año. Estas hojas se descomponen a una tasa de 10 %10 % por año. Escriba una ecuación diferencial que determine el número de gramos de hojarasca por centímetro cuadrado de suelo forestal. ¿Se acerca esta cantidad a un valor estable? ¿Cuál es ese valor?

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