Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

4.2.1 Dibujar el campo de direcciones para una ecuación diferencial de primer orden dada.
4.2.2 Utilizar un campo de direcciones para dibujar una curva de solución de una ecuación diferencial de primer orden.
4.2.3 Utilizar el método de Euler para aproximar la solución de una ecuación diferencial de primer orden.

En el resto de este capítulo nos centraremos en diversos métodos para resolver ecuaciones diferenciales y analizar el comportamiento de las soluciones. En algunos casos es posible predecir las propiedades de una solución de una ecuación diferencial sin conocer la solución real. También estudiaremos métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales, que pueden programarse utilizando diversos lenguajes informáticos o incluso utilizando un programa de hoja de cálculo, como Microsoft Excel.

Creación de campos de direcciones

Los campos de direcciones (también llamados campos de pendiente) son útiles para investigar las ecuaciones diferenciales de primer orden. En particular, consideramos una ecuación diferencial de primer orden de la forma

y' = f (x, y) .

Un ejemplo aplicado de este tipo de ecuación diferencial aparece en la ley de enfriamiento de Newton, que resolveremos explícitamente más adelante en este capítulo. Primero, sin embargo, vamos a crear un campo de direcciones para la ecuación diferencial

T^{'} (t) = −0,4 (T - 72) .

Aquí $T (t)$ representa la temperatura (en grados Fahrenheit) de un objeto en el tiempo $t,$ y la temperatura ambiente es $72 ° F .$ La Figura 4.6 muestra el campo de direcciones para esta ecuación.

Un gráfico de un campo de direcciones para la ecuación diferencial dada en los cuadrantes uno y dos. Las flechas apuntan directamente a la derecha en y = 72. Por debajo de esa línea, las flechas tienen una pendiente cada vez más positiva a medida que y disminuye. Por encima de esa línea, las flechas tienen una pendiente cada vez más negativa a medida que y aumenta. Las flechas señalan la convergencia en y = 72. Se dibujan dos soluciones: una para la temperatura inicial inferior a 72, y otra para temperaturas iniciales superiores a 72. La solución superior es una curva cóncava decreciente hacia arriba, que se acerca a y = 72 a medida que t llega al infinito. La solución inferior es una curva cóncava creciente hacia abajo, que se acerca a y = 72 a medida que t llega al infinito.

Figura 4.6 Campo de direcciones para la ecuación diferencial

T^{'} (t) = −0,4 (T - 72) .

Se representan dos soluciones: una con temperatura inicial inferior a

72 ° F

y la otra con temperatura inicial superior a

72 ° F .

La idea de un campo de direcciones es el hecho de que la derivada de una función evaluada en un punto determinado es la pendiente de la línea tangente al gráfico de esa función en el mismo punto. Otros ejemplos de ecuaciones diferenciales para las que podemos crear un campo de direcciones son

\begin{matrix} y' = 3 x + 2 y - 4 \\ y' = x^{2} - y^{2} \\ y' = \frac{2 x + 4}{y - 2} . \end{matrix}

Para crear un campo de dirección, empezamos con la primera ecuación: $y' = 3 x + 2 y - 4 .$ Suponemos que $(x_{0}, y_{0})$ es cualquier par ordenado, y sustituimos estos números en el lado derecho de la ecuación diferencial. Por ejemplo, si elegimos $x = 1 y y = 2,$ sustituyendo en el lado derecho de la ecuación diferencial se obtiene

\begin{matrix} y^{'} & = 3 x + 2 y - 4 \\ = 3 (1) + 2 (2) - 4 = 3. \end{matrix}

Esto nos dice que si una solución de la ecuación diferencial $y' = 3 x + 2 y - 4$ pasa por el punto $(1, 2),$ entonces la pendiente de la solución en ese punto debe ser igual a $3 .$ Para empezar a crear el campo de direcciones, ponemos un segmento de línea corto en el punto $(1, 2)$ con pendiente $3 .$ Podemos hacer esto para cualquier punto del dominio de la función $f (x, y) = 3 x + 2 y - 4,$ que consiste en todos los pares ordenados $(x, y)$ en $ℝ^{2} .$ Por lo tanto, cualquier punto del plano cartesiano tiene asociada una pendiente, suponiendo que por ese punto pasa una solución de la ecuación diferencial. El campo de direcciones para la ecuación diferencial $y^{'} = 3 x + 2 y - 4$ se muestra en la Figura 4.7.

Un gráfico del campo de direcciones para la ecuación diferencial y' = 3 x + 2 y - 4 en los cuatro cuadrantes. En los cuadrantes dos y tres, las flechas apuntan hacia abajo y ligeramente hacia la derecha. En una línea diagonal, aproximadamente y = -x + 2, las flechas apuntan cada vez más a la derecha, se curvan y luego apuntan hacia arriba por encima de esa línea.

Figura 4.7 Campo de direcciones para la ecuación diferencial

y' = 3 x + 2 y - 4 .

Podemos generar un campo de direcciones de este tipo para cualquier ecuación diferencial de la forma $y' = f (x, y) .$

Definición

Un campo de direcciones (campo de pendiente) es un objeto matemático utilizado para representar gráficamente las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden. En cada punto de un campo de direcciones aparece un segmento de línea cuya pendiente es igual a la de la solución de la ecuación diferencial que pasa por ese punto.

Uso de los campos de direcciones

Podemos utilizar un campo de direcciones para predecir el comportamiento de las soluciones de una ecuación diferencial sin conocer la solución real. Por ejemplo, el campo de direcciones en la Figura 4.7 sirve de guía para el comportamiento de las soluciones de la ecuación diferencial $y' = 3 x + 2 y - 4 .$

Para utilizar un campo de direcciones, empezamos eligiendo cualquier punto del campo. El segmento de línea en ese punto sirve como señal que nos indica la dirección que debemos tomar a partir de ahí. Por ejemplo, si una solución de la ecuación diferencial pasa por el punto $(0, 1),$ entonces la pendiente de la solución que pasa por ese punto viene dada por $y' = 3 (0) + 2 (1) - 4 = –2 .$ Ahora supongamos que $x$ aumenta ligeramente, digamos que a $x = 0,1 .$ Utilizando el método de aproximaciones lineales se obtiene una fórmula para el valor aproximado de $y$ para $x = 0,1 .$ En particular,

\begin{matrix} L (x) & = y_{0} + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) \\ = 1 - 2 (x - 0) \\ = 1 - 2 x . \end{matrix}

Sustituyendo $x = 0,1$ en $L (x)$ da un valor $y$ aproximado de $0,8 .$

En este punto la pendiente de la solución cambia (de nuevo según la ecuación diferencial). Podemos seguir avanzando, recalculando la pendiente de la solución a medida que damos pequeños pasos hacia la derecha, y observando el comportamiento de la solución. La Figura 4.8 muestra un gráfico de la solución que pasa por el punto $(0, 1) .$

Figura 4.8 Campo de direcciones para la ecuación diferencial

y' = 3 x + 2 y - 4

con la solución que pasa por el punto

(0, 1) .

La curva es el gráfico de la solución del problema de valor inicial

y' = 3 x + 2 y - 4, y (0) = 1 .

Esta curva se denomina curva solución que pasa por el punto $(0, 1) .$ La solución exacta de este problema de valor inicial es

y = - \frac{3}{2} x + \frac{5}{4} - \frac{1}{4} e^{2 x},

y el gráfico de esta solución es idéntico a la curva en la Figura 4.8.

Punto de control 4.7

Cree un campo de direcciones para la ecuación diferencial $y' = x^{2} - y^{2}$ y dibuje una curva solución que pase por el punto $(–1, 2) .$

Medios

Vaya a este sitio web para ver más sobre los campos de pendiente.

Consideremos ahora el campo de direcciones para la ecuación diferencial $y' = (x - 3) (y^{2} - 4),$ se muestra en la Figura 4.9. Este campo de direcciones tiene varias propiedades interesantes. En primer lugar, en $y = −2$ y $y = 2,$ aparecen guiones horizontales en todo el gráfico. Esto significa que si $y = –2,$ entonces $y' = 0 .$ Sustituyendo esta expresión en el lado derecho de la ecuación diferencial se obtiene

\begin{matrix} (x - 3) (y^{2} - 4) & = (x - 3) ((−2)^{2} - 4) \\ = (x - 3) (0) \\ = 0 \\ = y' . \end{matrix}

Por lo tanto, $y = −2$ es una solución de la ecuación diferencial. De la misma manera, $y = 2$ es una solución de la ecuación diferencial. Estas son las únicas soluciones de valor constante de la ecuación diferencial, como podemos ver en el siguiente argumento. Supongamos que $y = k$ es una solución constante de la ecuación diferencial. Entonces $y^{'} = 0 .$ Sustituyendo esta expresión en la ecuación diferencial se obtiene $0 = (x - 3) (k^{2} - 4) .$ Esta ecuación debe ser cierta para todos los valores de $x,$ por lo que el segundo factor debe ser igual a cero. Este resultado produce la ecuación $k^{2} - 4 = 0 .$ Las soluciones de esta ecuación son $k = −2$ y $k = 2,$ que son las soluciones constantes ya mencionadas. Estas son las llamadas soluciones de equilibrio de la ecuación diferencial.

Un campo de direcciones para la ecuación diferencial dada. Las flechas son horizontales y apuntan hacia la derecha en y = -4, y = 4 y x = 6. Cuanto más cerca están las flechas de x = 6, más horizontales se vuelven. Cuanto más lejos, más verticales son. Las flechas apuntan hacia abajo para y > 4 y y < 4, -4 < y < 4 y x > 6 y y < -4 y x < 6. En todas las demás áreas, las flechas apuntan hacia arriba.

Figura 4.9 Campo de direcciones para la ecuación diferencial

y' = (x - 3) (y^{2} - 4)

mostrando dos soluciones. Estas soluciones están muy próximas, pero una de ellas está apenas por encima de la solución de equilibrio

x = −2

y la otra está apenas por debajo de la misma solución de equilibrio.

Definición

Consideremos la ecuación diferencial $y' = f (x, y) .$ Una solución de equilibrio es cualquier solución de la ecuación diferencial de la forma $y = c,$ donde $c$ es una constante.

Para determinar las soluciones de equilibrio de la ecuación diferencial $y' = f (x, y),$ iguale el lado derecho a cero. Una solución de equilibrio de la ecuación diferencial es cualquier función de la forma $y = k$ tal que $f (x, k) = 0$ para todos los valores de $x$ en el dominio de $f .$

Una característica importante de las soluciones de equilibrio es si se acercan o no a la línea $y = k$ como asíntota para valores grandes de $x .$

Definición

Consideremos la ecuación diferencial $y^{'} = f (x, y),$ y supongamos que todas las soluciones de esta ecuación diferencial están definidas para $x \geq x_{0} .$ Supongamos que $y = k$ sea una solución de equilibrio de la ecuación diferencial.

$y = k$ es una solución asintóticamente estable de la ecuación diferencial si existe $ε > 0$ tal que para cualquier valor $c \in (k - ε, k + ε)$ la solución del problema de valor inicial

$y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = c$

se acerca a $k$ como $x$ se acerca al infinito.
$y = k$ es una solución asintóticamente inestable de la ecuación diferencial si existe $ε > 0$ tal que para cualquier valor $c \in (k - ε, k + ε)$ la solución del problema de valor inicial

$y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = c$

nunca se acerca a $k$ como $x$ se acerca al infinito.
$y = k$ es una solución asintóticamente semiestable de la ecuación diferencial si no es ni asintóticamente estable ni asintóticamente inestable.

Ahora volvemos a la ecuación diferencial $y' = (x - 3) (y^{2} - 4),$ con la condición inicial $y (0) = 0,5 .$ El campo de direcciones para este problema de valores iniciales, junto con la solución correspondiente, se muestra en la Figura 4.10.

Figura 4.10 Campo de direcciones para el problema de valor inicial

y' = (x - 3) (y^{2} - 4), y (0) = 0,5 .

Los valores de la solución de este problema de valor inicial se mantienen entre $y = −2$ y $y = 2,$ que son las soluciones de equilibrio de la ecuación diferencial. Sin embargo, un problema de valor inicial que comienza con $- 2 < y < 2$ nunca puede cruzar las soluciones de equilibrio $y = 2$ y $y = −2$ . Por lo tanto, dado que $y^{2} - 4 < 0$ y para $x > 3, y' = (x - 3) (y^{2} - 4) < 0$ , $y$ es decreciente y por eso se acerca a $y = - 2$ . Por lo tanto, $y = - 2$ es una solución asintóticamente estable de la ecuación diferencial.

¿Qué ocurre cuando el valor inicial es inferior a $y = −2 ?$ Este escenario se ilustra en la Figura 4.11, con el valor inicial $y (0) = −3 .$

Figura 4.11 Campo de direcciones para el problema de valor inicial

y' = (x - 3) (y^{2} - 4), y (0) = −3 .

Podemos ver que para los valores iniciales $y < - 2$ por $x > 3, y' (x - 3) (y^{2} - 4) > 0$ y $y$ es creciente y por eso se acerca a $y = - 2$ . Esto reafirma que $y = - 2$ es una solución asintóticamente estable de la ecuación diferencial.

Ejemplo 4.8

Estabilidad de una solución de equilibrio

Cree un campo de direcciones para la ecuación diferencial $y' = {(y - 3)}^{2} (y^{2} + y - 2)$ e identifique cualquier solución de equilibrio. Clasifique cada una de las soluciones de equilibrio como estable, inestable o semiestable.

Solución

El campo de direcciones se muestra en la Figura 4.12.

Un gráfico de un campo de direcciones con flechas apuntando hacia la derecha en y = -4, y = 2 y y = 6. Para y < -4, las flechas apuntan hacia arriba. Para -4 < y < 2, las flechas apuntan hacia abajo. Para 2 < y <6, las flechas apuntan hacia arriba, haciéndose cada vez más planas a medida que se acercan a y = 6. Para y > 6, las flechas apuntan hacia arriba y se vuelven más y más verticales cuanto más se alejan de y = 6.

Figura 4.12 Campo de direcciones para la ecuación diferencial

y' = {(y - 3)}^{2} (y^{2} + y - 2) .

Las soluciones de equilibrio son $y = –2, y = 1,$ y $y = 3 .$ Para clasificar cada una de las soluciones, fíjese en la flecha que hay justo encima o debajo de cada uno de estos valores. Por ejemplo, en $y = −2$ las flechas situadas justo debajo de esta solución apuntan hacia arriba, y las flechas situadas justo encima de la solución apuntan hacia abajo. Por lo tanto, todas las condiciones iniciales cercanas a $y = −2$ se acercan a $y = –2,$ y la solución es estable. Para la solución $y = 1,$ todas las condiciones iniciales arriba y abajo de $y = 1$ se repelen (se alejan) de $y = 1,$ por lo que esta solución es inestable. La solución $y = 3$ es semiestable, porque para condiciones iniciales ligeramente superiores a $3,$ la solución se acerca al infinito, y para condiciones iniciales ligeramente inferiores a $3,$ la solución se acerca a $y = 3 .$

Análisis

Es posible hallar las soluciones de equilibrio de la ecuación diferencial igualando el lado derecho a cero y resolviendo para $y .$ Este enfoque da las mismas soluciones de equilibrio que las que vimos en el campo de direcciones.

Punto de control 4.8

Cree un campo de direcciones para la ecuación diferencial $y' = (x + 5) (y + 2) (y^{2} - 4 y + 4)$ e identifique cualquier solución de equilibrio. Clasifique cada una de las soluciones de equilibrio como estable, inestable o semiestable.

Método de Euler

Consideremos el problema de valor inicial

y^{'} = 2 x - 3, y (0) = 3 .

Integrando ambos lados de la ecuación diferencial se obtiene $y = x^{2} - 3 x + C,$ y resolviendo para $C$ se obtiene la solución particular $y = x^{2} - 3 x + 3 .$ La solución de este problema de valor inicial aparece como la parábola en la Figura 4.13.

Un gráfico en el rango [-1,4] para x y y. La parábola de apertura ascendente dada se dibuja con vértice en (1,5, 0,75). Los puntos individuales se representan en (0, 3), (0,5, 1,5), (1, 0,5), (1,5, 0), (2, 0), (2,5, 0,5) y (3, 1,5) con segmentos de línea que los conectan.

Figura 4.13 Método de Euler para el problema de valor inicial

y^{'} = 2 x - 3, y (0) = 3 .

El gráfico rojo está compuesto por segmentos de línea que se aproximan a la solución del problema de valor inicial. El gráfico comienza con el mismo valor inicial de $(0, 3) .$ Entonces la pendiente de la solución en cualquier punto está determinada por el lado derecho de la ecuación diferencial, y la longitud del segmento de la línea se determina aumentando el valor $x$ por $0,5$ cada vez (el tamaño del paso). Este enfoque es la base del método de Euler.

Antes de enunciar el método de Euler como un teorema, consideremos otro problema de valor inicial:

y^{'} = x^{2} - y^{2}, y (–1) = 2 .

La idea de los campos de direcciones también puede aplicarse a este problema para estudiar el comportamiento de su solución. Por ejemplo, en el punto $(–1, 2),$ la pendiente de la solución está dada por $y' = {(–1)}^{2} - 2^{2} = −3,$ por lo que la pendiente de la línea tangente a la solución en ese punto también es igual a $−3 .$ Ahora definimos $x_{0} = –1$ y $y_{0} = 2 .$ Como la pendiente de la solución en este punto es igual a $−3,$ podemos utilizar el método de aproximación lineal para aproximar $y$ cerca de $(–1, 2) .$

L (x) = y_{0} + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .

Aquí $x_{0} = −1, y_{0} = 2,$ y $f^{'} (x_{0}) = −3,$ por lo que la aproximación lineal se convierte en

\begin{matrix} L (x) & = 2 - 3 (x - (–1)) \\ = 2 - 3 x - 3 \\ = −3 x - 1 \end{matrix}

Ahora elegimos un tamaño de paso. El tamaño del paso es un valor pequeño, normalmente $0,1$ o menos, que sirve de incremento para $x;$ se representa con la variable $h .$ En nuestro ejemplo, supongamos que $h = 0,1 .$ Incrementando $x_{0}$ por $h$ da nuestro siguiente valor $x$ :

x_{1} = x_{0} + h = −1 + 0,1 = −0,9 .

Podemos sustituir $x_{1} = −0,9$ en la aproximación lineal para calcular $y_{1} .$

\begin{matrix} y_{1} & = L (x_{1}) \\ = −3 (−0,9) - 1 \\ = 1,7. \end{matrix}

Por lo tanto, el valor aproximado $y$ de la solución cuando $x = −0,9$ es $y = 1,7 .$ Podemos entonces repetir el proceso, utilizando $x_{1} = −0,9$ y $y_{1} = 1,7$ para calcular $x_{2}$ y $y_{2} .$ La nueva pendiente está dada por $y' = {(−0,9)}^{2} - {(1,7)}^{2} = −2,08 .$ Primero, $x_{2} = x_{1} + h = −0,9 + 0,1 = −0,8 .$ Utilizando la aproximación lineal se obtiene

\begin{matrix} L (x) & = y_{1} + f^{'} (x_{1}) (x - x_{1}) \\ = 1,7 - 2,08 (x - (−0,9)) \\ = 1,7 - 2,08 x - 1,872 \\ = −2,08 x - 0,172. \end{matrix}

Por último, sustituimos $x_{2} = −0,8$ en la aproximación lineal para calcular $y_{2} .$

\begin{matrix} y_{2} & = L (x_{2}) \\ = −2,08 x_{2} - 0,172 \\ = −2,08 (−0,8) - 0,172 \\ = 1,492. \end{matrix}

Por tanto, el valor aproximado de la solución de la ecuación diferencial es $y = 1,492$ cuando $x = −0,8 .$

Lo que acabamos de mostrar es la idea en la que se basa el método de Euler. Repitiendo estos pasos se obtiene una lista de valores para la solución. Estos valores se muestran en la Tabla 4.2, redondeados a cuatro decimales.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$x_{n}$	$−1$	$−0,9$	$−0,8$	$−0,7$	$−0,6$	$−0,5$
$y_{n}$	$2$	$1,7$	$1,492$	$1,3334$	$1,2046$	$1,0955$
$n$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$x_{n}$	$−0,4$	$−0,3$	$−0,2$	$−0,1$	$0$
$y_{n}$	$1,0004$	$1,9164$	$1,8414$	$1,7746$	$1,7156$

Tabla 4.2 Usar el método de Euler para aproximar soluciones a una ecuación diferencial

Teorema 4.1

Método de Euler

Consideremos el problema de valor inicial

$y' = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0} .$

Para aproximar una solución a este problema utilizando el método de Euler, defina

\begin{matrix} x_{n} = x_{0} + n h \\ y_{n} = y_{n - 1} + h f (x_{n - 1}, y_{n - 1}) . \end{matrix}

(4.2)

Aquí $h > 0$ representa el tamaño de paso y $n$ es un número entero, empezando por $1 .$ El número de pasos dados se cuenta con la variable $n .$

Normalmente $h$ es un valor pequeño, por ejemplo $0,1$ o $0,05 .$ Cuanto menor sea el valor de $h,$ más cálculos se necesitan. Cuanto mayor sea el valor de $h,$ menos cálculos se necesitan. Sin embargo, la compensación resulta en un menor grado de exactitud para un tamaño de paso mayor, como se ilustra en la Figura 4.14.

Dos gráficos de la misma parábola, y = x ^ 2 - 3 x + 3. El primero muestra el método de Euler para el problema de valor inicial dado con un tamaño de paso de h = 0,05, y el segundo muestra el método de Euler con un tamaño de paso de h = 0,25. El primero tiene los puntos (0, 3), (0,5, 1,5), (1, 0,5), (1,5, 0), (2, 0), (2,5, 0,5) y (3, 1,5) trazados con segmentos de línea que los conectan. El segundo tiene los puntos (0, 3), (0,25, 2,25), (0,5, 1,625), (0,75, 1,125), (1, 0,75), (1,25, 0,5), (1,5, 0,375), (2, 0,5), (2,25, 0,75), (2,5, 1,125), (2,75, 1,625) y (3, 2,25) trazados con segmentos de línea que los conectan.

Figura 4.14 Método de Euler para el problema de valor inicial

y^{'} = 2 x - 3, y (0) = 3

con (a) un tamaño de paso de

h = 0,5;

y (b) un tamaño de paso de

h = 0,25 .

Ejemplo 4.9

Uso del método de Euler

Consideremos el problema de valor inicial

y^{'} = 3 x^{2} - y^{2} + 1, y (0) = 2 .

Utilice el método de Euler con un tamaño de paso de $0,1$ para generar una tabla de valores de la solución para valores de $x$ entre $0$ y $1 .$

Solución

Nos dan $h = 0,1$ y $f (x, y) = 3 x^{2} - y^{2} + 1 .$ Además, la condición inicial $y (0) = 2$ da como resultado $x_{0} = 0$ y $y_{0} = 2 .$ Utilizando la Ecuación 4.2 con $n = 0,$ podemos generar la Tabla 4.3.

$n$	$x_{n}$	$y_{n} = y_{n - 1} + h f (x_{n - 1}, y_{n - 1})$ grandes.
$0$	$0$	$2$
$1$	$0,1$	$y_{1} = y_{0} + h f (x_{0}, y_{0}) = 1,7$
$2$	$0,2$	$y_{2} = y_{1} + h f (x_{1}, y_{1}) = 1,514$
$3$	$0,3$	$y_{3} = y_{2} + h f (x_{2}, y_{2}) = 1,3968$
$4$	$0,4$	$y_{4} = y_{3} + h f (x_{3}, y_{3}) = 1,3287$
$5$	$0,5$	$y_{5} = y_{4} + h f (x_{4}, y_{4}) = 1,3001$
$6$	$0,6$	$y_{6} = y_{5} + h f (x_{5}, y_{5}) = 1,3061$
$7$	$0,7$	$y_{7} = y_{6} + h f (x_{6}, y_{6}) = 1,3435$
$8$	$0,8$	$y_{8} = y_{7} + h f (x_{7}, y_{7}) = 1,4100$
$9$	$0,9$	$y_{9} = y_{8} + h f (x_{8}, y_{8}) = 1,5032$
$10$	$1,0$	$y_{10} = y_{9} + h f (x_{9}, y_{9}) = 1,6202$

Tabla 4.3 Usar el método de Euler para aproximar soluciones a una ecuación diferencial

Con diez cálculos, podemos aproximar los valores de la solución del problema de valor inicial para valores de $x$ entre $0$ y $1 .$

Medios

Para obtener más información sobre el método de Euler utilice esta miniaplicación.

Punto de control 4.9

Consideremos el problema de valor inicial

y^{'} = x^{3} + y^{2}, y (1) = –2 .

Utilizando un tamaño de paso de $0,1,$ genere una tabla con los valores aproximados de la solución del problema de valor inicial para los valores de $x$ entre $1$ y $2 .$

Medios

Visite este sitio web para ver una aplicación práctica del material de esta sección.

Sección 4.2 ejercicios

Para los siguientes problemas, utilice el siguiente campo de direcciones de la ecuación diferencial $y' = –2 y .$ Dibuje el gráfico de la solución para las condiciones iniciales dadas.

Un campo de direcciones con flechas horizontales que apuntan hacia la derecha en 0. Las flechas sobre el eje x apuntan hacia abajo y hacia la derecha. Cuanto más lejos del eje x, más pronunciadas son las flechas, y cuanto más cerca del eje x, más planas son las flechas. Asimismo, las flechas situadas bajo el eje x apuntan hacia arriba y hacia la derecha. Cuanto más lejos del eje x, más pronunciadas son las flechas, y cuanto más cerca del eje x, más planas son las flechas.

66.

$y (0) = 1$

67.

$y (0) = 0$

68.

$y (0) = –1$

69.

¿Existe algún equilibrio? ¿Cuáles son sus estabilidades?

Para los siguientes problemas, utilice el siguiente campo de direcciones de la ecuación diferencial $y' = y^{2} - 2 y .$ Dibuje el gráfico de la solución para las condiciones iniciales dadas.

Un campo de direcciones con flechas horizontales en y = 0 y y = 2. Las flechas apuntan hacia arriba para y > 2 y para y < 0. Las flechas apuntan hacia abajo para 0 < y < 2. Cuanto más cerca están las flechas de estas líneas, son más horizontales, y cuanto más lejos, son más verticales.

70.

$y (0) = 3$

71.

$y (0) = 1$

72.

$y (0) = –1$

73.

¿Existe algún equilibrio? ¿Cuáles son sus estabilidades?

Dibuje el campo de direcciones para las siguientes ecuaciones diferenciales, luego resuelva la ecuación diferencial. Dibuje su solución sobre el campo de direcciones. ¿Su solución sigue las flechas de su campo de direcciones?

74.

$y' = t^{3}$

75.

$y' = e^{t}$

76.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} cos x$

77.

$\frac{d y}{d t} = t e^{t}$

78.

$\frac{d x}{d t} = cosh (t)$

Dibuje el campo de direcciones para las siguientes ecuaciones diferenciales. ¿Qué puede decir sobre el comportamiento de la solución? ¿Existen equilibrios? ¿Qué estabilidad tienen estos equilibrios?

79.

$y' = y^{2} - 1$

80.

$y' = y - x$

81.

$y' = 1 - y^{2} - x^{2}$

82.

$y' = t^{2} sen y$

83.

$y' = 3 y + x y$

Haga coincidir el campo de direcciones con las ecuaciones diferenciales dadas. Explique sus selecciones.

Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia abajo y hacia la derecha en los cuadrantes dos y tres. Después de cruzar el eje y, las flechas cambian de dirección y apuntan hacia la derecha.

Un campo de direcciones con flechas horizontales que apuntan hacia la izquierda en los cuadrantes dos y tres. Al cruzar el eje y, las flechas cambian y apuntan hacia arriba en los cuadrantes uno y cuatro.

Un campo de direcciones con flechas horizontales que apuntan hacia la derecha en el eje x. Arriba, las flechas apuntan hacia abajo y a la derecha, y debajo, las flechas apuntan hacia arriba y a la derecha. Cuanto más lejos del eje x, más verticales se vuelven las flechas.

Un campo de direcciones con flechas horizontales en los ejes x y y. Las flechas apuntan hacia abajo y hacia la derecha en los cuadrantes uno y tres. Apuntan hacia arriba y hacia la derecha en los cuadrantes dos y cuatro.

Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia arriba en los cuadrantes dos y tres, hacia la derecha en el eje y, y hacia abajo en los cuadrantes uno y cuatro.

84.

$y' = −3 y$

85.

$y' = −3 t$

86.

$y' = e^{t}$

87.

$y' = \frac{1}{2} y + t$

88.

$y' = − t y$

Haga coincidir el campo de direcciones con las ecuaciones diferenciales dadas. Explique sus selecciones.

Un campo de direcciones con flechas horizontales que apuntan hacia la derecha en los ejes x y y. En los cuadrantes uno y tres, las flechas apuntan hacia arriba, y en los cuadrantes dos y cuatro, hacia abajo.

Un campo de direcciones con flechas horizontales que apuntan hacia la derecha en los ejes x y y. En los cuadrantes dos y tres, las flechas apuntan hacia abajo, y en los cuadrantes uno y cuatro, hacia arriba.

Un campo de direcciones con flechas horizontales que apuntan hacia la derecha en el eje x. Las flechas apuntan hacia arriba y hacia la derecha en todos los cuadrantes. Cuanto más cerca están las flechas del eje x, más horizontales son, y cuanto más lejos están, más verticales son.

Un campo de direcciones con flechas horizontales en el eje y. Las flechas también son más horizontales cerca de y = 1,5, y = -1,5, y el eje y. Para y > 1,5 y x < 0, para y < -1,5 y x < 0, y para -1,5 < y < 1,5 y x > 0-, las flechas apuntan hacia abajo. Para y> 1,5 y x > 0, para y < -1,5, para y < -1,5 y x > 0, y para -1,5 < y < 1,5 y x < 0, las flechas apuntan hacia arriba.

89.

$y' = t sen y$

90.

$y' = − t cos y$

91.

$y' = t tan y$

92.

$y' = {sen}^{2} y$

93.

$y' = y^{2} t^{3}$

Estime las siguientes soluciones mediante el método de Euler con $n = 5$ pasos sobre el intervalo $t = [0, 1] .$ Si es capaz de resolver el problema de valor inicial exactamente, compare su solución con la solución exacta. Si no puede resolver el problema de valor inicial, se le proporcionará la solución exacta para que la compare con el método de Euler. ¿Qué precisión tiene el método de Euler?

94.

$y' = −3 y, y (0) = 1$

95.

$y' = t^{2}$

96.

$y^{'} = 3 t - y, y (0) = 1 .$ La solución exacta es $y = 3 t + 4 e^{− t} - 3$

97.

$y^{'} = y + t^{2}, y (0) = 3 .$ La solución exacta es $y = 5 e^{t} - 2 - t^{2} - 2 t$

98.

$y^{'} = 2 t, y (0) = 0$

99.

[T] $y' = e^{(x + y)}, y (0) = −1 .$ La solución exacta es $y = − ln (e + 1 - e^{x})$ grandes.

100.

$y^{'} = y^{2} ln (x + 1), y (0) = 1 .$ La solución exacta es $y = - \frac{1}{(x + 1) (ln (x + 1) - 1)}$ grandes.

101.

$y^{'} = 2^{x}, y (0) = 0,$ La solución exacta es $y = \frac{2^{x} - 1}{ln (2)}$ grandes.

102.

$y^{'} = y, y (0) = −1 .$ La solución exacta es $y = − e^{x} .$

103.

$y^{'} = −5 t, y (0) = –2 .$ La solución exacta es $y = - \frac{5}{2} t^{2} - 2$

Las ecuaciones diferenciales pueden utilizarse para modelar epidemias de enfermedades. En el siguiente conjunto de problemas, examinamos el cambio de tamaño de dos subpoblaciones de personas que viven en una ciudad: los individuos infectados y los individuos susceptibles a la infección. $S$ representa el tamaño de la población susceptible, e $I$ representa el tamaño de la población infectada. Suponemos que si una persona susceptible interactúa con una persona infectada, existe una probabilidad $c$ que la persona susceptible se infecte. Cada persona infectada se recupera de la infección a una tasa $r$ y vuelve a ser susceptible. Consideramos el caso de la gripe, en el que suponemos que nadie muere por la enfermedad, por lo que suponemos que el tamaño total de la población de las dos subpoblaciones es un número constante, $N .$ Las ecuaciones diferenciales que modelan estos tamaños de población son

\begin{matrix} S' = r I - c S I y \\ I' = c S I - r I . \end{matrix}

Aquí $c$ representa la tasa de contacto y $r$ es la tasa de recuperación.

104.

Demuestre que, por nuestra suposición de que el tamaño total de la población es constante $(S + I = N),$ se puede reducir el sistema a una única ecuación diferencial en $I : I' = c (N - I) I - r I .$

105.

Suponiendo que los parámetros sean $c = 0,5, N = 5,$ y $r = 0,5,$ dibuje el campo de direcciones resultante.

106.

[T] Utilice un programa de computadora o una calculadora para calcular la solución del problema de valor inicial $y' = t y, y (0) = 2$ utilizando el método de Euler con el tamaño de paso dado $h .$ Halle la solución en $t = 1 .$ A modo de pista, aquí se presenta el "pseudocódigo" de cómo escribir un programa de computadora para realizar el Método de Euler para $y' = f (t, y), y (0) = 2 :$

Cree la función $f (t, y)$

Defina los parámetros $y (1) = y_{0}, t (0) = 0,$ tamaño de paso $h,$ y número total de pasos, $N$

Escriba un bucle for:

para $k = 1 hasta N$

$fn = f (t (k), y (k))$ grandes.

$y (k+1) = y (k) + h*fn$

$t (k+1) = t (k) + h$

107.

Resuelva el problema de valor inicial para la solución exacta.

108.

Dibuje el campo de direcciones

109.

$h = 1$

110.

[T] $h = 10$

111.

[T] $h = 100$

112.

[T] $h = 1.000$

113.

[T] Evalúe la solución exacta en $t = 1 .$ Haga una tabla de errores para el error relativo entre la solución del método de Euler y la solución exacta. ¿Cuánto cambia el error? ¿Puede explicarlo?

Consideremos el problema de valor inicial $y' = –2 y, y (0) = 2 .$

114.

Demuestre que $y = 2 e^{−2 x}$ resuelve este problema de valor inicial.

115.

Dibuje el campo de direcciones de esta ecuación diferencial.

116.

[T] A mano o con calculadora o computadora, aproxime la solución mediante el método de Euler en $t = 10$ utilizando $h = 5 .$

117.

[T] Con una calculadora o una computadora, aproxime la solución mediante el método de Euler a $t = 10$ utilizando $h = 100 .$

118.

[T] Grafique la respuesta exacta y cada aproximación de Euler (para $h = 5$ y $h = 100)$ en cada $h$ en el campo de direcciones ¿Qué observa?

4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos

Creación de campos de direcciones

Uso de los campos de direcciones

Estabilidad de una solución de equilibrio

Solución

Análisis

Método de Euler

Método de Euler

Uso del método de Euler

Solución

Sección 4.2 ejercicios