Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

4.5.1 Escribir una ecuación diferencial lineal de primer orden en forma estándar.
4.5.2 Hallar un factor de integración y utilizarlo para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden.
4.5.3 Resolver problemas aplicados que impliquen ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Previamente, estudiamos una aplicación de una ecuación diferencial de primer orden que implicaba resolver la velocidad de un objeto. En particular, si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de $v_{0}$ ft/s, entonces se plantea un problema de valor inicial que describe la velocidad de la pelota después de $t$ segundos viene dada por

\frac{d v}{d t} = −32, v (0) = v_{0} .

Este modelo supone que la única fuerza que actúa sobre la pelota es la gravedad. Ahora añadimos al problema la posibilidad de que la resistencia del aire actúe sobre la pelota.

La resistencia del aire siempre actúa en la dirección opuesta al movimiento. Por lo tanto, si un objeto se eleva, la resistencia del aire actúa en dirección descendente. Si el objeto está cayendo, la resistencia del aire actúa en dirección ascendente (Figura 4.24). No existe una relación exacta entre la velocidad de un objeto y la resistencia del aire que actúa sobre él. Para objetos muy pequeños, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad; es decir, la fuerza debida a la resistencia del aire es igual numéricamente a alguna constante $k$ veces $v .$ Para objetos más grandes (p. ej., del tamaño de una pelota de béisbol), dependiendo de la forma, la resistencia del aire puede ser aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad. De hecho, la resistencia del aire puede ser proporcional a $v^{1,5},$ o $v^{0,9},$ o alguna otra potencia de $v .$

Un diagrama de una pelota de béisbol con una flecha por encima que apunta hacia arriba y una flecha por debajo que apunta hacia abajo. La flecha superior está etiquetada como "resistencia del aire -kv" y la flecha inferior como "g = –9,8 m/s ^ 2".

Figura 4.24 Fuerzas que actúan sobre una pelota de béisbol en movimiento: la gravedad actúa en dirección descendente y la resistencia del aire actúa en dirección opuesta a la del movimiento.

Trabajaremos con la aproximación lineal para la resistencia del aire. Si asumimos $k > 0,$ entonces la expresión para la fuerza $F_{A}$ debido a la resistencia del aire está dada por $F_{A} = − k v .$ Por tanto, la suma de las fuerzas que actúan sobre el objeto es igual a la suma de la fuerza gravitatoria y la fuerza debida a la resistencia del aire. Esto, a su vez, es igual a la masa del objeto multiplicada por su aceleración en el tiempo $t$ (segunda ley de Newton). Esto nos da la ecuación diferencial

m \frac{d v}{d t} = − k v - m g .

Por último, imponemos una condición inicial $v (0) = v_{0},$ donde $v_{0}$ es la velocidad inicial medida en metros por segundo. Esto hace que $g = 9,8 {m/s}^{2} .$ El problema de valor inicial se convierta en

m \frac{d v}{d t} = − k v - m g, v (0) = v_{0} .

(4.13)

La ecuación diferencial de este problema de valor inicial es un ejemplo de ecuación diferencial lineal de primer orden (recuerde que una ecuación diferencial es de primer orden si la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación es $1)$ En esta sección, estudiamos las ecuaciones lineales de primer orden y examinamos un método para hallar una solución general a este tipo de ecuaciones, así como para resolver problemas de valor inicial que las involucran.

Definición

Una ecuación diferencial de primer orden es lineal si se puede escribir de la forma

a (x) y^{'} + b (x) y = c (x),

(4.14)

donde $a (x), b (x),$ y $c (x)$ son funciones arbitrarias de $x .$

Recuerde que la función desconocida $y$ depende de la variable $x;$ es decir, $x$ es la variable independiente y $y$ es la variable dependiente. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden son

\begin{matrix} (3 x^{2} - 4) y' + (x - 3) y & = & sen x \\ (sen x) y' - (cos x) y & = & cot x \\ 4 x y' + (3 ln x) y & = & x^{3} - 4 x . \end{matrix}

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden son

\begin{matrix} {(y')}^{4} - {(y')}^{3} & = & (3 x - 2) (y + 4) \\ 4 y' + 3 y^{3} & = & 4 x - 5 \\ {(y')}^{2} & = & sen y + cos x . \end{matrix}

Estas ecuaciones son no lineales debido a términos como ${(y^{'})}^{4}, y^{3},$ etc. Debido a estos términos, es imposible poner estas ecuaciones en la misma forma que la Ecuación 4.14.

Forma estándar

Considere la ecuación diferencial

(3 x^{2} - 4) y^{'} + (x - 3) y = sen x .

Nuestro objetivo principal en esta sección es derivar un método de solución para ecuaciones de esta forma. Es útil que el coeficiente de $y^{'}$ sea igual a $1 .$ Para ello, dividimos ambos lados entre $3 x^{2} - 4 .$

y^{'} + (\frac{x - 3}{3 x^{2} - 4}) y = \frac{sen x}{3 x^{2} - 4}

Esto se llama la forma estándar de la ecuación diferencial. La utilizaremos más adelante cuando hallemos la solución de una ecuación diferencial lineal general de primer orden. Volviendo a la Ecuación 4.14, podemos dividir ambos lados de la ecuación entre $a (x) .$ Esto nos lleva a la ecuación

y^{'} + \frac{b (x)}{a (x)} y = \frac{c (x)}{a (x)} .

(4.15)

Ahora defina $p (x) = \frac{b (x)}{a (x)}$ como $q (x) = \frac{c (x)}{a (x)} .$ Entonces la Ecuación 4.14 se convierte en

y^{'} + p (x) y = q (x) .

(4.16)

Podemos escribir cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden en esta forma, y esto se conoce como la forma estándar para una ecuación diferencial lineal de primer orden.

Ejemplo 4.15

Escribir ecuaciones lineales de primer orden en forma estándar

Escriba cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en forma estándar. Identifique $p (x)$ como $q (x)$ para cada ecuación.

$y' = 3 x - 4 y$
$\frac{3 x y'}{4 y - 3} = 2$ (aquí $x \neq 0)$ grandes.
$y = 3 y' - 4 x^{2} + 5$

Solución

Añadir $4 y$ a ambos lados:

$y' + 4 y = 3 x .$

En esta ecuación, $p (x) = 4$ y $q (x) = 3 x .$
Multiplique ambos lados por $4 y - 3,$ y luego reste $8 y$ de cada lado:

$\begin{matrix} \frac{3 x y'}{4 y - 3} & = & 2 \\ 3 x y' & = & 2 (4 y - 3) \\ 3 x y' & = & 8 y - 6 \\ 3 x y' - 8 y & = & −6 . \end{matrix}$

Finalmente, divida ambos lados entre $3 x$ para que el coeficiente de $y'$ sea igual a $1 :$

$y' - \frac{8}{3 x} y = - \frac{2}{x} .$
(4.17)

Esto se permite porque en el planteamiento original de este problema asumimos que $x \neq 0 .$ (Si $x = 0$ entonces la ecuación original se convierte en $0 = 2,$ lo que es claramente una afirmación falsa).
En esta ecuación, $p (x) = - \frac{8}{3 x}$ y $q (x) = - \frac{2}{3 x} .$
Reste $y$ de cada lado y sume $4 x^{2} - 5 :$

$3 y' - y = 4 x^{2} - 5 .$

A continuación, divida ambos lados entre $3 :$

$y' - \frac{1}{3} y = \frac{4}{3} x^{2} - \frac{5}{3} .$

En esta ecuación, $p (x) = - \frac{1}{3}$ y $q (x) = \frac{4}{3} x^{2} - \frac{5}{3} .$

Punto de control 4.15

Escriba la ecuación $\frac{(x + 3) y'}{2 x - 3 y - 4} = 5$ en forma estándar e identifique $p (x)$ como $q (x) .$

Factores de integración

Ahora desarrollamos una técnica de solución para cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden. Comenzamos con la forma estándar de una ecuación diferencial lineal de primer orden:

y' + p (x) y = q (x) .

(4.18)

El primer término del lado izquierdo de la Ecuación 4.15 es la derivada de la función desconocida, y el segundo término es el producto de una función conocida por la función desconocida. Esto recuerda en cierto modo a la regla del producto de la sección Reglas de diferenciación. Si multiplicamos la Ecuación 4.16 por una función aún por determinar $μ (x),$ entonces la ecuación se convierte en

μ (x) y^{'} + μ (x) p (x) y = μ (x) q (x) .

(4.19)

El lado izquierdo de la Ecuación 4.18 se puede igualar perfectamente a la regla del producto:

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)] = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x) .

Si se iguala término a término, se obtiene $y = f (x), g (x) = μ (x),$ y $g^{'} (x) = μ (x) p (x) .$ Tomando la derivada de $g (x) = μ (x)$ e igualándola al lado derecho de $g^{'} (x) = μ (x) p (x)$ nos lleva a

μ^{'} (x) = μ (x) p (x) .

Esta es una ecuación diferencial separable de primer orden para $μ (x) .$ Sabemos que $p (x)$ porque aparece en la ecuación diferencial que estamos resolviendo. Separando las variables e integrando se obtiene

\begin{matrix} \frac{μ^{'} (x)}{μ (x)} & = & p (x) \\ \int \frac{μ^{'} (x)}{μ (x)} d x & = & \int p (x) d x \\ ln | μ (x) | & = & \int p (x) d x + C \\ e^{ln | μ (x) |} & = & e^{\int p (x) d x + C} \\ | μ (x) | & = & C_{1} e^{\int p (x) d x} \\ μ (x) & = & C_{2} e^{\int p (x) d x} . \end{matrix}

Aquí $C_{2}$ puede ser una constante arbitraria (positiva o negativa). Esto nos lleva a un método general para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden. Primero multiplicamos ambos lados de la Ecuación 4.16 por el factor de integración $μ (x) .$ Esto da

μ (x) y^{'} + μ (x) p (x) y = μ (x) q (x) .

(4.20)

El lado izquierdo de la Ecuación 4.20 se puede reescribir como $\frac{d}{d x} (μ (x) y) .$

\frac{d}{d x} (μ (x) y) = μ (x) q (x) .

(4.21)

A continuación, integre ambos lados de la Ecuación 4.21 con respecto a $x .$

\begin{matrix} \int \frac{d}{d x} (μ (x) y) d x & = & \int μ (x) q (x) d x \\ μ (x) y & = & \int μ (x) q (x) d x . \end{matrix}

(4.22)

Divida ambos lados de la Ecuación 4.22 entre $μ (x) :$

y = \frac{1}{μ (x)} [\int μ (x) q (x) d x + C] .

(4.23)

Dado que $μ (x)$ se calculó previamente, ya hemos terminado. Una nota importante sobre la constante de integración $C :$ Puede parecer que somos incoherentes en el uso de la constante de integración. Sin embargo, la integral que implica $p (x)$ es necesaria para hallar un factor de integración para la Ecuación 4.15. Solo se necesita un factor de integración para resolver la ecuación; por lo tanto, es seguro asignar un valor para $C$ para esta integral. Elegimos $C = 0 .$ Cuando calculamos la integral dentro de los paréntesis en la Ecuación 4.21, es necesario mantener nuestras opciones abiertas para el valor de la constante de integración, porque nuestro objetivo es hallar una familia general de soluciones a la Ecuación 4.15. Este factor de integración garantiza precisamente eso.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Resolución de una ecuación diferencial lineal de primer orden

Escriba la ecuación en forma estándar e identifique $p (x)$ como $q (x) .$
Calcule el factor de integración $μ (x) = e^{\int p (x) d x} .$
Multiplique ambos lados de la ecuación diferencial por $μ (x) .$
Integre ambos lados de la ecuación obtenida en el paso $3,$ y divida ambos lados entre $μ (x) .$
Si hay una condición inicial, determine el valor de $C .$

Ejemplo 4.16

Resolución de una ecuación lineal de primer orden

Halle una solución general para la ecuación diferencial $x y' + 3 y = 4 x^{2} - 3 x .$ Asuma que $x > 0 .$

Solución

Para escribir esta ecuación diferencial en forma estándar, divida ambos lados entre $x :$

$y' + \frac{3}{x} y = 4 x - 3 .$

Por lo tanto $p (x) = \frac{3}{x}$ y $q (x) = 4 x - 3 .$
El factor de integración es $μ (x) = e^{\int (3 / x) d x} = e^{3 ln x} = x^{3} .$
Multiplicando ambos lados de la ecuación diferencial por $μ (x)$ nos da

$\begin{matrix} x^{3} y^{'} + x^{3} (\frac{3}{x}) y & = & x^{3} (4 x - 3) \\ x^{3} y^{'} + 3 x^{2} y & = & 4 x^{4} - 3 x^{3} \\ \frac{d}{d x} (x^{3} y) & = & 4 x^{4} - 3 x^{3} . \end{matrix}$
Integre ambos lados de la ecuación.

$\begin{matrix} \int \frac{d}{d x} (x^{3} y) d x & = & \int 4 x^{4} - 3 x^{3} d x \\ x^{3} y & = & \frac{4 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{4} + C \\ y & = & \frac{4 x^{2}}{5} - \frac{3 x}{4} + C x^{−3} . \end{matrix}$
No hay valor inicial, por lo que el problema está completo.

Análisis

Habrá notado la condición que se impuso a la ecuación diferencial; es decir, $x > 0 .$ Para cualquier valor distinto de cero de $C,$ la solución general no está definida en $x = 0 .$ Además, cuando $x < 0,$ el factor de integración cambia. El factor de integración viene dado por la Ecuación 4.19 como $f (x) = e^{\int p (x) d x} .$ Para esta $p (x)$ obtenemos

e^{\int p (x) d x =} e^{\int (3 / x) d x} = e^{3 ln | x |} = {| x |}^{3},

dado que $x < 0 .$ El comportamiento de la solución general cambia en $x = 0$ en gran medida por el hecho de que $p (x)$ no se define allí.

Punto de control 4.16

Halle la solución general de la ecuación diferencial $(x - 2) y' + y = 3 x^{2} + 2 x .$ Asuma que $x > 2 .$

Ahora utilizamos la misma estrategia para hallar la solución a un problema de valor inicial.

Ejemplo 4.17

Un problema de valor inicial lineal de primer orden

Resuelva el problema de valor inicial

y^{'} + 3 y = 2 x - 1, y (0) = 3 .

Solución

Esta ecuación diferencial ya está en forma estándar con $p (x) = 3$ y $q (x) = 2 x - 1 .$
El factor de integración es $μ (x) = e^{\int 3 d x} = e^{3 x} .$
Multiplicando ambos lados de la ecuación diferencial por $μ (x)$ da

$\begin{matrix} e^{3 x} y^{'} + 3 e^{3 x} y & = & (2 x - 1) e^{3 x} \\ \frac{d}{d x} [y e^{3 x}] & = & (2 x - 1) e^{3 x} . \end{matrix}$

Integre ambos lados de la ecuación:

$\begin{matrix} \int \frac{d}{d x} [y e^{3 x}] d x & = & \int (2 x - 1) e^{3 x} d x \\ y e^{3 x} & = & \frac{e^{3 x}}{3} (2 x - 1) - \int \frac{2}{3} e^{3 x} d x \\ y e^{3 x} & = & \frac{e^{3 x} (2 x - 1)}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + C \\ y & = & \frac{2 x - 1}{3} - \frac{2}{9} + C e^{−3 x} \\ y & = & \frac{2 x}{3} - \frac{5}{9} + C e^{−3 x} . \end{matrix}$
Ahora sustituya $x = 0$ y $y = 3$ en la solución general y resuelva para $C :$

$\begin{matrix} y & = & \frac{2}{3} x - \frac{5}{9} + C e^{−3 x} \\ 3 & = & \frac{2}{3} (0) - \frac{5}{9} + C e^{−3 (0)} \\ 3 & = & - \frac{5}{9} + C \\ C & = & \frac{32}{9} . \end{matrix}$

Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es

$y = \frac{2}{3} x - \frac{5}{9} + \frac{32}{9} e^{−3 x} .$

Punto de control 4.17

Resuelva el problema de valor inicial $y' - 2 y = 4 x + 3 y (0) = –2 .$

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Estudiamos dos aplicaciones diferentes de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. La primera tiene que ver con la resistencia del aire en relación con los objetos que suben o bajan; la segunda, con un circuito eléctrico. Hay muchas otras aplicaciones, pero la mayoría se resuelve de forma similar.

Caída libre con resistencia del aire

Al principio de esta sección hablamos de la resistencia del aire. El siguiente ejemplo muestra cómo aplicar este concepto para una pelota en movimiento vertical. Hay otros factores que pueden afectar a la fuerza de resistencia del aire, como el tamaño y la forma del objeto, pero los ignoramos aquí.

Ejemplo 4.18

Una pelota con resistencia del aire

Una pelota de ráquetbol es golpeada directamente hacia arriba con una velocidad inicial de $2$ m/s. La masa de una pelota de ráquetbol es aproximadamente $0,0427$ kg. La resistencia del aire actúa sobre la pelota con una fuerza igual numéricamente a $0,5 v,$ donde $v$ representa la velocidad de la pelota en el tiempo $t .$

Calcule la velocidad de la pelota en función del tiempo.
¿Cuánto tiempo tarda la pelota en alcanzar su altura máxima?
Si la pelota se golpea desde una altura inicial de $1$ metro, ¿qué altura alcanzará?

Solución

La masa $m = 0,0427 kg, k = 0,5,$ y $g = 9,8 {m/s}^{2} .$ La velocidad inicial es $v_{0} = 2$ m/s. Por lo tanto, el problema de valor inicial es

$0,0427 \frac{d v}{d t} = −0,5 v - 0,0427 (9,8), v_{0} = 2 .$

Dividiendo la ecuación diferencial entre $0,0427$ da

$\frac{d v}{d t} = −11,7096 v - 9,8, v_{0} = 2 .$

La ecuación diferencial es lineal. Usar la estrategia de resolución de problemas para ecuaciones diferenciales lineales:
Paso 1. Reescriba la ecuación diferencial como $\frac{d v}{d t} + 11,7096 v = −9,8 .$ Esto da $p (t) = 11,7096$ y $q (t) = −9,8$
Paso 2. El factor de integración es $μ (t) = e^{\int 11,7096 d t} = e^{11,7096 t} .$
Paso 3. Multiplique la ecuación diferencial por $μ (t) :$

$\begin{matrix} e^{11,7096 t} \frac{d v}{d t} + 11,7096 v e^{11,7096 t} & = & −9,8 e^{11,7096 t} \\ \frac{d}{d t} [v e^{11,7096 t}] & = & −9,8 e^{11,7096 t} . \end{matrix}$

Paso 4. Integre ambos lados:

$\begin{matrix} \int \frac{d}{d t} [v e^{11,7096 t}] d t & = & \int −9,8 e^{11,7096 t} d t \\ v e^{11,7096 t} & = & \frac{−9,8}{11,7096} e^{11,7096 t} + C \\ v (t) & = & −0,8369 + C e^{−11,7096 t} . \end{matrix}$

Paso 5. Resuelva para $C$ utilizando la condición inicial $v_{0} = v (0) = 2 :$

$\begin{matrix} v (t) & = & −0,8369 + C e^{−11,7096 t} \\ v (0) & = & −0,8369 + C e^{−11,7096 (0)} \\ 2 & = & −0,8369 + C \\ C & = & 2,8369. \end{matrix}$

Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es $v (t) = 2,8369 e^{−11,7096 t} - 0,8369 .$
La pelota alcanza su altura máxima cuando la velocidad es igual a cero. La razón es que cuando la velocidad es positiva, está subiendo, y cuando es negativa, está bajando. Por lo tanto, cuando es cero, no está subiendo ni bajando, y está en su altura máxima:

$\begin{matrix} 2,8369 e^{−11,7096 t} - 0,8369 & = & 0 \\ 2,8369 e^{−11,7096 t} & = & 0,8369 \\ e^{−11,7096 t} & = & \frac{0,8369}{2,8369} \approx 0,295 \\ ln e^{−11,7096 t} & = & ln 0,295 \approx - 1,221 \\ −11,7096 t & = & −1,221 \\ t & \approx & 0,104. \end{matrix}$

Por lo tanto, se necesita aproximadamente $0,104$ segundos para alcanzar la altura máxima.
Para hallar la altura de la pelota en función del tiempo, se utiliza el hecho de que la derivada de la posición es la velocidad, es decir, si $h (t)$ representa la altura en el tiempo $t,$ entonces $h^{'} (t) = v (t) .$ Porque conocemos $v (t)$ y la altura inicial, podemos formar un problema de valor inicial:

$h^{'} (t) = 2,8369 e^{−11,7096 t} - 0,8369, h (0) = 1 .$

Integrando ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $t$ da

$\begin{matrix} \int h^{'} (t) d t & = & \int 2,8369 e^{−11,7096 t} - 0,8369 d t \\ h (t) & = & - \frac{2,8369}{11,7096} e^{−11,7096 t} - 0,8369 t + C \\ h (t) & = & −0,2423 e^{−11,7096 t} - 0,8369 t + C . \end{matrix}$

Resuelva para $C$ utilizando la condición inicial:

$\begin{matrix} h (t) & = & −0,2423 e^{−11,7096 t} - 0,8369 t + C \\ h (0) & = & −0,2423 e^{−11,7096 (0)} - 0,8369 (0) + C \\ 1 & = & −0,2423 + C \\ C & = & 1,2423. \end{matrix}$

Por lo tanto

$h (t) = −0,2423 e^{−11,7096 t} - 0,8369 t + 1,2423 .$

Después de $0,104$ segundos, la altura está dada por
$h (0,104) = −0,2423 e^{−11,7096 t} - 0,8369 t + 1,2423 \approx 1,0836$ metros.

Punto de control 4.18

El peso de un centavo es $2,5$ gramos (Casa de la Moneda de Estados Unidos, “Coin Specifications”, consultado el 9 de abril de 2015, http://www.usmint.gov/about_the_mint/?action=coin_specifications) y la plataforma de observación superior del Empire State Building es de $369$ metros sobre la calle. Como el centavo es un objeto pequeño y relativamente liso, la resistencia del aire que actúa sobre este es en realidad bastante pequeña. Suponemos que la resistencia del aire es igual numéricamente a $0,0025 v .$ Además, el centavo se deja caer sin que se le aplique una velocidad inicial.

Plantee un problema de valor inicial que represente el centavo que cae.
Resuelva el problema para $v (t) .$
Cuál es la velocidad límite del centavo (es decir, calcule el límite de la velocidad a medida que $t$ se acerca al infinito)?

Circuitos eléctricos

Una fuente de fuerza electromotriz (p. ej., una batería o un generador) produce un flujo de corriente en un circuito cerrado, y esta corriente produce una caída de voltaje en cada resistor, inductor y condensador del circuito. La ley de las tensiones de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje en los resistores, inductores y condensadores es igual a la fuerza electromotriz total en un circuito cerrado. Tenemos los tres resultados siguientes:

La caída de voltaje a través de una resistencia está dada por

$E_{R} = R i,$

donde $R$ es una constante de proporcionalidad llamada resistencia, y $i$ es la corriente.
La caída de voltaje en un inductor está dada por

$E_{L} = L i^{'},$

donde $L$ es una constante de proporcionalidad llamada inductancia, y $i$ denota de nuevo la corriente.
La caída de voltaje en un condensador está dada por

$E_{C} = \frac{1}{C} q,$

donde $C$ es una constante de proporcionalidad llamada capacidad, y $q$ es la carga instantánea del condensador. La relación entre $i$ y $q$ es $i = q^{'} .$

Utilizamos unidades de voltios $(V)$ para medir el voltaje $E,$ amperios $(A)$ para medir la corriente $i,$ culombios $(C)$ para medir la carga $q,$ ohmios $(Ω)$ para medir la resistencia $R,$ henrios $(H)$ para medir la inductancia $L,$ y faradios $(F)$ para medir la capacidad $C .$ Considere el circuito en la Figura 4.25.

Un diagrama de un circuito eléctrico en un rectángulo. En la parte superior hay un condensador C, en la izquierda un generador de voltaje Vs, en la inferior un resistor R y en la derecha un inductor L.

Figura 4.25 Un circuito eléctrico típico, que contiene un generador de tensión

(V_{S}),

condensador

(C),

inductor

(L),

y el resistor

(R) .

Aplicando la ley de ley de las tensiones de Kirchhoff a este circuito, suponemos que $E$ denota la fuerza electromotriz suministrada por el generador de voltaje. Entonces

E_{L} + E_{R} + E_{C} = E .

Sustituyendo las expresiones para $E_{L}, E_{R},$ y $E_{C}$ en esta ecuación, obtenemos

L i^{'} + R i + \frac{1}{C} q = E .

(4.24)

Si no hay ningún condensador en el circuito, la ecuación se convierte en

L i^{'} + R i = E .

(4.25)

Se trata de una ecuación diferencial de primer orden en $i .$ El circuito se denomina un circuito $L R$ .

A continuación, supongamos que no hay ningún inductor en el circuito, pero sí un condensador y un resistor, por lo que $L = 0, R \neq 0,$ y $C \neq 0 .$ Entonces la Ecuación 4.23 puede reescribirse como

R q^{'} + \frac{1}{C} q = E,

(4.26)

que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Esto se denomina circuito RC. En cualquier caso, podemos plantear y resolver un problema de valores iniciales.

Ejemplo 4.19

Calcular la corriente en un circuito eléctrico RL

Un circuito en serie tiene una fuerza electromotriz dada por $E = 50 sen 20 t V,$ un resistor de $5 Ω,$ y un inductor de $0,4 H .$ Si la corriente inicial es $0,$ calcule la corriente en el momento $t > 0 .$

Solución

Tenemos un resistor y un inductor en el circuito, por lo que utilizamos la Ecuación 4.24. La caída de voltaje a través del resistor está dada por $E_{R} = R i = 5 i .$ La caída de voltaje en el inductor está dada por $E_{L} = L i^{'} = 0,4 i^{'} .$ La fuerza electromotriz se convierte en el lado derecho de la Ecuación 4.24. Por lo tanto, la Ecuación 4.24 se convierte en

0,4 i^{'} + 5 i = 50 sen 20 t .

Dividiendo ambos lados entre $0,4$ da la ecuación

i^{'} + 12,5 i = 125 sen 20 t .

Como la corriente inicial es 0, este resultado da una condición inicial de $i (0) = 0 .$ Podemos resolver este problema de valor inicial utilizando la estrategia de cinco pasos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.

Paso 1. Reescriba la ecuación diferencial como $i^{'} + 12,5 i = 125 sen 20 t .$ Esto da $p (t) = 12,5$ y $q (t) = 125 sen 20 t .$

Paso 2. El factor de integración es $μ (t) = e^{\int 12,5 d t} = e^{12,5 t} .$

Paso 3. Multiplique la ecuación diferencial por $μ (t) :$

\begin{matrix} e^{12,5 t} i^{'} + 12,5 e^{12,5 t} i & = & 125 e^{12,5 t} sen 20 t \\ \frac{d}{d t} [i e^{12,5 t}] & = & 125 e^{12,5 t} sen 20 t . \end{matrix}

Paso 4. Integre ambos lados:

\begin{matrix} \int \frac{d}{d t} [i e^{12,5 t}] d t & = & \int 125 e^{12,5 t} sen 20 t d t \\ i e^{12,5 t} & = & (\frac{250 sen 20 t - 400 cos 20 t}{89}) e^{12,5 t} + C \\ i (t) & = & \frac{250 sen 20 t - 400 cos 20 t}{89} + C e^{−12,5 t} . \end{matrix}

Paso 5. Resuelva para $C$ utilizando la condición inicial $v (0) = 2 :$

\begin{matrix} i (t) & = & \frac{250 sen 20 t - 400 cos 20 t}{89} + C e^{−12,5 t} \\ i (0) & = & \frac{250 sen 20 (0) - 400 cos 20 (0)}{89} + C e^{−12,5 (0)} \\ 0 & = & - \frac{400}{89} + C \\ C & = & \frac{400}{89} . \end{matrix}

Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es $i (t) = \frac{250 sen 20 t - 400 cos 20 t + 400 e^{−12,5 t}}{89} = \frac{250 sen 20 t - 400 cos 20 t}{89} + \frac{400 e^{−12,5 t}}{89} .$

El primer término puede reescribirse como una función coseno simple. Primero, multiplique por y divida entre $\sqrt{250^{2} + 400^{2}} = 50 \sqrt{89} :$

\begin{matrix} \frac{250 sen 20 t - 400 cos 20 t}{89} & = \frac{50 \sqrt{89}}{89} (\frac{250 sen 20 t - 400 cos 20 t}{50 \sqrt{89}}) \\ = - \frac{50 \sqrt{89}}{89} (\frac{8 cos 20 t}{\sqrt{89}} - \frac{5 sen 20 t}{\sqrt{89}}) . \end{matrix}

A continuación, defina $φ$ para que sea un ángulo agudo tal que $cos φ = \frac{8}{\sqrt{89}} .$ Entonces $sen φ = \frac{5}{\sqrt{89}}$ y

\begin{matrix} - \frac{50 \sqrt{89}}{89} (\frac{8 cos 20 t}{\sqrt{89}} - \frac{5 sen 20 t}{\sqrt{89}}) & = - \frac{50 \sqrt{89}}{89} (cos φ cos 20 t - sen φ sen 20 t) \\ = - \frac{50 \sqrt{89}}{89} cos (20 t + φ) . \end{matrix}

Por lo tanto, la solución puede escribirse como

i (t) = - \frac{50 \sqrt{89}}{89} cos (20 t + φ) + \frac{400 e^{−12,5 t}}{89} .

El segundo término se denomina término de atenuación, porque desaparece rápidamente a medida que t aumenta. El desplazamiento de fase está dado por $φ,$ y la amplitud de la corriente en estado estacionario está dada por $\frac{50 \sqrt{89}}{89} .$ El gráfico de esta solución aparece en la Figura 4.26:

Un gráfico de la solución dada sobre [0, 6] en el eje x. Se trata de una función oscilante, que va rápidamente de justo por debajo de -5 a justo por encima de 5.

Figura 4.26

Punto de control 4.19

Un circuito en serie tiene una fuerza electromotriz dada por $E = 20 sen 5 t$ V, un condensador con capacidad $0,02 F,$ y un resistor de $8 Ω .$ Si la carga inicial es $4 C,$ calcule la carga en el tiempo $t > 0 .$

Sección 4.5 ejercicios

¿Las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales? Explique su razonamiento.

208.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y + sen x$

209.

$\frac{d y}{d t} = t y$

210.

$\frac{d y}{d t} + y^{2} = x$

211.

$y' = x^{3} + e^{x}$

212.

$y' = y + e^{y}$

Escriba las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden en forma estándar.

213.

$y' = x^{3} y + sen x$

214.

$y' + 3 y - ln x = 0$

215.

$− x y' = (3 x + 2) y + x e^{x}$

216.

$\frac{d y}{d t} = 4 y + t y + tan t$

217.

$\frac{d y}{d t} = y x (x + 1)$ grandes.

¿Cuáles son los factores de integración de las siguientes ecuaciones diferenciales?

218.

$y' = x y + 3$

219.

$y' + e^{x} y = sen x$

220.

$y' = x ln (x) y + 3 x$

221.

$\frac{d y}{d x} = tanh (x) y + 1$

222.

$\frac{d y}{d t} + 3 t y = e^{t} y$

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando factores de integración.

223.

$y' = 3 y + 2$

224.

$y' = 2 y - x^{2}$

225.

$x y' = 3 y - 6 x^{2}$

226.

$(x + 2) y' = 3 x + y$

227.

$y' = 3 x + x y$

228.

$x y' = x + y$

229.

$sen (x) y' = y + 2 x$

230.

$y' = y + e^{x}$

231.

$x y' = 3 y + x^{2}$

232.

$y' + ln x = \frac{y}{x}$

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales. Utilice su calculadora para dibujar una familia de soluciones. ¿Hay ciertas condiciones iniciales que cambian el comportamiento de la solución?

233.

[T] $(x + 2) y' = 2 y - 1$

234.

[T] $y' = 3 e^{t / 3} - 2 y$

235.

[T] $x y' + \frac{y}{2} = sen (3 t)$ grandes.

236.

[T] $x y' = 2 \frac{cos x}{x} - 3 y$

237.

[T] $(x + 1) y' = 3 y + x^{2} + 2 x + 1$

238.

[T] $sen (x) y' + cos (x) y = 2 x$

239.

[T] $\sqrt{x^{2} + 1} y' = y + 2$

240.

[T] $x^{3} y' + 2 x^{2} y = x + 1$

Resuelva los siguientes problemas de valor inicial utilizando factores de integración.

241.

$y' + y = x, y (0) = 3$

242.

$y' = y + 2 x^{2}, y (0) = 0$

243.

$x y' = y - 3 x^{3}, y (1) = 0$

244.

$x^{2} y' = x y - ln x, y (1) = 1$

245.

$(1 + x^{2}) y' = y - 1, y (0) = 0$

246.

$x y' = y + 2 x ln x, y (1) = 5$

247.

$(2 + x) y' = y + 2 + x, y (0) = 0$

248.

$y' = x y + 2 x e^{x}, y (0) = 2$

249.

$\sqrt{x} y' = y + 2 x, y (0) = 1$

250.

$y' = 2 y + x e^{x}, y (0) = –1$

251.

Un objeto de masa $m$ que cae puede alcanzar la velocidad límite cuando la fuerza de arrastre es proporcional a su velocidad, con la constante de proporcionalidad $k .$ Plantee la ecuación diferencial y calcule la velocidad si la velocidad inicial es $0 .$

252.

Si utilizamos su expresión del problema anterior, ¿cuál es la velocidad límite? (Pista: Examine el comportamiento límite; ¿la velocidad se acerca a un valor?)

253.

[T] Si utilizamos su ecuación para la velocidad límite, resuelva la distancia caída. Cuánto tiempo tarda en caer $5.000$ metros si la masa es $100$ kilogramos, la aceleración debida a la gravedad es $9,8$ m/s² la constante de proporcionalidad es $4 ?$

254.

Una forma más precisa de describir la velocidad límite es que la fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, con una constante de proporcionalidad $k .$ Plantee la ecuación diferencial y calcule la velocidad.

255.

Si utilizamos su expresión del problema anterior, ¿cuál es la velocidad límite? (Pista: Examine el comportamiento límite: ¿la velocidad se aproxima a un valor?)

256.

[T] Si utilizamos su ecuación para la velocidad límite, resuelva la distancia caída. Cuánto tiempo tarda en caer $5.000$ metros si la masa es $100$ kilogramos, la aceleración debida a la gravedad es $9,8 {m/s}^{2}$ y la constante de proporcionalidad es $4 ?$ ¿Se tarda más o menos tiempo que su estimación inicial?

Para los siguientes problemas, determine cómo el parámetro $a$ afecta a la solución.

257.

Resuelva la ecuación genérica $y' = a x + y .$ ¿Cómo la variación de $a$ cambia el comportamiento?

258.

Resuelva la ecuación genérica $y' = a y + x .$ ¿Cómo la variación de $a$ cambia el comportamiento?

259.

Resuelva la ecuación genérica $y' = a x + x y .$ ¿Cómo la variación de $a$ cambia el comportamiento?

260.

Resuelva la ecuación genérica $y' = x + a x y .$ ¿Cómo la variación de $a$ cambia el comportamiento?

261.

Resuelva $y' - y = e^{k t}$ con la condición inicial $y (0) = 0 .$ A medida que $k$ se acerca a $1,$ ¿qué ocurre con su fórmula?

4.5 Ecuaciones lineales de primer orden

Forma estándar

Escribir ecuaciones lineales de primer orden en forma estándar

Solución

Factores de integración

Estrategia para la resolución de problemas: Resolución de una ecuación diferencial lineal de primer orden

Resolución de una ecuación lineal de primer orden

Solución

Análisis

Un problema de valor inicial lineal de primer orden

Solución

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Caída libre con resistencia del aire

Una pelota con resistencia del aire

Solución

Circuitos eléctricos

Calcular la corriente en un circuito eléctrico RL

Solución

Sección 4.5 ejercicios