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Cálculo volumen 2

4.5 Ecuaciones lineales de primer orden

Cálculo volumen 24.5 Ecuaciones lineales de primer orden

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 4.5.1 Escribir una ecuación diferencial lineal de primer orden en forma estándar.
  • 4.5.2 Hallar un factor de integración y utilizarlo para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden.
  • 4.5.3 Resolver problemas aplicados que impliquen ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Previamente, estudiamos una aplicación de una ecuación diferencial de primer orden que implicaba resolver la velocidad de un objeto. En particular, si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de v0v0 ft/s, entonces se plantea un problema de valor inicial que describe la velocidad de la pelota después de tt segundos viene dada por

dvdt=−32,v(0)=v0.dvdt=−32,v(0)=v0.

Este modelo supone que la única fuerza que actúa sobre la pelota es la gravedad. Ahora añadimos al problema la posibilidad de que la resistencia del aire actúe sobre la pelota.

La resistencia del aire siempre actúa en la dirección opuesta al movimiento. Por lo tanto, si un objeto se eleva, la resistencia del aire actúa en dirección descendente. Si el objeto está cayendo, la resistencia del aire actúa en dirección ascendente (Figura 4.24). No existe una relación exacta entre la velocidad de un objeto y la resistencia del aire que actúa sobre él. Para objetos muy pequeños, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad; es decir, la fuerza debida a la resistencia del aire es igual numéricamente a alguna constante kk veces v.v. Para objetos más grandes (p. ej., del tamaño de una pelota de béisbol), dependiendo de la forma, la resistencia del aire puede ser aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad. De hecho, la resistencia del aire puede ser proporcional a v1,5,v1,5, o v0,9,v0,9, o alguna otra potencia de v.v.

Un diagrama de una pelota de béisbol con una flecha por encima que apunta hacia arriba y una flecha por debajo que apunta hacia abajo. La flecha superior está etiquetada como "resistencia del aire -kv" y la flecha inferior como "g = –9,8 m/s ^ 2".
Figura 4.24 Fuerzas que actúan sobre una pelota de béisbol en movimiento: la gravedad actúa en dirección descendente y la resistencia del aire actúa en dirección opuesta a la del movimiento.

Trabajaremos con la aproximación lineal para la resistencia del aire. Si asumimos k>0,k>0, entonces la expresión para la fuerza FAFA debido a la resistencia del aire está dada por FA=kv.FA=kv. Por tanto, la suma de las fuerzas que actúan sobre el objeto es igual a la suma de la fuerza gravitatoria y la fuerza debida a la resistencia del aire. Esto, a su vez, es igual a la masa del objeto multiplicada por su aceleración en el tiempo tt (segunda ley de Newton). Esto nos da la ecuación diferencial

mdvdt=kvmg.mdvdt=kvmg.

Por último, imponemos una condición inicial v(0)=v0,v(0)=v0, donde v0v0 es la velocidad inicial medida en metros por segundo. Esto hace que g=9,8m/s2 .g=9,8m/s2 . El problema de valor inicial se convierta en

mdvdt=kvmg,v(0)=v0.mdvdt=kvmg,v(0)=v0.
(4.13)

La ecuación diferencial de este problema de valor inicial es un ejemplo de ecuación diferencial lineal de primer orden (recuerde que una ecuación diferencial es de primer orden si la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación es 1)1) En esta sección, estudiamos las ecuaciones lineales de primer orden y examinamos un método para hallar una solución general a este tipo de ecuaciones, así como para resolver problemas de valor inicial que las involucran.

Definición

Una ecuación diferencial de primer orden es lineal si se puede escribir de la forma

a(x)y+b(x)y=c(x),a(x)y+b(x)y=c(x),
(4.14)

donde a(x),b(x),a(x),b(x), y c(x)c(x) son funciones arbitrarias de x.x.

Recuerde que la función desconocida yy depende de la variable x;x; es decir, xx es la variable independiente y yy es la variable dependiente. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden son

(3x2 4)y+(x3)y=senx(senx)y(cosx)y=cotx4xy+(3lnx)y=x34x.(3x2 4)y+(x3)y=senx(senx)y(cosx)y=cotx4xy+(3lnx)y=x34x.

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden son

(y)4(y)3=(3x2 )(y+4)4y+3y3=4x5(y)2 =seny+cosx.(y)4(y)3=(3x2 )(y+4)4y+3y3=4x5(y)2 =seny+cosx.

Estas ecuaciones son no lineales debido a términos como (y)4,y3,(y)4,y3, etc. Debido a estos términos, es imposible poner estas ecuaciones en la misma forma que la Ecuación 4.14.

Forma estándar

Considere la ecuación diferencial

(3x2 4)y+(x3)y=senx.(3x2 4)y+(x3)y=senx.

Nuestro objetivo principal en esta sección es derivar un método de solución para ecuaciones de esta forma. Es útil que el coeficiente de yy sea igual a 1.1. Para ello, dividimos ambos lados entre 3x2 4.3x2 4.

y+(x33x2 4)y=senx3x2 4y+(x33x2 4)y=senx3x2 4

Esto se llama la forma estándar de la ecuación diferencial. La utilizaremos más adelante cuando hallemos la solución de una ecuación diferencial lineal general de primer orden. Volviendo a la Ecuación 4.14, podemos dividir ambos lados de la ecuación entre a(x).a(x). Esto nos lleva a la ecuación

y+b(x)a(x)y=c(x)a(x).y+b(x)a(x)y=c(x)a(x).
(4.15)

Ahora defina p(x)=b(x)a(x)p(x)=b(x)a(x) como q(x)=c(x)a(x).q(x)=c(x)a(x). Entonces la Ecuación 4.14 se convierte en

y+p(x)y=q(x).y+p(x)y=q(x).
(4.16)

Podemos escribir cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden en esta forma, y esto se conoce como la forma estándar para una ecuación diferencial lineal de primer orden.

Ejemplo 4.15

Escribir ecuaciones lineales de primer orden en forma estándar

Escriba cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en forma estándar. Identifique p(x)p(x) como q(x)q(x) para cada ecuación.

  1. y=3x4yy=3x4y
  2. 3xy4y3=2 3xy4y3=2 (aquí x0)x0) grandes.
  3. y=3y4x2 +5y=3y4x2 +5

Punto de control 4.15

Escriba la ecuación (x+3)y2 x3y4=5(x+3)y2 x3y4=5 en forma estándar e identifique p(x)p(x) como q(x).q(x).

Factores de integración

Ahora desarrollamos una técnica de solución para cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden. Comenzamos con la forma estándar de una ecuación diferencial lineal de primer orden:

y+p(x)y=q(x).y+p(x)y=q(x).
(4.18)

El primer término del lado izquierdo de la Ecuación 4.15 es la derivada de la función desconocida, y el segundo término es el producto de una función conocida por la función desconocida. Esto recuerda en cierto modo a la regla del producto de la sección Reglas de diferenciación. Si multiplicamos la Ecuación 4.16 por una función aún por determinar μ(x),μ(x), entonces la ecuación se convierte en

μ(x)y+μ(x)p(x)y=μ(x)q(x).μ(x)y+μ(x)p(x)y=μ(x)q(x).
(4.19)

El lado izquierdo de la Ecuación 4.18 se puede igualar perfectamente a la regla del producto:

ddx[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x).ddx[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x).

Si se iguala término a término, se obtiene y=f(x),g(x)=μ(x),y=f(x),g(x)=μ(x), y g(x)=μ(x)p(x).g(x)=μ(x)p(x). Tomando la derivada de g(x)=μ(x)g(x)=μ(x) e igualándola al lado derecho de g(x)=μ(x)p(x)g(x)=μ(x)p(x) nos lleva a

μ(x)=μ(x)p(x).μ(x)=μ(x)p(x).

Esta es una ecuación diferencial separable de primer orden para μ(x).μ(x). Sabemos que p(x)p(x) porque aparece en la ecuación diferencial que estamos resolviendo. Separando las variables e integrando se obtiene

μ(x)μ(x)=p(x)μ(x)μ(x)dx=p(x)dxln|μ(x)|=p(x)dx+Celn|μ(x)|=ep(x)dx+C|μ(x)|=C1ep(x)dxμ(x)=C2 ep(x)dx.μ(x)μ(x)=p(x)μ(x)μ(x)dx=p(x)dxln|μ(x)|=p(x)dx+Celn|μ(x)|=ep(x)dx+C|μ(x)|=C1ep(x)dxμ(x)=C2 ep(x)dx.

Aquí C2 C2 puede ser una constante arbitraria (positiva o negativa). Esto nos lleva a un método general para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden. Primero multiplicamos ambos lados de la Ecuación 4.16 por el factor de integración μ(x).μ(x). Esto da

μ(x)y+μ(x)p(x)y=μ(x)q(x).μ(x)y+μ(x)p(x)y=μ(x)q(x).
(4.20)

El lado izquierdo de la Ecuación 4.20 se puede reescribir como ddx(μ(x)y).ddx(μ(x)y).

ddx(μ(x)y)=μ(x)q(x).ddx(μ(x)y)=μ(x)q(x).
(4.21)

A continuación, integre ambos lados de la Ecuación 4.21 con respecto a x.x.

ddx(μ(x)y)dx=μ(x)q(x)dxμ(x)y=μ(x)q(x)dx.ddx(μ(x)y)dx=μ(x)q(x)dxμ(x)y=μ(x)q(x)dx.
(4.22)

Divida ambos lados de la Ecuación 4.22 entre μ(x):μ(x):

y=1μ(x)[μ(x)q(x)dx+C].y=1μ(x)[μ(x)q(x)dx+C].
(4.23)

Dado que μ(x)μ(x) se calculó previamente, ya hemos terminado. Una nota importante sobre la constante de integración C:C: Puede parecer que somos incoherentes en el uso de la constante de integración. Sin embargo, la integral que implica p(x)p(x) es necesaria para hallar un factor de integración para la Ecuación 4.15. Solo se necesita un factor de integración para resolver la ecuación; por lo tanto, es seguro asignar un valor para CC para esta integral. Elegimos C=0.C=0. Cuando calculamos la integral dentro de los paréntesis en la Ecuación 4.21, es necesario mantener nuestras opciones abiertas para el valor de la constante de integración, porque nuestro objetivo es hallar una familia general de soluciones a la Ecuación 4.15. Este factor de integración garantiza precisamente eso.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Resolución de una ecuación diferencial lineal de primer orden

  1. Escriba la ecuación en forma estándar e identifique p(x)p(x) como q(x).q(x).
  2. Calcule el factor de integración μ(x)=ep(x)dx.μ(x)=ep(x)dx.
  3. Multiplique ambos lados de la ecuación diferencial por μ(x).μ(x).
  4. Integre ambos lados de la ecuación obtenida en el paso 3,3, y divida ambos lados entre μ(x).μ(x).
  5. Si hay una condición inicial, determine el valor de C.C.

Ejemplo 4.16

Resolución de una ecuación lineal de primer orden

Halle una solución general para la ecuación diferencial xy+3y=4x2 3x.xy+3y=4x2 3x. Asuma que x>0.x>0.

Análisis

Habrá notado la condición que se impuso a la ecuación diferencial; es decir, x>0.x>0. Para cualquier valor distinto de cero de C,C, la solución general no está definida en x=0.x=0. Además, cuando x<0,x<0, el factor de integración cambia. El factor de integración viene dado por la Ecuación 4.19 como f(x)=ep(x)dx.f(x)=ep(x)dx. Para esta p(x)p(x) obtenemos

ep(x)dx=e(3/x)dx=e3ln|x|=|x|3,ep(x)dx=e(3/x)dx=e3ln|x|=|x|3,

dado que x<0.x<0. El comportamiento de la solución general cambia en x=0x=0 en gran medida por el hecho de que p(x)p(x) no se define allí.

Punto de control 4.16

Halle la solución general de la ecuación diferencial (x2 )y+y=3x2 +2 x.(x2 )y+y=3x2 +2 x. Asuma que x>2 .x>2 .

Ahora utilizamos la misma estrategia para hallar la solución a un problema de valor inicial.

Ejemplo 4.17

Un problema de valor inicial lineal de primer orden

Resuelva el problema de valor inicial

y+3y=2 x1,y(0)=3.y+3y=2 x1,y(0)=3.

Punto de control 4.17

Resuelva el problema de valor inicial y2 y=4x+3y(0)=–2.y2 y=4x+3y(0)=–2.

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Estudiamos dos aplicaciones diferentes de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. La primera tiene que ver con la resistencia del aire en relación con los objetos que suben o bajan; la segunda, con un circuito eléctrico. Hay muchas otras aplicaciones, pero la mayoría se resuelve de forma similar.

Caída libre con resistencia del aire

Al principio de esta sección hablamos de la resistencia del aire. El siguiente ejemplo muestra cómo aplicar este concepto para una pelota en movimiento vertical. Hay otros factores que pueden afectar a la fuerza de resistencia del aire, como el tamaño y la forma del objeto, pero los ignoramos aquí.

Ejemplo 4.18

Una pelota con resistencia del aire

Una pelota de ráquetbol es golpeada directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 2 2 m/s. La masa de una pelota de ráquetbol es aproximadamente 0,04270,0427 kg. La resistencia del aire actúa sobre la pelota con una fuerza igual numéricamente a 0,5v,0,5v, donde vv representa la velocidad de la pelota en el tiempo t.t.

  1. Calcule la velocidad de la pelota en función del tiempo.
  2. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en alcanzar su altura máxima?
  3. Si la pelota se golpea desde una altura inicial de 11 metro, ¿qué altura alcanzará?

Punto de control 4.18

El peso de un centavo es 2,52,5 gramos (Casa de la Moneda de Estados Unidos, “Coin Specifications”, consultado el 9 de abril de 2015, http://www.usmint.gov/about_the_mint/?action=coin_specifications) y la plataforma de observación superior del Empire State Building es de 369369 metros sobre la calle. Como el centavo es un objeto pequeño y relativamente liso, la resistencia del aire que actúa sobre este es en realidad bastante pequeña. Suponemos que la resistencia del aire es igual numéricamente a 0,0025v.0,0025v. Además, el centavo se deja caer sin que se le aplique una velocidad inicial.

  1. Plantee un problema de valor inicial que represente el centavo que cae.
  2. Resuelva el problema para v(t).v(t).
  3. Cuál es la velocidad límite del centavo (es decir, calcule el límite de la velocidad a medida que tt se acerca al infinito)?

Circuitos eléctricos

Una fuente de fuerza electromotriz (p. ej., una batería o un generador) produce un flujo de corriente en un circuito cerrado, y esta corriente produce una caída de voltaje en cada resistor, inductor y condensador del circuito. La ley de las tensiones de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje en los resistores, inductores y condensadores es igual a la fuerza electromotriz total en un circuito cerrado. Tenemos los tres resultados siguientes:

  1. La caída de voltaje a través de una resistencia está dada por
    ER=Ri,ER=Ri,

    donde RR es una constante de proporcionalidad llamada resistencia, y ii es la corriente.
  2. La caída de voltaje en un inductor está dada por
    EL=Li,EL=Li,

    donde LL es una constante de proporcionalidad llamada inductancia, y ii denota de nuevo la corriente.
  3. La caída de voltaje en un condensador está dada por
    EC=1Cq,EC=1Cq,

donde CC es una constante de proporcionalidad llamada capacidad, y qq es la carga instantánea del condensador. La relación entre ii y qq es i=q.i=q.

Utilizamos unidades de voltios (V)(V) para medir el voltaje E,E, amperios (A)(A) para medir la corriente i,i, culombios (C)(C) para medir la carga q,q, ohmios (Ω)(Ω) para medir la resistencia R,R, henrios (H)(H) para medir la inductancia L,L, y faradios (F)(F) para medir la capacidad C.C. Considere el circuito en la Figura 4.25.

Un diagrama de un circuito eléctrico en un rectángulo. En la parte superior hay un condensador C, en la izquierda un generador de voltaje Vs, en la inferior un resistor R y en la derecha un inductor L.
Figura 4.25 Un circuito eléctrico típico, que contiene un generador de tensión ( V S ) , ( V S ) , condensador ( C ) , ( C ) , inductor ( L ) , ( L ) , y el resistor ( R ) . ( R ) .

Aplicando la ley de ley de las tensiones de Kirchhoff a este circuito, suponemos que EE denota la fuerza electromotriz suministrada por el generador de voltaje. Entonces

EL+ER+EC=E.EL+ER+EC=E.

Sustituyendo las expresiones para EL,ER,EL,ER, y ECEC en esta ecuación, obtenemos

Li+Ri+1Cq=E.Li+Ri+1Cq=E.
(4.24)

Si no hay ningún condensador en el circuito, la ecuación se convierte en

Li+Ri=E.Li+Ri=E.
(4.25)

Se trata de una ecuación diferencial de primer orden en i.i. El circuito se denomina un circuito LRLR.

A continuación, supongamos que no hay ningún inductor en el circuito, pero sí un condensador y un resistor, por lo que L=0,R0,L=0,R0, y C0.C0. Entonces la Ecuación 4.23 puede reescribirse como

Rq+1Cq=E,Rq+1Cq=E,
(4.26)

que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Esto se denomina circuito RC. En cualquier caso, podemos plantear y resolver un problema de valores iniciales.

Ejemplo 4.19

Calcular la corriente en un circuito eléctrico RL

Un circuito en serie tiene una fuerza electromotriz dada por E=50sen20tV,E=50sen20tV, un resistor de 5Ω,5Ω, y un inductor de 0,4H.0,4H. Si la corriente inicial es 0,0, calcule la corriente en el momento t>0.t>0.

Punto de control 4.19

Un circuito en serie tiene una fuerza electromotriz dada por E=20sen5tE=20sen5t V, un condensador con capacidad 0,02F,0,02F, y un resistor de 8Ω.8Ω. Si la carga inicial es 4C,4C, calcule la carga en el tiempo t>0.t>0.

Sección 4.5 ejercicios

¿Las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales? Explique su razonamiento.

208.

d y d x = x 2 y + sen x d y d x = x 2 y + sen x

209.

d y d t = t y d y d t = t y

210.

d y d t + y 2 = x d y d t + y 2 = x

211.

y = x 3 + e x y = x 3 + e x

212.

y = y + e y y = y + e y

Escriba las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden en forma estándar.

213.

y = x 3 y + sen x y = x 3 y + sen x

214.

y + 3 y ln x = 0 y + 3 y ln x = 0

215.

x y = ( 3 x + 2 ) y + x e x x y = ( 3 x + 2 ) y + x e x

216.

d y d t = 4 y + t y + tan t d y d t = 4 y + t y + tan t

217.

dydt=yx(x+1)dydt=yx(x+1) grandes.

¿Cuáles son los factores de integración de las siguientes ecuaciones diferenciales?

218.

y = x y + 3 y = x y + 3

219.

y + e x y = sen x y + e x y = sen x

220.

y = x ln ( x ) y + 3 x y = x ln ( x ) y + 3 x

221.

d y d x = tanh ( x ) y + 1 d y d x = tanh ( x ) y + 1

222.

d y d t + 3 t y = e t y d y d t + 3 t y = e t y

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando factores de integración.

223.

y = 3 y + 2 y = 3 y + 2

224.

y = 2 y x 2 y = 2 y x 2

225.

x y = 3 y 6 x 2 x y = 3 y 6 x 2

226.

( x + 2 ) y = 3 x + y ( x + 2 ) y = 3 x + y

227.

y = 3 x + x y y = 3 x + x y

228.

x y = x + y x y = x + y

229.

sen ( x ) y = y + 2 x sen ( x ) y = y + 2 x

230.

y = y + e x y = y + e x

231.

x y = 3 y + x 2 x y = 3 y + x 2

232.

y + ln x = y x y + ln x = y x

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales. Utilice su calculadora para dibujar una familia de soluciones. ¿Hay ciertas condiciones iniciales que cambian el comportamiento de la solución?

233.

[T] (x+2 )y=2 y1(x+2 )y=2 y1

234.

[T] y=3et/32 yy=3et/32 y

235.

[T] xy+y2 =sen(3t)xy+y2 =sen(3t) grandes.

236.

[T] xy=2 cosxx3yxy=2 cosxx3y

237.

[T] (x+1)y=3y+x2 +2 x+1(x+1)y=3y+x2 +2 x+1

238.

[T] sen(x)y+cos(x)y=2 xsen(x)y+cos(x)y=2 x

239.

[T] x2 +1y=y+2 x2 +1y=y+2

240.

[T] x3y+2 x2 y=x+1x3y+2 x2 y=x+1

Resuelva los siguientes problemas de valor inicial utilizando factores de integración.

241.

y + y = x , y ( 0 ) = 3 y + y = x , y ( 0 ) = 3

242.

y = y + 2 x 2 , y ( 0 ) = 0 y = y + 2 x 2 , y ( 0 ) = 0

243.

x y = y 3 x 3 , y ( 1 ) = 0 x y = y 3 x 3 , y ( 1 ) = 0

244.

x 2 y = x y ln x , y ( 1 ) = 1 x 2 y = x y ln x , y ( 1 ) = 1

245.

( 1 + x 2 ) y = y 1 , y ( 0 ) = 0 ( 1 + x 2 ) y = y 1 , y ( 0 ) = 0

246.

x y = y + 2 x ln x , y ( 1 ) = 5 x y = y + 2 x ln x , y ( 1 ) = 5

247.

( 2 + x ) y = y + 2 + x , y ( 0 ) = 0 ( 2 + x ) y = y + 2 + x , y ( 0 ) = 0

248.

y = x y + 2 x e x , y ( 0 ) = 2 y = x y + 2 x e x , y ( 0 ) = 2

249.

x y = y + 2 x , y ( 0 ) = 1 x y = y + 2 x , y ( 0 ) = 1

250.

y = 2 y + x e x , y ( 0 ) = –1 y = 2 y + x e x , y ( 0 ) = –1

251.

Un objeto de masa mm que cae puede alcanzar la velocidad límite cuando la fuerza de arrastre es proporcional a su velocidad, con la constante de proporcionalidad k.k. Plantee la ecuación diferencial y calcule la velocidad si la velocidad inicial es 0.0.

252.

Si utilizamos su expresión del problema anterior, ¿cuál es la velocidad límite? (Pista: Examine el comportamiento límite; ¿la velocidad se acerca a un valor?)

253.

[T] Si utilizamos su ecuación para la velocidad límite, resuelva la distancia caída. Cuánto tiempo tarda en caer 5.0005.000 metros si la masa es 100100 kilogramos, la aceleración debida a la gravedad es 9,89,8 m/s2 la constante de proporcionalidad es 4?4?

254.

Una forma más precisa de describir la velocidad límite es que la fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, con una constante de proporcionalidad k.k. Plantee la ecuación diferencial y calcule la velocidad.

255.

Si utilizamos su expresión del problema anterior, ¿cuál es la velocidad límite? (Pista: Examine el comportamiento límite: ¿la velocidad se aproxima a un valor?)

256.

[T] Si utilizamos su ecuación para la velocidad límite, resuelva la distancia caída. Cuánto tiempo tarda en caer 5.0005.000 metros si la masa es 100100 kilogramos, la aceleración debida a la gravedad es 9,8m/s2 9,8m/s2 y la constante de proporcionalidad es 4?4? ¿Se tarda más o menos tiempo que su estimación inicial?

Para los siguientes problemas, determine cómo el parámetro aa afecta a la solución.

257.

Resuelva la ecuación genérica y=ax+y.y=ax+y. ¿Cómo la variación de aa cambia el comportamiento?

258.

Resuelva la ecuación genérica y=ay+x.y=ay+x. ¿Cómo la variación de aa cambia el comportamiento?

259.

Resuelva la ecuación genérica y=ax+xy.y=ax+xy. ¿Cómo la variación de aa cambia el comportamiento?

260.

Resuelva la ecuación genérica y=x+axy.y=x+axy. ¿Cómo la variación de aa cambia el comportamiento?

261.

Resuelva yy=ektyy=ekt con la condición inicial y(0)=0.y(0)=0. A medida que kk se acerca a 1,1, ¿qué ocurre con su fórmula?

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