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  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Punto de control

3.1

r ( 0 ) = j , r ( 1 ) = –2 i + 5 j , r ( –4 ) = 28 i 15 j r ( 0 ) = j , r ( 1 ) = –2 i + 5 j , r ( –4 ) = 28 i 15 j

El dominio de r(t)=(t2 3t)i+(4t+1)jr(t)=(t2 3t)i+(4t+1)j son todos números reales.

3.3

lím t −2 r ( t ) = 3 i 5 j k lím t −2 r ( t ) = 3 i 5 j k

3.4

r ( t ) = 4 t i + 5 j r ( t ) = 4 t i + 5 j

3.5

r ( t ) = ( 1 + ln t ) i + 5 e t j ( sen t + cos t ) k r ( t ) = ( 1 + ln t ) i + 5 e t j ( sen t + cos t ) k

3.6

d d t [ r ( t ) . r ( t ) ] = 8 e 4 t d d t [ r ( t ) . r ( t ) ] = 8 e 4 t

d d t [ u ( t ) × r ( t ) ] = ( e 2 t ( cos t + 2 sen t ) + cos 2 t ) i + ( e 2 t ( 2 t + 1 ) sen 2 t ) j + ( t cos t + sen t cos 2 t ) k d d t [ u ( t ) × r ( t ) ] = ( e 2 t ( cos t + 2 sen t ) + cos 2 t ) i + ( e 2 t ( 2 t + 1 ) sen 2 t ) j + ( t cos t + sen t cos 2 t ) k

3.7

T ( t ) = 2 t 4 t 2 + 5 i + 2 4 t 2 + 5 j + 1 4 t 2 + 5 k T ( t ) = 2 t 4 t 2 + 5 i + 2 4 t 2 + 5 j + 1 4 t 2 + 5 k

3.8

1 3 [ ( 2 t + 4 ) i + ( 3 t 2 4 t ) j ] d t = 16 i + 10 j 1 3 [ ( 2 t + 4 ) i + ( 3 t 2 4 t ) j ] d t = 16 i + 10 j

3.9

r(t)=4t,4t,3t2 ,r(t)=4t,4t,3t2 , por lo que s=127(1133/2 323/2 )37,785s=127(1133/2 323/2 )37,785

3.10

s=5t,s=5t, o t=s/5.t=s/5. Al sustituir esto en r(t)=3cost,3sent,4tr(t)=3cost,3sent,4t se obtiene

r ( s ) = 3 cos ( s 5 ) , 3 sen ( s 5 ) , 4 s 5 , s 0, r ( s ) = 3 cos ( s 5 ) , 3 sen ( s 5 ) , 4 s 5 , s 0,

3.11

κ = 6 101 3 / 2 0,0059 κ = 6 101 3 / 2 0,0059

3.12

N ( 2 ) = 2 2 ( i j ) N ( 2 ) = 2 2 ( i j )

3.13

κ = 4 [ 1 + ( 4 x 4 ) 2 ] 3 / 2 κ = 4 [ 1 + ( 4 x 4 ) 2 ] 3 / 2

En el punto x=1,x=1, la curvatura es igual a 4. Por lo tanto, el radio del círculo osculante es 14.14.

A continuación aparece un gráfico de esta función

Esta figura es el gráfico de la función y = 2x^2-4x+5. La curva es una parábola que se abre con vértice en (1, 3).

El vértice de esta parábola se encuentra en el punto (1,3).(1,3). Además, el centro del círculo osculante está directamente sobre el vértice. Por lo tanto, las coordenadas del centro son (1,134).(1,134). La ecuación del círculo osculante es

( x 1 ) 2 + ( y 13 4 ) 2 = 1 16 . ( x 1 ) 2 + ( y 13 4 ) 2 = 1 16 .

3.14

v ( t ) = r ( t ) = ( 2 t 3 ) i + 2 j + k a ( t ) = v ( t ) = 2 i v ( t ) = r ( t ) = ( 2 t 3 ) 2 + 2 2 + 1 2 = 4 t 2 12 t + 14 v ( t ) = r ( t ) = ( 2 t 3 ) i + 2 j + k a ( t ) = v ( t ) = 2 i v ( t ) = r ( t ) = ( 2 t 3 ) 2 + 2 2 + 1 2 = 4 t 2 12 t + 14

Las unidades de velocidad y rapidez son pies por segundo, y las unidades de aceleración son pies por segundo al cuadrado.

3.15
  1. v(t)=r(t)=4i+2 tja(t)=v(t)=2 jaT=2 tt2 +4,aN=2 t2 +4v(t)=r(t)=4i+2 tja(t)=v(t)=2 jaT=2 tt2 +4,aN=2 t2 +4
  2. aT(−3)=61313,aN(−3)=2 1313aT(−3)=61313,aN(−3)=2 1313
3.16

967,15 m

3.17

a = 1,224 × 10 9 m 1.224.000 km a = 1,224 × 10 9 m 1.224.000 km

Sección 3.1 ejercicios

1.

f ( t ) = 3 sec t , g ( t ) = 2 tan t f ( t ) = 3 sec t , g ( t ) = 2 tan t

3.


Esta figura es el gráfico de la función r(t) = 3sect i + 2tant j. El gráfico tiene dos asíntotas inclinadas. Son diagonales y pasan por el origen. La curva tiene dos partes, una a la izquierda del eje y con una curva hiperbólica. Además, hay una segunda parte de la curva a la derecha del eje y con una curva hiperbólica. La orientación se representa con flechas en la curva. Ambas curvas tienen una orientación ascendente.
5.

a. 2 2 ,2 2 ,2 2 ,2 2 , b. 12 ,32 ,12 ,32 , c. Sí, el límite a medida que t se acerca hasta π/3π/3 es igual a r(π/3),r(π/3), d.

Esta figura es un gráfico de un círculo centrado en el origen. El círculo tiene un radio de 1 y está orientado en sentido contrario a las agujas del reloj, con flechas que representan la orientación.
7.

a. eπ/4,2 2 ,ln(π4);eπ/4,2 2 ,ln(π4); b. eπ/4,2 2 ,ln(π4);eπ/4,2 2 ,ln(π4); c. Sí

9.

e π / 2 , 1 , ln ( π 2 ) e π / 2 , 1 , ln ( π 2 )

11.

2 e 2 i + 2 e 4 j + 2 k 2 e 2 i + 2 e 4 j + 2 k

13.

El límite no existe porque el límite de ln(t1)ln(t1) a medida que t se acerca al infinito no existe.

15.

t>0,t(2 k+1)π2 ,t>0,t(2 k+1)π2 , donde k es un número entero

17.

t>3,tnπ,t>3,tnπ, donde n es un número entero

19.


Esta figura tiene dos gráficos. El primer gráfico está marcado como "sección transversal" y es un círculo centrado en el origen con radio 1. Tiene una orientación contraria a las agujas del reloj. El gráfico de la sección está marcado como "vista lateral" y es una hélice tridimensional. La hélice tiene una orientación contraria a las agujas del reloj.
21.

Todo t tal que t(1,)t(1,)

23.

y=2 x3,y=2 x3, una variación de la función de raíz cúbica

Esta figura es el gráfico de y = 2 veces la raíz cúbica de x. Es una función creciente que pasa por el origen. La curva se vuelve más vertical cerca del origen. Tiene orientación a la derecha representada con flechas en la curva.
25.

x2 +y2 =9,x2 +y2 =9, un círculo centrado en (0,0)(0,0) con radio 3, y una orientación contraria a las agujas del reloj

Esta figura es el gráfico de x^2 + y^2 = 9. Es un círculo centrado en el origen con radio 3. Tiene orientación contraria a las agujas del reloj representada con flechas en la curva.
27.


Esta figura es el gráfico de r(t) = 2cost^2 i + (2 – la raíz cuadrada de t) j. La curva se mueve en espiral en el primer cuadrante, tocando el eje y. A medida que la curva se acerca al eje x, las espirales se hacen más estrechas. Tiene el aspecto de un resorte que se comprime. Las flechas de la curva representan la orientación hacia abajo.
29.


Esta figura tiene dos gráficos. La primera es tridimensional y es una curva que forma un ocho de lado dentro de una caja. La caja representa el primer octante. El segundo gráfico es bidimensional. Representa la misma curva desde una "vista en el plano yt". El eje horizontal está marcado como "t". La curva está conectada y se cruza sobre sí misma en el primer cuadrante asemejando una figura de ocho.


Halle una función de valor vectorial que trace la curva dada en la dirección indicada.

31.

De izquierda a derecha, y=x2 ,y=x2 , donde t aumenta

33.

( 50 , 0 , 0 ) ( 50 , 0 , 0 )

35.


Esta figura es un gráfico en el sistema de coordenadas tridimensional. Es una curva que comienza en el centro de la caja y se curva hacia la esquina superior izquierda La caja representa un octante del sistema de coordenadas.
37.


Esta figura tiene dos gráficos. La primera es tridimensional y es una curva conectada con orientación contraria a las agujas del reloj dentro de una caja. El segundo gráfico es tridimensional. Representa la misma curva desde diferentes puntos de vista de la caja. Desde el lado de la caja la curva está conectada y tiene profundidad.
39.

Una posibilidad es r(t)=costi+sentj+sen(4t)k.r(t)=costi+sentj+sen(4t)k. Al aumentar el coeficiente de t en la tercera componente, aumentará el número de puntos de inflexión.

Esta figura es un gráfico tridimensional. Es una curva conectada dentro de una caja. La curva tiene orientación. A medida que la orientación recorre la curva, sube y baja en profundidad.

Sección 3.2 ejercicios

41.

3 t 2 , 6 t , 1 2 t 2 3 t 2 , 6 t , 1 2 t 2

43.

e t , 3 cos ( 3 t ) , 5 t e t , 3 cos ( 3 t ) , 5 t

45.

0 , 0 , 0 0 , 0 , 0

47.

−1 ( t + 1 ) 2 , 1 1 + t 2 , 3 t −1 ( t + 1 ) 2 , 1 1 + t 2 , 3 t

49.

0 , 12 cos ( 3 t ) , cos t t sen t 0 , 12 cos ( 3 t ) , cos t t sen t

51.

1 2 1 , –1 , 0 1 2 1 , –1 , 0

53.

1 1060,5625 6 , 3 4 , 32 1 1060,5625 6 , 3 4 , 32

55.

1 9 sen 2 ( 3 t ) + 144 cos 2 ( 4 t ) 0 , −3 sen ( 3 t ) , 12 cos ( 4 t ) 1 9 sen 2 ( 3 t ) + 144 cos 2 ( 4 t ) 0 , −3 sen ( 3 t ) , 12 cos ( 4 t )

57.

T ( t ) = −12 13 sen ( 4 t ) i + 12 13 cos ( 4 t ) j + 5 13 k T ( t ) = −12 13 sen ( 4 t ) i + 12 13 cos ( 4 t ) j + 5 13 k

59.

2 t , 4 t 3 , −8 t 7 2 t , 4 t 3 , −8 t 7

61.

sen ( t ) + 2 t e t 4 t 3 cos ( t ) + t cos ( t ) + t 2 e t + t 4 sen ( t ) sen ( t ) + 2 t e t 4 t 3 cos ( t ) + t cos ( t ) + t 2 e t + t 4 sen ( t )

63.

900 t 7 + 16 t 900 t 7 + 16 t

65.

  1. Esta figura es un gráfico de una curva en 3 dimensiones. La curva tiene asíntotas y desde la vista superior, la curva se asemeja a la función secante.
  2. Indefinido o infinito
67.

r'(t)=bωsen(ωt)i+bωcos(ωt)j.r'(t)=bωsen(ωt)i+bωcos(ωt)j. Para demostrar la ortogonalidad, observe que r'(t).r(t)=0.r'(t).r(t)=0.

69.

0 i + 2 j + 4 t j 0 i + 2 j + 4 t j

71.

1 3 ( 10 3 / 2 1 ) 1 3 ( 10 3 / 2 1 )

73.


v(t)=kv(t).v(t)=kddt(v(t).v(t))=ddtk=0v(t).v'(t)+v'(t).v(t)=02 v(t).v'(t)=0v(t).v'(t)=0.v(t)=kv(t).v(t)=kddt(v(t).v(t))=ddtk=0v(t).v'(t)+v'(t).v(t)=02 v(t).v'(t)=0v(t).v'(t)=0.
La última afirmación implica que la velocidad y la aceleración son perpendiculares u ortogonales.

75.

v(t)=1sent,1cost,v(t)=1sent,1cost, velocidad=v(t)=32 (sent+cost)velocidad=v(t)=32 (sent+cost)

77.

x 1 = t , y 1 = t , z 0 = 0 x 1 = t , y 1 = t , z 0 = 0

79.

r(t)=18,9r(t)=18,9 a las t=3t=3

81.

161 161

83.

v ( t ) = sen t , cos t , 1 v ( t ) = sen t , cos t , 1

85.

a ( t ) = cos t i sen t j + 0 j a ( t ) = cos t i sen t j + 0 j

87.

v ( t ) = sen t , 2 cos t , 0 v ( t ) = sen t , 2 cos t , 0

89.

a ( t ) = 2 2 , 2 , 0 a ( t ) = 2 2 , 2 , 0

91.

v ( t ) = sec 4 t + sec 2 t tan 2 t = sec 2 t ( sec 2 t + tan 2 t ) v ( t ) = sec 4 t + sec 2 t tan 2 t = sec 2 t ( sec 2 t + tan 2 t )

93.

2

95.

0 , 2 sen t ( t 1 t ) 2 cos t ( 1 + 1 t 2 ) , 2 sen t ( 1 + 1 t 2 ) + 2 cos t ( t 2 t ) 0 , 2 sen t ( t 1 t ) 2 cos t ( 1 + 1 t 2 ) , 2 sen t ( 1 + 1 t 2 ) + 2 cos t ( t 2 t )

97.

T ( t ) = t 2 t 4 + 1 , −1 t 4 + 1 T ( t ) = t 2 t 4 + 1 , −1 t 4 + 1

99.

T ( t ) = 1 3 1 , 2 , 2 T ( t ) = 1 3 1 , 2 , 2

101.

3 4 i + ln ( 2 ) j + ( 1 1 e ) j 3 4 i + ln ( 2 ) j + ( 1 1 e ) j

Sección 3.3 ejercicios

103.

8 5 8 5

105.

154(373/2 1)154(373/2 1) grandes.

107.

Longitud =2 π=2 π

109.

6 π 6 π

111.

e 1 e e 1 e

113.

T(0)=j,T(0)=j, N(0)=iN(0)=i

115.

T ( t ) = 2 6,costsent6, cost+sent6 T ( t ) = 2 6,costsent6, cost+sent6

117.

N ( 0 ) = 2 2 ,   0 , 2 2 N ( 0 ) = 2 2 ,   0 , 2 2

119.

T ( t ) = 1 4 t 2 + 2 < 1 , 2 t , 1 > T ( t ) = 1 4 t 2 + 2 < 1 , 2 t , 1 >

121.

T ( t ) = 1 100 t 2 + 13 ( 3 i + 10 t j + 2 k ) T ( t ) = 1 100 t 2 + 13 ( 3 i + 10 t j + 2 k )

123.

T ( t ) = 1 9 t 4 + 76 t 2 + 16 ( [ 3 t 2 4 ] i + 10 t j ) T ( t ) = 1 9 t 4 + 76 t 2 + 16 ( [ 3 t 2 4 ] i + 10 t j )

125.

N ( t ) = sen t , 0 , cos t N ( t ) = sen t , 0 , cos t

127.

Función de longitud de arco s(t)=5t;s(t)=5t; r como parámetro de s: r(s)=(33s5)i+4s5jr(s)=(33s5)i+4s5j

129.

r ( s ) = ( 1 + s 2 ) sen ( ln ( 1 + s 2 ) ) i + ( 1 + s 2 ) cos [ ln ( 1 + s 2 ) ] j r ( s ) = ( 1 + s 2 ) sen ( ln ( 1 + s 2 ) ) i + ( 1 + s 2 ) cos [ ln ( 1 + s 2 ) ] j

131.

El valor máximo de la curvatura se produce en x=1.x=1.

133.

1 2 1 2

135.

κ 49,477 ( 17 + 144 t 2 ) 3 / 2 κ 49,477 ( 17 + 144 t 2 ) 3 / 2

137.

1 2 2 1 2 2

139.

La curvatura se aproxima a cero.

141.

y=6x+πy=6x+π y x+6y=6πx+6y=6π

143.

x + 2 z = π 2 x + 2 z = π 2

145.

a 4 b 4 ( b 4 x 2 + a 4 y 2 ) 3 / 2 a 4 b 4 ( b 4 x 2 + a 4 y 2 ) 3 / 2

147.

10 10 3 10 10 3

149.

38 3 38 3

151.

La curvatura es decreciente en este intervalo.

153.

κ = 6 x 2 / 5 ( 25 + 4 x 6 / 5 ) κ = 6 x 2 / 5 ( 25 + 4 x 6 / 5 )

Sección 3.4 ejercicios

155.

v ( t ) = ( 6 t ) i + ( 2 cos ( t ) ) j v ( t ) = ( 6 t ) i + ( 2 cos ( t ) ) j

157.

v(t)=−3sent,3cost,2 t,v(t)=−3sent,3cost,2 t, a(t)=−3cost,−3sent,2 ,a(t)=−3cost,−3sent,2 , velocidad=9+4t2 velocidad=9+4t2

159.

v(t)=–2sentj+3costk,v(t)=–2sentj+3costk, a(t)=−2costj3sentk,a(t)=−2costj3sentk, velocidad=4sen2 t+9cos2 tvelocidad=4sen2 t+9cos2 t

161.

v(t)=etietj,v(t)=etietj, a(t)=eti+etj,a(t)=eti+etj, v(t)e2 t+e−2tv(t)e2 t+e−2t

163.

t = 4 t = 4

165.

v ( t ) = ( ω ω cos ( ω t ) ) i + ( ω sen ( ω t ) ) j , v ( t ) = ( ω ω cos ( ω t ) ) i + ( ω sen ( ω t ) ) j ,
a ( t ) = ( ω 2 sen ( ω t ) ) i + ( ω 2 cos ( ω t ) ) j , a ( t ) = ( ω 2 sen ( ω t ) ) i + ( ω 2 cos ( ω t ) ) j ,
velocidad = ω 2 2 ω 2 cos ( ω t ) + ω 2 cos 2 ( ω t ) + ω 2 sen 2 ( ω t ) = 2 ω 2 ( 1 cos ( ω t ) ) velocidad = ω 2 2 ω 2 cos ( ω t ) + ω 2 cos 2 ( ω t ) + ω 2 sen 2 ( ω t ) = 2 ω 2 ( 1 cos ( ω t ) )

167.

v ( t ) = 9 + 4 t 2 v ( t ) = 9 + 4 t 2

169.

v ( t ) = e −5 t ( cos t 5 sen t ) , e −5 t ( sen t + 5 cos t ) , –20 e −5 t v ( t ) = e −5 t ( cos t 5 sen t ) , e −5 t ( sen t + 5 cos t ) , –20 e −5 t

171.

a(t)=e−5t(sent5cost)5e−5t(cost5sent),a(t)=e−5t(sent5cost)5e−5t(cost5sent), e−5t(cost5sent)+5e−5t(sent+5cost),100e−5te−5t(cost5sent)+5e−5t(sent+5cost),100e−5t

173.

44,185 s

175.

t=88,37t=88,37 s

177.

88,37 s

179.

El rango es de aproximadamente 886,29 m.

181.

v=42,16v=42,16 m/s

183.

r ( t ) = 0 i + ( 1 6 t 3 + 4,5 t 14 3 ) j + ( t 3 6 1 2 t + 1 3 ) k r ( t ) = 0 i + ( 1 6 t 3 + 4,5 t 14 3 ) j + ( t 3 6 1 2 t + 1 3 ) k

185.

aT=0,aT=0, aN=aω2 aN=aω2

187.

aT=3et,aT=3et, aN=2 etaN=2 et

189.

aT=2 t,aT=2 t, aN=4+2 t2 aN=4+2 t2

191.

aT6t+12t31+t4+t2 ,aT6t+12t31+t4+t2 , aN=61+4t2 +t41+t2 +t4aN=61+4t2 +t41+t2 +t4

193.

aT=0,aT=0, aN=12π2 aN=12π2

195.

r ( t ) = ( –1 m cos t + c + 1 m ) i + ( sen t m + ( v 0 + 1 m ) t ) j r ( t ) = ( –1 m cos t + c + 1 m ) i + ( sen t m + ( v 0 + 1 m ) t ) j

197.

10,94 km/s

201.

a T = 0,43 m/s 2 , a T = 0,43 m/s 2 ,
a N = –2,46 m/seg 2 a N = –2,46 m/seg 2

Ejercicios de repaso

203.

Falso, ddt[u(t)×u(t)]=0ddt[u(t)×u(t)]=0

205.

Falso, es |r(t)||r(t)|

207.

t<4,t<4, tnπ2 tnπ2

209.


Esta figura es una curva en 3 dimensiones. Está dentro de una caja. La caja representa un octante. La curva comienza en el centro de la parte inferior de la caja y va en espiral hacia la parte superior, aumentando el radio a medida que avanza.
211.

r ( t ) = t , 2 t 2 8 , −2 t 2 8 r ( t ) = t , 2 t 2 8 , −2 t 2 8

213.

u(t)=2 t,2 ,20t4,u(t)=2 t,2 ,20t4, u(t)=2 ,0,80t3,u(t)=2 ,0,80t3, ddt[u(t)×u(t)]=–480t3160t4,24+75t2 ,12+4t,ddt[u(t)×u(t)]=–480t3160t4,24+75t2 ,12+4t, ddt[u(t)×u(t)]=480t3+160t4,–2475t2 ,–124t,ddt[u(t)×u(t)]=480t3+160t4,–2475t2 ,–124t, ddt[u(t).u(t)]=720t89.600t3+6t2 +4,ddt[u(t).u(t)]=720t89.600t3+6t2 +4, vector unitario tangente T(t)=2 t400t8+4t2 +4i+2 400t8+4t2 +4j+20t4400t8+4t2 +4kT(t)=2 t400t8+4t2 +4i+2 400t8+4t2 +4j+20t4400t8+4t2 +4k

215.

ln ( 4 ) 2 2 i + 2 j + 2 ( 2 + 2 ) π k ln ( 4 ) 2 2 i + 2 j + 2 ( 2 + 2 ) π k

217.

37 2 + 1 12 senoh −1 ( 6 ) 37 2 + 1 12 senoh −1 ( 6 )

219.

r ( t ( s ) ) = cos ( 2 s 65 ) i + 8 s 65 j sen ( 2 s 65 ) k r ( t ( s ) ) = cos ( 2 s 65 ) i + 8 s 65 j sen ( 2 s 65 ) k

221.

e 2 t ( e 2 t + 1 ) 2 e 2 t ( e 2 t + 1 ) 2

223.

aT=e2 t1+e2 t,aT=e2 t1+e2 t, aN=2 e2 t+4e2 tsentcost+11+e2 taN=2 e2 t+4e2 tsentcost+11+e2 t

225.

v(t)=2 t,1t,cos(πt)v(t)=2 t,1t,cos(πt) m/s, a(t)=2 ,1t2 ,sen(πt)m/seg2 ,a(t)=2 ,1t2 ,sen(πt)m/seg2 , velocidad=4t2 +1t2 +cos2 (πt)velocidad=4t2 +1t2 +cos2 (πt) m/s; en t=1,t=1, r(1)=1,0,0r(1)=1,0,0 m, v(1)=2 ,–1,1v(1)=2 ,–1,1 m/s, a(1)=2 ,–1,0a(1)=2 ,–1,0 m/s2 y velocidad=6velocidad=6 m/s

227.

r(t)=v0tg2 t2 j,r(t)=v0tg2 t2 j, r(t)=v0(cosθ)t,v0(senθ)t,g2 t2 r(t)=v0(cosθ)t,v0(senθ)t,g2 t2

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