Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Punto de control

3.1

$r (0) = j, r (1) = –2 i + 5 j, r (–4) = 28 i - 15 j$

El dominio de $r (t) = (t^{2} - 3 t) i + (4 t + 1) j$ son todos números reales.

3.2

Esta figura es un gráfico de la función r(t) = (t^2-1)i + (2t-3)j, para los valores de t de 0 a 3. La curva comienza en el 3.º cuadrante en el par ordenado (-1,-3) y aumenta hasta el 1.º cuadrante. Es creciente y tiene flechas en la curva que representan la orientación hacia la derecha.

3.3

$\underset{t \to −2}{lím} r (t) = 3 i - 5 j - k$

3.4

$r^{'} (t) = 4 t i + 5 j$

3.5

$r^{'} (t) = (1 + ln t) i + 5 e^{t} j - (sen t + cos t) k$

3.6

$\frac{d}{d t} [r (t) . r^{'} (t)] = 8 e^{4 t}$

$\begin{array}{l} \frac{d}{d t} [u (t) \times r (t)] \\ = - (e^{2 t} (cos t + 2 sen t) + cos 2 t) i + (e^{2 t} (2 t + 1) - sen 2 t) j + (t cos t + sen t - cos 2 t) k \end{array}$

3.7

$T (t) = \frac{2 t}{\sqrt{4 t^{2} + 5}} i + \frac{2}{\sqrt{4 t^{2} + 5}} j + \frac{1}{\sqrt{4 t^{2} + 5}} k$

3.8

$\int_{1}^{3} [(2 t + 4) i + (3 t^{2} - 4 t) j] d t = 16 i + 10 j$

3.9

$r^{'} (t) = 〈 4 t, 4 t, 3 t^{2} 〉,$ por lo que $s = \frac{1}{27} (113^{3 / 2} - 32^{3 / 2}) \approx 37,785$

3.10

$s = 5 t,$ o $t = s / 5 .$ Al sustituir esto en $r (t) = 〈 3 cos t, 3 sen t, 4 t 〉$ se obtiene

$r (s) = 〈 3 cos (\frac{s}{5}), 3 sen (\frac{s}{5}), \frac{4 s}{5} 〉, s \geq 0,$

3.11

$κ = \frac{6}{101^{3 / 2}} \approx 0,0059$

3.12

$N (2) = \frac{\sqrt{2}}{2} (i - j)$

3.13

$κ = \frac{4}{{[1 + {(4 x - 4)}^{2}]}^{3 / 2}}$

En el punto $x = 1,$ la curvatura es igual a 4. Por lo tanto, el radio del círculo osculante es $\frac{1}{4} .$

A continuación aparece un gráfico de esta función

Esta figura es el gráfico de la función y = 2x^2-4x+5. La curva es una parábola que se abre con vértice en (1, 3).

El vértice de esta parábola se encuentra en el punto $(1, 3) .$ Además, el centro del círculo osculante está directamente sobre el vértice. Por lo tanto, las coordenadas del centro son $(1, \frac{13}{4}) .$ La ecuación del círculo osculante es

${(x - 1)}^{2} + {(y - \frac{13}{4})}^{2} = \frac{1}{16} .$

3.14

$\begin{matrix} v (t) = r^{'} (t) = (2 t - 3) i + 2 j + k \\ a (t) = v^{'} (t) = 2 i \\ v (t) = ‖ r^{'} (t) ‖ = \sqrt{{(2 t - 3)}^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 t^{2} - 12 t + 14} \end{matrix}$

Las unidades de velocidad y rapidez son pies por segundo, y las unidades de aceleración son pies por segundo al cuadrado.

3.15

$\begin{matrix} v (t) & = & r^{'} (t) = 4 i + 2 t j \\ a (t) & = & v^{'} (t) = 2 j \\ a_{T} & = & \frac{2 t}{\sqrt{t^{2} + 4}}, a_{N} = \frac{2}{\sqrt{t^{2} + 4}} \end{matrix}$
$a_{T} (−3) = - \frac{6 \sqrt{13}}{13}, a_{N} (−3) = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

3.16

967,15 m

3.17

$a = 1,224 \times 10^{9} m \approx 1.224.000 km$

Sección 3.1 ejercicios

1.

$f (t) = 3 sec t, g (t) = 2 tan t$

3.

Esta figura es el gráfico de la función r(t) = 3sect i + 2tant j. El gráfico tiene dos asíntotas inclinadas. Son diagonales y pasan por el origen. La curva tiene dos partes, una a la izquierda del eje y con una curva hiperbólica. Además, hay una segunda parte de la curva a la derecha del eje y con una curva hiperbólica. La orientación se representa con flechas en la curva. Ambas curvas tienen una orientación ascendente.

5.

a. $〈 \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} 〉,$ b. $〈 \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} 〉,$ c. Sí, el límite a medida que t se acerca hasta $π / 3$ es igual a $r (π / 3),$ d.

Esta figura es un gráfico de un círculo centrado en el origen. El círculo tiene un radio de 1 y está orientado en sentido contrario a las agujas del reloj, con flechas que representan la orientación.

7.

a. $〈 e^{π / 4}, \frac{\sqrt{2}}{2}, ln (\frac{π}{4}) 〉;$ b. $〈 e^{π / 4}, \frac{\sqrt{2}}{2}, ln (\frac{π}{4}) 〉;$ c. Sí

9.

$〈 e^{π / 2}, 1, ln (\frac{π}{2}) 〉$

11.

$2 e^{2} i + \frac{2}{e^{4}} j + 2 k$

13.

El límite no existe porque el límite de $ln (t - 1)$ a medida que t se acerca al infinito no existe.

15.

$t > 0, t \neq (2 k + 1) \frac{π}{2},$ donde k es un número entero

17.

$t > 3, t \neq n π,$ donde n es un número entero

19.

Esta figura tiene dos gráficos. El primer gráfico está marcado como "sección transversal" y es un círculo centrado en el origen con radio 1. Tiene una orientación contraria a las agujas del reloj. El gráfico de la sección está marcado como "vista lateral" y es una hélice tridimensional. La hélice tiene una orientación contraria a las agujas del reloj.

21.

Todo t tal que $t \in (1, \infty)$

23.

$y = 2 \sqrt[3]{x},$ una variación de la función de raíz cúbica

Esta figura es el gráfico de y = 2 veces la raíz cúbica de x. Es una función creciente que pasa por el origen. La curva se vuelve más vertical cerca del origen. Tiene orientación a la derecha representada con flechas en la curva.

25.

$x^{2} + y^{2} = 9,$ un círculo centrado en $(0, 0)$ con radio 3, y una orientación contraria a las agujas del reloj

Esta figura es el gráfico de x^2 + y^2 = 9. Es un círculo centrado en el origen con radio 3. Tiene orientación contraria a las agujas del reloj representada con flechas en la curva.

27.

Esta figura es el gráfico de r(t) = 2cost^2 i + (2 – la raíz cuadrada de t) j. La curva se mueve en espiral en el primer cuadrante, tocando el eje y. A medida que la curva se acerca al eje x, las espirales se hacen más estrechas. Tiene el aspecto de un resorte que se comprime. Las flechas de la curva representan la orientación hacia abajo.

29.

Esta figura tiene dos gráficos. La primera es tridimensional y es una curva que forma un ocho de lado dentro de una caja. La caja representa el primer octante. El segundo gráfico es bidimensional. Representa la misma curva desde una "vista en el plano yt". El eje horizontal está marcado como "t". La curva está conectada y se cruza sobre sí misma en el primer cuadrante asemejando una figura de ocho.

Halle una función de valor vectorial que trace la curva dada en la dirección indicada.

31.

De izquierda a derecha, $y = x^{2},$ donde t aumenta

33.

$(50, 0, 0)$

35.

Esta figura es un gráfico en el sistema de coordenadas tridimensional. Es una curva que comienza en el centro de la caja y se curva hacia la esquina superior izquierda La caja representa un octante del sistema de coordenadas.

37.

Esta figura tiene dos gráficos. La primera es tridimensional y es una curva conectada con orientación contraria a las agujas del reloj dentro de una caja. El segundo gráfico es tridimensional. Representa la misma curva desde diferentes puntos de vista de la caja. Desde el lado de la caja la curva está conectada y tiene profundidad.

39.

Una posibilidad es $r (t) = cos t i + sen t j + sen (4 t) k .$ Al aumentar el coeficiente de t en la tercera componente, aumentará el número de puntos de inflexión.

Esta figura es un gráfico tridimensional. Es una curva conectada dentro de una caja. La curva tiene orientación. A medida que la orientación recorre la curva, sube y baja en profundidad.

Sección 3.2 ejercicios

41.

$〈 3 t^{2}, 6 t, \frac{1}{2} t^{2} 〉$

43.

$〈 − e^{− t}, 3 cos (3 t), \frac{5}{\sqrt{t}} 〉$

45.

$〈 0, 0, 0 〉$

47.

$〈 \frac{−1}{{(t + 1)}^{2}}, \frac{1}{1 + t^{2}}, \frac{3}{t} 〉$

49.

$〈 0, 12 cos (3 t), cos t - t sen t 〉$

51.

$\frac{1}{\sqrt{2}} 〈 1, –1, 0 〉$

53.

$\frac{1}{\sqrt{1060,5625}} 〈 6, - \frac{3}{4}, 32 〉$

55.

$\frac{1}{\sqrt{9 {sen}^{2} (3 t) + 144 {cos}^{2} (4 t)}} 〈 0, −3 sen (3 t), 12 cos (4 t) 〉$

57.

$T (t) = \frac{−12}{13} sen (4 t) i + \frac{12}{13} cos (4 t) j + \frac{5}{13} k$

59.

$〈 2 t, 4 t^{3}, −8 t^{7} 〉$

61.

$sen (t) + 2 t e^{t} - 4 t^{3} cos (t) + t cos (t) + t^{2} e^{t} + t^{4} sen (t)$

63.

$900 t^{7} + 16 t$

65.

Indefinido o infinito

67.

$r' (t) = - b ω sen (ω t) i + b ω cos (ω t) j .$ Para demostrar la ortogonalidad, observe que $r' (t) . r (t) = 0 .$

69.

$0 i + 2 j + 4 t j$

71.

$\frac{1}{3} (10^{3 / 2} - 1)$

73.

$\begin{matrix} ‖ v (t) ‖ & = & k \\ v (t) . v (t) & = & k \\ \frac{d}{d t} (v (t) . v (t)) & = & \frac{d}{d t} k = 0 \\ v (t) . v' (t) + v' (t) . v (t) & = & 0 \\ 2 v (t) . v' (t) & = & 0 \\ v (t) . v' (t) & = & 0 . \end{matrix}$
La última afirmación implica que la velocidad y la aceleración son perpendiculares u ortogonales.

75.

$v (t) = 〈 1 - sen t, 1 - cos t 〉,$ $velocidad = ‖ v (t) ‖ = \sqrt{3 - 2 (sen t + cos t)}$

77.

$x - 1 = t, y - 1 = - t, z - 0 = 0$

79.

$r (t) = 〈 18, 9 〉$ a las $t = 3$

81.

$\sqrt{161}$

83.

$v (t) = 〈 − sen t, cos t, 1 〉$

85.

$a (t) = - cos t i - sen t j + 0 j$

87.

$v (t) = 〈 − sen t, 2 cos t, 0 〉$

89.

$a (t) = 〈 - \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2}, 0 〉$

91.

$‖ v (t) ‖ = \sqrt{{sec}^{4} t + {sec}^{2} t {tan}^{2} t} = \sqrt{{sec}^{2} t ({sec}^{2} t + {tan}^{2} t)}$

93.

2

95.

$〈 0, 2 sen t (t - \frac{1}{t}) - 2 cos t (1 + \frac{1}{t^{2}}), 2 sen t (1 + \frac{1}{t^{2}}) + 2 cos t (t - \frac{2}{t}) 〉$

97.

$T (t) = 〈 \frac{t^{2}}{\sqrt{t^{4} + 1}}, \frac{−1}{\sqrt{t^{4} + 1}} 〉$

99.

$T (t) = \frac{1}{3} 〈 1, 2, 2 〉$

101.

$\frac{3}{4} i + ln (2) j + (1 - \frac{1}{e}) j$

Sección 3.3 ejercicios

103.

$8 \sqrt{5}$

105.

$\frac{1}{54} (37^{3 / 2} - 1)$ grandes.

107.

Longitud $= 2 π$

109.

$6 π$

111.

$e - \frac{1}{e}$

113.

$T (0) = j,$ $N (0) = - i$

115.

$T (t) = 〈 \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{cos t - sen t}{\sqrt{6}}, \frac{cos t + sen t}{\sqrt{6}} 〉$

117.

$N (0) = ⟨ \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2} ⟩$

119.

$T (t) = \frac{1}{\sqrt{4 t^{2} + 2}} < 1, 2 t, 1 >$

121.

$T (t) = \frac{1}{\sqrt{100 t^{2} + 13}} (3 i + 10 t j + 2 k)$

123.

$T (t) = \frac{1}{\sqrt{9 t^{4} + 76 t^{2} + 16}} ([3 t^{2} - 4] i + 10 t j)$

125.

$N (t) = 〈 − sen t, 0, - cos t 〉$

127.

Función de longitud de arco $s (t) = 5 t;$ r como parámetro de s: $r (s) = (3 - \frac{3 s}{5}) i + \frac{4 s}{5} j$

129.

$r (s) = (1 + \frac{s}{\sqrt{2}}) sen (ln (1 + \frac{s}{\sqrt{2}})) i + (1 + \frac{s}{\sqrt{2}}) cos [ln (1 + \frac{s}{\sqrt{2}})] j$

131.

El valor máximo de la curvatura se produce en $x = 1 .$

133.

$\frac{1}{2}$

135.

$κ \approx \frac{49,477}{{(17 + 144 t^{2})}^{3 / 2}}$

137.

$\frac{1}{2 \sqrt{2}}$

139.

La curvatura se aproxima a cero.

141.

$y = 6 x + π$ y $x + 6 y = 6 π$

143.

$x + 2 z = \frac{π}{2}$

145.

$\frac{a^{4} b^{4}}{{(b^{4} x^{2} + a^{4} y^{2})}^{3 / 2}}$

147.

$\frac{10 \sqrt{10}}{3}$

149.

$\frac{38}{3}$

151.

La curvatura es decreciente en este intervalo.

153.

$κ = \frac{6}{x^{2 / 5} (25 + 4 x^{6 / 5})}$

Sección 3.4 ejercicios

155.

$v (t) = (6 t) i + (2 - cos (t)) j$

157.

$v (t) = 〈 −3 sen t, 3 cos t, 2 t 〉,$ $a (t) = 〈 −3 cos t, −3 sen t, 2 〉,$ $velocidad = \sqrt{9 + 4 t^{2}}$

159.

$v (t) = –2 sen t j + 3 \cos t k,$ $a (t) = −2 cos t j - 3 sen t k,$ $velocidad = \sqrt{4 {sen}^{2} t + 9^{cos 2} t}$

161.

$v (t) = e^{t} i - e^{− t} j,$ $a (t) = e^{t} i + e^{− t} j,$ $‖ v (t) ‖ \sqrt{e^{2 t} + e^{−2 t}}$

163.

$t = 4$

165.

$v (t) = (ω - ω cos (ω t)) i + (ω sen (ω t)) j,$
$a (t) = (ω^{2} sen (ω t)) i + (ω^{2} cos (ω t)) j,$
$velocidad = \sqrt{ω^{2} - 2 ω^{2} cos (ω t) + ω^{2} {cos}^{2} (ω t) + ω^{2} {sen}^{2} (ω t)} = \sqrt{2 ω^{2} (1 - cos (ω t))}$

167.

$‖ v (t) ‖ = \sqrt{9 + 4 t^{2}}$

169.

$v (t) = 〈 e^{−5 t} (cos t - 5 sen t), − e^{−5 t} (sen t + 5 cos t), –20 e^{−5 t} 〉$

171.

$a (t) = {〈 e}^{−5 t} (− sen t - 5 cos t) - 5 e^{−5 t} (cos t - 5 sen t),$ $− e^{−5 t} (cos t - 5 sen t) + 5 e^{−5 t} (sen t + 5 cos t), 100 e^{−5 t} 〉$

173.

44,185 s

175.

$t = 88,37$ s

177.

88,37 s

179.

El rango es de aproximadamente 886,29 m.

181.

$v = 42,16$ m/s

183.

$r (t) = 0 i + (\frac{1}{6} t^{3} + 4,5 t - \frac{14}{3}) j + (\frac{t^{3}}{6} - \frac{1}{2} t + \frac{1}{3}) k$

185.

$a_{T} = 0,$ $a_{N} = a ω^{2}$

187.

$a_{T} = \sqrt{3} e^{t},$ $a_{N} = \sqrt{2} e^{t}$

189.

$a_{T} = 2 t,$ $a_{N} = 4 + 2 t^{2}$

191.

$a_{T} \frac{6 t + 12 t^{3}}{\sqrt{1 + t^{4} + t^{2}}},$ $a_{N} = 6 \sqrt{\frac{1 + 4 t^{2} + t^{4}}{1 + t^{2} + t^{4}}}$

193.

$a_{T} = 0,$ $a_{N} = 12 π^{2}$

195.

$r (t) = (\frac{–1}{m} cos t + c + \frac{1}{m}) i + (\frac{− sen t}{m} + (v_{0} + \frac{1}{m}) t) j$

197.

10,94 km/s

201.

$a_{T} = 0,43 {m/s}^{2},$
$a_{N} = –2,46 {m/seg}^{2}$

Ejercicios de repaso

203.

Falso, $\frac{d}{d t} [u (t) \times u (t)] = 0$

205.

Falso, es $| r^{'} (t) |$

207.

$t < 4,$ $t \neq \frac{n π}{2}$

209.

Esta figura es una curva en 3 dimensiones. Está dentro de una caja. La caja representa un octante. La curva comienza en el centro de la parte inferior de la caja y va en espiral hacia la parte superior, aumentando el radio a medida que avanza.

211.

$r (t) = 〈 t, 2 - \frac{t^{2}}{8}, −2 - \frac{t^{2}}{8} 〉$

213.

$u^{'} (t) = 〈 2 t, 2, 20 t^{4} 〉,$ $u ″ (t) = 〈 2, 0, 80 t^{3} 〉,$ $\frac{d}{d t} [u^{'} (t) \times u (t)] = 〈 –480 t^{3} - 160 t^{4}, 24 + 75 t^{2}, 12 + 4 t 〉,$ $\frac{d}{d t} [u (t) \times u^{'} (t)] = 〈 480 t^{3} + 160 t^{4}, –24 - 75 t^{2}, –12 - 4 t 〉,$ $\frac{d}{d t} [u (t) . u^{'} (t)] = 720 t^{8} - 9.600 t^{3} + 6 t^{2} + 4,$ vector unitario tangente $T (t) = \frac{2 t}{\sqrt{400 t^{8} + 4 t^{2} + 4}} i + \frac{2}{\sqrt{400 t^{8} + 4 t^{2} + 4}} j + \frac{20 t^{4}}{\sqrt{400 t^{8} + 4 t^{2} + 4}} k$

215.

$\frac{ln {(4)}^{2}}{2} i + 2 j + \frac{2 (2 + \sqrt{2})}{π} k$

217.

$\frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{1}{12} {senoh}^{−1} (6)$

219.

$r (t (s)) = cos (\frac{2 s}{\sqrt{65}}) i + \frac{8 s}{\sqrt{65}} j - sen (\frac{2 s}{\sqrt{65}}) k$

221.

$\frac{e^{2 t}}{{(e^{2 t} + 1)}^{2}}$

223.

$a_{T} = \frac{e^{2 t}}{\sqrt{1 + e^{2 t}}},$ $a_{N} = \frac{\sqrt{2 e^{2 t} + 4 e^{2 t} sen t cos t + 1}}{\sqrt{1 + e^{2 t}}}$

225.

$v (t) = 〈 2 t, \frac{1}{t}, cos (π t) 〉$ m/s, $a (t) = 〈 2, - \frac{1}{t^{2}}, − sen (π t) 〉 {m/seg}^{2},$ $velocidad = \sqrt{4 t^{2} + \frac{1}{t^{2}} + {cos}^{2} (π t)}$ m/s; en $t = 1,$ $r (1) = 〈 1, 0, 0 〉$ m, $v (1) = 〈 2, –1, 1 〉$ m/s, $a (1) = 〈 2, –1, 0 〉$ m/s² y $velocidad = \sqrt{6}$ m/s

227.

$r (t) = v_{0} t - \frac{g}{2} t^{2} j,$ $r (t) = 〈 v_{0} (cos θ) t, v_{0} (sen θ) t, - \frac{g}{2} t^{2} 〉$

Capítulo 3