Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

3.4.1 Describir los vectores de velocidad y aceleración de una partícula que se mueve en el espacio.
3.4.2 Explicar las componentes tangencial y normal de la aceleración.
3.4.3 Enunciar las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.

Ahora hemos visto cómo describir curvas en el plano y en el espacio, y cómo determinar sus propiedades, como la longitud de arco y la curvatura. Todo esto nos lleva al objetivo principal de este capítulo, que es la descripción del movimiento a lo largo de curvas planas y curvas en el espacio. Ahora tenemos todas las herramientas que necesitamos; en esta sección, reunimos estas ideas y vemos cómo utilizarlas.

Vectores de movimiento en el plano y en el espacio

Nuestro punto de partida es utilizar funciones de valores vectoriales para representar la posición de un objeto como función del tiempo. Todo el material siguiente puede aplicarse tanto a las curvas en el plano como a las curvas en el espacio. Por ejemplo, cuando observamos la órbita de los planetas, las curvas que definen estas órbitas se encuentran todas en un plano porque son elípticas. Sin embargo, una partícula que viaja a lo largo de una hélice se mueve en una curva en tres dimensiones.

Definición

Supongamos que $r (t)$ es una función de valor vectorial dos veces diferenciable del parámetro t que represente la posición de un objeto como función del tiempo. El vector de velocidad $v (t)$ del objeto viene dado por

Velocidad = v (t) = r^{'} (t) .

(3.20)

El vector de aceleración $a (t)$ se define como

Aceleración = a (t) = v^{'} (t) = r″ (t) .

(3.21)

La rapidez se define como

Rapidez = v (t) = ‖ v (t) ‖ = ‖ r^{'} (t) ‖ = \frac{d s}{d t} .

(3.22)

Dado que $r (t)$ puede estar en dos o tres dimensiones, estas funciones de valores vectoriales pueden tener dos o tres componentes. En dos dimensiones, definimos $r (t) = x (t) i + y (t) j$ y en tres dimensiones $r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k .$ Entonces la velocidad, la aceleración y la rapidez pueden escribirse como se muestra en la siguiente tabla.

Cantidad	Dos dimensiones	Tres dimensiones
Posición	$r (t) = x (t) i + y (t) j$	$r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k$
Velocidad	$v (t) = x^{'} (t) i + y^{'} (t) j$	$v (t) = x^{'} (t) i + y^{'} (t) j + z^{'} (t) k$
Aceleración	$a (t) = x ″ (t) i + y ″ (t) j$	$a (t) = x ″ (t) i + y ″ (t) j + z ″ (t) k$
Rapidez	$v (t) = \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}}$	$v (t) = \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2} + {(z^{'} (t))}^{2}}$

Tabla 3.4 Fórmulas de posición, velocidad, aceleración y rapidez

Ejemplo 3.14

Estudiar el movimiento a lo largo de una parábola

Una partícula se mueve en una trayectoria parabólica definida por la función de valor vectorial $r (t) = t^{2} i + \sqrt{5 - t^{2}} j,$ donde t mide el tiempo en segundos.

Calcule la velocidad, la aceleración y la rapidez en función del tiempo.
Dibuje la curva junto con el vector de velocidad en el tiempo $t = 1 .$

Solución

Utilizamos la Ecuación 3.20, la Ecuación 3.21 y la Ecuación 3.22:

$\begin{matrix} v (t) & = & r^{'} (t) = 2 t i - \frac{t}{\sqrt{5 - t^{2}}} j \\ a (t) & = & v^{'} (t) = 2 i - 5 {(5 - t^{2})}^{- \frac{3}{2}} j \\ v (t) & = & ‖ r^{'} (t) ‖ \\ = & \sqrt{{(2 t)}^{2} + {(- \frac{t}{\sqrt{5 - t^{2}}})}^{2}} \\ = & \sqrt{4 t^{2} + \frac{t^{2}}{5 - t^{2}}} \\ = & \sqrt{\frac{21 t^{2} - 4 t^{4}}{5 - t^{2}}} . \end{matrix}$
El gráfico de $r (t) = t^{2} i + \sqrt{5 - t^{2}} j$ es una porción de una parábola (Figura 3.11). El vector de velocidad en $t = 1$ es

$v (1) = r^{'} (1) = 2 (1) i - \frac{1}{\sqrt{5 - {(1)}^{2}}} j = 2 i - \frac{1}{2} j$

y el vector de aceleración en $t = 1$ es

$a (1) = v^{'} (1) = 2 i - 5 {(5 - {(1)}^{2})}^{− 3 / 2} j = 2 i - \frac{5}{8} j .$

Observe que el vector de velocidad es tangente a la trayectoria, como ocurre siempre.

Figura 3.11 Este gráfico representa el vector de velocidad en el tiempo $t = 1$ para una partícula que se mueve en una trayectoria parabólica.

Punto de control 3.14

Una partícula se mueve en una trayectoria definida por la función de valor vectorial $r (t) = (t^{2} - 3 t) i + (2 t - 4) j + (t + 2) k,$ donde t mide el tiempo en segundos y donde la distancia se mide en pies. Calcule la velocidad, la aceleración y la rapidez en función del tiempo.

Para comprender mejor los vectores de velocidad y aceleración, imagine que está conduciendo por una carretera con curvas. Si no gira el volante, continuará en línea recta y se saldrá de la carretera. La rapidez a la que viaja cuando se sale de la carretera, junto con la dirección, da un vector que representa su velocidad, como se ilustra en la siguiente figura.

Esta figura representa una carretera con curvas. En la carretera hay un automóvil. En él hay dos vectores. El primer vector es tangente a la parte trasera del automóvil. El segundo vector sale de la parte delantera en la dirección a la que este se dirige. Ambos vectores están marcados "vectores de velocidad".

Figura 3.12 En cada punto de un camino recorrido por un automóvil, el vector de velocidad es tangente al camino que ha recorrido.

Sin embargo, el hecho de que tenga que girar el volante para mantenerse en la carretera indica que su velocidad siempre está cambiando (aunque su rapidez no lo haga) porque su dirección cambia constantemente para mantenerlo en la carretera. Al girar a la derecha, su vector de aceleración también apunta a la derecha. Al girar a la izquierda, su vector de aceleración apunta a la izquierda. Esto indica que sus vectores de velocidad y aceleración cambian de manera constante, independientemente de que su rapidez real varíe (Figura 3.13).

Esta figura es un automóvil. La trayectoria que recorre el automóvil es una curva creciente representada por una línea de puntos. El centro del automóvil está marcado como "tsub0" en la curva. A partir de este punto hay dos vectores que son ortogonales entre sí. El primer vector es asubt y el segundo es asubn. Entre estos dos vectores hay un vector marcado "a". Tiene el ángulo theta entre el vector a y asubt.

Figura 3.13 La línea discontinua representa la trayectoria de un objeto (un automóvil, por ejemplo). El vector de aceleración apunta hacia el interior del giro en todo momento.

Componentes del vector de aceleración

Podemos combinar algunos de los conceptos discutidos en Longitud de arco y curvatura con el vector de aceleración para obtener una comprensión más profunda de cómo este vector se relaciona con el movimiento en el plano y en el espacio. Recordemos que el vector unitario tangente T y el vector unitario normal N forman un plano oscilatorio en cualquier punto P de la curva definida por una función de valor vectorial $r (t) .$ El siguiente teorema muestra que el vector de aceleración $a (t)$ se encuentra en el plano oscilatorio y puede escribirse como una combinación lineal de los vectores unitarios tangentes y normales.

Teorema 3.7

El plano del vector de aceleración

El vector de aceleración $a (t)$ de un objeto que se mueve a lo largo de una curva trazada por una función dos veces diferenciable $r (t)$ se encuentra en el plano formado por el vector unitario tangente $T (t)$ y el vector unitario normal principal $N (t)$ hasta C. Además,

a (t) = v^{'} (t) T (t) + {[v (t)]}^{2} κ N (t) .

Aquí, $v (t)$ es la rapidez del objeto y $κ$ es la curvatura de C trazada por $r (t) .$

Prueba

Dado que $v (t) = r^{'} (t)$ y $T (t) = \frac{r^{'} (t)}{‖ r^{'} (t) ‖},$ tenemos $v (t) = ‖ r^{'} (t) ‖ T (t) = v (t) T (t) .$ Ahora diferenciamos esta ecuación:

a (t) = v^{'} (t) = \frac{d}{d t} (v (t) T (t)) = v^{'} (t) T (t) + v (t) T^{'} (t) .

Dado que $N (t) = \frac{T^{'} (t)}{‖ T^{'} (t) ‖},$ sabemos que $T^{'} (t) = ‖ T^{'} (t) ‖ N (t),$ así que

a (t) = v^{'} (t) T (t) + v (t) ‖ T^{'} (t) ‖ N (t) .

Una fórmula de la curvatura es $κ = \frac{‖ T^{'} (t) ‖}{‖ r^{'} (t) ‖},$ por lo que $‖ T^{'} (t) ‖ = κ ‖ r^{'} (t) ‖ = κ v (t) .$ Esto da como resultado $a (t) = v^{'} (t) T (t) + κ {(v (t))}^{2} N (t) .$

□

Los coeficientes de $T (t)$ y $N (t)$ se denominan componente tangencial de aceleración y componente normal de aceleración, respectivamente. Escribimos $a_{T}$ para denotar la componente tangencial y $a_{N}$ para denotar la componente normal.

Teorema 3.8

Componentes tangencial y normal de aceleración

Supongamos que $r (t)$ es una función de valor vectorial que denota la posición de un objeto en función del tiempo. Luego $a (t) = r″ (t)$ es el vector de aceleración. Las componentes tangencial y normal de aceleración $a_{T}$ y $a_{N}$ vienen dadas por las fórmulas

a_{T} = a . T = \frac{v . a}{‖ v ‖}

(3.23)

y

a_{N} = a . N = \frac{‖ v \times a ‖}{‖ v ‖} = \sqrt{{‖ a ‖}^{2} - a_{T}^{2}} .

(3.24)

Estas componentes están relacionadas por la fórmula

a (t) = a_{T} T (t) + a_{N} N (t) .

(3.25)

Aquí $T (t)$ es el vector unitario tangente a la curva definida por $r (t),$ y $N (t)$ es el vector unitario normal a la curva definida por $r (t) .$

El componente normal de la aceleración también se denomina componente de aceleración centípeta o, a veces, componente de aceleración radial. Para entender la aceleración centrípeta, suponga que viaja en un automóvil por una pista circular a una rapidez constante. Entonces, como vimos antes, el vector de aceleración apunta hacia el centro de la pista en todo momento. Como piloto en el automóvil, siente un tirón hacia el exterior de la pista porque está girando constantemente. Esta sensación actúa en sentido contrario a la aceleración centrípeta. Lo mismo ocurre con las trayectorias no circulares. La razón es que su cuerpo tiende a viajar en línea recta y resiste la fuerza resultante de la aceleración que lo empuja hacia el lado. Observe que en el punto B en la Figura 3.14 el vector de aceleración apunta hacia atrás. Esto se debe a que el automóvil está desacelerando al entrar en la curva.

Esta figura tiene una curva que representa la trayectoria de un automóvil. La curva disminuye y aumenta. Hay dos círculos a lo largo del camino. El primer círculo tiene el punto A donde la curva se encuentra con el círculo. En el punto A hay tres vectores. El primer vector es asubt y es tangente a la curva en A. El segundo vector es asubr y es ortogonal al vector asubt. Entre estos vectores se encuentra el vector a. El segundo círculo tiene el punto B, donde la curva se une al círculo. En el punto A hay tres vectores. El primer vector es asubt y es tangente a la curva en A. El segundo vector es asubr y es ortogonal al vector asubt. Entre estos vectores se encuentra el vector a.

Figura 3.14 Las componentes tangencial y normal de la aceleración pueden utilizarse para describir el vector de aceleración.

Los vectores unitarios tangencial y normal en cualquier punto de la curva proporcionan un marco de referencia en ese punto. Las componentes tangencial y normal de la aceleración son las proyecciones del vector de aceleración sobre T y N, respectivamente.

Ejemplo 3.15

Calcular componentes de aceleración

Una partícula se mueve en una trayectoria definida por la función de valor vectorial $r (t) = t^{2} i + (2 t - 3) j + (3 t^{2} - 3 t) k,$ donde t mide el tiempo en segundos y la distancia se mide en pies.

Halle $a_{T}$ y $a_{N}$ como funciones de t.
Halle $a_{T}$ y $a_{N}$ en el momento $t = 2 .$

Solución

Empecemos con la Ecuación 3.23

$\begin{matrix} v (t) & = & r^{'} (t) = 2 t i + 2 j + (6 t - 3) k \\ a (t) & = & v^{'} (t) = 2 i + 6 k \\ a_{T} & = & \frac{v . a}{‖ v ‖} \\ = & \frac{(2 t i + 2 j + (6 t - 3) k) . (2 i + 6 k)}{‖ 2 t i + 2 j + (6 t - 3) k ‖} \\ = & \frac{4 t + 6 (6 t - 3)}{\sqrt{{(2 t)}^{2} + 2^{2} + {(6 t - 3)}^{2}}} \\ = & \frac{40 t - 18}{\sqrt{40 t^{2} - 36 t + 13}} . \end{matrix}$

Entonces aplicamos la Ecuación 3.24

$\begin{matrix} a_{N} & = \sqrt{{‖ a ‖}^{2} - a^{T 2}} \\ = \sqrt{{‖ 2 i + 6 k ‖}^{2} - {(\frac{40 t - 18}{\sqrt{40 t^{2} - 36 t + 13}})}^{2}} \\ = \sqrt{4 + 36 - \frac{{(40 t - 18)}^{2}}{40 t^{2} - 36 t + 13}} \\ = \sqrt{\frac{40 (40 t^{2} - 36 t + 13) - (1.600 t^{2} - 1.440 t + 324)}{40 t^{2} - 36 t + 13}} \\ = \sqrt{\frac{196}{40 t^{2} - 36 t + 13}} \\ = \frac{14}{\sqrt{40 t^{2} - 36 t + 13}} . \end{matrix}$
Debemos evaluar cada una de las respuestas de la parte a. en $t = 2 :$

$\begin{matrix} a_{T} (2) & = & \frac{40 (2) - 18}{\sqrt{40 {(2)}^{2} - 36 (2) + 13}} \\ = & \frac{80 - 18}{\sqrt{160 - 72 + 13}} = \frac{62}{\sqrt{101}} \\ a_{N} (2) & = & \frac{14}{\sqrt{40 {(2)}^{2} - 36 (2) + 13}} \\ = & \frac{14}{\sqrt{160 - 72 + 13}} = \frac{14}{\sqrt{101}} . \end{matrix}$

Las unidades de aceleración son pies por segundo al cuadrado, al igual que las unidades de las componentes normal y tangencial de aceleración.

Punto de control 3.15

Un objeto se mueve en una trayectoria definida por la función de valor vectorial $r (t) = 4 t i + t^{2} j,$ donde t mide el tiempo en segundos.

Halle $a_{T}$ y $a_{N}$ como funciones de t.
Halle $a_{T}$ y $a_{N}$ en el momento $t = −3 .$

Movimiento de proyectil

Veamos ahora una aplicación de las funciones vectoriales. En particular, consideremos el efecto de la gravedad en el movimiento de un objeto cuando viaja por el aire, y cómo esta determina la trayectoria resultante de ese objeto. A continuación, ignoramos el efecto de la resistencia del aire. Esta situación, con un objeto que se desplaza con una velocidad inicial pero sin fuerzas que actúen sobre él, aparte de la gravedad, se conoce como movimiento de proyectil. Describe el movimiento de objetos, desde pelotas de golf hasta pelotas de béisbol, y desde flechas hasta balas de cañón.

Primero tenemos que elegir un sistema de coordenadas. Si nos situamos en el origen de este sistema de coordenadas, entonces elegimos que el eje y positivo está arriba, el eje y negativo está abajo y el eje x positivo está hacia delante (es decir, lejos del lanzador del objeto). El efecto de la gravedad es en dirección hacia abajo, por lo que la segunda ley de Newton nos dice que la fuerza sobre el objeto resultante de la gravedad es igual a la masa del objeto por la aceleración resultante de la gravedad, o $F_{g} = m g,$ donde $F_{g}$ representa la fuerza de la gravedad y g representa la aceleración resultante de la gravedad en la superficie de la Tierra. El valor de g en el sistema de medición inglés es de aproximadamente 32 ft/s² y es de aproximadamente 9,8 m/s² en el sistema métrico. Esta es la única fuerza que actúa sobre el objeto. Como la gravedad actúa en dirección hacia abajo, podemos escribir la fuerza resultante de la gravedad en la forma $F_{g} = − m g j,$ como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura es una bola que cae en una trayectoria vertical. La bola está en la parte superior en la posición inicial. Desde la bola se dibuja un vector verticalmente hacia abajo marcado como "aceleración". La línea vertical está marcada como "distancia". En la parte inferior de la línea se indica "posición final". También hay hierba en la parte inferior de la figura.

Figura 3.15 Un objeto cae bajo la influencia de la gravedad.

Medios

Visite este sitio web para ver un video que muestra el movimiento de proyectil.

La segunda ley de Newton también nos dice que $F = m a,$ donde a representa el vector de aceleración del objeto. Esta fuerza debe ser igual a la fuerza de gravedad en todo momento, por lo que sabemos que

\begin{matrix} F & = & F_{g} \\ m a & = & − m g j \\ a & = & − g j . \end{matrix}

Ahora utilizamos el hecho de que el vector de aceleración es la primera derivada del vector de velocidad. Por lo tanto, podemos reescribir la última ecuación en la forma

v^{'} (t) = − g j .

Al tomar la antiderivada de cada lado de esta ecuación obtenemos

\begin{matrix} v (t) & = \int − g j d t \\ = − g t j + C_{1} \end{matrix}

para algún vector constante $C_{1} .$ Para determinar el valor de este vector, podemos utilizar la velocidad del objeto en un momento fijo, digamos en el tiempo $t = 0 .$ Llamamos a esta velocidad la velocidad inicial $v (0) = v_{0} .$ Por lo tanto, $v (0) = − g (0) j + C_{1} = v_{0}$ y $C_{1} = v_{0} .$ Esto da el vector de velocidad como $v (t) = − g t j + v_{0} .$

A continuación, utilizamos el hecho de que la velocidad $v (t)$ es la derivada de la posición $s (t) .$ Esto da la ecuación

s^{'} (t) = − g t j + v_{0} .

Si se toma la antiderivada de ambos lados de esta ecuación se obtiene

\begin{matrix} s (t) & = \int − g t j + v_{0} d t \\ = - \frac{1}{2} g t^{2} j + v_{0} t + C_{2}, \end{matrix}

con otro vector constante desconocido $C_{2} .$ Para determinar el valor de $C_{2},$ podemos utilizar la posición del objeto en un momento dado, digamos en el tiempo $t = 0 .$ Llamamos a esta posición la posición inicial $s (0) = s_{0} .$ Por lo tanto, $s (0) = − (1 / 2) g {(0)}^{2} j + v_{0} (0) + C_{2} = s_{0}$ y $C_{2} = s_{0} .$ Esto da la posición del objeto en cualquier momento como

s (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} j + v_{0} t + s_{0} .

Veamos con más detalle la velocidad inicial y la posición inicial. En particular, supongamos que el objeto es lanzado hacia arriba desde el origen con un ángulo $θ$ a la horizontal, con rapidez inicial $v_{0} .$ ¿Cómo podemos modificar el resultado anterior para reflejar este escenario? En primer lugar, podemos suponer que se lanza desde el origen. Si no es así, podemos mover el origen al punto desde el que se lanza. Por lo tanto, $s_{0} = 0,$ como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura tiene una curva parabólica invertida que representa el movimiento del proyectil. La figura está marcada como "velocidad horizontal constante; aceleración vertical constante". La curva está en el primer cuadrante que comienza y termina en el eje x. La altura de la curva se marca como "H". La distancia en el eje x se marca "R". El ángulo theta representa la dirección del proyectil en el origen. En el gráfico se marcan cinco puntos con vectores. Los vectores están marcados "v" con subíndices que representan las direcciones.

Figura 3.16 Movimiento del proyectil cuando el objeto es lanzado hacia arriba en un ángulo

θ .

El movimiento horizontal es a velocidad constante y el movimiento vertical es a aceleración constante.

Podemos reescribir el vector de velocidad inicial en la forma $v_{0} = v_{0} cos θ i + v_{0} sen θ j .$ Entonces la ecuación de la función de posición $s (t)$ se convierte en

\begin{matrix} s (t) & = - \frac{1}{2} g t^{2} j + v_{0} t cos θ i + v_{0} t sen θ j \\ = v_{0} t cos θ i + v_{0} t sen θ j - \frac{1}{2} g t^{2} j \\ = v_{0} t cos θ i + (v_{0} t sen θ - \frac{1}{2} g t^{2}) j . \end{matrix}

El coeficiente de i representa la componente horizontal de $s (t)$ y es la distancia horizontal del objeto desde el origen en el momento t. El valor máximo de la distancia horizontal (medido a la misma altitud inicial y final) se denomina rango R. El coeficiente de j representa la componente vertical de $s (t)$ y es la altitud del objeto en el momento t. El valor máximo de la distancia vertical es la altura H.

Ejemplo 3.16

Movimiento de una bala de cañón

Durante una celebración del Día de la Independencia, se dispara una bala de cañón desde un acantilado hacia el agua. El cañón está dirigido a un ángulo de 30° sobre la horizontal y la rapidez inicial de la bala es $600 ft/s .$ El acantilado está a 100 pies sobre el agua (Figura 3.17).

Calcule la altura máxima de la bala de cañón.
¿Cuánto tiempo tardará la bala de cañón en chapotear en el mar?
¿A qué distancia en el mar caerá la bala de cañón?

Figura 3.17 El vuelo de una bala de cañón (sin tener en cuenta la resistencia del aire) es un movimiento de proyectil.

Solución

Utilizamos la ecuación

s (t) = v_{0} t cos θ i + (v_{0} t sen θ - \frac{1}{2} g t^{2}) j

con $θ = 30 °,$ $g = 32 {ft/s}^{2},$ y $v_{0} = 600$ ft/s. Entonces la ecuación de posición se convierte en

\begin{matrix} s (t) & = 600 t (cos 30) i + (600 t sen 30 - \frac{1}{2} (32) t^{2}) j \\ = 300 t \sqrt{3} i + (300 t - 16 t^{2}) j . \end{matrix}

La bala de cañón alcanza su máxima altura cuando la componente vertical de su velocidad es cero, porque esta no está subiendo ni bajando en ese momento. El vector de velocidad es

$\begin{matrix} v (t) & = s^{'} (t) \\ = 300 \sqrt{3} i + (300 - 32 t) j . \end{matrix}$

Por tanto, la componente vertical de la velocidad viene dada por la expresión $300 - 32 t .$ Si se iguala esta expresión a cero y se resuelve para t, se obtiene $t = 9,375$ s. La altura de la bala de cañón en ese momento viene dada por la componente vertical del vector de posición, evaluada en $t = 9,375 .$

$\begin{matrix} s (9,375) & = 300 (9,375) \sqrt{3} i + (300 (9,375) - 16 {(9,375)}^{2}) j \\ = 4871,39 i + 1406,25 j \end{matrix}$

Por lo tanto, la altura máxima de la bala de cañón es de 1406,39 pies sobre el cañón, o 1506,39 pies sobre el nivel del mar.
Cuando la bala de cañón aterriza en el agua, está a 100 pies por debajo del cañón. Por lo tanto, la componente vertical del vector de posición es igual a $–100 .$ Al ajustar la componente vertical de $s (t)$ sea igual a $−100$ y resolviendo, obtenemos

$\begin{matrix} 300 t - 16 t^{2} & = & −100 \\ 16 t^{2} - 300 t - 100 & = & 0 \\ 4 t^{2} - 75 t - 25 & = & 0 \\ t & = & \frac{75 \pm \sqrt{{(–75)}^{2} - 4 (4) (–25)}}{2 (4)} \\ = & \frac{75 \pm \sqrt{6025}}{8} \\ = & \frac{75 \pm 5 \sqrt{241}}{8} . \end{matrix}$

El valor positivo de t que resuelve esta ecuación es aproximadamente 19,08. Por lo tanto, la bala de cañón golpea el agua después de aproximadamente 19,08 segundos.
Para calcular la distancia al mar, simplemente sustituimos la respuesta de la parte (b) en $s (t) :$

$\begin{matrix} s (19,08) & = 300 (19,08) \sqrt{3} i + (300 (19,08) - 16 {(19,08)}^{2}) j \\ = 9914,26 i - 100,7424 j . \end{matrix}$

Por lo tanto, la bala golpea el agua a unos 9914,26 pies de distancia de la base del acantilado. Observe que la componente vertical del vector de posición está muy cerca de $−100,$ que nos dice que la bala acaba de golpear el agua. Observe que 9914,26 pies no es el verdadero alcance del cañón, ya que la bala aterriza en el océano en un lugar por debajo del cañón. El alcance del cañón se determinaría encontrando a qué distancia se encuentra la bala del cañón cuando su altura es de 100 pies sobre el agua (la misma que la altitud del cañón).

Punto de control 3.16

Un arquero dispara una flecha con un ángulo de 40° sobre la horizontal con una rapidez inicial de 98 m/s. La altura del arquero es de 171,5 cm. Calcule la distancia horizontal que recorre la flecha antes de tocar el suelo.

Queda una última pregunta: En general, ¿cuál es la distancia máxima que puede recorrer un proyectil, dada su rapidez inicial? Para determinar esta distancia, suponemos que el proyectil se dispara desde el nivel del suelo y deseamos que vuelva al nivel del suelo. En otras palabras, queremos determinar una ecuación para el rango. En este caso, la ecuación del movimiento de proyectil es

s (t) = v_{0} t cos θ i + (v_{0} t sen θ - \frac{1}{2} g t^{2}) j .

Al ajustar la segunda componente igual a cero y resolviendo para t, se obtiene

\begin{matrix} v_{0} t sen θ - \frac{1}{2} g t^{2} & = & 0 \\ t (v_{0} sen θ - \frac{1}{2} g t) & = & 0, \end{matrix}

Por lo tanto, o bien $t = 0$ o $t = \frac{2 v_{0} sen θ}{g} .$ Nos interesa el segundo valor de t, así que lo sustituimos en $s (t),$ que da

\begin{matrix} s (\frac{2 v_{0} sen θ}{g}) & = v_{0} (\frac{2 v_{0} sen θ}{g}) cos θ i + (v_{0} (\frac{2 v_{0} sen θ}{g}) sen θ - \frac{1}{2} g {(\frac{2 v_{0} sen θ}{g})}^{2}) j \\ = (\frac{2 v_{0}^{2} sen θ cos θ}{g}) i \\ = \frac{v_{0}^{2} sen 2 θ}{g} i . \end{matrix}

Así, la expresión para el rango de un proyectil disparado en ángulo $θ$ se

R = \frac{v_{0}^{2} sen 2 θ}{g} i .

La única variable en esta expresión es $θ .$ Para maximizar la distancia recorrida, se toma la derivada del coeficiente de i con respecto a $θ$ y se ajusta a cero:

\begin{matrix} \frac{d}{d θ} (\frac{v_{0}^{2} sen 2 θ}{g}) & = & 0 \\ \frac{2 v_{0}^{2} cos 2 θ}{g} & = & 0 \\ θ & = & 45 ° . \end{matrix}

Este valor de $θ$ es el valor positivo más pequeño que hace que la derivada sea igual a cero. Por lo tanto, en ausencia de resistencia del aire, el mejor ángulo para disparar un proyectil (para maximizar el rango) es a $45 °$ La distancia que recorre viene dada por

s (\frac{2 v_{0} sen 45}{g}) = \frac{v_{0}^{2} sen 90}{g} i = \frac{v_{0}^{2}}{g} j .

Por lo tanto, el rango para un ángulo de $45 °$ ¿es $v_{0}^{2} / g .$

Las leyes de Kepler

A principios del siglo XVII, Johannes Kepler pudo utilizar los datos asombrosamente precisos de su mentor Tycho Brahe para formular sus tres leyes del movimiento planetario, conocidas ahora como las leyes de Kepler del movimiento planetario. Estas leyes también se aplican a otros objetos del sistema solar en órbita alrededor del Sol, como los cometas (por ejemplo, el cometa Halley) y los asteroides. Las variaciones de estas leyes se aplican a los satélites en órbita alrededor de la Tierra.

Teorema 3.9

Las leyes de Kepler del movimiento planetario

La trayectoria de cualquier planeta alrededor del Sol tiene forma elíptica, con el centro del Sol situado en un foco de la elipse (ley de las elipses).
Una línea trazada desde el centro del Sol hasta el centro de un planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales (ley de las áreas iguales) (Figura 3.18).
La relación de los cuadrados de los periodos de dos planetas cualesquiera es igual a la relación de los cubos de las longitudes de sus semiejes orbitales mayores (ley de las armonías).

Esta figura es una curva elíptica marcada "órbita de los planetas". El Sol se representa hacia la izquierda dentro de la elipse, en un punto focal. A lo largo de la elipse hay puntos A,B,C,D,E,F. Hay segmentos de línea desde el Sol hasta cada punto.

Figura 3.18 La primera y la segunda ley de Kepler están representadas aquí. El Sol se encuentra en un foco de la órbita elíptica de cualquier planeta. Además, las áreas sombreadas son todas iguales, suponiendo que la cantidad de tiempo medido mientras el planeta se mueve es la misma para cada región.

La tercera ley de Kepler es especialmente útil cuando se utilizan las unidades adecuadas. En particular, se define 1 unidad astronómica como la distancia media de la Tierra al Sol, y actualmente se reconoce que es de 149.597.870.700 metros o 93.000.000 millas, aproximadamente. Por lo tanto, escribimos 1 U.A. = 93.000.000 millas. Como el tiempo que tarda la Tierra en orbitar alrededor del Sol es de 1 año, utilizamos los años terrestres como unidades de tiempo. Entonces, sustituyendo 1 año por el periodo de la Tierra y 1 U.A. por la distancia media al Sol, la tercera ley de Kepler puede escribirse como

T_{p}^{2} = D_{p}^{3}

para cualquier planeta del sistema solar, donde $T_{P}$ es el periodo de ese planeta, medido en años terrestres y $D_{P}$ es la distancia media de ese planeta al Sol medida en unidades astronómicas. Por tanto, si conocemos la distancia media de un planeta al Sol (en unidades astronómicas), podemos calcular la duración de su año (en años terrestres), y viceversa.

Las leyes de Kepler se formularon a partir de las observaciones de Brahe; sin embargo, no se demostraron formalmente hasta que sir Isaac Newton pudo aplicar el cálculo. Además, Newton fue capaz de generalizar la tercera ley de Kepler a otros sistemas orbitales, como una luna que orbita alrededor de un planeta. La tercera ley original de Kepler solo se aplica a los objetos que orbitan alrededor del Sol.

Prueba

Demostremos ahora la primera ley de Kepler utilizando el cálculo de funciones de valores vectoriales. Primero necesitamos un sistema de coordenadas. Situemos el Sol en el origen del sistema de coordenadas y dejemos que la función de valor vectorial $r (t)$ represente la ubicación de un planeta en función del tiempo. Newton comprobó la ley de Kepler utilizando su segunda ley del movimiento y su ley de la gravitación universal. La segunda ley del movimiento de Newton puede escribirse como $F = m a,$ donde F representa la fuerza neta que actúa sobre el planeta. Su ley de la gravitación universal puede escribirse en la forma $F = - \frac{G m M}{{‖ r ‖}^{2}} . \frac{r}{‖ r ‖},$ que indica que la fuerza resultante de la atracción gravitacional del Sol apunta hacia el Sol, y tiene magnitud $\frac{G m M}{{‖ r ‖}^{2}}$ (Figura 3.19).

Esta figura es una elipse con un círculo a la izquierda en el interior en un punto focal. El círculo representa el Sol. Sobre la elipse hay un círculo más pequeño que representa la Tierra. El segmento de línea trazado entre los círculos está marcado "fuerza gravitacional".

Figura 3.19 La fuerza gravitacional entre la Tierra y el Sol es igual a la masa de la Tierra por su aceleración.

Si estas dos fuerzas son iguales entre sí, y utilizando el hecho de que $a (t) = v^{'} (t),$ obtenemos

m v^{'} (t) = - \frac{G m M}{{‖ r ‖}^{2}} . \frac{r}{‖ r ‖},

que se puede reescribir como

\frac{d v}{d t} = - \frac{G M}{{‖ r ‖}^{3}} r .

Esta ecuación muestra que los vectores $d v / d t$ y r son paralelos entre sí, por lo que $d v / d t \times r = 0 .$ A continuación, vamos a diferenciar $r \times v$ con respecto al tiempo:

\frac{d}{d t} (r \times v) = \frac{d r}{d t} \times v + r \times \frac{d v}{d t} = v \times v + 0 = 0 .

Esto demuestra que $r \times v$ es un vector constante, al que llamamos C. Dado que $r$ y v son perpendiculares a C para todos los valores de t, deben estar en un plano perpendicular a C. Por lo tanto, el movimiento del planeta está en un plano.

A continuación, calculamos la expresión $d v / d t \times C :$

\frac{d v}{d t} \times C = - \frac{G M}{{‖ r ‖}^{3}} r \times (r \times v) = - \frac{G M}{{‖ r ‖}^{3}} [(r . v) r - (r . r) v] .

(3.26)

La última igualdad en la Ecuación 3.26 proviene de la fórmula del triple producto vectorial (Introducción a vectores en el espacio). Necesitamos una expresión para $r . v .$ Para calcularlo, diferenciamos $r . r$ con respecto al tiempo:

\frac{d}{d t} (r . r) = \frac{d r}{d t} . r + r . \frac{d r}{d t} = 2 r . \frac{d r}{d t} = 2 r . v .

(3.27)

Dado que $r . r = {‖ r ‖}^{2},$ también tenemos

\frac{d}{d t} (r . r) = \frac{d}{d t} {‖ r ‖}^{2} = 2 ‖ r ‖ \frac{d}{d t} ‖ r ‖ .

(3.28)

Combinando la Ecuación 3.27 y la Ecuación 3.28, obtenemos

\begin{matrix} 2 r . v & = & 2 ‖ r ‖ \frac{d}{d t} ‖ r ‖ \\ r . v & = & ‖ r ‖ \frac{d}{d t} ‖ r ‖ . \end{matrix}

Al sustituir esto en la Ecuación 3.26 nos da

\begin{matrix} \frac{d v}{d t} \times C & = - \frac{G M}{{‖ r ‖}^{3}} [(r . v) r - (r . r) v] \\ = - \frac{G M}{{‖ r ‖}^{3}} [‖ r ‖ (\frac{d}{d t} ‖ r ‖) r - {‖ r ‖}^{2} v] \\ = − G M [\frac{1}{{‖ r ‖}^{2}} (\frac{d}{d t} ‖ r ‖) r - \frac{1}{‖ r ‖} v] \\ = G M [\frac{v}{‖ r ‖} - \frac{r}{{‖ r ‖}^{2}} (\frac{d}{d t} ‖ r ‖)] . \end{matrix}

(3.29)

Sin embargo,

\begin{matrix} \frac{d}{d t} \frac{r}{‖ r ‖} & = \frac{\frac{d}{d t} (r) ‖ r ‖ - r \frac{d}{d t} ‖ r ‖}{{‖ r ‖}^{2}} \\ = \frac{\frac{d r}{d t}}{‖ r ‖} - \frac{r}{{‖ r ‖}^{2}} \frac{d}{d t} ‖ r ‖ \\ = \frac{v}{‖ r ‖} - \frac{r}{{‖ r ‖}^{2}} \frac{d}{d t} ‖ r ‖ . \end{matrix}

Por lo tanto, la Ecuación 3.29 se convierte en

\frac{d v}{d t} \times C = G M (\frac{d}{d t} \frac{r}{‖ r ‖}) .

Como C es un vector constante, podemos integrar ambos lados y obtener

v \times C = G M \frac{r}{‖ r ‖} + D,

donde D es un vector constante. Nuestro objetivo es resolver $‖ r ‖ .$ Empecemos por calcular $r . (v \times C) :$

r . (v \times C) = r . (G M \frac{r}{‖ r ‖} + D) = G M \frac{{‖ r ‖}^{2}}{‖ r ‖} + r . D = G M ‖ r ‖ + r . D .

Sin embargo, $r . (v \times C) = (r \times v) . C,$ así que

(r \times v) . C = G M ‖ r ‖ + r . D .

Dado que $r \times v = C,$ tenemos

{‖ C ‖}^{2} = G M ‖ r ‖ + r . D .

Observe que $r . D = ‖ r ‖ ‖ D ‖ cos θ,$ donde $θ$ es el ángulo entre r y D. Por lo tanto,

{‖ C ‖}^{2} = G M ‖ r ‖ + ‖ r ‖ ‖ D ‖ cos θ .

Resolviendo para $‖ r ‖,$

‖ r ‖ = \frac{{‖ C ‖}^{2}}{G M + ‖ D ‖ cos θ} = \frac{{‖ C ‖}^{2}}{G M} (\frac{1}{1 + e cos θ}),

donde $e = ‖ D ‖ / G M .$ Esta es la ecuación polar de una cónica con enfoque en el origen, que establecemos como el Sol. Es una hipérbola si $e > 1,$ una parábola si $e = 1,$ o una elipse si $e < 1 .$ Como los planetas tienen órbitas cerradas, la única posibilidad es una elipse. Sin embargo, en este punto hay que mencionar que los cometas hiperbólicos existen. Se trata de objetos que simplemente atraviesan el sistema solar a velocidades demasiado grandes para quedar atrapados en la órbita del Sol. Al pasar lo suficientemente cerca del Sol, su campo gravitacional desvía la trayectoria lo suficiente como para que esta se vuelva hiperbólica.

□

Ejemplo 3.17

Usar la tercera ley de Kepler para órbitas no heliocéntricas

La tercera ley de Kepler del movimiento planetario puede modificarse para el caso de un objeto en órbita alrededor de un objeto distinto del Sol, como la Luna alrededor de la Tierra. En este caso, la tercera ley de Kepler se convierte en

P^{2} = \frac{4 π^{2} a^{3}}{G (m + M)},

(3.30)

donde m es la masa de la Luna y M es la masa de la Tierra, a representa la longitud del eje mayor de la órbita elíptica y P representa el periodo.

Dado que la masa de la Luna es $7,35 \times 10^{22} kg,$ la masa de la Tierra es $5,97 \times 10^{24} kg,$ $G = 6,67 \times 10^{–11} m^{3} / kg . {sec}^{2},$ y el periodo de la Luna es de 27,3 días, calculemos la longitud del eje mayor de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra.

Solución

Es importante ser coherente con las unidades. Dado que la constante gravitacional universal contiene segundos en las unidades, tenemos que utilizar también segundos para el periodo de la Luna:

27,3 días \times \frac{24 h}{1 día} \times \frac{3.600 sec}{1 hora} = 2358720 sec .

Sustituya todos los datos en la Ecuación 3.30 y resuelva para a:

\begin{matrix} {(2358720 sec)}^{2} & = & \frac{4 π^{2} a^{3}}{(6,67 \times 10^{–11} \frac{m^{3}}{kg . {sec}^{2}}) (7,35 x 10^{22} kg + 5,97 x 10^{24} kg)} \\ 5,563 \times 10^{12} & = & \frac{4 π^{2} a^{3}}{(6,67 \times 10^{–11} m^{3}) (6,04 x 10^{24})} \\ (5,563 \times 10^{12}) (6,67 \times 10^{–11} m^{3}) (6,04 \times 10^{24}) & = & 4 π^{2} a^{3} \\ a^{3} & = & \frac{2,241 \times 10^{27}}{4 π^{2}} m^{3} \\ a & = & 3,84 \times 10^{8} m \\ \approx & 384.000 km . \end{matrix}

Análisis

Según solarsystem.nasa.gov, la distancia media real de la Luna a la Tierra es de 384.400 km. Esto se calculó utilizando los reflectores dejados en la Luna por los astronautas del Apolo en la década de 1960.

Punto de control 3.17

Titán es la luna más grande de Saturno. La masa de Titán es aproximadamente $1,35 \times 10^{23}$ kg. La masa de Saturno es aproximadamente $5,68 \times 10^{26}$ kg. Titán tarda aproximadamente 16 días en orbitar Saturno. Utilice esta información, junto con la constante de gravitación universal $G = 6,67 \times 10^{–11} m^{3} / kg . {sec}^{2}$ para estimar la distancia de Titán a Saturno.

Ejemplo 3.18

Inicio del capítulo: El cometa Halley

Esta es una imagen del cometa Halley. Es una bola de luz brillante que va hacia la derecha de la imagen con una cola de luz. También hay estrellas en todo el cuadro.

Volvemos ahora al inicio del capítulo, que trata del movimiento del cometa Halley alrededor del Sol. La primera ley de Kepler establece que el cometa Halley sigue una trayectoria elíptica alrededor del Sol, con este como un foco de la elipse. El periodo del cometa Halley es de aproximadamente 76,1 años, dependiendo de la proximidad con la que pase por Júpiter y Saturno a su paso por el sistema solar exterior. Utilicemos $T = 76,1$ años. ¿Cuál es la distancia media del cometa Halley al Sol?

Solución

Si utilizamos la ecuación $T^{2} = D^{3}$ con la $T = 76,1,$ obtenemos $D^{3} = 5791,21,$ por lo que $D \approx 17,96$ U.A. Esto equivale aproximadamente a $1,67 \times 10^{9}$ mi.

Una pregunta obvia que surge es: ¿cuáles son las distancias máxima (afelio) y mínima (perihelio) del cometa Halley al Sol? La excentricidad de la órbita del cometa Halley es de 0,967 (Fuente: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/cometfact.html). Recordemos que la fórmula de la excentricidad de una elipse es $e = c / a,$ donde a es la longitud del semieje mayor y c es la distancia del centro a cualquiera de los focos. Por lo tanto, $0,967 = c / 17,96$ y $c \approx 17,37$ U.A. Restando esto de a se obtiene la distancia del perihelio $p = a - c = 17,96 - 17,37 = 0,59$ U.A. Según el Centro Nacional de Datos de Ciencia Espacial (National Space Science Data Center) (Fuente: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/cometfact.html), la distancia del perihelio del cometa Halley es de 0,587 U.A. Para calcular la distancia del afelio, añadimos

P = a + c = 17,96 + 17,37 = 35,33 U .A .

Esto es aproximadamente $3,3 \times 10^{9}$ mi. La distancia media de Plutón al Sol es de 39,5 U.A. (Fuente: http://www.oarval.org/furthest.htm), por lo que parece que el cometa Halley se mantiene justo en la órbita de Plutón.

Proyecto de estudiante

Navegar en una curva cerrada

¿A qué velocidad puede tomar una curva circular un automóvil de carreras sin derrapar y chocar contra el muro? La respuesta podría depender de varios factores:

El peso del automóvil;
La fricción entre los neumáticos y la carretera;
El radio del círculo;
La "inclinación" del giro.

En este proyecto investigamos esta cuestión para los automóviles de carreras de NASCAR en la pista Bristol Motor Speedway de Tennessee. Antes de considerar esta pista en particular utilizamos las funciones vectoriales para desarrollar las matemáticas y la física necesarias para responder preguntas como esta.

Un automóvil de masa m se mueve con velocidad angular constante $ω$ alrededor de una curva circular de radio R (Figura 3.20). La curva se inclina en un ángulo $θ .$ Si la altura del automóvil respecto al suelo es h, entonces su posición en el momento t viene dada por la función $r (t) = 〈 R cos (ω t), R sen (ω t), h 〉 .$

Esta figura tiene dos gráficos. El primero es un círculo con un automóvil en él. El círculo está marcado como "vista aérea". Desde el automóvil hay un vector marcado "v" tangente al círculo. También hay un vector hacia el centro desde el automóvil marcado como "a". El segundo gráfico está marcado como "vista frontal". Es el automóvil en ángulo. El ángulo está marcado como "theta". La altura de la inclinación de los automóviles está marcada como "h".

Figura 3.20 Vistas de un automóvil de carreras moviéndose por una pista.

Halle la función de velocidad $v (t)$ del automóvil. Demuestre que v es tangente a la curva circular. Esto significa que, sin una fuerza que mantenga el automóvil en la curva, este saldrá disparado de ella.
Demuestre que la velocidad del automóvil es $ω R .$ Utilice esto para demostrar que $(2 π r) / | v | = (2 π) / ω .$
Halle la aceleración a. Demuestre que este vector apunta hacia el centro del círculo y que $| a | = R ω^{2} .$
La fuerza necesaria para producir este movimiento circular se denomina fuerza centrípeta, y se denota F_cent. Esta fuerza apunta hacia el centro del círculo (no hacia el suelo). Demuestre que $| F_{cent} | = (m {| v |}^{2}) / R .$
Mientras el automóvil se desplaza por la curva, sobre él actúan tres fuerzas: la gravedad, la fuerza ejercida por la carretera (esta fuerza es perpendicular al suelo) y la fuerza de roce (Figura 3.21). Dado que describir la fuerza de roce generada por los neumáticos y la carretera es compleja, utilizamos una aproximación estándar para la fuerza de roce. Supongamos que $| f | = μ | N |$ para alguna constante positiva $μ .$ La constante $μ$ se denomina coeficiente de roce.

Figura 3.21 El automóvil tiene tres fuerzas que actúan sobre él: la gravedad (denotada por m g), la fuerza de roce f y la fuerza ejercida por la carretera N.

Supongamos que $v_{máx.}$ denota la velocidad máxima que puede alcanzar el automóvil en la curva sin derrapar. En otras palabras, $v_{max}$ es la velocidad más rápida a la que el automóvil puede tomar la curva. Cuando este viaja a esa velocidad, la magnitud de la fuerza centrípeta es

$| F_{cent} | = \frac{m v_{máx.}^{2}}{R} .$

Las tres preguntas siguientes tratan de desarrollar una fórmula que relacione la velocidad $v_{max}$ al ángulo de inclinación $θ .$
Demuestre que $| N | cos θ = m g + | f | sen θ .$ Concluya que $| N | = (m g) / (cos θ - μ sen θ) .$
La fuerza centrípeta es la suma de las fuerzas en la dirección horizontal, ya que esta apunta hacia el centro de la curva circular. Demuestre que

$| F_{cent |} = | N | sen θ + | f | cos θ .$

Concluya que

$| F_{cent |} = \frac{sen θ + μ cos θ}{cos θ - μ sen θ} m g .$
Demuestre que $v_{máx.}^{2} = ((sen θ + μ cos θ) / (cos θ - μ sen θ)) g R .$ Concluya que la rapidez máxima no depende realmente de la masa del automóvil.
Ahora que tenemos una fórmula que relaciona la rapidez máxima del automóvil y el ángulo de inclinación estamos en condiciones de responder preguntas como la planteada al principio del proyecto.
La pista Bristol Motor Speedway es un circuito corto de NASCAR en Bristol, Tennessee. La pista tiene la forma aproximada que se muestra en la Figura 3.22. Cada extremo de la pista es aproximadamente semicircular, por lo que cuando los automóviles hacen giros están viajando a lo largo de una curva aproximadamente circular. Si un automóvil toma la pista interior y acelera a lo largo del fondo de la curva 1, este se desplaza a lo largo de un semicírculo de un radio de aproximadamente 211 ft con un ángulo de inclinación de 24°. Si el automóvil decide tomar la pista exterior y acelera a lo largo de la parte superior de la curva 1, entonces viaja a lo largo de un semicírculo con un ángulo de inclinación de 28° (la pista tiene un ángulo de inclinación variable).

Esta figura tiene dos gráficos. La primera es una imagen de una pista de carreras. Hay automóviles en la pista y aficionados en las gradas. El segundo gráfico es un dibujo ovalado de una pista de carreras. El radio interior de una curva está marcado como "211 pies" y el ancho del radio como "40 pies".

Figura 3.22 En la pista Bristol Motor Speedway, Bristol, Tennessee (a), las curvas tienen un radio interior de unos 211 fty una anchura de 40 ft (b) (créditos: parte (a) foto de Raniel Diaz, Flickr).

El coeficiente de roce de un neumático normal en condiciones de sequedad es de 0,7 aproximadamente. Por lo tanto, suponemos que el coeficiente para un neumático de NASCAR en condiciones en seco es de 0,98 aproximadamente.

Antes de responder las siguientes preguntas, tenga en cuenta que es más fácil hacer los cálculos en términos de pies y segundos, y luego convertir las respuestas a millas por hora como paso final.

En condiciones en seco, ¿qué velocidad puede alcanzar el automóvil en el fondo de la curva sin derrapar?
En condiciones en seco, ¿a qué velocidad puede pasar el automóvil por la parte superior de la curva sin derrapar?
En condiciones húmedas, el coeficiente de roce puede llegar a ser tan bajo como 0,1. Si este es el caso, ¿a qué velocidad puede pasar el automóvil por el fondo de la curva sin derrapar?
Supongamos que la rapidez medida de un automóvil que va por el borde exterior de la curva es de 105 mph. Calcule el coeficiente de roce de los neumáticos del automóvil.

Sección 3.4 ejercicios

155.

Dado que $r (t) = (3 t^{2} - 2) i + (2 t - sen (t)) j,$ halle la velocidad de una partícula que se mueve a lo largo de esta curva.

Esta figura es una curva en el plano xy. La curva comienza en el cuarto cuadrante hacia el eje y, se interseca por debajo de 0 al eje x, luego se dobla para intersecar el eje y positivo y es creciente a través del primer cuadrante.

156.

Dado que $r (t) = (3 t^{2} - 2) i + (2 t - sen (t)) j,$ halle el vector de aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de la curva del ejercicio anterior.

Dadas las siguientes funciones de posición, halle la velocidad, la aceleración y la rapidez en términos del parámetro t.

157.

$r (t) = 〈 3 cos t, 3 sen t, t^{2} 〉$

158.

$r (t) = e^{− t} i + t^{2} j + tan t k$

159.

$r (t) = 2 cos t j + 3 sen t k .$ El gráfico se muestra aquí:

Esta figura es una curva en 3 dimensiones. Está dentro de una caja. La caja representa un octante. La curva tiene tres piezas con asíntotas verticales en la caja.

Halle la velocidad, la aceleración y la rapidez de una partícula con la función de posición dada.

160.

$r (t) = 〈 t^{2} - 1, t 〉$

161.

$r (t) = 〈 e^{t}, e^{− t} 〉$

162.

$r (t) = 〈 sen t, t, cos t 〉 .$ El gráfico se muestra aquí:

Esta figura es una curva en 3 dimensiones. Está dentro de una caja. La caja representa un octante. La curva comienza en el fondo de la caja, desde la parte inferior izquierda, y se dobla a través de ella hasta el otro lado, en la parte inferior derecha.

163.

La función de posición de un objeto viene dada por $r (t) = 〈 t^{2}, 5 t, t^{2} - 16 t 〉 .$ ¿En qué momento la rapidez es mínima?

164.

Supongamos que $r (t) = r cosh (ω t) i + r senoh (ω t) j .$ Halle los vectores de velocidad y aceleración y demuestre que la aceleración es proporcional a $r (t) .$

Considera el movimiento de un punto en la circunferencia de un círculo rodante. Al rodar el círculo, genera la cicloide $r (t) = (ω t - sen (ω t)) i + (1 - cos (ω t)) j,$ donde $ω$ es la velocidad angular del círculo:

Esta figura es una curva en el primer octante. Son semicírculos conectados que representan jorobas. Comienza en el origen y toca el eje x en 4pi, y 8pi.

165.

Halle las ecuaciones para la velocidad, la aceleración y la rapidez de la partícula en cualquier momento.

Una persona en un ala delta asciende en espiral como consecuencia del rápido ascenso del aire en una trayectoria que tiene un vector de posición $r (t) = (3 cos t) i + (3 sen t) j + t^{2} k .$ La trayectoria es similar a la de una hélice, aunque no lo es. El gráfico se muestra aquí:

Esta figura es una curva en 3 dimensiones. Está dentro de una caja. La caja representa un octante. La curva se conecta en la caja desde la parte inferior izquierda, y se dobla a través de la caja hacia la parte superior derecha.

Halle las siguientes cantidades:

166.

Los vectores de velocidad y aceleración

167.

La rapidez del ala delta en cualquier momento

168.

Los tiempos, si los hay, en los que la aceleración del ala delta es ortogonal a su velocidad

Dado que $r (t) = 〈 e^{−5 t} sen t, e^{−5 t} cos t, 4 e^{−5 t} 〉$ es el vector de posición de una partícula en movimiento, halle las siguientes cantidades:

169.

La velocidad de la partícula

170.

La rapidez de la partícula

171.

La aceleración de la partícula

172.

Halle la rapidez máxima de un punto en la circunferencia de un neumático de automóvil de radio 1 pie cuando el automóvil viaja a 55 mph.

Un proyectil es disparado en el aire desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 500 m/s con un ángulo de 60° con la horizontal. La gráfica se muestra aquí:

Esta figura es una curva en el cuarto cuadrante. La curva es decreciente. Comienza en el origen y disminuye en el cuarto cuadrante. Responda las siguientes preguntas.

173.

¿En qué momento el proyectil alcanza su máxima altura?

174.

¿Cuál es la altura máxima aproximada del proyectil?

175.

¿En qué momento se alcanza el rango máximo del proyectil?

176.

¿Cuál es el rango máximo?

177.

¿Cuál es el tiempo total de vuelo del proyectil?

Se dispara un proyectil a una altura de 1,5 m sobre el suelo con una velocidad inicial de 100 m/s y con un ángulo de 30° sobre la horizontal. Utilice esta información para responder las siguientes preguntas:

178.

Determine la altura máxima del proyectil.

179.

Determine el rango del proyectil.

180.

Se golpea una pelota de golf en dirección horizontal desde el borde superior de un edificio de 100 pies de altura. ¿A qué velocidad debe lanzarse la pelota para que caiga a 450 pies de distancia?

181.

Se dispara un proyectil desde el nivel del suelo con un ángulo de 8° con la horizontal. El proyectil debe tener un alcance de 50 m. Calcule la velocidad mínima necesaria para alcanzar este rango.

182.

Demuestre que un objeto que se mueve en línea recta a una rapidez constante tiene una aceleración de cero.

183.

La aceleración de un objeto viene dada por $a (t) = t j + t k .$ La velocidad en $t = 1$ s es $v (1) = 5 j$ y la posición del objeto en $t = 1$ seg es $r (1) = 0 i + 0 j + 0 k .$ Calcule la posición del objeto en cualquier momento.

184.

Calcule $r (t)$ dado que $a (t) = –32 j,$ $v (0) = 600 \sqrt{3} i + 600 j,$ y $r (0) = 0 .$

185.

Halle las componentes tangencial y normal de la aceleración para $r (t) = a cos (ω t) i + b sen (ω t) j$ a las $t = 0 .$

186.

Dado que $r (t) = t^{2} i + 2 t j$ y $t = 1,$ halle las componentes tangencial y normal de la aceleración.

Para cada uno de los siguientes problemas, halle las componentes tangencial y normal de la aceleración.

187.

$r (t) = 〈 e^{t} cos t, e^{t} sen t, e^{t} 〉 .$ El gráfico se muestra aquí:

Esta figura es una curva en 3 dimensiones. Está dentro de una caja. La caja representa un octante. La curva comienza en la parte inferior de la caja, desde la parte inferior izquierda, y se curva a través de la caja hasta el otro lado, en la parte superior izquierda.

188.

$r (t) = 〈 cos (2 t), sen (2 t), 1 〉$

189.

$r (t) = 〈 2 t, t^{2}, \frac{t^{3}}{3} 〉$

190.

$r (t) = 〈 \frac{2}{3} {(1 + t)}^{3 / 2}, \frac{2}{3} {(1 - t)}^{3 / 2}, \sqrt{2} t 〉$

191.

$r (t) = 〈 6 t, 3 t^{2}, 2 t^{3} 〉$

192.

$r (t) = t^{2} i + t^{2} j + t^{3} k$

193.

$r (t) = 3 cos (2 π t) i + 3 sen (2 π t) j$

194.

Halle la función de valor vectorial de posición $r (t),$ dado que $a (t) = i + e^{t} j,$ $v (0) = 2 j,$ y $r (0) = 2 i .$

195.

La fuerza sobre una partícula viene dada por $f (t) = (cos t) i + (sen t) j .$ La partícula se encuentra en el punto $(c, 0)$ en $t = 0 .$ La velocidad inicial de la partícula viene dada por $v (0) = v_{0} j .$ Halle la trayectoria de la partícula de masa m. (Recuerde, $F = m . a .)$ grandes.

196.

Un automóvil que pesa 2.700 libras hace un giro en una carretera plana mientras viaja a 56 ft/s. Si el radio de la curva es de 70 pies, ¿cuál es la fuerza de roce necesaria para que el automóvil no derrape?

197.

Utilizando las leyes de Kepler, se puede demostrar que $v_{0} = \sqrt{\frac{2 G M}{r_{0}}}$ es la rapidez mínima necesaria cuando $θ = 0$ para que un objeto escape de la atracción de una fuerza central resultante de la masa M. Utilice este resultado para hallar la rapidez mínima cuando $θ = 0$ para que una cápsula espacial escape de la atracción gravitacional de la Tierra si la sonda se encuentra a una altura de 300 km sobre la superficie terrestre.

198.

Calcule el tiempo en años que tarda el planeta enano Plutón en realizar una órbita alrededor del Sol dado que $a = 39,5$ U.A.

Supongamos que la función de posición de un objeto en tres dimensiones viene dada por la ecuación $r (t) = t cos (t) i + t sen (t) j + 3 t k .$

199.

Demuestre que la partícula se mueve en un cono circular.

200.

Halle el ángulo entre los vectores de velocidad y aceleración cuando $t = 1,5 .$

201.

Halle las componentes tangencial y normal de la aceleración cuando $t = 1,5 .$

3.4 Movimiento en el espacio

Vectores de movimiento en el plano y en el espacio

Estudiar el movimiento a lo largo de una parábola

Solución

Componentes del vector de aceleración

El plano del vector de aceleración

Prueba

Componentes tangencial y normal de aceleración

Calcular componentes de aceleración

Solución

Movimiento de proyectil

Movimiento de una bala de cañón

Solución

Las leyes de Kepler

Las leyes de Kepler del movimiento planetario

Prueba

Usar la tercera ley de Kepler para órbitas no heliocéntricas

Solución

Análisis

Inicio del capítulo: El cometa Halley

Solución

Navegar en una curva cerrada

Sección 3.4 ejercicios