Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

3.2.1 Escribir una expresión para la derivada de una función de valor vectorial.
3.2.2 Hallar el vector tangente en un punto para un vector de posición dado.
3.2.3 Hallar el vector unitario tangente en un punto para un vector de posición dado y explicar su significado.
3.2.4 Calcular la integral definida de una función de valor vectorial.

Para estudiar el cálculo de las funciones de valores vectoriales, seguimos un camino similar al que tomamos al estudiar las funciones de valores reales. En primer lugar, definimos la derivada, luego examinamos las aplicaciones de la derivada y después pasamos a definir las integrales. Sin embargo, encontraremos algunas ideas nuevas e interesantes a lo largo del camino como resultado de la naturaleza vectorial de estas funciones y las propiedades de las curvas en el espacio.

Derivadas de funciones de valores vectoriales

Ahora que hemos visto qué es una función de valor vectorial y cómo tomar su límite, el siguiente paso es aprender a diferenciar una función de valor vectorial. La definición de la derivada de una función de valor vectorial es casi idéntica a la definición de una función de valor real de una variable. Sin embargo, como el rango de una función de valor vectorial está formado por vectores, lo mismo ocurre con el rango de la derivada de una función de valor vectorial.

Definición

La derivada de una función de valor vectorial $r (t)$ es

r^{'} (t) = \underset{Δ t \to 0}{lím} \frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t},

(3.5)

siempre que exista el límite. Si los valores de $r^{'} (t)$ existe, entonces r es diferenciable en t. Si los valores de $r^{'} (t)$ existe para todo t en un intervalo abierto $(a, b),$ entonces r es diferenciable en el intervalo $(a, b) .$ Para que la función sea diferenciable en el intervalo cerrado $[a, b],$ también deben existir los dos límites siguientes:

r^{'} (a) = \underset{Δ t \to 0^{+}}{lím} \frac{r (a + Δ t) - r (a)}{Δ t} y r^{'} (b) = \underset{Δ t \to 0^{-}}{lím} \frac{r (b + Δ t) - r (b)}{Δ t} .

Muchas de las reglas para calcular las derivadas de las funciones de valores reales pueden aplicarse también al cálculo de las derivadas de las funciones de valores vectoriales. Recordemos que la derivada de una función de valor real puede interpretarse como la pendiente de una línea tangente o la tasa de cambio instantánea de la función. La derivada de una función de valor vectorial puede entenderse también como una tasa de cambio instantánea; por ejemplo, cuando la función representa la posición de un objeto en un momento dado, la derivada representa su velocidad en ese mismo momento.

Ahora demostramos la toma de la derivada de una función de valor vectorial.

Ejemplo 3.4

Hallar la derivada de una función de valor vectorial

Utilice la definición para calcular la derivada de la función

r (t) = (3 t + 4) i + (t^{2} - 4 t + 3) j .

Solución

Utilicemos la Ecuación 3.5:

\begin{matrix} r^{'} (t) & = \underset{Δ t \to 0}{lím} \frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t} \\ = \underset{Δ t \to 0}{lím} \frac{[(3 (t + Δ t) + 4) i + ({(t + Δ t)}^{2} - 4 (t + Δ t) + 3) j] - [(3 t + 4) i + (t^{2} - 4 t + 3) j]}{Δ t} \\ = \underset{Δ t \to 0}{lím} \frac{(3 t + 3 Δ t + 4) i - (3 t + 4) i + (t^{2} + 2 t Δ t + {(Δ t)}^{2} - 4 t - 4 Δ t + 3) j - (t^{2} - 4 t + 3) j}{Δ t} \\ = \underset{Δ t \to 0}{lím} \frac{(3 Δ t) i + (2 t Δ t + {(Δ t)}^{2} - 4 Δ t) j}{Δ t} \\ = \underset{Δ t \to 0}{lím} (3 i + (2 t + Δ t - 4) j) \\ = 3 i + (2 t - 4) j . \end{matrix}

Punto de control 3.4

Utilice la definición para calcular la derivada de la función $r (t) = (2 t^{2} + 3) i + (5 t - 6) j .$

Observe que en los cálculos del Ejemplo 3.4 también podríamos obtener la respuesta calculando primero la derivada de cada función de la componente y luego poniendo estas derivadas de nuevo en la función de valor vectorial. Esto es siempre cierto para calcular la derivada de una función de valor vectorial, ya sea en dos o tres dimensiones. Lo exponemos en el siguiente teorema. La demostración de este teorema se deduce directamente de las definiciones de límite de una función de valor vectorial y de derivada de una función de valor vectorial.

Teorema 3.2

Diferenciación de funciones de valores vectoriales

Supongamos que f, g y h son funciones diferenciables de t.

Si los valores de $r (t) = f (t) i + g (t) j,$ entonces $r^{'} (t) = f^{'} (t) i + g^{'} (t) j .$
Si los valores de $r (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k,$ entonces $r^{'} (t) = f^{'} (t) i + g^{'} (t) j + h^{'} (t) k .$

Ejemplo 3.5

Calcular la derivada de funciones de valores vectoriales

Utilice Diferenciación de funciones de valores vectoriales para calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones.

$r (t) = (6 t + 8) i + (4 t^{2} + 2 t - 3) j$
$r (t) = 3 cos t i + 4 sen t j$
$r (t) = e^{t} sen t i + e^{t} cos t j - e^{2 t} k$

Solución

Utilizamos Diferenciación de funciones de valores vectoriales y lo que sabemos sobre la diferenciación de funciones de una variable.

La primera componente de $r (t) = (6 t + 8) i + (4 t^{2} + 2 t - 3) j$ es $f (t) = 6 t + 8 .$ La segunda componente es $g (t) = 4 t^{2} + 2 t - 3 .$ Tenemos $f^{'} (t) = 6$ y $g^{'} (t) = 8 t + 2,$ por lo que el teorema da $r^{'} (t) = 6 i + (8 t + 2) j .$
La primera componente es $f (t) = 3 cos t$ y la segunda componente es $g (t) = 4 sen t .$ Tenemos $f^{'} (t) = −3 sen t$ y $g^{'} (t) = 4 cos t,$ por lo que obtenemos $r^{'} (t) = −3 sen t i + 4 cos t j .$
La primera componente de $r (t) = e^{t} sen t i + e^{t} cos t j - e^{2 t} k$ ¿es $f (t) = e^{t} sen t,$ la segunda componente es $g (t) = e^{t} cos t,$ y la tercera componente es $h (t) = - e^{2 t} .$ Tenemos $f^{'} (t) = e^{t} (sen t + cos t),$ $g^{'} (t) = e^{t} (cos t - sen t),$ y $h^{'} (t) = −2 e^{2 t},$ por lo que el teorema da $r^{'} (t) = e^{t} (sen t + cos t) i + e^{t} (cos t - sen t) j - 2 e^{2 t} k .$

Punto de control 3.5

Calcule la derivada de la función

r (t) = (t ln t) i + (5 e^{t}) j + (cos t - sen t) k .

Podemos extender a las funciones de valores vectoriales las propiedades de la derivada que presentamos en la Introducción a las derivadas. En particular, la regla del múltiplo constante, las reglas de suma y diferencia, la regla de multiplicación y la regla de la cadena se extienden a las funciones de valores vectoriales. Sin embargo, en el caso de la regla de multiplicación, en realidad hay tres extensiones: (1) para una función de valor real multiplicada por una función de valor vectorial, (2) para el producto escalar de dos funciones de valores vectoriales y (3) para el producto vectorial de dos funciones de valores vectoriales.

Teorema 3.3

Propiedades de la derivada de las funciones de valores vectoriales

Supongamos que r y u son funciones de valores vectoriales diferenciables de t, supongamos que f es una función de valor real diferenciable de t y supongamos que c es un escalar.

\begin{matrix} i. & \frac{d}{d t} [c r (t)] & = & c r^{'} (t) & Múltiplo escalar \\ ii. & \frac{d}{d t} [r (t) \pm u (t)] & = & r^{'} (t) \pm u^{'} (t) & Suma y diferencia \\ iii. & \frac{d}{d t} [f (t) u (t)] & = & f^{'} (t) u (t) + f (t) u^{'} (t) & Producto escalar \\ iv. & \frac{d}{d t} [r (t) . u (t)] & = & r^{'} (t) . u (t) + r (t) . u^{'} (t) & Producto escalar \\ v. & \frac{d}{d t} [r (t) \times u (t)] & = & r^{'} (t) \times u (t) + r (t) \times u^{'} (t) & Producto vectorial \\ vi. & \frac{d}{d t} [r (f (t))] & = & r^{'} (f (t)) . f^{'} (t) & Regla de la cadena \\ vii. & Si r (t) . r (t) & = & c, entonces r (t) . r^{'} (t) = 0 . \end{matrix}

Prueba

Las pruebas de las dos primeras propiedades se derivan directamente de la definición de la derivada de una función de valor vectorial. La tercera propiedad puede derivarse de las dos primeras, junto con la regla de multiplicación de la Introducción a las derivadas. Supongamos que $u (t) = g (t) i + h (t) j .$ Entonces

\begin{matrix} \frac{d}{d t} [f (t) u (t)] & = \frac{d}{d t} [f (t) (g (t) i + h (t) j)] \\ = \frac{d}{d t} [f (t) g (t) i + f (t) h (t) j] \\ = \frac{d}{d t} [f (t) g (t)] i + \frac{d}{d t} [f (t) h (t)] j \\ = (f^{'} (t) g (t) + f (t) g^{'} (t)) i + (f^{'} (t) h (t) + f (t) h^{'} (t)) j \\ = f^{'} (t) u (t) + f (t) u^{'} (t) . \end{matrix}

Para demostrar la propiedad iv. supongamos que $r (t) = f_{1} (t) i + g_{1} (t) j$ y $u (t) = f_{2} (t) i + g_{2} (t) j .$ Entonces

\begin{matrix} \frac{d}{d t} [r (t) . u (t)] & = \frac{d}{d t} [f_{1} (t) f_{2} (t) + g_{1} (t) g_{2} (t)] \\ = f_{1}^{'} (t) f_{2} (t) + f_{1} (t) f_{2}^{'} (t) + g_{1}^{'} (t) g_{2} (t) + g_{1} (t) g_{2}^{'} (t) \\ = f_{1}^{'} (t) f_{2} (t) + g_{1}^{'} (t) g_{2} (t) + f_{1} (t) f_{2}^{'} (t) + g_{1} (t) g_{2}^{'} (t) \\ = (f_{1}^{'} i + g_{1}^{'} j) . (f_{2} i + g_{2} j) + (f_{1} i + g_{1} j) . (f_{2}^{'} i + g_{2}^{'} j) \\ = r^{'} (t) . u (t) + r (t) . u^{'} (t) . \end{matrix}

La prueba de la propiedad v. es similar a la de la propiedad iv. La propiedad vi. se puede probar utilizando la regla de la cadena. Por último, la propiedad vii. se deduce de la propiedad iv:

\begin{matrix} \frac{d}{d t} [r (t) . r (t)] & = & \frac{d}{d t} [c] \\ r^{'} (t) . r (t) + r (t) . r^{'} (t) & = & 0 \\ 2 r (t) . r^{'} (t) & = & 0 \\ r (t) . r^{'} (t) & = & 0 . \end{matrix}

□

A continuación, algunos ejemplos que utilizan estas propiedades.

Ejemplo 3.6

Usar las propiedades de las derivadas de las funciones de valores vectoriales

Dadas las funciones de valores vectoriales

r (t) = (6 t + 8) i + (4 t^{2} + 2 t - 3) j + 5 t k

y

u (t) = (t^{2} - 3) i + (2 t + 4) j + (t^{3} - 3 t) k,

calcule cada una de las siguientes derivadas utilizando las propiedades de la derivada de las funciones de valores vectoriales.

$\frac{d}{d t} [r (t) . u (t)]$
$\frac{d}{d t} [u (t) \times u^{'} (t)]$

Solución

Tenemos $r^{'} (t) = 6 i + (8 t + 2) j + 5 k$ y $u^{'} (t) = 2 t i + 2 j + (3 t^{2} - 3) k .$ Por lo tanto, según la propiedad iv.

$\begin{matrix} \frac{d}{d t} [r (t) . u (t)] & = r^{'} (t) . u (t) + r (t) . u^{'} (t) \\ = (6 i + (8 t + 2) j + 5 k) . ((t^{2} - 3) i + (2 t + 4) j + (t^{3} - 3 t) k) \\ + ((6 t + 8) i + (4 t^{2} + 2 t - 3) j + 5 t k) . (2 t i + 2 j + (3 t^{2} - 3) k) \\ = 6 (t^{2} - 3) + (8 t + 2) (2 t + 4) + 5 (t^{3} - 3 t) \\ + 2 t (6 t + 8) + 2 (4 t^{2} + 2 t - 3) + 5 t (3 t^{2} - 3) \\ = 20 t^{3} + 42 t^{2} + 26 t - 16 . \end{matrix}$
En primer lugar, tenemos que adaptar la propiedad v. para este problema

$\frac{d}{d t} [u (t) \times u^{'} (t)] = u^{'} (t) \times u^{'} (t) + u (t) \times u″ (t) .$

Recordemos que el producto vectorial de cualquier vector consigo mismo es cero. Además, $u″ (t)$ representa la segunda derivada de $u (t) :$

$u″ (t) = \frac{d}{d t} [u^{'} (t)] = \frac{d}{d t} [2 t i + 2 j + (3 t^{2} - 3) k] = 2 i + 6 t k .$

Por lo tanto,

$\begin{matrix} \frac{d}{d t} [u (t) \times u^{'} (t)] & = 0 + ((t^{2} - 3) i + (2 t + 4) j + (t^{3} - 3 t) k) \times (2 i + 6 t k) \\ = | \begin{matrix} i & j & k \\ t^{2} - 3 & 2 t + 4 & t^{3} - 3 t \\ 2 & 0 & 6 t \end{matrix} | \\ = 6 t (2 t + 4) i - (6 t (t^{2} - 3) - 2 (t^{3} - 3 t)) j - 2 (2 t + 4) k \\ = (12 t^{2} + 24 t) i + (12 t - 4 t^{3}) j - (4 t + 8) k . \end{matrix}$

Punto de control 3.6

Dadas las funciones de valores vectoriales $r (t) = cos t i + sen t j - e^{2 t} k$ y $u (t) = t i + sen t j + cos t k,$ calcule $\frac{d}{d t} [r (t) . r^{'} (t)]$ y $\frac{d}{d t} [u (t) \times r (t)] .$

Vectores tangentes y vectores unitarios tangentes

Recordemos de la Introducción a las derivadas que la derivada en un punto puede interpretarse como la pendiente de la línea tangente a el gráfico en ese punto. En el caso de una función de valor vectorial, la derivada proporciona un vector tangente a la curva representada por la función. Consideremos la función de valor vectorial $r (t) = cos t i + sen t j .$ La derivada de esta función es $r^{'} (t) = - sen t i + cos t j .$ Si sustituimos el valor $t = π / 6$ en ambas funciones obtenemos

r (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} i + \frac{1}{2} j y r^{'} (\frac{π}{6}) = - \frac{1}{2} i + \frac{\sqrt{3}}{2} j .

El gráfico de esta función aparece en la Figura 3.5, junto con los vectores $r (\frac{π}{6})$ y $r^{'} (\frac{π}{6}) .$

Esta figura es el gráfico de un círculo representado por la función de valor vectorial r(t) = cost i + sent j. Se trata de un círculo centrado en el origen con radio 1 y orientación contraria a las agujas del reloj. Tiene un vector desde el origen apuntando a la curva y marcado como r(pi/6). En el mismo punto de la circunferencia hay un vector tangente marcado "r'(pi/6)".

Figura 3.5 La línea tangente en un punto se calcula a partir de la derivada de la función de valor vectorial

r (t) .

Observe que el vector $r^{'} (\frac{π}{6})$ es tangente al círculo en el punto correspondiente a $t = π / 6 .$ Este es un ejemplo de vector tangente a la curva plana definida por $r (t) = cos t i + sen t j .$

Definición

Supongamos que C una curva definida por una función de valor vectorial r, y supongamos que $r^{'} (t)$ existe cuando $t = t_{0} .$ Un vector tangente v en $t = t_{0}$ es cualquier vector tal que, cuando la cola del vector se sitúa en el punto $r (t_{0})$ en el gráfico, el vector v es tangente a la curva C. El vector $r^{'} (t_{0})$ es un ejemplo de vector tangente en el punto $t = t_{0} .$ Además, supongamos que $r^{'} (t) \neq 0 .$ El vector unitario tangente principal en t se define como

T (t) = \frac{r^{'} (t)}{‖ r^{'} (t) ‖},

(3.6)

siempre que $‖ r^{'} (t) ‖ \neq 0 .$

El vector unitario tangente es exactamente lo que parece: un vector unitario que es tangente a la curva. Para calcular un vector unitario tangente, primero hay que hallar la derivada $r^{'} (t) .$ En segundo lugar, calcule la magnitud de la derivada. El tercer paso es dividir la derivada entre su magnitud.

Ejemplo 3.7

Calcular un vector unitario tangente

Halle el vector unitario tangente para cada una de las siguientes funciones de valores vectoriales:

$r (t) = cos t i + sen t j$
$u (t) = (3 t^{2} + 2 t) i + (2 - 4 t^{3}) j + (6 t + 5) k$

Solución

$\begin{matrix} Primer paso: & r^{'} (t) & = & −sen t i + cos t j \\ Segundo paso: & ‖ r^{'} (t) ‖ & = & \sqrt{{(− sen t)}^{2} + {(cos t)}^{2}} = 1 \\ Tercer paso: & T (t) & = & \frac{r^{'} (t)}{‖ r^{'} (t) ‖} = \frac{−sen t i + cos t j}{1} = −sen t i + cos t j \end{matrix}$
$\begin{matrix} Primer paso: & u^{'} (t) & = & (6 t + 2) i - 12 t^{2} j + 6 k \\ Segundo paso: & ‖ u^{'} (t) ‖ & = & \sqrt{{(6 t + 2)}^{2} + {(−12 t^{2})}^{2} + 6^{2}} \\ = & \sqrt{144 t^{4} + 36 t^{2} + 24 t + 40} \\ = & 2 \sqrt{36 t^{4} + 9 t^{2} + 6 t + 10} \\ Tercer paso: & T (t) & = & \frac{u^{'} (t)}{‖ u^{'} (t) ‖} = \frac{(6 t + 2) i - 12 t^{2} j + 6 k}{2 \sqrt{36 t^{4} + 9 t^{2} + 6 t + 10}} \\ = & \frac{3 t + 1}{\sqrt{36 t^{4} + 9 t^{2} + 6 t + 10}} i - \frac{6 t^{2}}{\sqrt{36 t^{4} + 9 t^{2} + 6 t + 10}} j + \frac{3}{\sqrt{36 t^{4} + 9 t^{2} + 6 t + 10}} k \end{matrix}$

Punto de control 3.7

Halle el vector unitario tangente de la función de valor vectorial

r (t) = (t^{2} - 3) i + (2 t + 1) j + (t - 2) k .

Integrales de funciones de valores vectoriales

Hemos introducido las antiderivadas de funciones de valores reales en Antiderivadas y las integrales definidas de funciones de valores reales en La integral definida. Cada uno de estos conceptos puede extenderse a las funciones de valores vectoriales. También, al igual que podemos calcular la derivada de una función vectorial diferenciando las funciones componentes por separado, podemos calcular la antiderivada de la misma manera. Además, el teorema fundamental del cálculo se aplica también a las funciones de valores vectoriales.

La antiderivada de una función de valor vectorial aparece en las aplicaciones. Por ejemplo, si una función de valor vectorial representa la velocidad de un objeto en el tiempo t, su antiderivada representa la posición. O, si la función representa la aceleración del objeto en un momento dado, entonces la antiderivada representa su velocidad.

Definición

Supongamos que f, g y h son funciones integrables de valor real sobre el intervalo cerrado $[a, b] .$

La integral indefinida de una función de valor vectorial $r (t) = f (t) i + g (t) j$ es

$\int [f (t) i + g (t) j] d t = [\int f (t) d t] i + [\int g (t) d t] j .$
(3.7)

La integral definida de una función de valor vectorial es

$\int_{a}^{b} [f (t) i + g (t) j] d t = [\int_{a}^{b} f (t) d t] i + [\int_{a}^{b} g (t) d t] j .$
(3.8)
La integral indefinida de una función de valor vectorial $r (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k$ es

$\int [f (t) i + g (t) j + h (t) k] d t = [\int f (t) d t] i + [\int g (t) d t] j + [\int h (t) d t] k .$
(3.9)

La integral definida de la función de valor vectorial es

$\int_{a}^{b} [f (t) i + g (t) j + h (t) k] d t = [\int_{a}^{b} f (t) d t] i + [\int_{a}^{b} g (t) d t] j + [\int_{a}^{b} h (t) d t] k .$
(3.10)

Como la integral indefinida de una función de valor vectorial implica integrales indefinidas de las funciones componentes, cada una de estas integrales componentes contiene una constante de integración. Todas pueden ser diferentes. Por ejemplo, en el caso bidimensional, podemos tener

\int f (t) d t = F (t) + C_{1} y \int g (t) d t = G (t) + C_{2},

donde F y G son antiderivadas de f y g, respectivamente. Entonces

\begin{matrix} \int [f (t) i + g (t) j] d t & = [\int f (t) d t] i + [\int g (t) d t] j \\ = (F (t) + C_{1}) i + (G (t) + C_{2}) j \\ = F (t) i + G (t) j + C_{1} i + C_{2} j \\ = F (t) i + G (t) j + C, \end{matrix}

donde $C = C_{1} i + C_{2} j .$ Por lo tanto, la constante de integración se convierte en un vector constante.

Ejemplo 3.8

Integrar funciones de valores vectoriales

Calcule cada una de las siguientes integrales:

$\int [(3 t^{2} + 2 t) i + (3 t - 6) j + (6 t^{3} + 5 t^{2} - 4) k] d t$
$\int [〈 t, t^{2}, t^{3} 〉 \times 〈 t^{3}, t^{2}, t 〉] d t$
$\int_{0}^{π / 3} [sen 2 t i + tan t j + e^{−2 t} k] d t$

Solución

Utilizamos la primera parte de la definición de la integral de una curva en el espacio:

$\begin{matrix} \int [(3 t^{2} + 2 t) i + (3 t - 6) j + (6 t^{3} + 5 t^{2} - 4) k] d t \\ = [\int 3 t^{2} + 2 t d t] i + [\int 3 t - 6 d t] j + [\int 6 t^{3} + 5 t^{2} - 4 d t] k \\ = (t^{3} + t^{2}) i + (\frac{3}{2} t^{2} - 6 t) j + (\frac{3}{2} t^{4} + \frac{5}{3} t^{3} - 4 t) k + C . \end{matrix}$
Primero calcule $〈 t, t^{2}, t^{3} 〉 \times 〈 t^{3}, t^{2}, t 〉 :$

$\begin{matrix} 〈 t, t^{2}, t^{3} 〉 \times 〈 t^{3}, t^{2}, t 〉 & = | \begin{matrix} i & j & k \\ t & t^{2} & t^{3} \\ t^{3} & t^{2} & t \end{matrix} | \\ = (t^{2} (t) - t^{3} (t^{2})) i - (t^{2} - t^{3} (t^{3})) j + (t (t^{2}) - t^{2} (t^{3})) k \\ = (t^{3} - t^{5}) i + (t^{6} - t^{2}) j + (t^{3} - t^{5}) k . \end{matrix}$

A continuación, sustituya esto de nuevo en la integral e integre:

$\begin{matrix} \int [〈 t, t^{2}, t^{3} 〉 \times 〈 t^{3}, t^{2}, t 〉] d t & = \int (t^{3} - t^{5}) i + (t^{6} - t^{2}) j + (t^{3} - t^{5}) k d t \\ = (\frac{t^{4}}{4} - \frac{t^{6}}{6}) i + (\frac{t^{7}}{7} - \frac{t^{3}}{3}) j + (\frac{t^{4}}{4} - \frac{t^{6}}{6}) k + C . \end{matrix}$
Utilice la segunda parte de la definición de la integral de una curva en el espacio:

$\begin{matrix} \int_{0}^{π / 3} [sen 2 t i + tan t j + e^{−2 t} k] d t \\ = [\int_{0}^{π / 3} sen 2 t d t] i + [\int_{0}^{π / 3} tan t d t] j + [\int_{0}^{π / 3} e^{−2 t} d t] k \\ = {(- \frac{1}{2} cos 2 t) |}_{0}^{π / 3} i - {(ln (cos t)) |}_{0}^{π / 3} j - {(\frac{1}{2} e^{−2 t}) |}_{0}^{π / 3} k \\ = (- \frac{1}{2} cos \frac{2 π}{3} + \frac{1}{2} cos 0) i - (ln (cos \frac{π}{3}) - ln (cos 0)) j - (\frac{1}{2} e^{−2 π / 3} - \frac{1}{2} e^{−2 (0)}) k \\ = (\frac{1}{4} + \frac{1}{2}) i - (− ln 2) j - (\frac{1}{2} e^{−2 π / 3} - \frac{1}{2}) k \\ = \frac{3}{4} i + (ln 2) j + (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{−2 π / 3}) k . \end{matrix}$

Punto de control 3.8

Calcule la siguiente integral:

\int_{1}^{3} [(2 t + 4) i + (3 t^{2} - 4 t) j] d t .

Sección 3.2 ejercicios

Calcula las derivadas de las funciones de valores vectoriales.

41.

$r (t) = t^{3} i + 3 t^{2} j + \frac{t^{3}}{6} k$

42.

$r (t) = sen (t) i + cos (t) j + e^{t} k$

43.

$r (t) = e^{− t} i + sen (3 t) j + 10 \sqrt{t} k .$ Aquí se muestra un esquema del gráfico. Observe la naturaleza periódica variable del gráfico.

Esta figura es un gráfico tridimensional. Es una curva dentro de una caja. La curva comienza en la parte inferior de la caja y gira en espiral alrededor del centro, con orientación hacia arriba.

44.

$r (t) = e^{t} i + 2 e^{t} j + k$

45.

$r (t) = i + j + k$

46.

$r (t) = t e^{t} i + t ln (t) j + sen (3 t) k$

47.

$r (t) = \frac{1}{t + 1} i + arctan (t) j + ln t^{3} k$

48.

$r (t) = tan (2 t) i + sec (2 t) j + {sen}^{2} (t) k$

49.

$r (t) = 3 i + 4 sen (3 t) j + t cos (t) k$

50.

$r (t) = t^{2} i + t e^{−2 t} j - 5 e^{−4 t} k$

En los siguientes problemas, halle un vector tangente al valor indicado de t.

51.

$r (t) = t i + sen (2 t) j + cos (3 t) k; t = \frac{π}{3}$

52.

$r (t) = 3 t^{3} i + 2 t^{2} j + \frac{1}{t} k; t = 1$

53.

$r (t) = 3 e^{t} i + 2 e^{−3 t} j + 4 e^{2 t} k;$ $t = ln (2)$ grandes.

54.

$r (t) = cos (2 t) i + 2 sen t j + t^{2} k; t = \frac{π}{2}$

Halle el vector unitario tangente de las siguientes curvas parametrizadas.

55.

$r (t) = 6 i + cos (3 t) j + 3 sen (4 t) k,$ $0 \leq t < 2 π$ . Aquí se presentan dos vistas de esta curva:

Esta figura tiene dos gráficos. El primero está dentro de una caja tridimensional. Tiene un aspecto de enrejado en el centro de la caja, cruzándose sobre sí misma. El segundo es el misma que el primero, con una posición diferente de la caja para una perspectiva distinta de la curva de aspecto enrejado.

56.

$r (t) = cos t i + sen t j + sen t k,$ $0 \leq t < 2 π .$

57.

$r (t) = 3 cos (4 t) i + 3 sen (4 t) j + 5 t k, 1 \leq t \leq 2$

58.

$r (t) = t i + 3 t j + t^{2} k$

Supongamos que $r (t) = t i + t^{2} j - t^{4} k$ y $s (t) = sen (t) i + e^{t} j + cos (t) k .$ Aquí está el gráfico de la función:

Esta figura es una gráfica tridimensional. Está dentro de una caja. La caja representa un octante. La curva del gráfico comienza en la esquina inferior izquierda de la caja y se curva hacia arriba y hacia el otro extremo.

Calcule lo siguiente.

59.

$\frac{d}{d t} [r (t^{2})]$

60.

$\frac{d}{d t} [t^{2} . s (t)]$

61.

$\frac{d}{d t} [r (t) . s (t)]$

62.

Calcule las derivadas primera, segunda y tercera de $r (t) = 3 t i + 6 ln (t) j + 5 e^{−3 t} k .$

63.

Calcule $r' (t) . r ″ (t) para r (t) = −3 t^{5} i + 5 t j + 2 t^{2} k .$

64.

La función de aceleración, la velocidad inicial y la posición inicial de una partícula son
$a (t) = −5 cos t i - 5 sen t j, v (0) = 9 i + 2 j, y r (0) = 5 i .$
Calcule $v (t) y r (t) .$

65.

El vector de posición de una partícula es $r (t) = 5 sec (2 t) i - 4 tan (t) j + 7 t^{2} k .$

Grafique la función de posición y muestre una vista del gráfico que ilustre el comportamiento asintótico de la función.
Calcule la velocidad cuando t se aproxima pero no es igual a $π / 4$ (si existe).

66.

Halle la velocidad y la rapidez de una partícula con la función de posición $r (t) = (\frac{2 t - 1}{2 t + 1}) i + ln (1 - 4 t^{2}) j .$ La rapidez de una partícula es la magnitud de la velocidad y se representa por $‖ r^{'} (t) ‖ .$

Una partícula se mueve en una trayectoria circular de radio b según la función $r (t) = b cos (ω t) i + b sen (ω t) j,$ donde $ω$ es la velocidad angular, $d θ / d t .$

Esta figura es el gráfico de una circunferencia centrada en el origen con radio 3. La orientación del círculo es en sentido contrario a las agujas del reloj. Además, en el cuarto cuadrante hay dos vectores. El primero comienza en el círculo y termina en el origen. El segundo vector es tangente en el mismo punto del cuarto cuadrante hacia el eje x.

67.

Halle la función de velocidad y demuestre que $v (t)$ es siempre ortogonal a $r (t) .$

68.

Demuestre que la rapidez de la partícula es proporcional a la velocidad angular.

69.

Evalúe $\frac{d}{d t} [u (t) \times u^{'} (t)]$ dado que $u (t) = t^{2} i - 2 t j + k .$

70.

Calcule la antiderivada de $r' (t) = cos (2 t) i - 2 sen t j + \frac{1}{1 + t^{2}} k$ que satisface la condición inicial $r (0) = 3 i - 2 j + k .$

71.

Evalúe $\int_{0}^{3} ‖ t i + t^{2} j ‖ d t .$

72.

Un objeto parte del reposo en el punto $P (1, 2, 0)$ y se mueve con una aceleración de $a (t) = j + 2 k,$ donde $‖ a (t) ‖$ se mide en pies por segundo por segundo. Calcule la ubicación del objeto después de $t = 2$ seg.

73.

Demuestre que si la rapidez de una partícula que se desplaza a lo largo de una curva representada por una función de valor vectorial es constante, entonces la función de valor velocidad es siempre perpendicular a la función de aceleración.

74.

Dados $r (t) = t i + 3 t j + t^{2} k$ y $u (t) = 4 t i + t^{2} j + t^{3} k,$ calcule $\frac{d}{d t} (r (t) \times u (t)) .$

75.

Dado que $r (t) = 〈 t + cos t, t - sen t 〉,$ calcule la velocidad y la rapidez en cualquier momento.

76.

Halle el vector velocidad para la función $r (t) = 〈 e^{t}, e^{− t}, 0 〉 .$

77.

Halle la ecuación de la línea tangente a la curva $r (t) = 〈 e^{t}, e^{− t}, 0 〉$ a las $t = 0 .$

78.

Describa y dibuje la curva representada por la función de valor vectorial $r (t) = 〈 6 t, 6 t - t^{2} 〉 .$

79.

Ubique el punto más alto de la curva $r (t) = 〈 6 t, 6 t - t^{2} 〉$ y dé el valor de la función en este punto.

El vector de posición de una partícula es $r (t) = t i + t^{2} j + t^{3} k .$ El gráfico se muestra aquí:

Esta figura es el gráfico de una curva en 3 dimensiones. La curva está dentro de una caja. La caja representa un octante. La curva comienza en la parte inferior de la caja a la izquierda y se curva hacia arriba hasta la esquina superior derecha.

80.

Halle el vector de velocidad en cualquier momento.

81.

Halle la rapidez de la partícula en el tiempo $t = 2$ seg.

82.

Calcule la aceleración en el tiempo $t = 2$ seg.

Una partícula se desplaza por la trayectoria de una hélice con la ecuación $r (t) = cos (t) i + sen (t) j + t k .$ Vea el gráfico presentado aquí:

Esta figura es la gráfica de una curva en 3 dimensiones. La curva está dentro de una caja. La caja representa un octante. La curva es una hélice y comienza en el fondo de la caja a la derecha y sube en espiral.

Calcule lo siguiente:

83.

Velocidad de la partícula en cualquier momento

84.

Rapidez de la partícula en cualquier momento

85.

Aceleración de la partícula en cualquier momento

86.

Calcule el vector unitario tangente de la hélice.

Una partícula recorre la trayectoria de una elipse con la ecuación $r (t) = cos t i + 2 sen t j + 0 k .$ Calcule lo siguiente:

87.

Velocidad de la partícula

88.

Rapidez de la partícula en $t = \frac{π}{4}$

89.

Aceleración de la partícula en $t = \frac{π}{4}$

Dada la función de valor vectorial $r (t) = 〈 tan t, sec t, 0 〉$ (el gráfico se muestra aquí), calcule lo siguiente:

Esta figura es la gráfica de una curva en 3 dimensiones. La curva está dentro de una caja. La caja representa un octante. La curva tiene asíntotas que son las diagonales de la caja. La curva es hiperbólica.

90.

Velocidad

91.

Velocidad

92.

Aceleración

93.

Calcule la velocidad mínima de una partícula que se desplaza por la curva $r (t) = 〈 t + cos t, t - sen t 〉$ $t \in [0, 2 π) .$

Dados $r (t) = t i + 2 sen t j + 2 cos t k$ y $u (t) = \frac{1}{t} i + 2 sen t j + 2 cos t k,$ calcule lo siguiente:

94.

$r (t) \times u (t)$ grandes.

95.

$\frac{d}{d t} (r (t) \times u (t))$ grandes.

96.

Ahora, utilice la regla de multiplicación para la derivada del producto vectorial de dos vectores y demuestre que este resultado es el mismo que la respuesta del problema anterior.

Halle el vector unitario tangente T(t) para las siguientes funciones de valores vectoriales.

97.

$r (t) = 〈 t, \frac{1}{t} 〉 .$ La gráfica se muestra aquí:

Esta figura es el gráfico de una curva hiperbólica. El eje y es una asíntota vertical y el eje x es la asíntota horizontal.

98.

$r (t) = 〈 t cos t, t sen t 〉$

99.

$r (t) = 〈 t + 1, 2 t + 1, 2 t + 2 〉$

Evalúe las siguientes integrales:

100.

$\int (e^{t} i + sen t j + \frac{1}{2 t - 1} k) d t$

101.

$\int_{0}^{1} r (t) d t,$ donde $r (t) = 〈 \sqrt[3]{t}, \frac{1}{t + 1}, e^{− t} 〉$

3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial

Derivadas de funciones de valores vectoriales

Hallar la derivada de una función de valor vectorial

Solución

Diferenciación de funciones de valores vectoriales

Calcular la derivada de funciones de valores vectoriales

Solución

Propiedades de la derivada de las funciones de valores vectoriales

Prueba

Usar las propiedades de las derivadas de las funciones de valores vectoriales

Solución

Vectores tangentes y vectores unitarios tangentes

Calcular un vector unitario tangente

Solución

Integrales de funciones de valores vectoriales

Integrar funciones de valores vectoriales

Solución

Sección 3.2 ejercicios