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Cálculo volumen 3

Ejercicios de repaso

Cálculo volumen 3Ejercicios de repaso
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Ejercicios de repaso

¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

202.

Una ecuación paramétrica que pasa por los puntos P y Q puede estar dada por r(t)=t2 ,3t+1,t2 ,r(t)=t2 ,3t+1,t2 , donde P(1,4,–1)P(1,4,–1) y Q(16,11,2 ).Q(16,11,2 ).

203.

d d t [ u ( t ) × u ( t ) ] = 2 u ( t ) × u ( t ) d d t [ u ( t ) × u ( t ) ] = 2 u ( t ) × u ( t )

204.

La curvatura de un círculo de radio rr es constante en todas partes. Además, la curvatura es igual a 1/r.1/r.

205.

La rapidez de una partícula con una función de posición r(t)r(t) es (r(t))/(|r(t)|).(r(t))/(|r(t)|).

Halle los dominios de las funciones de valores vectoriales.

206.

r ( t ) = sen ( t ) , ln ( t ) , t r ( t ) = sen ( t ) , ln ( t ) , t

207.

r ( t ) = e t , 1 4 t , sec ( t ) r ( t ) = e t , 1 4 t , sec ( t )

Dibuje las curvas de las siguientes ecuaciones vectoriales. Utilice una calculadora si es necesario.

208.

[T] r(t)=t2 ,t3r(t)=t2 ,t3

209.

[T] r(t)=sen(20t)et,cos(20t)et,etr(t)=sen(20t)et,cos(20t)et,et

Halle una función vectorial que describa las siguientes curvas.

210.

Intersección del cilindro x2 +y2 =4x2 +y2 =4 con el plano x+z=6x+z=6

211.

Intersección del cono z=x2 +y2 z=x2 +y2 y el plano z=y4z=y4

Halle las derivadas de u(t),u(t), u(t),u(t), u(t)×u(t),u(t)×u(t), u(t)×u(t),u(t)×u(t), y u(t).u(t).u(t).u(t). Halle el vector unitario tangente.

212.

u ( t ) = e t , e t u ( t ) = e t , e t

213.

u ( t ) = t 2 , 2 t + 6 , 4 t 5 12 u ( t ) = t 2 , 2 t + 6 , 4 t 5 12

Evalúe las siguientes integrales.

214.

( tan ( t ) sec ( t ) i t e 3 t j ) d t ( tan ( t ) sec ( t ) i t e 3 t j ) d t

215.

14u(t)dt,14u(t)dt, con la u(t)=ln(t)t,1t,sen(tπ4)u(t)=ln(t)t,1t,sen(tπ4)

Halle la longitud de las siguientes curvas.

216.

r(t)=3t,4cos(t),4sen(t)r(t)=3t,4cos(t),4sen(t) por 1t41t4

217.

r(t)=2 i+tj+3t2 kr(t)=2 i+tj+3t2 k por 0t10t1

Reparametrice las siguientes funciones con respecto a su longitud de arco medida desde t=0t=0 en dirección al aumento t.t.

218.

r ( t ) = 2 t i + ( 4 t 5 ) j + ( 1 3 t ) k r ( t ) = 2 t i + ( 4 t 5 ) j + ( 1 3 t ) k

219.

r ( t ) = cos ( 2 t ) i + 8 t j sen ( 2 t ) k r ( t ) = cos ( 2 t ) i + 8 t j sen ( 2 t ) k

Halle la curvatura de las siguientes funciones vectoriales.

220.

r ( t ) = ( 2 sen t ) i 4 t j + ( 2 cos t ) k r ( t ) = ( 2 sen t ) i 4 t j + ( 2 cos t ) k

221.

r ( t ) = 2 e t i + 2 e t j + 2 t k r ( t ) = 2 e t i + 2 e t j + 2 t k

222.

Halle el vector unitario tangente, el vector unitario normal y el vector binormal para r(t)=2 costi+3tj+2 sentk.r(t)=2 costi+3tj+2 sentk.

223.

Halle las componentes de aceleración tangencial y normal con el vector de posición r(t)=cost,sent,et.r(t)=cost,sent,et.

224.

El vagón de una rueda de la fortuna se mueve a una rapidez constante vv y tiene un radio constante r.r. Halle la aceleración tangencial y normal del vagón de la rueda de la fortuna.

225.

La posición de una partícula viene dada por r(t)=t2 ,ln(t),sen(πt),r(t)=t2 ,ln(t),sen(πt), donde tt se mide en segundos y rr se mide en metros. Halle las funciones de velocidad, aceleración y rapidez. ¿Cuáles son la posición, la velocidad, la rapidez y la aceleración de la partícula en 1 segundo?

Los siguientes problemas contemplan el lanzamiento de una bala desde un cañón. La bala sale disparada del cañón con un ángulo θθ y una velocidad inicial v0.v0. La única fuerza que actúa sobre la bala de cañón es la gravedad, por lo que partimos de una aceleración constante a(t)=gj.a(t)=gj.

226.

Halle la función vectorial de velocidad v(t).v(t).

227.

Halle el vector de posición r(t)r(t) y la representación paramétrica para la posición.

228.

¿A qué ángulo hay que disparar la bala de cañón para que la distancia horizontal sea mayor? ¿Cuál es la distancia total que recorrería?

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