3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio

Una función de valor vectorial es una función de la forma $r (t) = f (t) i + g (t) j$ o $r (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k,$ donde las funciones componentes f, g y h son funciones de valor real del parámetro t.
La gráfica de una función de valor vectorial de la forma $r (t) = f (t) i + g (t) j$ se denomina curva plana. La gráfica de una función de valor vectorial de la forma $r (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k$ se denomina curva en el espacio.
Es posible representar una curva plana arbitraria mediante una función de valor vectorial.
Para calcular el límite de una función de valor vectorial, calcule los límites de las funciones componentes por separado.

3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial

Para calcular la derivada de una función de valor vectorial, se calculan las derivadas de las funciones componentes y se vuelven a colocar en una nueva función de valor vectorial.
Muchas de las propiedades de la diferenciación de Introducción a las derivadas también se aplican a las funciones de valores vectoriales.
La derivada de una función de valor vectorial $r (t)$ es también un vector tangente a la curva. El vector unitario tangente $T (t)$ se calcula dividiendo la derivada de una función de valor vectorial entre su magnitud.
La antiderivada de una función de valor vectorial se calcula hallando las antiderivadas de las funciones componentes, y luego juntándolas en una función de valor vectorial.
La integral definida de una función de valor vectorial se calcula hallando las integrales definidas de las funciones componentes, y luego juntándolas en una función de valor vectorial.

La función de longitud de arco para una función de valor vectorial se calcula mediante la fórmula integral $s (t) = \int_{a}^{t} ‖ r^{'} (u) ‖ d u .$ Esta fórmula es válida tanto en dos como en tres dimensiones.
La curvatura de una curva en un punto en dos o tres dimensiones se define como la curvatura del círculo inscrito en ese punto. La parametrización de la longitud de arco se utiliza en la definición de la curvatura.
Hay varias fórmulas diferentes para la curvatura. La curvatura de un círculo es igual al recíproco de su radio.
El vector normal unitario principal en t se define como

$N (t) = \frac{T^{'} (t)}{‖ T^{'} (t) ‖} .$
El vector binormal en t se define como $B (t) = T (t) \times N (t),$ donde $T (t)$ es el vector tangente unitario.
El marco de referencia de Frenet está formado por el vector tangente unitario, el vector normal unitario principal y el vector binormal.
El círculo osculante es tangente a una curva en un punto y tiene la misma curvatura que la curva tangente en ese punto.

Si los valores de $r (t)$ representa la posición de un objeto en el momento t, entonces $r' (t)$ representa la velocidad y $r″ (t)$ representa la aceleración del objeto en el momento t. La magnitud del vector de velocidad es la rapidez.
El vector de aceleración siempre apunta hacia el lado cóncavo de la curva definida por $r (t) .$ Las componentes tangencial y normal de la aceleración $a_{T}$ y $a_{N}$ son las proyecciones del vector de aceleración sobre los vectores unitario y normal tangente de la curva.
Las tres leyes de Kepler del movimiento planetario describen el movimiento de los objetos en órbita alrededor del Sol. Su tercera ley puede modificarse para describir también el movimiento de los objetos en órbita alrededor de otros objetos celestes.
Newton pudo utilizar su ley de la gravitación universal junto con su segunda ley del movimiento y el cálculo para comprobar las tres leyes de Kepler.