Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidad
Logo de OpenStax
Cálculo volumen 3

Conceptos clave

Cálculo volumen 3Conceptos clave
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Conceptos clave

3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio

  • Una función de valor vectorial es una función de la forma r(t)=f(t)i+g(t)jr(t)=f(t)i+g(t)j o r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k,r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k, donde las funciones componentes f, g y h son funciones de valor real del parámetro t.
  • La gráfica de una función de valor vectorial de la forma r(t)=f(t)i+g(t)jr(t)=f(t)i+g(t)j se denomina curva plana. La gráfica de una función de valor vectorial de la forma r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)kr(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k se denomina curva en el espacio.
  • Es posible representar una curva plana arbitraria mediante una función de valor vectorial.
  • Para calcular el límite de una función de valor vectorial, calcule los límites de las funciones componentes por separado.

3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial

  • Para calcular la derivada de una función de valor vectorial, se calculan las derivadas de las funciones componentes y se vuelven a colocar en una nueva función de valor vectorial.
  • Muchas de las propiedades de la diferenciación de Introducción a las derivadas también se aplican a las funciones de valores vectoriales.
  • La derivada de una función de valor vectorial r(t)r(t) es también un vector tangente a la curva. El vector unitario tangente T(t)T(t) se calcula dividiendo la derivada de una función de valor vectorial entre su magnitud.
  • La antiderivada de una función de valor vectorial se calcula hallando las antiderivadas de las funciones componentes, y luego juntándolas en una función de valor vectorial.
  • La integral definida de una función de valor vectorial se calcula hallando las integrales definidas de las funciones componentes, y luego juntándolas en una función de valor vectorial.

3.3 Longitud de arco y curvatura

  • La función de longitud de arco para una función de valor vectorial se calcula mediante la fórmula integral s(t)=atr(u)du.s(t)=atr(u)du. Esta fórmula es válida tanto en dos como en tres dimensiones.
  • La curvatura de una curva en un punto en dos o tres dimensiones se define como la curvatura del círculo inscrito en ese punto. La parametrización de la longitud de arco se utiliza en la definición de la curvatura.
  • Hay varias fórmulas diferentes para la curvatura. La curvatura de un círculo es igual al recíproco de su radio.
  • El vector normal unitario principal en t se define como
    N(t)=T(t)T(t).N(t)=T(t)T(t).
  • El vector binormal en t se define como B(t)=T(t)×N(t),B(t)=T(t)×N(t), donde T(t)T(t) es el vector tangente unitario.
  • El marco de referencia de Frenet está formado por el vector tangente unitario, el vector normal unitario principal y el vector binormal.
  • El círculo osculante es tangente a una curva en un punto y tiene la misma curvatura que la curva tangente en ese punto.

3.4 Movimiento en el espacio

  • Si los valores de r(t)r(t) representa la posición de un objeto en el momento t, entonces r(t)r(t) representa la velocidad y r″(t)r″(t) representa la aceleración del objeto en el momento t. La magnitud del vector de velocidad es la rapidez.
  • El vector de aceleración siempre apunta hacia el lado cóncavo de la curva definida por r(t).r(t). Las componentes tangencial y normal de la aceleración aTaT y aNaN son las proyecciones del vector de aceleración sobre los vectores unitario y normal tangente de la curva.
  • Las tres leyes de Kepler del movimiento planetario describen el movimiento de los objetos en órbita alrededor del Sol. Su tercera ley puede modificarse para describir también el movimiento de los objetos en órbita alrededor de otros objetos celestes.
  • Newton pudo utilizar su ley de la gravitación universal junto con su segunda ley del movimiento y el cálculo para comprobar las tres leyes de Kepler.
Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 2 mar. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.