Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

5.3.1 Reconocer el formato de una integral doble sobre una región rectangular polar.
5.3.2 Evaluar una integral doble en coordenadas polares utilizando una integral iterada.
5.3.3 Reconocer el formato de una integral doble sobre una región polar general.
5.3.4 Utilizar las integrales dobles en coordenadas polares para calcular áreas y volúmenes.

Las integrales dobles son a veces mucho más fáciles de evaluar si cambiamos las coordenadas rectangulares por coordenadas polares. Sin embargo, antes de describir cómo realizar este cambio, necesitamos establecer el concepto de integral doble en una región rectangular polar.

Regiones polares rectangulares de integración

Cuando definimos la integral doble para una función continua en coordenadas rectangulares, digamos $g$ sobre una región $R$ en el plano $x y$ , dividimos $R$ en subrectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas. Estos lados tienen valores constantes de $x$ o valores constantes de $y$ . En coordenadas polares, la forma con la que trabajamos es un rectángulo polar, cuyos lados tienen valores constantes de $r$ o valores constantes de $θ$ . Esto significa que podemos describir un rectángulo polar como en la Figura 5.28(a), con $R = {(r, θ) | a \leq r \leq b, α \leq θ \leq β} .$

En esta sección, buscamos integrar sobre rectángulos polares. Considere una función $f (r, θ)$ sobre un rectángulo polar $R .$ Dividimos el intervalo $[a, b]$ en $m$ subintervalos $[r_{i - 1}, r_{i}]$ de longitud $Δ r = (b - a) / m$ y dividimos el intervalo $[α, β]$ en $n$ subintervalos $[θ_{j - 1}, θ_{j}]$ de ancho $Δ θ = (β - α) / n .$ Esto significa que los círculos $r = r_{i}$ y rayas $θ = θ_{j}$ por $1 \leq i \leq m$ y $1 \leq j \leq n$ dividimos el rectángulo polar $R$ en subrectángulos polares más pequeños $R_{i j}$ (Figura 5.28(b)).

Esta figura se compone de tres figuras marcadas como a, b y c. En la figura a, se muestra un sector de un anillo en el plano de coordenadas polares con radios a y b, y ángulos alfa y beta desde el eje theta = 0. En la figura b, este sector de un anillo se corta en subsectores de forma similar a como se cortaron los espacios anteriores en subrectángulos. En la figura c, se muestra uno de estos subsectores con el ángulo Delta theta, la distancia entre los radios interior y exterior Delta r, y el área Delta A = r* sub theta Delta r Delta theta, donde el punto central está dado como (r* sub i j, theta* sub i j).

Figura 5.28 (a) Un rectángulo polar

R

(b) dividido en subrectángulos

R_{i j} .

(c) Primer plano de un subrectángulo.

Como antes, tenemos que calcular el área $Δ A$ del subrectángulo polar $R_{i j}$ y el volumen "polar" de la caja delgada de arriba $R_{i j} .$ Recordemos que, en un círculo de radio $r,$ la longitud $s$ de un arco subtendido por un ángulo central de $θ$ radianes es $s = r θ .$ Observe que el rectángulo polar $R_{i j}$ se parece mucho a un trapecio con lados paralelos $r_{i - 1} Δ θ$ y $r_{i} Δ θ$ y con una anchura $Δ r .$ Por lo tanto, el área del subrectángulo polar $R_{i j}$ se

Δ A = \frac{1}{2} Δ r (r_{i - 1} Δ θ + r_{1} Δ θ) .

Al simplificar y dejar $r_{i j}^{*} = \frac{1}{2} (r_{i - 1} + r_{i}),$ tenemos $Δ A = r_{i j}^{*} Δ r Δ θ .$ Por lo tanto, el volumen polar de la caja delgada de arriba $R_{i j}$ (Figura 5.29) es

f (r_{i j}^{*}, θ_{i j}^{*}) Δ A = f (r_{i j}^{*}, θ_{i j}^{*}) r_{i j}^{*} Δ r Δ θ .

En el espacio x y z, existe una superficie f (r, theta). En el plano x y se dibujan una serie de subsectores de anillos (annuli) como en la figura anterior con radio entre anillos delta r y se inclina entre subsectores Delta theta. Un subsector de la superficie f(r, theta) se proyecta hacia abajo en uno de estos subsectores. Este subsector tiene el punto central marcado (r* sub i j, theta* sub i j).

Figura 5.29 Hallar el volumen de la caja delgada sobre el rectángulo polar

R_{i j} .

Utilizando la misma idea para todos los subrectángulos y sumando los volúmenes de las cajas rectangulares, obtenemos una suma doble de Riemann como

\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f (r_{i j}^{*}, θ_{i j}^{*}) r_{i j}^{*} Δ r Δ θ .

Como hemos visto antes, obtenemos una mejor aproximación al volumen polar del sólido sobre la región $R$ cuando dejamos que $m$ y $n$ se hacen más grandes. Por lo tanto, definimos el volumen polar como el límite de la suma doble de Riemann,

V = \underset{m, n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f (r_{i j}^{*}, θ_{i j}^{*}) r_{i j}^{*} Δ r Δ θ .

Esto se convierte en la expresión de la integral doble.

Definición

La integral doble de la función $f (r, θ)$ sobre la región rectangular polar $R$ en el plano $r θ$ se define como

\iint_{R} f (r, θ) d A = \underset{m, n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f (r_{i j}^{*}, θ_{i j}^{*}) Δ A = \underset{m, n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f (r_{i j}^{*}, θ_{i j}^{*}) r_{i j}^{*} Δ r Δ θ .

(5.8)

De nuevo, al igual que en Integrales dobles sobre regiones rectangulares, la integral doble sobre una región rectangular polar puede expresarse como una integral iterada en coordenadas polares. Por lo tanto,

\iint_{R} f (r, θ) d A = \iint_{R} f (r, θ) r d r d θ = \int_{θ = α}^{θ = β} \int_{r = a}^{r = b} f (r, θ) r d r d θ .

Observe que la expresión para $d A$ se sustituye por $r d r d θ$ cuando se trabaja en coordenadas polares. Otra forma de ver la integral doble polar es cambiar la integral doble en coordenadas rectangulares por sustitución. Cuando la función $f$ se da en términos de $x$ como $y,$ utilizando $x = r cos θ, y = r sen θ, y d A = r d r d θ$ cambia a

\iint_{R} f (x, y) d A = \iint_{R} f (r cos θ, r sen θ) r d r d θ .

Observe que todas las propiedades enumeradas en Integrales dobles sobre regiones rectangulares para la integral doble en coordenadas rectangulares son válidas también para la integral doble en coordenadas polares, por lo que podemos utilizarlas sin dudarlo.

Ejemplo 5.24

Trazar una región rectangular polar

Dibuje la región rectangular polar $R = {(r, θ) | 1 \leq r \leq 3, 0 \leq θ \leq π} .$

Solución

Como podemos ver en la Figura 5.30, $r = 1$ y $r = 3$ son círculos de radio $1 y 3$ y $0 \leq θ \leq π$ cubre toda la mitad superior del plano. De ahí que la región $R$ parece una banda semicircular.

Se dibuja la mitad de un anillo R con radio interior 1 y radio exterior 3. Es decir, el semicírculo interior viene dado por x al cuadrado + y al cuadrado = 1, mientras que el semicírculo exterior viene dado por x al cuadrado + y al cuadrado = 9.

Figura 5.30 La región polar

R

se encuentra entre dos semicírculos.

Ahora que hemos dibujado una región rectangular polar, vamos a demostrar cómo evaluar una integral doble sobre esta región utilizando coordenadas polares.

Ejemplo 5.25

Evaluar una integral doble en una región rectangular polar

Evalúe la integral $\iint_{R} 3 x d A$ sobre la región $R = {(r, θ) | 1 \leq r \leq 2, 0 \leq θ \leq π} .$

Solución

Primero dibujamos una figura similar a la Figura 5.30 pero con radio exterior $2 .$ En la figura podemos ver que tenemos

\begin{matrix} \iint_{R} 3 x d A & = \int_{θ = 0}^{θ = π} \int_{r = 1}^{r = 2} 3 r cos θ r d r d θ & \begin{matrix} Utilizamos una integral iterada con límites correctos \\ de integración. \end{matrix} \\ = \int_{θ = 0}^{θ = π} cos θ [{r^{3} |}_{r = 1}^{r = 2}] d θ & Integramos primero con respecto a r . \\ = \int_{θ = 0}^{θ = π} 7 cos θ d θ = {7 sen θ |}_{θ = 0}^{θ = π} = 0 . \end{matrix}

Punto de control 5.17

Dibuje la región $R = {(r, θ) | 1 \leq r \leq 2, - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}},$ y evalúe $\iint_{R} x d A .$

Ejemplo 5.26

Evaluar una integral doble mediante la conversión de coordenadas rectangulares

Evalúe la integral $\iint_{R} (1 - x^{2} - y^{2}) d A$ donde $R$ es el círculo unitario en el plano $x y$ .

Solución

La región $R$ es un círculo unitario, por lo que podemos describirlo como $R = {(r, θ) | 0 \leq r \leq 1, 0 \leq θ \leq 2 π} .$

Utilizando la conversión $x = r cos θ, y = r sen θ,$ y $d A = r d r d θ,$ tenemos

\begin{matrix} \iint_{R} (1 - x^{2} - y^{2}) d A & = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} (1 - r^{2}) r d r d θ = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} (r - r^{3}) d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} {[\frac{r^{2}}{2} - \frac{r^{4}}{4}]}_{0}^{1} d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d θ = \frac{π}{2} . \end{matrix}

Ejemplo 5.27

Evaluar una integral doble mediante la conversión de coordenadas rectangulares

Evalúe la integral $\iint_{R} (x + y) d A$ donde $R = {(x, y) | 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4, x \leq 0} .$

Solución

Podemos ver que $R$ es una región anular que puede convertirse a coordenadas polares y describirse como $R = {(r, θ) | 1 \leq r \leq 2, \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{3 π}{2}}$ (vea el siguiente gráfico).

Se dibujan dos semicírculos en el segundo y tercer cuadrante, con ecuaciones x al cuadrado + y al cuadrado = 1 y x al cuadrado + y al cuadrado = 2.

Figura 5.31 La región anular de integración

R .

Por lo tanto, utilizando la conversión $x = r cos θ, y = r sen θ,$ y $d A = r d r d θ,$ tenemos

\begin{matrix} \iint_{R} (x + y) d A & = \int_{θ = π / 2}^{θ = 3 π / 2} \int_{r = 1}^{r = 2} (r cos θ + r sen θ) r d r d θ \\ = (\int_{r = 1}^{r = 2} r^{2} d r) (\int_{π / 2}^{3 π / 2} (cos θ + sen θ) d θ) \\ = {[\frac{r^{3}}{3}]}_{1}^{2} {[sen θ - cos θ] |}_{π / 2}^{3 π / 2} \\ = - \frac{14}{3} . \end{matrix}

Punto de control 5.18

Evalúe la integral $\iint_{R} (4 - x^{2} - y^{2}) d A$ donde $R$ es el círculo de radio $2$ en el plano $x y$ .

Regiones polares generales de integración

Para evaluar la integral doble de una función continua mediante integrales iteradas sobre regiones polares generales, consideramos dos tipos de regiones, análogas a las de Tipo I y Tipo II, tal y como se discute para coordenadas rectangulares en Integrales dobles sobre regiones generales. Es más común escribir las ecuaciones polares como $r = f (θ)$ que $θ = f (r),$ por lo que describimos una región polar general como $R = {(r, θ) | α \leq θ \leq β, h_{1} (θ) \leq r \leq h_{2} (θ)}$ (vea la siguiente figura).

Una región D se muestra en coordenadas polares con bordes dados por theta = alfa, theta = beta, r = h2(theta), y r = h1(theta).

Figura 5.32 Una región polar general entre

α < θ < β

y

h_{1} (θ) < r < h_{2} (θ) .

Teorema 5.8

Integrales dobles sobre regiones polares generales

Si los valores de $f (r, θ)$ es continua en una región polar general $D$ como se ha descrito anteriormente, entonces

\iint_{D} f (r, θ) r d r d θ = \int_{θ = α}^{θ = β} \int_{r = h_{1} (θ)}^{r = h_{2} (θ)} f (r, θ) r d r d θ

(5.9)

Ejemplo 5.28

Evaluar una integral doble en una región polar general

Evalúe la integral $\iint_{D} r^{2} sen θ r d r d θ$ donde $D$ es la región delimitada por el eje polar y la mitad superior del cardioide $r = 1 + cos θ .$

Solución

Podemos describir la región $D$ cuando ${(r, θ) | 0 \leq θ \leq π, 0 \leq r \leq 1 + cos θ}$ como se muestra en la siguiente figura.

Una región D está dada como la mitad superior de un cardioide con ecuación r = 1 + cos theta.

Figura 5.33 La región

D

es la mitad superior de un cardioide.

Por lo tanto, tenemos

\begin{matrix} \iint_{D} r^{2} sen θ r d r d θ & = \int_{θ = 0}^{θ = π} \int_{r = 0}^{r = 1 + cos θ} (r^{2} sen θ) r d r d θ \\ = \frac{1}{4} {\int_{θ = 0}^{θ = π} [r^{4}]}_{r = 0}^{r = 1 + cos θ} sen θ d θ \\ = \frac{1}{4} \int_{θ = 0}^{θ = π} {(1 + cos θ)}^{4} sen θ d θ \\ = - \frac{1}{4} {[\frac{{(1 + cos θ)}^{5}}{5}]}_{0}^{π} = \frac{8}{5} . \end{matrix}

Punto de control 5.19

Evalúe la integral

\iint_{D} r^{2} {sen}^{2} 2 θ r d r d θ donde D = {(r, θ) | - \frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{4}, 0 \leq r \leq 2 \sqrt{cos 2 θ}} .

Áreas y volúmenes polares

Como en las coordenadas rectangulares, si un sólido $S$ está limitado por la superficie $z = f (r, θ),$ así como por las superficies $r = a, r = b, θ = α,$ y $θ = β,$ podemos calcular el volumen $V$ de $S$ mediante la doble integración, ya que

V = \iint_{R} f (r, θ) r d r d θ = \int_{θ = α}^{θ = β} \int_{r = a}^{r = b} f (r, θ) r d r d θ .

Si la base del sólido puede describirse como $D = {(r, θ) | α \leq θ \leq β, h_{1} (θ) \leq r \leq h_{2} (θ)},$ entonces la integral doble para el volumen se convierte en

V = \iint_{D} f (r, θ) r d r d θ = \int_{θ = α}^{θ = β} \int_{r = h_{1} (θ)}^{r = h_{2} (θ)} f (r, θ) r d r d θ .

Ilustramos esta idea con algunos ejemplos.

Ejemplo 5.29

Hallar un volumen utilizando una integral doble

Calcule el volumen del sólido que se encuentra bajo el paraboloide $z = 1 - x^{2} - y^{2}$ y por encima del círculo de la unidad en el plano $x y$ (vea la siguiente figura).

Se muestra el paraboloide z = 1 menos x al cuadrado menos y al cuadrado, que en este gráfico parece una hoja con el centro suavemente hinchado y las esquinas ancladas.

Figura 5.34 El paraboloide

z = 1 - x^{2} - y^{2}

.

Solución

Por el método de la doble integración, podemos ver que el volumen es la integral iterada de la forma $\iint_{R} (1 - x^{2} - y^{2}) d A$ donde $R = {(r, θ) | 0 \leq r \leq 1, 0 \leq θ \leq 2 π} .$

Esta integración se mostró antes en el Ejemplo 5.26, por lo que el volumen es $\frac{π}{2}$ unidades cúbicas.

Ejemplo 5.30

Hallar un volumen utilizando la integración doble

Calcule el volumen del sólido que se encuentra bajo el paraboloide $z = 4 - x^{2} - y^{2}$ y por encima del disco ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ en el plano $x y$ . Vea el paraboloide en la Figura 5.35 que interseca el cilindro ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ por encima del plano $x y$ .

Un paraboloide con ecuación z = 4 menos x al cuadrado menos y al cuadrado es intersecado por un cilindro con ecuación (x menos 1) al cuadrado + y al cuadrado = 1.

Figura 5.35 Hallar el volumen de un sólido con tope paraboloide y base circular.

Solución

Primero cambie el disco ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ a coordenadas polares. Expandiendo el término cuadrado, tenemos $x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} = 1 .$ Entonces simplifique para obtener $x^{2} + y^{2} = 2 x,$ que en coordenadas polares se convierte en $r^{2} = 2 r cos θ$ y luego $r = 0$ o $r = 2 cos θ .$ Del mismo modo, la ecuación del paraboloide cambia a $z = 4 - r^{2} .$ Por lo tanto, podemos describir el disco ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ en el plano $x y$ como la región

D = {(r, θ) | 0 \leq θ \leq π, 0 \leq r \leq 2 cos θ} .

Por lo tanto, el volumen del sólido delimitado arriba por el paraboloide $z = 4 - x^{2} - y^{2}$ y más abajo por $r = 2 cos θ$ se

\begin{matrix} V & = \iint_{D} f (r, θ) r d r d θ = \int_{θ = 0}^{θ = π} \int_{r = 0}^{r = 2 cos θ} (4 - r^{2}) r d r d θ \\ = \int_{θ = 0}^{θ = π} [4 \frac{r^{2}}{2} - {\frac{r^{4}}{4} |}_{0}^{2 cos θ}] d θ \\ = \int_{0}^{π} [8 {cos}^{2} θ - 4 {cos}^{2} θ] d θ = {[\frac{5}{2} θ + \frac{5}{2} sen θ cos θ - sen θ {cos}^{3} θ]}_{0}^{π} = \frac{5}{2} π . \end{matrix}

Observe en el siguiente ejemplo que la integración no siempre es fácil con coordenadas polares. La complejidad de la integración depende de la función y también de la región sobre la que tenemos que realizar la integración. Si la región tiene una expresión más natural en coordenadas polares o si $f$ tiene una antiderivada más sencilla en coordenadas polares, entonces el cambio en coordenadas polares es apropiado; de lo contrario, utilice coordenadas rectangulares.

Ejemplo 5.31

Hallar un volumen utilizando una integral doble

Halle el volumen de la región que se encuentra bajo el paraboloide $z = x^{2} + y^{2}$ y por encima del triángulo delimitado por las líneas $y = x, x = 0,$ y $x + y = 2$ en el plano $x y$ (Figura 5.36).

Solución

En primer lugar, examinamos la región sobre la que tenemos que establecer la integral doble y el paraboloide que la acompaña.

Esta figura se compone de tres figuras. La primera es simplemente un paraboloide que se abre. La segunda muestra la región D delimitada por x = 0, y = x, y x + y = 2 con una flecha vertical de doble cara dentro de la región. La segunda muestra la misma región pero en coordenadas polares, por lo que las líneas que limitan D son theta = pi/2, r = 2/(cos theta + sen theta), y theta = pi/4, con una flecha de doble cara que tiene un lado apuntando al origen.

Figura 5.36 Hallar el volumen de un sólido bajo un paraboloide y sobre un triángulo dado.

La región $D$ ¿es ${(x, y) | 0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq 2 - x} .$ Al convertir las líneas $y = x, x = 0,$ y $x + y = 2$ en el plano $x y$ a funciones de $r$ y $θ,$ tenemos $θ = π / 4,$ $θ = π / 2,$ y $r = 2 / (cos θ + sen θ),$ respectivamente. Al graficar la región en el plano $x y$ , vemos que parece $D = {(r, θ) | π / 4 \leq θ \leq π / 2, 0 \leq r \leq 2 / (cos θ + sen θ)} .$ Ahora, al convertir la ecuación de la superficie se obtiene $z = x^{2} + y^{2} = r^{2} .$ Por tanto, el volumen del sólido viene dado por la integral doble

\begin{matrix} V & = \iint_{D} f (r, θ) r d r d θ = \int_{θ = π / 4}^{θ = π / 2} \int_{r = 0}^{r = 2 / (cos θ + sen θ)} r^{2} r d r d θ = {\int_{π / 4}^{π / 2} [\frac{r^{4}}{4}]}_{0}^{2 / (cos θ + sen θ)} d θ \\ = \frac{1}{4} {\int_{π / 4}^{π / 2} (\frac{2}{cos θ + sen θ})}^{4} d θ = \frac{16}{4} {\int_{π / 4}^{π / 2} (\frac{1}{cos θ + sen θ})}^{4} d θ = 4 {\int_{π / 4}^{π / 2} (\frac{1}{cos θ + sen θ})}^{4} d θ . \end{matrix}

Como puede ver, esta integral es muy complicada. Por lo tanto, podemos evaluar esta integral doble en coordenadas rectangulares como

V = \int_{0}^{1} \int_{x}^{2 - x} (x^{2} + y^{2}) d y d x .

La evaluación nos da

\begin{matrix} V & = \int_{0}^{1} \int_{x}^{2 - x} (x^{2} + y^{2}) d y d x = {\int_{0}^{1} [x^{2} y + \frac{y^{3}}{3}] |}_{x}^{2 - x} d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{8}{3} - 4 x + 4 x^{2} - \frac{8 x^{3}}{3} d x \\ = {[\frac{8 x}{3} - 2 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{2 x^{4}}{3}] |}_{0}^{1} = \frac{4}{3} . \end{matrix}

Para responder la pregunta de cómo se hallan las fórmulas de los volúmenes de diferentes sólidos estándar como una esfera, un cono o un cilindro, queremos demostrar un ejemplo y calcular el volumen de un cono arbitrario.

Ejemplo 5.32

Hallar un volumen utilizando una integral doble

Utilice las coordenadas polares para hallar el volumen dentro del cono $z = 2 - \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ y por encima del plano $x y .$

Solución

La región $D$ para la integración es la base del cono, que parece ser un círculo en el plano $x y$ (vea la siguiente figura).

Un cono dado por z = 2 menos la raíz cuadrada de (x al cuadrado más y al cuadrado) y un círculo dado por x al cuadrado más y al cuadrado = 4. El cono está por encima del círculo en el espacio xyz.

Figura 5.37 Hallar el volumen de un sólido dentro del cono y por encima del plano

x y

.

Encontramos la ecuación del círculo estableciendo $z = 0 :$

\begin{matrix} 0 & = & 2 - \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ 2 & = & \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ x^{2} + y^{2} & = & 4. \end{matrix}

Esto significa que el radio del círculo es $2,$ por lo que para la integración tenemos $0 \leq θ \leq 2 π$ y $0 \leq r \leq 2 .$ Al sustituir $x = r cos θ$ y $y = r sen θ$ en la ecuación $z = 2 - \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ tenemos $z = 2 - r .$ Por lo tanto, el volumen del cono es

$\int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{r = 0}^{r = 2} (2 - r) r d r d θ = 2 π \frac{4}{3} = \frac{8 π}{3}$ unidades cúbicas.

Análisis

Observe que si tuviéramos que hallar el volumen de un cono arbitrario de radio $a$ unidades y altura $h$ unidades, entonces la ecuación del cono sería $z = h - \frac{h}{a} \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$

Podemos seguir utilizando la Figura 5.37 y configurar la integral como $\int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{r = 0}^{r = a} (h - \frac{h}{a} r) r d r d θ .$

Evaluando la integral, obtenemos $\frac{1}{3} π a^{2} h .$

Punto de control 5.20

Utilice las coordenadas polares para hallar una integral iterada para hallar el volumen del sólido encerrado por los paraboloides $z = x^{2} + y^{2}$ y $z = 16 - x^{2} - y^{2} .$

Al igual que con las coordenadas rectangulares, también podemos utilizar las coordenadas polares para hallar las áreas de ciertas regiones utilizando una integral doble. Al igual que antes, tenemos que conocer la región cuya área queremos calcular. Trazar un gráfico e identificar la región puede ser útil para darse cuenta de los límites de la integración. Generalmente, la fórmula del área en la integración doble será

Área A = \int_{α}^{β} \int_{h_{1} (θ)}^{h_{2} (θ)} 1 r d r d θ .

Ejemplo 5.33

Calcular un área mediante una integral doble en coordenadas polares

Evaluar el área delimitada por la curva $r = cos 4 θ .$

Solución

Trazar el gráfico de la función $r = cos 4 θ$ revela que se trata de una rosa polar con ocho pétalos (vea la siguiente figura).

Una rosa con ocho pétalos dada por r = cos (4 theta).

Figura 5.38 Hallar el área de una rosa polar con ocho pétalos.

Usando la simetría podemos ver que necesitamos calcular el área de un pétalo y luego multiplicarlo por $8 .$ Observe que los valores de $θ$ cuyo gráfico pasa por el origen son los ceros de la función $cos 4 θ,$ y estos son impares múltiplos de $π / 8 .$ Así, uno de los pétalos corresponde a los valores de $θ$ en el intervalo $[− π / 8, π / 8] .$ Por lo tanto, el área delimitada por la curva $r = cos 4 θ$ se

\begin{matrix} A & = 8 \int_{θ = − π / 8}^{θ = π / 8} \int_{r = 0}^{r = cos 4 θ} 1 r d r d θ \\ = 8 \int_{− π / 8}^{π / 8} [\frac{1}{2} {r^{2} |}_{0}^{cos 4 θ}] d θ = 8 \int_{− π / 8}^{π / 8} \frac{1}{2} {cos}^{2} 4 θ d θ = 8 [\frac{1}{4} θ + {\frac{1}{16} sen 4 θ cos 4 θ |}_{− π / 8}^{π / 8}] = 8 [\frac{π}{16}] = \frac{π}{2} . \end{matrix}

Ejemplo 5.34

Hallar el área entre dos curvas polares

Halle el área encerrada por el círculo $r = 3 cos θ$ y el cardioide $r = 1 + cos θ .$

Solución

En primer lugar, dibuje los gráficos de la región (Figura 5.39).

Se muestra una cardioide con ecuación 1 + cos theta superpuesta a un círculo dado por r = 3 cos theta, que es un círculo de radio 3 con centro (1,5, 0). La zona delimitada por el eje x, la cardioide y la línea discontinua que une el origen con la intersección de la cardioide y el círculo en la línea r = 2 está sombreada.

Figura 5.39 Hallar el área encerrada por un círculo y un cardioide.

Podemos ver la simetría del gráfico que necesitamos para hallar los puntos de intersección. Al igualar las dos ecuaciones se obtiene

3 cos θ = 1 + cos θ .

Uno de los puntos de intersección es $θ = π / 3 .$ La zona por encima del eje polar consta de dos partes, una de ellas definida por la cardioide de $θ = 0$ a $θ = π / 3$ y la otra parte definida por el círculo de $θ = π / 3$ al $θ = π / 2 .$ Por simetría, el área total es el doble del área sobre el eje polar. Por lo tanto, tenemos

A = 2 [\int_{θ = 0}^{θ = π / 3} \int_{r = 0}^{r = 1 + cos θ} 1 r d r d θ + \int_{θ = π / 3}^{θ = π / 2} \int_{r = 0}^{r = 3 cos θ} 1 r d r d θ] .

Evaluando cada pieza por separado, encontramos que el área es

A = 2 (\frac{1}{4} π + \frac{9}{16} \sqrt{3} + \frac{3}{8} π - \frac{9}{16} \sqrt{3}) = 2 (\frac{5}{8} π) = \frac{5}{4} π unidades cuadradas .

Punto de control 5.21

Halle el área encerrada dentro de la cardioide $r = 3 - 3 sen θ$ y fuera de la cardioide $r = 1 + sen θ .$

Ejemplo 5.35

Evaluar una integral doble impropia en coordenadas polares

Evalúe la integral $\iint_{R^{2}} e^{–10 (x^{2} + y^{2})} d x d y .$

Solución

Esta es una integral impropia porque estamos integrando sobre una región no limitada $R^{2} .$ En coordenadas polares, todo el plano $R^{2}$ puede considerarse como $0 \leq θ \leq 2 π,$ $0 \leq r \leq \infty .$

Utilizando los cambios de variables de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, tenemos

\begin{matrix} \iint_{R^{2}} e^{–10 (x^{2} + y^{2})} d x d y & = \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{r = 0}^{r = \infty} e^{−10 r^{2}} r d r d θ = \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} (\underset{a \to \infty}{lím} \int_{r = 0}^{r = a} e^{−10 r^{2}} r d r) d θ \\ = (\int_{θ = 0}^{θ = 2 π} d θ) (\underset{a \to \infty}{lím} \int_{r = 0}^{r = a} e^{−10 r^{2}} r d r) \\ = 2 π (\underset{a \to \infty}{lím} \int_{r = 0}^{r = a} e^{−10 r^{2}} r d r) \\ = 2 π \underset{a \to \infty}{lím} (- \frac{1}{20}) ({e^{−10 r^{2}} |}_{0}^{a}) \\ = 2 π (- \frac{1}{20}) \underset{a \to \infty}{lím} (e^{−10 a^{2}} - 1) \\ = \frac{π}{10} . \end{matrix}

Punto de control 5.22

Evalúe la integral $\iint_{R^{2}} e^{−4 (x^{2} + y^{2})} d x d y .$

Sección 5.3 ejercicios

En los siguientes ejercicios, exprese la región $D$ en coordenadas polares.

122.

$D$ es la región del disco de radio $2$ centrado en el origen que se encuentra en el primer cuadrante.

123.

$D$ es la región comprendida entre los círculos de radio $4$ y radio $5$ centrada en el origen que se encuentra en el segundo cuadrante.

124.

$D$ es la región delimitada por el eje $y$ , y $x = \sqrt{1 - y^{2}} .$

125.

$D$ es la región delimitada por el eje $x$ y para el eje $y = \sqrt{2 - x^{2}} .$

126.

$D = {(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 4 x}$

127.

$D = {(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 4 y}$

En los siguientes ejercicios, el gráfico de la región rectangular polar $D$ está dada Exprese $D$ en coordenadas polares.

128.

En el primer y el segundo cuadrante se dibuja la mitad de un anillo D con radio interior 3 y radio exterior 5.

129.

Se dibuja un sector de un anillo D entre theta = pi/4 y theta = pi/2 con radio interior 3 y radio exterior 5.

130.

Se dibuja la mitad de un anillo D entre theta = pi/4 y theta = 5 pi/4 con radio interior 3 y radio exterior 5.

131.

Se dibuja un sector de un anillo D entre theta = 3 pi/4 y theta = 5 pi/4 con radio interior 3 y radio exterior 5.

132.

En el siguiente gráfico, la región $D$ se encuentra a continuación $y = x$ y está delimitado por $x = 1, x = 5,$ y $y = 0 .$

Se da una región D delimitada por y = 0, x = 1, x = 5 y y = x, es decir, un triángulo rectángulo con una esquina cortada.

133.

En el siguiente gráfico, la región $D$ está delimitada por $y = x$ como $y = x^{2} .$

Se dibuja una región D entre y = x y y = x al cuadrado, que parece una lente deformada, con la parte bulbosa debajo de la parte recta.

En los siguientes ejercicios, evalúe la integral doble $\iint_{R} f (x, y) d A$ sobre la región rectangular polar $D .$

134.

$f (x, y) = x^{2} + y^{2}, D = {(r, θ) | 3 \leq r \leq 5, 0 \leq θ \leq 2 π}$

135.

$f (x, y) = x + y, D = {(r, θ) | 3 \leq r \leq 5, 0 \leq θ \leq 2 π}$

136.

$f (x, y) = x^{2} + x y, D = {(r, θ) | 1 \leq r \leq 2, π \leq θ \leq 2 π}$

137.

$f (x, y) = x^{4} + y^{4}, D = {(r, θ) | 1 \leq r \leq 2, \frac{3 π}{2} \leq θ \leq 2 π}$

138.

$f (x, y) = \sqrt[3]{x^{2} + y^{2}},$ donde $D = {(r, θ) | 0 \leq r \leq 1, \frac{π}{2} \leq θ \leq π} .$

139.

$f (x, y) = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4},$ donde $D = {(r, θ) | 3 \leq r \leq 4, \frac{π}{3} \leq θ \leq \frac{2 π}{3}} .$

140.

$f (x, y) = sen (arctan \frac{y}{x}),$ donde $D = {(r, θ) | 1 \leq r \leq 2, \frac{π}{6} \leq θ \leq \frac{π}{3}}$

141.

$f (x, y) = arctan (\frac{y}{x}),$ donde $D = {(r, θ) | 2 \leq r \leq 3, \frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{3}}$

142.

$\iint_{D} e^{x^{2} + y^{2}} [1 + 2 arctan (\frac{y}{x})] d A, D = {(r, θ) | 1 \leq r \leq 2, \frac{π}{6} \leq θ \leq \frac{π}{3}}$

143.

$\iint_{D} (e^{x^{2} + y^{2}} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}) arctan (\frac{y}{x}) d A, D = {(r, θ) | 1 \leq r \leq 2, \frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{3}}$

En los siguientes ejercicios, las integrales se han convertido a coordenadas polares. Compruebe que las identidades son ciertas y elige la forma más fácil de evaluar las integrales, en coordenadas rectangulares o polares.

144.

$\int_{1}^{2} \int_{0}^{x} (x^{2} + y^{2}) d y d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \int_{sec θ}^{2 s θ} r^{3} d r d θ$

145.

$\int_{2}^{3} \int_{0}^{x} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d y d x = \int_{0}^{π / 4} \int_{2 s θ}^{3 sec θ} r cos θ d r d θ$

146.

$\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d y d x = \int_{0}^{π / 4} \int_{0}^{tan θ sec θ} d r d θ$

147.

$\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d y d x = \int_{0}^{π / 4} \int_{0}^{tan θ sec θ} r sen θ d r d θ$

En los siguientes ejercicios, convierta las integrales a coordenadas polares y evalúalas.

148.

$\int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9 - y^{2}}} (x^{2} + y^{2}) d x d y$

149.

$\int_{0}^{2} \int_{− \sqrt{4 - y^{2}}}^{\sqrt{4 - y^{2}}} {(x^{2} + y^{2})}^{2} d x d y$

150.

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}} (x + y) d y d x$

151.

$\int_{0}^{4} \int_{− \sqrt{16 - x^{2}}}^{\sqrt{16 - x^{2}}} sen (x^{2} + y^{2}) d y d x$

152.

Evalúe la integral $\iint_{D} r d A$ donde $D$ es la región delimitada por el eje polar y la mitad superior del cardioide $r = 1 + cos θ .$

153.

Calcule el área de la región $D$ delimitado por el eje polar y la mitad superior de la cardioide $r = 1 + cos θ .$

154.

Evalúe la integral $\iint_{D} r d A,$ donde $D$ es la región delimitada por la parte de la rosa de cuatro hojas $r = sen 2 θ$ situado en el primer cuadrante (vea la siguiente figura).

Se dibuja una región D en el primer pétalo del cuadrante de la rosa de cuatro pétalos dada por r = sen (2 theta).

155.

Halle el área total de la región encerrada por la rosa de cuatro hojas $r = sen 2 θ$ (vea la figura del ejercicio anterior).

156.

Calcule el área de la región $D,$ que es la región delimitada por $y = \sqrt{4 - x^{2}},$ $x = \sqrt{3},$ $x = 2,$ y $y = 0 .$

157.

Calcule el área de la región $D,$ que es la región dentro del disco $x^{2} + y^{2} \leq 4$ y a la derecha de la línea $x = 1 .$

158.

Determine el valor promedio de la función $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ sobre la región $D$ delimitada por la curva polar $r = cos 2 θ,$ donde $- \frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{4}$ (vea la siguiente gráfica).

Se muestra el pétalo del primer/cuarto cuadrante de la rosa de cuatro pétalos dada por r = cos (2 theta).

159.

Determine el valor promedio de la función $f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ sobre la región $D$ delimitada por la curva polar $r = 3 sen 2 θ,$ donde $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ (vea la siguiente gráfica).

Se muestra el pétalo del primer cuadrante de la rosa de cuatro pétalos dada por r = 3sen (2 theta).

160.

Halle el volumen del sólido situado en el primer octante y limitado por el paraboloide $z = 1 - 4 x^{2} - 4 y^{2}$ y los planos $x = 0, y = 0,$ y $z = 0 .$

161.

Halle el volumen del sólido delimitado por el paraboloide $z = 2 - 9 x^{2} - 9 y^{2}$ y el plano $z = 1 .$

162.

Calcule el volumen del sólido $S_{1}$ delimitado por el cilindro $x^{2} + y^{2} = 1$ y los planos $z = 0$ y $z = 1 .$
Calcule el volumen del sólido $S_{2}$ fuera del doble cono $z^{2} = x^{2} + y^{2},$ dentro del cilindro $x^{2} + y^{2} = 1,$ y por encima del plano $z = 0 .$
Halle el volumen del sólido dentro del cono $z^{2} = x^{2} + y^{2}$ y por debajo del plano $z = 1$ restando los volúmenes de los sólidos $S_{1}$ y $S_{2} .$

163.

Calcule el volumen del sólido $S_{1}$ dentro de la esfera de la unidad $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ y por encima del plano $z = 0 .$
Calcule el volumen del sólido $S_{2}$ dentro del doble cono ${(z - 1)}^{2} = x^{2} + y^{2}$ y por encima del plano $z = 0 .$
Halle el volumen del sólido fuera del doble cono ${(z - 1)}^{2} = x^{2} + y^{2}$ y al interior de la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 .$

En los dos ejercicios siguientes, considere un anillo esférico, que es una esfera con un agujero cilíndrico cortado de forma que el eje del cilindro pasa por el centro de la esfera (vea la siguiente figura).

Se muestra un anillo esférico, es decir, una esfera con un agujero cilíndrico que la atraviesa por completo.

164.

Si la esfera tiene radio $4$ y el cilindro tiene radio $2,$ halle el volumen del anillo esférico.

165.

Un agujero cilíndrico de diámetro $6$ cm se perfora a través de una esfera de radio $5$ cm tal que el eje del cilindro pasa por el centro de la esfera. Halle el volumen del anillo esférico resultante.

166.

Halle el volumen del sólido que se encuentra bajo el doble cono $z^{2} = 4 x^{2} + 4 y^{2},$ dentro del cilindro $x^{2} + y^{2} = x,$ y por encima del plano $z = 0 .$

167.

Calcule el volumen del sólido que se encuentra bajo el paraboloide $z = x^{2} + y^{2},$ dentro del cilindro $x^{2} + y^{2} = x,$ y por encima del plano $z = 0 .$

168.

Calcule el volumen del sólido que se encuentra bajo el plano $x + y + z = 10$ y por encima del disco $x^{2} + y^{2} = 4 x .$

169.

Calcule el volumen del sólido que se encuentra bajo el plano $2 x + y + 2 z = 8$ y por encima del disco de la unidad $x^{2} + y^{2} = 1 .$

170.

Una función radial $f$ es una función cuyo valor en cada punto depende solo de la distancia entre ese punto y el origen del sistema de coordenadas; es decir, $f (x, y) = g (r),$ donde $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$ Demuestre que si $f$ es una función radial continua, entonces $\iint_{D} f (x, y) d A = (θ_{2} - θ_{1}) [G (R_{2}) - G (R_{1})],$ donde $G' (r) = r g (r)$ y $(x, y) \in D = {(r, θ) | R_{1} \leq r \leq R_{2}, 0 \leq θ \leq 2 π},$ con la $0 \leq R_{1} < R_{2}$ y $0 \leq θ_{1} < θ_{2} \leq 2 π .$

171.

Utilice la información del ejercicio anterior para calcular la integral $\iint_{D} {(x^{2} + y^{2})}^{3} d A,$ donde $D$ es el disco de la unidad.

172.

Supongamos que $f (x, y) = \frac{F' (r)}{r}$ es una función radial continua definida en la región anular $D = {(r, θ) | R_{1} \leq r \leq R_{2}, 0 \leq θ \leq 2 π},$ donde $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}},$ $0 < R_{1} < R_{2},$ y $F$ es una función diferenciable. Demuestre que $\iint_{D} f (x, y) d A = 2 π [F (R_{2}) - F (R_{1})] .$

173.

Aplique el ejercicio anterior para calcular la integral $\iint_{D} \frac{e^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d x d y,$ donde $D$ es la región anular entre los círculos de radios $1$ y $2$ situado en el tercer cuadrante.

174.

Supongamos que $f$ es una función continua que pueda expresarse en coordenadas polares como función de $θ$ solamente; es decir, $f (x, y) = h (θ),$ donde $(x, y) \in D = {(r, θ) | R_{1} \leq r \leq R_{2}, θ_{1} \leq θ \leq θ_{2}},$ con la $0 \leq R_{1} < R_{2}$ y $0 \leq θ_{1} < θ_{2} \leq 2 π .$ Demuestre que $\iint_{D} f (x, y) d A = \frac{1}{2} (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) [H (θ_{2}) - H (θ_{1})],$ donde $H$ es una antiderivada de $h .$

175.

Aplique el ejercicio anterior para calcular la integral $\iint_{D} \frac{y^{2}}{x^{2}} d A,$ donde $D = {(r, θ) | 1 \leq r \leq 2, \frac{π}{6} \leq θ \leq \frac{π}{3}} .$

176.

Supongamos que $f$ es una función continua que pueda expresarse en coordenadas polares como función de $θ$ solamente; es decir, $f (x, y) = g (r) h (θ),$ donde $(x, y) \in D = {(r, θ) | R_{1} \leq r \leq R_{2}, θ_{1} \leq θ \leq θ_{2}}$ con la $0 \leq R_{1} < R_{2}$ y $0 \leq θ_{1} < θ_{2} \leq 2 π .$ Demuestre que $\iint_{D} f (x, y) d A = [G (R_{2}) - G (R_{1})] [H (θ_{2}) - H (θ_{1})],$ donde $G$ y $H$ son antiderivadas de $g$ y $h,$ respectivamente.

177.

Evalúe $\iint_{D} arctan (\frac{y}{x}) \sqrt{x^{2} + y^{2}} d A,$ donde $D = {(r, θ) | 2 \leq r \leq 3, \frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{3}} .$

178.

Un tope esférico es la región de una esfera que se encuentra por encima o por debajo de un plano determinado.

Demuestre que el volumen del tope esférico de la figura siguiente es $\frac{1}{6} π h (3 a^{2} + h^{2}) .$
Un segmento esférico es el sólido definido por la intersección de una esfera con dos planos paralelos. Si la distancia entre los planos es $h,$ muestran que el volumen del segmento esférico de la figura siguiente es $\frac{1}{6} π h (3 a^{2} + 3 b^{2} + h^{2}) .$

179.

En estadística, la densidad conjunta de dos sucesos independientes, normalmente distribuidos, con una media $μ = 0$ y una distribución estándar $σ$ se define por $p (x, y) = \frac{1}{2 π σ^{2}} e^{- \frac{x^{2} + y^{2}}{2 σ^{2}}} .$ Considere que $(X, Y),$ las coordenadas cartesianas de una bola en posición de reposo después de haber sido liberada desde una posición en el eje z hacia el plano $x y$ . Supongamos que las coordenadas de la bola están distribuidas normalmente de forma independiente con una media $μ = 0$ y una desviación típica de $σ$ (en pies). La probabilidad de que la bola se detenga no más de $a$ pies desde el origen viene dado por $P [X^{2} + Y^{2} \leq a^{2}] = \iint_{D} p (x, y) d y d x,$ donde $D$ es el disco de radio a centrado en el origen. Demuestre que $P [X^{2} + Y^{2} \leq a^{2}] = 1 - e^{− a^{2} / 2 σ^{2}} .$

180.

La doble integral impropia $\int_{− \infty}^{\infty} \int_{− \infty}^{\infty} e^{(− x^{2} + y^{2} / 2)} d y d x$ puede definirse como el valor límite de las integrales dobles $\iint_{D_{a}} e^{(− x^{2} + y^{2} / 2)} d A$ sobre discos $D_{a}$ de radios a centrados en el origen, ya que a aumenta sin límite; es decir, $\int_{− \infty}^{\infty} \int_{− \infty}^{\infty} e^{(− x^{2} + y^{2} / 2)} d y d x = \underset{a \to \infty}{lím} \iint_{D_{a}} e^{(− x^{2} + y^{2} / 2)} d A .$

Utilice las coordenadas polares para demostrar que $\int_{− \infty}^{\infty} \int_{− \infty}^{\infty} e^{(− x^{2} + y^{2} / 2)} d y d x = 2 π .$
Demuestre que $\int_{− \infty}^{\infty} e^{– x^{2} / 2} d x = \sqrt{2 π},$ utilizando la relación $\int_{− \infty}^{\infty} \int_{− \infty}^{\infty} e^{(− x^{2} + y^{2} / 2)} d y d x = (\int_{− \infty}^{\infty} e^{– x^{2} / 2} d x) (\int_{− \infty}^{\infty} e^{− y^{2} / 2} d y) .$

5.3 Integrales dobles en coordenadas polares

Regiones polares rectangulares de integración

Trazar una región rectangular polar

Solución

Evaluar una integral doble en una región rectangular polar

Solución

Evaluar una integral doble mediante la conversión de coordenadas rectangulares

Solución

Evaluar una integral doble mediante la conversión de coordenadas rectangulares

Solución

Regiones polares generales de integración

Integrales dobles sobre regiones polares generales

Evaluar una integral doble en una región polar general

Solución

Áreas y volúmenes polares

Hallar un volumen utilizando una integral doble

Solución

Hallar un volumen utilizando la integración doble

Solución

Hallar un volumen utilizando una integral doble

Solución

Hallar un volumen utilizando una integral doble

Solución

Análisis

Calcular un área mediante una integral doble en coordenadas polares

Solución

Hallar el área entre dos curvas polares

Solución

Evaluar una integral doble impropia en coordenadas polares

Solución

Sección 5.3 ejercicios