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Cálculo volumen 3

5.3 Integrales dobles en coordenadas polares

Cálculo volumen 35.3 Integrales dobles en coordenadas polares
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 5.3.1 Reconocer el formato de una integral doble sobre una región rectangular polar.
  • 5.3.2 Evaluar una integral doble en coordenadas polares utilizando una integral iterada.
  • 5.3.3 Reconocer el formato de una integral doble sobre una región polar general.
  • 5.3.4 Utilizar las integrales dobles en coordenadas polares para calcular áreas y volúmenes.

Las integrales dobles son a veces mucho más fáciles de evaluar si cambiamos las coordenadas rectangulares por coordenadas polares. Sin embargo, antes de describir cómo realizar este cambio, necesitamos establecer el concepto de integral doble en una región rectangular polar.

Regiones polares rectangulares de integración

Cuando definimos la integral doble para una función continua en coordenadas rectangulares, digamos gg sobre una región RR en el plano xyxy, dividimos RR en subrectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas. Estos lados tienen valores constantes de xx o valores constantes de yy. En coordenadas polares, la forma con la que trabajamos es un rectángulo polar, cuyos lados tienen valores constantes de rr o valores constantes de θθ. Esto significa que podemos describir un rectángulo polar como en la Figura 5.28(a), con R={(r,θ)|arb,αθβ}.R={(r,θ)|arb,αθβ}.

En esta sección, buscamos integrar sobre rectángulos polares. Considere una función f(r,θ)f(r,θ) sobre un rectángulo polar R.R. Dividimos el intervalo [a,b][a,b] en mm subintervalos [ri1,ri][ri1,ri] de longitud Δr=(ba)/mΔr=(ba)/m y dividimos el intervalo [α,β][α,β] en nn subintervalos [θj1,θj][θj1,θj] de ancho Δθ=(βα)/n.Δθ=(βα)/n. Esto significa que los círculos r=rir=ri y rayas θ=θjθ=θj por 1im1im y 1jn1jn dividimos el rectángulo polar RR en subrectángulos polares más pequeños RijRij (Figura 5.28(b)).

Esta figura se compone de tres figuras marcadas como a, b y c. En la figura a, se muestra un sector de un anillo en el plano de coordenadas polares con radios a y b, y ángulos alfa y beta desde el eje theta = 0. En la figura b, este sector de un anillo se corta en subsectores de forma similar a como se cortaron los espacios anteriores en subrectángulos. En la figura c, se muestra uno de estos subsectores con el ángulo Delta theta, la distancia entre los radios interior y exterior Delta r, y el área Delta A = r* sub theta Delta r Delta theta, donde el punto central está dado como (r* sub i j, theta* sub i j).
Figura 5.28 (a) Un rectángulo polar R R (b) dividido en subrectángulos R i j . R i j . (c) Primer plano de un subrectángulo.

Como antes, tenemos que calcular el área ΔAΔA del subrectángulo polar RijRij y el volumen "polar" de la caja delgada de arriba Rij.Rij. Recordemos que, en un círculo de radio r,r, la longitud ss de un arco subtendido por un ángulo central de θθ radianes es s=rθ.s=rθ. Observe que el rectángulo polar RijRij se parece mucho a un trapecio con lados paralelos ri1Δθri1Δθ y riΔθriΔθ y con una anchura Δr.Δr. Por lo tanto, el área del subrectángulo polar RijRij se

ΔA=12 Δr(ri1Δθ+r1Δθ).ΔA=12 Δr(ri1Δθ+r1Δθ).

Al simplificar y dejar rij*=12 (ri1+ri),rij*=12 (ri1+ri), tenemos ΔA=rij*ΔrΔθ.ΔA=rij*ΔrΔθ. Por lo tanto, el volumen polar de la caja delgada de arriba RijRij (Figura 5.29) es

f(rij*,θij*)ΔA=f(rij*,θij*)rij*ΔrΔθ.f(rij*,θij*)ΔA=f(rij*,θij*)rij*ΔrΔθ.
En el espacio x y z, existe una superficie f (r, theta). En el plano x y se dibujan una serie de subsectores de anillos (annuli) como en la figura anterior con radio entre anillos delta r y se inclina entre subsectores Delta theta. Un subsector de la superficie f(r, theta) se proyecta hacia abajo en uno de estos subsectores. Este subsector tiene el punto central marcado (r* sub i j, theta* sub i j).
Figura 5.29 Hallar el volumen de la caja delgada sobre el rectángulo polar R i j . R i j .

Utilizando la misma idea para todos los subrectángulos y sumando los volúmenes de las cajas rectangulares, obtenemos una suma doble de Riemann como

i=1mj=1nf(rij*,θij*)rij*ΔrΔθ.i=1mj=1nf(rij*,θij*)rij*ΔrΔθ.

Como hemos visto antes, obtenemos una mejor aproximación al volumen polar del sólido sobre la región RR cuando dejamos que mm y nn se hacen más grandes. Por lo tanto, definimos el volumen polar como el límite de la suma doble de Riemann,

V=límm,ni=1mj=1nf(rij*,θij*)rij*ΔrΔθ.V=límm,ni=1mj=1nf(rij*,θij*)rij*ΔrΔθ.

Esto se convierte en la expresión de la integral doble.

Definición

La integral doble de la función f(r,θ)f(r,θ) sobre la región rectangular polar RR en el plano rθrθ se define como

Rf(r,θ)dA=límm,ni=1mj=1nf(rij*,θij*)ΔA=límm,ni=1mj=1nf(rij*,θij*)rij*ΔrΔθ.Rf(r,θ)dA=límm,ni=1mj=1nf(rij*,θij*)ΔA=límm,ni=1mj=1nf(rij*,θij*)rij*ΔrΔθ.
(5.8)

De nuevo, al igual que en Integrales dobles sobre regiones rectangulares, la integral doble sobre una región rectangular polar puede expresarse como una integral iterada en coordenadas polares. Por lo tanto,

Rf(r,θ)dA=Rf(r,θ)rdrdθ=θ=αθ=βr=ar=bf(r,θ)rdrdθ.Rf(r,θ)dA=Rf(r,θ)rdrdθ=θ=αθ=βr=ar=bf(r,θ)rdrdθ.

Observe que la expresión para dAdA se sustituye por rdrdθrdrdθ cuando se trabaja en coordenadas polares. Otra forma de ver la integral doble polar es cambiar la integral doble en coordenadas rectangulares por sustitución. Cuando la función ff se da en términos de xx como y,y, utilizando x=rcosθ,y=rsenθ,ydA=rdrdθx=rcosθ,y=rsenθ,ydA=rdrdθ cambia a

Rf(x,y)dA=Rf(rcosθ,rsenθ)rdrdθ.Rf(x,y)dA=Rf(rcosθ,rsenθ)rdrdθ.

Observe que todas las propiedades enumeradas en Integrales dobles sobre regiones rectangulares para la integral doble en coordenadas rectangulares son válidas también para la integral doble en coordenadas polares, por lo que podemos utilizarlas sin dudarlo.

Ejemplo 5.24

Trazar una región rectangular polar

Dibuje la región rectangular polar R={(r,θ)|1r3,0θπ}.R={(r,θ)|1r3,0θπ}.

Ahora que hemos dibujado una región rectangular polar, vamos a demostrar cómo evaluar una integral doble sobre esta región utilizando coordenadas polares.

Ejemplo 5.25

Evaluar una integral doble en una región rectangular polar

Evalúe la integral R3xdAR3xdA sobre la región R={(r,θ)|1r2 ,0θπ}.R={(r,θ)|1r2 ,0θπ}.

Punto de control 5.17

Dibuje la región R={(r,θ)|1r2 ,π2 θπ2 },R={(r,θ)|1r2 ,π2 θπ2 }, y evalúe RxdA.RxdA.

Ejemplo 5.26

Evaluar una integral doble mediante la conversión de coordenadas rectangulares

Evalúe la integral R(1x2 y2 )dAR(1x2 y2 )dA donde RR es el círculo unitario en el plano xyxy.

Ejemplo 5.27

Evaluar una integral doble mediante la conversión de coordenadas rectangulares

Evalúe la integral R(x+y)dAR(x+y)dA donde R={(x,y)|1x2 +y2 4,x0}.R={(x,y)|1x2 +y2 4,x0}.

Punto de control 5.18

Evalúe la integral R(4x2 y2 )dAR(4x2 y2 )dA donde RR es el círculo de radio 2 2 en el plano xyxy.

Regiones polares generales de integración

Para evaluar la integral doble de una función continua mediante integrales iteradas sobre regiones polares generales, consideramos dos tipos de regiones, análogas a las de Tipo I y Tipo II, tal y como se discute para coordenadas rectangulares en Integrales dobles sobre regiones generales. Es más común escribir las ecuaciones polares como r=f(θ)r=f(θ) que θ=f(r),θ=f(r), por lo que describimos una región polar general como R={(r,θ)|αθβ,h1(θ)rh2 (θ)}R={(r,θ)|αθβ,h1(θ)rh2 (θ)} (vea la siguiente figura).

Una región D se muestra en coordenadas polares con bordes dados por theta = alfa, theta = beta, r = h2(theta), y r = h1(theta).
Figura 5.32 Una región polar general entre α < θ < β α < θ < β y h 1 ( θ ) < r < h 2 ( θ ) . h 1 ( θ ) < r < h 2 ( θ ) .

Teorema 5.8

Integrales dobles sobre regiones polares generales

Si los valores de f(r,θ)f(r,θ) es continua en una región polar general DD como se ha descrito anteriormente, entonces

Df(r,θ)rdrdθ=θ=αθ=βr=h1(θ)r=h2 (θ)f(r,θ)rdrdθDf(r,θ)rdrdθ=θ=αθ=βr=h1(θ)r=h2 (θ)f(r,θ)rdrdθ
(5.9)

Ejemplo 5.28

Evaluar una integral doble en una región polar general

Evalúe la integral Dr2 senθrdrdθDr2 senθrdrdθ donde DD es la región delimitada por el eje polar y la mitad superior del cardioide r=1+cosθ.r=1+cosθ.

Punto de control 5.19

Evalúe la integral

Dr2 sen2 2 θrdrdθdondeD={(r,θ)|π4θπ4, 0r2 cos2 θ}.Dr2 sen2 2 θrdrdθdondeD={(r,θ)|π4θπ4, 0r2 cos2 θ}.

Áreas y volúmenes polares

Como en las coordenadas rectangulares, si un sólido SS está limitado por la superficie z=f(r,θ),z=f(r,θ), así como por las superficies r=a,r=b,θ=α,r=a,r=b,θ=α, y θ=β,θ=β, podemos calcular el volumen VV de SS mediante la doble integración, ya que

V=Rf(r,θ)rdrdθ=θ=αθ=βr=ar=bf(r,θ)rdrdθ.V=Rf(r,θ)rdrdθ=θ=αθ=βr=ar=bf(r,θ)rdrdθ.

Si la base del sólido puede describirse como D={(r,θ)|αθβ,h1(θ)rh2 (θ)},D={(r,θ)|αθβ,h1(θ)rh2 (θ)}, entonces la integral doble para el volumen se convierte en

V=Df(r,θ)rdrdθ=θ=αθ=βr=h1(θ)r=h2 (θ)f(r,θ)rdrdθ.V=Df(r,θ)rdrdθ=θ=αθ=βr=h1(θ)r=h2 (θ)f(r,θ)rdrdθ.

Ilustramos esta idea con algunos ejemplos.

Ejemplo 5.29

Hallar un volumen utilizando una integral doble

Calcule el volumen del sólido que se encuentra bajo el paraboloide z=1x2 y2 z=1x2 y2 y por encima del círculo de la unidad en el plano xyxy (vea la siguiente figura).

Se muestra el paraboloide z = 1 menos x al cuadrado menos y al cuadrado, que en este gráfico parece una hoja con el centro suavemente hinchado y las esquinas ancladas.
Figura 5.34 El paraboloide z = 1 x 2 y 2 z = 1 x 2 y 2 .

Ejemplo 5.30

Hallar un volumen utilizando la integración doble

Calcule el volumen del sólido que se encuentra bajo el paraboloide z=4x2 y2 z=4x2 y2 y por encima del disco (x1)2 +y2 =1(x1)2 +y2 =1 en el plano xyxy. Vea el paraboloide en la Figura 5.35 que interseca el cilindro (x1)2 +y2 =1(x1)2 +y2 =1 por encima del plano xyxy.

Un paraboloide con ecuación z = 4 menos x al cuadrado menos y al cuadrado es intersecado por un cilindro con ecuación (x menos 1) al cuadrado + y al cuadrado = 1.
Figura 5.35 Hallar el volumen de un sólido con tope paraboloide y base circular.

Observe en el siguiente ejemplo que la integración no siempre es fácil con coordenadas polares. La complejidad de la integración depende de la función y también de la región sobre la que tenemos que realizar la integración. Si la región tiene una expresión más natural en coordenadas polares o si ff tiene una antiderivada más sencilla en coordenadas polares, entonces el cambio en coordenadas polares es apropiado; de lo contrario, utilice coordenadas rectangulares.

Ejemplo 5.31

Hallar un volumen utilizando una integral doble

Halle el volumen de la región que se encuentra bajo el paraboloide z=x2 +y2 z=x2 +y2 y por encima del triángulo delimitado por las líneas y=x,x=0,y=x,x=0, y x+y=2 x+y=2 en el plano xyxy (Figura 5.36).

Para responder la pregunta de cómo se hallan las fórmulas de los volúmenes de diferentes sólidos estándar como una esfera, un cono o un cilindro, queremos demostrar un ejemplo y calcular el volumen de un cono arbitrario.

Ejemplo 5.32

Hallar un volumen utilizando una integral doble

Utilice las coordenadas polares para hallar el volumen dentro del cono z=2 x2 +y2 z=2 x2 +y2 y por encima del plano xy .xy .

Análisis

Observe que si tuviéramos que hallar el volumen de un cono arbitrario de radio aa unidades y altura hh unidades, entonces la ecuación del cono sería z=hhax2 +y2 .z=hhax2 +y2 .

Podemos seguir utilizando la Figura 5.37 y configurar la integral como θ=0θ=2 πr=0r=a(hhar)rdrdθ.θ=0θ=2 πr=0r=a(hhar)rdrdθ.

Evaluando la integral, obtenemos 13πa2 h.13πa2 h.

Punto de control 5.20

Utilice las coordenadas polares para hallar una integral iterada para hallar el volumen del sólido encerrado por los paraboloides z=x2 +y2 z=x2 +y2 y z=16x2 y2 .z=16x2 y2 .

Al igual que con las coordenadas rectangulares, también podemos utilizar las coordenadas polares para hallar las áreas de ciertas regiones utilizando una integral doble. Al igual que antes, tenemos que conocer la región cuya área queremos calcular. Trazar un gráfico e identificar la región puede ser útil para darse cuenta de los límites de la integración. Generalmente, la fórmula del área en la integración doble será

ÁreaA=αβh1(θ)h2 (θ)1rdrdθ.ÁreaA=αβh1(θ)h2 (θ)1rdrdθ.

Ejemplo 5.33

Calcular un área mediante una integral doble en coordenadas polares

Evaluar el área delimitada por la curva r=cos4θ.r=cos4θ.

Ejemplo 5.34

Hallar el área entre dos curvas polares

Halle el área encerrada por el círculo r=3cosθr=3cosθ y el cardioide r=1+cosθ.r=1+cosθ.

Punto de control 5.21

Halle el área encerrada dentro de la cardioide r=33senθr=33senθ y fuera de la cardioide r=1+senθ.r=1+senθ.

Ejemplo 5.35

Evaluar una integral doble impropia en coordenadas polares

Evalúe la integral R2 e–10(x2 +y2 )dxdy.R2 e–10(x2 +y2 )dxdy.

Punto de control 5.22

Evalúe la integral R2 e−4(x2 +y2 )dxdy.R2 e−4(x2 +y2 )dxdy.

Sección 5.3 ejercicios

En los siguientes ejercicios, exprese la región DD en coordenadas polares.

122.

DD es la región del disco de radio 2 2 centrado en el origen que se encuentra en el primer cuadrante.

123.

DD es la región comprendida entre los círculos de radio 44 y radio 55 centrada en el origen que se encuentra en el segundo cuadrante.

124.

DD es la región delimitada por el eje yy, y x=1y2 .x=1y2 .

125.

DD es la región delimitada por el eje xx y para el eje y=2 x2 .y=2 x2 .

126.

D = { ( x , y ) | x 2 + y 2 4 x } D = { ( x , y ) | x 2 + y 2 4 x }

127.

D = { ( x , y ) | x 2 + y 2 4 y } D = { ( x , y ) | x 2 + y 2 4 y }

En los siguientes ejercicios, el gráfico de la región rectangular polar DD está dada Exprese DD en coordenadas polares.

128.
En el primer y el segundo cuadrante se dibuja la mitad de un anillo D con radio interior 3 y radio exterior 5.
129.
Se dibuja un sector de un anillo D entre theta = pi/4 y theta = pi/2 con radio interior 3 y radio exterior 5.
130.
Se dibuja la mitad de un anillo D entre theta = pi/4 y theta = 5 pi/4 con radio interior 3 y radio exterior 5.
131.
 Se dibuja un sector de un anillo D entre theta = 3 pi/4 y theta = 5 pi/4 con radio interior 3 y radio exterior 5.
132.

En el siguiente gráfico, la región DD se encuentra a continuación y=xy=x y está delimitado por x=1,x=5,x=1,x=5, y y=0.y=0.

Se da una región D delimitada por y = 0, x = 1, x = 5 y y = x, es decir, un triángulo rectángulo con una esquina cortada.
133.

En el siguiente gráfico, la región DD está delimitada por y=xy=x como y=x2 .y=x2 .

Se dibuja una región D entre y = x y y = x al cuadrado, que parece una lente deformada, con la parte bulbosa debajo de la parte recta.

En los siguientes ejercicios, evalúe la integral doble Rf(x,y)dARf(x,y)dA sobre la región rectangular polar D.D.

134.

f ( x , y ) = x 2 + y 2 , D = { ( r , θ ) | 3 r 5 , 0 θ 2 π } f ( x , y ) = x 2 + y 2 , D = { ( r , θ ) | 3 r 5 , 0 θ 2 π }

135.

f ( x , y ) = x + y , D = { ( r , θ ) | 3 r 5 , 0 θ 2 π } f ( x , y ) = x + y , D = { ( r , θ ) | 3 r 5 , 0 θ 2 π }

136.

f ( x , y ) = x 2 + x y , D = { ( r , θ ) | 1 r 2 , π θ 2 π } f ( x , y ) = x 2 + x y , D = { ( r , θ ) | 1 r 2 , π θ 2 π }

137.

f ( x , y ) = x 4 + y 4 , D = { ( r , θ ) | 1 r 2 , 3 π 2 θ 2 π } f ( x , y ) = x 4 + y 4 , D = { ( r , θ ) | 1 r 2 , 3 π 2 θ 2 π }

138.

f(x,y)=x2 +y2 3,f(x,y)=x2 +y2 3, donde D={(r,θ)|0r1,π2 θπ}.D={(r,θ)|0r1,π2 θπ}.

139.

f(x,y)=x4+2 x2 y2 +y4,f(x,y)=x4+2 x2 y2 +y4, donde D={(r,θ)|3r4,π3θ2 π3}.D={(r,θ)|3r4,π3θ2 π3}.

140.

f(x,y)=sen(arctanyx),f(x,y)=sen(arctanyx), donde D={(r,θ)|1r2 ,π6θπ3}D={(r,θ)|1r2 ,π6θπ3}

141.

f(x,y)=arctan(yx),f(x,y)=arctan(yx), donde D={(r,θ)|2 r3,π4θπ3}D={(r,θ)|2 r3,π4θπ3}

142.

D e x 2 + y 2 [ 1 + 2 arctan ( y x ) ] d A , D = { ( r , θ ) | 1 r 2 , π 6 θ π 3 } D e x 2 + y 2 [ 1 + 2 arctan ( y x ) ] d A , D = { ( r , θ ) | 1 r 2 , π 6 θ π 3 }

143.

D ( e x 2 + y 2 + x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 ) arctan ( y x ) d A , D = { ( r , θ ) | 1 r 2 , π 4 θ π 3 } D ( e x 2 + y 2 + x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 ) arctan ( y x ) d A , D = { ( r , θ ) | 1 r 2 , π 4 θ π 3 }

En los siguientes ejercicios, las integrales se han convertido a coordenadas polares. Compruebe que las identidades son ciertas y elige la forma más fácil de evaluar las integrales, en coordenadas rectangulares o polares.

144.

1 2 0 x ( x 2 + y 2 ) d y d x = 0 π 4 sec θ 2 s θ r 3 d r d θ 1 2 0 x ( x 2 + y 2 ) d y d x = 0 π 4 sec θ 2 s θ r 3 d r d θ

145.

2 3 0 x x x 2 + y 2 d y d x = 0 π / 4 2 s θ 3secθ r cos θ d r d θ 2 3 0 x x x 2 + y 2 d y d x = 0 π / 4 2 s θ 3secθ r cos θ d r d θ

146.

0 1 x 2 x 1 x 2 + y 2 d y d x = 0 π / 4 0 tan θ sec θ d r d θ 0 1 x 2 x 1 x 2 + y 2 d y d x = 0 π / 4 0 tan θ sec θ d r d θ

147.

0 1 x 2 x y x 2 + y 2 d y d x = 0 π / 4 0 tan θ sec θ r sen θ d r d θ 0 1 x 2 x y x 2 + y 2 d y d x = 0 π / 4 0 tan θ sec θ r sen θ d r d θ

En los siguientes ejercicios, convierta las integrales a coordenadas polares y evalúalas.

148.

0 3 0 9 y 2 ( x 2 + y 2 ) d x d y 0 3 0 9 y 2 ( x 2 + y 2 ) d x d y

149.

0 2 4 y 2 4 y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 d x d y 0 2 4 y 2 4 y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 d x d y

150.

0 1 0 1 x 2 ( x + y ) d y d x 0 1 0 1 x 2 ( x + y ) d y d x

151.

0 4 16 x 2 16 x 2 sen ( x 2 + y 2 ) d y d x 0 4 16 x 2 16 x 2 sen ( x 2 + y 2 ) d y d x

152.

Evalúe la integral DrdADrdA donde DD es la región delimitada por el eje polar y la mitad superior del cardioide r=1+cosθ.r=1+cosθ.

153.

Calcule el área de la región DD delimitado por el eje polar y la mitad superior de la cardioide r=1+cosθ.r=1+cosθ.

154.

Evalúe la integral DrdA,DrdA, donde DD es la región delimitada por la parte de la rosa de cuatro hojas r=sen2 θr=sen2 θ situado en el primer cuadrante (vea la siguiente figura).

Se dibuja una región D en el primer pétalo del cuadrante de la rosa de cuatro pétalos dada por r = sen (2 theta).
155.

Halle el área total de la región encerrada por la rosa de cuatro hojas r=sen2 θr=sen2 θ (vea la figura del ejercicio anterior).

156.

Calcule el área de la región D,D, que es la región delimitada por y=4x2 ,y=4x2 , x=3,x=3, x=2 ,x=2 , y y=0.y=0.

157.

Calcule el área de la región D,D, que es la región dentro del disco x2 +y2 4x2 +y2 4 y a la derecha de la línea x=1.x=1.

158.

Determine el valor promedio de la función f(x,y)=x2 +y2 f(x,y)=x2 +y2 sobre la región DD delimitada por la curva polar r=cos2 θ,r=cos2 θ, donde π4θπ4π4θπ4 (vea la siguiente gráfica).

Se muestra el pétalo del primer/cuarto cuadrante de la rosa de cuatro pétalos dada por r = cos (2 theta).
159.

Determine el valor promedio de la función f(x,y)=x2 +y2 f(x,y)=x2 +y2 sobre la región DD delimitada por la curva polar r=3sen2 θ,r=3sen2 θ, donde 0θπ2 0θπ2 (vea la siguiente gráfica).

Se muestra el pétalo del primer cuadrante de la rosa de cuatro pétalos dada por r = 3sen (2 theta).
160.

Halle el volumen del sólido situado en el primer octante y limitado por el paraboloide z=14x2 4y2 z=14x2 4y2 y los planos x=0,y=0,x=0,y=0, y z=0.z=0.

161.

Halle el volumen del sólido delimitado por el paraboloide z=2 9x2 9y2 z=2 9x2 9y2 y el plano z=1.z=1.

162.
  1. Calcule el volumen del sólido S1S1 delimitado por el cilindro x2 +y2 =1x2 +y2 =1 y los planos z=0z=0 y z=1.z=1.
  2. Calcule el volumen del sólido S2 S2 fuera del doble cono z2 =x2 +y2 ,z2 =x2 +y2 , dentro del cilindro x2 +y2 =1,x2 +y2 =1, y por encima del plano z=0.z=0.
  3. Halle el volumen del sólido dentro del cono z2 =x2 +y2 z2 =x2 +y2 y por debajo del plano z=1z=1 restando los volúmenes de los sólidos S1S1 y S2 .S2 .
163.
  1. Calcule el volumen del sólido S1S1 dentro de la esfera de la unidad x2 +y2 +z2 =1x2 +y2 +z2 =1 y por encima del plano z=0.z=0.
  2. Calcule el volumen del sólido S2 S2 dentro del doble cono (z1)2 =x2 +y2 (z1)2 =x2 +y2 y por encima del plano z=0.z=0.
  3. Halle el volumen del sólido fuera del doble cono (z1)2 =x2 +y2 (z1)2 =x2 +y2 y al interior de la esfera x2 +y2 +z2 =1.x2 +y2 +z2 =1.

En los dos ejercicios siguientes, considere un anillo esférico, que es una esfera con un agujero cilíndrico cortado de forma que el eje del cilindro pasa por el centro de la esfera (vea la siguiente figura).

Se muestra un anillo esférico, es decir, una esfera con un agujero cilíndrico que la atraviesa por completo.
164.

Si la esfera tiene radio 44 y el cilindro tiene radio 2 ,2 , halle el volumen del anillo esférico.

165.

Un agujero cilíndrico de diámetro 66 cm se perfora a través de una esfera de radio 55 cm tal que el eje del cilindro pasa por el centro de la esfera. Halle el volumen del anillo esférico resultante.

166.

Halle el volumen del sólido que se encuentra bajo el doble cono z2 =4x2 +4y2 ,z2 =4x2 +4y2 , dentro del cilindro x2 +y2 =x,x2 +y2 =x, y por encima del plano z=0.z=0.

167.

Calcule el volumen del sólido que se encuentra bajo el paraboloide z=x2 +y2 ,z=x2 +y2 , dentro del cilindro x2 +y2 =x,x2 +y2 =x, y por encima del plano z=0.z=0.

168.

Calcule el volumen del sólido que se encuentra bajo el plano x+y+z=10x+y+z=10 y por encima del disco x2 +y2 =4x.x2 +y2 =4x.

169.

Calcule el volumen del sólido que se encuentra bajo el plano 2 x+y+2 z=82 x+y+2 z=8 y por encima del disco de la unidad x2 +y2 =1.x2 +y2 =1.

170.

Una función radial ff es una función cuyo valor en cada punto depende solo de la distancia entre ese punto y el origen del sistema de coordenadas; es decir, f(x,y)=g(r),f(x,y)=g(r), donde r=x2 +y2 .r=x2 +y2 . Demuestre que si ff es una función radial continua, entonces Df(x,y)dA=(θ2 θ1)[G(R2 )G(R1)],Df(x,y)dA=(θ2 θ1)[G(R2 )G(R1)], donde G(r)=rg(r)G(r)=rg(r) y (x,y)D={(r,θ)|R1rR2 ,0θ2 π},(x,y)D={(r,θ)|R1rR2 ,0θ2 π}, con la 0R1<R2 0R1<R2 y 0θ1<θ2 2 π.0θ1<θ2 2 π.

171.

Utilice la información del ejercicio anterior para calcular la integral D(x2 +y2 )3dA,D(x2 +y2 )3dA, donde DD es el disco de la unidad.

172.

Supongamos que f(x,y)=F(r)rf(x,y)=F(r)r es una función radial continua definida en la región anular D={(r,θ)|R1rR2 ,0θ2 π},D={(r,θ)|R1rR2 ,0θ2 π}, donde r=x2 +y2 ,r=x2 +y2 , 0<R1<R2 ,0<R1<R2 , y FF es una función diferenciable. Demuestre que Df(x,y)dA=2 π[F(R2 )F(R1)].Df(x,y)dA=2 π[F(R2 )F(R1)].

173.

Aplique el ejercicio anterior para calcular la integral Dex2 +y2 x2 +y2 dxdy,Dex2 +y2 x2 +y2 dxdy, donde DD es la región anular entre los círculos de radios 11 y 2 2 situado en el tercer cuadrante.

174.

Supongamos que ff es una función continua que pueda expresarse en coordenadas polares como función de θθ solamente; es decir, f(x,y)=h(θ),f(x,y)=h(θ), donde (x,y)D={(r,θ)|R1rR2 ,θ1θθ2 },(x,y)D={(r,θ)|R1rR2 ,θ1θθ2 }, con la 0R1<R2 0R1<R2 y 0θ1<θ2 2 π.0θ1<θ2 2 π. Demuestre que Df(x,y)dA=12 (R2 2 R12 )[H(θ2 )H(θ1)],Df(x,y)dA=12 (R2 2 R12 )[H(θ2 )H(θ1)], donde HH es una antiderivada de h.h.

175.

Aplique el ejercicio anterior para calcular la integral Dy2 x2 dA,Dy2 x2 dA, donde D={(r,θ)|1r2 ,π6θπ3}.D={(r,θ)|1r2 ,π6θπ3}.

176.

Supongamos que ff es una función continua que pueda expresarse en coordenadas polares como función de θθ solamente; es decir, f(x,y)=g(r)h(θ),f(x,y)=g(r)h(θ), donde (x,y)D={(r,θ)|R1rR2 ,θ1θθ2 }(x,y)D={(r,θ)|R1rR2 ,θ1θθ2 } con la 0R1<R2 0R1<R2 y 0θ1<θ2 2 π.0θ1<θ2 2 π. Demuestre que Df(x,y)dA=[G(R2 )G(R1)][H(θ2 )H(θ1)],Df(x,y)dA=[G(R2 )G(R1)][H(θ2 )H(θ1)], donde GG y HH son antiderivadas de gg y h,h, respectivamente.

177.

Evalúe Darctan(yx)x2 +y2 dA,Darctan(yx)x2 +y2 dA, donde D={(r,θ)|2 r3,π4θπ3}.D={(r,θ)|2 r3,π4θπ3}.

178.

Un tope esférico es la región de una esfera que se encuentra por encima o por debajo de un plano determinado.

  1. Demuestre que el volumen del tope esférico de la figura siguiente es 16πh(3a2 +h2 ).16πh(3a2 +h2 ).
    Una esfera de radio R tiene un círculo en su interior a h unidades de la parte superior de la esfera. Este círculo tiene un radio a, que es menor que R.
  2. Un segmento esférico es el sólido definido por la intersección de una esfera con dos planos paralelos. Si la distancia entre los planos es h,h, muestran que el volumen del segmento esférico de la figura siguiente es 16πh(3a2 +3b2 +h2 ).16πh(3a2 +3b2 +h2 ).
    Una esfera tiene dos círculos paralelos en su interior separados por h unidades. El círculo superior tiene un radio b y el inferior un radio a. Observe que a > b.
179.

En estadística, la densidad conjunta de dos sucesos independientes, normalmente distribuidos, con una media μ=0μ=0 y una distribución estándar σσ se define por p(x,y)=12 πσ2 ex2 +y2 2 σ2 .p(x,y)=12 πσ2 ex2 +y2 2 σ2 . Considere que (X,Y),(X,Y), las coordenadas cartesianas de una bola en posición de reposo después de haber sido liberada desde una posición en el eje z hacia el plano xyxy. Supongamos que las coordenadas de la bola están distribuidas normalmente de forma independiente con una media μ=0μ=0 y una desviación típica de σσ (en pies). La probabilidad de que la bola se detenga no más de aa pies desde el origen viene dado por P[X2 +Y2 a2 ]=Dp(x,y)dydx,P[X2 +Y2 a2 ]=Dp(x,y)dydx, donde DD es el disco de radio a centrado en el origen. Demuestre que P[X2 +Y2 a2 ]=1ea2 /2 σ2 .P[X2 +Y2 a2 ]=1ea2 /2 σ2 .

180.

La doble integral impropia e(x2 +y2 /2 )dydxe(x2 +y2 /2 )dydx puede definirse como el valor límite de las integrales dobles Dae(x2 +y2 /2 )dADae(x2 +y2 /2 )dA sobre discos DaDa de radios a centrados en el origen, ya que a aumenta sin límite; es decir, e(x2 +y2 /2 )dydx=límaDae(x2 +y2 /2 )dA.e(x2 +y2 /2 )dydx=límaDae(x2 +y2 /2 )dA.

  1. Utilice las coordenadas polares para demostrar que e(x2 +y2 /2 )dydx=2 π.e(x2 +y2 /2 )dydx=2 π.
  2. Demuestre que ex2 /2 dx=2 π,ex2 /2 dx=2 π, utilizando la relación e(x2 +y2 /2 )dydx=(ex2 /2 dx)(ey2 /2 dy).e(x2 +y2 /2 )dydx=(ex2 /2 dx)(ey2 /2 dy).
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