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Cálculo volumen 3

5.2 Integrales dobles sobre regiones generales

Cálculo volumen 35.2 Integrales dobles sobre regiones generales

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 5.2.1 Reconocer cuándo una función de dos variables es integrable sobre una región general.
  • 5.2.2 Evaluar una integral doble calculando una integral iterada sobre una región acotada por dos líneas verticales y dos funciones de x , x , o dos líneas horizontales y dos funciones de y . y .
  • 5.2.3 Simplificar el cálculo de una integral iterada cambiando el orden de integración.
  • 5.2.4 Utilizar las integrales dobles para calcular el volumen de una región entre dos superficies o el área de una región plana.
  • 5.2.5 Resolver problemas que impliquen integrales dobles impropias.

En Integrales dobles sobre regiones rectangulares, estudiamos el concepto de integrales dobles y examinamos las herramientas necesarias para calcularlas. Hemos aprendido técnicas y propiedades para integrar funciones de dos variables sobre regiones rectangulares. También discutimos varias aplicaciones, como calcular el volumen acotado por una función sobre una región rectangular, hallar el área por integración y calcular el valor medio de una función de dos variables.

En esta sección consideramos integrales dobles de funciones definidas sobre una región limitada general DD en el plano. La mayor parte de los resultados anteriores también son válidos en esta situación, pero hay que ampliar algunas técnicas para cubrir este caso más general.

Regiones generales de integración

Un ejemplo de región limitada general DD en un plano se muestra en la Figura 5.12. Dado que DD está acotada en el plano, debe existir una región rectangular RR en el mismo plano que encierra la región D,D, es decir, una región rectangular RR existe tal que DD es un subconjunto de R(DR).R(DR).

Un rectángulo R con una forma D en su interior. Dentro de D, hay un punto marcado como g(x, y) = f(x, y). Fuera de D, pero aún dentro de R, hay un punto marcado como g(x, y) = 0.
Figura 5.12 Para una región D D que es un subconjunto de R , R , podemos definir una función g ( x , y ) g ( x , y ) para igualar f ( x , y ) f ( x , y ) en cada punto en D D y 0 0 en cada punto de R R no en D . D .

Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) se define en una región limitada general plana DD como en la Figura 5.12. Para desarrollar las integrales dobles de ff en D,D, ampliamos la definición de la función para incluir todos los puntos de la región rectangular RR y, a continuación, utilizamos los conceptos y herramientas de la sección anterior. Pero ¿cómo ampliamos la definición de ff para incluir todos los puntos de R?R? Lo hacemos definiendo una nueva función g(x,y)g(x,y) sobre RR de la siguiente forma:

g(x,y)={f(x,y)si(x,y)está enD0si(x,y)está enRpero no enDg(x,y)={f(x,y)si(x,y)está enD0si(x,y)está enRpero no enD

Observe que podríamos tener algunas dificultades técnicas si el límite de DD es complicado. Por lo tanto, suponemos que el límite es una curva cerrada simple, continua y suave a trozos. Además, como todos los resultados desarrollados en Integrales dobles sobre regiones rectangulares utilizaban una función integrable f(x,y),f(x,y), debemos tener cuidado con g(x,y)g(x,y) y verificar que g(x,y)g(x,y) es una función integrable sobre la región rectangular R.R. Esto ocurre mientras la región DD está acotada por curvas cerradas simples. Por ahora nos concentraremos en las descripciones de las regiones más que en la función y ampliaremos nuestra teoría de forma adecuada para la integración.

Consideramos dos tipos de regiones planas acotadas.

Definición

Una región DD en el plano (x,y)(x,y) es de Tipo I si se encuentra entre dos líneas verticales y los gráficos de dos funciones continuas g1(x)g1(x) y g2 (x).g2 (x). Es decir (Figura 5.13),

D={(x,y)|axb,g1(x)yg2 (x)}.D={(x,y)|axb,g1(x)yg2 (x)}.

Una región DD en el plano xyxy es de Tipo II si se encuentra entre dos líneas horizontales y los gráficos de dos funciones continuas h1(y)yh2 (y).h1(y)yh2 (y). Es decir (Figura 5.14),

D={(x,y)|cyd,h1(y)xh2 (y)}.D={(x,y)|cyd,h1(y)xh2 (y)}.
Los gráficos muestran una región marcada como D. En todos los casos, entre a y b, hay una forma que está definida por dos funciones g1(x) y g2(x). En un caso, las dos funciones no se tocan; en otro caso, se tocan en el punto final a, y en el último caso se tocan en ambos puntos finales.
Figura 5.13 Una región de Tipo I se encuentra entre dos líneas verticales y los gráficos de dos funciones de x . x .
Los gráficos muestran una región marcada como D. En todos los casos, entre c y d, hay una forma que está definida por dos funciones orientadas verticalmente x = h1(y) y x = h2(y). En un caso, las dos funciones no se tocan; en el otro, se tocan en el punto final c.
Figura 5.14 Una región de Tipo II se encuentra entre dos líneas horizontales y los gráficos de dos funciones de y . y .

Ejemplo 5.11

Describir una región como Tipo I y también como Tipo II.

Consideremos la región del primer cuadrante entre las funciones y=xy=x como y=x3y=x3 (Figura 5.15). Describa la región primero como Tipo I y luego como Tipo II.

La región D se dibuja entre dos funciones, a saber, y = la raíz cuadrada de x y y = x3.
Figura 5.15 La región D D puede describirse como Tipo I o como Tipo II.

Punto de control 5.7

Consideremos la región del primer cuadrante entre las funciones y=2 xy=2 x como y=x2 .y=x2 . Describa la región primero como Tipo I y luego como Tipo II.

Integrales dobles sobre regiones no rectangulares

Para desarrollar el concepto y las herramientas de evaluación de una integral doble sobre una región general no rectangular, necesitamos primero entender la región y ser capaces de expresarla como Tipo I o Tipo II, o una combinación de ambos. Sin entender las regiones, no podremos decidir los límites de las integraciones en las integrales dobles. Como primer paso, veamos el siguiente teorema.

Teorema 5.3

Integrales dobles sobre regiones no rectangulares

Supongamos que g(x,y)g(x,y) es la extensión del rectángulo RR de la función f(x,y)f(x,y) definido en las regiones DD y RR como se muestra en la Figura 5.12 dentro de R.R. Entonces g(x,y)g(x,y) es integrable y definimos la integral doble de f(x,y)f(x,y) en DD mediante

Df(x,y)dA=Rg(x,y)dA.Df(x,y)dA=Rg(x,y)dA.

El lado derecho de esta ecuación es el que hemos visto antes, así que este teorema es razonable porque RR es un rectángulo y Rg(x,y)dARg(x,y)dA se discutió en la sección anterior. Además, la igualdad funciona porque los valores de g(x,y)g(x,y) son 00 para cualquier punto (x,y)(x,y) que se encuentra fuera de D,D, y por lo tanto estos puntos no añaden nada a la integral. Sin embargo, es importante que el rectángulo RR contenga la región D.D.

De hecho, si la región DD está acotada por curvas suaves en un plano y podemos describirla como Tipo I o Tipo II, o una mezcla de ambos, entonces podemos utilizar el siguiente teorema y no tener que hallar un rectángulo RR que contenga la región.

Teorema 5.4

Teorema de Fubini (forma fuerte)

Para una función f(x,y)f(x,y) que es continua en una región DD del Tipo I, tenemos

Df(x,y)dA=Df(x,y)dydx=ab[g1(x)g2 (x)f(x,y)dy]dx.Df(x,y)dA=Df(x,y)dydx=ab[g1(x)g2 (x)f(x,y)dy]dx.
(5.5)

Del mismo modo, para una función f(x,y)f(x,y) que es continua en una región DD del Tipo II, tenemos

Df(x,y)dA=Df(x,y)dxdy=cd[h1(y)h2 (y)f(x,y)dx]dy.Df(x,y)dA=Df(x,y)dxdy=cd[h1(y)h2 (y)f(x,y)dx]dy.
(5.6)

La integral en cada una de estas expresiones es una integral iterada, similar a las que hemos visto antes. Observe que, en la integral interna de la primera expresión, integramos f(x,y)f(x,y) con el valor xx que se mantiene constante y los límites de integración son g1(x)yg2 (x).g1(x)yg2 (x). En la integral interna de la segunda expresión, integramos f(x,y)f(x,y) con la yy que se mantiene constante y los límites de integración son h1(x)yh2 (x).h1(x)yh2 (x).

Ejemplo 5.12

Evaluar una integral iterada sobre una región de Tipo I

Evalúe la integral Dx2 exydADx2 exydA donde DD se muestra en la Figura 5.16.

En el Ejemplo 5.12, Podríamos haber visto la región de otra manera, como D={(x,y)|0y1,0x2 y}D={(x,y)|0y1,0x2 y} (Figura 5.17).

Un triángulo marcado D dibujado con las líneas x = 2y y y = 1, con vértices (0, 0), (2, 1) y (0, 1). Aquí hay un par de flechas rojas que se extienden horizontalmente de un borde a otro.
Figura 5.17

Se trata de una región de Tipo II y la integral quedaría entonces como

Dx2 exydA=y=0y=1x=0x=2 yx2 exydxdy.Dx2 exydA=y=0y=1x=0x=2 yx2 exydxdy.

Sin embargo, si integramos primero con respecto a x,x, esta integral es larga de calcular porque tenemos que usar la integración por partes dos veces.

Ejemplo 5.13

Evaluar una integral iterada sobre una región de tipo II

Evalúe la integral D(3x2 +y2 )dAD(3x2 +y2 )dA donde ={(x,y)|2 y3,y2 3xy+3}.={(x,y)|2 y3,y2 3xy+3}.

Punto de control 5.8

Dibuje la región DD y evalúe la integral iterada DxydydxDxydydx donde DD es la región acotada por las curvas y=cosxy=cosx como y=senxy=senx en el intervalo [−3π/4,π/4].[−3π/4,π/4].

Recordemos las propiedades de las integrales dobles de Integrales dobles sobre regiones rectangulares. Como hemos visto en los ejemplos, todas estas propiedades son también válidas para una función definida en una región acotada no rectangular en un plano. En particular, la propiedad 33 afirma:

Si los valores de R=STR=ST y ST=ST= excepto en sus límites, entonces

Rf(x,y)dA=Sf(x,y)dA+Tf(x,y)dA.Rf(x,y)dA=Sf(x,y)dA+Tf(x,y)dA.

Del mismo modo, tenemos la siguiente propiedad de las integrales dobles sobre una región acotada no rectangular en un plano.

Teorema 5.5

Descomponer las regiones en otras más pequeñas

Supongamos que la región DD puede expresarse como D=D1D2 D=D1D2 donde D1D1 y D2 D2 no se superponen salvo en sus límites. Entonces

Df(x,y)dA=D1f(x,y)dA+D2 f(x,y)dA.Df(x,y)dA=D1f(x,y)dA+D2 f(x,y)dA.
(5.7)

Este teorema es particularmente útil para las regiones no rectangulares porque nos permite dividir una región en una unión de regiones de Tipo I y de Tipo II. Entonces podemos calcular la integral doble en cada trozo de forma conveniente, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.14

Descomponer regiones

Exprese la región DD que se muestra en la Figura 5.19 como una unión de regiones de Tipo I o de Tipo II, y evalúe la integral

D(2 x+5y)dA.D(2 x+5y)dA.
Una forma complicada encerrada por las líneas y = (x + 2) al cuadrado, x = 16y menos y al cubo, x = negativo 2 y y = negativo 4. Este gráfico tiene los puntos de intersección (0, 4), (2 negativo, 0), (0, 4 negativo) y (2 negativo, 4 negativo).
Figura 5.19 Esta región puede descomponerse en una unión de tres regiones de Tipo I o de Tipo II.

Punto de control 5.9

Considere la región acotada por las curvas y=lnxy=lnx como y=exy=ex en el intervalo [1,2 ].[1,2 ]. Descomponga la región en otras más pequeñas de Tipo II.

Punto de control 5.10

Rehaga el Ejemplo 5.14 utilizando una unión de dos regiones de Tipo II.

Cambiar el orden de la integración

Como ya hemos visto cuando evaluamos una integral iterada, a veces un orden de integración conduce a un cálculo que es significativamente más simple que el otro orden de integración. A veces el orden de integración no importa, pero es importante aprender a reconocer cuándo un cambio de orden simplificará nuestro trabajo.

Ejemplo 5.15

Cambiar el orden de la integración

Invierta el orden de integración en la integral iterada x=0x=2 y=0y=2 x2 xex2 dydx.x=0x=2 y=0y=2 x2 xex2 dydx. A continuación, evalúe la nueva integral iterada.

Ejemplo 5.16

Evaluar una integral iterada invirtiendo el orden de integración

Consideremos la integral iterada Rf(x,y)dxdyRf(x,y)dxdy donde z=f(x,y)=x2 yz=f(x,y)=x2 y sobre una región triangular RR que tiene lados en x=0,y=0,x=0,y=0, y la línea x+y=1.x+y=1. Dibuje la región, y luego evalúe la integral iterada

  1. integrando primero con respecto a yy y luego
  2. integrando primero con respecto a x.x.

Punto de control 5.11

Evalúe la integral iterada D(x2 +y2 )dAD(x2 +y2 )dA sobre la región DD en el primer cuadrante entre las funciones y=2 xy=2 x como y=x2 .y=x2 . Evalúe la integral iterada integrando primero con respecto a yy y luego integrando primero con la resección para x.x.

Calcular volúmenes, áreas y valores promedio

Podemos utilizar integrales dobles sobre regiones generales para calcular volúmenes, áreas y valores promedio. Los métodos son los mismos que en Integrales dobles sobre regiones rectangulares, pero sin la restricción de una región rectangular, ahora podemos resolver una mayor variedad de problemas.

Ejemplo 5.17

Calcular el volumen de un tetraedro

Calcule el volumen del sólido acotado por los planos x=0,y=0,z=0,x=0,y=0,z=0, y 2 x+3y+z=6.2 x+3y+z=6.

Punto de control 5.12

Halle el volumen del sólido acotado arriba por f(x,y)=102 x+yf(x,y)=102 x+y sobre la región limitada por las curvas y=0y=0 y y=ex,y=ex, donde xx esté en el intervalo [0,1].[0,1].

Encontrar el área de una región rectangular es fácil, pero encontrar el área de una región no rectangular no es tan fácil. Como hemos visto, podemos utilizar integrales dobles para encontrar un área rectangular. De hecho, esto es muy útil para encontrar el área de una región general no rectangular, como se indica en la siguiente definición.

Definición

El área de una región acotado por un plano DD se define como la integral doble D1dA.D1dA.

Ya hemos visto cómo hallar áreas en términos de integración única. Aquí vemos otra forma de hallar áreas mediante el uso de integrales dobles, que puede ser muy útil, como veremos en las últimas secciones de este capítulo.

Ejemplo 5.18

Hallar el área de una región

Calcule el área de una región acotada por la curva y=x2 y=x2 y arriba por la línea y=2 xy=2 x en el primer cuadrante (Figura 5.24).

Se muestra la línea y = 2 x (también marcada como x = y/2), así como y = x al cuadrado (también marcada como x = la raíz cuadrada de y). Hay sombreados verticales y horizontales que dan para un pequeño tramo de esta región, denotando que puede ser tratada como una zona de Tipo I o de Tipo II.
Figura 5.24 La región acotada por y = x 2 y = x 2 y y = 2 x . y = 2 x .

Punto de control 5.13

Halle el área de una región acotada arriba por la curva y=x3y=x3 y más abajo por y=0y=0 en el intervalo [0,3].[0,3].

También podemos utilizar una integral doble para hallar el valor medio de una función en una región general. La definición es una extensión directa de la fórmula anterior.

Definición

Si f(x,y)f(x,y) es integrable en una región acotada por el plano DD con área positiva A(D),A(D), entonces el valor medio de la función es

fave=1A(D)Df(x,y)dA.fave=1A(D)Df(x,y)dA.

Observe que el área es A(D)=D1dA.A(D)=D1dA.

Ejemplo 5.19

Hallar un valor medio

Halle el valor medio de la función f(x,y)=7xy2 f(x,y)=7xy2 en la región acotada por la línea x=yx=y y la curva x=yx=y (Figura 5.25).

Las líneas x = y, y x = la raíz cuadrada de y delimitan una región sombreada. Hay líneas horizontales discontinuas marcadas en toda la región.
Figura 5.25 La región acotada por x = y x = y y x = y . x = y .

Punto de control 5.14

Calcule el valor promedio de la función f(x,y)=xyf(x,y)=xy sobre el triángulo con vértices (0,0),(1,0)y(1,3).(0,0),(1,0)y(1,3).

Integrales dobles impropias

Una integral doble impropia es una integral DfdADfdA en la que DD es una región no acotada o ff es una función no acotada. Por ejemplo, D={(x,y)||xy|2 }D={(x,y)||xy|2 } es una región no acotada, y la función f(x,y)=1/(1x2 2 y2 )f(x,y)=1/(1x2 2 y2 ) sobre la elipse x2 +3y2 1x2 +3y2 1 es una función no acotada. Por lo tanto, las dos integrales siguientes son integrales impropias:

  1. DxydADxydA donde D={(x,y)||xy|2 };D={(x,y)||xy|2 };
  2. D11x2 2 y2 dAD11x2 2 y2 dA donde D={(x,y)|x2 +3y2 1}.D={(x,y)|x2 +3y2 1}.

En esta sección queremos tratar las integrales impropias de funciones sobre rectángulos o regiones simples tales que ff solo tiene un número finito de discontinuidades. No todas estas integrales impropias pueden evaluarse; sin embargo, una forma del teorema de Fubini se aplica a algunos tipos de integrales impropias.

Teorema 5.6

Teorema de Fubini para integrales impropias

Si los valores de DD es un rectángulo acotado o una región simple en el plano definida por {(x,y):axb,g(x)yh(x)}{(x,y):axb,g(x)yh(x)} y también por {(x,y):cyd,j(y)xk(y)}{(x,y):cyd,j(y)xk(y)} y ff es una función no negativa sobre DD con un número finito de discontinuidades en el interior de D,D, entonces

DfdA=x=ax=by=g(x)y=h(x)f(x,y)dydx=y=cy=dx=j(y)x=k(y)f(x,y)dxdy.DfdA=x=ax=by=g(x)y=h(x)f(x,y)dydx=y=cy=dx=j(y)x=k(y)f(x,y)dxdy.

Es muy importante tener en cuenta que exigimos que la función sea no negativa en DD para que el teorema funcione. Consideramos solo el caso en que la función tiene un número finito de discontinuidades dentro de D.D.

Ejemplo 5.20

Evaluar una integral doble impropia

Considere la función f(x,y)=eyyf(x,y)=eyy sobre la región D={(x,y):0x1,xyx}.D={(x,y):0x1,xyx}.

Observe que la función es no negativa y continua en todos los puntos de DD excepto (0,0).(0,0). Utilice el teorema de Fubini para evaluar la integral impropia.

Como ya se ha dicho, también tenemos una integral impropia si la región de integración no está acotada. Supongamos ahora que la función ff es continua en un rectángulo no acotado R.R.

Teorema 5.7

Integrales impropias en una región no acotada

Si los valores de RR es un rectángulo no acotado como R={(x,y):ax,cy},R={(x,y):ax,cy}, entonces cuando existe el límite, tenemos Rf(x,y)dA=lím(b,d)(,)ab(cdf(x,y)dy)dx=lím(b,d)(,)cd(abf(x,y)dx)dy.Rf(x,y)dA=lím(b,d)(,)ab(cdf(x,y)dy)dx=lím(b,d)(,)cd(abf(x,y)dx)dy.

El siguiente ejemplo muestra cómo se puede utilizar este teorema en ciertos casos de integrales impropias.

Ejemplo 5.21

Evaluar una integral doble impropia

Evalúe la integral Rxyex2 y2 dARxyex2 y2 dA donde RR es el primer cuadrante del plano.

Punto de control 5.15

Evalúe la integral impropia Dy1x2 y2 dADy1x2 y2 dA donde D={(x,y)|x0,y0,x2 +y2 1}.D={(x,y)|x0,y0,x2 +y2 1}.

En algunos casos en la teoría de la probabilidad, podemos obtener una visión de un problema cuando somos capaces de utilizar integrales dobles sobre regiones generales. Antes de repasar un ejemplo con una integral doble, debemos establecer algunas definiciones y familiarizarnos con algunas propiedades importantes.

Definición

Consideremos un par de variables aleatorias continuas XX y Y,Y, como los cumpleaños de dos personas o el número de días de sol y lluvia en un mes. La función de densidad conjunta ff de XX y YY satisface la probabilidad de que (X,Y)(X,Y) se encuentra en una región determinada D:D:

P((X,Y)D)=Df(x,y)dA.P((X,Y)D)=Df(x,y)dA.

Como las probabilidades nunca pueden ser negativas y deben estar entre 00 y 1,1, la función de densidad conjunta satisface la siguiente inecuación y ecuación:

f(x,y)0yR2 f(x,y)dA=1.f(x,y)0yR2 f(x,y)dA=1.

Definición

Las variables XX y YY se dice que son variables aleatorias independientes si su función de densidad conjunta es el producto de sus funciones de densidad individuales:

f(x,y)=f1(x)f2 (y).f(x,y)=f1(x)f2 (y).

Ejemplo 5.22

Aplicar a la probabilidad

En Sydney’s Restaurant, los clientes deben esperar en promedio 1515 minutos para una mesa. Desde el momento en que se sientan hasta que terminan su comida se requieren 4040 minutos, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente pase menos de una hora y media en el restaurante, suponiendo que la espera de una mesa y la finalización de la comida son eventos independientes?

Otra aplicación importante en probabilidad que puede implicar integrales dobles impropias es el cálculo de valores esperados. Primero definimos este concepto y luego mostramos un ejemplo de cálculo.

Definición

En la teoría de la probabilidad, denotamos los valores esperados E(X)E(X) y E(Y),E(Y), respectivamente, como los resultados más probables de los acontecimientos. Los valores esperados E(X)E(X) y E(Y)E(Y) vienen dados por

E(X)=Sxf(x,y)dAyE(Y)=Syf(x,y)dA,E(X)=Sxf(x,y)dAyE(Y)=Syf(x,y)dA,

donde SS es el espacio de muestra de las variables aleatorias XX y Y.Y.

Ejemplo 5.23

Encontrar el valor esperado

Calcule el tiempo previsto para los eventos "esperar una mesa" y "completar la comida" en el Ejemplo 5.22.

Punto de control 5.16

La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias XX y YY viene dada por

f(x,y)= 1 16250 ( x 2 + y 2 )si0x15,0y100de otro modof(x,y)= 1 16250 ( x 2 + y 2 )si0x15,0y100de otro modo

Halle la probabilidad de que XX es como máximo 1010 y YY es al menos 5.5.

Sección 5.2 ejercicios

En los siguientes ejercicios, especifique si la región es de Tipo I o de Tipo II.

60.

La región DD acotada por y=x3,y=x3, y=x3+1,y=x3+1, x=0,x=0, y x=1x=1 como se indica en la siguiente figura.

Una región está acotada por y = 1 + x al cubo, y = x al cubo, x = 0 y x = 1.
61.

Calcule el valor promedio de la función f(x,y)=3xyf(x,y)=3xy en la región graficada en el ejercicio anterior.

62.

Calcule el área de la región DD dada en el ejercicio anterior.

63.

La región DD acotada por y=senx,y=1+senx,x=0,yx=π2 y=senx,y=1+senx,x=0,yx=π2 como se indica en la siguiente figura.

Una región está acotada por y = 1 + sen x, y = sen x, x = 0 y x = pi/2.
64.

Calcule el valor promedio de la función f(x,y)=cosxf(x,y)=cosx en la región graficada en el ejercicio anterior.

65.

Calcule el área de la región DD dada en el ejercicio anterior.

66.

La región DD limitado por x=y2 1x=y2 1 y x=1y2 x=1y2 como se indica en la siguiente figura.

Una región está acotada por x = 1 negativo + y al cuadrado y x = la raíz cuadrada de la cantidad (1 menos y al cuadrado).
67.

Calcule el volumen del sólido bajo el gráfico de la función f(x,y)=xy+1f(x,y)=xy+1 y por encima de la región de la figura del ejercicio anterior.

68.

La región DD acotada por y=0,x=–10+y,yx=10yy=0,x=–10+y,yx=10y como se indica en la siguiente figura.

Una región está acotada por x = 10 negativo + y, x = 10 menos y, y y = 0.
69.

Calcule el volumen del sólido bajo el gráfico de la función f(x,y)=x+yf(x,y)=x+y y por encima de la región de la figura del ejercicio anterior.

70.

La región DD acotada por y=0,x=y1,y=0,x=y1, x=π2 x=π2 como se indica en la siguiente figura.

Una región está acotada por x = pi/2, y = 0, y x = negativo 1 + y.
71.

La región DD acotada por y=0y=0 y y=x2 1y=x2 1 como se indica en la siguiente figura.

Una región está acotada por y = 0 y y = negativo 1 + x al cuadrado.
72.

Supongamos que DD es la región acotada por las curvas de las ecuaciones y=x,y=x,y=x,y=x, y y=2 x2 .y=2 x2 . Explique por qué DD no es ni del Tipo I ni del II.

73.

Supongamos que DD es la región acotada por las curvas de las ecuaciones y=cosxy=cosx como y=4x2 y=4x2 y el eje xx. Explique por qué DD no es ni del Tipo I ni del II.

En los siguientes ejercicios, evalúe la integral doble Df(x,y)dADf(x,y)dA sobre la región D.D.

74.

f(x,y)=2 x+5yf(x,y)=2 x+5y y D={(x,y)|0x1,x3yx3+1}D={(x,y)|0x1,x3yx3+1}

75.

f(x,y)=1f(x,y)=1 y D={(x,y)|0xπ2 ,senxy1+senx}D={(x,y)|0xπ2 ,senxy1+senx}

76.

f(x,y)=2 f(x,y)=2 y D={(x,y)|0y1,y1xarccosy}D={(x,y)|0y1,y1xarccosy}

77.

f(x,y)=xyf(x,y)=xy y D={(x,y)|1y1,y2 1x1y2 }D={(x,y)|1y1,y2 1x1y2 }

78.

f(x,y)=senyf(x,y)=seny y DD es la región triangular con vértices (0,0),(0,3),y(3,0)(0,0),(0,3),y(3,0) grandes.

79.

f(x,y)=x+1f(x,y)=x+1 y DD es la región triangular con vértices (0,0),(0,2 ),y(2 ,2 )(0,0),(0,2 ),y(2 ,2 ) grandes.

Evalúe las integrales iteradas.

80.

0 1 2 x 3 x ( x + y 2 ) d y d x 0 1 2 x 3 x ( x + y 2 ) d y d x

81.

0 1 2 x 2 x + 1 ( x y + 1 ) d y d x 0 1 2 x 2 x + 1 ( x y + 1 ) d y d x

82.

e e 2 ln u 2 ( v + ln u ) d v d u e e 2 ln u 2 ( v + ln u ) d v d u

83.

1 2 u 2 1 u ( 8 u v ) d v d u 1 2 u 2 1 u ( 8 u v ) d v d u

84.

0 1 1 y 2 1 y 2 ( 2 x + 4 x 3 ) d x d y 0 1 1 y 2 1 y 2 ( 2 x + 4 x 3 ) d x d y

85.

0 1 / 2 1 4 y 2 1 4 y 2 4 d x d y 0 1 / 2 1 4 y 2 1 4 y 2 4 d x d y

86.

Supongamos que DD es la región acotada por y=1x2 ,y=4x2 ,y=1x2 ,y=4x2 , y la intersección en xx y yy.

  1. Demuestre que DxdA=011x2 4x2 xdydx+12 04x2 xdydxDxdA=011x2 4x2 xdydx+12 04x2 xdydx dividiendo la región DD en dos regiones de Tipo I.
  2. Evalúe la integral DxdA.DxdA.
87.

Supongamos que DD es la región acotada por y=1,y=1, y=x,y=x, y=lnx,y=lnx, y la intersección en xx.

  1. Demuestre que DydA=010xydydx+1elnx1ydydxDydA=010xydydx+1elnx1ydydx dividiendo DD en dos regiones de Tipo I.
  2. Evalúe la integral DydA.DydA.
88.
  1. Demuestre que Dy2 dA=−10x2 x2 y2 dydx+01x2 x2 y2 dydxDy2 dA=−10x2 x2 y2 dydx+01x2 x2 y2 dydx dividiendo la región DD en dos regiones de Tipo I, donde D={(x,y)|yx,yx,y2 x2 }.D={(x,y)|yx,yx,y2 x2 }.
  2. Evalúe la integral Dy2 dA.Dy2 dA.
89.

Supongamos que DD es la región acotada por y=x2 ,y=x+2 ,y=x2 ,y=x+2 , y y=x.y=x.

  1. Demuestre que DxdA=01yyxdxdy+14y2 yxdxdyDxdA=01yyxdxdy+14y2 yxdxdy dividiendo la región DD en dos regiones de Tipo II, donde D={(x,y)|yx2 ,yx,yx+2 }.D={(x,y)|yx2 ,yx,yx+2 }.
  2. Evalúe la integral DxdA.DxdA.
90.

La región DD limitado por x=0,y=x5+1,x=0,y=x5+1, y y=3x2 y=3x2 se muestra en la siguiente figura. Halle el área A(D)A(D) de la región D.D.

Una región está acotada por y = 1 + x a la quinta potencia, y = 3 menos x al cuadrado, y x = 0.
91.

La región DD acotada por y=cosx,y=4+cosx,y=cosx,y=4+cosx, y x=±π3x=±π3 se muestra en la siguiente figura. Halle el área A(D)A(D) de la región D.D.

Una región está acotada por y = cos x, y = 4 + cos x, x = negativo 1 y x = 1.
92.

Halle el área A(D)A(D) de la región D={(x,y)|y1x2 ,y4x2 ,y0,x0}.D={(x,y)|y1x2 ,y4x2 ,y0,x0}.

93.

Supongamos que DD es la región acotada por y=1,y=x,y=lnx,y=1,y=x,y=lnx, y la intersección en xx. Halle el área A(D)A(D) de la región D.D.

94.

Calcule el valor promedio de la función f(x,y)=senyf(x,y)=seny en la región triangular con vértices (0,0),(0,3),(0,0),(0,3), y (3,0).(3,0).

95.

Calcule el valor promedio de la función f(x,y)=x+1f(x,y)=x+1 en la región triangular con vértices (0,0),(0,2 ),(0,0),(0,2 ), y (2 ,2 ).(2 ,2 ).

En los siguientes ejercicios, cambie el orden de integración y evalúe la integral.

96.

−1 π / 2 0 x + 1 sen x d y d x −1 π / 2 0 x + 1 sen x d y d x

97.

0 1 x 1 1 x x d y d x 0 1 x 1 1 x x d y d x

98.

−1 0 y + 1 y + 1 y 2 d x d y −1 0 y + 1 y + 1 y 2 d x d y

99.

–1 1 1 y 2 1 y 2 y d x d y –1 1 1 y 2 1 y 2 y d x d y

100.

La región DD se muestra en la siguiente figura. Evalúe la integral doble D(x2 +y)dAD(x2 +y)dA utilizando el orden de integración más fácil.

Una región está acotada por y = 4 negativo + x al cuadrado y y = 4 menos x al cuadrado.
101.

La región DD se muestra en la siguiente figura. Evalúe la integral doble D(x2 y2 )dAD(x2 y2 )dA utilizando el orden de integración más fácil.

Una región está acotada por y a la cuarta potencia = 1 menos x y y a la cuarta potencia = 1 + x.
102.

Calcule el volumen del sólido bajo la superficie z=2 x+y2 z=2 x+y2 y por encima de la región acotada por y=x5y=x5 y la intersección y=x.y=x.

103.

Calcule el volumen del sólido bajo el plano z=3x+yz=3x+y y por encima de la región determinada por y=x7y=x7 y y=x.y=x.

104.

Calcule el volumen del sólido bajo el plano z=xyz=xy y por encima de la región acotada por x=tany,x=tany,x=tany,x=tany, y x=1.x=1.

105.

Calcule el volumen del sólido bajo la superficie z=x3z=x3 y por encima de la región plana acotada por x=seny,x=seny,x=seny,x=seny, y x=1x=1 para los valores de yy entre y=–π2 y y=π2 y=–π2 y y=π2

106.

Supongamos que gg es una función positiva, creciente y diferenciable en el intervalo [a,b].[a,b]. Demuestre que el volumen del sólido bajo la superficie z=g(x)z=g(x) y por encima de la región acotada por y=0,y=0, y=g(x),y=g(x), x=a,x=a, y x=bx=b viene dada por 12 (g2 (b)g2 (a)).12 (g2 (b)g2 (a)).

107.

Supongamos que gg es una función positiva, creciente y diferenciable en el intervalo [a,b],[a,b], y supongamos que kk es un número real positivo. Demuestre que el volumen del sólido bajo la superficie z=g(x)z=g(x) y por encima de la región acotada por y=g(x),y=g(x)+k,x=a,y=g(x),y=g(x)+k,x=a, y x=bx=b viene dada por k(g(b)g(a)).k(g(b)g(a)).

108.

Calcule el volumen del sólido situado en el primer octante y determinado por los planos z=2 ,z=2 , z=0,x+y=1,x=0,yy=0.z=0,x+y=1,x=0,yy=0.

109.

Halla el volumen del sólido situado en el primer octante y acotado por los planos x+2 y=1,x+2 y=1, x=0,y=0,z=4,yz=0.x=0,y=0,z=4,yz=0.

110.

Calcule el volumen del sólido acotado por los planos x+y=1,xy=1,x=0,z=0,x+y=1,xy=1,x=0,z=0, y z=10.z=10.

111.

Calcule el volumen del sólido acotado por los planos x+y=1,xy=1,x+y=−1,x+y=1,xy=1,x+y=−1, xy=−1,z=1yz=0.xy=−1,z=1yz=0.

112.

Supongamos que S1S1 y S2 S2 son los sólidos situados en el primer octante bajo los planos x+y+z=1x+y+z=1 y x+y+2 z=1,x+y+2 z=1, respectivamente y supongamos que SS es el sólido situado entre S1,S2 ,x=0,yy=0.S1,S2 ,x=0,yy=0.

  1. Calcule el volumen del sólido S1.S1.
  2. Calcule el volumen del sólido S2 .S2 .
  3. Calcule el volumen del sólido SS restando los volúmenes de los sólidos S1yS2 .S1yS2 .
113.

Supongamos que S1yS2 S1yS2 son los sólidos situados en el primer octante bajo los planos 2 x+2 y+z=2 2 x+2 y+z=2 y x+y+z=1,x+y+z=1, respectivamente y supongamos que SS es el sólido situado entre S1,S2 ,x=0,yy=0.S1,S2 ,x=0,yy=0.

  1. Calcule el volumen del sólido S1.S1.
  2. Calcule el volumen del sólido S2 .S2 .
  3. Calcule el volumen del sólido SS restando los volúmenes de los sólidos S1yS2 .S1yS2 .
114.

Supongamos que S1yS2 S1yS2 son los sólidos situados en el primer octante bajo el plano x+y+z=2 x+y+z=2 y bajo la esfera x2 +y2 +z2 =4,x2 +y2 +z2 =4, respectivamente. Si el volumen del sólido S2 S2 es 4π3,4π3, determine el volumen del sólido SS situado entre S1S1 y S2 S2 restando los volúmenes de estos sólidos.

115.

Supongamos que S1S1 y S2 S2 son los sólidos situados en el primer octante bajo el plano x+y+z=2 x+y+z=2 y acotados por el cilindro x2 +y2 =4,x2 +y2 =4, respectivamente.

  1. Calcule el volumen del sólido S1.S1.
  2. Calcule el volumen del sólido S2 .S2 .
  3. Calcule el volumen del sólido SS situado entre S1S1 y S2 S2 restando los volúmenes de los sólidos S1S1 y S2 .S2 .
116.

[T] La siguiente figura muestra la región DD acotada por las curvas y=senx,y=senx, x=0,x=0, y y=x4.y=x4. Utilice una calculadora gráfica o un CAS para encontrar la coordenada xx de los puntos de intersección de las curvas y para determinar el área de la región D.D. Redondee sus respuestas a seis decimales.

Una región está acotada por y = sen x, y = x a la cuarta potencia y x = 0.
117.

[T] La región DD acotada por las curvas y=cosx,x=0,yy=x3y=cosx,x=0,yy=x3 se muestra en la siguiente figura. Utilice una calculadora gráfica o un CAS para hallar las coordenadas x de los puntos de intersección de las curvas y para determinar el área de la región D.D. Redondee sus respuestas a seis decimales.

Una región está acotada por y = cos x, y = x al cubo y x = 0.
118.

Supongamos que (X,Y)(X,Y) es el resultado de un experimento que debe ocurrir en una región determinada SS en el plano xyxy. En este contexto, la región SS se denomina espacio de muestra del experimento y XyYXyY son variables aleatorias. Si los valores de DD es una región incluida en S,S, entonces la probabilidad de que (X,Y)(X,Y) esté en DD se define como P[(X,Y)D]=Dp(x,y)dxdy,P[(X,Y)D]=Dp(x,y)dxdy, donde p(x,y)p(x,y) es la densidad de probabilidad conjunta del experimento. Aquí, p(x,y)p(x,y) es una función no negativa para la que Sp(x,y)dxdy=1.Sp(x,y)dxdy=1. Supongamos que un punto (X,Y)(X,Y) se elige arbitrariamente en el cuadrado [0,3]×[0,3][0,3]×[0,3] con la densidad de probabilidad

p ( x , y ) = { 1 9 ( x , y ) [ 0 , 3 ] × [ 0 , 3 ] , 0 por lo contrario . p ( x , y ) = { 1 9 ( x , y ) [ 0 , 3 ] × [ 0 , 3 ] , 0 por lo contrario .

Halle la probabilidad de que el punto (X,Y)(X,Y) está dentro del cuadrado de la unidad e interprete el resultado.

119.

Considere que XyYXyY como dos variables aleatorias de densidades de probabilidad p1(x)p1(x) y p2 (x),p2 (x), respectivamente. Las variables aleatorias XyYXyY se dice que son independientes si su función de densidad conjunta viene dada por p(x,y)=p1(x)p2 (y).p(x,y)=p1(x)p2 (y). En un restaurante de comida para llevar, los clientes tardan, en promedio, 33 minutos haciendo sus pedidos y otros 55 minutos pagando y recogiendo sus comidas. Supongamos que hacer el pedido y pagar/recoger la comida son dos hechos independientes XX y Y.Y. Si los tiempos de espera se modelan mediante las densidades de probabilidad exponenciales

p 1 ( x ) = { 1 3 e x / 3 x 0 , 0 de lo contrario, y p 2 ( y ) = { 1 5 e y / 5 y 0 , 0 de lo contrario, p 1 ( x ) = { 1 3 e x / 3 x 0 , 0 de lo contrario, y p 2 ( y ) = { 1 5 e y / 5 y 0 , 0 de lo contrario,

respectivamente, la probabilidad de que un cliente pase menos de 6 minutos en la cola del pedidos viene dada por P[X+Y6]=Dp(x,y)dxdy,P[X+Y6]=Dp(x,y)dxdy, donde D={(x,y)}|x0,y0,x+y6}.D={(x,y)}|x0,y0,x+y6}. Calcule P[X+Y6]P[X+Y6] e interprete el resultado.

120.

[T] El triángulo de Reuleaux está formado por un triángulo equilátero y tres regiones, cada una de ellas acotada por un lado del triángulo y un arco de círculo de radio s centrado en el vértice opuesto del triángulo. Se muestra que el área del triángulo de Reuleaux de la siguiente figura de lado ss es s2 2 (π3).s2 2 (π3).

Un triángulo equilátero con regiones adicionales que consisten en tres arcos de un círculo con radio igual a la longitud del lado del triángulo. Estos arcos conectan dos vértices adyacentes, y el radio se toma del vértice opuesto.
121.

[T] Demuestre que el área de las lúnulas de Alhacén, las dos lúnulas azules de la siguiente figura, es igual al área del triángulo rectángulo ABC. Los límites exteriores de las lúnulas son semicírculos de diámetros AByAC,AByAC, respectivamente, y los límites interiores están formados por la circunferencia del triángulo ABC.ABC.

Un triángulo rectángulo con los puntos A, B y C. El punto B tiene el ángulo recto. Hay dos lúnulas trazadas de A hasta B y de B hasta C con diámetros exteriores AB y AC, respectivamente, y con los límites interiores formados por la circunferencia del triángulo ABC.
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