Clave de respuestas Capítulo 6 - Cálculo volumen 3

Punto de control

6.1

$12 i - j$

6.2

Una representación visual del campo radial dado en un plano de coordenadas. Las magnitudes aumentan más allá del origen. La flecha parece alejarse del origen en forma rectangular.

6.3

Rotación

Representación visual de un campo vectorial rotacional en un plano de coordenadas. Las flechas rodean el origen en sentido contrario a las agujas del reloj.

6.4

$\sqrt{65}$ m/s

6.5

No.

6.6

Una representación visual del campo vectorial dado en tres dimensiones. Las componentes x y z son siempre 2 y 1, respectivamente. La componente y es z/2. Cuanto más se acerque z a cero, menor será la componente y, y cuanto más se aleje z de cero, mayor será la componente y.

6.7

$1,49063 \times 10^{−18}, 4,96876 \times 10^{−19}, 9,93752 \times 10^{−19} N$

6.8

Una representación visual del vector dado en dos dimensiones. Las flechas parecen formar varios óvalos. La primera es alrededor del origen, donde las flechas se curvan hacia la derecha por encima y por debajo del eje x. Cuanto más cerca estén las flechas del eje x, más planas serán. Parece que hay otros seis óvalos, tres a cada lado del central. Los vectores se alargan a medida que se alejan del origen, y luego empiezan a acortarse de nuevo.

6.9

No

6.10

$∇ f = v$

6.11

$P_{y} = x \neq Q_{x} = –2 x y$

6.12

No

6.13

$\sqrt{2}$

6.14

$2 \sqrt{10} π + 2 \sqrt{10} π^{2}$

6.15

Ambas integrales de línea son iguales $- \frac{1.000 \sqrt{30}}{3} .$

6.16

$4 \sqrt{17}$

6.17

$\int_{C} F . T d s$

6.18

$−26$

6.19

0

6.20

$18 \sqrt{2} π^{2}$ kg

6.21

3/2

6.22

$2 π$

6.23

0

6.24

Sí

6.25

La región de la figura está conectada. La región de la figura no está simplemente conectada.

6.26

2

6.27

Si $C_{1}$ y $C_{2}$ representan las dos curvas, entonces $\int_{C_{1}} F . d r \neq \int_{C_{2}} F . d r .$

6.28

$f (x, y) = e^{x} y^{3} + x y$

6.29

$f (x, y, z) = 4 x^{3} + sen y cos z + z$

6.30

$f (x, y, z) = \frac{G}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}$

6.31

Es conservativo.

6.32

$–10 π$

6.33

Negativo

6.34

$\frac{45}{2}$

6.35

$\frac{4}{3}$

6.36

$\frac{3 π}{2}$

6.37

$g (x, y) = − x cos y$

6.38

No

6.39

$105 π$

6.40

$y - z^{2}$

6.41

Sí

6.42

Todos los puntos en línea $y = 1 .$

6.43

$− i$

6.44

$rizo v = 0$

6.45

No

6.46

Sí

6.47

Cilindro $x^{2} + y^{2} = 4$

6.48

Cono $x^{2} + y^{2} = z^{2}$

6.49

$r (u, v) = 〈 u cos v, u sen v, u 〉,$ $0 < u < \infty, 0 \leq v < \frac{π}{2}$

6.50

Sí

6.51

$\approx 43,02$

6.52

Con la parametrización estándar de un cilindro, la Ecuación 6.18 muestra que el área superficial es $2 π r h .$

6.53

$2 π (\sqrt{2} + {senoh}^{−1} (1))$

6.54

24

6.55

0

6.56

$38,401 π \approx 120,640$

6.57

$N (x, y) = 〈 \frac{− y}{\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}}, \frac{− x}{\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}} 〉$

6.58

0

6.59

400 kg/s/m

6.60

$- \frac{440 π}{3}$

6.61

Ambas integrales dan $- \frac{136}{45} .$

6.62

$− π$

6.63

$\frac{3}{2}$

6.64

$rizo E = 〈 x, y, −2 z 〉$

6.65

Ambas integrales son iguales $6 π .$

6.66

30

6.67

$9 ln (16)$

6.68

$\approx 6,777 \times 10^{9}$

Sección 6.1 ejercicios

1.

Vectores

3.

Falso

5.

Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más lejos están del origen. Se extienden desde el origen en un patrón radial.

7.

Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más lejos están del origen y cuanto más a la izquierda y a la derecha están del eje y. Las flechas se curvan asintóticamente hacia abajo y hacia la derecha en el cuadrante 1, hacia abajo y hacia la izquierda en el cuadrante 2, hacia arriba y hacia la izquierda en el cuadrante 3, y hacia arriba y hacia la derecha en el cuadrante cuatro.

9.

Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más se alejan del origen y, aún más, cuanto más se alejan del eje y. Se extienden desde el origen de forma radial.

11.

Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más alejadas están del eje x. Las flechas forman dos patrones radiales, uno a cada lado del eje y. Los patrones son en el sentido de las agujas del reloj.

13.

Una representación visual de un campo vectorial en tres dimensiones. Las flechas parecen reducirse a medida que la componente z se acerca a cero y la componente x aumenta, y a medida que las componentes y, y z aumentan. Las flechas parecen converger también en esas dos direcciones.

15.

$F (x, y) = sen (y) i + (x cos y - sen y) j$

17.

$F (x, y, z) = (2 x y + y) i + (x^{2} + x + 2 y z) j + y^{2} k$

19.

$F (x, y) = (\frac{2 x}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}) i + (\frac{4 y}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}) j$

21.

$F (x, y) = \frac{(1 - x) i - y j}{\sqrt{{(1 - x)}^{2} + y^{2}}}$

23.

$F (x, y) = \frac{- x i - y j}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

25.

$F (x, y) = y i - x j$

27.

$F (x, y) = \frac{−10}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} (x i + y j)$

29.

$E = \frac{c}{{| r |}^{2}} r = \frac{c}{| r |} \frac{r}{| r |}$

31.

$c ′ (t) = (cos t, − sen t, e^{− t}) = F (c (t))$

33.

H

35.

d. $− F + G$

37.

a. $F + G$

Sección 6.2 ejercicios

39.

Verdadero

41.

Falso

43.

Falso

45.

$\int_{C}^{} (x - y) d s = 10$

47.

$\int_{C}^{} x y^{4} d s = \frac{8192}{5}$

49.

$W = 8$

51.

$W = \frac{3 π}{4}$

53.

$W = π$

55.

$\int_{C} F . d r = 4$

57.

$\int_{C}^{} y z d x + x z d y + x y d z = –1$

59.

$\int_{C}^{} (y^{2}) d x + (x) d y = \frac{245}{6}$

61.

$\int_{C}^{} x y d x + y d y = \frac{190}{3}$

63.

$\int_{C} \frac{y}{2 x^{2} - y^{2}} d s = \sqrt{2} ln 5$

65.

$W = −66$

67.

$W = −10 π^{2}$

69.

$W = 2$

71.

a. $W = 11;$ b. $W = \frac{39}{4};$ c. No

73.

$W = 2 π$

75.

$\int_{C}^{} F . d r = \frac{25 \sqrt{5} + 1}{120}$

77.

$\int_{C}^{} y^{2} d x + (x y - x^{2}) d y = 6,15$

79.

$\int_{γ}^{} x e^{y} d s \approx 7,157$

81.

$\int_{γ}^{} (y^{2} - x y) d x \approx −1,379$

83.

$\int_{C}^{} F . d r \approx −1,133$

85.

$\int_{C}^{} F . d r \approx 22.857$

87.

$flujo = - \frac{1}{3}$

89.

$flujo = −20$

91.

$flujo = 0$

93.

$m = 4 π ρ \sqrt{5}$

95.

$W = 0$

97.

$W = \frac{k}{2}$

Sección 6.3 ejercicios

99.

Verdadero

101.

Verdadero

103.

$\int_{C}^{} F . d r = 24$

105.

$\int_{C}^{} F . d r = e - \frac{3 π}{2}$

107.

No es conservatorio

109.

Conservativo, $f (x, y) = 3 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2}$

111.

Conservativo, $f (x, y) = y e^{x} + x sen (y)$

113.

$\oint_{C} (2 y d x + 2 x d y) = 32$

115.

$F (x, y) = (10 x + 3 y) i + (3 x + 20 y) j$

117.

F no es conservativo.

119.

F es conservativo y una función potencial es $f (x, y, z) = x y e^{z} .$

121.

F es conservativo y una función potencial es $f (x, y, z) = z^{2} - z - \frac{x}{y} .$

123.

F es conservativo y una función potencial es $f (x, y, z) = x^{2} y + y^{2} z .$

125.

F es conservativo y una función potencial es $f (x, y) = e^{x^{2} y}$

127.

$\int_{C} F . d r = e^{2} + 1$

129.

$\int_{C} F . d r = –2$

131.

$\oint_{C_{1}} G . d r = –8 π$

133.

$\oint_{C_{2}} F . d r = 7$

135.

$\int_{C} F . d r = 150$

137.

$\int_{C} F . d r = –1$

139.

$4 \times 10^{31} erg$

141.

$\int_{C} F . d s = 0,4687$

143.

$circulación = π a^{2} y el flujo = 0$

Sección 6.4 ejercicios

147.

$\int_{C}^{} 2 x y d x + (x + y) d y = \frac{32}{3}$

149.

$\int_{C}^{} sen x cos y d x + (x y + cos x sen y) d y = \frac{1}{12}$

151.

$\oint_{C} (− y d x + x d y) = π$

153.

$\int_{C} x e^{−2 x} d x + (x^{4} + 2 x^{2} y^{2}) d y = 0$

155.

$\oint_{C} y^{3} d x - x^{3} y d y = −20 π$

157.

$\oint_{C} − x^{2} y d x + x y^{2} d y = 8 π$

159.

$\oint_{C} (x^{2} + y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

161.

$A = 19 π$

163.

$A = \frac{3}{8 π}$

165.

$\int_{C +} (y^{2} + x^{3}) d x + x^{4} d y = 0$

167.

$A = \frac{9 π}{8}$

169.

$A = \frac{8 \sqrt{3}}{5}$

171.

$\int_{C} (x^{2} y - 2 x y + y^{2}) d s = - \frac{5}{6}$

173.

$\int_{C}^{} \frac{x d x + y d y}{x^{2} + y^{2}} = 2 π$

175.

$W = \frac{225}{2}$

177.

$W = 12 π$

179.

$W = 2 π$

181.

$\oint_{C} y^{2} d x + x^{2} d y = \frac{1}{3}$

183.

$\int_{C}^{} \sqrt{1 + x^{3}} d x + 2 x y d y = –3$

185.

$\int_{C}^{} (3 y - e^{sen x}) d x + (7 x + \sqrt{y^{4} + 1}) d y = 36 π$

187.

$\oint_{C} F . d r = 2$

189.

$\oint_{C} (y + x) d x + (x + sen y) d y = 0$

191.

$\oint_{C} x y d x + x^{3} y^{3} d y = \frac{22}{21}$

193.

$\oint_{C} F . d r = \frac{15 π}{4}$

195.

$\int_{C}^{} sen (x + y) d x + cos (x + y) d y = 4$

197.

$\int_{C}^{} F . d r = π$

199.

$\oint_{C} F . \hat{n} d s = 4$

201.

$\oint_{C} F . n d s = 0$

203.

$\int_{C} [− y^{3} + sen (x y) + x y cos (x y)] d x + [x^{3} + x^{2} cos (x y)] d y = 4,7124$

205.

$\oint_{C} (y + e^{\sqrt{x}}) d x + (2 x + cos (y^{2})) d y = \frac{1}{3}$

Sección 6.5 ejercicios

207.

Falso

209.

Verdadero

211.

Verdadero

213.

$rizo F = i + x^{2} j + y^{2} k$

215.

$rizo F = (x z^{2} - x y^{2}) i + (x^{2} y - y z^{2}) j + (y^{2} z - x^{2} z) k$

217.

$rizo F = i + j + k$

219.

$rizo F = − y i - z j - x k$

221.

$rizo F = 0$

223.

$div F = 3 y z^{2} + 2 y sen z + 2 x e^{2 z}$

225.

$div F = 2 (x + y + z)$ grandes.

227.

$div F = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

229.

$div F = a + b$

231.

$div F = x + y + z$

233.

Armónico

235.

$div (F \times G) = 2 z + 3 x$

237.

$div F = 2 r^{2}$

239.

$rizo r = 0$

241.

$rizo \frac{r}{r^{3}} = 0$

243.

$rizo F = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}} k$

245.

$div F = 0$

247.

$div F = 2 - 2 e^{−6}$

249.

$div F = 0$

251.

$rizo F = j - 3 k$

253.

$rizo F = 2 j - k$

255.

$a = 3$

257.

F es conservativo.

259.

$div F = cosh x + senoh y - x y$

261.

$(b z - c y) i (c x - a z) j + (a y - b x) k$

263.

$rizo F = 2 ω$

265.

$F \times G$ no tiene divergencia cero.

267.

$\nabla . F = –200 k [1 + 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2})] e^{– x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Sección 6.6 ejercicios

269.

Verdadero

271.

Verdadero

273.

$r (u, v) = 〈 u, v, 2 - 3 u + 2 v 〉$ por $− \infty \leq u < \infty$ y $− \infty \leq v < \infty .$

275.

$r (u, v) = 〈 u, v, \frac{1}{3} (16 - 2 u + 4 v) 〉$ por $| u | < \infty$ y $| v | < \infty .$

277.

$r (u, v) = 〈 3 cos u, 3 sen u, v 〉$ por $0 \leq u \leq \frac{π}{2}, 0 \leq v \leq 3$

279.

$A = 87,9646$

281.

$\iint_{S} z d S = 8 π$

283.

$\iint_{S} (x^{2} + y^{2}) z d S = 16 π$

285.

$\iint_{S} F . N d S = \frac{4 π}{3}$

287.

$m \approx 13,0639$

289.

$m \approx 228,5313$

291.

$\iint_{S} g d S = 3 \sqrt{14}$

293.

$\iint_{S} (x^{2} + y - z) d S \approx 0,9617$

295.

$\iint_{S} (x^{2} + y^{2}) d S = \frac{4 π}{3}$

297.

$\iint_{S} x^{2} z d S = \frac{1.023 \sqrt{2 π}}{5}$

299.

$\iint_{S} (z + y) d S \approx 10,1$

301.

$m = π a^{3}$

303.

$\iint_{S} F . N d S = \frac{13}{24}$

305.

$\iint_{S} F . N d S = \frac{3}{4}$

307.

$\int_{0}^{8} \int_{0}^{6} (4 - 3 y + \frac{1}{16} y^{2} + z) (\frac{1}{4} \sqrt{17}) d z d y$

309.

$\int_{0}^{2} \int_{0}^{6} [x^{2} - 2 (8 - 4 x) + z] \sqrt{17} d z d x$

311.

$\iint_{S} (x^{2} z + y^{2} z) d S = \frac{π a^{5}}{2}$

313.

$\iint_{S} x^{2} y z d S = 171 \sqrt{14}$

315.

$\iint_{S} y z d S = \frac{\sqrt{2} π}{4}$

317.

$\iint_{S} (x i + y j) . d S = 16 π$

319.

$m = \frac{π a^{7}}{192}$

321.

$F \approx 4,57 lb .$

323.

$8 π a$

325.

El flujo neto es cero.

Sección 6.7 ejercicios

327.

$\iint_{S} (rizo F . N) d S = π a^{2}$

329.

$\iint_{S} (rizo F . N) d S = 18 π$

331.

$\iint_{S} (rizo F . N) d S = –8 π$

333.

$\iint_{S} (rizo F . N) d S = 0$

335.

$\int_{C} F . d S = 0$

337.

$\int_{C} F . d S = –9,4248$

339.

$\iint_{S} rizo F . d S = 0$

341.

$\iint_{S} rizo F . d S = 2,6667$

343.

$\iint_{S} (rizo F . N) d S = - \frac{1}{6}$

345.

$\int_{C} (\frac{1}{2} y^{2} d x + z d y + x d z) = - \frac{π}{4}$

347.

$\iint_{S} (rizo F . N) d S = 3 π$

349.

$\int_{C}^{} (c k \times R) . d S = 2 π c$

351.

$\iint_{S} rizo F . d S = 0$

353.

$\oint_{} F . d S = –4$

355.

$\iint_{S} rizo F . d S = 0$

357.

$\iint_{S} rizo F . d S = −36 π$

359.

$\iint_{S} rizo F . N = 0$

361.

$\oint_{C} F . d r = 0$

363.

$\iint_{S} rizo (F) . d S = 84,8230$

365.

$A = \iint_{S} (\nabla \times F) . n d S = 0$

367.

$\iint_{S} (\nabla \times F) . n d S = 2 π$

369.

$C = π (cos φ - sen φ)$

371.

$\oint_{C} F . d r = 48 π$

373.

$\iint_{S} (\nabla \times F) . n = 0$

375.

0

Sección 6.8 ejercicios

377.

$\int_{S}^{} F . n d s = 75,3982$

379.

$\int_{S}^{} F . n d s = 127,2345$

381.

$\int_{S}^{} F . n d s = 37,6991$

383.

$\int_{S}^{} F . n d s = \frac{9 π a^{4}}{2}$

385.

$\iint_{S} F . d S = \frac{π}{3}$

387.

$\iint_{S} F . d S = 0$

389.

$\iint_{S} F . d S = 241,2743$

391.

$\iint_{D} F . d S = − π$

393.

$\iint_{S} F . d S = \frac{2 π}{3}$

395.

$16 \sqrt{6} π$

397.

$- \frac{128}{3} π$

399.

$–703,7168$

401.

20

403.

$\iint_{S} F . d S = 8$

405.

$\iint_{S} F . N d S = \frac{1}{8}$

407.

$\iint_{S} ‖ R ‖ R . n d s = 4 π a^{4}$

409.

$∭_{R} z^{2} d V = \frac{4 π}{15}$

411.

$\iint_{S} F . d S = 6,5759$

413.

$\iint_{S} F . d S = 21$

415.

$\iint_{S} F . d S = 72$

417.

$\iint_{S} F . d S = –33,5103$

419.

$\iint_{S} F . d S = π a^{4} b^{2}$

421.

$\iint_{S} F . d S = \frac{5}{2} π$

423.

$\iint_{S} F . d S = \frac{531 π}{32}$

425.

$− (1 - e^{−1})$ grandes.

Ejercicios de repaso

427.

Falso

429.

Falso

431.

Un campo vectorial en dos dimensiones. Se muestran todos los cuadrantes. Las flechas son más grandes cuanto más se alejan del eje y. Apuntan hacia arriba y hacia la derecha para los valores x positivos y hacia abajo y hacia la derecha para los valores x negativos. Cuanto más lejos del eje y estén, mayor será la pendiente que tengan.

433.

Conservativo, $f (x, y) = x y - 2 e^{y}$

435.

Conservativo, $f (x, y, z) = x^{2} y + y^{2} z + z^{2} x$

437.

$- \frac{16}{3}$

439.

$\frac{32 \sqrt{2}}{9} (3 \sqrt{3} - 1)$

441.

Divergencia $e^{x} + x e^{x y} + x y e^{x y z},$ rizo $x z e^{x y z} i - y z e^{x y z} j + y e^{x y} k$

443.

$–18 π$

445.

$− π$

447.

$24 π$

449.

$\sqrt{2} (2 \sqrt{2} + π) = 4 + π \sqrt{2}$

451.

$8 π / 3$