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  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Punto de control

6.1

12 i j 12 i j

6.3

Rotación

Representación visual de un campo vectorial rotacional en un plano de coordenadas. Las flechas rodean el origen en sentido contrario a las agujas del reloj.
6.4

6565 m/s

6.5

No.

6.7

1,49063 × 10 −18 , 4,96876 × 10 −19 , 9,93752 × 10 −19 N 1,49063 × 10 −18 , 4,96876 × 10 −19 , 9,93752 × 10 −19 N

6.9

No

6.10

f = v f = v

6.11

P y = x Q x = –2 x y P y = x Q x = –2 x y

6.12

No

6.13

2 2

6.14

2 10 π + 2 10 π 2 2 10 π + 2 10 π 2

6.15

Ambas integrales de línea son iguales 1.000303.1.000303.

6.16

4 17 4 17

6.17

C F . T d s C F . T d s

6.18

−26 −26

6.19

0

6.20

182 π2 182 π2 kg

6.21

3/2

6.22

2 π 2 π

6.23

0

6.24

6.25

La región de la figura está conectada. La región de la figura no está simplemente conectada.

6.26

2

6.27

Si C1C1 y C2 C2 representan las dos curvas, entonces C1F.drC2 F.dr.C1F.drC2 F.dr.

6.28

f ( x , y ) = e x y 3 + x y f ( x , y ) = e x y 3 + x y

6.29

f ( x , y , z ) = 4 x 3 + sen y cos z + z f ( x , y , z ) = 4 x 3 + sen y cos z + z

6.30

f ( x , y , z ) = G x 2 + y 2 + z 2 f ( x , y , z ) = G x 2 + y 2 + z 2

6.31

Es conservativo.

6.32

–10 π –10 π

6.33

Negativo

6.34

45 2 45 2

6.35

4 3 4 3

6.36

3 π 2 3 π 2

6.37

g ( x , y ) = x cos y g ( x , y ) = x cos y

6.38

No

6.39

105 π 105 π

6.40

y z 2 y z 2

6.41

6.42

Todos los puntos en línea y=1.y=1.

6.43

i i

6.44

rizo v = 0 rizo v = 0

6.45

No

6.46

6.47

Cilindro x2 +y2 =4x2 +y2 =4

6.48

Cono x2 +y2 =z2 x2 +y2 =z2

6.49

r(u,v)=ucosv,usenv,u,r(u,v)=ucosv,usenv,u, 0<u<,0v<π2 0<u<,0v<π2

6.50

6.51

43,02 43,02

6.52

Con la parametrización estándar de un cilindro, la Ecuación 6.18 muestra que el área superficial es 2 πrh.2 πrh.

6.53

2 π ( 2 + senoh −1 ( 1 ) ) 2 π ( 2 + senoh −1 ( 1 ) )

6.54

24

6.55

0

6.56

38,401 π 120,640 38,401 π 120,640

6.57

N ( x , y ) = y 1 + x 2 + y 2 , x 1 + x 2 + y 2 , 1 1 + x 2 + y 2 N ( x , y ) = y 1 + x 2 + y 2 , x 1 + x 2 + y 2 , 1 1 + x 2 + y 2

6.58

0

6.59

400 kg/s/m

6.60

440 π 3 440 π 3

6.61

Ambas integrales dan 13645.13645.

6.62

π π

6.63

3 2 3 2

6.64

rizo E = x , y , −2 z rizo E = x , y , −2 z

6.65

Ambas integrales son iguales 6π.6π.

6.66

30

6.67

9 ln ( 16 ) 9 ln ( 16 )

6.68

6,777 × 10 9 6,777 × 10 9

Sección 6.1 ejercicios

1.

Vectores

3.

Falso

5.


Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más lejos están del origen. Se extienden desde el origen en un patrón radial.
7.


Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más lejos están del origen y cuanto más a la izquierda y a la derecha están del eje y. Las flechas se curvan asintóticamente hacia abajo y hacia la derecha en el cuadrante 1, hacia abajo y hacia la izquierda en el cuadrante 2, hacia arriba y hacia la izquierda en el cuadrante 3, y hacia arriba y hacia la derecha en el cuadrante cuatro.
9.


Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más se alejan del origen y, aún más, cuanto más se alejan del eje y. Se extienden desde el origen de forma radial.
11.


Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más alejadas están del eje x. Las flechas forman dos patrones radiales, uno a cada lado del eje y. Los patrones son en el sentido de las agujas del reloj.
13.


Una representación visual de un campo vectorial en tres dimensiones. Las flechas parecen reducirse a medida que la componente z se acerca a cero y la componente x aumenta, y a medida que las componentes y, y z aumentan. Las flechas parecen converger también en esas dos direcciones.
15.

F ( x , y ) = sen ( y ) i + ( x cos y sen y ) j F ( x , y ) = sen ( y ) i + ( x cos y sen y ) j

17.

F ( x , y , z ) = ( 2 x y + y ) i + ( x 2 + x + 2 y z ) j + y 2 k F ( x , y , z ) = ( 2 x y + y ) i + ( x 2 + x + 2 y z ) j + y 2 k

19.

F ( x , y ) = ( 2 x 1 + x 2 + 2 y 2 ) i + ( 4 y 1 + x 2 + 2 y 2 ) j F ( x , y ) = ( 2 x 1 + x 2 + 2 y 2 ) i + ( 4 y 1 + x 2 + 2 y 2 ) j

21.

F ( x , y ) = ( 1 x ) i y j ( 1 x ) 2 + y 2 F ( x , y ) = ( 1 x ) i y j ( 1 x ) 2 + y 2

23.

F ( x , y ) = x i y j x 2 + y 2 F ( x , y ) = x i y j x 2 + y 2

25.

F ( x , y ) = y i x j F ( x , y ) = y i x j

27.

F ( x , y ) = −10 ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 ( x i + y j ) F ( x , y ) = −10 ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 ( x i + y j )

29.

E = c | r | 2 r = c | r | r | r | E = c | r | 2 r = c | r | r | r |

31.

c ( t ) = ( cos t , sen t , e t ) = F ( c ( t ) ) c ( t ) = ( cos t , sen t , e t ) = F ( c ( t ) )

33.

H

35.

d. F+GF+G

37.

a. F+GF+G

Sección 6.2 ejercicios

39.

Verdadero

41.

Falso

43.

Falso

45.

C ( x y ) d s = 10 C ( x y ) d s = 10

47.

C x y 4 d s = 8192 5 C x y 4 d s = 8192 5

49.

W = 8 W = 8

51.

W = 3 π 4 W = 3 π 4

53.

W = π W = π

55.

C F . d r = 4 C F . d r = 4

57.

C y z d x + x z d y + x y d z = –1 C y z d x + x z d y + x y d z = –1

59.

C ( y 2 ) d x + ( x ) d y = 245 6 C ( y 2 ) d x + ( x ) d y = 245 6

61.

C x y d x + y d y = 190 3 C x y d x + y d y = 190 3

63.

C y 2 x 2 y 2 d s = 2 ln 5 C y 2 x 2 y 2 d s = 2 ln 5

65.

W = −66 W = −66

67.

W = −10 π 2 W = −10 π 2

69.

W = 2 W = 2

71.

a. W=11;W=11; b. W=394;W=394; c. No

73.

W = 2 π W = 2 π

75.

C F . d r = 25 5 + 1 120 C F . d r = 25 5 + 1 120

77.

C y 2 d x + ( x y x 2 ) d y = 6,15 C y 2 d x + ( x y x 2 ) d y = 6,15

79.

γ x e y d s 7,157 γ x e y d s 7,157

81.

γ ( y 2 x y ) d x −1,379 γ ( y 2 x y ) d x −1,379

83.

C F . d r −1,133 C F . d r −1,133

85.

C F . d r 2 2 . 8 5 7 C F . d r 2 2 . 8 5 7

87.

flujo = 1 3 flujo = 1 3

89.

flujo = −20 flujo = −20

91.

flujo = 0 flujo = 0

93.

m = 4 π ρ 5 m = 4 π ρ 5

95.

W = 0 W = 0

97.

W = k 2 W = k 2

Sección 6.3 ejercicios

99.

Verdadero

101.

Verdadero

103.

C F . d r = 24 C F . d r = 24

105.

C F . d r = e 3 π 2 C F . d r = e 3 π 2

107.

No es conservatorio

109.

Conservativo, f(x,y)=3x2 +5xy+2 y2 f(x,y)=3x2 +5xy+2 y2

111.

Conservativo, f(x,y)=yex+xsen(y)f(x,y)=yex+xsen(y)

113.

C ( 2 y d x + 2 x d y ) = 32 C ( 2 y d x + 2 x d y ) = 32

115.

F ( x , y ) = ( 10 x + 3 y ) i + ( 3 x + 20 y ) j F ( x , y ) = ( 10 x + 3 y ) i + ( 3 x + 20 y ) j

117.

F no es conservativo.

119.

F es conservativo y una función potencial es f(x,y,z)=xyez.f(x,y,z)=xyez.

121.

F es conservativo y una función potencial es f(x,y,z)=z2 zxy.f(x,y,z)=z2 zxy.

123.

F es conservativo y una función potencial es f(x,y,z)=x2 y+y2 z.f(x,y,z)=x2 y+y2 z.

125.

F es conservativo y una función potencial es f(x,y)=ex2 yf(x,y)=ex2 y

127.

C F . d r = e 2 + 1 C F . d r = e 2 + 1

129.

C F . d r = –2 C F . d r = –2

131.

C 1 G . d r = –8 π C 1 G . d r = –8 π

133.

C 2 F . d r = 7 C 2 F . d r = 7

135.

C F . d r = 150 C F . d r = 150

137.

C F . d r = –1 C F . d r = –1

139.

4 × 10 31 erg 4 × 10 31 erg

141.

C F . d s = 0,4687 C F . d s = 0,4687

143.

circulación = π a 2 y el flujo = 0 circulación = π a 2 y el flujo = 0

Sección 6.4 ejercicios

147.

C 2 x y d x + ( x + y ) d y = 32 3 C 2 x y d x + ( x + y ) d y = 32 3

149.

C sen x cos y d x + ( x y + cos x sen y ) d y = 1 12 C sen x cos y d x + ( x y + cos x sen y ) d y = 1 12

151.

C ( y d x + x d y ) = π C ( y d x + x d y ) = π

153.

C x e −2 x d x + ( x 4 + 2 x 2 y 2 ) d y = 0 C x e −2 x d x + ( x 4 + 2 x 2 y 2 ) d y = 0

155.

Cy3dxx3ydy=−20πCy3dxx3ydy=−20π

157.

C x 2 y d x + x y 2 d y = 8 π C x 2 y d x + x y 2 d y = 8 π

159.

C ( x 2 + y 2 ) d x + 2 x y d y = 0 C ( x 2 + y 2 ) d x + 2 x y d y = 0

161.

A = 19 π A = 19 π

163.

A = 3 8 π A = 3 8 π

165.

C + ( y 2 + x 3 ) d x + x 4 d y = 0 C + ( y 2 + x 3 ) d x + x 4 d y = 0

167.

A = 9 π 8 A = 9 π 8

169.

A = 8 3 5 A = 8 3 5

171.

C ( x 2 y 2 x y + y 2 ) d s = 5 6 C ( x 2 y 2 x y + y 2 ) d s = 5 6

173.

C x d x + y d y x 2 + y 2 = 2 π C x d x + y d y x 2 + y 2 = 2 π

175.

W = 225 2 W = 225 2

177.

W = 12 π W = 12 π

179.

W = 2 π W = 2 π

181.

C y 2 d x + x 2 d y = 1 3 C y 2 d x + x 2 d y = 1 3

183.

C 1 + x 3 d x + 2 x y d y = –3 C 1 + x 3 d x + 2 x y d y = –3

185.

C ( 3 y e sen x ) d x + ( 7 x + y 4 + 1 ) d y = 36 π C ( 3 y e sen x ) d x + ( 7 x + y 4 + 1 ) d y = 36 π

187.

C F . d r = 2 C F . d r = 2

189.

C ( y + x ) d x + ( x + sen y ) d y = 0 C ( y + x ) d x + ( x + sen y ) d y = 0

191.

C x y d x + x 3 y 3 d y = 22 21 C x y d x + x 3 y 3 d y = 22 21

193.

C F . d r = 15 π 4 C F . d r = 15 π 4

195.

C sen ( x + y ) d x + cos ( x + y ) d y = 4 C sen ( x + y ) d x + cos ( x + y ) d y = 4

197.

C F . d r = π C F . d r = π

199.

C F . n ^ d s = 4 C F . n ^ d s = 4

201.

C F . n d s = 0 C F . n d s = 0

203.

C [ y 3 + sen ( x y ) + x y cos ( x y ) ] d x + [ x 3 + x 2 cos ( x y ) ] d y = 4,7124 C [ y 3 + sen ( x y ) + x y cos ( x y ) ] d x + [ x 3 + x 2 cos ( x y ) ] d y = 4,7124

205.

C ( y + e x ) d x + ( 2 x + cos ( y 2 ) ) d y = 1 3 C ( y + e x ) d x + ( 2 x + cos ( y 2 ) ) d y = 1 3

Sección 6.5 ejercicios

207.

Falso

209.

Verdadero

211.

Verdadero

213.

rizo F = i + x 2 j + y 2 k rizo F = i + x 2 j + y 2 k

215.

rizo F = ( x z 2 x y 2 ) i + ( x 2 y y z 2 ) j + ( y 2 z x 2 z ) k rizo F = ( x z 2 x y 2 ) i + ( x 2 y y z 2 ) j + ( y 2 z x 2 z ) k

217.

rizo F = i + j + k rizo F = i + j + k

219.

rizo F = y i z j x k rizo F = y i z j x k

221.

rizo F = 0 rizo F = 0

223.

div F = 3 y z 2 + 2 y sen z + 2 x e 2 z div F = 3 y z 2 + 2 y sen z + 2 x e 2 z

225.

divF=2 (x+y+z)divF=2 (x+y+z) grandes.

227.

div F = 1 x 2 + y 2 div F = 1 x 2 + y 2

229.

div F = a + b div F = a + b

231.

div F = x + y + z div F = x + y + z

233.

Armónico

235.

div ( F × G ) = 2 z + 3 x div ( F × G ) = 2 z + 3 x

237.

div F = 2 r 2 div F = 2 r 2

239.

rizo r = 0 rizo r = 0

241.

rizo r r 3 = 0 rizo r r 3 = 0

243.

rizo F = 2 x x 2 + y 2 k rizo F = 2 x x 2 + y 2 k

245.

div F = 0 div F = 0

247.

div F = 2 2 e −6 div F = 2 2 e −6

249.

div F = 0 div F = 0

251.

rizo F = j 3 k rizo F = j 3 k

253.

rizo F = 2 j k rizo F = 2 j k

255.

a = 3 a = 3

257.

F es conservativo.

259.

div F = cosh x + senoh y x y div F = cosh x + senoh y x y

261.

( b z c y ) i ( c x a z ) j + ( a y b x ) k ( b z c y ) i ( c x a z ) j + ( a y b x ) k

263.

rizo F = 2 ω rizo F = 2 ω

265.

F×GF×G no tiene divergencia cero.

267.

. F = –200 k [ 1 + 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ] e x 2 + y 2 + z 2 . F = –200 k [ 1 + 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ] e x 2 + y 2 + z 2

Sección 6.6 ejercicios

269.

Verdadero

271.

Verdadero

273.

r(u,v)=u,v,2 3u+2 vr(u,v)=u,v,2 3u+2 v por u<u< y v<.v<.

275.

r(u,v)=u,v,13(162 u+4v)r(u,v)=u,v,13(162 u+4v) por |u|<|u|< y |v|<.|v|<.

277.

r(u,v)=3cosu,3senu,vr(u,v)=3cosu,3senu,v por 0uπ2 ,0v30uπ2 ,0v3

279.

A = 87,9646 A = 87,9646

281.

S z d S = 8 π S z d S = 8 π

283.

S ( x 2 + y 2 ) z d S = 16 π S ( x 2 + y 2 ) z d S = 16 π

285.

S F . N d S = 4 π 3 S F . N d S = 4 π 3

287.

m 13,0639 m 13,0639

289.

m 228,5313 m 228,5313

291.

S g d S = 3 14 S g d S = 3 14

293.

S ( x 2 + y z ) d S 0,9617 S ( x 2 + y z ) d S 0,9617

295.

S ( x 2 + y 2 ) d S = 4 π 3 S ( x 2 + y 2 ) d S = 4 π 3

297.

S x 2 z d S = 1.023 2 π 5 S x 2 z d S = 1.023 2 π 5

299.

S ( z + y ) d S 10,1 S ( z + y ) d S 10,1

301.

m = π a 3 m = π a 3

303.

S F . N d S = 13 24 S F . N d S = 13 24

305.

S F . N d S = 3 4 S F . N d S = 3 4

307.

0 8 0 6 ( 4 3 y + 1 16 y 2 + z ) ( 1 4 17 ) d z d y 0 8 0 6 ( 4 3 y + 1 16 y 2 + z ) ( 1 4 17 ) d z d y

309.

0 2 0 6 [ x 2 2 ( 8 4 x ) + z ] 17 d z d x 0 2 0 6 [ x 2 2 ( 8 4 x ) + z ] 17 d z d x

311.

S ( x 2 z + y 2 z ) d S = π a 5 2 S ( x 2 z + y 2 z ) d S = π a 5 2

313.

S x 2 y z d S = 171 14 S x 2 y z d S = 171 14

315.

S y z d S = 2 π 4 S y z d S = 2 π 4

317.

S ( x i + y j ) . d S = 16 π S ( x i + y j ) . d S = 16 π

319.

m = π a 7 192 m = π a 7 192

321.

F 4,57 lb . F 4,57 lb .

323.

8 π a 8 π a

325.

El flujo neto es cero.

Sección 6.7 ejercicios

327.

S ( rizo F . N ) d S = π a 2 S ( rizo F . N ) d S = π a 2

329.

S ( rizo F . N ) d S = 18 π S ( rizo F . N ) d S = 18 π

331.

S ( rizo F . N ) d S = –8 π S ( rizo F . N ) d S = –8 π

333.

S ( rizo F . N ) d S = 0 S ( rizo F . N ) d S = 0

335.

C F . d S = 0 C F . d S = 0

337.

C F . d S = –9,4248 C F . d S = –9,4248

339.

S rizo F . d S = 0 S rizo F . d S = 0

341.

S rizo F . d S = 2,6667 S rizo F . d S = 2,6667

343.

S ( rizo F . N ) d S = 1 6 S ( rizo F . N ) d S = 1 6

345.

C ( 1 2 y 2 d x + z d y + x d z ) = π 4 C ( 1 2 y 2 d x + z d y + x d z ) = π 4

347.

S ( rizo F . N ) d S = 3 π S ( rizo F . N ) d S = 3 π

349.

C ( c k × R ) . d S = 2 π c C ( c k × R ) . d S = 2 π c

351.

S rizo F . d S = 0 S rizo F . d S = 0

353.

F . d S = –4 F . d S = –4

355.

S rizo F . d S = 0 S rizo F . d S = 0

357.

S rizo F . d S = −36 π S rizo F . d S = −36 π

359.

S rizo F . N = 0 S rizo F . N = 0

361.

C F . d r = 0 C F . d r = 0

363.

S rizo ( F ) . d S = 84,8230 S rizo ( F ) . d S = 84,8230

365.

A = S ( × F ) . n d S = 0 A = S ( × F ) . n d S = 0

367.

S ( × F ) . n d S = 2 π S ( × F ) . n d S = 2 π

369.

C = π ( cos φ sen φ ) C = π ( cos φ sen φ )

371.

C F . d r = 48 π C F . d r = 48 π

373.

S ( × F ) . n = 0 S ( × F ) . n = 0

375.

0

Sección 6.8 ejercicios

377.

S F . n d s = 75,3982 S F . n d s = 75,3982

379.

S F . n d s = 127,2345 S F . n d s = 127,2345

381.

S F . n d s = 37,6991 S F . n d s = 37,6991

383.

S F . n d s = 9 π a 4 2 S F . n d s = 9 π a 4 2

385.

S F . d S = π 3 S F . d S = π 3

387.

S F . d S = 0 S F . d S = 0

389.

S F . d S = 241,2743 S F . d S = 241,2743

391.

D F . d S = π D F . d S = π

393.

S F . d S = 2 π 3 S F . d S = 2 π 3

395.

16 6 π 16 6 π

397.

128 3 π 128 3 π

399.

–703,7168 –703,7168

401.

20

403.

S F . d S = 8 S F . d S = 8

405.

S F . N d S = 1 8 S F . N d S = 1 8

407.

S R R . n d s = 4 π a 4 S R R . n d s = 4 π a 4

409.

R z 2 d V = 4 π 15 R z 2 d V = 4 π 15

411.

S F . d S = 6,5759 S F . d S = 6,5759

413.

S F . d S = 21 S F . d S = 21

415.

S F . d S = 72 S F . d S = 72

417.

S F . d S = –33,5103 S F . d S = –33,5103

419.

S F . d S = π a 4 b 2 S F . d S = π a 4 b 2

421.

S F . d S = 5 2 π S F . d S = 5 2 π

423.

S F . d S = 531 π 32 S F . d S = 531 π 32

425.

(1e−1)(1e−1) grandes.

Ejercicios de repaso

427.

Falso

429.

Falso

431.


Un campo vectorial en dos dimensiones. Se muestran todos los cuadrantes. Las flechas son más grandes cuanto más se alejan del eje y. Apuntan hacia arriba y hacia la derecha para los valores x positivos y hacia abajo y hacia la derecha para los valores x negativos. Cuanto más lejos del eje y estén, mayor será la pendiente que tengan.
433.

Conservativo, f(x,y)=xy2 eyf(x,y)=xy2 ey

435.

Conservativo, f(x,y,z)=x2 y+y2 z+z2 xf(x,y,z)=x2 y+y2 z+z2 x

437.

16 3 16 3

439.

32 2 9 ( 3 3 1 ) 32 2 9 ( 3 3 1 )

441.

Divergencia ex+xexy+xyexyz,ex+xexy+xyexyz, rizoxzexyziyzexyzj+yexykxzexyziyzexyzj+yexyk

443.

–18 π –18 π

445.

π π

447.

24 π 24 π

449.

2 ( 2 2 + π ) = 4 + π 2 2 ( 2 2 + π ) = 4 + π 2

451.

8 π / 3 8 π / 3

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