6.5 Divergencia y rizo

Divergencia

La divergencia es una operación sobre un campo vectorial que nos dice cómo se comporta el campo hacia o lejos de un punto. Localmente, la divergencia de un campo vectorial F en ${ℝ}^2$ o ${ℝ}^3$ en un punto particular P es una medida de la "salida" del campo vectorial en P. Si F representa la velocidad de un fluido, entonces la divergencia de F en P mide la tasa de cambio neta con respecto al tiempo de la cantidad de fluido que fluye fuera de P (la tendencia del fluido a fluir "fuera" de P). En particular, si la cantidad de fluido que entra en P es la misma que la que sale, entonces la divergencia en P es cero.

Observe que la divergencia de un campo vectorial no es un campo vectorial, sino una función escalar. En términos del operador de gradiente $\nabla =\langle \frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\rangle ,$ la divergencia puede escribirse simbólicamente como el producto escalar

Observe que se trata de una notación meramente útil, ya que el producto escalar de un vector de operadores y un vector de funciones no tienen sentido dada nuestra definición actual de producto escalar.

Si los valores de $\text{F}=\langle P,Q\rangle$ es un campo vectorial en ${ℝ}^2,$ y $P_x$ y $Q_y$ ambos existen, entonces la divergencia de F se define de forma similar como

Para ilustrar este punto, consideremos los dos campos vectoriales en la Figura 6.50. En cualquier punto concreto, la cantidad que entra es la misma que la que sale, por lo que en cada punto la "salida" del campo es cero. Por lo tanto, esperamos que la divergencia de ambos campos sea cero, y así es, ya que

Figura 6.50 (a) Campo vectorial $\langle 1,2\rangle$ tiene divergencia cero. (b) Campo vectorial $\langle \text{−}y,x\rangle$ también tiene una divergencia cero.

En contraste, consideremos el campo vectorial radial $\text{R}\left(x,y\right)=\langle \text{−}x,\text{−}y\rangle$ en la Figura 6.51. En un momento dado, entra más líquido del que sale, por lo que la "salida" del campo es negativa. Esperamos que la divergencia de este campo sea negativa, y así es, ya que $\text{div}\left(\text{R}\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\text{−}x\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\text{−}y\right)=\mathrm{–2}.$

Figura 6.51 Este campo vectorial tiene divergencia negativa.

Para tener una idea global de lo que nos dice la divergencia, supongamos que un campo vectorial en ${ℝ}^2$ representa la velocidad de un fluido. Imagínese que toma un círculo elástico (un círculo con una forma que puede ser modificada por el campo vectorial) y lo deja caer en un fluido. Si el círculo mantiene su área exacta mientras fluye a través del fluido, entonces la divergencia es cero. Esto ocurriría para ambos campos vectoriales en la Figura 6.50. Por otro lado, si la forma del círculo se distorsiona de manera que su área se reduce o se expande, entonces la divergencia no es cero. Imagine que deja caer un círculo elástico de este tipo en el campo vectorial radial en la Figura 6.51 de manera que el centro del círculo cae en el punto (3, 3). El círculo fluiría hacia el origen y, al hacerlo, la parte delantera del círculo se desplazaría más lentamente que la trasera, haciendo que el círculo se "arrugue" y pierda superficie. Así se puede ver una divergencia negativa.

Una de las aplicaciones de la divergencia se da en la física, cuando se trabaja con campos magnéticos. Un campo magnético es un campo vectorial que modela la influencia de las corrientes eléctricas y los materiales magnéticos. Los físicos utilizan la divergencia en la ley de Gauss para el magnetismo, que establece que si B es un campo magnético, entonces $\nabla .\text{B}=0;$ en otras palabras, la divergencia de un campo magnético es cero.

Ejemplo 6.49

Determinar si un campo es magnético

¿Es posible que para que $\text{F}\left(x,y\right)=\langle x^{2}y,y-x{y}^2\rangle$ sean campos magnéticos?

Solución

Si F fuera magnético, entonces su divergencia sería cero. La divergencia de F es

$$\frac{\partial }{\partial x}\left(x^{2}y\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y-x{y}^2\right)=2xy+1-2xy=1$$

y por lo tanto F no puede modelar un campo magnético (Figura 6.52).

Figura 6.52 La divergencia del campo vectorial $\text{F}\left(x,y\right)=\langle x^{2}y,y-x{y}^2\rangle$ es uno, por lo que no puede modelar un campo magnético.

Otra aplicación de la divergencia es detectar si un campo está libre de fuentes. Recordemos que un campo sin fuente es un campo vectorial que tiene una función de flujo; de forma equivalente, un campo sin fuente es un campo con un flujo que es cero a lo largo de cualquier curva cerrada. Los dos teoremas siguientes dicen que, bajo ciertas condiciones, los campos vectoriales sin fuente son precisamente los campos vectoriales con divergencia cero.

Prueba

Como F es libre de fuentes, existe una función $g\left(x,y\right)$ con la $g_y=P$ y $\text{−}{g}_x=Q.$ Por lo tanto, $\text{F}=\langle g_y,\text{−}{g}_x\rangle$ y $\text{div}\text{F}=g_{yx}-g_{xy}=0$ según el teorema de Clairaut.

□

La inversa de la Divergencia de un campo vectorial sin fuente es cierta en regiones simplemente conectadas, pero la prueba es demasiado técnica para incluirla aquí. Así, tenemos el siguiente teorema, que puede probar si un campo vectorial en ${ℝ}^2$ está libre de fuentes.

Teorema 6.15

Prueba de divergencia para campos vectoriales sin fuente

Supongamos que $\text{F}=\langle P,Q\rangle$ es un campo vectorial continuo con funciones componentes diferenciables con un dominio simplemente conectado. Entonces, $\text{div}\text{F}=0$ si y solo si F está libre de fuentes.

Ejemplo 6.50

Determinar si un campo está libre de fuentes

¿El campo $\text{F}\left(x,y\right)=\langle x^{2}y,5-x{y}^2\rangle$ está libre de fuentes?

Solución

Observe que el dominio de F es ${ℝ}^2,$ que está simplemente conectado. Además, F es continuo con funciones componentes diferenciables. Por lo tanto, podemos utilizar la Prueba de divergencia para campos vectoriales sin fuente para analizar F. La divergencia de F es

$$\frac{\partial }{\partial x}\left(x^{2}y\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(5-x{y}^2\right)=2xy-2xy=0.$$

Por lo tanto, F está libre de fuentes por según la Prueba de divergencia para campos vectoriales sin fuente.

Punto de control 6.41

Supongamos que $\text{F}\left(x,y\right)=\langle \text{−}ay,bx\rangle$ es un campo rotacional donde a y b son constantes positivas. ¿F está libre de fuentes?

Recordemos que la forma de flujo del teorema de Green dice que

$${\displaystyle {\oint }_C\text{F}.\text{N}ds={\displaystyle {\iint }_D{P}_x+Q_{y}dA}},$$

donde C es una curva cerrada y simple y D es la región encerrada por C. Ya que $P_x+Q_y=\text{div}\text{F},$ el teorema de Green a veces se escribe como

$${\displaystyle {\oint }_C\text{F}.\text{N}ds={\displaystyle {\iint }_D\text{div}\text{F}dA.}}$$

Por lo tanto, el teorema de Green se puede escribir en términos de divergencia. Si pensamos en la divergencia como una especie de derivada, entonces el teorema de Green dice que la "derivada" de F en una región puede traducirse en una integral de línea de F a lo largo del límite de la región. Esto es análogo al teorema fundamental del cálculo, en el que la derivada de una función $f$ en un segmento de línea $[a,b]$ puede traducirse en una afirmación sobre $f$ en el borde de $[a,b].$ Utilizando la divergencia, podemos ver que el teorema de Green es un análogo de dimensión superior del teorema fundamental del cálculo.

Podemos utilizar todo lo que hemos aprendido en la aplicación de la divergencia. Supongamos que v es un campo vectorial que modela la velocidad de un fluido. Dado que la divergencia de v en el punto P mide la "salida" del fluido en P, $\text{div}\text{v}(P)>0$ implica que sale más líquido de P del que entra. De la misma manera, $\text{div}\text{v}(P)<0$ implica que en P entra más líquido del que sale, y $\text{div}\text{v}(P)=0$ implica que entra la misma cantidad de líquido que sale.

Ejemplo 6.51

Determinar el caudal de un fluido

Supongamos que $\text{v}(x,y)=\langle \text{−}xy,y\rangle ,y>0$ modela el flujo de un fluido. ¿Es más el fluido que entra en el punto $(1,4)$ del que sale?

Solución

Para determinar si fluye más líquido en $(1,4)$ de lo que sale, calculamos la divergencia de v en $(1,4)\text{:}$

$$\text{div}\left(\text{v}\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\text{−}xy\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y\right)=\text{−}y+1.$$

Para hallar la divergencia en $(1,4),$ sustituimos el punto en la divergencia $\mathrm{-4}+1=\mathrm{-3}.$ Dado que la divergencia de v en $(1,4)$ es negativo, entra más líquido del que sale (Figura 6.53).

Figura 6.53 Campo vectorial $\text{v}(x,y)=\langle \text{−}xy,y\rangle$ tiene una divergencia negativa en $(1,4).$

Punto de control 6.42

Para el campo vectorial $\text{v}(x,y)=\langle \text{−}xy,y\rangle ,y>0,$ halle todos los puntos P tales que la cantidad de fluido que entra en P es igual a la cantidad de fluido que sale de P.

Rizo

La segunda operación sobre un campo vectorial que examinamos es el rizo, que mide el grado de rotación del campo en torno a un punto. Supongamos que F representa el campo de velocidad de un fluido. Entonces, el rizo de F en el punto P es un vector que mide la tendencia de las partículas cercanas a P a girar alrededor del eje que apunta en la dirección de este vector. La magnitud del vector de rizo en P mide la rapidez con la que las partículas giran alrededor de este eje. En otras palabras, el rizo en un punto es una medida del "giro" del campo vectorial en ese punto. Visualmente, imagine que coloca una rueda de paletas en un fluido en P, con el eje de la rueda de paletas alineado con el vector de curvatura (Figura 6.54). El rizo mide la tendencia de la rueda de paletas a girar.

Figura 6.54 Para visualizar la curvatura en un punto, imagine que coloca una pequeña rueda de paletas en el campo vectorial en un punto.

Considere los campos vectoriales en la Figura 6.50. En la parte (a), el campo vectorial es constante y no hay giro en ningún punto. Por lo tanto, esperamos que el rizo del campo sea cero, y así es. La parte (b) muestra un campo rotacional, por lo que el campo tiene espín. En particular, si se coloca una rueda de paletas en un campo en cualquier punto de manera que el eje de la rueda sea perpendicular a un plano, la rueda gira en sentido contrario a las agujas del reloj. Por lo tanto, esperamos que el rizo del campo sea distinto de cero, y así es (el rizo es $2\text{k}).$

Para ver lo que mide el rizo globalmente, imagine que deja caer una hoja en el líquido. A medida que la hoja se mueve con el flujo de fluido, el rizo mide la tendencia de la hoja a girar. Si el rizo es cero, entonces la hoja no gira al desplazarse por el fluido.

La definición de rizo puede ser difícil de recordar. Para ayudar a recordar, utilizamos la notación $\nabla \times \text{F}$ para representar un "determinante" que da la fórmula del rizo:

El determinante de esta matriz es

Por lo tanto, esta matriz es una forma de ayudar a recordar la fórmula del rizo. Sin embargo, hay que tener en cuenta que la palabra determinante se utiliza con mucha ligereza. Un determinante no está realmente definido en una matriz con entradas que son tres vectores, tres operadores y tres funciones.

Si los valores de $\text{F}=\langle P,Q\rangle$ es un campo vectorial en ${ℝ}^2,$ entonces el rizo de F, por definición, es

Ejemplo 6.53

Hallar el rizo de un campo vectorial bidimensional

Calcule el rizo de $\text{F}=\langle P,Q\rangle =\langle y,0\rangle .$

Solución

Observe que este campo vectorial está formado por vectores que son todos paralelos. De hecho, cada vector del campo es paralelo al eje x. Este hecho podría llevarnos a la conclusión de que el campo no tiene espín y que el rizo es cero. Para comprobar esta teoría, observe que

$$\text{rizo}\text{F}=\left(Q_x-P_y\right)\text{k}=\text{−}\text{k}\ne 0.$$

Por lo tanto, este campo vectorial sí tiene espín. Para ver por qué, imagine que coloca una rueda de paletas en cualquier punto del primer cuadrante (Figura 6.55). Las mayores magnitudes de los vectores en la parte superior de la rueda hacen que esta gire. La rueda gira en el sentido de las agujas del reloj (negativo), lo que hace que el coeficiente del rizo sea negativo.

Figura 6.55 Campo vectorial $\text{F}(x,y)=\langle y,0\rangle$ consiste en vectores que son todos paralelos.

Observe que si $\text{F}=\langle P,Q\rangle$ es un campo vectorial en un plano, entonces $\text{rizo}\text{F}.\text{k}=\left(Q_x-P_y\right)\text{k}.\text{k}=Q_x-P_y.$ Por lo tanto, la forma de circulación del teorema de Green se escribe a veces como

donde C es una curva cerrada y simple, D es la región encerrada por C. Por lo tanto, la forma de circulación del teorema de Green se puede escribir en términos del rizo. Si pensamos en el rizo como una especie de derivada, el teorema de Green dice que la "derivada" de F en una región puede traducirse en una integral de línea de F a lo largo del borde de la región. Esto es análogo al teorema fundamental del cálculo, en el que la derivada de una función $f$ en el segmento de línea $[a,b]$ puede traducirse en una afirmación sobre $f$ en el borde de $[a,b].$ Utilizando el rizo, podemos ver que la forma de circulación del teorema de Green es un análogo de dimensión superior del teorema fundamental del cálculo.

Ahora podemos utilizar lo que hemos aprendido sobre el rizo para demostrar que los campos gravitatorios no tienen "giro" Supongamos que hay un objeto en el origen con masa $m_1$ en el origen y un objeto con masa $m_2.$ Recordemos que la fuerza gravitacional que el objeto 1 ejerce sobre el objeto 2 viene dada por el campo

Usar la divergencia y el rizo

Ahora que entendemos los conceptos básicos de divergencia y rizo, podemos discutir sus propiedades y establecer relaciones entre ellos y los campos vectoriales conservativos.

Si F es un campo vectorial en ${ℝ}^3,$ entonces el rizo de F es también un campo vectorial en ${ℝ}^3.$ Por lo tanto, podemos tomar la divergencia de un rizo. El siguiente teorema dice que el resultado es siempre cero. Este resultado es útil porque nos da una forma de demostrar que algunos campos vectoriales no son el rizo de ningún otro campo. Para dar a este resultado una interpretación física, recordemos que la divergencia de un campo de velocidad v en un punto P mide la tendencia del fluido correspondiente a fluir fuera de P. Puesto que $\text{div}\text{rizo}\left(\text{v}\right)=0,$ la tasa neta de flujo en el campo vectorial rizo(v) en cualquier punto es cero. Tomar el rizo del campo vectorial F elimina cualquier divergencia que estuviera presente en F.

Prueba

Dado que $\text{rizo}\text{F}=0,$ tenemos que $R_y=Q_z,P_z=R_x,$ y $Q_x=P_y.$ Por lo tanto, F satisface la propiedad de los parciales cruzados en un dominio simplemente conectado, y la Propiedad parcial cruzada de los campos conservadores implica que F es conservativo.

□

El mismo teorema se cumple también en un plano. Por lo tanto, si F es un campo vectorial en un plano o en el espacio y el dominio es simplemente conectado, entonces F es conservativo si y solo si $\text{rizo}\text{F}=0.$

Ejemplo 6.56

Comprobar si un campo vectorial es conservativo

Utilice el rizo para determinar si $\text{F}\left(x,y,z\right)=\langle yz,xz,xy\rangle$ es conservativo.

Solución

Observe que el dominio de F es todo ${ℝ}^3,$ que está simplemente conectado (Figura 6.56). Por lo tanto, podemos comprobar si F es conservativo calculando su rizo.

Figura 6.56 El rizo del campo vectorial $\text{F}\left(x,y,z\right)=\langle yz,xz,xy\rangle$ es cero.

El rizo de F es

$$\left(\frac{\partial }{\partial y}xy-\frac{\partial }{\partial z}xz\right)\text{i}+\left(\frac{\partial }{\partial y}yz-\frac{\partial }{\partial z}xy\right)\text{j}+\left(\frac{\partial }{\partial y}xz-\frac{\partial }{\partial z}yz\right)\text{k}=\left(x–x\right)\text{i}+\left(y–y\right)\text{j}+\left(z-z\right)\text{k}=0.$$

Por lo tanto, F es conservativo.

Hemos visto que el rizo de un gradiente es cero. ¿Qué es la divergencia de un gradiente? Si los valores de $f$ es una función de dos variables, entonces $\text{div}(\text{∇}f)=\nabla .(\text{∇}f)=f_{xx}+f_{yy}.$ Abreviamos este "producto escalar doble" como ${\nabla }^2.$ Este operador se llama Operador de Laplace y en esta notación la ecuación de Laplace se convierteen ${\nabla }^{2}f=0.$ Por lo tanto, la función armónica es la que se hace cero después de tomar la divergencia de un gradiente.

Del mismo modo, si $f$ es una función de tres variables, entonces

$$\text{div}(\text{∇}f)=\nabla .(\text{∇}f)=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}.$$

Utilizando esta notación obtenemos la ecuación de Laplace para funciones armónicas de tres variables:

$${\nabla }^{2}f=0.$$

Las funciones armónicas aparecen en muchas aplicaciones. Por ejemplo, la función potencial de un campo electrostático en una región del espacio que no tiene carga estática es armónica.

Ejemplo 6.57

Analizar una función

¿Es posible que para que $f(x,y)=x^2+x-y$ sea la función potencial de un campo electrostático que se encuentra en una región de ${ℝ}^2$ libre de carga estática?

Solución

Si los valores de $f$ fuera una función tan potencial, entonces $f$ sería armónico. Observe que $f_{xx}=2$ y $f_{yy}=0,$ y así $f_{xx}+f_{yy}\ne 0.$ Por lo tanto, $f$ no es armónico y $f$ no puede representar un potencial electrostático.

Punto de control 6.46

¿Es posible que la función $f(x,y)=x^2-y^2+x$ sea la función potencial de un campo electrostático situado en una región de ${ℝ}^2$ libre de carga estática?