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Cálculo volumen 3

6.6 Integrales de superficie

Cálculo volumen 36.6 Integrales de superficie

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 6.6.1 Hallar las representaciones paramétricas de un cilindro, un cono y una esfera.
  • 6.6.2 Describir la integral de superficie de una función con valor escalar sobre una superficie paramétrica.
  • 6.6.3 Utilizar una integral de superficie para calcular el área de una superficie dada.
  • 6.6.4 Explicar el significado de una superficie orientada, dando un ejemplo.
  • 6.6.5 Describir la integral de superficie de un campo vectorial.
  • 6.6.6 Utilizar las integrales de superficie para resolver problemas aplicados.

Hemos visto que una integral lineal es una integral sobre una trayectoria en un plano o en el espacio. Sin embargo, si deseamos integrar sobre una superficie (un objeto bidimensional) en vez de sobre una trayectoria (un objeto unidimensional) en el espacio, entonces necesitamos un nuevo tipo de integral que pueda manejar la integración sobre objetos en dimensiones superiores. Podemos extender el concepto de integral lineal a una integral de superficie para permitirnos realizar esta integración.

Las integrales de superficie son importantes por las mismas razones que las integrales lineales. Tienen muchas aplicaciones a la física y la ingeniería, y nos permiten desarrollar versiones de mayor dimensión del teorema fundamental del cálculo. En particular, las integrales de superficie nos permiten generalizar el teorema de Green a dimensiones superiores, y aparecen en algunos teoremas importantes que estudiamos en secciones posteriores.

Superficies paramétricas

Una integral de superficie es similar a una integral lineal, excepto que la integración se realiza sobre una superficie en vez de sobre una trayectoria. En este sentido, las integrales de superficie amplían nuestro estudio de las integrales lineales. Al igual que con las integrales lineales, hay dos tipos de integrales de superficie: una integral de superficie de una función con valor escalar y una integral de superficie de un campo vectorial.

Sin embargo, antes de poder integrar sobre una superficie, tenemos que considerar la propia superficie. Recordemos que para calcular una integral lineal escalar o integral de línea vectorial sobre la curva C, primero necesitamos parametrizar C. De manera similar, para calcular una integral de superficie sobre la superficie S, necesitamos parametrizar S. Es decir, necesitamos un concepto de trabajo de una superficie parametrizada (o una superficie paramétrica), de la misma manera que ya tenemos un concepto de una curva parametrizada.

Una superficie parametrizada está dada por una descripción de la forma

r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v).r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v).

Observe que esta parametrización implica dos parámetros, u y v, porque una superficie es bidimensional, y por tanto se necesitan dos variables para trazar la superficie. Los parámetros u y v varían en una región denominada dominio de parámetro, o espacio de parámetro, el conjunto de puntos en el plano uv que pueden sustituirse en r. Cada elección de u y v en el dominio de parámetro da un punto en la superficie, al igual que cada elección de un parámetro t da un punto en una curva parametrizada. La superficie completa se crea haciendo todas las elecciones posibles de u y v sobre el dominio de parámetro.

Definición

Dada una parametrización de la superficie r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v),r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v), el dominio de parámetro de la parametrización es el conjunto de puntos en el plano uv que se pueden sustituir en r.

Ejemplo 6.58

Parametrizar un cilindro

Describa la superficie S parametrizada por

r(u,v)=cosu,senu,v,<u<,<v<.r(u,v)=cosu,senu,v,<u<,<v<.

Análisis

Observe que si cambiamos el dominio de parámetro, podríamos obtener una superficie diferente. Por ejemplo, si restringimos el dominio a 0uπ,0<v<6,0uπ,0<v<6, entonces la superficie sería un medio cilindro de altura 6.

Punto de control 6.47

Describa la superficie con la parametrización r(u,v)=2 cosu,2 senu,v,0u<2 π,<v<.r(u,v)=2 cosu,2 senu,v,0u<2 π,<v<.

Del Ejemplo 6.58 se deduce que podemos parametrizar todos los cilindros de la forma x2 +y2 =R2 .x2 +y2 =R2 . Si S es un cilindro dado por la ecuación x2 +y2 =R2 ,x2 +y2 =R2 , entonces una parametrización de S es

r(u,v)=Rcosu,Rsenu,v,0u<2 π,<v<.r(u,v)=Rcosu,Rsenu,v,0u<2 π,<v<.

También podemos hallar diferentes tipos de superficies dada su parametrización, o podemos calcular una parametrización cuando se nos da una superficie.

Ejemplo 6.59

Describir una superficie

Describa la superficie S parametrizada por

r(u,v)=ucosv,usenv,u2 ,0u<,0v<2 π.r(u,v)=ucosv,usenv,u2 ,0u<,0v<2 π.

Punto de control 6.48

Describa la superficie parametrizada por r(u,v)=ucosv,usenv,u,<u<,0v<2 π.r(u,v)=ucosv,usenv,u,<u<,0v<2 π.

Ejemplo 6.60

Calcular una parametrización

Dé una parametrización del cono x2 +y2 =z2 x2 +y2 =z2 que se encuentra en o por encima del plano z=–2.z=–2.

Punto de control 6.49

Dé una parametrización para la porción de cono x2 +y2 =z2 x2 +y2 =z2 que se encuentra en el primer octante.

Hemos estudiado las parametrizaciones de varias superficies, pero hay dos tipos importantes de superficies que necesitan un debate aparte: las esferas y los gráficos de funciones de dos variables. Para parametrizar una esfera, lo más fácil es utilizar coordenadas esféricas. La esfera de radio ρρ centrado en el origen está dada por la parametrización

r(ϕ,θ)=ρcosθsenϕ,ρsenθsenϕ,ρcosϕ,0θ2 π,0ϕπ.r(ϕ,θ)=ρcosθsenϕ,ρsenθsenϕ,ρcosϕ,0θ2 π,0ϕπ.

La idea de esta parametrización es que como ϕϕ barre hacia abajo desde el eje z positivo, un círculo de radio ρsenϕρsenϕ se traza suponiendo que θθ va de 0 a 2 π.2 π. Para ver esto, suponemos que ϕϕ es fijo. Entonces

x2 +y2 =(ρcosθsenϕ)2 +(ρsenθsenϕ)2 =ρ2 sen2 ϕ(cos2 θ+sen2 θ)=ρ2 sen2 ϕ=(ρsenϕ)2 .x2 +y2 =(ρcosθsenϕ)2 +(ρsenθsenϕ)2 =ρ2 sen2 ϕ(cos2 θ+sen2 θ)=ρ2 sen2 ϕ=(ρsenϕ)2 .

El resultado es el círculo deseado (Figura 6.61).

Un diagrama tridimensional de la esfera de radio rho.
Figura 6.61 La esfera de radio ρ ρ tiene una parametrización r ( ϕ , θ ) = ρ cos θ sen ϕ , ρ sen θ sen ϕ , ρ cos ϕ , r ( ϕ , θ ) = ρ cos θ sen ϕ , ρ sen θ sen ϕ , ρ cos ϕ , 0 θ 2 π , 0 ϕ π . 0 θ 2 π , 0 ϕ π .

Por último, para parametrizar el gráfico de una función de dos variables, primero suponemos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una función de dos variables. La parametrización más sencilla del gráfico de ff es r(x,y)=x,y,f(x,y),r(x,y)=x,y,f(x,y), donde x y y varían en el dominio de ff (Figura 6.62). Por ejemplo, el gráfico de f(x,y)=x2 yf(x,y)=x2 y se puede parametrizar con r(x,y)=x,y,x2 y,r(x,y)=x,y,x2 y, donde los parámetros x y y varían en el dominio de f.f. Si solo nos interesa un trozo del gráfico de ff, digamos, el trozo del gráfico sobre el rectángulo [1,3]×[2 ,5][1,3]×[2 ,5], entonces podemos restringir el dominio de parámetro para dar este pedazo de la superficie:

r(x,y)=x,y,x2 y,1x3,2 y5.r(x,y)=x,y,x2 y,1x3,2 y5.

Del mismo modo, si S es una superficie dada por la ecuación x=g(y,z)x=g(y,z) o la ecuación y=h(x,z),y=h(x,z), entonces una parametrización de S es

r(y,z)=g(y,z),y,zr(y,z)=g(y,z),y,z o r(x,z)=x,h(x,z),z,r(x,z)=x,h(x,z),z, respectivamente. Por ejemplo, el gráfico del paraboloide 2 y=x2 +z2 2 y=x2 +z2 se puede parametrizar con r(x,z)=x,x2 +z2 2 ,z,0x<,0z<.r(x,z)=x,x2 +z2 2 ,z,0x<,0z<. Observe que no necesitamos variar sobre todo el dominio de y porque x y z están elevadas al cuadrado.

Diagrama tridimensional de una superficie z = f(x,y) sobre su cartografía en el plano bidimensional x,y. El punto (x,y) en el plano corresponde al punto z = f(x,y) en la superficie.
Figura 6.62 La parametrización más sencilla del gráfico de una función es r ( x , y ) = x , y , f ( x , y ) . r ( x , y ) = x , y , f ( x , y ) .

Generalicemos ahora las nociones de lisura y regularidad a una superficie paramétrica. Recordemos que la parametrización de la curva r(t),atbr(t),atb es regular si r(t)0r(t)0 para todo t en [a,b].[a,b]. Para una curva, esta condición asegura que la imagen de r es realmente una curva, y no solo un punto. Por ejemplo, consideremos la parametrización de la curva r(t)=1,2 ,0t5.r(t)=1,2 ,0t5. La imagen de esta parametrización es simplemente el punto (1,2 ),(1,2 ), que no es una curva. Observe también que r(t)=0.r(t)=0. El hecho de que la derivada sea cero indica que no estamos ante una curva.

De forma análoga, nos gustaría tener una noción de regularidad para las superficies, de modo que una parametrización de la superficie trace realmente una superficie. Para motivar la definición de regularidad de una parametrización de superficie, consideremos la parametrización

r(u,v)=0,cosv,1,0u1,0vπ.r(u,v)=0,cosv,1,0u1,0vπ.

Aunque esta parametrización parece ser la de una superficie, observe que la imagen es en realidad una línea (Figura 6.63). ¿Cómo podríamos evitar parametrizaciones como esta? ¿Parametrizaciones que no dan una superficie real? Observe que ru=0,0,0ru=0,0,0 y rv=0,senv,0,rv=0,senv,0, y el producto vectorial correspondiente es cero. El análogo de la condición r(t)=0r(t)=0 es que ru×rvru×rv no es cero para el punto (u,v)(u,v) en el dominio de parámetro, que es una parametrización regular.

Diagrama tridimensional de una línea en el plano x,z donde el componente z es 1, el componente x es 1 y el componente y existe entre –1 y 1.
Figura 6.63 La imagen de la parametrización r ( u , v ) = 0 , cos v , 1 , 0 u 1 , 0 v π r ( u , v ) = 0 , cos v , 1 , 0 u 1 , 0 v π es una línea.

Definición

Parametrización r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v)r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v) es una parametrización regular si ru×rvru×rv no es cero para el punto (u,v)(u,v) en el dominio de parámetro.

Si la parametrización r es regular, entonces la imagen de r es un objeto bidimensional, como debería ser una superficie. A lo largo de este capítulo, las parametrizaciones r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v)r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v) se supone que son regulares.

Recordemos que la parametrización de la curva r(t),atbr(t),atb es lisa si r(t)r(t) es continua y r(t)0r(t)0 para todo t en [a,b].[a,b]. Informalmente, una parametrización de una curva es suave si la curva resultante no tiene ángulos agudos. La definición de una parametrización de superficie lisa es similar. Informalmente, una parametrización de superficie es lisa si la superficie resultante no tiene ángulos agudos.

Definición

Una parametrización de la superficie r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v)r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v) es lisa si el vector ru×rvru×rv no es cero para cualquier elección de u y v en el dominio de parámetro.

Una superficie también puede ser lisa a trozos si tiene caras lisas, pero también tiene lugares donde las derivadas direccionales no existen.

Ejemplo 6.61

Identificar superficies lisas y no lisas

¿Cuál de las figuras de la Figura 6.64 es lisa?

Dos figuras tridimensionales. La primera superficie es lisa. Parece un neumático con un gran agujero en el centro. La segunda es lisa a trozos. Es una pirámide de base rectangular y cuatro lados.
Figura 6.64 (a) Esta superficie es lisa. (b) Esta superficie es lisa a trozos.

Punto de control 6.50

¿La parametrización de la superficie r(u,v)=u2 v,v+1,senu,0u2 ,0v3r(u,v)=u2 v,v+1,senu,0u2 ,0v3 es lisa?

Área superficial de una superficie paramétrica

Nuestra meta es definir una integral de superficie, y como primer paso hemos examinado cómo parametrizar una superficie. El segundo paso consiste en definir el área superficial de una superficie paramétrica. La notación necesaria para desarrollar esta definición se utiliza en el resto de este capítulo.

Supongamos que S es una superficie con parametrización r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v)r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v) sobre algún dominio de parámetro D. Asumimos aquí y en todo momento que la parametrización de la superficie r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v)r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v) es continuamente diferenciable, es decir, cada función componente tiene derivadas parciales continuas. Supongamos, para simplificar, que D es un rectángulo (aunque el material siguiente puede ampliarse para manejar dominios de parámetro no rectangulares). Divida el rectángulo D en subrectángulos DijDij con anchura horizontal ΔuΔu y longitud vertical Δv.Δv. Supongamos que i va de 1 a m y j va de 1 a n, de modo que D se subdivide en mn rectángulos. Esta división de D en subrectángulos da una división correspondiente de la superficie S en trozos Sij.Sij. Elija el punto PijPij en cada trozo Sij.Sij. El punto PijPij corresponde al punto (ui,vj)(ui,vj) en el dominio de parámetro.

Observe que podemos formar una cuadrícula con líneas paralelas al eje u y al eje v en el plano uv. Estas líneas de cuadrícula corresponden a un conjunto de curvas de cuadrícula en la superficie S que está parametrizada por r(u,v).r(u,v). Sin pérdida de generalidad, suponemos que PijPij se encuentra en la esquina de dos curvas de cuadrícula, como en la Figura 6.65. Si pensamos en r como un mapeo desde el plano uv a 3,3, las curvas de cuadrícula son la imagen de las líneas de cuadrícula debajo de r. Para ser precisos, considere las líneas de cuadrícula que pasan por el punto (ui,vj).(ui,vj). Una línea está dada por x=ui,y=v;x=ui,y=v; la otra está dada por x=u,y=vj.x=u,y=vj. En la primera línea de la cuadrícula, el componente horizontal se mantiene constante, y produce una línea vertical que pasa por (ui,vj).(ui,vj). En la segunda línea de la cuadrícula, el componente vertical se mantiene constante, y produce una línea horizontal que pasa por (ui,vj).(ui,vj). Las curvas de cuadrícula correspondientes son r(ui,v)r(ui,v) y r(u,vj),r(u,vj), y estas curvas se intersecan en el punto Pij.Pij.

Dos diagramas que muestran que las líneas de cuadrícula en un dominio de parámetro se corresponden con las curvas de cuadrícula en una superficie. El primero muestra un rectángulo bidimensional en el plano u,v. El rectángulo horizontal está en el cuadrante 1 y se divide en rectángulos de 9 x 5 en formato de cuadrícula. Un rectángulo Dij tiene longitudes laterales delta u y delta v. Las coordenadas de la esquina inferior izquierda son (u_i *, v_j *). En tres dimensiones, la superficie se curva sobre el plano x,y. El trozo D_ij se ha convertido en S_ij en la superficie con la esquina inferior izquierda P_ij.
Figura 6.65 Las líneas de cuadrícula en un dominio de parámetro corresponden a las curvas de cuadrícula en una superficie.

Ahora considere los vectores que son tangentes a estas curvas de cuadrícula. Para la curva de cuadrícula r(ui,v),r(ui,v), el vector tangente en PijPij se

tv(Pij)=rv(ui,vj)=xv(ui,vj),yv(ui,vj),zv(ui,vj).tv(Pij)=rv(ui,vj)=xv(ui,vj),yv(ui,vj),zv(ui,vj).

Para la curva de cuadrícula r(u,vj),r(u,vj), el vector tangente en PijPij se

tu(Pij)=ru(ui,vj)=xu(ui,vj),yu(ui,vj),zu(ui,vj).tu(Pij)=ru(ui,vj)=xu(ui,vj),yu(ui,vj),zu(ui,vj).

Si el vector N=tu(Pij)×tv(Pij)N=tu(Pij)×tv(Pij) existe y no es cero, entonces el plano tangente en PijPij existe (Figura 6.66). Si el trozo SijSij es lo suficientemente pequeño, entonces el plano tangente en el punto PijPij es una buena aproximación al trozo Sij.Sij.

Dos diagramas. El de la izquierda es bidimensional y está en el primer cuadrante del plano de coordenadas u,v. Se marca un punto u_0 en el eje horizontal u, y un punto v_0 en el eje vertical v. El punto (u_0, v_0) se muestra en el plano. El diagrama de la derecha muestra la versión de la curva de cuadrícula. Ahora, el u_0 se marca como r(u_0, v) y el v_0 como r(u, v_0). El punto (u_0, v_0) está marcado como P. De P salen tres flechas: una es una flecha vertical N, y las otras dos son t_u y t_v para el plano tangente.
Figura 6.66 Si el producto vectorial de vectores t u t u y t v t v existe, entonces hay un plano tangente.

El plano tangente en PijPij contiene vectores tu(Pij)tu(Pij) y tv(Pij),tv(Pij), y, por lo tanto, el paralelogramo abarcado por tu(Pij)tu(Pij) y tv(Pij)tv(Pij) está en el plano tangente. Dado que el rectángulo original en el plano uv correspondiente a SijSij tiene una anchura ΔuΔu y longitud Δv,Δv, el paralelogramo que utilizamos para aproximar SijSij es el paralelogramo que abarca Δutu(Pij)Δutu(Pij) y Δvtv(Pij).Δvtv(Pij). En otras palabras, escalamos los vectores tangentes por las constantes ΔuΔu y ΔvΔv para que coincida con la escala de la división original de los rectángulos en el dominio de parámetro. Por lo tanto, el área del paralelogramo utilizado para aproximar el área de SijSij se

ΔSij(Δutu(Pij))×(Δvtv(Pij))=tu(Pij)×tv(Pij)ΔuΔv.ΔSij(Δutu(Pij))×(Δvtv(Pij))=tu(Pij)×tv(Pij)ΔuΔv.

El punto variable PijPij sobre todos los trozos SijSij y la aproximación anterior nos llevan a la siguiente definición de área superficial de una superficie paramétrica (Figura 6.67).

Una superficie S_ij que parece un paralelogramo curvo. El punto P_ij está en la esquina inferior izquierda, y dos flechas azules se extienden desde este punto hasta las esquinas superior izquierda e inferior derecha de la superficie. A partir de este punto se extienden también dos flechas rojas que se denominan t_v delta v y t_u delta u. Estos forman dos lados de un paralelogramo que se aproxima al trozo de superficie de S_ij. Los otros dos lados se dibujan como líneas punteadas.
Figura 6.67 El paralelogramo que abarca t u t u y t v t v se aproxima al trozo de superficie S i j . S i j .

Definición

Supongamos que r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v)r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v) con el dominio de parámetro D es una parametrización lisa de la superficie S. Además, supongamos que S se traza solo una vez a medida que (u,v)(u,v) varía sobre D. El área superficial de S es

Dtu×tvdA,Dtu×tvdA,
(6.18)

donde tu=xu,yu,zutu=xu,yu,zu y tv=xv,yv,zv.tv=xv,yv,zv.

Ejemplo 6.62

Calcular el área superficial

Calcule el área superficial lateral (el área del "lado", sin incluir la base) del cono circular recto con altura h y radio r.

Análisis

El área superficial de un cono circular recto de radio r y altura h suele estar dada por πr2 +πrh2 +r2 .πr2 +πrh2 +r2 . La razón es que la base circular se incluye como parte del cono, y por lo tanto el área de la base πr2 πr2 se añade al área superficial lateral πrh2 +r2 πrh2 +r2 que hallamos.

Punto de control 6.51

Calcule el área superficial con la parametrización r(u,v)=u+v,u2 ,2 v,0u3,0v2 .r(u,v)=u+v,u2 ,2 v,0u3,0v2 .

Ejemplo 6.63

Calcular el área superficial

Demuestre que el área superficial de la esfera x2 +y2 +z2 =r2 x2 +y2 +z2 =r2 es 4πr2 .4πr2 .

Punto de control 6.52

Demuestre que la superficie del cilindro x2 +y2 =r2 ,0zhx2 +y2 =r2 ,0zh es 2 πrh.2 πrh. Observe que este cilindro no incluye los círculos superior e inferior.

Además de parametrizar superficies dadas por ecuaciones o formas geométricas estándar como conos y esferas, también podemos parametrizar superficies de revolución. Por lo tanto, podemos calcular el área superficial de una superficie de revolución utilizando las mismas técnicas. Supongamos que y=f(x)0y=f(x)0 es una función positiva de una sola variable en el dominio axbaxb y supongamos que S es la superficie obtenida al rotar ff alrededor del eje x (Figura 6.69). Supongamos que θθ es el ángulo de rotación. Entonces, S se puede parametrizar con los parámetros x y θθ mediante

r(x,θ)=x,f(x)cosθ,f(x)senθ,axb,0x<2 π.r(x,θ)=x,f(x)cosθ,f(x)senθ,axb,0x<2 π.
Dos diagramas, a y b, muestran la superficie de revolución. El primero muestra tres dimensiones. En el plano (x,y) se dibuja una curva denominada y = f(x) en el cuadrante 1. Se dibuja una línea desde el punto final de la curva hasta el eje x, y se marca como f(x). El segundo muestra la misma vista tridimensional. Sin embargo, la curva del primer diagrama se ha girado para crear una forma tridimensional en torno al eje x. El límite sigue marcado como y = f(x), como lo estaba en la curva del primer plano. La abertura de la forma tridimensional es circular con el radio f(x), al igual que estaba marcada la línea que va de la curva al eje x en el plano del primer diagrama. Un punto en el límite de la abertura está marcado como (x,y,z), la distancia desde el eje x a este punto se dibuja y está marcada como f(x), y la altura se dibuja y está marcada como z. La altura es perpendicular al plano x,y y, como tal, la línea f(x) original trazada desde el primer diagrama. El ángulo entre esta línea y la línea del eje x a (x,y,z) está marcada como theta.
Figura 6.69 Podemos parametrizar una superficie de revolución mediante r ( x , θ ) = x , f ( x ) cos θ , f ( x ) sen θ , r ( x , θ ) = x , f ( x ) cos θ , f ( x ) sen θ , a x b , 0 x < 2 π . a x b , 0 x < 2 π .

Ejemplo 6.64

Calcular el área superficial

Calcular el área de la superficie de revolución obtenida al girar y=x2 ,0xby=x2 ,0xb alrededor del eje x (Figura 6.70).

Un sólido de revolución dibujado en dos dimensiones. El sólido se forma girando la función y = x^2 alrededor del eje x. En el eje x se marca un punto C entre 0 y x', que marca la apertura del sólido.
Figura 6.70 Se puede utilizar una integral de superficie para calcular el área superficial de este sólido de revolución.

Punto de control 6.53

Utilice la Ecuación 6.18 para calcular el área de la superficie de revolución obtenida al rotar la curva y=senx,0xπy=senx,0xπ alrededor del eje x.

Integral de superficie de una función con valor escalar

Ahora que podemos parametrizar superficies y calcular sus áreas superficiales, podemos definir integrales de superficie. Primero, veamos la integral de superficie de una función con valor escalar. Informalmente, la integral de superficie de una función con valor escalar es un análogo de la integral lineal escalar en una dimensión superior. El dominio de integración de una integral lineal escalar es una curva parametrizada (un objeto unidimensional); el dominio de integración de una integral de superficie escalar es una superficie parametrizada (un objeto bidimensional). Por lo tanto, la definición de una integral de superficie sigue bastante de cerca la definición de una integral lineal. Para las integrales lineales escalares, cortamos la curva del dominio en trozos pequeños, elegimos un punto en cada trozo, calculamos la función en ese punto y tomamos un límite de la suma de Riemann correspondiente. Para las integrales escalares de superficie, cortamos la región del dominio (que ya no es una curva) en trozos pequeños y procedemos de la misma manera.

Supongamos que S es una superficie lisa a trozos con parametrización r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v)r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v) con un dominio de parámetro D y supongamos que f(x,y,z)f(x,y,z) es una función con un dominio que contiene a S. Por ahora, supongamos que el dominio de parámetro D es un rectángulo, pero podemos extender la lógica básica de cómo procedemos a cualquier dominio de parámetro (la elección de un rectángulo es simplemente para hacer la notación más manejable). Divida el rectángulo D en subrectángulos DijDij con anchura horizontal ΔuΔu y longitud vertical Δv.Δv. Supongamos que i va de 1 a m y j va de 1 a n, de modo que D se subdivide en mn rectángulos. Esta división de D en subrectángulos da una división correspondiente de S en trozos Sij.Sij. Elija el punto PijPij en cada trozo Sij,Sij, evaluar PijPij a las ff, y multiplicar por el área ΔSijΔSij para formar la suma de Riemann

i=1mj=1nf(Pij)ΔSij.i=1mj=1nf(Pij)ΔSij.

Para definir una integral de superficie de una función con valor escalar, dejamos que las áreas de los trozos de S se reduzcan a cero tomando un límite.

Definición

La integral de superficie de una función con valor escalar de ff sobre una superficie lisa a trozos S es

Sf(x,y,z)dS=límm,ni=1mj=1nf(Pij)ΔSij.Sf(x,y,z)dS=límm,ni=1mj=1nf(Pij)ΔSij.

De nuevo, observe las similitudes entre esta definición y la definición de una integral lineal escalar. En la definición de una integral lineal cortamos una curva en trozos, evaluamos una función en un punto de cada trozo y dejamos que la longitud de los trozos se reduzca a cero tomando el límite de la suma de Riemann correspondiente. En la definición de una integral de superficie, cortamos una superficie en trozos, evaluamos una función en un punto de cada trozo y dejamos que el área de los trozos se reduzca a cero tomando el límite de la suma de Riemann correspondiente. Por lo tanto, una integral de superficie es similar a una integral lineal pero en una dimensión superior.

La definición de una integral lineal escalar puede extenderse a dominios de parámetro que no son rectángulos utilizando la misma lógica utilizada anteriormente. La idea básica es cortar el dominio de parámetro en pequeños trozos, elegir un punto de muestra en cada trozo, y así sucesivamente. La forma exacta de cada trozo en el dominio de la muestra se vuelve irrelevante a medida que las áreas de los trozos se reducen a cero.

Las integrales de superficie escalares son difíciles de calcular a partir de la definición, al igual que las integrales lineales escalares. Para desarrollar un método que facilite el cálculo de las integrales de superficie, aproximamos las áreas superficiales ΔSijΔSij con pequeños trozos de un plano tangente, tal y como hicimos en la subsección anterior. Recordemos la definición de vectores tutu y tv:tv:

tu=xu,yu,zuytv=xv,yv,zv.tu=xu,yu,zuytv=xv,yv,zv.

Por el material que ya hemos estudiado, sabemos que

ΔSijtu(Pij)×tv(Pij)ΔuΔv.ΔSijtu(Pij)×tv(Pij)ΔuΔv.

Por lo tanto,

Sf(x,y,z)dSlímm,ni=1mj=1nf(Pij)tu(Pij)×tv(Pij)ΔuΔv.Sf(x,y,z)dSlímm,ni=1mj=1nf(Pij)tu(Pij)×tv(Pij)ΔuΔv.

Esta aproximación se acerca arbitrariamente a límm,ni=1mj=1nf(Pij)ΔSijlímm,ni=1mj=1nf(Pij)ΔSij a medida que aumentamos el número de trozos SijSij dejando que m y n se acerquen al infinito. Por lo tanto, tenemos la siguiente ecuación para calcular las integrales de superficie escalares:

Sf(x,y,z)dS=Df(r(u,v))tu×tvdA.Sf(x,y,z)dS=Df(r(u,v))tu×tvdA.
(6.19)

La Ecuación 6.19 nos permite calcular una integral de superficie transformándola en una integral doble. Esta ecuación para las integrales de superficie es análoga a la Ecuación 6.20 para las integrales lineales:

Cf(x,y,z)ds=abf(r(t))r(t)dt.Cf(x,y,z)ds=abf(r(t))r(t)dt.

En este caso, el vector tu×tvtu×tv es perpendicular a la superficie, mientras que el vector r(t)r(t) es tangente a la curva.

Ejemplo 6.65

Calcular una integral de superficie

Calcule la integral de superficie S5dS,S5dS, donde SS es la superficie con la parametrización r(u,v)=u,u2 ,vr(u,v)=u,u2 ,v por 0u2 0u2 y 0vu.0vu.

Ejemplo 6.66

Calcular la integral de superficie de un cilindro

Calcule la integral de superficie S(x+y2 )dS,S(x+y2 )dS, donde S es el cilindro x2 +y2 =4,0z3x2 +y2 =4,0z3 (Figura 6.71).

Un gráfico en tres dimensiones de un cilindro. La base del cilindro está en el plano (x,z), con centro en el eje y. Se extiende a lo largo del eje y.
Figura 6.71 Función integradora f ( x , y , z ) = x + y 2 f ( x , y , z ) = x + y 2 sobre un cilindro.

Punto de control 6.54

Calcule S(x2 z)dS,S(x2 z)dS, donde S es la superficie con parametrización r(u,v)=v,u2 +v2 ,1,0u2 ,0v3.r(u,v)=v,u2 +v2 ,1,0u2 ,0v3.

Ejemplo 6.67

Calcular la integral de superficie de un trozo de una esfera

Calcule la integral de superficie Sf(x,y,z)dS,Sf(x,y,z)dS, donde f(x,y,z)=z2 f(x,y,z)=z2 y S es la superficie que consiste del trozo de esfera x2 +y2 +z2 =4x2 +y2 +z2 =4 que se encuentra en o por encima del plano z=1z=1 y el disco que está encerrado por el plano de intersección z=1z=1 y la esfera dada (Figura 6.72).

Un diagrama en tres dimensiones de la mitad superior de una esfera. El centro está en el origen y el radio es 2. La parte superior por encima del plano z = 1 está cortada y sombreada, el resto es simplemente un contorno de la semiesfera. La sección superior tiene centro en (0,0,1) y radio de radical tres.
Figura 6.72 Calcular una integral de superficie sobre la superficie S.

Análisis

En este ejemplo hemos descompuesto una integral de superficie sobre una superficie a trozos en la suma de integrales de superficie sobre subsuperficies lisas. En este ejemplo solo había dos subsuperficies lisas, pero esta técnica se extiende a un número finito de subsuperficies lisas.

Punto de control 6.55

Calcule la integral lineal S(xy)dS,S(xy)dS, donde S es el cilindro x2 +y2 =1,0z2 ,x2 +y2 =1,0z2 , incluyendo las partes circulares superior e inferior.

Las integrales de superficie escalares tienen varias aplicaciones en el mundo real. Recordemos que las integrales lineales escalares se pueden usar para calcular la masa de un cable dada su función de densidad. De forma similar, podemos utilizar las integrales escalares de superficie para calcular la masa de una hoja dada su función de densidad. Si una hoja fina de metal tiene la forma de superficie S y la densidad de la hoja en el punto (x,y,z)(x,y,z) es ρ(x,y,z),ρ(x,y,z), entonces la masa m de la hoja es m=Sρ(x,y,z)dS.m=Sρ(x,y,z)dS.

Ejemplo 6.68

Calcular la masa de una hoja

Una hoja plana de metal tiene la forma de superficie z=1+x+2 yz=1+x+2 y que se encuentra por encima del rectángulo 0x40x4 y 0y2 .0y2 . Si la densidad de la hoja está dada por ρ(x,y,z)=x2 yz,ρ(x,y,z)=x2 yz, ¿cuál es la masa de la hoja?

Punto de control 6.56

Un trozo de metal tiene una forma que se modela mediante un paraboloide z=x2 +y2 ,0z4,z=x2 +y2 ,0z4, y la densidad del metal está dada por ρ(x,y,z)=z+1.ρ(x,y,z)=z+1. Calcule la masa de la pieza de metal.

Orientación de una superficie

Recordemos que cuando definimos una integral lineal escalar, no tuvimos que preocuparnos por la orientación de la curva de integración. Lo mismo ocurría con las integrales de superficie escalares: no había que preocuparse por una "orientación" de la superficie de integración.

En cambio, cuando definimos integrales de líneas vectorial, la curva de integración necesitaba una orientación. Es decir, necesitábamos la noción de curva orientada para definir una integral de línea vectorial sin ambigüedad. Del mismo modo, cuando definimos una integral de superficie de un campo vectorial, necesitamos la noción de superficie orientada. Una superficie orientada recibe una orientación "hacia arriba" o "hacia abajo" o, en el caso de superficies como una esfera o un cilindro, una orientación "hacia afuera" o "hacia adentro".

Supongamos que S es una superficie lisa. Para cualquier punto (x,y,z)(x,y,z) en S, podemos identificar dos vectores normales unitarios NN y N.N. Si es posible elegir un vector normal unitario N en cada punto (x,y,z)(x,y,z) en S, de modo que N varíe continuamente sobre S, entonces S es "orientable". Esta elección del vector normal unitario en cada punto da la orientación de una superficie S. Si se piensa en el campo normal como si describiera el flujo del agua, entonces el lado de la superficie hacia el que fluye el agua es el lado "negativo" y el lado de la superficie del que se aleja el agua es el lado "positivo". Informalmente, la elección de la orientación da a S un lado “exterior” y un lado “interior” (o un lado “hacia arriba” y un lado “hacia abajo”), al igual que la elección de la orientación de una curva da a la curva direcciones “hacia delante” y “hacia atrás”.

Las superficies cerradas, como las esferas, son orientables: si elegimos el vector normal exterior en cada punto de la superficie de la esfera, los vectores normales unitarios varían continuamente. Esto se llama la orientación positiva de la superficie cerrada (Figura 6.74). También podríamos elegir el vector normal hacia adentro en cada punto para dar una orientación “hacia adentro”, que es la orientación negativa de la superficie.

Una imagen tridimensional de una esfera orientada con orientación positiva. Un vector normal N se extiende desde la parte superior de la esfera, al igual que uno desde la parte superior izquierda de la esfera.
Figura 6.74 Una esfera orientada con orientación positiva.

Una porción del gráfico de cualquier función lisa z=f(x,y)z=f(x,y) también es orientable. Si elegimos el vector normal unitario que apunta “por encima” de la superficie en cada punto, entonces los vectores normales unitarios varían continuamente sobre la superficie. También podríamos elegir el vector normal unitario que apunta “por debajo” de la superficie en cada punto. Para obtener dicha orientación, parametrizamos el gráfico de ff de forma estándar: r(x,y)=x,y,f(x,y),r(x,y)=x,y,f(x,y), donde x y y varían en el dominio de f.f. Entonces, tx=1,0,fxtx=1,0,fx y ty=0,1,fy,ty=0,1,fy, y, por lo tanto, el producto vectorial tx×tytx×ty (que es la normal a la superficie en cualquier punto de la misma) es fx,fy,1.fx,fy,1. Dado que el componente z de este vector es uno, el vector normal unitario correspondiente apunta “hacia arriba”, y se elige el lado hacia arriba de la superficie como lado “positivo”.

Supongamos que S es una superficie lisa orientable con parametrización r(u,v).r(u,v). Para cada punto r(a,b)r(a,b) en la superficie, los vectores tutu y tvtv se encuentran en el plano tangente en ese punto. El vector tu×tvtu×tv es normal al plano tangente en r(a,b)r(a,b) y, por lo tanto, es normal para S en ese punto. Por lo tanto, la elección del vector normal unitario

N=tu×tvtu×tvN=tu×tvtu×tv

da una orientación de la superficie S.

Ejemplo 6.69

Elegir una orientación

Dar una orientación del cilindro x2 +y2 =r2 ,0zh.x2 +y2 =r2 ,0zh.

Punto de control 6.57

Dé la orientación “hacia arriba” del gráfico de f(x,y)=xy.f(x,y)=xy.

Como toda curva tiene una dirección "hacia delante" y "hacia atrás" (o, en el caso de una curva cerrada, una dirección en sentido de las agujas del reloj y otra en sentido contrario), es posible dar una orientación a cualquier curva. Por lo tanto, es posible pensar en cada curva como una curva orientada. Sin embargo, este no es el caso de las superficies. Algunas superficies no pueden orientarse; estas superficies se denominan no orientables. Esencialmente, una superficie puede estar orientada si la superficie tiene un lado “interior” y un lado “exterior”, o un lado “hacia arriba” y un lado “hacia abajo”. Algunas superficies se retuercen de tal manera que no existe una noción bien definida de lado "interior" o "exterior".

El ejemplo clásico de superficie no orientable es la banda de Möbius. Para crear una banda de Möbius, tome una banda rectangular de papel, dele una media vuelta y pegue los extremos (Figura 6.76). Debido a la media torsión de la banda, la superficie no tiene un lado "exterior" ni un lado "interior". Si se imagina que coloca un vector normal en un punto de la banda y que el vector recorre todo el camino alrededor de la banda, entonces (debido a la media torsión) el vector apunta en la dirección opuesta cuando vuelve a su posición original. Por lo tanto, la banda realmente solo tiene un lado.

Una imagen que muestra la construcción de una banda de Möbius. El primer paso muestra un rectángulo con las esquinas A, B, C y D, marcadas de abajo a la izquierda a abajo a la derecha en el sentido de las agujas del reloj. En el segundo paso, al rectángulo se le da una vuelta en el medio; ahora, la esquina D está en la posición superior derecha, y la esquina C está en la posición inferior derecha. Podemos ver la parte "trasera" del rectángulo. En el último paso, el rectángulo se convierte en un bucle. La esquina B se conecta a la esquina D, y la esquina A se conecta a la esquina C. La vuelta del segundo paso se mantiene. ¡Pero, la "parte delantera" y la "parte trasera" son ahora la misma debido a la vuelta!
Figura 6.76 La construcción de una banda de Möbius.

Dado que algunas superficies no son orientables, no es posible definir una integral de superficie vectorial en todas las superficies lisas a trozos. Esto contrasta con las integrales de línea vectorial, que pueden definirse en cualquier curva suave a trozos.

Integral de superficie de un campo vectorial

Con la idea de las superficies orientables en su lugar, ahora estamos listos para definir una integral de superficie de un campo vectorial. La definición es análoga a la definición del flujo de un campo vectorial a lo largo de una curva plana. Recordemos que si F es un campo vectorial bidimensional y C es una curva plana, entonces la definición del flujo de F a lo largo de C implicaba cortar C en pequeños trozos, elegir un punto dentro de cada trozo y calcular F.NF.N en el punto (donde N es el vector normal unitario en el punto). La definición de una integral de superficie de un campo vectorial procede de la misma manera, excepto que ahora cortamos la superficie S en trozos pequeños, elegimos un punto en el trozo pequeño (bidimensional) y calculamos F.NF.N en el punto.

Para situar esta definición en el mundo real, supongamos que S es una superficie orientada con un vector normal unitario N. Supongamos que v es un campo de velocidad de un fluido que fluye a través de S y supongamos que el fluido tiene una densidad ρ(x,y,z).ρ(x,y,z). Imagine que el fluido fluye a través de S, pero S es completamente permeable, por lo que no impide el flujo del fluido (Figura 6.77). El flujo de masa del fluido es la tasa de flujo de masa por unidad de área. El flujo de masa se mide en masa por unidad de tiempo por unidad de área. ¿Cómo podríamos calcular el flujo de masa del fluido a través de S?

Un diagrama que muestra el flujo de un fluido a través de una superficie completamente permeable S. La superficie S es un rectángulo que se curva hacia la derecha. Las flechas apuntan hacia fuera de la superficie a la derecha.
Figura 6.77 El fluido circula a través de una superficie completamente permeable S.

La tasa de flujo, medida en masa por unidad de tiempo por unidad de área, es ρN.ρN. Para calcular el flujo de masa a través de S, corte S en trozos pequeños Sij.Sij. Si SijSij es lo suficientemente pequeño, entonces puede ser aproximado por un plano tangente en algún punto P en Sij.Sij. Por lo tanto, el vector normal unitario en P puede utilizarse para aproximar N(x,y,z)N(x,y,z) en todo el trozo Sij,Sij, porque el vector normal a un plano no cambia a medida que nos movemos por el plano. El componente del vector ρvρv en P en la dirección de N es ρv.Nρv.N en P. Dado que SijSij es pequeño, el producto escalar ρv.Nρv.N cambia muy poco al variar a través de Sij,Sij, y por lo tanto ρv.Nρv.N puede tomarse como aproximadamente constante a través de Sij.Sij. Para aproximar la masa de fluido por unidad de tiempo que fluye a través de SijSij (y no solo localmente en el punto P), necesitamos multiplicar (ρv.N)(P)(ρv.N)(P) por el área de Sij.Sij. Por lo tanto, la masa de fluido por unidad de tiempo que fluye a través de SijSij en la dirección de N se puede aproximar por (ρv.N)ΔSij,(ρv.N)ΔSij, donde N, ρ,ρ, y v se evalúan en P (Figura 6.78). Esto es análogo al flujo del campo vectorial bidimensional F a través de la curva plana C, en la que aproximamos el flujo a través de un pequeño trozo de C con la expresión (F.N)Δs.(F.N)Δs. Para aproximar el flujo de masa a través de S, forme la suma i=1mj=1n(ρv.N)ΔSij.i=1mj=1n(ρv.N)ΔSij. Como los trozos SijSij se hacen más pequeños, la suma i=1mj=1n(ρv.N)ΔSiji=1mj=1n(ρv.N)ΔSij se acerca arbitrariamente al flujo de masa. Por lo tanto, el flujo de masa es

sρv.NdS=límm,ni=1mj=1n(ρv.N)ΔSij.sρv.NdS=límm,ni=1mj=1n(ρv.N)ΔSij.

Se trata de una integral de superficie de un campo vectorial. Dejando que el campo vectorial ρvρv sea un campo vectorial arbitrario F conduce a la siguiente definición.

Un diagrama en tres dimensiones de una superficie S. Está marcada una pequeña sección S_ij. De esta sección salen dos vectores, marcados como N y F = v. Este último apunta en la misma dirección que otras flechas con componentes z y y positivos pero con componentes x negativos.
Figura 6.78 La masa de fluido por unidad de tiempo que fluye a través de S i j S i j en la dirección de N se puede aproximar por ( ρ v . N ) Δ S i j . ( ρ v . N ) Δ S i j .

Definición

Supongamos que F es un campo vectorial continuo con un dominio que contiene la superficie orientada S con el vector normal unitario N. La integral de superficie de F sobre S es

SF.dS=SF.NdS.SF.dS=SF.NdS.
(6.20)

Observe el paralelismo entre esta definición y la definición de integral de línea vectorial CF.Nds.CF.Nds. Una integral de superficie de un campo vectorial se define de forma similar a una integral lineal de flujo a través de una curva, excepto que el dominio de integración es una superficie (un objeto bidimensional) en vez de una curva (un objeto unidimensional). La integral SF.NdSSF.NdS se denomina flujo de F a través de S, al igual que la integral CF.NdsCF.Nds es el flujo de F a través de la curva C. Una integral de superficie sobre un campo vectorial también se llama integral de flujo.

Al igual que con las integrales de línea vectorial, la integral de superficie SF.NdSSF.NdS es más fácil de calcular una vez parametrizada la superficie S. Supongamos que r(u,v)r(u,v) sea una parametrización de S con dominio de parámetro D. Entonces, el vector normal unitario está dado por N=tu×tvtu×tvN=tu×tvtu×tv y, a partir de la Ecuación 6.20, tenemos

SF.NdS=SF.NdS=SF.tu×tvtu×tvdS=D(F(r(u,v)).tu×tvtu×tv)tu×tvdA=D(F(r(u,v)).(tu×tv))dA.SF.NdS=SF.NdS=SF.tu×tvtu×tvdS=D(F(r(u,v)).tu×tvtu×tv)tu×tvdA=D(F(r(u,v)).(tu×tv))dA.

Por lo tanto, para calcular una integral de superficie sobre un campo vectorial podemos utilizar la ecuación

SF.NdS=D(F(r(u,v)).(tu×tv))dA.SF.NdS=D(F(r(u,v)).(tu×tv))dA.
(6.21)

Ejemplo 6.70

Calcular una integral de superficie

Calcule la integral de superficie SF.NdS,SF.NdS, donde F=y,x,0F=y,x,0 y S es la superficie con parametrización r(u,v)=u,v2 u,u+v,0u<3,0v4.r(u,v)=u,v2 u,u+v,0u<3,0v4.

Punto de control 6.58

Calcule la integral de superficie SF.dS,SF.dS, donde F=0,z,yF=0,z,y y S es la porción de la esfera unitaria en el primer octante con orientación hacia el exterior.

Ejemplo 6.71

Calcular la tasa de flujo de masa

Supongamos que v(x,y,z)=2 x,2 y,zv(x,y,z)=2 x,2 y,z representa un campo de velocidad (con unidades de metros por segundo) de un fluido con densidad constante de 80 kg/m3. Supongamos que S es la semiesfera x2 +y2 +z2 =9x2 +y2 +z2 =9 con la z0z0 tal que S está orientada hacia el exterior. Hallar la tasa de flujo de masa del fluido a través de S.

Punto de control 6.59

Supongamos que v(x,y,z)=x2 +y2 ,z,4yv(x,y,z)=x2 +y2 ,z,4y m/s representa un campo de velocidad de un fluido con densidad constante de 100 kg/m3. Supongamos que S es el medio cilindro r(u,v)=cosu,senu,v,0uπ,0v2 r(u,v)=cosu,senu,v,0uπ,0v2 orientado hacia el exterior. Calcule el flujo de masa del fluido a través de S.

En el Ejemplo 6.70, calculamos el flujo de masa, que es la tasa de flujo de masa por unidad de área. Si en cambio queremos calcular el flujo de masa (medido en volumen por tiempo), podemos utilizar la integral de flujo SvNdS,SvNdS, que deja fuera la densidad. Como la tasa de flujo de un fluido se mide en volumen por unidad de tiempo, la tasa de flujo no tiene en cuenta la masa. Por lo tanto, tenemos la siguiente caracterización de la tasa de flujo de un fluido con velocidad v a través de una superficie S:

Tasa de flujo del fluido a través deS=SvdS.Tasa de flujo del fluido a través deS=SvdS.

Para calcular la tasa de flujo del fluido en el Ejemplo 6.68, simplemente eliminamos la constante de densidad, lo que da una tasa de flujo de 90πm3/sec.90πm3/sec.

Tanto el flujo de masa como la tasa de flujo son importantes en física e ingeniería. El flujo de masa mide la cantidad de masa que fluye a través de una superficie; la tasa de flujo mide el volumen de fluido que fluye a través de una superficie.

Además de modelar el flujo de fluidos, las integrales de superficie pueden utilizarse para modelar el flujo de calor. Supongamos que la temperatura en el punto (x,y,z)(x,y,z) en un objeto es T(x,y,z).T(x,y,z). Entonces el flujo de calor es un campo vectorial proporcional al gradiente negativo de temperatura en el objeto. En concreto, el flujo de calor se define como un campo vectorial F=kT,F=kT, donde la constante k es la conductividad térmica de la sustancia de la que está hecho el objeto (esta constante se determina experimentalmente). La tasa de flujo de calor a través de la superficie S del objeto está dada por la integral de flujo

SF.dS=SkT.dS.SF.dS=SkT.dS.

Ejemplo 6.72

Calcular el flujo de calor

Un cilindro macizo de hierro fundido está dado por las inecuaciones x2 +y2 1,x2 +y2 1, 1z4.1z4. La temperatura en el punto (x,y,z)(x,y,z) en una región que contiene el cilindro es T(x,y,z)=(x2 +y2 )z.T(x,y,z)=(x2 +y2 )z. Dado que la conductividad térmica del hierro fundido es de 55, halle el flujo de calor a través del límite del sólido si este límite está orientado hacia el exterior.

Punto de control 6.60

Una bola sólida de hierro fundido está dada por la inecuación x2 +y2 +z2 1.x2 +y2 +z2 1. La temperatura en un punto de una región que contiene la bola es T(x,y,z)=13(x2 +y2 +z2 ).T(x,y,z)=13(x2 +y2 +z2 ). Halle el flujo de calor a través del límite del sólido si este límite está orientado hacia el exterior.

Sección 6.6 ejercicios

En los siguientes ejercicios, determine si los enunciados son verdaderos o falsos.

269.

Si la superficie S viene dada por {(x,y,z):0x1,0y1,z=10},{(x,y,z):0x1,0y1,z=10}, entonces Sf(x,y,z)dS=0101f(x,y,10)dxdy.Sf(x,y,z)dS=0101f(x,y,10)dxdy.

270.

Si la superficie S viene dada por {(x,y,z):0x1,0y1,z=x},{(x,y,z):0x1,0y1,z=x}, entonces Sf(x,y,z)dS=0101f(x,y,x)dxdy.Sf(x,y,z)dS=0101f(x,y,x)dxdy.

271.

La superficie r=vcosu,vsenu,v2 ,para0uπ,0v2 ,r=vcosu,vsenu,v2 ,para0uπ,0v2 , es la misma que la superficie r=vcos2 u,vsen2 u,v,r=vcos2 u,vsen2 u,v, para 0uπ2 ,0v4.0uπ2 ,0v4.

272.

Dada la parametrización estándar de una esfera, los vectores normales tu×tvtu×tv son vectores normales hacia el exterior.

En los siguientes ejercicios, halle descripciones paramétricas para las siguientes superficies.

273.

Plano 3x2 y+z=2 3x2 y+z=2

274.

Paraboloide z=x2 +y2 ,z=x2 +y2 , para 0z9.0z9.

275.

Plano 2 x4y+3z=162 x4y+3z=16

276.

El tronco del cono z2 =x2 +y2 ,para2 z8z2 =x2 +y2 ,para2 z8

277.

La porción del cilindro x2 +y2 =9x2 +y2 =9 en el primer octante, para 0z30z3

Diagrama en tres dimensiones de una sección de un cilindro de radio 3. El centro de su parte superior circular es (0, 0, 3). La sección existe para x, y y z entre 0 y 3.
278.

Un cono con radio r de base y altura h, donde r y h son constantes positivas

En los siguientes ejercicios, utilice un sistema de álgebra computacional para aproximar el área de las siguientes superficies mediante una descripción paramétrica de la superficie.

279.

[T] Medio cilindro {(r,θ,z):r=4,0θπ,0z7}{(r,θ,z):r=4,0θπ,0z7}

280.

[T] Plano z=10xyz=10xy por encima del cuadrado |x|2 ,|y|2 |x|2 ,|y|2

En los siguientes ejercicios, supongamos que S es la semiesfera x2 +y2 +z2 =4,x2 +y2 +z2 =4, con la z0,z0, y evalúe cada integral de superficie.

281.

S z d S S z d S

282.

S ( x 2 y ) d S S ( x 2 y ) d S

283.

S ( x 2 + y 2 ) z d S S ( x 2 + y 2 ) z d S

En los siguientes ejercicios, evalúe SF.NdSSF.NdS para el campo vectorial F, donde N es un vector normal que apunta hacia arriba a la superficie S.

284.

F(x,y,z)=xi+2 yj3zk,F(x,y,z)=xi+2 yj3zk, y S es la parte del plano 15x12y+3z=615x12y+3z=6 que se encuentra por encima del cuadrado unitario 0x1,0y1.0x1,0y1.

285.

F(x,y,z)=xi+yj,F(x,y,z)=xi+yj, y S es la semiesfera z=1x2 y2 .z=1x2 y2 .

286.

F(x,y,z)=x2 i+y2 j+z2 k,F(x,y,z)=x2 i+y2 j+z2 k, y S es la porción de plano z=y+1z=y+1 que se encuentra en el interior del cilindro x2 +y2 =1.x2 +y2 =1.

Un cilindro y un plano de intersección mostrados en tres dimensiones. S es la porción del plano z = y + 1 dentro del cilindro x^2 + y ^2 = 1.

En los siguientes ejercicios, aproxime la masa de la lámina homogénea que tiene la forma de la superficie dada S. Redondee a cuatro decimales.

287.

[T] S es la superficie z=4x2 y,conz0,x0,y0;ξ=x.z=4x2 y,conz0,x0,y0;ξ=x.

288.

[T] S es la superficie z=x2 +y2 ,conz1;ξ=z.z=x2 +y2 ,conz1;ξ=z.

289.

[T] S es la superficie x2 +y2 +x2 =5,conz1;ξ=θ2 .x2 +y2 +x2 =5,conz1;ξ=θ2 .

290.

Evalúe S(y2 zi+y3j+xzk).dS,S(y2 zi+y3j+xzk).dS, donde S es la superficie del cubo −1x1,−1y1,y0z2 .−1x1,−1y1,y0z2 . Supongamos una normal que apunta hacia afuera.

291.

Evalúe la integral de superficie SgdS,SgdS, donde g(x,y,z)=xz+2 x2 3xyg(x,y,z)=xz+2 x2 3xy y S es la porción de plano 2 x3y+z=62 x3y+z=6 que se encuentra sobre el cuadrado unitario R 0x1,0y1.0x1,0y1.

292.

Evalúe S(x+y+z)dS,S(x+y+z)dS, donde S es la superficie definida paramétricamente por R(u,v)=(2 u+v)i+(u2 v)j+(u+3v)kR(u,v)=(2 u+v)i+(u2 v)j+(u+3v)k por 0u1,y0v2 .0u1,y0v2 .

Un diagrama tridimensional de la superficie dada, que parece ser un plano de pendiente muy inclinada que se extiende a través del plano (x,y).
293.

[T] Evalúe S(xy2 +z)dS,S(xy2 +z)dS, donde S es la superficie definida por R(u,v)=u2 i+vj+uk,0u1,0v1.R(u,v)=u2 i+vj+uk,0u1,0v1.

Un diagrama tridimensional de la superficie dada, que parece ser una curva con bordes paralelos al eje y. Aumenta en componentes x y disminuye en componentes z cuanto más lejos está del eje y.
294.

[T] Evalúe S(x2 +y2 z)dSS(x2 +y2 z)dS donde SS es la superficie definida por R(u,v)=uiu2 j+vk,0u2 ,0v1.R(u,v)=uiu2 j+vk,0u2 ,0v1.

295.

Evalúe S(x2 +y2 )dS,S(x2 +y2 )dS, donde S es la superficie delimitada por encima de la semiesfera z=1x2 y2 ,z=1x2 y2 , y por debajo del plano z=0.z=0.

296.

Evalúe S(x2 +y2 +z2 )dS,S(x2 +y2 +z2 )dS, donde S es la porción del plano z=x+1z=x+1 que se encuentra en el interior del cilindro x2 +y2 =1.x2 +y2 =1.

297.

[T] Evalúe Sx2 zdS,Sx2 zdS, donde S es la porción de cono z2 =x2 +y2 z2 =x2 +y2 que se encuentra entre los planos z=1z=1 y z=4.z=4.

Un diagrama del cono que se abre hacia arriba dado en tres dimensiones. El cono está cortado por los planos z = 1 y z = 4.
298.

[T] Evalúe S(xz/y)dS,S(xz/y)dS, donde S es la porción del cilindro x=y2 x=y2 que se encuentra en el primer octante entre los planos z=0,z=5,y=1,z=0,z=5,y=1, y y=4.y=4.

Un diagrama del cilindro dado en tres dimensiones. Está cortado por los planos z = 0, z = 5, y = 1, y = 4.
299.

[T] Evalúe S(z+y)dS,S(z+y)dS, donde S es la parte del gráfico de z=1x2 z=1x2 en el primer octante entre el plano xz y el plano y=3.y=3.

Un diagrama de la superficie dada en tres dimensiones en el primer octante entre el plano xz y el plano y = 3. El gráfico dado de z = la raíz cuadrada de (1 – x^2) se estira hacia abajo en una curva cóncava hacia abajo a lo largo de (0, y, 1) hasta a lo largo de (1, y, 0). Parece una porción de un cilindro horizontal con base en el plano xz y altura en el eje y.
300.

Evalúe SxyzdSSxyzdS si S es la parte del plano z=x+yz=x+y que se encuentra sobre la región triangular en el plano xy con vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0) y (0, 2, 0).

301.

Hallar la masa de una lámina de densidad ξ(x,y,z)=zξ(x,y,z)=z en forma de semiesfera z=(a2 x2 y2 )1/2 .z=(a2 x2 y2 )1/2 .

302.

Calcule SF.NdS,SF.NdS, donde F(x,y,z)=xi5yj+4zkF(x,y,z)=xi5yj+4zk y N es un vector normal hacia el exterior de S, donde S es la unión de dos cuadrados S1:x=0,0y1,0z1S1:x=0,0y1,0z1 y S2 :z=1,0x1,0y1.S2 :z=1,0x1,0y1.

Un diagrama en tres dimensiones. Muestra el cuadrado formado por los componentes x = 0, 0 < = y < = 1 y 0 < = z < = 1. También muestra el cuadrado formado por los componentes z = 1, 0 < = x < = 1, y 0 < = y < = 1.
303.

Calcule SF.NdS,SF.NdS, donde F(x,y,z)=xyi+zj+(x+y)kF(x,y,z)=xyi+zj+(x+y)k y N es un vector normal S que apunta hacia arriba, donde S es la región triangular cortada del plano x+y+z=1x+y+z=1 por los ejes de coordenadas positivas.

304.

Calcule SF.NdS,SF.NdS, donde F(x,y,z)=2 yzi+(tan–1(xz))j+exykF(x,y,z)=2 yzi+(tan–1(xz))j+exyk y N es un vector normal hacia el exterior de S, donde S es la superficie de la esfera x2 +y2 +z2 =1.x2 +y2 +z2 =1.

305.

Calcule SF.NdS,SF.NdS, donde F(x,y,z)=xyzi+xyzj+xyzkF(x,y,z)=xyzi+xyzj+xyzk y N es un vector normal hacia el exterior de S, donde S es la superficie de las cinco caras del cubo unitario 0x1,0y1,0z10x1,0y1,0z1 al que le falta z=0.z=0.

En los siguientes ejercicios, exprese la integral de superficie como una integral doble iterada utilizando una proyección sobre S en el plano yz.

306.

Sxy2 z3dS;Sxy2 z3dS; S es la porción del primer octante del plano 2 x+3y+4z=12.2 x+3y+4z=12.

307.

S(x2 2 y+z)dS;S(x2 2 y+z)dS; S es la porción del gráfico de 4x+y=84x+y=8 delimitado por los planos de coordenadas y el plano z=6.z=6.

En los siguientes ejercicios, exprese la integral de superficie como una integral doble iterada utilizando una proyección sobre S en el plano xz

308.

Sxy2 z3dS;Sxy2 z3dS; S es la porción del primer octante del plano 2 x+3y+4z=12.2 x+3y+4z=12.