6.7 Teorema de Stokes

Teorema de Stokes

El teorema de Stokes dice que podemos calcular el flujo del rizo F a través de la superficie S conociendo solo la información sobre los valores de F a lo largo del borde de S. A la inversa, podemos calcular la integral de línea del campo vectorial F a lo largo del borde de la superficie S traduciendo a una integral doble del rizo de F sobre S.

Supongamos que S es una superficie lisa orientada con el vector normal unitario N. Además, supongamos que el borde de S es una curva simple cerrada C. La orientación de S induce la orientación positiva de C si, al caminar en la dirección positiva alrededor de C con la cabeza apuntando en la dirección de N, la superficie está siempre a su izquierda. Con esta definición, podemos enunciar el teorema de Stokes.

Figura 6.79 El teorema de Stokes relaciona la integral de flujo sobre la superficie con una integral de línea alrededor del borde de la superficie. Observe que la orientación de la curva es positiva.

Supongamos que la superficie S es una región plana en el plano xy con orientación hacia arriba. Entonces el vector normal unitario es k y la integral de superficie ${\displaystyle \underset{S}{\iint }\text{rizo}\text{F}}.d\text{S}$ es en realidad la integral doble ${\displaystyle \underset{S}{\iint }\text{rizo}\text{F}}.\text{k}dA.$ En este caso especial, el teorema de Stokes da ${\displaystyle {\int }_C\text{F}.d\text{r}}={\displaystyle {\iint }_S\text{rizo}\text{F}.\text{k}dA.}$ Sin embargo, esta es la forma de flujo del teorema de Green, que nos muestra que este teorema es un caso especial del teorema de Stokes. El teorema de Green solo puede tratar superficies en un plano, pero el teorema de Stokes puede tratar superficies en un plano o en el espacio.

La demostración completa del teorema de Stokes está fuera del alcance de este texto. Vemos una explicación intuitiva de la verdad del teorema y luego vemos su demostración en el caso especial de que la superficie S es una porción de un gráfico de una función, y S, el borde de S y F son todos bastante mansos.

Prueba

En primer lugar, veremos una demostración informal del teorema. Esta demostración no es rigurosa, pero pretende dar una idea general de por qué el teorema es cierto. Supongamos que S es una superficie y supongamos que D un pequeño trozo de la superficie de forma que D no comparte ningún punto con el borde de S. Elegimos que D sea lo suficientemente pequeño como para que pueda ser aproximado por un cuadrado orientado E. Supongamos que D hereda su orientación de S, y damos a E la misma orientación. Este cuadrado tiene cuatro lados; márquelos $E_l,$ $E_r,$ $E_u,$ y $E_d$ para los lados izquierdo, derecho, superior e inferior, respectivamente. En el cuadrado, podemos utilizar la forma de flujo del teorema de Green:

$${\displaystyle {\int }_{E_l+E_d+E_r+E_u}\text{F}.d\text{r}}={\displaystyle {\iint }_E\text{rizo}\text{F}.\text{N}dS}={\displaystyle {\iint }_E\text{rizo}\text{F}.d\text{S}}.$$

Para aproximar el flujo en toda la superficie, sumamos los valores del flujo en los pequeños cuadrados que aproximan pequeñas partes de la superficie (Figura 6.80). Según el teorema de Green, el flujo a través de cada cuadrado de aproximación es una integral de línea sobre su borde. Supongamos que F es un cuadrado de aproximación con una orientación heredada de S y con un lado derecho $E_l$ (por lo que F está a la izquierda de E). Supongamos que $F_r$ denota el lado derecho de $F$; entonces, $E_l=\text{–}{F}_r.$ En otras palabras, el lado derecho de $F$ es la misma curva que el lado izquierdo de E, solo que orientada en la dirección opuesta. Por lo tanto,

$${\displaystyle {\int }_{E_l}\text{F}.d\text{r}}=\text{−}{\displaystyle {\int }_{F_r}\text{F}.d\text{r}}.$$

Al sumar todos los flujos sobre todos los cuadrados que aproximan la superficie S, las integrales de línea ${\displaystyle {\int }_{E_l}\text{F}.d\text{r}}$ y ${\displaystyle {\int }_{F_r}\text{F}.d\text{r}}$ se anulan entre sí. Lo mismo ocurre con las integrales de línea sobre los otros tres lados de E. Estas tres integrales de línea se cancelan con la integral de línea del lado inferior del cuadrado por encima de E, la integral de línea sobre el lado izquierdo del cuadrado a la derecha de E y la integral de línea sobre el lado superior del cuadrado por debajo de E (Figura 6.81). Después de que ocurra toda esta cancelación sobre todos los cuadrados de aproximación, las únicas integrales de línea que sobreviven son las integrales de línea sobre los lados que aproximan el borde de S. Por lo tanto, la suma de todos los flujos (que, según el teorema de Green, es la suma de todas las integrales de línea alrededor de los bordes de los cuadrados de aproximación) puede ser aproximada por una integral de línea sobre el borde de S. En el límite, como las áreas de los cuadrados de aproximación van a cero, esta aproximación se acerca arbitrariamente al flujo.

Figura 6.80 Corte la superficie en trozos pequeños. Estos deben ser lo suficientemente pequeñas como para que se puedan aproximar a un cuadrado.

Figura 6.81 (a) La integral de línea a lo largo de $E_l$ anula la integral de línea a lo largo de $F_r$ porque $E_l=\text{–}{F}_r.$ (b) La integral de línea a lo largo de cualquiera de los lados de E se cancela con la integral de línea a lo largo de un lado de un cuadrado aproximado adyacente.

Veamos ahora una demostración rigurosa del teorema en el caso especial de que S sea el gráfico de la función $z=f\left(x,y\right),$ donde x y y varían sobre una región bordeada y simplemente conectada D de área finita (Figura 6.82). Además, supongamos que $f$ tiene derivadas parciales continuas de segundo orden. Supongamos que C denota el borde de S y supongamos que C′ denota el borde de D. Entonces, D es la "sombra" de S en el plano y C′ es la "sombra" de C. Supongamos que S está orientado hacia arriba. La orientación de C en sentido contrario a las agujas del reloj es positiva, al igual que la orientación de $C^{\prime }.$ Supongamos que $\text{F}\left(x,y,z\right)=\langle P,Q,R\rangle$ es un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas.

Figura 6.82 D es la "sombra”, o proyección, de S en el plano y $C^{\prime }$ es la proyección de C.

Tomamos la parametrización estándar de $S:x=x,y=y,z=g\left(x,y\right).$ Los vectores tangentes son ${\text{t}}_x=\langle 1,0,g_x\rangle$ y ${\text{t}}_y=\langle 0,1,g_y\rangle ,$ y por lo tanto, ${\text{t}}_x\times {\text{t}}_y=\langle \text{−}{g}_x,\text{−}{g}_y,1\rangle .$ Por la Ecuación 6.19,

$${\displaystyle \underset{S}{\iint }\text{rizo}\text{F}.d\text{S}=}{\displaystyle \underset{D}{\iint }\left[\text{−}\left(R_y-Q_z\right)z_x-\left(P_z-R_x\right)z_y+\left(Q_x-P_y\right)\right]}dA,$$

donde las derivadas parciales se evalúan todas en $\left(x,y,g\left(x,y\right)\right),$ haciendo que el integrando dependa solo de x y y. Supongamos que $\langle x\left(t\right),y\left(t\right)\rangle ,a\le t\le b$ es una parametrización de $C^{\prime }.$ Entonces, una parametrización de C es $\langle x\left(t\right),y\left(t\right),g\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)\rangle ,a\le t\le b.$ Armados con estas parametrizaciones, la regla de la cadena y el teorema de Green, y teniendo en cuenta que P, Q y R son todas funciones de x y de y, podemos evaluar la integral de línea ${\displaystyle {\int }_C\text{F}.d\text{r}}\text{:}$

$$\begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\int }_C\text{F}.d\text{r}}& ={\displaystyle {\int }_a^b\left(P{x}^{\prime }\left(t\right)+Q{y}^{\prime }\left(t\right)+R{z}^{\prime }\left(t\right)\right)}dt\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_a^b\left[P{x}^{\prime }\left(t\right)+Q{y}^{\prime }\left(t\right)+R\left(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}\right)\right]}dt\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_a^b\left[\left(P+R\frac{\partial z}{\partial x}\right)x^{\prime }\left(t\right)+\left(Q+R\frac{\partial z}{\partial y}\right)y^{\prime }\left(t\right)\right]}dt\hfill \\ & ={\displaystyle \underset{C^{\prime }}{\int }\left(P+R\frac{\partial z}{\partial x}\right)dx+\left(Q+R\frac{\partial z}{\partial y}\right)dy}\hfill \\ & ={\displaystyle \underset{D}{\iint }\left[\frac{\partial }{\partial x}\left(Q+R\frac{\partial z}{\partial y}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(P+R\frac{\partial z}{\partial x}\right)\right]}dA\hfill \\ & =\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{D}{\iint }\begin{array}{c}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial R}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}+R\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}\right)\hfill \\ \text{−}(\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial P}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial R}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial x}+R\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x})\end{array}}\hfill \end{array}dA.\hfill \end{array}$$

Según el teorema de Clairaut, $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}.$ Por lo tanto, cuatro de los términos desaparecen de esta integral doble, y nos quedamos con

$${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left[\text{−}\left(R_y-Q_z\right)z_x-\left(P_z-R_x\right)z_y+\left(Q_x-P_y\right)\right]}dA,$$

que es igual a ${\displaystyle \underset{S}{\iint }\text{rizo}\text{F}.d\text{S}.}$

□

Hemos demostrado que el teorema de Stokes es verdadero en el caso de una función con un dominio que es una región simplemente conectada de área finita. Podemos confirmar rápidamente este teorema para otro caso importante: cuando el campo vectorial F es conservativo. Si F es conservativo, el rizo de F es cero, por lo que ${\displaystyle \underset{S}{\iint }\text{rizo}\text{F}.d\text{S}=\mathrm{0,}}$ Dado que el borde de S es una curva cerrada, ${\displaystyle {\int }_C\text{F}.d\text{r}}$ también es cero.

Ejemplo 6.73

Verificar el teorema de Stokes para un caso concreto

Compruebe que el teorema de Stokes es cierto para el campo vectorial $\text{F}\left(x,y,z\right)=\langle y,2z,x^2\rangle$ y la superficie S, donde S es el paraboloide $z=4–x^2–y^2$. Supongamos que la superficie está orientada hacia el exterior y $z\ge 0$.

Figura 6.83 Verificación del teorema de Stokes para una semiesfera en un campo vectorial.

Solución

Como integral de superficie, tiene$g(x,y)=4–x^2–y^2,g_x=\mathrm{–2}y$ y

$$\begin{array}{cc}\hfill \text{rizo}F& =\left|\begin{array}{ccc}\hfill \text{i}\hfill & \hfill \text{j}\hfill & \hfill \text{k}\hfill \\ \hfill \frac{\partial }{\partial x}\hfill & \hfill \frac{\partial }{\partial y}\hfill & \hfill \frac{\partial }{\partial z}\hfill \\ \hfill y\hfill & \hfill 2z\hfill & \hfill x^2\hfill \end{array}\right|\hfill \end{array}=⟨\mathrm{-2},\mathrm{-2}x,\mathrm{–1}⟩\text{.}$$

Por la Ecuación 6.19,

$$\begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\iint }_S\text{rizo}\text{F}.d\text{S}}& ={\displaystyle {\iint }_D\text{rizo}\text{F}\left(\text{r}\left(\varphi ,\theta \right)\right)}.\left({\text{t}}_{\varphi }\times {\text{t}}_{\theta }\right)dA\hfill \\ & ={\displaystyle {\iint }_D\langle \mathrm{–2},\mathrm{-2}x,\mathrm{-1}\rangle .\langle 2x,2y,1\rangle dA}\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^2{\displaystyle {\int }_{\sqrt{4–x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\left(\mathrm{–4}x\mathrm{-4}xy\mathrm{-1}\right)}}dydx\hfill \\ & {\displaystyle ={\int }_{\mathrm{-2}}^2\left(\mathrm{–8}x\sqrt{4–x^2}\mathrm{-2}\sqrt{4–x^2}\right)dx}\hfill \\ & {\displaystyle =\mathrm{-4}\pi }\hfill \end{array}$$

Como integral de línea, puede parametrizar C mediante $\text{r}\left(t\right)=\langle 2\text{cos}t,2\text{sen}t,0\rangle 0\le t\le 2\pi$. Por la Ecuación 6.19,

$$\begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\int }_C\text{F}.d\text{r}}& ={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{2\pi }}\langle 2\text{sen}t,0,4{\text{cos}}^{2}t\rangle .\langle \mathrm{-2}\text{sen}t,2\text{cos}t,0\rangle dt}\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{2\pi }}\mathrm{-4}{\text{sen}}^{2}tdt=\mathrm{-4}\pi }\hfill \end{array}$$

(6.22)

Por lo tanto, hemos verificado el teorema de Stokes para este ejemplo.

Punto de control 6.61

Compruebe que el teorema de Stokes es cierto para el campo vectorial $\text{F}(x,y,z)=\langle y,x,\text{−}z\rangle$ y la superficie S, donde S es la parte orientada hacia arriba de el gráfico de $f(x,y)=x^{2}y$ sobre un triángulo en el plano xy con vértices $(0,0),$ $(2,0),$ y $(0,2).$

Aplicar el teorema de Stokes

El teorema de Stokes traduce entre la integral de flujo de la superficie S a una integral de línea alrededor del borde de S. Por lo tanto, el teorema nos permite calcular integrales de superficie o de línea que ordinariamente serían bastante difíciles traduciendo la integral de línea a una integral de superficie o viceversa. A continuación estudiaremos algunos ejemplos de cada tipo de traducción.

Ejemplo 6.74

Calcular una integral de superficie

Calcule la integral de superficie ${\displaystyle {\iint }_S\text{rizo}\text{F}.d\text{S}},$ donde S es la superficie, orientada hacia el exterior, en la Figura 6.84 y $\text{F}=\langle z,2xy,x+y\rangle .$

Figura 6.84 Una superficie complicada en un campo vectorial.

Solución

Observe que para calcular ${\displaystyle {\iint }_S\text{rizo}\text{F}.d\text{S}}$ sin utilizar el teorema de Stokes, tendríamos que utilizar la Ecuación 6.19. El uso de esta ecuación requiere una parametrización de S. La superficie S es lo suficientemente complicada como para que sea extremadamente difícil hallar una parametrización. Por lo tanto, los métodos que hemos aprendido en las secciones anteriores no son útiles para este problema. En su lugar, utilizamos el teorema de Stokes, observando que el borde C de la superficie es simplemente un único círculo de radio 1.

El rizo de F es $\langle 1,1,2y\rangle .$ Por el teorema de Stokes,

$${\displaystyle {\iint }_S\text{rizo}\text{F}.d\text{S}}={\displaystyle {\int }_C\text{F}.d\text{r},}$$

donde C tiene la parametrización $r\left(t\right)=\langle \text{sen}t,0,1-\text{cos}t\rangle ,0\le t<2\pi .$ Por la Ecuación 6.9,

$$\begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\iint }_S\text{rizo}\text{F}}.d\text{S}& ={\displaystyle {\int }_C\text{F}.d\text{r}}\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\langle 1-\text{cos}t,0,-\text{sen}t\rangle .\langle -\text{cos}t,0,\text{sen}t\rangle dt}\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\left(\text{−}\text{cos}t+{\text{cos}}^{2}t-{\text{sen}}^{2}t\right)dt}\hfill \\ & ={\left[-\text{sen}t+\frac{1}{2}\text{sen}\left(2t\right)\right]}_0^{2\pi }\hfill \\ & =(-\text{sen}(2\pi )+\frac{1}{2}\text{sen}(4\pi ))-(-\text{sen}0+\frac{1}{2}\text{sen}0)\hfill \\ & =\mathrm{0,}\hfill \end{array}$$

Una consecuencia sorprendente del teorema de Stokes es que si S′ es cualquier otra superficie lisa con borde C y la misma orientación que S, entonces ${\displaystyle {\iint }_S\text{rizo}\text{F}.d\text{S}}={\displaystyle {\int }_C\text{F}.d\text{r}}=0$ porque el teorema de Stokes dice que la integral de superficie depende solo de la integral de línea alrededor del borde.

En el Ejemplo 6.74, calculamos una integral de superficie utilizando simplemente información sobre el borde de la superficie. En general, supongamos que $S_1$ y $S_2$ son superficies lisas con el mismo borde C y la misma orientación. Según el teorema de Stokes,

Por lo tanto, si ${\displaystyle {\iint }_{S_1}\text{rizo}\text{F}.d\text{S}}$ es difícil de calcular pero ${\displaystyle {\iint }_{S_2}\text{rizo}\text{F}.d\text{S}}$ es fácil de calcular, el teorema de Stokes nos permite calcular la integral de superficie más fácil. En el Ejemplo 6.74, podríamos haber calculado ${\displaystyle {\iint }_S\text{rizo}\text{F}.d\text{S}}$ calculando ${\displaystyle {\iint }_{S^{\prime }}\text{rizo}\text{F}.d\text{S}},$ donde $S^{\prime }$ es el disco encerrado por la curva de borde C (una superficie mucho más sencilla con la que trabajar).

La Ecuación 6.23 muestra que las integrales de flujo de los campos vectoriales de rizo son independientes de la superficie del mismo modo que las integrales de línea de los campos de gradiente son independientes de la trayectoria. Recordemos que si F es un campo vectorial bidimensional conservativo definido en un dominio simplemente conectado, $f$ es una función potencial para F, y C es una curva en el dominio de F, entonces ${\displaystyle {\int }_C\text{F}.d\text{r}}$ solo depende de los puntos finales de C. Por lo tanto, si C′ es cualquier otra curva con el mismo punto inicial y final que C (es decir, C′ tiene la misma orientación que C), entonces ${\displaystyle {\int }_C\text{F}.d\text{r}}={\displaystyle {\int }_{C\text{′}}\text{F}.d\text{r}}.$ En otras palabras, el valor de la integral depende solo del borde de la trayectoria, no depende realmente de la trayectoria en sí.

Análogamente, supongamos que S y S′ son superficies con el mismo borde y la misma orientación, y supongamos que G es un campo vectorial tridimensional que puede escribirse como el rizo de otro campo vectorial F (de modo que F es como un "campo potencial" de G). Por la Ecuación 6.23,

Por lo tanto, la integral de flujo de G no depende de la superficie, solo del borde de la misma. Las integrales de flujo de los campos vectoriales que pueden escribirse como el rizo de un campo vectorial son independientes de la superficie, del mismo modo que las integrales de línea de los campos vectoriales que pueden escribirse como el gradiente de una función escalar son independientes de la trayectoria.

Punto de control 6.62

Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral de superficie ${\displaystyle {\iint }_S\text{rizo}\text{F}.d\text{S}},$ donde $\text{F}=\langle z,x,y\rangle$ y S es la superficie, como se muestra en la siguiente figura. La curva de borde, C, está orientada en el sentido de las agujas del reloj cuando se mira a lo largo del eje y positivo.

Interpretación del rizo

Además de traducir entre integrales de línea y de flujo, el teorema de Stokes puede utilizarse para justificar la interpretación física del rizo que hemos aprendido. Aquí investigamos la relación entre el rizo y la circulación, y utilizamos el teorema de Stokes para enunciar la ley de Faraday, una importante ley en electricidad y magnetismo que relaciona el rizo de un campo eléctrico con la tasa de cambio de un campo magnético.

Recordemos que si C es una curva cerrada y F es un campo vectorial definido en C, entonces la circulación de F alrededor de C es integral de línea ${\displaystyle {\int }_C\text{F}.d\text{r}}.$ Si F representa el campo de velocidad de un fluido en el espacio, la circulación mide la tendencia del fluido a moverse en la dirección de C.

Supongamos que F es un campo vectorial continuo y supongamos que $D_r$ es un pequeño disco de radio r con centro $P_0$ (Figura 6.85). Si los valores de $D_r$ es lo suficientemente pequeño, entonces $(\text{rizo}\text{F})(P)\approx (\text{rizo}\text{F})(P_0)$ para todos los puntos P en $D_r$ porque el rizo es continuo. Supongamos que $C_r$ es el círculo de borde de $D_r.$ Por el teorema de Stokes,

Figura 6.85 El disco $D_r$ es un pequeño disco en un campo vectorial continuo.

La cantidad $\left(\text{rizo}\text{F}\right)\left(P_0\right).\text{N}\left(P_0\right)$ es constante y, por lo tanto,

Por lo tanto,

y la aproximación se acerca arbitrariamente a medida que el radio se reduce a cero. Por lo tanto, el teorema de Stokes implica que

Esta ecuación relaciona el rizo de un campo vectorial con la circulación. Dado que el área del disco es $\pi r^2,$ esta ecuación dice que podemos ver el rizo (en el límite) como la circulación por unidad de superficie. Recordemos que si F es el campo de velocidad de un fluido, entonces la circulación ${\displaystyle {\oint }_{C_r}\text{F}.d\text{r}}={\displaystyle {\oint }_{C_r}\text{F}.\text{T}ds}$ es una medida de la tendencia del fluido a moverse alrededor de $C_r.$ El motivo es que $\text{F}.\text{T}$ es una componente de F en la dirección de T, y cuanto más cerca esté la dirección de F de T, mayor será el valor de $\text{F}.\text{T}$ (recuerde que si a y b son vectores y b es fijo, entonces el producto escalar $\text{a}.\text{b}$ es máximo cuando a apunta en la misma dirección que b). Por lo tanto, si F es el campo de velocidad de un fluido, entonces $\text{rizo}\text{F}.\text{N}$ es una medida de cómo gira el fluido alrededor del eje N. El efecto del rizo es mayor sobre el eje que apunta en la dirección de N, porque en este caso $\text{rizo}\text{F}.\text{N}$ es lo más grande posible.

Para ver este efecto de forma más concreta, imagine que coloca una pequeña rueda de paletas en el punto $P_0$ (Figura 6.86). La rueda de paletas alcanza su rapidez máxima cuando el eje de la rueda apunta en la dirección del rizoF. Esto justifica la interpretación del rizo que hemos aprendido: el rizo es una medida de la rotación en el campo vectorial alrededor del eje que apunta en la dirección del vector normal N, y el teorema de Stokes justifica esta interpretación.

Figura 6.86 Para visualizar la curvatura en un punto, imagine que coloca una pequeña rueda de paletas en ese punto del campo vectorial.

Ahora que hemos conocido el teorema de Stokes, podemos hablar de sus aplicaciones en el ámbito del electromagnetismo. En particular, examinamos cómo podemos utilizar el teorema de Stokes para traducir entre dos formas equivalentes de la ley de Faraday. Antes de exponer las dos formas de la ley de Faraday, necesitamos algo de terminología de fondo.

Supongamos que C es una curva cerrada que modela un alambre delgado. En el contexto de los campos eléctricos, el alambre puede estar en movimiento en el tiempo, por lo que escribimos $C(t)$ para representar el alambre. En un momento dado t, la curva $C(t)$ puede ser diferente de la curva original C debido al movimiento del alambre, pero suponemos que $C(t)$ es una curva cerrada para todos los tiempos t. Supongamos que $D(t)$ es una superficie con $C(t)$ como su borde, y un orientación $C(t)$ por lo que $D(t)$ tiene una orientación positiva. Supongamos que $C(t)$ está en un campo magnético $\text{B}(t)$ que también puede cambiar con el tiempo. En otras palabras, B tiene la forma

donde P, Q y R pueden variar continuamente en el tiempo. Podemos producir corriente a lo largo del alambre cambiando el campo $\text{B}(t)$ (esto es una consecuencia de la ley de Ampere). El flujo $\varphi (t)={\displaystyle {\iint }_{D(t)}\text{B}(t).d\text{S}}$ crea un campo eléctrico $\text{E}(t)$ que sí funciona. La forma integral de la ley de Faraday establece que

En otras palabras, el trabajo realizado por E es la integral de línea alrededor del borde, que también es igual a la tasa de cambio del flujo con respecto al tiempo. La forma diferencial de la ley de Faraday establece que

Utilizando el teorema de Stokes, podemos demostrar que la forma diferencial de la ley de Faraday es una consecuencia de la forma integral. Con el teorema de Stokes, podemos convertir la integral de línea en forma integral en integral de superficie

Dado que $\varphi (t)={\displaystyle {\iint }_{D(t)}\text{B}(t).d\text{S}},$ entonces, mientras la integración de la superficie no varíe con el tiempo, también tenemos

Por lo tanto,