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Cálculo volumen 3

6.7 Teorema de Stokes

Cálculo volumen 36.7 Teorema de Stokes

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 6.7.1 Explicar el significado del teorema de Stokes.
  • 6.7.2 Utilizar el teorema de Stokes para evaluar una integral de línea.
  • 6.7.3 Utilizar el teorema de Stokes para calcular una integral de superficie.
  • 6.7.4 Utilizar el teorema de Stokes para calcular un rizo.

En esta sección, estudiamos el teorema de Stokes, una generalización de mayor dimensión del teorema de Green. Este teorema, al igual que el teorema fundamental de las integrales de línea y el teorema de Green, es una generalización del teorema fundamental del cálculo a dimensiones superiores. El teorema de Stokes relaciona una integral vectorial de superficie sobre la superficie S en el espacio con una integral de línea alrededor del borde de S. Por lo tanto, al igual que los teoremas anteriores, el teorema de Stokes puede utilizarse para reducir una integral sobre un objeto geométrico S a una integral sobre el borde de S.

Además de permitirnos traducir entre integrales de línea e integrales de superficie, el teorema de Stokes conecta los conceptos de rizo y circulación. Además, el teorema tiene aplicaciones en mecánica de fluidos y electromagnetismo. Utilizamos el teorema de Stokes para derivar la ley de Faraday, un importante resultado relacionado con los campos eléctricos.

Teorema de Stokes

El teorema de Stokes dice que podemos calcular el flujo del rizo F a través de la superficie S conociendo solo la información sobre los valores de F a lo largo del borde de S. A la inversa, podemos calcular la integral de línea del campo vectorial F a lo largo del borde de la superficie S traduciendo a una integral doble del rizo de F sobre S.

Supongamos que S es una superficie lisa orientada con el vector normal unitario N. Además, supongamos que el borde de S es una curva simple cerrada C. La orientación de S induce la orientación positiva de C si, al caminar en la dirección positiva alrededor de C con la cabeza apuntando en la dirección de N, la superficie está siempre a su izquierda. Con esta definición, podemos enunciar el teorema de Stokes.

Teorema 6.19

Teorema de Stokes

Supongamos que S es una superficie lisa, orientada y a trozos con un borde que es una curva simple cerrada C con orientación positiva (Figura 6.79). Si F es un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a S, entonces

CF.dr=SrizoF.dS.CF.dr=SrizoF.dS.
Diagrama de una superficie S en tres dimensiones. La orientación de la curva C alrededor de su borde es positiva. Se dibujan varias normales que salen de la superficie.
Figura 6.79 El teorema de Stokes relaciona la integral de flujo sobre la superficie con una integral de línea alrededor del borde de la superficie. Observe que la orientación de la curva es positiva.

Supongamos que la superficie S es una región plana en el plano xy con orientación hacia arriba. Entonces el vector normal unitario es k y la integral de superficie SrizoF.dSSrizoF.dS es en realidad la integral doble SrizoF.kdA.SrizoF.kdA. En este caso especial, el teorema de Stokes da CF.dr=SrizoF.kdA.CF.dr=SrizoF.kdA. Sin embargo, esta es la forma de flujo del teorema de Green, que nos muestra que este teorema es un caso especial del teorema de Stokes. El teorema de Green solo puede tratar superficies en un plano, pero el teorema de Stokes puede tratar superficies en un plano o en el espacio.

La demostración completa del teorema de Stokes está fuera del alcance de este texto. Vemos una explicación intuitiva de la verdad del teorema y luego vemos su demostración en el caso especial de que la superficie S es una porción de un gráfico de una función, y S, el borde de S y F son todos bastante mansos.

Prueba

En primer lugar, veremos una demostración informal del teorema. Esta demostración no es rigurosa, pero pretende dar una idea general de por qué el teorema es cierto. Supongamos que S es una superficie y supongamos que D un pequeño trozo de la superficie de forma que D no comparte ningún punto con el borde de S. Elegimos que D sea lo suficientemente pequeño como para que pueda ser aproximado por un cuadrado orientado E. Supongamos que D hereda su orientación de S, y damos a E la misma orientación. Este cuadrado tiene cuatro lados; márquelos El,El, Er,Er, Eu,Eu, y EdEd para los lados izquierdo, derecho, superior e inferior, respectivamente. En el cuadrado, podemos utilizar la forma de flujo del teorema de Green:

El+Ed+Er+EuF.dr=ErizoF.NdS=ErizoF.dS.El+Ed+Er+EuF.dr=ErizoF.NdS=ErizoF.dS.

Para aproximar el flujo en toda la superficie, sumamos los valores del flujo en los pequeños cuadrados que aproximan pequeñas partes de la superficie (Figura 6.80). Según el teorema de Green, el flujo a través de cada cuadrado de aproximación es una integral de línea sobre su borde. Supongamos que F es un cuadrado de aproximación con una orientación heredada de S y con un lado derecho ElEl (por lo que F está a la izquierda de E). Supongamos que FrFr denota el lado derecho de FF; entonces, El=Fr.El=Fr. En otras palabras, el lado derecho de FF es la misma curva que el lado izquierdo de E, solo que orientada en la dirección opuesta. Por lo tanto,

ElF.dr=FrF.dr.ElF.dr=FrF.dr.

Al sumar todos los flujos sobre todos los cuadrados que aproximan la superficie S, las integrales de línea ElF.drElF.dr y FrF.drFrF.dr se anulan entre sí. Lo mismo ocurre con las integrales de línea sobre los otros tres lados de E. Estas tres integrales de línea se cancelan con la integral de línea del lado inferior del cuadrado por encima de E, la integral de línea sobre el lado izquierdo del cuadrado a la derecha de E y la integral de línea sobre el lado superior del cuadrado por debajo de E (Figura 6.81). Después de que ocurra toda esta cancelación sobre todos los cuadrados de aproximación, las únicas integrales de línea que sobreviven son las integrales de línea sobre los lados que aproximan el borde de S. Por lo tanto, la suma de todos los flujos (que, según el teorema de Green, es la suma de todas las integrales de línea alrededor de los bordes de los cuadrados de aproximación) puede ser aproximada por una integral de línea sobre el borde de S. En el límite, como las áreas de los cuadrados de aproximación van a cero, esta aproximación se acerca arbitrariamente al flujo.

Un diagrama de una superficie S seccionada en pequeños trozos en una cuadrícula (son lo suficientemente pequeños para ser aproximados por un cuadrado E). La orientación de cada cuadrado es la misma que la de S, mostrada con flechas en sentido contrario a las agujas del reloj en cada cuadrado... Los vectores N y F se dibujan saliendo de un cuadrado.
Figura 6.80 Corte la superficie en trozos pequeños. Estos deben ser lo suficientemente pequeñas como para que se puedan aproximar a un cuadrado.
Dos diagramas marcados como A y B. A contiene dos cuadrados, F y E. Ambos tienen flechas a lo largo de los lados en sentido contrario a las agujas del reloj. El lado derecho de F está marcado F_r. Los lados izquierdo, derecho, superior e inferior de E están marcados E_l, E_r, E_u y E_d, respectivamente. B contiene cinco casillas. F y E están dibujados como en el diagrama A. Por encima, a la derecha y debajo de E hay otros tres cuadrados: G, H e I, respectivamente. Todos tienen flechas a lo largo de sus lados en sentido contrario a las agujas del reloj. El lado inferior de G está marcado G_d, el lado izquierdo de H está marcado H_l y el lado superior de I está marcado I_u.
Figura 6.81 (a) La integral de línea a lo largo de E l E l anula la integral de línea a lo largo de F r F r porque E l = F r . E l = F r . (b) La integral de línea a lo largo de cualquiera de los lados de E se cancela con la integral de línea a lo largo de un lado de un cuadrado aproximado adyacente.

Veamos ahora una demostración rigurosa del teorema en el caso especial de que S sea el gráfico de la función z=f(x,y),z=f(x,y), donde x y y varían sobre una región bordeada y simplemente conectada D de área finita (Figura 6.82). Además, supongamos que ff tiene derivadas parciales continuas de segundo orden. Supongamos que C denota el borde de S y supongamos que C′ denota el borde de D. Entonces, D es la "sombra" de S en el plano y C′ es la "sombra" de C. Supongamos que S está orientado hacia arriba. La orientación de C en sentido contrario a las agujas del reloj es positiva, al igual que la orientación de C.C. Supongamos que F(x,y,z)=P,Q,RF(x,y,z)=P,Q,R es un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas.

Diagrama de una superficie S en tres dimensiones, donde z es una función de x y y marcada como z = f(x,y). La normal N se dibuja apuntando hacia arriba y alejándose de la superficie. D es la sombra o proyección de S en el plano (x,y). La curva alrededor de S está marcada C, y C' es la proyección de C en el plano (x,y). Las flechas se dibujan en C, el borde de S, en sentido contrario a las agujas del reloj.
Figura 6.82 D es la "sombra”, o proyección, de S en el plano y C C es la proyección de C.

Tomamos la parametrización estándar de S:x=x,y=y,z=g(x,y).S:x=x,y=y,z=g(x,y). Los vectores tangentes son tx=1,0,gxtx=1,0,gx y ty=0,1,gy,ty=0,1,gy, y por lo tanto, tx×ty=gx,gy,1.tx×ty=gx,gy,1. Por la Ecuación 6.19,

SrizoF.dS=D[(RyQz)zx(PzRx)zy+(QxPy)]dA,SrizoF.dS=D[(RyQz)zx(PzRx)zy+(QxPy)]dA,

donde las derivadas parciales se evalúan todas en (x,y,g(x,y)),(x,y,g(x,y)), haciendo que el integrando dependa solo de x y y. Supongamos que x(t),y(t),atbx(t),y(t),atb es una parametrización de C.C. Entonces, una parametrización de C es x(t),y(t),g(x(t),y(t)),atb.x(t),y(t),g(x(t),y(t)),atb. Armados con estas parametrizaciones, la regla de la cadena y el teorema de Green, y teniendo en cuenta que P, Q y R son todas funciones de x y de y, podemos evaluar la integral de línea CF.dr:CF.dr:

CF.dr=ab(Px(t)+Qy(t)+Rz(t))dt=ab[Px(t)+Qy(t)+R(zxdxdt+zydydt)]dt=ab[(P+Rzx)x(t)+(Q+Rzy)y(t)]dt=C(P+Rzx)dx+(Q+Rzy)dy=D[x(Q+Rzy)y(P+Rzx)]dA=D(Qx+Qzzx+Rxzy+Rzzxzy+R2 zxy)(Py+Pzzy+Ryzx+Rzzyzx+R2 zyx)dA.CF.dr=ab(Px(t)+Qy(t)+Rz(t))dt=ab[Px(t)+Qy(t)+R(zxdxdt+zydydt)]dt=ab[(P+Rzx)x(t)+(Q+Rzy)y(t)]dt=C(P+Rzx)dx+(Q+Rzy)dy=D[x(Q+Rzy)y(P+Rzx)]dA=D(Qx+Qzzx+Rxzy+Rzzxzy+R2 zxy)(Py+Pzzy+Ryzx+Rzzyzx+R2 zyx)dA.

Según el teorema de Clairaut, 2 zxy=2 zyx.2 zxy=2 zyx. Por lo tanto, cuatro de los términos desaparecen de esta integral doble, y nos quedamos con

D[(RyQz)zx(PzRx)zy+(QxPy)]dA,D[(RyQz)zx(PzRx)zy+(QxPy)]dA,

que es igual a SrizoF.dS.SrizoF.dS.

Hemos demostrado que el teorema de Stokes es verdadero en el caso de una función con un dominio que es una región simplemente conectada de área finita. Podemos confirmar rápidamente este teorema para otro caso importante: cuando el campo vectorial F es conservativo. Si F es conservativo, el rizo de F es cero, por lo que SrizoF.dS=0,SrizoF.dS=0, Dado que el borde de S es una curva cerrada, CF.drCF.dr también es cero.

Ejemplo 6.73

Verificar el teorema de Stokes para un caso concreto

Compruebe que el teorema de Stokes es cierto para el campo vectorial F(x,y,z)=y,2 z,x2 F(x,y,z)=y,2 z,x2 y la superficie S, donde S es el paraboloide z=4x2 y2 z=4x2 y2 . Supongamos que la superficie está orientada hacia el exterior y z0z0.

Diagrama en tres dimensiones de una semiesfera en un campo vectorial. Las flechas del campo vectorial siguen la forma de la semiesfera, que se encuentra en los cuadrantes 2 y 3 del plano (x, y) y se extiende hacia arriba y hacia abajo en el plano z. El centro de la semiesfera está en el origen. La normal N se dibuja estirándose hacia arriba y alejándose del hemisferio.
Figura 6.83 Verificación del teorema de Stokes para una semiesfera en un campo vectorial.

Punto de control 6.61

Compruebe que el teorema de Stokes es cierto para el campo vectorial F(x,y,z)=y,x,zF(x,y,z)=y,x,z y la superficie S, donde S es la parte orientada hacia arriba de el gráfico de f(x,y)=x2 yf(x,y)=x2 y sobre un triángulo en el plano xy con vértices (0,0),(0,0), (2 ,0),(2 ,0), y (0,2 ).(0,2 ).

Aplicar el teorema de Stokes

El teorema de Stokes traduce entre la integral de flujo de la superficie S a una integral de línea alrededor del borde de S. Por lo tanto, el teorema nos permite calcular integrales de superficie o de línea que ordinariamente serían bastante difíciles traduciendo la integral de línea a una integral de superficie o viceversa. A continuación estudiaremos algunos ejemplos de cada tipo de traducción.

Ejemplo 6.74

Calcular una integral de superficie

Calcule la integral de superficie SrizoF.dS,SrizoF.dS, donde S es la superficie, orientada hacia el exterior, en la Figura 6.84 y F=z,2 xy,x+y.F=z,2 xy,x+y.

Diagrama de una superficie complicada S en un campo vectorial tridimensional. La superficie es un tubo cilíndrico que se retuerce en el espacio tridimensional de forma arbitraria. El extremo superior del tubo es un círculo abierto que conduce al interior del tubo. Está centrado en el eje z a una altura de z = 1 y tiene un radio de 1. El extremo inferior del tubo se cierra con un tapón semiesférico en el extremo. Las flechas vectoriales se describen mejor por sus componentes. La componente x es positiva en todas partes y se hace más grande a medida que aumenta z. La componente y es positiva en el primer y tercer octante y negativa en los otros dos. La componente z es cero cuando y = x y se vuelve más positiva con valores x y y más positivos y más negativos en la otra dirección.
Figura 6.84 Una superficie complicada en un campo vectorial.

Una consecuencia sorprendente del teorema de Stokes es que si S′ es cualquier otra superficie lisa con borde C y la misma orientación que S, entonces SrizoF.dS=CF.dr=0SrizoF.dS=CF.dr=0 porque el teorema de Stokes dice que la integral de superficie depende solo de la integral de línea alrededor del borde.

En el Ejemplo 6.74, calculamos una integral de superficie utilizando simplemente información sobre el borde de la superficie. En general, supongamos que S1S1 y S2 S2 son superficies lisas con el mismo borde C y la misma orientación. Según el teorema de Stokes,

S1rizoF.dS=CF.dr=S2 rizoF.dS.S1rizoF.dS=CF.dr=S2 rizoF.dS.
(6.23)

Por lo tanto, si S1rizoF.dSS1rizoF.dS es difícil de calcular pero S2 rizoF.dSS2 rizoF.dS es fácil de calcular, el teorema de Stokes nos permite calcular la integral de superficie más fácil. En el Ejemplo 6.74, podríamos haber calculado SrizoF.dSSrizoF.dS calculando SrizoF.dS,SrizoF.dS, donde SS es el disco encerrado por la curva de borde C (una superficie mucho más sencilla con la que trabajar).

La Ecuación 6.23 muestra que las integrales de flujo de los campos vectoriales de rizo son independientes de la superficie del mismo modo que las integrales de línea de los campos de gradiente son independientes de la trayectoria. Recordemos que si F es un campo vectorial bidimensional conservativo definido en un dominio simplemente conectado, ff es una función potencial para F, y C es una curva en el dominio de F, entonces CF.drCF.dr solo depende de los puntos finales de C. Por lo tanto, si C′ es cualquier otra curva con el mismo punto inicial y final que C (es decir, C′ tiene la misma orientación que C), entonces CF.dr=CF.dr.CF.dr=CF.dr. En otras palabras, el valor de la integral depende solo del borde de la trayectoria, no depende realmente de la trayectoria en sí.

Análogamente, supongamos que S y S′ son superficies con el mismo borde y la misma orientación, y supongamos que G es un campo vectorial tridimensional que puede escribirse como el rizo de otro campo vectorial F (de modo que F es como un "campo potencial" de G). Por la Ecuación 6.23,

SG.dS=SrizoF.dS=CF.dr=SrizoF.dS=SG.dS.SG.dS=SrizoF.dS=CF.dr=SrizoF.dS=SG.dS.

Por lo tanto, la integral de flujo de G no depende de la superficie, solo del borde de la misma. Las integrales de flujo de los campos vectoriales que pueden escribirse como el rizo de un campo vectorial son independientes de la superficie, del mismo modo que las integrales de línea de los campos vectoriales que pueden escribirse como el gradiente de una función escalar son independientes de la trayectoria.

Punto de control 6.62

Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral de superficie SrizoF.dS,SrizoF.dS, donde F=z,x,yF=z,x,y y S es la superficie, como se muestra en la siguiente figura. La curva de borde, C, está orientada en el sentido de las agujas del reloj cuando se mira a lo largo del eje y positivo.

Un diagrama tridimensional de una superficie. Un extremo es un círculo abierto de radio 1 centrado en el origen. Está en el plano (x, z). El resto de la superficie se extiende simétricamente sobre el eje y. La superficie se estrecha ligeramente, se abre en una esfera, se vuelve a estrechar y termina en otra esfera. Parece un jarrón tumbado de lado con un extremo circular abierto, un cuerpo grande y esférico y una base esférica de tamaño medio.

Ejemplo 6.75

Calcular una integral de línea

Calcule la integral de línea CF.dr,CF.dr, donde F=xy,x2 +y2 +z2 ,yzF=xy,x2 +y2 +z2 ,yz y C es el borde del paralelogramo con vértices (0,0,1),(0,1,0),(2 ,0,–1),(0,0,1),(0,1,0),(2 ,0,–1), y (2 ,1,–2).(2 ,1,–2).

Punto de control 6.63

Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral de línea CF.dr,CF.dr, donde F=z,x,yF=z,x,y y C está orientado en el sentido de las agujas del reloj y es el borde de un triángulo con vértices (0,0,1),(3,0,–2),(0,0,1),(3,0,–2), y (0,1,2 ).(0,1,2 ).

Interpretación del rizo

Además de traducir entre integrales de línea y de flujo, el teorema de Stokes puede utilizarse para justificar la interpretación física del rizo que hemos aprendido. Aquí investigamos la relación entre el rizo y la circulación, y utilizamos el teorema de Stokes para enunciar la ley de Faraday, una importante ley en electricidad y magnetismo que relaciona el rizo de un campo eléctrico con la tasa de cambio de un campo magnético.

Recordemos que si C es una curva cerrada y F es un campo vectorial definido en C, entonces la circulación de F alrededor de C es integral de línea CF.dr.CF.dr. Si F representa el campo de velocidad de un fluido en el espacio, la circulación mide la tendencia del fluido a moverse en la dirección de C.

Supongamos que F es un campo vectorial continuo y supongamos que DrDr es un pequeño disco de radio r con centro P0P0 (Figura 6.85). Si los valores de DrDr es lo suficientemente pequeño, entonces (rizoF)(P)(rizoF)(P0)(rizoF)(P)(rizoF)(P0) para todos los puntos P en DrDr porque el rizo es continuo. Supongamos que CrCr es el círculo de borde de Dr.Dr. Por el teorema de Stokes,

CrF.dr=DrrizoF.NdSDr(rizoF)(P0).N(P0)dS.CrF.dr=DrrizoF.NdSDr(rizoF)(P0).N(P0)dS.
Un disco D_r es un pequeño disco en un campo vectorial continuo en tres dimensiones. El radio del disco se marca como r, y el centro como P_0. Las flechas parecen tener componentes x negativos, componentes y ligeramente positivos y componentes z positivos que se hacen más grandes a medida que z se hace más grande.
Figura 6.85 El disco D r D r es un pequeño disco en un campo vectorial continuo.

La cantidad (rizoF)(P0).N(P0)(rizoF)(P0).N(P0) es constante y, por lo tanto,

Dr(rizoF)(P0).N(P0)dS=πr2 [(rizoF)(P0).N(P0)].Dr(rizoF)(P0).N(P0)dS=πr2 [(rizoF)(P0).N(P0)].

Por lo tanto,

CrF.drπr2 [(rizoF)(P0).N(P0)],CrF.drπr2 [(rizoF)(P0).N(P0)],

y la aproximación se acerca arbitrariamente a medida que el radio se reduce a cero. Por lo tanto, el teorema de Stokes implica que

(rizoF)(P0).N(P0)=límr0+1πr2 CrF.dr.(rizoF)(P0).N(P0)=límr0+1πr2 CrF.dr.

Esta ecuación relaciona el rizo de un campo vectorial con la circulación. Dado que el área del disco es πr2 ,πr2 , esta ecuación dice que podemos ver el rizo (en el límite) como la circulación por unidad de superficie. Recordemos que si F es el campo de velocidad de un fluido, entonces la circulación CrF.dr=CrF.TdsCrF.dr=CrF.Tds es una medida de la tendencia del fluido a moverse alrededor de Cr.Cr. El motivo es que F.TF.T es una componente de F en la dirección de T, y cuanto más cerca esté la dirección de F de T, mayor será el valor de F.TF.T (recuerde que si a y b son vectores y b es fijo, entonces el producto escalar a.ba.b es máximo cuando a apunta en la misma dirección que b). Por lo tanto, si F es el campo de velocidad de un fluido, entonces rizoF.NrizoF.N es una medida de cómo gira el fluido alrededor del eje N. El efecto del rizo es mayor sobre el eje que apunta en la dirección de N, porque en este caso rizoF.NrizoF.N es lo más grande posible.

Para ver este efecto de forma más concreta, imagine que coloca una pequeña rueda de paletas en el punto P0P0 (Figura 6.86). La rueda de paletas alcanza su rapidez máxima cuando el eje de la rueda apunta en la dirección del rizoF. Esto justifica la interpretación del rizo que hemos aprendido: el rizo es una medida de la rotación en el campo vectorial alrededor del eje que apunta en la dirección del vector normal N, y el teorema de Stokes justifica esta interpretación.

Un diagrama de una pequeña rueda de paletas en el agua. Un segmento se estira hacia arriba fuera de su centro, y este tiene una flecha marcada como rizo v. Las flechas rojas se dibujan para mostrar la rotación de la rueda en sentido contrario a las agujas del reloj.
Figura 6.86 Para visualizar la curvatura en un punto, imagine que coloca una pequeña rueda de paletas en ese punto del campo vectorial.

Ahora que hemos conocido el teorema de Stokes, podemos hablar de sus aplicaciones en el ámbito del electromagnetismo. En particular, examinamos cómo podemos utilizar el teorema de Stokes para traducir entre dos formas equivalentes de la ley de Faraday. Antes de exponer las dos formas de la ley de Faraday, necesitamos algo de terminología de fondo.

Supongamos que C es una curva cerrada que modela un alambre delgado. En el contexto de los campos eléctricos, el alambre puede estar en movimiento en el tiempo, por lo que escribimos C(t)C(t) para representar el alambre. En un momento dado t, la curva C(t)C(t) puede ser diferente de la curva original C debido al movimiento del alambre, pero suponemos que C(t)C(t) es una curva cerrada para todos los tiempos t. Supongamos que D(t)D(t) es una superficie con C(t)C(t) como su borde, y un orientación C(t)C(t) por lo que D(t)D(t) tiene una orientación positiva. Supongamos que C(t)C(t) está en un campo magnético B(t)B(t) que también puede cambiar con el tiempo. En otras palabras, B tiene la forma

B(x,y,z)=P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),B(x,y,z)=P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),

donde P, Q y R pueden variar continuamente en el tiempo. Podemos producir corriente a lo largo del alambre cambiando el campo B(t)B(t) (esto es una consecuencia de la ley de Ampere). El flujo ϕ(t)=D(t)B(t).dSϕ(t)=D(t)B(t).dS crea un campo eléctrico E(t)E(t) que sí funciona. La forma integral de la ley de Faraday establece que

Trabajo=C(t)E(t).dr=ϕt.Trabajo=C(t)E(t).dr=ϕt.

En otras palabras, el trabajo realizado por E es la integral de línea alrededor del borde, que también es igual a la tasa de cambio del flujo con respecto al tiempo. La forma diferencial de la ley de Faraday establece que

rizoE=Bt.rizoE=Bt.

Utilizando el teorema de Stokes, podemos demostrar que la forma diferencial de la ley de Faraday es una consecuencia de la forma integral. Con el teorema de Stokes, podemos convertir la integral de línea en forma integral en integral de superficie

ϕt=C(t)E(t).dr=D(t)rizoE(t).dS.ϕt=C(t)E(t).dr=D(t)rizoE(t).dS.

Dado que ϕ(t)=D(t)B(t).dS,ϕ(t)=D(t)B(t).dS, entonces, mientras la integración de la superficie no varíe con el tiempo, también tenemos

ϕt=D(t)Bt.dS.ϕt=D(t)Bt.dS.

Por lo tanto,

D(t)Bt.dS=D(t)rizoE.dS.D(t)Bt.dS=D(t)rizoE.dS.

Para derivar la forma diferencial de la ley de Faraday, queremos concluir que rizoE=Bt.rizoE=Bt. En general, la ecuación

D(t)Bt.dS=D(t)rizoE.dSD(t)Bt.dS=D(t)rizoE.dS

no es suficiente para concluir que rizoE=Bt.rizoE=Bt. Los símbolos de la integral no se "cancelan" simplemente, dejando la igualdad de los integrados. Para ver por qué el símbolo de la integral no se cancela en general, considere las dos integrales de una sola variable 01xdx01xdx y 01f(x)dx,01f(x)dx, donde

f(x)={0,1/2 x11,0x1/2 f(x)={0,1/2 x11,0x1/2

Ambas integrales son iguales a 12 ,12 , por lo que 01xdx=01f(x)dx.01xdx=01f(x)dx. Sin embargo, el que xf(x).xf(x). Análogamente, con nuestra ecuación D(t)Bt.dS=D(t)rizoE.dS,D(t)Bt.dS=D(t)rizoE.dS, no podemos concluir simplemente que rizoE=BtrizoE=Bt solo porque sus integrales son iguales. Sin embargo, en nuestro contexto, la ecuación D(t)Bt.dS=D(t)rizoE.dSD(t)Bt.dS=D(t)rizoE.dS es cierto para cualquier región, por pequeña que sea (esto contrasta con las integrales de una sola variable que acabamos de discutir). Si F y G son campos vectoriales tridimensionales tales que sF.dS=sG.dSsF.dS=sG.dS para cualquier superficie S, entonces es posible demostrar que F=GF=G reduciendo el área de S a cero tomando un límite (cuanto menor sea el área de S, más se acercará el valor de sF.dSsF.dS al valor de F en un punto dentro de S). Por lo tanto, podemos dejar que el área D(t)D(t) se reduzca a cero tomando un límite y se obtiene la forma diferencial de la ley de Faraday:

rizoE=Bt.rizoE=Bt.

En el contexto de los campos eléctricos, el rizo del campo eléctrico puede interpretarse como el negativo de la tasa de cambio del campo magnético correspondiente con respecto al tiempo.

Ejemplo 6.76

Usar la Ley de Faraday

Calcule el rizo del campo eléctrico E si el campo magnético correspondiente es un campo constante B(t)=1,−4,2 .B(t)=1,−4,2 .

Análisis

Una consecuencia de la ley de Faraday es que el rizo del campo eléctrico correspondiente a un campo magnético constante es siempre cero.

Punto de control 6.64

Calcule el rizo del campo eléctrico E si el campo magnético correspondiente es B(t)=tx,ty,−2tz,0t<.B(t)=tx,ty,−2tz,0t<.

Observe que el rizo del campo eléctrico no cambia con el tiempo, aunque el campo magnético sí lo hace.

Sección 6.7 ejercicios

En los siguientes ejercicios, sin utilizar el teorema de Stokes, calcule directamente tanto el flujo de rizoF.NrizoF.N sobre la superficie dada y la integral de circulación alrededor de su borde, suponiendo que todos los bordes están orientados en el sentido de las agujas del reloj vistos desde arriba.

326.

F(x,y,z)=y2 i+z2 j+x2 k;F(x,y,z)=y2 i+z2 j+x2 k; S es la porción del primer octante del plano x+y+z=1.x+y+z=1.

327.

F(x,y,z)=zi+xj+yk;F(x,y,z)=zi+xj+yk; S es el hemisferio z=(a2 x2 y2 )1/2 .z=(a2 x2 y2 )1/2 .

328.

F(x,y,z)=y2 i+2 xj+5k;F(x,y,z)=y2 i+2 xj+5k; S es el hemisferio z=(4x2 y2 )1/2 .z=(4x2 y2 )1/2 .

329.

F(x,y,z)=zi+2 xj+3yk;F(x,y,z)=zi+2 xj+3yk; S es el hemisferio superior z=9x2 y2 .z=9x2 y2 .

330.

F(x,y,z)=(x+2 z)i+(yx)j+(zy)k;F(x,y,z)=(x+2 z)i+(yx)j+(zy)k; S es una región triangular con vértices (3, 0, 0), (0, 3/2, 0) y (0, 0, 3).

331.

F(x,y,z)=2 yi6zj+3xk;F(x,y,z)=2 yi6zj+3xk; S es una porción del paraboloide z=4x2 y2 z=4x2 y2 y está por encima del plano xy.

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de Stokes para evaluar S(rizoF.N)dSS(rizoF.N)dS para los campos vectoriales y la superficie.

332.

F(x,y,z)=xyizjF(x,y,z)=xyizj y S es la superficie del cubo 0x1,0y1,0z1,0x1,0y1,0z1, excepto en la cara donde z=0,z=0, y utilizando el vector normal unitario que está hacia afuera.

333.

F(x,y,z)=xyi+x2 j+z2 k;F(x,y,z)=xyi+x2 j+z2 k; y C es la intersección del paraboloide z=x2 +y2 z=x2 +y2 y el plano z=y,z=y, y utilizando el vector normal que está hacia afuera.

334.

F(x,y,z)=4yi+zj+2 ykF(x,y,z)=4yi+zj+2 yk y C es la intersección de la esfera x2 +y2 +z2 =4x2 +y2 +z2 =4 con el plano z=0,z=0, y utilizando el vector normal que está hacia afuera

335.

Utilice el teorema de Stokes para evaluar C[2 xy2 zdx+2 x2 yzdy+(x2 y2 2 z)dz],C[2 xy2 zdx+2 x2 yzdy+(x2 y2 2 z)dz], donde C es la curva dada por x=cost,y=sent,z=sent,0t2 π,x=cost,y=sent,z=sent,0t2 π, recorrida en la dirección de aumento de t.

Un campo vectorial en un espacio tridimensional. Las flechas son más grandes cuanto más lejos están del plano x, y. Las flechas se curvan hacia arriba desde abajo del plano x y, y ligeramente por encima de él. El resto tiende a curvarse hacia abajo y horizontalmente. Se dibuja una curva ovalada en el centro del espacio.
336.

[T] Utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) y el teorema de Stokes para aproximar la integral de línea C(ydx+zdy+xdz),C(ydx+zdy+xdz), donde C es la intersección del plano x+y=2 x+y=2 y superficie x2 +y2 +z2 =2 (x+y),x2 +y2 +z2 =2 (x+y), recorridos en sentido contrario a las agujas del reloj visto desde el origen.

337.

[T] Utilice un CAS y el teorema de Stokes para aproximar la integral de línea C(3ydx+2 zdy5xdz),C(3ydx+2 zdy5xdz), donde C es la intersección del plano xy, y la semiesfera z=1x2 y2 ,z=1x2 y2 , atravesada en sentido contrario a las agujas del reloj visto desde arriba, es decir, desde el eje z positivo hacia el plano xy.

338.

T] Utilice un CAS y el teorema de Stokes para aproximar la integral de línea C[(1+y)zdx+(1+z)xdy+(1+x)ydz],C[(1+y)zdx+(1+z)xdy+(1+x)ydz], donde C es un triángulo con vértices (1,0,0),(1,0,0), (0,1,0),(0,1,0), y (0,0,1)(0,0,1) orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

339.

Utilice el teorema de Stokes para evaluar SrizoF.dS,SrizoF.dS, donde F(x,y,z)=exycoszi+x2 zj+xyk,F(x,y,z)=exycoszi+x2 zj+xyk, y S es la mitad de la esfera x=1y2 z2 ,x=1y2 z2 , orientado hacia el eje x positivo.

340.

[T] Utilice un CAS y el teorema de Stokes para evaluar S(rizoF.N)dS,S(rizoF.N)dS, donde F(x,y,z)=x2 yi+xy2 j+z3kF(x,y,z)=x2 yi+xy2 j+z3k y C es la curva de intersección del plano 3x+2 y+z=63x+2 y+z=6 y el cilindro x2 +y2 =4,x2 +y2 =4, orientado en el sentido de las agujas del reloj cuando se ve desde arriba.

341.

T] Utilice un CAS y el teorema de Stokes para evaluar SrizoF.dS,SrizoF.dS, donde F(x,y,z)=(sen(y+z)yx2 y33)i+xcos(y+z)j+cos(2 y)kF(x,y,z)=(sen(y+z)yx2 y33)i+xcos(y+z)j+cos(2 y)k y S está formado por la parte superior y las cuatro caras pero no por la parte inferior del cubo con vértices (±1,±1,±1),(±1,±1,±1), orientado hacia el exterior.

342.

[T] Utilice un CAS y el teorema de Stokes para evaluar SrizoF.dS,SrizoF.dS, donde F(x,y,z)=z2 i3xyj+x3y3kF(x,y,z)=z2 i3xyj+x3y3k y S es la parte superior de z=5x2 y2 z=5x2 y2 sobre el plano z=1,z=1, y S está orientada hacia arriba.

343.

Utilice el teorema de Stokes para evaluar S(rizoF.N)dS,S(rizoF.N)dS, donde F(x,y,z)=z2 i+y2 j+xkF(x,y,z)=z2 i+y2 j+xk y S es un triángulo con vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) con orientación contraria a las agujas del reloj.

344.

Utilizar el teorema de Stokes para evaluar la integral de línea C(zdx+xdy+ydz),C(zdx+xdy+ydz), donde C es un triángulo con los vértices (3, 0, 0), (0, 0, 2) y (0, 6, 0) recorridos en el orden dado.

345.

Utilice el teorema de Stokes para evaluar C(12 y2 dx+zdy+xdz),C(12 y2 dx+zdy+xdz), donde C es la curva de intersección del plano x+z=1x+z=1 y el elipsoide x2 +2 y2 +z2 =1,x2 +2 y2 +z2 =1, orientado en el sentido de las agujas del reloj desde el origen.

Diagrama de un plano de intersección y un elipsoide en un espacio tridimensional. Hay una curva anaranjada dibujada para mostrar la intersección.
346.

Utilice el teorema de Stokes para evaluar S(rizoF.N)dS,S(rizoF.N)dS, donde F(x,y,z)=xi+y2 j+zexykF(x,y,z)=xi+y2 j+zexyk y S es la parte de la superficie z=1x2 2 y2 z=1x2 2 y2 con la z0,z0, orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

347.

Utilice el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x,y,z)=zi+3xj+2 zkF(x,y,z)=zi+3xj+2 zk donde S es la superficie z=1x2 y2 ,z0,z=1x2 y2 ,z0, C es el círculo de borde x2 +y2 =1,x2 +y2 =1, y S está orientado en la dirección z positiva.

348.

Utilice el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x,y,z)=32 y2 i2 xyj+yzk,F(x,y,z)=32 y2 i2 xyj+yzk, donde S es la parte de la superficie del plano x+y+z=1x+y+z=1 contenida en el triángulo C con vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj vista desde arriba.

349.

Se sabe que una trayectoria cerrada C determinada en el plano 2 x+2 y+z=12 x+2 y+z=1 se proyecta sobre el círculo unitario x2 +y2 =1x2 +y2 =1 en el plano xy. Supongamos que c es una constante y supongamos que R(x,y,z)=xi+yj+zk.R(x,y,z)=xi+yj+zk. Utilice el teorema de Stokes para evaluar C(ck×R).dS.C(ck×R).dS.

350.

Utilizar el teorema de Stokes y supongamos que C es el borde de la superficie z=x2 +y2 z=x2 +y2 con la 0x2 0x2 y 0y1,0y1, orientado con una normal que apunta hacia arriba. Defina

F ( x , y , z ) = [ sen ( x 3 ) + x z ] i + ( x y z ) j + cos ( z 4 ) k y evalúe C F . d S . F ( x , y , z ) = [ sen ( x 3 ) + x z ] i + ( x y z ) j + cos ( z 4 ) k y evalúe C F . d S .
351.

Supongamos que S es la semiesfera x2 +y2 +z2 =4x2 +y2 +z2 =4 con la z0,z0, orientado hacia arriba. Supongamos que F(x,y,z)=x2 eyzi+y2 exzj+z2 exykF(x,y,z)=x2 eyzi+y2 exzj+z2 exyk es un campo vectorial. Utilice el teorema de Stokes para evaluar SrizoF.dS.SrizoF.dS.

352.

Supongamos que F(x,y,z)=xyi+(ez2 +y)j+(x+y)kF(x,y,z)=xyi+(ez2 +y)j+(x+y)k y supongamos que S es el gráfico de la función y=x2 9+z2 91y=x2 9+z2 91 con la y0y0 orientado de forma que el vector normal S tenga una componente positiva en y. Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral SrizoF.dS.SrizoF.dS.

353.

Utilice el teorema de Stokes para evaluar F.dS,F.dS, donde F(x,y,z)=yi+zj+xkF(x,y,z)=yi+zj+xk y C es un triángulo con vértices (0, 0, 0), (2, 0, 0) y (0,–2,2 )(0,–2,2 ) orientado en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se ve desde arriba.

354.

Utilice la integral de superficie en el teorema de Stokes para calcular la circulación del campo F, F(x,y,z)=x2 y3i+j+zkF(x,y,z)=x2 y3i+j+zk alrededor de C, que es la intersección del cilindro x2 +y2 =4x2 +y2 =4 y hemisferio x2 +y2 +z2 =16,z0,x2 +y2 +z2 =16,z0, orientado en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se ve desde arriba.

Diagrama en tres dimensiones de un campo vectorial y la intersección de un cilindro y una semiesfera. Las flechas son horizontales y tienen componentes x negativas para componentes y negativas, y tienen componentes x positivas para componentes y positivas. La curva de intersección entre la semiesfera y el cilindro está dibujada en azul.
355.

Utilice el teorema de Stokes para calcular SrizoF.dS,SrizoF.dS, donde F(x,y,z)=i+xy2 j+xy2 kF(x,y,z)=i+xy2 j+xy2 k y S es una parte del plano y+z=2 y+z=2 dentro del cilindro x2 +y2 =1x2 +y2 =1 y orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

Diagrama de un campo vectorial en un espacio tridimensional que muestra la intersección de un plano y un cilindro. La curva donde se cruzan el plano y el cilindro se dibuja en azul.
356.

Utilice el teorema de Stokes para evaluar SrizoF.dS,SrizoF.dS, donde F(x,y,z)=y2 i+xj+z2 kF(x,y,z)=y2 i+xj+z2 k y S es la parte del plano x+y+z=1x+y+z=1 en el octante positivo y orientado en sentido contrario a las agujas del reloj x0,y0,z0.x0,y0,z0.

357.

Supongamos que F(x,y,z)=xyi+2 zj2 ykF(x,y,z)=xyi+2 zj2 yk y supongamos que C es la intersección del plano x+z=5x+z=5 y el cilindro x2 +y2 =9,x2 +y2 =9, que se orienta en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se mira desde arriba. Calcule la integral de línea de F sobre C utilizando el teorema de Stokes.

358.

[T] Utilice un CAS y supongamos que F(x,y,z)=xy2 i+(yzx)j+eyxzk.F(x,y,z)=xy2 i+(yzx)j+eyxzk. Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral de superficie del rizo F sobre la superficie S con orientación hacia el interior que consiste en un cubo [0,1]×[0,1]×[0,1][0,1]×[0,1]×[0,1] sin el lado derecho.

359.

Supongamos que S es un elipsoide x2 4+y2 9+z2 =1x2 4+y2 9+z2 =1 orientado en sentido contrario a las agujas del reloj y supongamos que F es un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas.srizo F.nsrizo F.n

360.

Supongamos que S es la parte del paraboloide z=9x2 y2 z=9x2 y2 con la z0.z0. Verifique el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x,y,z)=3zi+4xj+2 yk.F(x,y,z)=3zi+4xj+2 yk.

361.

T] Utilice un CAS y el teorema de Stokes para evaluar CF.dS,CF.dS, si F(x,y,z)=(3zsenx)i+(x2 +ey)j+(y3cosz)k,F(x,y,z)=(3zsenx)i+(x2 +ey)j+(y3cosz)k, donde C es la curva dada por x=cost,y=sent,z=1;0t2 π.x=cost,y=sent,z=1;0t2 π.

362.

T] Utilice un CAS y el teorema de Stokes para evaluar F(x,y,z)=2 yi+ezjarctanxkF(x,y,z)=2 yi+ezjarctanxk con S como porción de paraboloide z=4x2 y2 z=4x2 y2 cortado por el plano xy orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

363.

[T] Utilice un CAS para evaluar Srizo (F).dS,Srizo (F).dS, donde F(x,y,z)=2 zi+3xj+5ykF(x,y,z)=2 zi+3xj+5yk y S es la superficie parametrizada por r(r,θ)=rcosθi+rsenθj+(4r2 )kr(r,θ)=rcosθi+rsenθj+(4r2 )k (0θ2 π,0r3).(0θ2 π,0r3).

364.

Supongamos que S es un paraboloide z=a(1x2 y2 ),z=a(1x2 y2 ), por z0,z0, donde a>0a>0 es un número real. Supongamos que F=xy,y+z,zx.F=xy,y+z,zx. ¿Para qué valor(es) de a (si lo[s] hay) tiene S(×F).ndSS(×F).ndS su valor máximo?

En los siguientes ejercicios de aplicación, el objetivo es evaluar A=S(×F).ndS,A=S(×F).ndS, donde F=xz,xz,xyF=xz,xz,xy y S es la mitad superior del elipsoide x2 +y2 +8z2 =1,dondez0.x2 +y2 +8z2 =1,dondez0.

365.

Evalúe una integral de superficie sobre una superficie más conveniente para hallar el valor de A.

366.

Evalúe A mediante una integral de línea.

367.

Tome el paraboloide z=x2 +y2 ,z=x2 +y2 , para 0z4,0z4, y córtelo con el plano y=0.y=0. Supongamos que S es la superficie que queda para y0,y0, incluyendo la superficie plana en el plano xz. Supongamos que C es el semicírculo y el segmento de línea que limitan el tope de S en el plano z=4z=4 con orientación contraria a las agujas del reloj. Supongamos que F=2 z+y,2 x+z,2 y+x.F=2 z+y,2 x+z,2 y+x. Evalúe S(×F).ndS.S(×F).ndS.

Diagrama de un campo vectorial en un espacio tridimensional donde se cruzan un paraboloide con vértice en el origen, el plano en y=0 y el plano en z=4. La superficie restante es la mitad de un paraboloide bajo z=4 y sobre y=0.

En los siguientes ejercicios, supongamos que S es el disco delimitado por la curva

C:r(t)=cosφcost,sent,senφcost,C:r(t)=cosφcost,sent,senφcost, para 0t2 π,0t2 π, donde 0φπ2 0φπ2 es un ángulo fijo.

368.

¿Cuál es la longitud de C en términos de φ?φ?

369.

¿Cuál es la circulación de C del campo vectorial F=y,z,xF=y,z,x en función de φ?φ?

370.

¿Para qué valor de φφ la circulación es máxima?

371.

El círculo C en el plano x+y+z=8x+y+z=8 tiene radio 4 y centro (2, 3, 3). Evalúe CF.drCF.dr por F=0,z,2 y,F=0,z,2 y, donde C tiene una orientación contraria a las agujas del reloj cuando se ve desde arriba.

372.

El campo de velocidad v=0,1x2 ,0,v=0,1x2 ,0, por |x|1y|z|1,|x|1y|z|1, representa un flujo horizontal en la dirección y. Calcule el rizo de v en una rotación en el sentido de las agujas del reloj.

373.

Evalúe la integral S(×F).ndS,S(×F).ndS, donde F=xzi+yzj+xyezkF=xzi+yzj+xyezk y S es el tope del paraboloide z=5x2 y2 z=5x2 y2 sobre el plano z=3,z=3, y n puntos en la dirección z positiva en S.

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de Stokes para hallar la circulación de los siguientes campos vectoriales alrededor de cualquier curva cerrada, suave y simple C.

374.

F=(xsenyez)F=(xsenyez) grandes.

375.

F = y 2 z 3 , z 2 x y z 3 , 3 x y 2 z 2 F = y 2 z 3 , z 2 x y z 3 , 3 x y 2 z 2

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