6.8 El teorema de la divergencia

Resumen de los teoremas

Antes de examinar el teorema de la divergencia, es útil comenzar con una visión general de las versiones del teorema fundamental del cálculo que hemos discutido:

1. Teorema fundamental del cálculo
   
   $${\displaystyle {\int }_a^b{f}^{\prime }\left(x\right)dx=f\left(b\right)-f\left(a\right)}.$$
   
   Este teorema relaciona la integral de la derivada $f^{\prime }$ sobre el segmento de línea $\left[a,b\right]$ a lo largo del eje x a una diferencia de $f$ evaluada en el borde.
2. Teorema fundamental de las integrales de línea
   
   $${\displaystyle {\int }_C\nabla f.d\text{r}=f\left(P_1\right)-f\left(P_0\right)},$$
   
   donde $P_0$ es el punto inicial de C y $P_1$ es el punto terminal de C. Este teorema permite que la trayectoria C sea una trayectoria en un plano o en el espacio, no solo un segmento de línea en el eje x. Si pensamos en el gradiente como una derivada, entonces este teorema relaciona una integral de derivada $\nabla f$ sobre el camino C a una diferencia de $f$ evaluado en el borde de C.
3. Teorema de Green, forma de circulación
   
   $${\displaystyle {\iint }_D(Q_x-P_y)dA}={\displaystyle {\int }_C\text{F}.d\text{r}}.$$
   
   Dado que $Q_x-P_y=\text{rizo}\text{F}.\text{k}$ y el rizo es una especie de derivada, el teorema de Green relaciona la integral de la derivada rizoF sobre la región planar D con una integral deF sobre el borde de D.
4. Teorema de Green, forma de flujo
   
   $${\displaystyle {\iint }_D(P_x+Q_y)dA}={\displaystyle {\int }_C\text{F}.\text{N}ds}.$$
   
   Dado que $P_x+Q_y=\text{div}\text{F}$ y la divergencia es una especie de derivada, la forma de flujo del teorema de Green relaciona la integral de la derivada divF sobre la región planar D con una integral de F sobre el borde de D.
5. Teorema de Stokes
   
   $${\displaystyle {\iint }_S\text{rizo}\text{F}.d\text{S}}={\displaystyle {\int }_C\text{F}.d\text{r}}.$$
   
   Si pensamos en el rizo como una especie de derivada, entonces el teorema de Stokes relaciona la integral de la derivada rizoF sobre la superficie S (no necesariamente plana) con una integral de F sobre el borde de S.

Enunciar el teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia sigue el patrón general de estos otros teoremas. Si pensamos en la divergencia como una especie de derivada, entonces el teorema de la divergencia relaciona una integral triple de la derivada divF sobre un sólido con una integral de flujo de F sobre el borde del sólido. Más concretamente, el teorema de la divergencia relaciona una integral de flujo del campo vectorial F sobre una superficie cerrada S con una integral triple de la divergencia de F sobre el sólido encerrado por S.

Recuerde que la forma de flujo del teorema de Green establece que ${\displaystyle {\iint }_D\text{div}\text{F}dA={\displaystyle {\int }_C\text{F}.\text{N}ds}}.$ Por lo tanto, el teorema de la divergencia es una versión del teorema de Green en una dimensión superior.

La demostración del teorema de la divergencia está fuera del alcance de este texto. Sin embargo, vemos una demostración informal que da una idea general de por qué el teorema es verdadero, pero no demuestra el teorema con todo el rigor. Esta explicación sigue a la explicación informal que se ha dado de por qué es cierto el teorema de Stokes.

Prueba

Supongamos que B es una pequeña caja con lados paralelos a los planos de coordenadas dentro de E (Figura 6.88). Que el centro de B tiene coordenadas $\left(x,y,z\right)$ y supongamos que las longitudes de las aristas son $\text{Δ}x,\text{Δ}y,$ y $\text{Δ}z$ (Figura 6.88(b)). El vector normal que sale de la parte superior de la caja es k y el vector normal que sale de la parte inferior de la caja es $\text{−}\text{k}.$ El producto escalar de $\text{F}=\langle P,Q,R\rangle$ con k es R y el producto escalar con $\text{−}\text{k}$ ¿es $\text{−}R.$ El área de la parte superior de la caja (y el fondo de la caja) $\text{Δ}S$ ¿es $\text{Δ}x\text{Δ}y.$

El flujo que sale de la parte superior de la caja puede aproximarse mediante $R\left(x,y,z+\frac{\text{Δ}z}{2}\right)\text{Δ}x\text{Δ}y$ (Figura 6.88(c)) y el flujo que sale del fondo de la caja es $\text{−}R\left(x,y,z-\frac{\text{Δ}z}{2}\right)\text{Δ}x\text{Δ}y.$ Si denotamos la diferencia entre estos valores como $\text{Δ}R,$ entonces el flujo neto en la dirección vertical puede ser aproximado por $\text{Δ}R\text{Δ}x\text{Δ}y.$ Sin embargo,

$$\text{Δ}R\text{Δ}x\text{Δ}y=\left(\frac{\text{Δ}R}{\text{Δ}z}\right)\text{Δ}x\text{Δ}y\text{Δ}z\approx \left(\frac{\partial R}{\partial z}\right)\text{Δ}V.$$

Por lo tanto, el flujo neto en la dirección vertical puede ser aproximado por $\left(\frac{\partial R}{\partial z}\right)\text{Δ}V.$ Del mismo modo, el flujo neto en la dirección xpuede aproximarse mediante $\left(\frac{\partial P}{\partial x}\right)\text{Δ}V$ y el flujo neto en la dirección y se puede aproximar por $\left(\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\text{Δ}V.$ Sumando los flujos en las tres direcciones se obtiene una aproximación del flujo total que sale de la caja:

$$\text{Flujo total}\approx \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\text{Δ}V=\text{div}\text{F}\text{Δ}V.$$

Esta aproximación se acerca arbitrariamente al valor del flujo total cuando el volumen de la caja se reduce a cero.

La suma de $\text{div}\text{F}\text{Δ}V$ sobre todas las cajas pequeñas que se aproximan a E es aproximadamente ${\displaystyle {\iiint }_E\text{div}\text{F}dV}.$ Por otro lado, la suma de $\text{div}\text{F}\text{Δ}V$ sobre todas las cajas pequeñas que aproximan E es la suma de los flujos sobre todas estas cajas. Al igual que en la demostración informal del teorema de Stokes, la suma de estos flujos sobre todas las cajas da como resultado la cancelación de muchos de los términos. Si una caja de aproximación comparte una cara con otra caja de aproximación, entonces el flujo sobre una cara es el negativo del flujo sobre la cara compartida de la caja adyacente. Estas dos integrales se cancelan entre sí. Al sumar todos los flujos, las únicas integrales de flujo que sobreviven son las integrales sobre las caras que aproximan el borde de E. A medida que los volúmenes de las cajas de aproximación se reducen a cero, esta aproximación se vuelve arbitrariamente cercana al flujo sobre S.

□

Ejemplo 6.77

Verificar el teorema de la divergencia

Verifique el teorema de la divergencia para el campo vectorial $\text{F}=\langle x-y,x+z,z-y\rangle$ y la superficie S que consiste en un cono $x^2+y^2=z^2,0\le z\le 1,$ y la parte superior circular del cono (vea la siguiente figura). Supongamos que esta superficie está orientada positivamente.

Solución

Supongamos que E es el cono sólido encerrado por S. Para verificar el teorema para este ejemplo, demostramos que ${\displaystyle {\iiint }_E\text{div}\text{F}dV=}{\displaystyle \underset{S}{\iint }\text{F}.d\text{S}}$ calculando cada integral por separado.

Para calcular la integral triple, observe que $\text{div}\text{F}=P_x+Q_y+R_z=2,$ y por tanto la integral triple es

$$\begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\iiint }_E\text{div}\text{F}dV}& =2{\displaystyle {\iiint }_{E}dV}\hfill \\ & =2\left(\text{volumen de}E\right).\hfill \end{array}$$

El volumen de un cono circular recto viene dado por $\pi r^2\frac{h}{3}.$ En este caso, $h=r=1.$ Por lo tanto,

$${\displaystyle {\iiint }_E\text{div}\text{F}dV}=2\left(\text{volumen de}E\right)=\frac{2\pi }{3}.$$

Para calcular la integral de flujo, primero hay que tener en cuenta que S es lisa a trozos; S puede escribirse como una unión de superficies lisas. Por lo tanto, dividimos la integral de flujo en dos partes: una integral de flujo a través de la parte superior circular del cono y una integral de flujo a través de la parte restante del cono. Llame a la parte superior circular $S_1$ y la parte inferior de la parte superior $S_2.$ Comenzamos calculando el flujo a través de la parte superior circular del cono. Observe que $S_1$ cuenta con la parametrización

$$\text{r}\left(u,v\right)=\langle u\text{cos}v,u\text{sen}v,1\rangle ,0\le u\le 1,0\le v\le 2\pi .$$

Entonces, los vectores tangentes son ${\text{t}}_u=\langle \text{cos}v,\text{sen}v,0\rangle$ y ${\text{t}}_v=\langle \text{−}u\text{cos}v,u\text{sen}v,0\rangle .$ Por lo tanto, el flujo a través de $S_1$ es

$$\begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\iint }_{S_1}\text{F}.d\text{S}}& ={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\text{F}\left(\text{r}\left(u,v\right)\right)}}.\left({\text{t}}_u\times {\text{t}}_v\right)dA\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\langle u\text{cos}v-u\text{sen}v,u\text{cos}v+1,1-u\text{sen}v\rangle .\langle 0,0,u\rangle }}dvdu\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }u-u^2\text{sen}v}}dvdu=\pi .\hfill \end{array}$$

Ahora calculamos el flujo sobre $S_2.$ Una parametrización de esta superficie es

$$\text{r}\left(u,v\right)=\langle u\text{cos}v,u\text{sen}v,u\rangle ,0\le u\le 1,0\le v\le 2\pi .$$

Los vectores tangentes son ${\text{t}}_u=\langle \text{cos}v,\text{sen}v,1\rangle$ y ${\text{t}}_v=\langle \text{−}u\text{sen}v,u\text{cos}v,0\rangle ,$ por lo que el producto vectorial es

$${\text{t}}_u\times {\text{t}}_v=\langle \text{−}u\text{cos}v,\text{−}u\text{sen}v,u\rangle .$$

Observe que los signos negativos de las componentes x y y inducen la orientación negativa (o hacia dentro) del cono. Como la superficie está orientada positivamente, utilizamos el vector ${\text{t}}_v\times {\text{t}}_u=\langle u\text{cos}v,u\text{sen}v,\text{−}u\rangle$ en la integral de flujo. El flujo a través de $S_2$ es entonces

$$\begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\iint }_{S_2}\text{F}.d\text{S}}& ={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\text{F}\left(\text{r}\left(u,v\right)\right)}}.\left({\text{t}}_v\times {\text{t}}_u\right)dA\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\langle u\text{cos}v-u\text{sen}v,u\text{cos}v+u,u-\text{sen}v\rangle .\langle u\text{cos}v,u\text{sen}v,\text{−}u\rangle }}\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{u}^2}}{\text{cos}}^{2}v+2u^2\text{sen}v-u^{2}dvdu=-\frac{\pi }{3}.\hfill \end{array}$$

El flujo total a través de S es

$${\displaystyle {\iint }_{S_2}\text{F}.d\text{S}}={\displaystyle {\iint }_{S_1}\text{F}.d\text{S}}+{\displaystyle {\iint }_{S_2}\text{F}.d\text{S}}=\frac{2\pi }{3}={\displaystyle {\iiint }_E\text{div}}\text{F}dV,$$

y hemos verificado el teorema de la divergencia para este ejemplo.

Punto de control 6.65

Verifique el teorema de la divergencia para el campo vectorial $\text{F}(x,y,z)=\langle x+y+z,y,2x-y\rangle$ y la superficie S dada por el cilindro $x^2+y^2=1,0\le z\le 3$ más la parte superior e inferior circular del cilindro. Supongamos que S está orientado positivamente.

Recordemos que la divergencia del campo continuo F en el punto P es una medida de la "salida" del campo en P. Si F representa el campo de velocidad de un fluido, entonces la divergencia puede considerarse como la tasa por unidad de volumen del fluido que fluye hacia fuera menos la tasa por unidad de volumen que fluye hacia dentro. El teorema de la divergencia confirma esta interpretación. Para ver esto, supongamos que P es un punto y que $B_r$ es una bola de pequeño radio r centrada en P (Figura 6.89). Supongamos que $S_r$ es la esfera borde de $B_r.$ Ya que el radio es pequeño y F es continuo, $\text{div}\text{F}\left(Q\right)\approx \text{div}\text{F}\left(P\right)$ para todos los demás puntos Q en la bola. Por lo tanto, el flujo a través de $S_r$ se puede aproximar utilizando el teorema de la divergencia:

$${\displaystyle {\iint }_{S_r}\text{F}.d\text{S}}={\displaystyle {\iiint }_{B_r}\text{div}}\text{F}dV\approx {\displaystyle {\iiint }_{B_r}\text{div}}\text{F}\left(P\right)dV.$$

Dado que $\text{div}\text{F}\left(P\right)$ es una constante,

$${\displaystyle {\iiint }_{B_r}\text{div}}\text{F}\left(P\right)dV=\text{div}\text{F}\left(P\right)V\left(B_r\right).$$

Por lo tanto, el flujo ${\displaystyle {\iint }_{S_r}\text{F}.d\text{S}}$ se puede aproximar por $\text{div}\text{F}\left(P\right)V\left(B_r\right).$ Esta aproximación mejora a medida que el radio se reduce a cero, y por tanto

$$\text{div}\text{F}\left(P\right)=\underset{r\to 0}{\text{lím}}\frac{1}{V\left(B_r\right)}{\displaystyle {\iint }_{S_r}\text{F}.d\text{S}}.$$

Esta ecuación dice que la divergencia en P es la tasa neta de flujo hacia afuera del fluido por unidad de volumen.

Usar el teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia traduce entre la integral de flujo de la superficie cerrada S y una integral triple sobre el sólido encerrado por S. Por lo tanto, el teorema nos permite calcular integrales de flujo o integrales triples que normalmente serían difíciles de calcular traduciendo la integral de flujo en una integral triple y viceversa.

Punto de control 6.66

Utilice el teorema de la divergencia para calcular la integral de flujo ${\displaystyle {\iint }_S\text{F}.d\text{S}},$ donde S es el borde de la caja dado por $0\le x\le 2,1\le y\le 4,0\le z\le 1,$ y $\text{F}=\langle x^2+yz,y–z,2x+2y+2z\rangle$ (vea la siguiente figura).

Ejemplo 6.79

Aplicar el teorema de la divergencia

Supongamos que $\text{v}=\langle -\frac{y}{z},\frac{x}{z},0\rangle$ es el campo de velocidad de un fluido. Supongamos que C es el cubo sólido dado por $1\le x\le 4,2\le y\le 5,1\le z\le 4,$ y supongamos que S es la frontera de este cubo (vea la siguiente figura). Calcule la tasa de flujo a través de S.

Solución

El caudal del fluido a través de S es ${\displaystyle {\iint }_S\text{v}.d\text{S}}.$ Antes de calcular esta integral de flujo, vamos a discutir cuál debe ser el valor de la integral. Basándonos en la Figura 6.90, vemos que si colocamos este cubo en el fluido (siempre y cuando el cubo no abarque el origen), entonces la velocidad del fluido que entra en el cubo es la misma que la velocidad del fluido que sale del cubo. El campo es de naturaleza rotacional y, para un círculo dado paralelo al plano xy que tiene un centro en el eje z, los vectores a lo largo de ese círculo son todos de la misma magnitud. Así podemos ver que la tasa de flujo es el mismo entrando y saliendo del cubo. El flujo que entra en el cubo se cancela con el flujo que sale del cubo, y por lo tanto la tasa de flujo del fluido a través del cubo debe ser cero.

Para verificar esta intuición, necesitamos calcular la integral de flujo. Para calcular directamente la integral de flujo hay que dividirla en seis integrales de flujo distintas, una por cada cara del cubo. También tenemos que hallar vectores tangentes, calcular su producto vectorial y utilizar la Ecuación 6.19. Sin embargo, el uso del teorema de la divergencia hace que este cálculo sea mucho más rápido:

$$\begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\iint }_S\text{v}.d\text{S}}& ={\displaystyle {\iiint }_C\text{div}\left(\text{v}\right)}dV\hfill \\ & ={\displaystyle {\iiint }_{C}0}dV=\mathrm{0,}\hfill \end{array}$$

Por lo tanto, el flujo es cero, como se esperaba.

Punto de control 6.67

Supongamos que $\text{v}=\langle \frac{x}{z},\frac{y}{z},0\rangle$ es el campo de velocidad de un fluido. Supongamos que C es el cubo sólido dado por $1\le x\le 4,2\le y\le 5,1\le z\le 4,$ y supongamos que S es la frontera de este cubo (vea la siguiente figura). Calcule la tasa de flujo a través de S.

El Ejemplo 6.79 ilustra una notable consecuencia del teorema de la divergencia. Supongamos que S es una superficie cerrada y lisa a trozos y que F es un campo vectorial definido en una región abierta que contiene la superficie encerrada por S. Si F tiene la forma $\text{F}=\langle f\left(y,z\right),g\left(x,z\right),h\left(x,y\right)\rangle ,$ entonces la divergencia de F es cero. Por el teorema de la divergencia, el flujo de F a través de S también es cero. Esto hace que ciertas integrales de flujo sean increíblemente fáciles de calcular. Por ejemplo, supongamos que queremos calcular la integral de flujo ${\displaystyle {\iint }_S\text{F}.d\text{S}}$ donde S es un cubo y

Calcular la integral de flujo directamente sería difícil, si no imposible, utilizando las técnicas que hemos estudiado anteriormente. Como mínimo, tendríamos que dividir la integral de flujo en seis integrales, una por cada cara del cubo. Pero, como la divergencia de este campo es cero, el teorema de la divergencia muestra inmediatamente que la integral de flujo es cero.

Ahora podemos utilizar el teorema de la divergencia para justificar la interpretación física de la divergencia que hemos discutido antes. Recordemos que si F es un campo vectorial continuo tridimensional y P es un punto en el dominio de F, entonces la divergencia de F en P es una medida de la "salida" de F en P. Si F representa el campo de velocidad de un fluido, entonces la divergencia de F en P es una medida del flujo neto que sale del punto P (el flujo de fluido que sale de P menos el flujo que entra en P). Para ver cómo el teorema de la divergencia justifica esta interpretación, supongamos que $B_r$ es una bola de radio muy pequeño r con centro P, y suponga que $B_r$ está en el dominio de F. Además, supongamos que $B_r$ tiene una orientación positiva, hacia el exterior. Dado que el radio de $B_r$ es pequeño y F es continuo, la divergencia de F es aproximadamente constante en $B_r.$ Es decir, si $P^{\prime }$ es cualquier punto en $B_r,$ entonces $\text{div}\text{F}(P)\approx \text{div}\text{F}(P^{\prime }).$ Supongamos que $S_r$ denota la esfera borde de $B_r.$ Podemos aproximar el flujo a través de $S_r$ utilizando el teorema de la divergencia como sigue:

Al reducir el radio r a cero mediante un límite, la cantidad $\text{div}\text{F}(P)V(B_r)$ se acerca arbitrariamente al flujo. Por lo tanto,

y podemos considerar la divergencia en P como una medida de la tasa de flujo neta hacia fuera por unidad de volumen en P. Dado que la "salida" es un término informal para la tasa de flujo neta hacia fuera por unidad de volumen, hemos justificado la interpretación física de la divergencia que discutimos anteriormente, y hemos utilizado el teorema de la divergencia para dar esta justificación.

Aplicar a los campos electrostáticos

El teorema de la divergencia tiene muchas aplicaciones en física e ingeniería. Nos permite escribir muchas leyes físicas tanto en forma integral como en forma diferencial (del mismo modo que el teorema de Stokes nos permitía traducir entre una forma integral y diferencial la ley de Faraday). Áreas de estudio como la dinámica de fluidos, el electromagnetismo y la mecánica cuántica tienen ecuaciones que describen la conservación de la masa, el momento o la energía, y el teorema de la divergencia nos permite dar estas ecuaciones tanto en forma integral como diferencial.

Una de las aplicaciones más comunes del teorema de la divergencia es a los campos electrostáticos. Un resultado importante en este tema es la ley de Gauss. Esta ley establece que si S es una superficie cerrada en un campo electrostático E, entonces el flujo de E a través de S es la carga total encerrada por S (dividida entre una constante eléctrica). Ahora utilizamos el teorema de la divergencia para justificar el caso especial de esta ley en el que el campo electrostático es generado por una carga puntual estacionaria en el origen.

Si los valores de $(x,y,z)$ es un punto en el espacio, entonces la distancia del punto al origen es $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$ Supongamos que ${\text{F}}_r$ denota el campo vectorial radial ${\text{F}}_r=\frac{1}{r^2}\langle \frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}\rangle .$ El vector en una posición dada en el espacio apunta en la dirección del vector radial unitario $\langle \frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}\rangle$ y se escala por la cantidad $1\text{/}{r}^2.$ Por tanto, la magnitud de un vector en un punto determinado es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del vector al origen. Supongamos que tenemos una carga estacionaria de q culombios en el origen, existente en el vacío. La carga genera un campo electrostático E dado por

donde la aproximación ${\epsilon }_0=\mathrm{8,854}\times {10}^{\mathrm{–12}}$ faradios (F)/m es una constante eléctrica. (La constante ${\epsilon }_0$ es una medida de la resistencia encontrada al formar un campo eléctrico en el vacío). Observe que E es un campo vectorial radial similar al campo gravitatorio descrito en Ejemplo 6.6. La diferencia es que este campo apunta hacia afuera mientras que el campo gravitacional apunta hacia adentro. Dado que

decimos que los campos electrostáticos obedecen a una ley cuadrática inversa. Es decir, la fuerza electrostática en un punto determinado es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente de la carga (que en este caso está en el origen). Dado este campo vectorial, demostramos que el flujo a través de la superficie cerrada S es cero si la carga está fuera de S, y que el flujo es $q\text{/}{\epsilon }_0$ si la carga está dentro de S. En otras palabras, el flujo a través de S es la carga dentro de la superficie dividida entre la constante ${\epsilon }_0.$ Este es un caso especial de la ley de Gauss, y aquí utilizamos el teorema de la divergencia para justificar este caso especial.

Para demostrar que el flujo a través de S es la carga dentro de la superficie dividida entre la constante ${\epsilon }_0,$ necesitamos dos pasos intermedios. Primero mostramos que la divergencia de ${\text{F}}_r$ es cero y entonces demostramos que el flujo de ${\text{F}}_r$ a través de cualquier superficie lisa S es cero o $4\pi .$ Podemos entonces justificar este caso especial de la ley de Gauss.

Observe que como la divergencia de ${\text{F}}_r$ es cero y E es ${\text{F}}_r$ escalado por una constante, la divergencia del campo electrostático E también es cero (excepto en el origen).

En otras palabras, este teorema dice que el flujo de ${\text{F}}_r$ a través de cualquier superficie cerrada y lisa a trozos S solo depende de si el origen está dentro de S.