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Cálculo volumen 3

6.8 El teorema de la divergencia

Cálculo volumen 36.8 El teorema de la divergencia
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 6.8.1 Explicar el significado del teorema de la divergencia.
  • 6.8.2 Utilizar el teorema de la divergencia para calcular el flujo de un campo vectorial.
  • 6.8.3 Aplicar el teorema de la divergencia a un campo electrostático.

Hemos examinado varias versiones del teorema fundamental del cálculo en dimensiones superiores que relacionan la integral alrededor de la frontera orientada de un dominio con una "derivada" de esa entidad en el dominio orientado. En esta sección, enunciamos el teorema de la divergencia, que es el último teorema de este tipo que estudiaremos. El teorema de la divergencia tiene muchos usos en física; en particular, se utiliza en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales para derivar ecuaciones que modelan el flujo de calor y la conservación de la masa. Utilizamos el teorema para calcular integrales de flujo y lo aplicamos a los campos electrostáticos.

Resumen de los teoremas

Antes de examinar el teorema de la divergencia, es útil comenzar con una visión general de las versiones del teorema fundamental del cálculo que hemos discutido:

  1. Teorema fundamental del cálculo
    abf(x)dx=f(b)f(a).abf(x)dx=f(b)f(a).

    Este teorema relaciona la integral de la derivada ff sobre el segmento de línea [a,b][a,b] a lo largo del eje x a una diferencia de ff evaluada en el borde.
  2. Teorema fundamental de las integrales de línea
    Cf.dr=f(P1)f(P0),Cf.dr=f(P1)f(P0),

    donde P0P0 es el punto inicial de C y P1P1 es el punto terminal de C. Este teorema permite que la trayectoria C sea una trayectoria en un plano o en el espacio, no solo un segmento de línea en el eje x. Si pensamos en el gradiente como una derivada, entonces este teorema relaciona una integral de derivada ff sobre el camino C a una diferencia de ff evaluado en el borde de C.
  3. Teorema de Green, forma de circulación
    D(QxPy)dA=CF.dr.D(QxPy)dA=CF.dr.

    Dado que QxPy=rizoF.kQxPy=rizoF.k y el rizo es una especie de derivada, el teorema de Green relaciona la integral de la derivada rizoF sobre la región planar D con una integral deF sobre el borde de D.
  4. Teorema de Green, forma de flujo
    D(Px+Qy)dA=CF.Nds.D(Px+Qy)dA=CF.Nds.

    Dado que Px+Qy=divFPx+Qy=divF y la divergencia es una especie de derivada, la forma de flujo del teorema de Green relaciona la integral de la derivada divF sobre la región planar D con una integral de F sobre el borde de D.
  5. Teorema de Stokes
    SrizoF.dS=CF.dr.SrizoF.dS=CF.dr.

    Si pensamos en el rizo como una especie de derivada, entonces el teorema de Stokes relaciona la integral de la derivada rizoF sobre la superficie S (no necesariamente plana) con una integral de F sobre el borde de S.

Enunciar el teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia sigue el patrón general de estos otros teoremas. Si pensamos en la divergencia como una especie de derivada, entonces el teorema de la divergencia relaciona una integral triple de la derivada divF sobre un sólido con una integral de flujo de F sobre el borde del sólido. Más concretamente, el teorema de la divergencia relaciona una integral de flujo del campo vectorial F sobre una superficie cerrada S con una integral triple de la divergencia de F sobre el sólido encerrado por S.

Teorema 6.20

El teorema de la divergencia

Supongamos que S es una superficie cerrada, lisa y a trozos que encierra el sólido E en el espacio. Supongamos que S está orientado hacia el exterior, y que F es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a E (Figura 6.87). Entonces

EdivFdV=SF.dS.EdivFdV=SF.dS.
(6.24)
Un diagrama de una superficie cerrada S, un campo vectorial y un sólido E encerrado por la superficie en tres dimensiones. La superficie es un prisma aproximadamente rectangular con lados curvos. Los vectores normales se extienden y se alejan de la superficie. Las flechas tienen componentes x negativas y componentes y z positivas.
Figura 6.87 El teorema de la divergencia relaciona una integral de flujo a través de una superficie cerrada S con una integral triple sobre el sólido E encerrado por la superficie.

Recuerde que la forma de flujo del teorema de Green establece que DdivFdA=CF.Nds.DdivFdA=CF.Nds. Por lo tanto, el teorema de la divergencia es una versión del teorema de Green en una dimensión superior.

La demostración del teorema de la divergencia está fuera del alcance de este texto. Sin embargo, vemos una demostración informal que da una idea general de por qué el teorema es verdadero, pero no demuestra el teorema con todo el rigor. Esta explicación sigue a la explicación informal que se ha dado de por qué es cierto el teorema de Stokes.

Prueba

Supongamos que B es una pequeña caja con lados paralelos a los planos de coordenadas dentro de E (Figura 6.88). Que el centro de B tiene coordenadas (x,y,z)(x,y,z) y supongamos que las longitudes de las aristas son Δx,Δy,Δx,Δy, y ΔzΔz (Figura 6.88(b)). El vector normal que sale de la parte superior de la caja es k y el vector normal que sale de la parte inferior de la caja es k.k. El producto escalar de F=P,Q,RF=P,Q,R con k es R y el producto escalar con kk ¿es R.R. El área de la parte superior de la caja (y el fondo de la caja) ΔSΔS ¿es ΔxΔy.ΔxΔy.

Esta figura tiene tres diagramas. El primero es una superficie E en tres dimensiones con una pequeña caja B en su interior. El segundo solo tiene la caja B. La altura se marca como delta z, la anchura como delta x y como delta y. Una flecha perpendicular a la parte superior apunta hacia arriba y se aleja de la caja y está marcada como k. Una flecha perpendicular a la parte inferior apunta hacia abajo y se aleja de la caja y está marcada como -k. El tercer diagrama es una vista lateral de la caja B. El centro es (x, y, z), el punto medio del lado inferior es (x, y, z – delta z / 2), y el punto medio del tamaño superior es (x, y, z + delta z / 2). La altura es delta z.
Figura 6.88 (a) Una pequeña caja B dentro de la superficie E tiene lados paralelos a los planos de coordenadas. (b) La caja B tiene longitudes de lado Δ x , Δ y , Δ x , Δ y , y Δ z Δ z (c) Si observamos la vista lateral de B, vemos que, como ( x , y , z ) ( x , y , z ) es el centro de la caja, para llegar a la parte superior de la caja debemos recorrer una distancia vertical de Δ z / 2 Δ z / 2 desde ( x , y , z ) . ( x , y , z ) . Igualmente, para llegar al fondo de la caja debemos recorrer una distancia Δ z / 2 Δ z / 2 de ( x , y , z ) . ( x , y , z ) .

El flujo que sale de la parte superior de la caja puede aproximarse mediante R(x,y,z+Δz2 )ΔxΔyR(x,y,z+Δz2 )ΔxΔy (Figura 6.88(c)) y el flujo que sale del fondo de la caja es R(x,y,zΔz2 )ΔxΔy.R(x,y,zΔz2 )ΔxΔy. Si denotamos la diferencia entre estos valores como ΔR,ΔR, entonces el flujo neto en la dirección vertical puede ser aproximado por ΔRΔxΔy.ΔRΔxΔy. Sin embargo,

ΔRΔxΔy=(ΔRΔz)ΔxΔyΔz(Rz)ΔV.ΔRΔxΔy=(ΔRΔz)ΔxΔyΔz(Rz)ΔV.

Por lo tanto, el flujo neto en la dirección vertical puede ser aproximado por (Rz)ΔV.(Rz)ΔV. Del mismo modo, el flujo neto en la dirección xpuede aproximarse mediante (Px)ΔV(Px)ΔV y el flujo neto en la dirección y se puede aproximar por (Qy)ΔV.(Qy)ΔV. Sumando los flujos en las tres direcciones se obtiene una aproximación del flujo total que sale de la caja:

Flujo total(Px+Qy+Rz)ΔV=divFΔV.Flujo total(Px+Qy+Rz)ΔV=divFΔV.

Esta aproximación se acerca arbitrariamente al valor del flujo total cuando el volumen de la caja se reduce a cero.

La suma de divFΔVdivFΔV sobre todas las cajas pequeñas que se aproximan a E es aproximadamente EdivFdV.EdivFdV. Por otro lado, la suma de divFΔVdivFΔV sobre todas las cajas pequeñas que aproximan E es la suma de los flujos sobre todas estas cajas. Al igual que en la demostración informal del teorema de Stokes, la suma de estos flujos sobre todas las cajas da como resultado la cancelación de muchos de los términos. Si una caja de aproximación comparte una cara con otra caja de aproximación, entonces el flujo sobre una cara es el negativo del flujo sobre la cara compartida de la caja adyacente. Estas dos integrales se cancelan entre sí. Al sumar todos los flujos, las únicas integrales de flujo que sobreviven son las integrales sobre las caras que aproximan el borde de E. A medida que los volúmenes de las cajas de aproximación se reducen a cero, esta aproximación se vuelve arbitrariamente cercana al flujo sobre S.

Ejemplo 6.77

Verificar el teorema de la divergencia

Verifique el teorema de la divergencia para el campo vectorial F=xy,x+z,zyF=xy,x+z,zy y la superficie S que consiste en un cono x2 +y2 =z2 ,0z1,x2 +y2 =z2 ,0z1, y la parte superior circular del cono (vea la siguiente figura). Supongamos que esta superficie está orientada positivamente.

Esta figura es un diagrama vectorial en tres dimensiones. Se muestra el cono x^2 + y^2 = z^2. Su punta está en el origen y se abre. Hay una tapa en la parte superior. Las flechas parecen seguir la forma del cono.

Punto de control 6.65

Verifique el teorema de la divergencia para el campo vectorial F(x,y,z)=x+y+z,y,2 xyF(x,y,z)=x+y+z,y,2 xy y la superficie S dada por el cilindro x2 +y2 =1,0z3x2 +y2 =1,0z3 más la parte superior e inferior circular del cilindro. Supongamos que S está orientado positivamente.

Recordemos que la divergencia del campo continuo F en el punto P es una medida de la "salida" del campo en P. Si F representa el campo de velocidad de un fluido, entonces la divergencia puede considerarse como la tasa por unidad de volumen del fluido que fluye hacia fuera menos la tasa por unidad de volumen que fluye hacia dentro. El teorema de la divergencia confirma esta interpretación. Para ver esto, supongamos que P es un punto y que BrBr es una bola de pequeño radio r centrada en P (Figura 6.89). Supongamos que SrSr es la esfera borde de Br.Br. Ya que el radio es pequeño y F es continuo, divF(Q)divF(P)divF(Q)divF(P) para todos los demás puntos Q en la bola. Por lo tanto, el flujo a través de SrSr se puede aproximar utilizando el teorema de la divergencia:

SrF.dS=BrdivFdVBrdivF(P)dV.SrF.dS=BrdivFdVBrdivF(P)dV.

Dado que divF(P)divF(P) es una constante,

BrdivF(P)dV=divF(P)V(Br).BrdivF(P)dV=divF(P)V(Br).

Por lo tanto, el flujo SrF.dSSrF.dS se puede aproximar por divF(P)V(Br).divF(P)V(Br). Esta aproximación mejora a medida que el radio se reduce a cero, y por tanto

divF(P)=límr01V(Br)SrF.dS.divF(P)=límr01V(Br)SrF.dS.

Esta ecuación dice que la divergencia en P es la tasa neta de flujo hacia afuera del fluido por unidad de volumen.

Esta figura es un diagrama de la bola B_r, con un pequeño radio r centrado en P. Las flechas están dibujadas apuntando hacia arriba y hacia la derecha a través de la bola.
Figura 6.89 Bola B r B r de pequeño radio r centrado en P.

Usar el teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia traduce entre la integral de flujo de la superficie cerrada S y una integral triple sobre el sólido encerrado por S. Por lo tanto, el teorema nos permite calcular integrales de flujo o integrales triples que normalmente serían difíciles de calcular traduciendo la integral de flujo en una integral triple y viceversa.

Ejemplo 6.78

Aplicar el teorema de la divergencia

Calcule la integral de superficie SF.dS,SF.dS, donde S es el cilindro x2 +y2 =1,0z2 ,x2 +y2 =1,0z2 , incluyendo la parte superior e inferior circular, y F=x33+yz,y33sen(xz),zxy.F=x33+yz,y33sen(xz),zxy.

Punto de control 6.66

Utilice el teorema de la divergencia para calcular la integral de flujo SF.dS,SF.dS, donde S es el borde de la caja dado por 0x2 ,1y4,0z1,0x2 ,1y4,0z1, y F=x2 +yz,yz,2 x+2 y+2 zF=x2 +yz,yz,2 x+2 y+2 z (vea la siguiente figura).

Esta figura es un diagrama vectorial en tres dimensiones. La caja de la figura abarca x de 0 a 2; y de 0 a 4; y z de 0 a 1. Los vectores apuntan cada vez más hacia arriba con la distancia al origen; hacia una x mayor con el aumento de la distancia al origen; y hacia valores de y menores con el aumento de la altura.

Ejemplo 6.79

Aplicar el teorema de la divergencia

Supongamos que v=yz,xz,0v=yz,xz,0 es el campo de velocidad de un fluido. Supongamos que C es el cubo sólido dado por 1x4,2 y5,1z4,1x4,2 y5,1z4, y supongamos que S es la frontera de este cubo (vea la siguiente figura). Calcule la tasa de flujo a través de S.

Esta es una figura de un diagrama del campo vectorial dado en tres dimensiones. Las componentes x son -y/z, las componentes y son x/z, y las componentes z son 0.
Figura 6.90 Campo vectorial v = y z , x z , 0 . v = y z , x z , 0 .

Punto de control 6.67

Supongamos que v=xz,yz,0v=xz,yz,0 es el campo de velocidad de un fluido. Supongamos que C es el cubo sólido dado por 1x4,2 y5,1z4,1x4,2 y5,1z4, y supongamos que S es la frontera de este cubo (vea la siguiente figura). Calcule la tasa de flujo a través de S.

Esta es una figura de un diagrama del campo vectorial dado en tres dimensiones. Las componentes x son x/z, las componentes y son y/z, y las componentes z son 0.

El Ejemplo 6.79 ilustra una notable consecuencia del teorema de la divergencia. Supongamos que S es una superficie cerrada y lisa a trozos y que F es un campo vectorial definido en una región abierta que contiene la superficie encerrada por S. Si F tiene la forma F=f(y,z),g(x,z),h(x,y),F=f(y,z),g(x,z),h(x,y), entonces la divergencia de F es cero. Por el teorema de la divergencia, el flujo de F a través de S también es cero. Esto hace que ciertas integrales de flujo sean increíblemente fáciles de calcular. Por ejemplo, supongamos que queremos calcular la integral de flujo SF.dSSF.dS donde S es un cubo y

F=sen(y)eyz,x2 z2 ,cos(xy)esenx.F=sen(y)eyz,x2 z2 ,cos(xy)esenx.

Calcular la integral de flujo directamente sería difícil, si no imposible, utilizando las técnicas que hemos estudiado anteriormente. Como mínimo, tendríamos que dividir la integral de flujo en seis integrales, una por cada cara del cubo. Pero, como la divergencia de este campo es cero, el teorema de la divergencia muestra inmediatamente que la integral de flujo es cero.

Ahora podemos utilizar el teorema de la divergencia para justificar la interpretación física de la divergencia que hemos discutido antes. Recordemos que si F es un campo vectorial continuo tridimensional y P es un punto en el dominio de F, entonces la divergencia de F en P es una medida de la "salida" de F en P. Si F representa el campo de velocidad de un fluido, entonces la divergencia de F en P es una medida del flujo neto que sale del punto P (el flujo de fluido que sale de P menos el flujo que entra en P). Para ver cómo el teorema de la divergencia justifica esta interpretación, supongamos que BrBr es una bola de radio muy pequeño r con centro P, y suponga que BrBr está en el dominio de F. Además, supongamos que BrBr tiene una orientación positiva, hacia el exterior. Dado que el radio de BrBr es pequeño y F es continuo, la divergencia de F es aproximadamente constante en Br.Br. Es decir, si PP es cualquier punto en Br,Br, entonces divF(P)divF(P).divF(P)divF(P). Supongamos que SrSr denota la esfera borde de Br.Br. Podemos aproximar el flujo a través de SrSr utilizando el teorema de la divergencia como sigue:

SrF.dS=BrdivFdVBrdivF(P)dV=divF(P)V(Br).SrF.dS=BrdivFdVBrdivF(P)dV=divF(P)V(Br).

Al reducir el radio r a cero mediante un límite, la cantidad divF(P)V(Br)divF(P)V(Br) se acerca arbitrariamente al flujo. Por lo tanto,

divF(P)=límr01V(Br)SrF.dSdivF(P)=límr01V(Br)SrF.dS

y podemos considerar la divergencia en P como una medida de la tasa de flujo neta hacia fuera por unidad de volumen en P. Dado que la "salida" es un término informal para la tasa de flujo neta hacia fuera por unidad de volumen, hemos justificado la interpretación física de la divergencia que discutimos anteriormente, y hemos utilizado el teorema de la divergencia para dar esta justificación.

Aplicar a los campos electrostáticos

El teorema de la divergencia tiene muchas aplicaciones en física e ingeniería. Nos permite escribir muchas leyes físicas tanto en forma integral como en forma diferencial (del mismo modo que el teorema de Stokes nos permitía traducir entre una forma integral y diferencial la ley de Faraday). Áreas de estudio como la dinámica de fluidos, el electromagnetismo y la mecánica cuántica tienen ecuaciones que describen la conservación de la masa, el momento o la energía, y el teorema de la divergencia nos permite dar estas ecuaciones tanto en forma integral como diferencial.

Una de las aplicaciones más comunes del teorema de la divergencia es a los campos electrostáticos. Un resultado importante en este tema es la ley de Gauss. Esta ley establece que si S es una superficie cerrada en un campo electrostático E, entonces el flujo de E a través de S es la carga total encerrada por S (dividida entre una constante eléctrica). Ahora utilizamos el teorema de la divergencia para justificar el caso especial de esta ley en el que el campo electrostático es generado por una carga puntual estacionaria en el origen.

Si los valores de (x,y,z)(x,y,z) es un punto en el espacio, entonces la distancia del punto al origen es r=x2 +y2 +z2 .r=x2 +y2 +z2 . Supongamos que FrFr denota el campo vectorial radial Fr=1r2 xr,yr,zr.Fr=1r2 xr,yr,zr. El vector en una posición dada en el espacio apunta en la dirección del vector radial unitario xr,yr,zrxr,yr,zr y se escala por la cantidad 1/r2 .1/r2 . Por tanto, la magnitud de un vector en un punto determinado es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del vector al origen. Supongamos que tenemos una carga estacionaria de q culombios en el origen, existente en el vacío. La carga genera un campo electrostático E dado por

E=q4πε0Fr,E=q4πε0Fr,

donde la aproximación ε0=8,854×10–12ε0=8,854×10–12 faradios (F)/m es una constante eléctrica. (La constante ε0ε0 es una medida de la resistencia encontrada al formar un campo eléctrico en el vacío). Observe que E es un campo vectorial radial similar al campo gravitatorio descrito en Ejemplo 6.6. La diferencia es que este campo apunta hacia afuera mientras que el campo gravitacional apunta hacia adentro. Dado que

E=q4πε0Fr=q4πε0(1r2 xr,yr,zr),E=q4πε0Fr=q4πε0(1r2 xr,yr,zr),

decimos que los campos electrostáticos obedecen a una ley cuadrática inversa. Es decir, la fuerza electrostática en un punto determinado es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente de la carga (que en este caso está en el origen). Dado este campo vectorial, demostramos que el flujo a través de la superficie cerrada S es cero si la carga está fuera de S, y que el flujo es q/ε0q/ε0 si la carga está dentro de S. En otras palabras, el flujo a través de S es la carga dentro de la superficie dividida entre la constante ε0.ε0. Este es un caso especial de la ley de Gauss, y aquí utilizamos el teorema de la divergencia para justificar este caso especial.

Para demostrar que el flujo a través de S es la carga dentro de la superficie dividida entre la constante ε0,ε0, necesitamos dos pasos intermedios. Primero mostramos que la divergencia de FrFr es cero y entonces demostramos que el flujo de FrFr a través de cualquier superficie lisa S es cero o 4π.4π. Podemos entonces justificar este caso especial de la ley de Gauss.

Ejemplo 6.80

La divergencia de FrFr es cero

Verifique que la divergencia de FrFr es cero donde FrFr se define (lejos del origen).

Observe que como la divergencia de FrFr es cero y E es FrFr escalado por una constante, la divergencia del campo electrostático E también es cero (excepto en el origen).

Teorema 6.21

Flujo a través de una superficie lisa

Supongamos que S es una superficie cerrada, conectada y lisa a trozos, y sea Fr=1r2 xr,yr,zr.Fr=1r2 xr,yr,zr. Entonces,

SFr.dS={0siSno abarca el origen4πsiSabarca el origen.SFr.dS={0siSno abarca el origen4πsiSabarca el origen.

En otras palabras, este teorema dice que el flujo de FrFr a través de cualquier superficie cerrada y lisa a trozos S solo depende de si el origen está dentro de S.

Prueba

La lógica de esta prueba sigue la lógica del Ejemplo 6.46, solo que utilizamos el teorema de la divergencia en lugar del teorema de Green.

En primer lugar, supongamos que S no abarca el origen. En este caso, el sólido encerrado por S está en el dominio de Fr,Fr, y ya que la divergencia de FrFr es cero, podemos aplicar inmediatamente el teorema de la divergencia y hallar que SF.dSSF.dS es cero.

Ahora supongamos que S sí abarca el origen. No podemos utilizar simplemente el teorema de la divergencia para calcular el flujo, porque el campo no está definido en el origen. Supongamos que SaSa es una esfera de radio a dentro de S centrada en el origen. El campo vectorial normal hacia afuera en la esfera, en coordenadas esféricas, es

tϕ×tθ=a2 cosθsen2 ϕ,a2 senθsen2 ϕ,a2 senϕcosϕtϕ×tθ=a2 cosθsen2 ϕ,a2 senθsen2 ϕ,a2 senϕcosϕ

(vea el Ejemplo 6.64). Por lo tanto, en la superficie de la esfera, el producto escalar Fr.NFr.N (en coordenadas esféricas) es

Fr.N=senϕcosθa2 ,senϕsenθa2 ,cosϕa2 .a2 cosθsen2 ϕ,a2 senθsen2 ϕ,a2 senϕcosϕ=senϕ(senϕcosθ,senϕsenθ,cosϕ.senϕcosθ,senϕsenθ,cosϕ)=senϕ.Fr.N=senϕcosθa2 ,senϕsenθa2 ,cosϕa2 .a2 cosθsen2 ϕ,a2 senθsen2 ϕ,a2 senϕcosϕ=senϕ(senϕcosθ,senϕsenθ,cosϕ.senϕcosθ,senϕsenθ,cosϕ)=senϕ.

El flujo de FrFr a través de SaSa es

SaFr.NdS=02 π0πsenϕdϕdθ=4π.SaFr.NdS=02 π0πsenϕdϕdθ=4π.

Ahora, recuerde que estamos interesados en el flujo a través de S, no necesariamente el flujo a través de Sa.Sa. Para calcular el flujo a través de S, supongamos que E es el sólido entre superficies SaSa y S. Entonces, el borde de E consiste en SaSa y S. Denote este borde por SSaSSa para indicar que S está orientado hacia el exterior pero ahora SaSa está orientado hacia el interior. Nos gustaría aplicar el teorema de la divergencia al sólido E. Observe que el teorema de la divergencia, como se ha dicho, no puede manejar un sólido como E porque E tiene un agujero. Sin embargo, el teorema de la divergencia puede extenderse para manejar sólidos con agujeros, al igual que el teorema de Green puede extenderse para manejar regiones con agujeros. Esto nos permite utilizar el teorema de la divergencia de la siguiente manera. Según el teorema de la divergencia,

SSaFr.dS=SFr.dSSaFr.dS=EdivFrdV=E0dV=0,SSaFr.dS=SFr.dSSaFr.dS=EdivFrdV=E0dV=0,

Por lo tanto,

SFr.dS=SaFr.dS=4π,SFr.dS=SaFr.dS=4π,

y tenemos el resultado deseado.

Ahora volvemos a calcular el flujo a través de una superficie lisa en el contexto del campo electrostático E=q4πε0FrE=q4πε0Fr de una carga puntual en el origen. Supongamos que S es una superficie cerrada y lisa a trozos que engloba el origen. Entonces

SE.dS=Sq4πε0Fr.dS=q4πε0SFr.dS=qε0.SE.dS=Sq4πε0Fr.dS=q4πε0SFr.dS=qε0.

Si S no abarca el origen, entonces

SE.dS=q4πε0SFr.dS=0.SE.dS=q4πε0SFr.dS=0.

Por lo tanto, hemos justificado la afirmación que nos propusimos: el flujo a través de la superficie cerrada S es cero si la carga está fuera de S, y el flujo es q/ε0q/ε0 si la carga está dentro de S.

Este análisis solo funciona si hay una sola carga puntual en el origen. En este caso, la ley de Gauss dice que el flujo de E a través de S es la carga total encerrada por S. La ley de Gauss puede extenderse para manejar múltiples sólidos cargados en el espacio, no solo una sola carga puntual en el origen. La lógica es similar a la del análisis anterior, pero está fuera del alcance de este texto. En general, la ley de Gauss establece que si S es una superficie cerrada y lisa a trozos y Q es la cantidad total de carga dentro de S, entonces el flujo de E a través de S es Q/ε0.Q/ε0.

Ejemplo 6.81

Utilizando la ley de Gauss

Supongamos que tenemos cuatro cargas puntuales estacionarias en el espacio, todas con una carga de 0,002 culombios (C). Las cargas se encuentran en (0,1,1),(1,1,4),(–1,0,0),y(–2,–2,2 ).(0,1,1),(1,1,4),(–1,0,0),y(–2,–2,2 ). Supongamos que E denota el campo electrostático generado por estas cargas puntuales. Si S es la esfera de radio 2 orientada hacia el exterior y centrada en el origen, halle SE.dS.SE.dS.

Punto de control 6.68

Trabaje el ejemplo anterior para la superficie S que es una esfera de radio 4 centrada en el origen, orientada hacia afuera.

Sección 6.8 ejercicios

En los siguientes ejercicios, utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) y el teorema de la divergencia para evaluar la integral de superficie SF.ndsSF.nds para la elección dada de F y la superficie borde S. Para cada superficie cerrada, supongamos que N es el vector normal unitario hacia afuera.

376.

[T] F(x,y,z)=xi+yj+zk;F(x,y,z)=xi+yj+zk; S es la superficie del cubo 0x1,0y1,0<z1.0x1,0y1,0<z1.

377.

[T] F(x,y,z)=(cosyz)i+exzj+3z2 k;F(x,y,z)=(cosyz)i+exzj+3z2 k; S es la superficie del hemisferio z=4x2 y2 z=4x2 y2 junto con el disco x2 +y2 4x2 +y2 4 en el plano xy.

378.

[T] F(x,y,z)=(x2 +y2 x2 )i+x2 yj+3zk;F(x,y,z)=(x2 +y2 x2 )i+x2 yj+3zk; S es la superficie de las cinco caras del cubo unitario 0x1,0y1,0<z1.0x1,0y1,0<z1.

379.

[T] F(x,y,z)=xi+yj+zk;F(x,y,z)=xi+yj+zk; S es la superficie del paraboloide z=x2 +y2 para0z9.z=x2 +y2 para0z9.

380.

[T] F(x,y,z)=x2 i+y2 j+z2 k;F(x,y,z)=x2 i+y2 j+z2 k; S es la superficie de la esfera x2 +y2 +z2 =4.x2 +y2 +z2 =4.

381.

[T] F(x,y,z)=xi+yj+(z2 1)k;F(x,y,z)=xi+yj+(z2 1)k; S es la superficie del sólido limitado por el cilindro x2 +y2 =4x2 +y2 =4 y planos z=0yz=1.z=0yz=1.

382.

[T] F(x,y,z)=xy2 i+yz2 j+x2 zk;F(x,y,z)=xy2 i+yz2 j+x2 zk; S es la superficie limitada por encima de la esfera ρ=2 ρ=2 y abajo por el cono φ=π4φ=π4 en coordenadas esféricas. (Piense en S como la superficie de un "cono de helado»).

383.

[T] F(x,y,z)=x3i+y3j+3a2 zk(constantea>0);F(x,y,z)=x3i+y3j+3a2 zk(constantea>0); S es la superficie delimitada por el cilindro x2 +y2 =a2 x2 +y2 =a2 y planos z=0yz=1.z=0yz=1.

384.

[T] Integral de superficie SF.dS,SF.dS, donde S es el sólido delimitado por el paraboloide z=x2 +y2 z=x2 +y2 y el plano z=4,z=4, y F(x,y,z)=(x+y2 z2 )i+(y+z2 x2 )j+(z+x2 y2 )kF(x,y,z)=(x+y2 z2 )i+(y+z2 x2 )j+(z+x2 y2 )k

385.

Utilice el teorema de la divergencia para calcular la integral de superficie SF.dS,SF.dS, donde F(x,y,z)=(ey2 )i+(y+sen(z2 ))j+(z1)kF(x,y,z)=(ey2 )i+(y+sen(z2 ))j+(z1)k y S es el hemisferio superior x2 +y2 +z2 =1,z0,x2 +y2 +z2 =1,z0, orientado hacia arriba.

386.

Utilice el teorema de la divergencia para calcular la integral de superficie SF.dS,SF.dS, donde F(x,y,z)=x4ix3z2 j+4xy2 zkF(x,y,z)=x4ix3z2 j+4xy2 zk y S es la superficie delimitada por el cilindro x2 +y2 =1x2 +y2 =1 y planos z=x+2 z=x+2 y z=0.z=0.

387.

Utilice el teorema de la divergencia para calcular la integral de superficie SF.dSSF.dS cuando F(x,y,z)=x2 z3i+2 xyz3j+xz4kF(x,y,z)=x2 z3i+2 xyz3j+xz4k y S es la superficie de la caja con vértices (±1,±2,±3).(±1,±2,±3).

388.

Utilice el teorema de la divergencia para calcular la integral de superficie SF.dSSF.dS cuando F(x,y,z)=ztan–1(y2 )i+z3ln(x2 +1)j+zkF(x,y,z)=ztan–1(y2 )i+z3ln(x2 +1)j+zk y S es una parte del paraboloide x2 +y2 +z=2 x2 +y2 +z=2 que se encuentra por encima del plano z=1z=1 y está orientado hacia arriba.

389.

[T] Utilice un CAS y el teorema de la divergencia para calcular el flujo SF.dS,SF.dS, donde F(x,y,z)=(x3+y3)i+(y3+z3)j+(z3+x3)kF(x,y,z)=(x3+y3)i+(y3+z3)j+(z3+x3)k y S es una esfera con centro (0, 0) y radio 2.

390.

Utilice el teorema de la divergencia para calcular el valor de la integral de flujo SF.dS,SF.dS, donde F(x,y,z)=(y3+3x)i+(xz+y)j+[z+x4cos(x2 y)]kF(x,y,z)=(y3+3x)i+(xz+y)j+[z+x4cos(x2 y)]k y S es el área de la región delimitada por x2 +y2 =1,x0,y0,y0z1.x2 +y2 =1,x0,y0,y0z1.

Un campo vectorial en tres dimensiones, centrado en el área con x > 0, y>0, y z>0. Se dibuja un cuarto de cilindro con centro en el eje z. Las flechas tienen componentes x, y, y z positivas; apuntan lejos del origen.
391.

Utilice el teorema de la divergencia para calcular la integral de flujo SF.dS,SF.dS, donde F(x,y,z)=yjzkF(x,y,z)=yjzk y S consiste en la unión del paraboloide y=x2 +z2 ,0y1,y=x2 +z2 ,0y1, y disco x2 +z2 1,y=1,x2 +z2 1,y=1, orientado hacia el exterior. ¿Cuál es el flujo que atraviesa solo el paraboloide?

392.

Utilice el teorema de la divergencia para calcular la integral de flujo SF.dS,SF.dS, donde F(x,y,z)=x+yj+z4kF(x,y,z)=x+yj+z4k y S es una parte del cono z=x2 +y2 z=x2 +y2 bajo el plano superior z=1,z=1, orientado hacia abajo.

393.

Utilice el teorema de la divergencia para calcular la integral de superficie SF.dSSF.dS por F(x,y,z)=x4ix3z2 j+4xy2 zk,F(x,y,z)=x4ix3z2 j+4xy2 zk, donde S es la superficie delimitada por el cilindro x2 +y2 =1x2 +y2 =1 y planos z=x+2 yz=0.z=x+2 yz=0.

394.

Considere que F(x,y,z)=x2 i+xyj+(z+1)k.F(x,y,z)=x2 i+xyj+(z+1)k. Supongamos que E es el sólido encerrado por el paraboloide z=4x2 y2 z=4x2 y2 y el plano z=0z=0 con vectores normales que apuntan fuera de E. Calcule el flujo F a través de el borde de E utilizando el teorema de la divergencia.

En los siguientes ejercicios, utilice un CAS junto con el teorema de la divergencia para calcular el flujo neto hacia afuera para los campos a través de las superficies S dadas.

395.

[T] F=x,−2y,3z;F=x,−2y,3z; S es una esfera {(x,y,z):x2 +y2 +z2 =6}.{(x,y,z):x2 +y2 +z2 =6}.

396.

[T] F=x,2 y,z;F=x,2 y,z; S es el borde del tetraedro en el primer octante formado por el plano x+y+z=1.x+y+z=1.

397.

[T] F=y2 x,x3y,y2 z;F=y2 x,x3y,y2 z; S es una esfera {(x,y,z):x2 +y2 +z2 =4}.{(x,y,z):x2 +y2 +z2 =4}.

398.

[T] F=x,y,z;F=x,y,z; S es la superficie del paraboloide z=4x2 y2 ,z=4x2 y2 , por z0,z0, más su base en el plano xy.

En los siguientes ejercicios, utilice un CAS y el teorema de la divergencia para calcular el flujo neto hacia afuera para los campos vectoriales a través del borde de las regiones D dadas.

399.

[T] F=zx,xy,2 yz;F=zx,xy,2 yz; D es la región entre las esferas de radio 2 y 4 centrada en el origen.

400.

[T] F=r|r|=x,y,zx2 +y2 +z2 ;F=r|r|=x,y,zx2 +y2 +z2 ; D es la región entre las esferas de radio 1 y 2 centrada en el origen.

401.

[T] F=x2 ,y2 ,z2 ;F=x2 ,y2 ,z2 ; D es la región del primer octante entre los planos z=4xyz=4xy y de z=2 xy.z=2 xy.

402.

Supongamos que F(x,y,z)=2 xi3xyj+xz2 k.F(x,y,z)=2 xi3xyj+xz2 k. Utilice el teorema de la divergencia para calcular SF.dS,SF.dS, donde S es la superficie del cubo con esquinas en (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0), (1,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),y(1,1,1),(1,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),y(1,1,1), orientado hacia el exterior.

403.

Utilice el teorema de la divergencia para hallar el flujo de campo hacia el exterior F(x,y,z)=(x33y)i+(2 yz+1)j+xyzkF(x,y,z)=(x33y)i+(2 yz+1)j+xyzk a través del cubo delimitado por los planos x=±1,y=±1,yz=±1.x=±1,y=±1,yz=±1.

404.

Supongamos que F(x,y,z)=2 xi3yj+5zkF(x,y,z)=2 xi3yj+5zk y que S es el hemisferio z=9x2 y2 z=9x2 y2 junto con el disco x2 +y2 9x2 +y2 9 en el plano xy. Utilice el teorema de la divergencia.

405.

Evalúe SF.NdS,SF.NdS, donde F(x,y,z)=x2 i+xyj+x3y3kF(x,y,z)=x2 i+xyj+x3y3k y S es la superficie formada por todas las caras excepto el tetraedro delimitado por el plano x+y+z=1x+y+z=1 y los planos de coordenadas, con el vector normal unitario Nhacia el exterior.

Un campo vectorial en tres dimensiones, con flechas que se hacen más grandes cuanto más se alejan del origen, especialmente en sus componentes x. S es la superficie formada por todas las caras excepto el tetraedro delimitado por el plano x + y + z = 1. Así, se muestra una parte del plano dado, el plano (x, y), el plano (x, z) y el plano (y, z). Las flechas apuntan hacia el origen para las componentes x negativas, alejándose del origen para las componentes x positivas, hacia abajo para las componentes x positivas y negativas, así como para las componentes x positivas y negativas, y para las componentes x positivas y y negativas.
406.

Halle el flujo neto hacia el exterior del campo F=bzcy,cxaz,aybxF=bzcy,cxaz,aybx a través de cualquier superficie lisa y cerrada en R3,R3, donde a, b y c son constantes.

407.

Utilice el teorema de la divergencia para evaluar SRR.nds,SRR.nds, donde R(x,y,z)=xi+yj+zkR(x,y,z)=xi+yj+zk y S es una esfera x2 +y2 +z2 =a2 ,x2 +y2 +z2 =a2 , con constante a>0.a>0.

408.

Utilice el teorema de la divergencia para evaluar SF.dS,SF.dS, donde F(x,y,z)=y2 zi+y3j+xzkF(x,y,z)=y2 zi+y3j+xzk y S es el borde del cubo definida por −1x1,−1y1,y0z2 .−1x1,−1y1,y0z2 .

409.

Supongamos que R es la región definida por x2 +y2 +z2 1.x2 +y2 +z2 1. Utilice el teorema de la divergencia para hallar Rz2 dV.Rz2 dV.

410.

Supongamos que E es el sólido delimitado por el plano xy y el paraboloide z=4x2 y2 z=4x2 y2 de modo que S es la superficie del trozo de paraboloide junto con el disco en el plano xy que forma su fondo. Si los valores de F(x,y,z)=(xzsen(yz)+x3)i+cos(yz)j+(3zy2 ex2 +y2 )k,F(x,y,z)=(xzsen(yz)+x3)i+cos(yz)j+(3zy2 ex2 +y2 )k, calcule SF.dSSF.dS utilizando el teorema de la divergencia.

Un campo vectorial en tres dimensiones con todas las flechas apuntando hacia abajo. Parecen seguir la trayectoria del paraboloide dibujado abriendo hacia abajo con vértice en el origen. S es la superficie de este paraboloide y el disco en el plano (x, y) que forma su fondo.
411.

Supongamos que E es el cubo sólido unitario con esquinas diagonalmente opuestas en el origen y (1, 1, 1), y caras paralelas a los planos de coordenadas. Supongamos que S es la superficie de E, orientada con la normal que apunta hacia afuera. Utilice un CAS para hallar SF.dSSF.dS utilizando el teorema de la divergencia si F(x,y,z)=2 xyi+3yezj+xsenzk.F(x,y,z)=2 xyi+3yezj+xsenzk.

412.

Utilice el teorema de la divergencia para calcular el flujo de F(x,y,z)=x3i+y3j+z3kF(x,y,z)=x3i+y3j+z3k a través de la esfera x2 +y2 +z2 =1.x2 +y2 +z2 =1.

413.

Halle SF.dS,SF.dS, donde F(x,y,z)=xi+yj+zkF(x,y,z)=xi+yj+zk y S es la superficie orientada hacia el exterior que se obtiene eliminando el cubo [1,2 ]×[1,2 ]×[1,2 ][1,2 ]×[1,2 ]×[1,2 ] del cubo [0,2 ]×[0,2 ]×[0,2 ].[0,2 ]×[0,2 ]×[0,2 ].

414.

Consideremos el campo vectorial radial F=r|r|=x,y,z(x2 +y2 +z2 )1/2 .F=r|r|=x,y,z(x2 +y2 +z2 )1/2 . Calcule la integral de superficie, donde S es la superficie de una esfera de radio a centrada en el origen.

415.

Calcule el flujo de agua a través del cilindro parabólico S:y=x2 ,S:y=x2 , a partir de 0x2 ,0z3,0x2 ,0z3, si el vector velocidad es F(x,y,z)=3z2 i+6j+6xzk.F(x,y,z)=3z2 i+6j+6xzk.

416.

[T] Utilice un CAS para calcular el flujo del campo vectorial F(x,y,z)=zi+zj+x2 +y2 kF(x,y,z)=zi+zj+x2 +y2 k a través de la porción del hiperboloide x2 +y2 =z2 +1x2 +y2 =z2 +1 entre planos z=0z=0 y z=33,z=33, orientado de manera que el vector normal unitario apunte lejos del eje z.

417.

[T] Utilice un CAS para calcular el flujo del campo vectorial F(x,y,z)=(ey+x)i+(3cos(xz)y)j+zkF(x,y,z)=(ey+x)i+(3cos(xz)y)j+zk a través de la superficie S, donde S viene dada por z2 =4x2 +4y2 z2 =4x2 +4y2 a partir de 0z4,0z4, orientado de manera que el vector normal unitario apunte hacia abajo.

418.

[T] Utilice un CAS para calcular SF.dS,SF.dS, donde F(x,y,z)=xi+yj+2 zkF(x,y,z)=xi+yj+2 zk y S es una parte de la esfera x2 +y2 +z2 =2 x2 +y2 +z2 =2 con la 0z1.0z1.

419.

Evalúe SF.dS,SF.dS, donde F(x,y,z)=bxy2 i+bx2 yj+(x2 +y2 )z2 kF(x,y,z)=bxy2 i+bx2 yj+(x2 +y2 )z2 k y S es una superficie cerrada que limita la región y que consiste en un cilindro sólido x2 +y2 a2 x2 +y2 a2 y 0zb.0zb.

420.

[T] Utilice un CAS para calcular el flujo de F(x,y,z)=(x3+ysenz)i+(y3+zsenx)j+3zkF(x,y,z)=(x3+ysenz)i+(y3+zsenx)j+3zk a través de la superficie S, donde S es el límite del sólido delimitado por los hemisferios z=4x2 y2 z=4x2 y2 y z=1x2 y2 ,z=1x2 y2 , y el plano z=0.z=0.

421.

Utilice el teorema de la divergencia para evaluar SF.dS,SF.dS, donde F(x,y,z)=xyi12 y2 j+zkF(x,y,z)=xyi12 y2 j+zk y S es la superficie formada por tres piezas z=43x2 3y2 ,1z4z=43x2 3y2 ,1z4 en la parte superior x2 +y2 =1,0z1x2 +y2 =1,0z1 en los laterales; y z=0z=0 en la parte inferior.

422.

[T] Utilice un CAS y el teorema de la divergencia para evaluar SF.dS,SF.dS, donde F(x,y,z)=(2 x+ycosz)i+(x2 y)j+y2 zkF(x,y,z)=(2 x+ycosz)i+(x2 y)j+y2 zk y S es una esfera x2 +y2 +z2 =4x2 +y2 +z2 =4 orientado hacia el exterior.

423.

Utilice el teorema de la divergencia para evaluar SF.dS,SF.dS, donde F(x,y,z)=xi+yj+zkF(x,y,z)=xi+yj+zk y S es el borde del sólido encerrado por el paraboloide y=x2 +z2 2 ,y=x2 +z2 2 , cilindro x2 +z2 =1,x2 +z2 =1, y el plano x+y=2 ,x+y=2 , y S está orientada hacia el exterior.

En los siguientes ejercicios, la ley de transferencia de calor de Fourier establece que el vector de flujo de calor F en un punto es proporcional al gradiente negativo de la temperatura; es decir, F=kT,F=kT, lo que significa que la energía térmica fluye de las regiones calientes a las frías. La constante k>0k>0 se llama la conductividad, que tiene unidades métricas de julios por metro por segundo-kelvin o vatios por metro-kelvin. Se da una función de temperatura para la región D. Utilice el teorema de la divergencia para hallar el flujo de calor neto hacia el exterior SF.NdS=kST.NdSSF.NdS=kST.NdS a través del borde S de D, donde k=1.k=1.

424.

T(x,y,z)=100+x+2 y+z;T(x,y,z)=100+x+2 y+z; D={(x,y,z):0x1,0y1,0z1}D={(x,y,z):0x1,0y1,0z1}

425.

T(x,y,z)=100+ez;T(x,y,z)=100+ez; D={(x,y,z):0x1,0y1,0z1}D={(x,y,z):0x1,0y1,0z1}

426.

T(x,y,z)=100ex2 y2 z2 ;T(x,y,z)=100ex2 y2 z2 ; D es la esfera de radio a centrada en el origen.

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