Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

6.1.1 Reconocer un campo vectorial en un plano o en el espacio.
6.1.2 Dibujar un campo vectorial a partir de una ecuación dada.
6.1.3 Identificar un campo conservador y su función potencial asociada.

Los campos vectoriales son una herramienta importante para describir muchos conceptos físicos, como la gravitación y el electromagnetismo, que afectan al comportamiento de los objetos en una gran región de un plano o del espacio. También son útiles para tratar el comportamiento a gran escala, como las tormentas atmosféricas o las corrientes oceánicas de aguas profundas. En esta sección examinamos las definiciones básicas y los gráficos de los campos vectoriales para poder estudiarlos con más detalle en el resto de este capítulo.

Ejemplos de campos vectoriales

¿Cómo podemos modelar la fuerza gravitacional ejercida por múltiples objetos astronómicos? ¿Cómo podemos modelar la velocidad de las partículas de agua en la superficie de un río? La Figura 6.2 ofrece representaciones visuales de estos fenómenos.

La Figura 6.2(a) muestra un campo gravitacional ejercido por dos objetos astronómicos, como una estrella y un planeta o un planeta y una luna. En cualquier punto de la figura, el vector asociado a un punto da la fuerza gravitacional neta ejercida por los dos objetos sobre un objeto de masa unitaria. Los vectores de mayor magnitud en la figura son los más cercanos al objeto mayor. El objeto más grande tiene mayor masa, por lo que ejerce una fuerza gravitacional de mayor magnitud que el objeto más pequeño.

La Figura 6.2(b) muestra la velocidad de un río en puntos de su superficie. El vector asociado a un punto determinado de la superficie del río da la velocidad del agua en ese punto. Como los vectores de la izquierda de la figura son de pequeña magnitud, el agua fluye lentamente en esa parte de la superficie. A medida que el agua se mueve de izquierda a derecha, se encuentra con algunos rápidos alrededor de una roca. La velocidad del agua aumenta y se produce un remolino en parte de los rápidos.

Dos imágenes, marcadas como A y B. La imagen A muestra el campo gravitacional ejercido por dos cuerpos astronómicos sobre un pequeño objeto. La tierra está a la izquierda y la luna a la derecha. La tierra está rodeada de largas flechas que apuntan hacia su centro dispuestas en círculos concéntricos. Hay una ruptura en el círculo de la derecha, frente a la luna. La luna está rodeada de flechas más pequeñas que se curvan hacia fuera y hacia la derecha. La imagen B muestra el campo de velocidad vectorial del agua en la superficie de un río con una gran roca en el centro. Las flechas tienden a apuntar en el mismo ángulo que la orilla del río. Donde el río se encuentra con la roca, las flechas apuntan alrededor de la roca. Después de la roca, algunas flechas apuntan hacia adelante, y otras se vuelven hacia la roca. El agua fluye más rápido hacia el centro del río y alrededor de la roca y más lento a lo largo de la ribera.

Figura 6.2 (a) El campo gravitacional ejercido por dos cuerpos astronómicos sobre un pequeño objeto. (b) El campo de velocidad vectorial del agua en la superficie de un río muestra las distintas velocidades del agua. El rojo indica que la magnitud del vector es mayor, por lo que el agua fluye más rápidamente; el azul indica una magnitud menor y una velocidad de flujo de agua más lenta.

Cada figura ilustra un ejemplo de campo vectorial. Intuitivamente, un campo vectorial es un mapa de vectores. En esta sección, estudiamos los campos vectoriales en $ℝ^{2}$ y $ℝ^{3} .$

Definición

Un campo vectorial $F$ en $ℝ^{2}$ es una asignación de un vector bidimensional $F (x, y)$ a cada punto $(x, y)$ de un subconjunto D de $ℝ^{2} .$ El subconjunto D es el dominio del campo vectorial.

Un campo vectorial F en $ℝ^{3}$ es una asignación de un vector tridimensional $F (x, y, z)$ a cada punto $(x, y, z)$ de un subconjunto D de $ℝ^{3} .$ El subconjunto D es el dominio del campo vectorial.

Campos vectoriales en $ℝ^{2}$

Un campo vectorial en $ℝ^{2}$ puede representarse de dos formas equivalentes. La primera forma es utilizar un vector con componentes que son funciones de dos variables:

F (x, y) = 〈 P (x, y), Q (x, y) 〉 .

(6.1)

La segunda forma es utilizar los vectores unitarios normales:

F (x, y) = P (x, y) i + Q (x, y) j .

(6.2)

Se dice que un campo vectorial es continuo si sus funciones componentes son continuas.

Ejemplo 6.1

Hallar un vector asociado a un punto dado

Supongamos que $F (x, y) = (2 y^{2} + x - 4) i + cos (x) j$ es un campo vectorial en $ℝ^{2} .$ Observe que se trata de un ejemplo de campo vectorial continuo, ya que las dos funciones componentes son continuas. ¿Qué vector está asociado al punto $(0, –1) ?$

Solución

Sustituya los valores puntuales de x y de y:

\begin{matrix} F (0, 1) & = (2 {(–1)}^{2} + 0 - 4) i + cos (0) j \\ = –2 i + j . \end{matrix}

Punto de control 6.1

Supongamos que $G (x, y) = x^{2} y i - (x + y) j$ es un campo vectorial en $ℝ^{2} .$ ¿Qué vector está asociado al punto $(–2, 3) ?$

Dibujar un campo vectorial

Ahora podemos representar un campo vectorial en términos de sus componentes de funciones o vectores unitarios, pero representarlo visualmente mediante un esquema es más complejo porque el dominio de un campo vectorial está en $ℝ^{2},$ al igual que el rango. Por lo tanto, el “gráfico” de un campo vectorial en $ℝ^{2}$ vive en un espacio de cuatro dimensiones. Como no podemos representar visualmente el espacio de cuatro dimensiones, dibujamos en su lugar campos vectoriales en $ℝ^{2}$ en un plano propio. Para ello, dibuje el vector asociado a un punto determinado en un plano. Por ejemplo, supongamos que el vector asociado al punto $(4, –1)$ ¿es $〈 3, 1 〉 .$ Entonces, dibujaríamos el vector $〈 3, 1 〉$ en el punto $(4, –1) .$

Deberíamos trazar suficientes vectores para ver la forma general, pero no tantos como para que el dibujo se convierta en un embrollo. Si trazáramos el vector de la imagen en cada punto de la región, este llenaría la región por completo y es inútil. En cambio, podemos elegir puntos en las intersecciones de las líneas de la cuadrícula y trazar una muestra de varios vectores de cada cuadrante de un sistema de coordenadas rectangular en $ℝ^{2} .$

Hay dos tipos de campos vectoriales en $ℝ^{2}$ en los que se centra este capítulo: campos radiales y campos rotacionales. Los campos radiales modelan ciertos campos gravitacionales y campos de fuentes de energía, y los campos rotacionales modelan el movimiento de un fluido en un vórtice. En un campo radial, todos los vectores apuntan directamente hacia el origen o se alejan de él. Además, la magnitud de cualquier vector depende solo de su distancia al origen. En un campo radial, el vector situado en el punto $(x, y)$ es perpendicular a la circunferencia centrada en el origen que contiene el punto $(x, y),$ y todos los demás vectores de este círculo tienen la misma magnitud.

Ejemplo 6.2

Dibujar un campo vectorial radial

Dibuje el campo vectorial $F (x, y) = \frac{x}{2} i + \frac{y}{2} j .$

Solución

Para dibujar este campo vectorial, elija una muestra de puntos de cada cuadrante y calcule el vector correspondiente. La siguiente tabla ofrece una muestra representativa de los puntos de un plano y los vectores correspondientes.

$(x, y)$ grandes.	$F (x, y)$ grandes.	$(x, y)$ grandes.	$F (x, y)$ grandes.	$(x, y)$ grandes.	$F (x, y)$ grandes.
$(1, 0)$ grandes.	$〈 \frac{1}{2}, 0 〉$	$(2, 0)$ grandes.	$〈 1, 0 〉$	$(1, 1)$ grandes.	$〈 \frac{1}{2}, \frac{1}{2} 〉$
$(0, 1)$ grandes.	$〈 0, \frac{1}{2} 〉$	$(0, 2)$ grandes.	$〈 0, 1 〉$	$(–1, 1)$ grandes.	$〈 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} 〉$
$(–1, 0)$ grandes.	$〈 - \frac{1}{2}, 0 〉$	$(–2, 0)$ grandes.	$〈 –1, 0 〉$	$(–1, –1)$ grandes.	$〈 - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} 〉$
$(0, –1)$ grandes.	$〈 0, - \frac{1}{2} 〉$	$(0, –2)$ grandes.	$〈 0, −1 〉$	$(1, –1)$ grandes.	$〈 \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} 〉$

La Figura 6.3(a) muestra el campo vectorial. Para ver que cada vector es perpendicular al círculo correspondiente, la Figura 6.3(b) muestra los círculos superpuestos al campo vectorial.

Representaciones visuales de un campo vectorial radial en un campo de coordenadas. Las flechas se alejan del origen en forma radial. Las magnitudes aumentan cuanto más lejos están las flechas del origen, por lo que las líneas son más largas. La segunda versión muestra círculos concéntricos alrededor del origen para resaltar el patrón radial.

Figura 6.3 (a) Una representación visual del campo vectorial radial

F (x, y) = \frac{x}{2} i + \frac{y}{2} j .

(b) El campo vectorial radial

F (x, y) = \frac{x}{2} i + \frac{y}{2} j

con círculos superpuestos. Observe que cada vector es perpendicular al círculo en el que se encuentra.

Punto de control 6.2

Dibuje el campo radial $F (x, y) = - \frac{x}{3} i - \frac{y}{3} j .$

A diferencia de los campos radiales, en un campo rotacional, el vector en el punto $(x, y)$ es tangente (no perpendicular) a un círculo de radio $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$ En un campo rotacional normal, todos los vectores apuntan en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, y la magnitud de un vector depende solo de su distancia al origen. Los dos ejemplos siguientes son campos de rotación en el sentido de las agujas del reloj, y vemos en sus representaciones visuales que los vectores parecen girar alrededor del origen.

Ejemplo 6.3

Inicio del capítulo: Dibujar un campo vectorial rotacional

Una fotografía de un huracán donde se muestra la rotación alrededor de su ojo

Figura 6.4 (créditos: modificación del trabajo de la NASA).

Dibuje el campo vectorial $F (x, y) = 〈 y, − x 〉 .$

Solución

Cree una tabla (vea la que sigue) con una muestra representativa de puntos en un plano y sus correspondientes vectores. La Figura 6.6 muestra el campo vectorial resultante.

$(x, y)$ grandes.	$F (x, y)$ grandes.	$(x, y)$ grandes.	$F (x, y)$ grandes.	$(x, y)$ grandes.	$F (x, y)$ grandes.
$(1, 0)$ grandes.	$〈 0, −1 〉$	$(2, 0)$ grandes.	$〈 0, −2 〉$	$(1, 1)$ grandes.	$〈 1, −1 〉$
$(0, 1)$ grandes.	$〈 1, 0 〉$	$(0, 2)$ grandes.	$〈 2, 0 〉$	$(–1, 1)$ grandes.	$〈 1, 1 〉$
$(–1, 0)$ grandes.	$〈 0, 1 〉$	$(–2, 0)$ grandes.	$〈 0, 2 〉$	$(–1, –1)$ grandes.	$〈 –1, 1 〉$
$(0, –1)$ grandes.	$〈 –1, 0 〉$	$(0, –2)$ grandes.	$〈 –2, 0 〉$	$(1, –1)$ grandes.	$〈 –1, −1 〉$

Una representación visual del campo vectorial dado en un plano de coordenadas con dos diagramas adicionales con notación. La primera representación muestra el campo vectorial. Las flechas rodean el origen en el sentido de las agujas del reloj. La segunda representación muestra círculos concéntricos, destacando el patrón radial. La tercera representación muestra los círculos concéntricos. También muestra flechas para el vector radial <a,b> para todos los puntos (a,b). Cada una es perpendicular a las flechas del campo vectorial dado.

Figura 6.5 (a) Una representación visual del campo vectorial

F (x, y) = 〈 y, − x 〉 .

(b) Campo vectorial

F (x, y) = 〈 y, − x 〉

con círculos centrados en el origen. (c) El vector

F (a, b)

es perpendicular al vector radial

〈 a, b 〉

en el punto

(a, b) .

Análisis

Observe que el vector $F (a, b) = 〈 b, − a 〉$ apunta a las agujas del reloj y es perpendicular al vector radial $〈 a, b 〉 .$ (Podemos verificar esta afirmación calculando el producto escalar de los dos vectores $〈 a, b 〉 . 〈 − b, a 〉 = − a b + a b = 0 .)$ Además, el vector $〈 b, − a 〉$ tiene longitud $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$ Así, tenemos una descripción completa de este campo vectorial rotacional: el vector asociado al punto $(a, b)$ es el vector de longitud r tangente a la circunferencia de radio r, y apunta en el sentido de las agujas del reloj.

Los dibujos como el de la Figura 6.6 se utilizan a menudo para analizar sistemas de tormentas importantes, incluidos huracanes y ciclones. En el hemisferio norte, las tormentas giran en sentido contrario a las agujas del reloj; en el hemisferio sur, giran en sentido de las agujas del reloj. (Se trata de un efecto provocado por la rotación de la Tierra sobre su eje y se denomina efecto Coriolis).

Ejemplo 6.4

Dibujar un campo vectorial

Dibuje el campo vectorial $F (x, y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2}} i - \frac{x}{x^{2} + y^{2}} j .$

Solución

Para visualizar este campo vectorial, primero hay que observar que el producto escalar $F (a, b) . (a i + b j)$ es cero para cualquier punto $(a, b) .$ Por tanto, cada vector es tangente a la circunferencia en la que se encuentra. Además, como $(a, b) \to (0, 0),$ la magnitud de $F (a, b)$ llega hasta el infinito. Para ver esto, observe que

| | F (a, b) | | = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}} = \sqrt{\frac{1}{a^{2} + b^{2}}} .

Dado que $\frac{1}{a^{2} + b^{2}} \to \infty$ cuando $(a, b) \to (0, 0),$ entonces $| | F (a, b) | | \to \infty$ cuando $(a, b) \to (0, 0) .$ Este campo vectorial se parece al campo vectorial del Ejemplo 6.3, pero en este caso las magnitudes de los vectores cercanos al origen son grandes. La tabla siguiente presenta una muestra de puntos y los vectores correspondientes, y la Figura 6.6 muestra el campo vectorial. Observe que este campo vectorial modela el movimiento de remolino del río en la Figura 6.2(b). El dominio de este campo vectorial es todo $ℝ^{2}$ excepto el punto $(0, 0) .$

$(x, y)$ grandes.	$F (x, y)$ grandes.	$(x, y)$ grandes.	$F (x, y)$ grandes.	$(x, y)$ grandes.	$F (x, y)$ grandes.
$(1, 0)$ grandes.	$〈 0, −1 〉$	$(2, 0)$ grandes.	$〈 0, - \frac{1}{2} 〉$	$(1, 1)$ grandes.	$〈 \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} 〉$
$(0, 1)$ grandes.	$〈 1, 0 〉$	$(0, 2)$ grandes.	$〈 \frac{1}{2}, 0 〉$	$(–1, 1)$ grandes.	$〈 \frac{1}{2}, \frac{1}{2} 〉$
$(–1, 0)$ grandes.	$〈 0, 1 〉$	$(–2, 0)$ grandes.	$〈 0, \frac{1}{2} 〉$	$(–1, –1)$ grandes.	$〈 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} 〉$
$(0, –1)$ grandes.	$〈 –1, 0 〉$	$(0, –2)$ grandes.	$〈 - \frac{1}{2}, 0 〉$	$(1, –1)$ grandes.	$〈 - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} 〉$

Una representación visual del campo vectorial dado en un plano de coordenadas. La magnitud es mayor cerca del origen. Las flechas giran el origen en el sentido de las agujas del reloj. Podría utilizarse para modelar el movimiento de remolino de un fluido.

Figura 6.6 Una representación visual del campo vectorial

F (x, y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2}} i - \frac{x}{x^{2} + y^{2}} j .

Este campo vectorial podría utilizarse para modelar el movimiento de remolino de un fluido.

Punto de control 6.3

Dibuje el campo vectorial $F (x, y) = 〈 −2 y, 2 x 〉 .$ ¿El campo vectorial es radial, rotacional o ninguno de los dos?

Ejemplo 6.5

Campo de velocidad de un fluido

Supongamos que $v (x, y) = - \frac{2 y}{x^{2} + y^{2}} i + \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}} j$ es el campo de velocidad de un fluido. ¿Qué velocidad tiene el fluido en el punto $(1, –1) ?$ (Supongamos que las unidades de velocidad son metros por segundo).

Solución

Para encontrar la velocidad del fluido en el punto $(1, –1),$ sustituya el punto a v:

v (1, –1) = - \frac{2 (–1)}{1 + 1} i + \frac{2 (1)}{1 + 1} j = i + j .

La rapidez del fluido en $(1, –1)$ es la magnitud de este vector. Por lo tanto, la rapidez es $| | i + j | | = \sqrt{2}$ m/s.

Punto de control 6.4

El campo vectorial $v (x, y) = 〈 4 | x |, 1 〉$ modela la velocidad del agua en la superficie de un río. ¿Cuál es la rapidez del agua en el punto $(2, 3) ?$ Utilice metros por segundo como unidades.

Examinamos campos vectoriales que contienen vectores de varias magnitudes, pero al igual que tenemos vectores unitarios, también podemos tener un campo vectorial unitario. Un campo vectorial F es un campo vectorial unitario si la magnitud de cada vector del campo es 1. En un campo vectorial unitario, la única información relevante es la dirección de cada vector.

Ejemplo 6.6

Un campo vectorial unitario

Demuestre que el campo vectorial $F (x, y) = 〈 \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}, - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} 〉$ es un campo vectorial unitario.

Solución

Para demostrar que F es un campo unitario, debemos demostrar que la magnitud de cada vector es 1. Observe que

\begin{matrix} \sqrt{{(\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + {(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2}} & = \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}} \\ = \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}} \\ = 1 \end{matrix}

Por lo tanto, F es un campo vectorial unitario.

Punto de control 6.5

¿El campo vectorial $F (x, y) = 〈 − y, x 〉$ es un campo vectorial unitario?

¿Por qué son importantes los campos vectoriales unitarios? Supongamos que estudiamos el flujo de un fluido y que solo nos importa la dirección en la que fluye el fluido en un punto determinado. En este caso, la rapidez del fluido (que es la magnitud del vector velocidad correspondiente) es irrelevante, porque lo único que nos importa es la dirección de cada vector. Por lo tanto, el campo vectorial unitario asociado a la velocidad es el campo que estudiaríamos.

Si los valores de $F = 〈 P, Q, R 〉$ es un campo vectorial, entonces el campo vectorial unitario correspondiente es $〈 \frac{P}{| | F | |}, \frac{Q}{| | F | |}, \frac{R}{| | F | |} 〉 .$ Observe que si $F (x, y) = 〈 y, − x 〉$ es el campo vectorial del Ejemplo 6.3, entonces la magnitud de F es $\sqrt{x^{2} + y^{2}},$ y por tanto, el campo vectorial unitario correspondiente es el campo G del ejemplo anterior.

Si F es un campo vectorial, entonces el proceso de dividir F entre su magnitud para formar un campo vectorial unitario $F / | | F | |$ se llama normalizar el campo F.

Campos vectoriales en $ℝ^{3}$

Vimos varios ejemplos de campos vectoriales en $ℝ^{2};$ pasemos ahora a los campos vectoriales en $ℝ^{3} .$ Estos campos vectoriales pueden utilizarse para modelar campos gravitacionales o electromagnéticos, y también pueden utilizarse para modelar el flujo de fluidos o el flujo de calor en tres dimensiones. En realidad, un campo vectorial bidimensional solo puede modelar el movimiento del agua en una porción bidimensional de un río (como en su superficie). Dado que un río fluye a través de tres dimensiones espaciales, para modelar el flujo de toda su profundidad, necesitamos un campo vectorial en tres dimensiones.

La dimensión extra de un campo tridimensional puede hacer que los campos vectoriales en $ℝ^{3}$ sean más difíciles de visualizar, pero la idea es la misma. Para visualizar un campo vectorial en $ℝ^{3},$ trace suficientes vectores para mostrar la forma general. Podemos utilizar un método similar para visualizar un campo vectorial en $ℝ^{2}$ eligiendo puntos en cada octante.

Al igual que con los campos vectoriales en $ℝ^{2},$ podemos representar campos vectoriales en $ℝ^{3}$ con las funciones de las componentes. Simplemente necesitamos una función componente adicional para la dimensión extra. Escribimos

F (x, y, z) = 〈 P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) 〉

(6.3)

o

F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q (x, y, z) j + R (x, y, z) k .

(6.4)

Ejemplo 6.7

Trazar un campo vectorial en tres dimensiones

Describir el campo vectorial $F (x, y, z) = 〈 1, 1, z 〉 .$

Solución

Para este campo vectorial, las componentes x y y son constantes, por lo que cada punto de $ℝ^{3}$ tiene un vector asociado con componentes x y y iguales a uno. Para visualizar F, primero consideramos el aspecto del campo en el plano xy. En el plano xy, $z = 0 .$ Por lo tanto, cada punto de la forma $(a, b, 0)$ tiene un vector $〈 1, 1, 0 〉$ asociado a él. Para los puntos que no están en el plano xy, sino que están ligeramente por encima de él, el vector asociado tiene una componente z pequeña pero positiva, y por tanto el vector asociado apunta ligeramente hacia arriba. Para los puntos que están muy por encima del plano xy, la componente z es grande, por lo que el vector es casi vertical. La Figura 6.7 muestra este campo vectorial.

Una representación visual del campo vectorial dado en tres dimensiones. Las flechas siempre tienen componentes x y y de 1. La componente z cambia en función de la altura. Cuanto más se acerque z a 0, menor será la componente z, y cuanto más se aleje z de 0, mayor será la componente z.

Figura 6.7 Una representación visual del campo vectorial

F (x, y, z) = 〈 1, 1, z 〉 .

Punto de control 6.6

Dibuje el campo vectorial $G (x, y, z) = 〈 2, \frac{z}{2}, 1 〉 .$

En el siguiente ejemplo, exploramos uno de los casos clásicos de un campo vectorial tridimensional: un campo gravitacional.

Ejemplo 6.8

Describir un campo vectorial gravitacional

La ley de la gravitación de Newton establece que $F = − G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{r},$ donde G es la constante gravitacional universal. Describa el campo gravitacional ejercido por un objeto (objeto 1) de masa $m_{1}$ situado en el origen sobre otro objeto (objeto 2) de masa $m_{2}$ situado en el punto $(x, y, z) .$ El campo F denota la fuerza gravitacional que el objeto 1 ejerce sobre el objeto 2, r es la distancia entre los dos objetos, y $\hat{r}$ indica el vector unitario desde el primer objeto hasta el segundo. El signo menos muestra que la fuerza gravitacional atrae hacia el origen; es decir, la fuerza del objeto 1 es atractiva. Dibuje el campo vectorial asociado a esta ecuación.

Solución

Como el objeto 1 está situado en el origen, la distancia entre los objetos viene dada por $r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} .$ El vector unitario del objeto 1 al objeto 2 es $\hat{r} = \frac{〈 x, y, z 〉}{| | 〈 x, y, z 〉 | |},$ y por lo tanto $\hat{r} = 〈 \frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r} 〉 .$ Por tanto, el campo vectorial gravitacional F ejercido por el objeto 1 sobre el objeto 2 es

F = − G m_{1} m_{2} 〈 \frac{x}{r^{3}}, \frac{y}{r^{3}}, \frac{z}{r^{3}} 〉 .

Este es un ejemplo de un campo vectorial radial en $ℝ^{3} .$

La Figura 6.8 muestra el aspecto de este campo gravitacional para una gran masa en el origen. Observe que las magnitudes de los vectores aumentan a medida que los vectores se acercan al origen.

Una representación visual del campo vectorial gravitacional dado en tres dimensiones. Las magnitudes de los vectores aumentan a medida que los vectores se acercan al origen. Las flechas apuntan hacia adentro, hacia la masa en el origen.

Figura 6.8 Una representación visual del campo vectorial gravitacional

F = − G m_{1} m_{2} 〈 \frac{x}{r^{3}}, \frac{y}{r^{3}}, \frac{z}{r^{3}} 〉

para una gran masa en el origen.

Punto de control 6.7

La masa del asteroide 1 es de 750 000 kg y la del asteroide 2 de 130 000 kg. Supongamos que el asteroide 1 está situado en el origen, y el asteroide 2 está situado en $(15, −5, 10),$ medido en unidades de 10 a la octava potencia de kilómetros. Dado que la constante gravitacional universal es $G = 6,67384 \times 10^{–11} m^{3} {kg}^{−1} s^{−2},$ halle el vector de fuerza gravitacional que ejerce el asteroide 1 sobre el asteroide 2.

Campos de gradientes

En esta sección, estudiamos un tipo especial de campo vectorial llamado campo de gradientes o campo conservativo. Estos campos vectoriales son muy importantes en física porque pueden utilizarse para modelar sistemas físicos en los que se conserva la energía. Los campos gravitacionales y los campos eléctricos asociados a una carga estática son ejemplos de campos de gradientes.

Recordemos que si $f$ es una función (escalar) de x y de y, entonces el gradiente de $f$ es

grad f = ∇ f = f_{x} (x, y) i + f_{y} (x, y) j .

Podemos ver, por la forma en que se escribe el gradiente, que $∇ f$ es un campo vectorial en $ℝ^{2} .$ Del mismo modo, si $f$ es una función de x, y y z, entonces el gradiente de $f$ es

grad f = ∇ f = f_{x} (x, y, z) i + f_{y} (x, y, z) j + f_{z} (x, y, z) k .

El gradiente de una función de tres variables es un campo vectorial en $ℝ^{3} .$

Un campo de gradiente es un campo vectorial que puede escribirse como el gradiente de una función, y tenemos la siguiente definición.

Definición

Un campo vectorial $F$ en $ℝ^{2}$ o en $ℝ^{3}$ es un campo de gradientes si existe una función escalar $f$ de manera que $∇ f = F .$

Ejemplo 6.9

Trazar un campo vectorial de gradiente

Utilice la tecnología para trazar el campo vectorial de gradiente de $f (x, y) = x^{2} y^{2} .$

Solución

El gradiente de $f$ ¿es $∇ f = 〈 2 x y^{2}, 2 x^{2} y 〉 .$ Para dibujar el campo vectorial, utilice un sistema de álgebra computacional como Mathematica. La Figura 6.9 muestra $∇ f .$

Una representación visual del campo vectorial de gradiente dado en dos dimensiones. Las flechas apuntan hacia arriba por encima del eje x y hacia abajo por debajo del eje x, y apuntan hacia la izquierda en el lado izquierdo del eje y, y hacia la derecha en el lado derecho del eje y. Cuanto más lejos estén las flechas del cero, más verticales son, y cuanto más cerca estén las flechas del cero, más horizontales son.

Figura 6.9 El campo vectorial de gradiente es

∇ f,

donde

f (x, y) = x^{2} y^{2} .

Punto de control 6.8

Utilice la tecnología para trazar el campo vectorial de gradiente de $f (x, y) = sen x cos y .$

Considere la función $f (x, y) = x^{2} y^{2}$ del Ejemplo 6.9. La Figura 6.11 muestra las curvas de nivel de esta función superpuestas al campo vectorial de gradiente de la función. Los vectores de gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel, y las magnitudes de los vectores se hacen más grandes a medida que las curvas de nivel se acercan, porque las curvas de nivel estrechamente agrupadas indican que el gráfico es empinado, y la magnitud del vector de gradiente es el mayor valor de la derivada direccional. Por lo tanto, se puede ver la inclinación local de un gráfico investigando el campo de gradiente de la función correspondiente.

Una representación visual del campo de gradiente dado. Las flechas son más planas cuanto más cerca están del eje x y más verticales cuanto más lejos están del eje x. Las flechas apuntan a la izquierda del eje y, y apuntan a la derecha del eje y. Apuntan hacia arriba por encima del eje x y hacia abajo por debajo del eje x. Se dibujan varias curvas de nivel, cada una de las cuales se acerca asintóticamente a los ejes. A medida que las curvas de nivel se acercan, la magnitud de los vectores de gradiente aumenta.

Figura 6.10 El campo de gradientes de

f (x, y) = x^{2} y^{2}

y varias curvas de nivel de

f .

Observe que a medida que las curvas de nivel se acercan, la magnitud de los vectores de gradientes aumenta.

Como hemos aprendido antes, un campo vectorial $F$ es un campo vectorial conservativo, o un campo de gradientes si existe una función escalar $f$ de manera que $∇ f = F .$ En esta situación, $f$ se denomina función potencial para $F .$ Los campos vectoriales conservativos surgen en muchas aplicaciones, especialmente en la física. La razón por la que estos campos se denominan conservativos es que modelan las fuerzas de los sistemas físicos en los que se conserva la energía. Más adelante en este capítulo estudiaremos los campos vectoriales conservativos con más detalle.

Puede observar que, en algunas aplicaciones, una función potencial $f$ para F se define en cambio como una función tal que $− ∇ f = F .$ Este es el caso de ciertos contextos de la física, por ejemplo.

Ejemplo 6.10

Verificar una función potencial

¿Es $f (x, y, z) = x^{2} y z - sen (x y)$ una función potencial para el campo vectorial

F (x, y, z) = 〈 2 x y z - y cos (x y), x^{2} z - x cos (x y), x^{2} y 〉 ?

Solución

Tenemos que confirmar si $∇ f = F .$ Tenemos

f_{x} = 2 x y z - y cos (x y), f_{y} = x^{2} z - x cos (x y), y f_{z} = x^{2} y .

Por lo tanto, $∇ f = F$ y $f$ son funciones potenciales para $F .$

Punto de control 6.9

¿Es $f (x, y, z) = x^{2} cos (y z) + y^{2} z^{2}$ una función potencial para $F (x, y, z) = 〈 2 x cos (y z), − x^{2} z sen (y z) + 2 y z^{2}, y^{2} 〉 ?$

Ejemplo 6.11

Verificar una función potencial

La velocidad de un fluido se modela mediante el campo $v (x, y) = 〈 x y, \frac{x^{2}}{2} - y 〉 .$ Verifique que $f (x, y) = \frac{x^{2} y}{2} - \frac{y^{2}}{2}$ es una función potencial para v.

Solución

Para demostrar que $f$ es una función potencial, debemos demostrar que $∇ f = v .$ Observe que $f_{x} = x y$ y $f_{y} = \frac{x^{2}}{2} - y .$ Por lo tanto, $∇ f = 〈 x y, \frac{x^{2}}{2} - y 〉$ y $f$ es una función potencial para v (Figura 6.11).

Una representación visual del campo direccional dado en dos dimensiones. Las flechas del cuadrante 1 apuntan a la derecha. Más cerca del eje y, apuntan hacia abajo, pero rápidamente se curvan y pronto apuntan hacia arriba en un ángulo de aproximadamente 90 grados. Cuanto más cerca estén las flechas del eje x, más verticales serán. El cuadrante 2 es un reflejo del cuadrante 1. En el cuadrante 3, las flechas son más verticales cuanto más cerca están de los ejes x y y. Apuntan hacia arriba y hacia la derecha. Cuanto más lejos estén de los ejes, más cerca estarán las flechas de un ángulo de 90 grados. El cuadrante 4 es un reflejo del cuadrante 3.

Figura 6.11 El campo de velocidad

v (x, y)

tiene una función potencial y es un campo conservativo.

Punto de control 6.10

Verifique que $f (x, y) = x^{3} y^{2} + x$ es una función potencial para el campo de velocidad $v (x, y) = ⟨ 2 x y^{2} + 1, 2 x^{2} y ⟩ .$

Si F es un campo vectorial conservativo, entonces hay al menos una función potencial $f$ de manera que $∇ f = F .$ Pero, ¿podría haber más de una función potencial? Si es así, ¿hay alguna relación entre dos funciones de potencial para el mismo campo vectorial? Antes de responder estas preguntas, recordemos algunos hechos del cálculo de una sola variable para guiar nuestra intuición. Recordemos que si $k (x)$ es una función integrable, entonces k tiene una cantidad infinita de antiderivadas. Además, si F y G son antiderivadas de k, entonces F y G solo difieren en una constante. Es decir, hay algún número C tal que $F (x) = G (x) + C .$

Ahora supongamos que $F$ es un campo vectorial conservativo y que $f$ y g son funciones potenciales para $F$ . Ya que el gradiente es como una derivada, que $F$ sea conservativa significa que $F$ es "integrable" con "antiderivadas" $f$ y g. Por lo tanto, si la analogía con el cálculo de una sola variable es válida, esperamos que haya alguna constante C tal que $f (x) = g (x) + C .$ El siguiente teorema dice que esto es así.

Para enunciar el siguiente teorema con precisión, debemos suponer que el dominio del campo vectorial es conexo y abierto. Estar conectado significa que si $P_{1}$ y $P_{2}$ son dos puntos cualesquiera en el dominio, entonces se puede ir desde $P_{1}$ a $P_{2}$ a lo largo de un camino que se mantiene completamente dentro del dominio.

Teorema 6.1

Singularidad de las funciones potenciales

Supongamos que F es un campo vectorial conservativo sobre un dominio abierto y conectado y supongamos que $f$ y g son funciones tales que $∇ f = F$ y $∇ g = F .$ Entonces, existe una constante C tal que $f = g + C .$

Prueba

Dado que $f$ y g son ambas funciones potenciales para F, entonces $∇ (f - g) = ∇ f - ∇ g = F - F = 0 .$ Supongamos que $h = f - g,$ entonces tenemos $∇ h = 0 .$ Queremos demostrar que h es una función constante.

Supongamos que h es una función de x y de y (la lógica de esta prueba se extiende a cualquier número de variables independientes). Dado que $∇ h = 0,$ tenemos $h_{x} = 0$ y $h_{y} = 0 .$ La expresión $h_{x} = 0$ implica que h es una función constante con respecto a x, es decir, $h (x, y) = k_{1} (y)$ para alguna función k₁. De la misma manera, $h_{y} = 0$ implica $h (x, y) = k_{2} (x)$ para alguna función k₂. Por lo tanto, la función h depende solo de y, y también depende solo de x. Así, $h (x, y) = C$ para alguna constante C en el dominio conectado de F. Observe que realmente necesitamos conectividad en este punto; si el dominio de F viniera en dos trozos separados, entonces k podría ser una constante C₁ en un trozo pero podría ser una constante diferente C₂ en el otro trozo. Dado que $f - g = h = C,$ tenemos que $f = g + C,$ como se desea.

□

Los campos vectoriales conservativos también tienen una propiedad especial llamada propiedad cruz-parcial. Esta propiedad ayuda a comprobar si un campo vectorial dado es conservativo.

Teorema 6.2

La propiedad cruz de los campos vectoriales conservativo

Supongamos que F es un campo vectorial en dos o tres dimensiones tal que las funciones componentes de F tienen derivadas mixtas-parciales continuas de segundo orden en el dominio de F.

Si los valores de $F (x, y) = 〈 P (x, y), Q (x, y) 〉$ es un campo vectorial conservativo en $ℝ^{2},$ entonces $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} .$ Si $F (x, y, z) = 〈 P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) 〉$ es un campo vectorial conservativo en $ℝ^{3},$ entonces

\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial y}, y \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial z} .

Prueba

Como F es conservativa, existe una función $f (x, y)$ de manera que $∇ f = F .$ Por lo tanto, por la definición del gradiente, $f_{x} = P$ y $f_{y} = Q .$ Según el teorema de Clairaut, $f_{x y} = f_{y x},$ Pero, $f_{x y} = P_{y}$ y $f_{y x} = Q_{x},$ y por lo tanto $P_{y} = Q_{x} .$

□

El teorema de Clairaut proporciona una prueba rápida de la propiedad parcial cruzada de los campos vectoriales conservativos en $ℝ^{3},$ al igual que para los campos vectoriales en $ℝ^{2} .$

La propiedad cruz de los campos vectoriales conservativo muestra que la mayoría de los campos vectoriales no son conservativos. La propiedad parcial cruzada es difícil de satisfacer en general, por lo que la mayoría de los campos vectoriales no tendrán parciales cruzadas iguales.

Ejemplo 6.12

Demostrar que un campo vectorial no es conservador

Demuestre que el campo vectorial rotacional $F (x, y) = 〈 y, − x 〉$ no es conservativo.

Solución

Supongamos que $P (x, y) = y y Q (x, y) = − x .$ Si F es conservativo, entonces las parciales cruzadas serían iguales, es decir, $P_{y}$ sería igual a $Q_{x .}$ Por lo tanto, para demostrar que F no es conservativo, compruebe que $P_{y} \neq Q_{x} .$ Dado que $P_{y} = 1$ y $Q_{x} = −1,$ el campo vectorial no es conservativo.

Punto de control 6.11

Demuestre que el campo vectorial $F (x, y) x = y i - x^{2} y j$ no es conservativo.

Ejemplo 6.13

Demostrar que un campo vectorial no es conservador

¿El campo vectorial $F (x, y, z) = 〈 7, –2, x^{3} 〉$ es conservativo?

Solución

Supongamos que $P (x, y, z) = 7,$ $Q (x, y, z) = –2,$ y $R (x, y, z) = x^{3} .$ Si F es conservativo, entonces las tres ecuaciones parciales cruzadas se satisfacen, es decir, si F es conservativo, entonces $P_{y}$ sería igual a $Q_{x}, Q_{z}$ sería igual a $R_{y},$ y $R_{x}$ sería igual a $P_{z} .$ Observe que $P_{y} = Q_{x} = R_{y} = Q_{z} = 0,$ por lo que las dos primeras igualdades necesarias se mantienen. Sin embargo, $R_{x} = 3 x^{2}$ y $P_{z} = 0$ así que $R_{x} \neq P_{z} .$ Por lo tanto, $F$ no es conservativo.

Punto de control 6.12

¿El campo vectorial $G (x, y, z) = 〈 y, x, x y z 〉$ es conservativo?

Concluimos esta sección con una advertencia: La propiedad cruz de los campos vectoriales conservativo dice que si F es conservativo, entonces F tiene la propiedad parcial cruzada. El teorema no indica que, si F tiene la propiedad parcial cruzada, entonces F es conservativo (la inversa de una implicación no es lógicamente equivalente a la implicación original). En otras palabras, La propiedad cruz de los campos vectoriales conservativo solo puede ayudar a determinar que un campo no es conservativo; no permite concluir que un campo vectorial es conservativo. Por ejemplo, consideremos el campo vectorial $F (x, y) = 〈 x^{2} y, \frac{x^{3}}{3} 〉 .$ Este campo tiene la propiedad parcial cruzada, por lo que es natural tratar de utilizar La propiedad cruz de los campos vectoriales conservativo para concluir que este campo vectorial es conservativo. Sin embargo, esto es una aplicación errónea del teorema. Más adelante aprenderemos a concluir que F es conservativo.

Sección 6.1 ejercicios

1.

El dominio del campo vectorial $F = F (x, y)$ es un conjunto de puntos $(x, y)$ en un plano, ¿y el rango de F es un conjunto de qué en el plano?

En los siguientes ejercicios, determine si la afirmación es verdadera o falsa.

2.

Campo vectorial $F = 〈 3 x^{2}, 1 〉$ es un campo de gradiente para $ϕ_{1} (x, y) = x^{3} + y$ y $ϕ_{2} (x, y) = y + x^{3} + 100 .$

3.

Campo vectorial $F = \frac{〈 y, x 〉}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ es constante en dirección y magnitud en un círculo unitario.

4.

Campo vectorial $F = \frac{〈 y, x 〉}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ no es un campo radial ni una rotación.

En los siguientes ejercicios, describa cada campo vectorial dibujando algunos de sus vectores.

5.

[T] $F (x, y) = x i + y j$

6.

[T] $F (x, y) = − y i + x j$

7.

[T] $F (x, y) = x i - y j$

8.

[T] $F (x, y) = i + j$

9.

[T] $F (x, y) = 2 x i + 3 y j$

10.

[T] $F (x, y) = 3 i + x j$

11.

[T] $F (x, y) = y i + sen x j$

12.

[T] $F (x, y, z) = x i + y j + z k$

13.

[T] $F (x, y, z) = 2 x i - 2 y j - 2 z k$

14.

[T] $F (x, y, z) = \frac{y}{z} i - \frac{x}{z} j$

En los siguientes ejercicios, halle el campo vectorial de gradiente de cada función $f .$

15.

$f (x, y) = x sen y + cos y$

16.

$f (x, y, z) = z e^{– x y}$

17.

$f (x, y, z) = x^{2} y + x y + y^{2} z$

18.

$f (x, y) = x^{2} sen (5 y)$ grandes.

19.

$f (x, y) = ln (1 + x^{2} + 2 y^{2})$ grandes.

20.

$f (x, y, z) = x cos (\frac{y}{z})$

21.

¿Qué es el campo vectorial $F (x, y)$ con un valor en $(x, y)$ que es de longitud unitaria y apunta hacia $(1, 0) ?$

En los siguientes ejercicios, escriba las fórmulas de los campos vectoriales con las propiedades dadas.

22.

Todos los vectores son paralelos al eje x y todos los vectores de una línea vertical tienen la misma magnitud.

23.

Todos los vectores apuntan hacia el origen y tienen una longitud constante.

24.

Todos los vectores son de longitud unitaria y son perpendiculares al vector de posición en ese punto.

25.

Dé una fórmula $F (x, y) = M (x, y) i + N (x, y) j$ para el campo vectorial en un plano que tiene las propiedades $F = 0$ a las $(0, 0)$ y que en cualquier otro punto $(a, b),$ F es tangente al círculo $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ y apunta en el sentido de las agujas del reloj con magnitud $| F | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$

26.

¿El campo vectorial $F (x, y) = (P (x, y), Q (x, y)) = (sen x + y) i + (cos y + x) j$ es un campo de gradiente?

27.

Halle una fórmula para el campo vectorial $F (x, y) = M (x, y) i + N (x, y) j$ dado que para todos los puntos $(x, y),$ F apunta hacia el origen y $| F | = \frac{10}{x^{2} + y^{2}} .$

En los siguientes ejercicios, suponga que un campo eléctrico en el plano xy causado por una línea de carga infinita a lo largo del eje x es un campo de gradientes con función potencial $V (x, y) = c ln (\frac{r_{0}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}),$ donde $c > 0$ es una constante y $r_{0}$ es una distancia de referencia en la que se supone que el potencial es cero.

28.

Halle las componentes del campo eléctrico en las direcciones x y y, donde $E (x, y) = − ∇ V (x, y) .$

29.

Demuestre que el campo eléctrico en un punto del plano xy está dirigido hacia afuera del origen y tiene magnitud $| E | = \frac{c}{r},$ donde $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$

Una línea de flujo (o línea de corriente) de un campo vectorial $F$ es una curva $r (t)$ de manera que $d r / d t = F (r (t)) .$ Si $F$ representa el campo de velocidad de una partícula en movimiento, entonces las líneas de flujo son trayectorias tomadas por la partícula. Por lo tanto, las líneas de flujo son tangentes al campo vectorial. En los siguientes ejercicios, demuestre que la curva dada $c (t)$ es una línea de flujo del campo vectorial de velocidad dado $F (x, y, z) .$

30.

$c (t) = (e^{2 t}, ln | t |, \frac{1}{t}), t \neq 0; F (x, y, z) = 〈 2 x, z, − z^{2} 〉$

31.

$c (t) = (sen t, cos t, e^{t}); F (x, y, z) = 〈 y, − x, z 〉$

En los siguientes ejercicios, supongamos que $F = x i + y j,$ $G = − y i + x j,$ y $H = x i - y j .$ Empareje F, G y H con sus gráficos.

32.

Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas rodean el origen en sentido contrario a las agujas del reloj. Las flechas son más grandes cuanto más lejos están del origen.

33.

Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más se alejan del origen, sobre todo a la izquierda y a la derecha del eje y. Apuntan a la izquierda y a la derecha en los lados izquierdo y derecho del eje y, respectivamente. Apuntan hacia abajo por encima del eje x y hacia arriba por debajo del eje x. Cuanto más cerca del eje x, más planos son. Cuanto más cerca del eje y estén, más verticales serán.

34.

Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más se alejan del origen. Se extienden hacia fuera y se alejan del origen en un patrón radial.

En los siguientes ejercicios, supongamos que $F = x i + y j,$ $G = − y i + x j,$ y $H = x i - y j .$ Empareje los campos vectoriales con sus gráficos en $(I) - (IV) .$

$F + G$
$F + H$
$G + H$
$− F + G$

35.

Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más alejadas están del eje y. Se curvan hacia el origen en forma de espiral, con las flechas curvadas desde la derecha hacia la derecha del eje y, y curvadas desde la izquierda hacia la izquierda del eje y. Las flechas de los cuadrantes 1 y 3 son más planas, y las de los cuadrantes 2 y 4 son más verticales.

36.

Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más se alejan del eje y. Son completamente planas y apuntan a la derecha en el lado derecho del eje y, y apuntan a la izquierda en el lado izquierdo del eje y.

37.

Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más se alejan del eje y. Las flechas apuntan desde el origen en forma de espiral. En el cuadrante 1, las flechas son más verticales y se curvan hacia arriba. En el cuadrante 2, las flechas son más horizontales y se curvan hacia abajo. En el cuadrante 3, las flechas son más verticales y se curvan hacia abajo. En el cuadrante 4, las flechas son más horizontales y se curvan hacia arriba. Las flechas de cada cuadrante se funden con las dos de su lado.

38.

Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más alejadas están del eje x y del eje y en los cuadrantes 2 y 4. Las flechas están todas en un ángulo de aproximadamente 90 grados. Apuntan hacia arriba en el lado derecho del eje y, y hacia abajo en el lado izquierdo del eje y.

6.1 Campos vectoriales

Ejemplos de campos vectoriales

Campos vectoriales en ℝ2 ℝ2

Hallar un vector asociado a un punto dado

Solución

Dibujar un campo vectorial

Dibujar un campo vectorial radial

Solución

Inicio del capítulo: Dibujar un campo vectorial rotacional

Solución

Análisis

Dibujar un campo vectorial

Solución

Campo de velocidad de un fluido

Solución

Un campo vectorial unitario

Solución

Campos vectoriales en ℝ3ℝ3

Trazar un campo vectorial en tres dimensiones

Solución

Describir un campo vectorial gravitacional

Solución

Campos de gradientes

Trazar un campo vectorial de gradiente

Solución

Verificar una función potencial

Solución

Verificar una función potencial

Solución

Singularidad de las funciones potenciales

Prueba

La propiedad cruz de los campos vectoriales conservativo

Prueba

Demostrar que un campo vectorial no es conservador

Solución

Demostrar que un campo vectorial no es conservador

Solución

Sección 6.1 ejercicios

Campos vectoriales en $ℝ^{2}$

Campos vectoriales en $ℝ^{3}$