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Cálculo volumen 3

6.1 Campos vectoriales

Cálculo volumen 36.1 Campos vectoriales
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 6.1.1 Reconocer un campo vectorial en un plano o en el espacio.
  • 6.1.2 Dibujar un campo vectorial a partir de una ecuación dada.
  • 6.1.3 Identificar un campo conservador y su función potencial asociada.

Los campos vectoriales son una herramienta importante para describir muchos conceptos físicos, como la gravitación y el electromagnetismo, que afectan al comportamiento de los objetos en una gran región de un plano o del espacio. También son útiles para tratar el comportamiento a gran escala, como las tormentas atmosféricas o las corrientes oceánicas de aguas profundas. En esta sección examinamos las definiciones básicas y los gráficos de los campos vectoriales para poder estudiarlos con más detalle en el resto de este capítulo.

Ejemplos de campos vectoriales

¿Cómo podemos modelar la fuerza gravitacional ejercida por múltiples objetos astronómicos? ¿Cómo podemos modelar la velocidad de las partículas de agua en la superficie de un río? La Figura 6.2 ofrece representaciones visuales de estos fenómenos.

La Figura 6.2(a) muestra un campo gravitacional ejercido por dos objetos astronómicos, como una estrella y un planeta o un planeta y una luna. En cualquier punto de la figura, el vector asociado a un punto da la fuerza gravitacional neta ejercida por los dos objetos sobre un objeto de masa unitaria. Los vectores de mayor magnitud en la figura son los más cercanos al objeto mayor. El objeto más grande tiene mayor masa, por lo que ejerce una fuerza gravitacional de mayor magnitud que el objeto más pequeño.

La Figura 6.2(b) muestra la velocidad de un río en puntos de su superficie. El vector asociado a un punto determinado de la superficie del río da la velocidad del agua en ese punto. Como los vectores de la izquierda de la figura son de pequeña magnitud, el agua fluye lentamente en esa parte de la superficie. A medida que el agua se mueve de izquierda a derecha, se encuentra con algunos rápidos alrededor de una roca. La velocidad del agua aumenta y se produce un remolino en parte de los rápidos.

Dos imágenes, marcadas como A y B. La imagen A muestra el campo gravitacional ejercido por dos cuerpos astronómicos sobre un pequeño objeto. La tierra está a la izquierda y la luna a la derecha. La tierra está rodeada de largas flechas que apuntan hacia su centro dispuestas en círculos concéntricos. Hay una ruptura en el círculo de la derecha, frente a la luna. La luna está rodeada de flechas más pequeñas que se curvan hacia fuera y hacia la derecha. La imagen B muestra el campo de velocidad vectorial del agua en la superficie de un río con una gran roca en el centro. Las flechas tienden a apuntar en el mismo ángulo que la orilla del río. Donde el río se encuentra con la roca, las flechas apuntan alrededor de la roca. Después de la roca, algunas flechas apuntan hacia adelante, y otras se vuelven hacia la roca. El agua fluye más rápido hacia el centro del río y alrededor de la roca y más lento a lo largo de la ribera.
Figura 6.2 (a) El campo gravitacional ejercido por dos cuerpos astronómicos sobre un pequeño objeto. (b) El campo de velocidad vectorial del agua en la superficie de un río muestra las distintas velocidades del agua. El rojo indica que la magnitud del vector es mayor, por lo que el agua fluye más rápidamente; el azul indica una magnitud menor y una velocidad de flujo de agua más lenta.

Cada figura ilustra un ejemplo de campo vectorial. Intuitivamente, un campo vectorial es un mapa de vectores. En esta sección, estudiamos los campos vectoriales en 2 2 y 3.3.

Definición

Un campo vectorial FF en 2 2 es una asignación de un vector bidimensional F(x,y)F(x,y) a cada punto (x,y)(x,y) de un subconjunto D de 2 .2 . El subconjunto D es el dominio del campo vectorial.

Un campo vectorial F en 33 es una asignación de un vector tridimensional F(x,y,z)F(x,y,z) a cada punto (x,y,z)(x,y,z) de un subconjunto D de 3.3. El subconjunto D es el dominio del campo vectorial.

Campos vectoriales en 2 2

Un campo vectorial en 2 2 puede representarse de dos formas equivalentes. La primera forma es utilizar un vector con componentes que son funciones de dos variables:

F(x,y)=P(x,y),Q(x,y).F(x,y)=P(x,y),Q(x,y).
(6.1)

La segunda forma es utilizar los vectores unitarios normales:

F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j.F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j.
(6.2)

Se dice que un campo vectorial es continuo si sus funciones componentes son continuas.

Ejemplo 6.1

Hallar un vector asociado a un punto dado

Supongamos que F(x,y)=(2 y2 +x4)i+cos(x)jF(x,y)=(2 y2 +x4)i+cos(x)j es un campo vectorial en 2 .2 . Observe que se trata de un ejemplo de campo vectorial continuo, ya que las dos funciones componentes son continuas. ¿Qué vector está asociado al punto (0,–1)?(0,–1)?

Punto de control 6.1

Supongamos que G(x,y)=x2 yi(x+y)jG(x,y)=x2 yi(x+y)j es un campo vectorial en 2 .2 . ¿Qué vector está asociado al punto (–2,3)?(–2,3)?

Dibujar un campo vectorial

Ahora podemos representar un campo vectorial en términos de sus componentes de funciones o vectores unitarios, pero representarlo visualmente mediante un esquema es más complejo porque el dominio de un campo vectorial está en 2 ,2 , al igual que el rango. Por lo tanto, el “gráfico” de un campo vectorial en 2 2 vive en un espacio de cuatro dimensiones. Como no podemos representar visualmente el espacio de cuatro dimensiones, dibujamos en su lugar campos vectoriales en 2 2 en un plano propio. Para ello, dibuje el vector asociado a un punto determinado en un plano. Por ejemplo, supongamos que el vector asociado al punto (4,–1)(4,–1) ¿es 3,1.3,1. Entonces, dibujaríamos el vector 3,13,1 en el punto (4,–1).(4,–1).

Deberíamos trazar suficientes vectores para ver la forma general, pero no tantos como para que el dibujo se convierta en un embrollo. Si trazáramos el vector de la imagen en cada punto de la región, este llenaría la región por completo y es inútil. En cambio, podemos elegir puntos en las intersecciones de las líneas de la cuadrícula y trazar una muestra de varios vectores de cada cuadrante de un sistema de coordenadas rectangular en 2 .2 .

Hay dos tipos de campos vectoriales en 2 2 en los que se centra este capítulo: campos radiales y campos rotacionales. Los campos radiales modelan ciertos campos gravitacionales y campos de fuentes de energía, y los campos rotacionales modelan el movimiento de un fluido en un vórtice. En un campo radial, todos los vectores apuntan directamente hacia el origen o se alejan de él. Además, la magnitud de cualquier vector depende solo de su distancia al origen. En un campo radial, el vector situado en el punto (x,y)(x,y) es perpendicular a la circunferencia centrada en el origen que contiene el punto (x,y),(x,y), y todos los demás vectores de este círculo tienen la misma magnitud.

Ejemplo 6.2

Dibujar un campo vectorial radial

Dibuje el campo vectorial F(x,y)=x2 i+y2 j.F(x,y)=x2 i+y2 j.

Punto de control 6.2

Dibuje el campo radial F(x,y)=x3iy3j.F(x,y)=x3iy3j.

A diferencia de los campos radiales, en un campo rotacional, el vector en el punto (x,y)(x,y) es tangente (no perpendicular) a un círculo de radio r=x2 +y2 .r=x2 +y2 . En un campo rotacional normal, todos los vectores apuntan en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, y la magnitud de un vector depende solo de su distancia al origen. Los dos ejemplos siguientes son campos de rotación en el sentido de las agujas del reloj, y vemos en sus representaciones visuales que los vectores parecen girar alrededor del origen.

Ejemplo 6.3

Inicio del capítulo: Dibujar un campo vectorial rotacional

Una fotografía de un huracán donde se muestra la rotación alrededor de su ojo
Figura 6.4 (créditos: modificación del trabajo de la NASA).

Dibuje el campo vectorial F(x,y)=y,x.F(x,y)=y,x.

Análisis

Observe que el vector F(a,b)=b,aF(a,b)=b,a apunta a las agujas del reloj y es perpendicular al vector radial a,b.a,b. (Podemos verificar esta afirmación calculando el producto escalar de los dos vectores a,b.b,a=ab+ab=0.)a,b.b,a=ab+ab=0.) Además, el vector b,ab,a tiene longitud r=a2 +b2 .r=a2 +b2 . Así, tenemos una descripción completa de este campo vectorial rotacional: el vector asociado al punto (a,b)(a,b) es el vector de longitud r tangente a la circunferencia de radio r, y apunta en el sentido de las agujas del reloj.

Los dibujos como el de la Figura 6.6 se utilizan a menudo para analizar sistemas de tormentas importantes, incluidos huracanes y ciclones. En el hemisferio norte, las tormentas giran en sentido contrario a las agujas del reloj; en el hemisferio sur, giran en sentido de las agujas del reloj. (Se trata de un efecto provocado por la rotación de la Tierra sobre su eje y se denomina efecto Coriolis).

Ejemplo 6.4

Dibujar un campo vectorial

Dibuje el campo vectorial F(x,y)=yx2 +y2 ixx2 +y2 j.F(x,y)=yx2 +y2 ixx2 +y2 j.

Punto de control 6.3

Dibuje el campo vectorial F(x,y)=−2y,2 x.F(x,y)=−2y,2 x. ¿El campo vectorial es radial, rotacional o ninguno de los dos?

Ejemplo 6.5

Campo de velocidad de un fluido

Supongamos que v(x,y)=2 yx2 +y2 i+2 xx2 +y2 jv(x,y)=2 yx2 +y2 i+2 xx2 +y2 j es el campo de velocidad de un fluido. ¿Qué velocidad tiene el fluido en el punto (1,–1)?(1,–1)? (Supongamos que las unidades de velocidad son metros por segundo).

Punto de control 6.4

El campo vectorial v(x,y)=4|x|,1v(x,y)=4|x|,1 modela la velocidad del agua en la superficie de un río. ¿Cuál es la rapidez del agua en el punto (2 ,3)?(2 ,3)? Utilice metros por segundo como unidades.

Examinamos campos vectoriales que contienen vectores de varias magnitudes, pero al igual que tenemos vectores unitarios, también podemos tener un campo vectorial unitario. Un campo vectorial F es un campo vectorial unitario si la magnitud de cada vector del campo es 1. En un campo vectorial unitario, la única información relevante es la dirección de cada vector.

Ejemplo 6.6

Un campo vectorial unitario

Demuestre que el campo vectorial F(x,y)=yx2 +y2 ,xx2 +y2 F(x,y)=yx2 +y2 ,xx2 +y2 es un campo vectorial unitario.

Punto de control 6.5

¿El campo vectorial F(x,y)=y,xF(x,y)=y,x es un campo vectorial unitario?

¿Por qué son importantes los campos vectoriales unitarios? Supongamos que estudiamos el flujo de un fluido y que solo nos importa la dirección en la que fluye el fluido en un punto determinado. En este caso, la rapidez del fluido (que es la magnitud del vector velocidad correspondiente) es irrelevante, porque lo único que nos importa es la dirección de cada vector. Por lo tanto, el campo vectorial unitario asociado a la velocidad es el campo que estudiaríamos.

Si los valores de F=P,Q,RF=P,Q,R es un campo vectorial, entonces el campo vectorial unitario correspondiente es P||F||,Q||F||,R||F||.P||F||,Q||F||,R||F||. Observe que si F(x,y)=y,xF(x,y)=y,x es el campo vectorial del Ejemplo 6.3, entonces la magnitud de F es x2 +y2 ,x2 +y2 , y por tanto, el campo vectorial unitario correspondiente es el campo G del ejemplo anterior.

Si F es un campo vectorial, entonces el proceso de dividir F entre su magnitud para formar un campo vectorial unitario F/||F||F/||F|| se llama normalizar el campo F.

Campos vectoriales en 33

Vimos varios ejemplos de campos vectoriales en 2 ;2 ; pasemos ahora a los campos vectoriales en 3.3. Estos campos vectoriales pueden utilizarse para modelar campos gravitacionales o electromagnéticos, y también pueden utilizarse para modelar el flujo de fluidos o el flujo de calor en tres dimensiones. En realidad, un campo vectorial bidimensional solo puede modelar el movimiento del agua en una porción bidimensional de un río (como en su superficie). Dado que un río fluye a través de tres dimensiones espaciales, para modelar el flujo de toda su profundidad, necesitamos un campo vectorial en tres dimensiones.

La dimensión extra de un campo tridimensional puede hacer que los campos vectoriales en 33 sean más difíciles de visualizar, pero la idea es la misma. Para visualizar un campo vectorial en 3,3, trace suficientes vectores para mostrar la forma general. Podemos utilizar un método similar para visualizar un campo vectorial en 2 2 eligiendo puntos en cada octante.

Al igual que con los campos vectoriales en 2 ,2 , podemos representar campos vectoriales en 33 con las funciones de las componentes. Simplemente necesitamos una función componente adicional para la dimensión extra. Escribimos

F(x,y,z)=P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)F(x,y,z)=P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)
(6.3)

o

F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.
(6.4)

Ejemplo 6.7

Trazar un campo vectorial en tres dimensiones

Describir el campo vectorial F(x,y,z)=1,1,z.F(x,y,z)=1,1,z.

Punto de control 6.6

Dibuje el campo vectorial G(x,y,z)=2 ,z2 ,1.G(x,y,z)=2 ,z2 ,1.

En el siguiente ejemplo, exploramos uno de los casos clásicos de un campo vectorial tridimensional: un campo gravitacional.

Ejemplo 6.8

Describir un campo vectorial gravitacional

La ley de la gravitación de Newton establece que F=Gm1m2 r2 r^,F=Gm1m2 r2 r^, donde G es la constante gravitacional universal. Describa el campo gravitacional ejercido por un objeto (objeto 1) de masa m1m1 situado en el origen sobre otro objeto (objeto 2) de masa m2 m2 situado en el punto (x,y,z).(x,y,z). El campo F denota la fuerza gravitacional que el objeto 1 ejerce sobre el objeto 2, r es la distancia entre los dos objetos, y r^r^ indica el vector unitario desde el primer objeto hasta el segundo. El signo menos muestra que la fuerza gravitacional atrae hacia el origen; es decir, la fuerza del objeto 1 es atractiva. Dibuje el campo vectorial asociado a esta ecuación.

Punto de control 6.7

La masa del asteroide 1 es de 750 000 kg y la del asteroide 2 de 130 000 kg. Supongamos que el asteroide 1 está situado en el origen, y el asteroide 2 está situado en (15,−5,10),(15,−5,10), medido en unidades de 10 a la octava potencia de kilómetros. Dado que la constante gravitacional universal es G=6,67384×10–11m3kg−1s−2,G=6,67384×10–11m3kg−1s−2, halle el vector de fuerza gravitacional que ejerce el asteroide 1 sobre el asteroide 2.

Campos de gradientes

En esta sección, estudiamos un tipo especial de campo vectorial llamado campo de gradientes o campo conservativo. Estos campos vectoriales son muy importantes en física porque pueden utilizarse para modelar sistemas físicos en los que se conserva la energía. Los campos gravitacionales y los campos eléctricos asociados a una carga estática son ejemplos de campos de gradientes.

Recordemos que si ff es una función (escalar) de x y de y, entonces el gradiente de ff es

gradf=f=fx(x,y)i+fy(x,y)j.gradf=f=fx(x,y)i+fy(x,y)j.

Podemos ver, por la forma en que se escribe el gradiente, que ff es un campo vectorial en 2 .2 . Del mismo modo, si ff es una función de x, y y z, entonces el gradiente de ff es

gradf=f=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k.gradf=f=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k.

El gradiente de una función de tres variables es un campo vectorial en 3.3.

Un campo de gradiente es un campo vectorial que puede escribirse como el gradiente de una función, y tenemos la siguiente definición.

Definición

Un campo vectorial FF en 2 2 o en 33 es un campo de gradientes si existe una función escalar ff de manera que f=F.f=F.

Ejemplo 6.9

Trazar un campo vectorial de gradiente

Utilice la tecnología para trazar el campo vectorial de gradiente de f(x,y)=x2 y2 .f(x,y)=x2 y2 .

Punto de control 6.8

Utilice la tecnología para trazar el campo vectorial de gradiente de f(x,y)=senxcosy.f(x,y)=senxcosy.

Considere la función f(x,y)=x2 y2 f(x,y)=x2 y2 del Ejemplo 6.9. La Figura 6.11 muestra las curvas de nivel de esta función superpuestas al campo vectorial de gradiente de la función. Los vectores de gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel, y las magnitudes de los vectores se hacen más grandes a medida que las curvas de nivel se acercan, porque las curvas de nivel estrechamente agrupadas indican que el gráfico es empinado, y la magnitud del vector de gradiente es el mayor valor de la derivada direccional. Por lo tanto, se puede ver la inclinación local de un gráfico investigando el campo de gradiente de la función correspondiente.

Una representación visual del campo de gradiente dado. Las flechas son más planas cuanto más cerca están del eje x y más verticales cuanto más lejos están del eje x. Las flechas apuntan a la izquierda del eje y, y apuntan a la derecha del eje y. Apuntan hacia arriba por encima del eje x y hacia abajo por debajo del eje x. Se dibujan varias curvas de nivel, cada una de las cuales se acerca asintóticamente a los ejes. A medida que las curvas de nivel se acercan, la magnitud de los vectores de gradiente aumenta.
Figura 6.10 El campo de gradientes de f ( x , y ) = x 2 y 2 f ( x , y ) = x 2 y 2 y varias curvas de nivel de f . f . Observe que a medida que las curvas de nivel se acercan, la magnitud de los vectores de gradientes aumenta.

Como hemos aprendido antes, un campo vectorial FF es un campo vectorial conservativo, o un campo de gradientes si existe una función escalar ff de manera que f=F.f=F. En esta situación, ff se denomina función potencial para F.F. Los campos vectoriales conservativos surgen en muchas aplicaciones, especialmente en la física. La razón por la que estos campos se denominan conservativos es que modelan las fuerzas de los sistemas físicos en los que se conserva la energía. Más adelante en este capítulo estudiaremos los campos vectoriales conservativos con más detalle.

Puede observar que, en algunas aplicaciones, una función potencial ff para F se define en cambio como una función tal que f=F.f=F. Este es el caso de ciertos contextos de la física, por ejemplo.

Ejemplo 6.10

Verificar una función potencial

¿Es f(x,y,z)=x2 yzsen(xy)f(x,y,z)=x2 yzsen(xy) una función potencial para el campo vectorial

F(x,y,z)=2 xyzycos(xy),x2 zxcos(xy),x2 y?F(x,y,z)=2 xyzycos(xy),x2 zxcos(xy),x2 y?

Punto de control 6.9

¿Es f(x,y,z)=x2 cos(yz)+y2 z2 f(x,y,z)=x2 cos(yz)+y2 z2 una función potencial para F(x,y,z)=2 xcos(yz),x2 zsen(yz)+2 yz2 ,y2 ?F(x,y,z)=2 xcos(yz),x2 zsen(yz)+2 yz2 ,y2 ?

Ejemplo 6.11

Verificar una función potencial

La velocidad de un fluido se modela mediante el campo v(x,y)=xy,x2 2 y.v(x,y)=xy,x2 2 y. Verifique que f(x,y)=x2 y2 y2 2 f(x,y)=x2 y2 y2 2 es una función potencial para v.

Punto de control 6.10

Verifique que f(x,y)=x3y2 +xf(x,y)=x3y2 +x es una función potencial para el campo de velocidad v(x,y)=2 xy2 +1,2 x2 y.v(x,y)=2 xy2 +1,2 x2 y.

Si F es un campo vectorial conservativo, entonces hay al menos una función potencial ff de manera que f=F.f=F. Pero, ¿podría haber más de una función potencial? Si es así, ¿hay alguna relación entre dos funciones de potencial para el mismo campo vectorial? Antes de responder estas preguntas, recordemos algunos hechos del cálculo de una sola variable para guiar nuestra intuición. Recordemos que si k(x)k(x) es una función integrable, entonces k tiene una cantidad infinita de antiderivadas. Además, si F y G son antiderivadas de k, entonces F y G solo difieren en una constante. Es decir, hay algún número C tal que F(x)=G(x)+C.F(x)=G(x)+C.

Ahora supongamos que FF es un campo vectorial conservativo y que ff y g son funciones potenciales para FF. Ya que el gradiente es como una derivada, que FF sea conservativa significa que FF es "integrable" con "antiderivadas" ff y g. Por lo tanto, si la analogía con el cálculo de una sola variable es válida, esperamos que haya alguna constante C tal que f(x)=g(x)+C.f(x)=g(x)+C. El siguiente teorema dice que esto es así.

Para enunciar el siguiente teorema con precisión, debemos suponer que el dominio del campo vectorial es conexo y abierto. Estar conectado significa que si P1P1 y P2 P2 son dos puntos cualesquiera en el dominio, entonces se puede ir desde P1P1 a P2 P2 a lo largo de un camino que se mantiene completamente dentro del dominio.

Teorema 6.1

Singularidad de las funciones potenciales

Supongamos que F es un campo vectorial conservativo sobre un dominio abierto y conectado y supongamos que ff y g son funciones tales que f=Ff=F y g=F.g=F. Entonces, existe una constante C tal que f=g+C.f=g+C.

Prueba

Dado que ff y g son ambas funciones potenciales para F, entonces (fg)=fg=FF=0.(fg)=fg=FF=0. Supongamos que h=fg,h=fg, entonces tenemos h=0.h=0. Queremos demostrar que h es una función constante.

Supongamos que h es una función de x y de y (la lógica de esta prueba se extiende a cualquier número de variables independientes). Dado que h=0,h=0, tenemos hx=0hx=0 y hy=0.hy=0. La expresión hx=0hx=0 implica que h es una función constante con respecto a x, es decir, h(x,y)=k1(y)h(x,y)=k1(y) para alguna función k1. De la misma manera, hy=0hy=0 implica h(x,y)=k2 (x)h(x,y)=k2 (x) para alguna función k2. Por lo tanto, la función h depende solo de y, y también depende solo de x. Así, h(x,y)=Ch(x,y)=C para alguna constante C en el dominio conectado de F. Observe que realmente necesitamos conectividad en este punto; si el dominio de F viniera en dos trozos separados, entonces k podría ser una constante C1 en un trozo pero podría ser una constante diferente C2 en el otro trozo. Dado que fg=h=C,fg=h=C, tenemos que f=g+C,f=g+C, como se desea.

Los campos vectoriales conservativos también tienen una propiedad especial llamada propiedad cruz-parcial. Esta propiedad ayuda a comprobar si un campo vectorial dado es conservativo.

Teorema 6.2

La propiedad cruz de los campos vectoriales conservativo

Supongamos que F es un campo vectorial en dos o tres dimensiones tal que las funciones componentes de F tienen derivadas mixtas-parciales continuas de segundo orden en el dominio de F.

Si los valores de F(x,y)=P(x,y),Q(x,y)F(x,y)=P(x,y),Q(x,y) es un campo vectorial conservativo en 2 ,2 , entonces Py=Qx.Py=Qx. Si F(x,y,z)=P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)F(x,y,z)=P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) es un campo vectorial conservativo en 3,3, entonces

Py=Qx,Qz=Ry,yRx=Pz.Py=Qx,Qz=Ry,yRx=Pz.

Prueba

Como F es conservativa, existe una función f(x,y)f(x,y) de manera que f=F.f=F. Por lo tanto, por la definición del gradiente, fx=Pfx=P y fy=Q.fy=Q. Según el teorema de Clairaut, fxy=fyx,fxy=fyx, Pero, fxy=Pyfxy=Py y fyx=Qx,fyx=Qx, y por lo tanto Py=Qx.Py=Qx.

El teorema de Clairaut proporciona una prueba rápida de la propiedad parcial cruzada de los campos vectoriales conservativos en 3,3, al igual que para los campos vectoriales en 2 .2 .

La propiedad cruz de los campos vectoriales conservativo muestra que la mayoría de los campos vectoriales no son conservativos. La propiedad parcial cruzada es difícil de satisfacer en general, por lo que la mayoría de los campos vectoriales no tendrán parciales cruzadas iguales.

Ejemplo 6.12

Demostrar que un campo vectorial no es conservador

Demuestre que el campo vectorial rotacional F(x,y)=y,xF(x,y)=y,x no es conservativo.

Punto de control 6.11

Demuestre que el campo vectorial F(x,y)x=yix2 yjF(x,y)x=yix2 yj no es conservativo.

Ejemplo 6.13

Demostrar que un campo vectorial no es conservador

¿El campo vectorial F(x,y,z)=7,–2,x3F(x,y,z)=7,–2,x3 es conservativo?

Punto de control 6.12

¿El campo vectorial G(x,y,z)=y,x,xyzG(x,y,z)=y,x,xyz es conservativo?

Concluimos esta sección con una advertencia: La propiedad cruz de los campos vectoriales conservativo dice que si F es conservativo, entonces F tiene la propiedad parcial cruzada. El teorema no indica que, si F tiene la propiedad parcial cruzada, entonces F es conservativo (la inversa de una implicación no es lógicamente equivalente a la implicación original). En otras palabras, La propiedad cruz de los campos vectoriales conservativo solo puede ayudar a determinar que un campo no es conservativo; no permite concluir que un campo vectorial es conservativo. Por ejemplo, consideremos el campo vectorial F(x,y)=x2 y,x33.F(x,y)=x2 y,x33. Este campo tiene la propiedad parcial cruzada, por lo que es natural tratar de utilizar La propiedad cruz de los campos vectoriales conservativo para concluir que este campo vectorial es conservativo. Sin embargo, esto es una aplicación errónea del teorema. Más adelante aprenderemos a concluir que F es conservativo.

Sección 6.1 ejercicios

1.

El dominio del campo vectorial F=F(x,y)F=F(x,y) es un conjunto de puntos (x,y)(x,y) en un plano, ¿y el rango de F es un conjunto de qué en el plano?

En los siguientes ejercicios, determine si la afirmación es verdadera o falsa.

2.

Campo vectorial F=3x2 ,1F=3x2 ,1 es un campo de gradiente para ϕ1(x,y)=x3+yϕ1(x,y)=x3+y y ϕ2 (x,y)=y+x3+100.ϕ2 (x,y)=y+x3+100.

3.

Campo vectorial F=y,xx2 +y2 F=y,xx2 +y2 es constante en dirección y magnitud en un círculo unitario.

4.

Campo vectorial F=y,xx2 +y2 F=y,xx2 +y2 no es un campo radial ni una rotación.

En los siguientes ejercicios, describa cada campo vectorial dibujando algunos de sus vectores.

5.

[T] F(x,y)=xi+yjF(x,y)=xi+yj

6.

[T] F(x,y)=yi+xjF(x,y)=yi+xj

7.

[T] F(x,y)=xiyjF(x,y)=xiyj

8.

[T] F(x,y)=i+jF(x,y)=i+j

9.

[T] F(x,y)=2 xi+3yjF(x,y)=2 xi+3yj

10.

[T] F(x,y)=3i+xjF(x,y)=3i+xj

11.

[T] F(x,y)=yi+senxjF(x,y)=yi+senxj

12.

[T] F(x,y,z)=xi+yj+zkF(x,y,z)=xi+yj+zk

13.

[T] F(x,y,z)=2 xi2 yj2 zkF(x,y,z)=2 xi2 yj2 zk

14.

[T] F(x,y,z)=yzixzjF(x,y,z)=yzixzj

En los siguientes ejercicios, halle el campo vectorial de gradiente de cada función f.f.

15.

f ( x , y ) = x sen y + cos y f ( x , y ) = x sen y + cos y

16.

f ( x , y , z ) = z e x y f ( x , y , z ) = z e x y

17.

f ( x , y , z ) = x 2 y + x y + y 2 z f ( x , y , z ) = x 2 y + x y + y 2 z

18.

f(x,y)=x2 sen(5y)f(x,y)=x2 sen(5y) grandes.

19.

f(x,y)=ln(1+x2 +2 y2 )f(x,y)=ln(1+x2 +2 y2 ) grandes.

20.

f ( x , y , z ) = x cos ( y z ) f ( x , y , z ) = x cos ( y z )

21.

¿Qué es el campo vectorial F(x,y)F(x,y) con un valor en (x,y)(x,y) que es de longitud unitaria y apunta hacia (1,0)?(1,0)?

En los siguientes ejercicios, escriba las fórmulas de los campos vectoriales con las propiedades dadas.

22.

Todos los vectores son paralelos al eje x y todos los vectores de una línea vertical tienen la misma magnitud.

23.

Todos los vectores apuntan hacia el origen y tienen una longitud constante.

24.

Todos los vectores son de longitud unitaria y son perpendiculares al vector de posición en ese punto.

25.

Dé una fórmula F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)jF(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j para el campo vectorial en un plano que tiene las propiedades F=0F=0 a las (0,0)(0,0) y que en cualquier otro punto (a,b),(a,b), F es tangente al círculo x2 +y2 =a2 +b2 x2 +y2 =a2 +b2 y apunta en el sentido de las agujas del reloj con magnitud |F|=a2 +b2 .|F|=a2 +b2 .

26.

¿El campo vectorial F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=(senx+y)i+(cosy+x)jF(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=(senx+y)i+(cosy+x)j es un campo de gradiente?

27.

Halle una fórmula para el campo vectorial F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)jF(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j dado que para todos los puntos (x,y),(x,y), F apunta hacia el origen y |F|=10x2 +y2 .|F|=10x2 +y2 .

En los siguientes ejercicios, suponga que un campo eléctrico en el plano xy causado por una línea de carga infinita a lo largo del eje x es un campo de gradientes con función potencial V(x,y)=cln(r0x2 +y2 ),V(x,y)=cln(r0x2 +y2 ), donde c>0c>0 es una constante y r0r0 es una distancia de referencia en la que se supone que el potencial es cero.

28.

Halle las componentes del campo eléctrico en las direcciones x y y, donde E(x,y)=V(x,y).E(x,y)=V(x,y).

29.

Demuestre que el campo eléctrico en un punto del plano xy está dirigido hacia afuera del origen y tiene magnitud |E|=cr,|E|=cr, donde r=x2 +y2 .r=x2 +y2 .

Una línea de flujo (o línea de corriente) de un campo vectorial FF es una curva r(t)r(t) de manera que dr/dt=F(r(t)).dr/dt=F(r(t)). Si FF representa el campo de velocidad de una partícula en movimiento, entonces las líneas de flujo son trayectorias tomadas por la partícula. Por lo tanto, las líneas de flujo son tangentes al campo vectorial. En los siguientes ejercicios, demuestre que la curva dada c(t)c(t) es una línea de flujo del campo vectorial de velocidad dado F(x,y,z).F(x,y,z).

30.

c ( t ) = ( e 2 t , ln | t | , 1 t ) , t 0 ; F ( x , y , z ) = 2 x , z , z 2 c ( t ) = ( e 2 t , ln | t | , 1 t ) , t 0 ; F ( x , y , z ) = 2 x , z , z 2

31.

c ( t ) = ( sen t , cos t , e t ) ; F ( x , y , z ) = y , x , z c ( t ) = ( sen t , cos t , e t ) ; F ( x , y , z ) = y , x , z

En los siguientes ejercicios, supongamos que F=xi+yj,F=xi+yj, G=yi+xj,G=yi+xj, y H=xiyj.H=xiyj. Empareje F, G y H con sus gráficos.

32.
Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas rodean el origen en sentido contrario a las agujas del reloj. Las flechas son más grandes cuanto más lejos están del origen.
33.
Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más se alejan del origen, sobre todo a la izquierda y a la derecha del eje y. Apuntan a la izquierda y a la derecha en los lados izquierdo y derecho del eje y, respectivamente. Apuntan hacia abajo por encima del eje x y hacia arriba por debajo del eje x. Cuanto más cerca del eje x, más planos son. Cuanto más cerca del eje y estén, más verticales serán.
34.
Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más se alejan del origen. Se extienden hacia fuera y se alejan del origen en un patrón radial.

En los siguientes ejercicios, supongamos que F=xi+yj,F=xi+yj, G=yi+xj,G=yi+xj, y H=xiyj.H=xiyj. Empareje los campos vectoriales con sus gráficos en (I)(IV).(I)(IV).

  1. F+GF+G
  2. F+HF+H
  3. G+HG+H
  4. F+GF+G
35.
Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más alejadas están del eje y. Se curvan hacia el origen en forma de espiral, con las flechas curvadas desde la derecha hacia la derecha del eje y, y curvadas desde la izquierda hacia la izquierda del eje y. Las flechas de los cuadrantes 1 y 3 son más planas, y las de los cuadrantes 2 y 4 son más verticales.
36.
Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más se alejan del eje y. Son completamente planas y apuntan a la derecha en el lado derecho del eje y, y apuntan a la izquierda en el lado izquierdo del eje y.
37.
Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más se alejan del eje y. Las flechas apuntan desde el origen en forma de espiral. En el cuadrante 1, las flechas son más verticales y se curvan hacia arriba. En el cuadrante 2, las flechas son más horizontales y se curvan hacia abajo. En el cuadrante 3, las flechas son más verticales y se curvan hacia abajo. En el cuadrante 4, las flechas son más horizontales y se curvan hacia arriba. Las flechas de cada cuadrante se funden con las dos de su lado.
38.
Una representación visual de un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más grandes cuanto más alejadas están del eje x y del eje y en los cuadrantes 2 y 4. Las flechas están todas en un ángulo de aproximadamente 90 grados. Apuntan hacia arriba en el lado derecho del eje y, y hacia abajo en el lado izquierdo del eje y.
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