Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

6.4.1 Aplicar la forma de circulación del teorema de Green.
6.4.2 Aplicar la forma de flujo del teorema de Green.
6.4.3 Calcular la circulación y el flujo en regiones más generales.

En esta sección, examinamos el teorema de Green, que es una extensión del teorema fundamental del cálculo a dos dimensiones. El teorema de Green tiene dos formas: una forma de circulación y una forma de flujo, ambas requieren que la región D en la integral doble sea simplemente conectada. Sin embargo, extenderemos el teorema de Green a regiones que no son simplemente conectadas.

En pocas palabras, el teorema de Green relaciona una integral de línea alrededor de una curva plana simplemente cerrada C y una integral doble sobre la región encerrada por C. El teorema es útil porque nos permite traducir integrales de línea difíciles en integrales dobles más simples, o integrales dobles difíciles en integrales de línea más simples.

Ampliación del teorema fundamental del cálculo

Recordemos que el teorema fundamental del cálculo dice que

\int_{a}^{b} F^{'} (x) d x = F (b) - F (a) .

Como enunciado geométrico, esta ecuación dice que la integral sobre la región por debajo del gráfico de $F^{'} (x)$ y por encima del segmento de línea $[a, b]$ depende únicamente del valor de F en los puntos finales a y b de ese segmento. Como los números a y b son el límite del segmento de línea $[a, b],$ el teorema dice que podemos calcular la integral $\int_{a}^{b} F ′ (x) d x$ con base en la información sobre el límite del segmento de línea $[a, b]$ (Figura 6.32). La misma idea es válida para el teorema fundamental de las integrales de línea:

\int_{C} ∇ f . d r = f (r (b)) - f (r (a)) .

Cuando tenemos una función potencial (una "antiderivada"), podemos calcular la integral de línea basándonos únicamente en la información sobre el límite de la curva C.

Un gráfico en el cuadrante 1 de una función genérica f(x). Es una función cóncava creciente hacia arriba para el primer cuarto, una función cóncava creciente hacia abajo para el segundo cuarto, una función cóncava decreciente hacia abajo para el tercer cuarto y una función cóncava creciente hacia abajo para el último cuarto. En el segundo cuarto se marca un punto a en el eje x, y en el tercero se marca un punto b en el eje x. El área bajo la curva y entre a y b está sombreada. Esta área se denomina la integral de a hasta b de f(x) dx.

Figura 6.32 El teorema fundamental del cálculo dice que la integral sobre un segmento de línea

[a, b]

depende únicamente de los valores de la antiderivada en los puntos extremos de

[a, b] .

El teorema de Green toma esta idea y la extiende al cálculo de integrales dobles. El teorema de Green dice que podemos calcular una integral doble sobre la región D basándonos únicamente en la información sobre el borde de D. También dice que podemos calcular una integral de línea sobre una curva simple cerrada C basándonos únicamente en la información sobre la región que encierra C. En particular, el teorema de Green conecta una integral doble sobre la región D con una integral de línea alrededor del borde de D.

Forma de circulación del teorema de Green

La primera forma del teorema de Green que examinamos es la forma de circulación. Esta forma del teorema relaciona la integral de línea vectorial sobre una curva plana simple y cerrada C con una integral doble sobre la región encerrada por C. Por tanto, la circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva simple y cerrada puede transformarse en una integral doble y viceversa.

Teorema 6.12

Teorema de Green, forma de circulación

Supongamos que D es una región abierta y limitada simple con una curva límite C que es una curva cerrada simple y suave a trozos orientada en sentido contrario a las agujas del reloj (Figura 6.33). Supongamos que $F = 〈 P, Q 〉$ es un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas en D. Entonces,

\oint_{C} F . d r = \oint_{C} P d x + Q d y = \iint_{D} (Q_{x} - P_{y}) d A .

(6.13)

Un campo vectorial en dos dimensiones con todas las flechas apuntando hacia arriba y hacia la derecha. Una curva C orientada en sentido contrario a las agujas del reloj secciona una región D alrededor del origen. Es una región simple y cerrada.

Figura 6.33 La forma de circulación del teorema de Green relaciona una integral de línea sobre la curva C con una integral doble sobre la región D.

Observe que el teorema de Green solo puede utilizarse para un campo vectorial bidimensional F. Si F es un campo tridimensional, el teorema de Green no es aplicable. Dado que

\int_{C} P d x + Q d y = \int_{C} F . T d s,

esta versión del teorema de Green se denomina a veces la forma tangencial del teorema de Green.

La demostración del teorema de Green es bastante técnica y está fuera del alcance de este texto. Aquí examinamos una demostración del teorema en el caso especial de que D sea un rectángulo. Por el momento, observe que podemos confirmar rápidamente que el teorema es verdadero para el caso especial en el que $F = 〈 P, Q 〉$ es conservativo. En este caso,

\oint_{C} P d x + Q d y = 0

porque la circulación es nula en los campos vectoriales conservativos. Según la Propiedad parcial cruzada de los campos conservadores, F satisface la condición de paridad cruzada, por lo que $P_{y} = Q_{x} .$ Por lo tanto,

\iint_{D} (Q_{x} - P_{y}) d A = \iint_{D} 0 d A = 0 = \oint_{C} P d x + Q d y,

lo que confirma el teorema de Green en el caso de campos vectoriales conservadores.

Prueba

Demostremos ahora que la forma de circulación del teorema de Green es verdadera cuando la región D es un rectángulo. Supongamos que D es el rectángulo $[a, b] \times [c, d]$ orientado en sentido contrario a las agujas del reloj. Entonces, el borde C de D está formado por cuatro trozos suaves $C_{1},$ $C_{2},$ $C_{3},$ y $C_{4}$ (Figura 6.34). Parametrizamos cada lado de D como sigue:

\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) & = & 〈 t, c 〉, a \leq t \leq b \\ C_{2} : r_{2} (t) & = & 〈 b, t 〉, c \leq t \leq d \\ − C_{3} : r_{3} (t) & = & 〈 t, d 〉, a \leq t \leq b \\ − C_{4} : r_{4} (t) & = & 〈 a, t 〉, c \leq t \leq d . \end{matrix}

Un diagrama en el cuadrante 1. El rectángulo D está orientado en sentido contrario a las agujas del reloj. Los puntos a y b están en el eje x, y los puntos c y d están en el eje y con b > a y d > c. Los lados del rectángulo son el lado c1 con puntos extremos en (a,c) y (b,c), el lado c2 con puntos extremos en (b,c) y (b,d), el lado c3 con puntos extremos en (b,d) y (a,d), y el lado c4 con puntos extremos en (a,d) y (a,c).

Figura 6.34 El rectángulo D está orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

Entonces,

\begin{matrix} \int_{C} F • d r & = \int_{C_{1}} F • d r + \int_{C_{2}} F • d r + \int_{C_{3}} F • d r + \int_{C_{4}} F • d r \\ = \int_{C_{1}} F • d r + \int_{C_{2}} F • d r - \int_{− C_{3}} F • d r - \int_{− C_{4}} F • d r \\ = \int_{a}^{b} F (r_{1} (t)) • r_{1} (t) d t + \int_{c}^{d} F (r_{2} (t)) • r_{2} (t) d t \\ − \int_{a}^{b} F (r_{3} (t)) • r_{3} (t) d t - \int_{c}^{d} F (r_{4} (t)) • r_{4} (t) d t \\ = \int_{a}^{b} P (t, c) d t + \int_{c}^{d} Q (b, t) d t - \int_{a}^{b} P (t, d) d t - \int_{c}^{d} Q (a, t) d t \\ = \int_{a}^{b} (P (t, c) - P (t, d)) d t + \int_{c}^{d} (Q (b, t) - Q (a, t)) d t \\ = − \int_{a}^{b} (P (t, d) - P (t, c)) d t + \int_{c}^{d} (Q (b, t) - Q (a, t)) d t . \end{matrix}

Según el teorema fundamental del cálculo,

P (t, d) - P (t, c) = \int_{c}^{d} \frac{\partial}{\partial y} P (t, y) d y y Q (b, t) - Q (a, t) = \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial x} Q (x, t) d x .

Por lo tanto,

\begin{matrix} − \int_{a}^{b} (P (t, d) - P (t, c)) d t + \int_{c}^{d} (Q (b, t) - Q (a, t)) d t \\ = − \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \frac{\partial}{\partial y} P (t, y) d y d t + \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial x} Q (x, t) d x d t . \end{matrix}

Pero,

\begin{matrix} - \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \frac{\partial}{\partial y} P (t, y) d y d t + \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial x} Q (x, t) d x d t & = − \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \frac{\partial}{\partial y} P (x, y) d y d x + \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial x} Q (x, y) d x d y \\ = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} (Q_{x} - P_{y}) d y d x \\ = \int \int_{D} (Q_{x} - P_{y}) d A . \end{matrix}

Por lo tanto, $\int_{C} F • d r = \int \int_{D} (Q_{x} - P_{y}) d A$ con lo que hemos demostrado el teorema de Green en el caso de un rectángulo.

Para demostrar el teorema de Green sobre una región general D, podemos descomponer D en muchos rectángulos pequeños y utilizar la prueba de que el teorema funciona sobre rectángulos. Sin embargo, los detalles son técnicos y están fuera del alcance de este texto.

□

Ejemplo 6.38

Aplicar el teorema de Green sobre un rectángulo

Calcule la integral de línea

\oint_{C} x^{2} y d x + (y - 3) d y,

donde C es un rectángulo con vértices $(1, 1),$ $(4, 1),$ $(4, 5),$ y $(1, 5)$ orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

Solución

Supongamos que $F (x, y) = 〈 P (x, y), Q (x, y) 〉 = 〈 x^{2} y, y - 3 〉 .$ Entonces, $Q_{x} = 0$ y $P_{y} = x^{2} .$ Por lo tanto, $Q_{x} - P_{y} = − x^{2} .$

Supongamos que D es la región rectangular encerrada por C (Figura 6.35). Según el teorema de Green,

\begin{matrix} \oint_{C} x^{2} y d x + (y - 3) d y & = \iint_{D} (Q_{x} - P_{y}) d A \\ = \int \int_{D} − x^{2} d A = \int_{1}^{5} \int_{1}^{4} − x^{2} d x d y \\ = \int_{1}^{5} −21 d y = −84. \end{matrix}

Un campo vectorial en dos dimensiones con foco en el cuadrante 1. Las flechas cercanas al origen son cortas, y las flechas más alejadas del origen son más largas. Un rectángulo tiene puntos extremos en (1,1), (4,1), (4,5) y (1,5). Las flechas del cuadrante 3 apuntan a la derecha. En el eje y, se dividen en y = 3. Las flechas por encima de esa línea se curvan hacia arriba en el eje y, y se desplazan hasta que apuntan horizontalmente a la derecha en el cuadrante 1. Las flechas por debajo de esa línea y por encima del eje x se curvan hacia abajo en el eje y, y se desplazan hasta que apuntan horizontalmente a la derecha. Las flechas situadas bajo el eje x apuntan hacia la izquierda y hacia abajo, apuntando de nuevo al eje y.

Figura 6.35 La integral de línea sobre el límite del rectángulo puede transformarse en una integral doble sobre el rectángulo.

Análisis

Si tuviéramos que evaluar esta integral de línea sin utilizar el teorema de Green, tendríamos que parametrizar cada lado del rectángulo, dividir la integral de línea en cuatro integrales de línea separadas y utilizar los métodos de las integrales de línea para evaluar cada integral. Además, como el campo vectorial aquí no es conservativo, no podemos aplicar el teorema fundamental de las integrales de línea. El teorema de Green simplifica mucho el cálculo.

Ejemplo 6.39

Aplicar el teorema de Green para calcular el trabajo

Calcule el trabajo realizado sobre una partícula por el campo de fuerza

F (x, y) = 〈 y + sen x, e^{y} - x 〉

a medida que la partícula atraviesa el círculo $x^{2} + y^{2} = 4$ exactamente una vez en el sentido contrario a las agujas del reloj, empezando y terminando en el punto $(2, 0) .$

Solución

Supongamos que C es el círculo y supongamos que D es el disco encerrado por C. El trabajo realizado sobre la partícula es

W = \oint_{C} (y + sen x) d x + (e^{y} - x) d y .

Al igual que con el Ejemplo 6.38, esta integral puede calcularse utilizando las herramientas que hemos aprendido, pero es más fácil utilizar la integral doble dada por el teorema de Green (Figura 6.36).

Supongamos que $F (x, y) = 〈 P (x, y), Q (x, y) 〉 = 〈 y + sen x, e^{y} - x 〉 .$ Entonces, $Q_{x} = –1$ y $P_{y} = 1 .$ Por lo tanto, $Q_{x} - P_{y} = –2 .$

Según el teorema de Green,

\begin{matrix} W & = \oint_{C} (y + sen (x)) d x + (e^{y} - x) d y \\ = \iint_{D} (Q_{x} - P_{y}) d A = \iint_{D} −2 d A \\ = −2 (área (D)) = −2 π (2^{2}) = –8 π . \end{matrix}

Un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas más alejadas del origen son mucho más largas que las cercanas al origen. Las flechas se curvan desde aproximadamente (0,5; 0,5) en un patrón de espiral en el sentido de las agujas del reloj.

Figura 6.36 La integral de línea sobre el círculo límite puede transformarse en una integral doble sobre el disco encerrado por el círculo.

Punto de control 6.34

Utilice el teorema de Green para calcular la integral de línea

\oint_{C} sen (x^{2}) d x + (3 x - y) d y,

donde C es un triángulo rectángulo con vértices $(–1, 2),$ $(4, 2),$ y $(4, 5)$ orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

En los dos ejemplos anteriores, la integral doble del teorema de Green era más fácil de calcular que la integral de línea, así que utilizamos el teorema para calcular la integral de línea. En el siguiente ejemplo, la integral doble es más difícil de calcular que la integral de línea, así que utilizamos el teorema de Green para traducir una integral doble en una integral de línea.

Ejemplo 6.40

Aplicar el teorema de Green sobre una elipse

Calcule el área encerrada por la elipse $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (Figura 6.37).

Una elipse horizontal graficada en dos dimensiones. Tiene vértices en (-a, 0), (0, -b), (a, 0) y (0, b), donde el valor absoluto de a está entre 2,5 y 5 y el valor absoluto de b está entre 0 y 2,5.

Figura 6.37 Elipse

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

se indica con C.

Solución

Supongamos que C indica la elipse y que D es la región encerrada por C. Recordemos que la elipse C puede ser parametrizada por

x = a cos t, y = b sen t, 0 \leq t \leq 2 π .

Calcular el área de D equivale a calcular la integral doble $\iint_{D} d A .$ Para calcular esta integral sin el teorema de Green, tendríamos que dividir D en dos regiones: la región por encima del eje x y la región por debajo. El área de la elipse es

\int_{− a}^{a} \int_{0}^{\sqrt{b^{2} - {(b x / a)}^{2}}} d y d x + \int_{− a}^{a} \int_{− \sqrt{b^{2} - {(b x / a)}^{2}}}^{0} d y d x .

Estas dos integrales no son sencillas de calcular (aunque cuando conocemos el valor de la primera integral, conocemos el valor de la segunda por simetría). En vez de intentar calcularlos, utilizamos el teorema de Green para transformar $\iint_{D} d A$ en una integral de línea alrededor del borde C.

Considere el campo vectorial

F (x, y) = 〈 P, Q 〉 = 〈 - \frac{y}{2}, \frac{x}{2} 〉 .

Entonces, $Q_{x} = \frac{1}{2}$ y $P_{y} = - \frac{1}{2},$ y por lo tanto $Q_{x} - P_{y} = 1 .$ Observe que se ha elegido que F tenga la propiedad de que $Q_{x} - P_{y} = 1 .$ Como este es el caso, el teorema de Green transforma la integral de línea de F sobre C en la integral doble de 1 sobre D.

Según el teorema de Green,

\begin{matrix} \iint_{D} d A & = \iint_{D} (Q_{x} - P_{y}) d A \\ = \int_{C} F • d r = \frac{1}{2} \int_{C} − y d x + x d y \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} − b sen t (− a sen t) + a (cos t) b cos t d t \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} a b {cos}^{2} t + a b {sen}^{2} t d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} a b d t = π a b . \end{matrix}

Por lo tanto, el área de la elipse es $π a b .$

En el Ejemplo 6.40, utilizamos el campo vectorial $F (x, y) = 〈 P, Q 〉 = 〈 - \frac{y}{2}, \frac{x}{2} 〉$ para hallar el área de cualquier elipse. La lógica del ejemplo anterior puede extenderse para derivar una fórmula para el área de cualquier región D. Supongamos que D es cualquier región con un límite que sea una curva simple cerrada C orientada en sentido contrario a las agujas del reloj. Si los valores de $F (x, y) = 〈 P, Q 〉 = 〈 - \frac{y}{2}, \frac{x}{2} 〉,$ entonces $Q_{x} - P_{y} = 1 .$ Por lo tanto, por la misma lógica que en el Ejemplo 6.40,

área de D = \iint_{D} d A = \frac{1}{2} \oint_{C} − y d x + x d y .

(6.14)

Cabe destacar que si $F = 〈 P, Q 〉$ es cualquier campo vectorial con $Q_{x} - P_{y} = 1,$ entonces la lógica del párrafo anterior funciona. Así pues, la Ecuación 6.14 no es la única ecuación que utiliza las parciales mixtas de un campo vectorial para obtener el área de una región.

Punto de control 6.35

Halle el área de la región encerrada por la curva con parametrización $r (t) = 〈 sen t cos t, sen t 〉, 0 \leq t \leq π .$

Una imagen de una curva en los cuadrantes 1 y 2. La curva comienza en el origen, se curva hacia arriba y hacia la derecha hasta aproximadamente (0,5, 0,8), se curva hacia la izquierda casi horizontalmente, pasa por (0,1), continúa hasta aproximadamente (–1, 0,7), y luego se curva hacia abajo y hacia la derecha hasta que llega al origen de nuevo.

Forma de flujo del teorema de Green

La forma de circulación del teorema de Green relaciona una integral doble sobre la región D con la integral de línea $\oint_{C} F . T d s,$ donde C es el borde de D. La forma de flujo del teorema de Green relaciona una integral doble sobre la región D con el flujo a través del borde C. El flujo de un fluido a través de una curva puede ser difícil de calcular usando la integral de línea de flujo. Esta forma del teorema de Green nos permite traducir una integral de flujo difícil en una integral doble que suele ser más fácil de calcular.

Teorema 6.13

Teorema de Green, forma de flujo

Supongamos que D es una región abierta y simplemente conectada con una curva límite C que es una curva cerrada simple y suave a trozos que está orientada en sentido contrario a las agujas del reloj (Figura 6.38). Supongamos que $F = 〈 P, Q 〉$ es un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a D. Entonces,

\oint_{C} F . N d s = \iint_{D} P_{x} + Q_{y} d A .

(6.15)

Un campo vectorial en dos dimensiones. Una curva genérica C encierra una región simple D alrededor del origen orientada en sentido contrario a las agujas del reloj. Los vectores normales N apuntan hacia fuera y lejos de la curva en los cuadrantes 1, 3 y 4.

Figura 6.38 La forma de flujo del teorema de Green relaciona una integral doble sobre la región D con el flujo a través de la curva C.

Debido a que esta forma del teorema de Green contiene el vector normal unitario N, a veces se denomina la forma normaldel teorema de Green.

Prueba

Recordemos que $\oint_{C} F . N d s = \oint_{C} − Q d x + P d y .$ Supongamos que $M = − Q$ y $N = P .$ Según la forma de circulación del teorema de Green,

\begin{matrix} \oint_{C} − Q d x + P d y & = \oint_{C} M d x + N d y \\ = \iint_{D} N_{x} - M_{y} d A \\ = \iint_{D} P_{x} - {(− Q)}_{y} d A \\ = \iint_{D} P_{x} + Q_{y} d A . \end{matrix}

□

Ejemplo 6.41

Aplicar el teorema de Green para el flujo a través de un círculo

Supongamos que C es un círculo de radio r centrado en el origen (Figura 6.39) y supongamos que $F (x, y) = 〈 x, y 〉 .$ Calcule el flujo a través de C.

Un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas apuntan hacia fuera del origen en un patrón radial. Son más cortas cerca del origen y mucho más largas más lejos. Se dibuja una circunferencia de radio 2 y centro en el origen.

Figura 6.39 La curva C es un círculo de radio r centrado en el origen.

Solución

Supongamos que D es el disco encerrado por C. El flujo a través de C es $\oint_{C} F . N d s .$ Podríamos evaluar esta integral utilizando las herramientas que hemos aprendido, pero el teorema de Green hace el cálculo mucho más sencillo. Supongamos que $P (x, y) = x$ y $Q (x, y) = y$ por lo que $F = 〈 P, Q 〉 .$ Observe que $P_{x} = 1 = Q_{y},$ y por lo tanto $P_{x} + Q_{y} = 2 .$ Según el teorema de Green,

\int_{C} F • N d s = \int \int_{D} 2 d A = 2 \int \int_{D} d A .

Dado que $\int \int_{D} d A$ es el área del círculo, $\int \int_{D} d A = π r^{2} .$ Por lo tanto, el flujo a través de C es $2 π r^{2} .$

Ejemplo 6.42

Aplicar el teorema de Green para el flujo a través de un triángulo

Supongamos que S es el triángulo con vértices $(0, 0),$ $(1, 0),$ y $(0, 3)$ orientado en el sentido de las agujas del reloj (Figura 6.40). Calcule el flujo de $F (x, y) = 〈 P (x, y), Q (x, y) 〉 = 〈 x^{2} + e^{y}, x + y 〉$ a través de S.

Un campo vectorial en dos dimensiones. Se dibuja un triángulo orientado en el sentido de las agujas del reloj con vértices en (0,0), (1,0) y (0,3). Las flechas del campo apuntan hacia la derecha y hacia arriba ligeramente. El ángulo es mayor cuanto más cerca están del eje.

Figura 6.40 La curva S es un triángulo con vértices

(0, 0),

(1, 0),

y

(0, 3)

orientado en el sentido de las agujas del reloj.

Solución

Para calcular el flujo sin el teorema de Green, tendríamos que dividir la integral del flujo en tres integrales de línea, una integral por cada lado del triángulo. Utilizar el teorema de Green para traducir la integral de la línea de flujo en una única integral doble es mucho más sencillo.

Supongamos que D la región delimitada por S. Observe que $P_{x} = 2 x$ y $Q_{y} = 1;$ por lo tanto, $P_{x} + Q_{y} = 2 x + 1 .$ El teorema de Green solo se aplica a las curvas cerradas simples orientadas en sentido contrario a las agujas del reloj, pero aun así podemos aplicar el teorema porque $\oint_{C} F . N d s = − \oint_{− S} F . N d s$ y $− S$ está orientado en sentido contrario a las agujas del reloj. Según el teorema de Green, el flujo es

\begin{matrix} \oint_{C} F . N d s & = \oint_{− S} F . N d s \\ = − \iint_{D} (P_{x} + Q_{y}) d A \\ = − \iint_{D} (2 x + 1) d A . \end{matrix}

Observe que el borde superior del triángulo es la línea $y = −3 x + 3 .$ Por lo tanto, en la integral doble iterada, los valores de y van desde $y = 0$ al $y = −3 x + 3,$ y tenemos

\begin{matrix} − \iint_{D} (2 x + 1) d A & = − \int_{0}^{1} \int_{0}^{−3 x + 3} (2 x + 1) d y d x \\ = − \int_{0}^{1} (2 x + 1) (−3 x + 3) d x = − \int_{0}^{1} (−6 x^{2} + 3 x + 3) d x \\ = – {[−2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x]}_{0}^{1} = - \frac{5}{2} . \end{matrix}

Punto de control 6.36

Calcule el flujo de $F (x, y) = 〈 x^{3}, y^{3} 〉$ a través de un círculo unitario orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

Ejemplo 6.43

Aplicar el teorema de Green para el flujo de agua a través de un rectángulo

El agua fluye desde un manantial situado en el origen. La velocidad del agua se modela mediante un campo vectorial $v (x, y) = 〈 5 x + y, x + 3 y 〉$ m/s. Halle la cantidad de agua por segundo que fluye a través del rectángulo con vértices $(–1, –2), (1, –2), (1, 3), y (–1, 3),$ orientado en sentido contrario a las agujas del reloj (Figura 6.41).

Un campo vectorial en dos dimensiones. Se dibuja un rectángulo orientado en sentido contrario a las agujas del reloj con vértices en (-1,3), (1,3), (-1,-2) y (1,-2). Las flechas apuntan hacia fuera y lejos del origen en un patrón radial. Sin embargo, las flechas de los cuadrantes 2 y 4 se curvan ligeramente hacia el eje y en vez de salir directamente. Las flechas cercanas al origen son cortas, y las más alejadas del origen son mucho más largas.

Figura 6.41 El agua fluye a través del rectángulo con vértices

(–1, –2), (1, –2), (1, 3), y (–1, 3),

orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

Solución

Supongamos que C representa el rectángulo dado y que D es la región rectangular encerrada por C. Para hallar la cantidad de agua que fluye a través de C, calculamos el flujo $\int_{C} v \cdot N ds .$ Supongamos que $P (x, y) = 5 x + y$ y $Q (x, y) = x + 3 y$ por lo que $v = (P, Q) .$ Entonces, $P_{x} = 5$ y $Q_{y} = 3 .$ Según el teorema de Green,

\begin{matrix} \int_{C} v \cdot N ds & = \iint_{D} (P_{x} + Q_{y}) d A \\ = \iint_{D} 8 d A \\ = 8 (área de D) = 80. \end{matrix}

Por lo tanto, el flujo de agua es de 80 m²/s.

Recuerde que si el campo vectorial F es conservativo, entonces F no trabaja alrededor de curvas cerradas, es decir, la circulación de F alrededor de una curva cerrada es cero. De hecho, si el dominio de F es simplemente conectado, entonces F es conservativo si y solo si la circulación de F alrededor de cualquier curva cerrada es cero. Si sustituimos "circulación de F" por "flujo de F", obtenemos una definición de campo vectorial sin fuente. Las siguientes afirmaciones son formas equivalentes de definir un campo libre de fuentes $F = 〈 P, Q 〉$ en un dominio simplemente conectado (observe las similitudes con las propiedades de los campos vectoriales conservativos):

El flujo $\oint_{C} F . N d s$ a través de cualquier curva cerrada C es cero.
Si los valores de $C_{1}$ y $C_{2}$ son curvas en el dominio de F con los mismos puntos iniciales y finales, entonces $\int_{C_{1}} F . N d s = \int_{C_{2}} F . N d s .$ En otras palabras, el flujo es independiente de la trayectoria.
Existe una función de flujo $g (x, y)$ para F. Una función de flujo para $F = 〈 P, Q 〉$ es una función g tal que $P = g_{y}$ y $Q = − g_{x} .$ Geométricamente, $F (a, b)$ es tangente a la curva de nivel de g en $(a, b) .$ Como el gradiente de g es perpendicular a la curva de nivel de g en $(a, b),$ la función de flujo g tiene la propiedad $F (a, b) • ∇ g (a, b) = 0$ para cualquier punto $(a, b)$ en el dominio de g. (Las funciones de flujo desempeñan el mismo papel para los campos sin fuente que las funciones de potencial para los campos conservativos).
$P_{x} + Q_{y} = 0$

Ejemplo 6.44

Hallar una función de flujo

Verifique que el campo vectorial de rotación $F (x, y) = 〈 y, − x 〉$ está libre de fuentes, y halle una función de flujo para F.

Solución

Observe que el dominio de F es todo $ℝ^{2},$ que está simplemente conectado. Por lo tanto, para demostrar que F es libre de fuentes, podemos demostrar que cualquiera de los puntos 1 a 4 de la lista anterior es verdadero. En este ejemplo, demostramos que el punto 4 es verdadero. Supongamos que $P (x, y) = y$ y $Q (x, y) = − x .$ Entonces $P_{x} + 0 = Q_{y},$ y por lo tanto $P_{x} + Q_{y} = 0 .$ Por lo tanto, F está libre de fuentes.

Para hallar una función de flujo para F, se procede de la misma manera que para hallar una función de potencial para un campo conservativo. Supongamos que g es una función de flujo para F. Entonces $g_{y} = y,$ lo que implica que

g (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + h (x) .

Dado que $− g_{x} = Q = − x,$ tenemos $h ′ (x) = x .$ Por lo tanto,

h (x) = \frac{x^{2}}{2} + C .

Suponiendo que $C = 0$ da la función de flujo

g (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} .

Para confirmar que g es una función de flujo para F, observe que $g_{y} = y = P$ y $− g_{x} = − x = Q .$

Observe que el campo vectorial de rotación sin fuente $F (x, y) = 〈 y, − x 〉$ es perpendicular al campo vectorial radial conservativo $∇ g = 〈 x, y 〉$ (Figura 6.42).

Dos campos vectoriales en dos dimensiones. El primero tiene flechas que rodean el origen en un patrón circular en el sentido de las agujas del reloj. El segundo tiene flechas que apuntan hacia afuera del origen de manera radial. En ambos se dibujan círculos con radios 1,5, 2 y 2,5 y centros en el origen. Las flechas cercanas al origen son más cortas que las más alejadas. La primera se denomina F(x,y) = <y, -x> y la segunda se denomina para el gradiente, delta g = <x, -y>.

Figura 6.42 (a) En esta imagen, vemos las curvas de tres niveles de g y el campo vectorial F. Observe que los vectores F en una curva de nivel dada son tangentes a la curva de nivel. (b) En esta imagen, vemos las curvas de tres niveles de g y el campo vectorial

∇ g .

Los vectores de gradiente son perpendiculares a la curva de nivel correspondiente. Por lo tanto,

F (a, b) • ∇ g (a, b) = 0

para cualquier punto del dominio de g.

Punto de control 6.37

Hallar una función de flujo para el campo vectorial $F (x, y) = 〈 x sen y, cos y 〉 .$

Los campos vectoriales que son a la vez conservativos y libres de fuentes son campos vectoriales importantes. Una característica importante de los campos vectoriales conservadores y sin fuente en un dominio simplemente conectado es que cualquier función potencial $f$ de tal campo satisface la ecuación de Laplace $f_{x x} + f_{y y} = 0 .$ La ecuación de Laplace es fundamental en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales porque modela fenómenos como los potenciales gravitacionales y magnéticos en el espacio, y el potencial de velocidad de un fluido ideal. Una función que satisface la ecuación de Laplace se llama función armónica. Por lo tanto, cualquier función potencial de un campo vectorial conservador y sin fuentes es armónica.

Para ver que cualquier función potencial de un campo vectorial conservativo y sin fuente en un dominio simplemente conectado es armónica, supongamos que $f$ es una función potencial del campo vectorial $F = 〈 P, Q 〉 .$ Entonces, $f_{x} = P$ y $f_{x} = Q$ porque $∇ f = F .$ Por lo tanto, $f_{x x} = P_{x}$ y $f_{y y} = Q_{y} .$ Ya que F no tiene fuente, $f_{x x} + f_{y y} = P_{x} + Q_{y} = 0,$ y tenemos que $f$ es armónico.

Ejemplo 6.45

Satisfacer la ecuación de Laplace

Para el campo vectorial $F (x, y) = 〈 e^{x} sen y, e^{x} cos y 〉,$ verifique que el campo es conservativo y libre de fuentes, halle una función potencial para F, y verifique que la función potencial es armónica.

Solución

Supongamos que $P (x, y) = e^{x} sen y$ y $Q (x, y) = e^{x} cos y .$ Observe que el dominio de F es todo el espacio doble, que es simplemente conectado. Por lo tanto, podemos comprobar los parciales cruzados de F para determinar si F es conservativo. Observe que $P_{y} = e^{x} cos y = Q_{x},$ por lo que F es conservativo. Dado que $P_{x} = e^{x} sen y$ y $Q_{y} = e^{x} sen y, P_{x} + Q_{y} = 0$ y el campo está libre de fuentes.

Para hallar una función potencial para F, supongamos que $f$ es una función potencial. Entonces, $∇ f = F,$ por lo que $f_{x} = e^{x} sen y .$ Integrando esta ecuación con respecto a x se obtiene $f (x, y) = e^{x} sen y + h (y) .$ Dado que $f_{y} = e^{x} cos y,$ diferenciando $f$ con respecto a y da $e^{x} cos y = e^{x} cos y + h ′ (y) .$ Por lo tanto, podemos tomar $h (y) = 0,$ y $f (x, y) = e^{x} sen y$ son funciones potenciales para $f .$

Para verificar que $f$ es una función armónica, observe que $f_{x x} = \frac{\partial}{\partial x} (e^{x} sen y) = e^{x} sen y$ y

$f_{y y} = \frac{\partial}{\partial x} (e^{x} cos y) = − e^{x} sen y .$ Por lo tanto, $f_{x x} + f_{y y} = 0,$ y $f$ satisfacen la ecuación de Laplace.

Punto de control 6.38

¿La función $f (x, y) = e^{x + 5 y}$ es armónica?

Teorema de Green sobre regiones generales

El teorema de Green, tal y como se ha establecido, solo se aplica a las regiones que están simplemente conectadas, es decir, el teorema de Green, tal y como se ha establecido hasta ahora, no puede manejar regiones con agujeros. Aquí, extendemos el teorema de Green para que funcione en regiones con un número finito de agujeros (Figura 6.43).

Una región ovalada no conectada con tres agujeros circulares.

Figura 6.43 El teorema de Green, como se ha dicho, no se aplica a una región no simplemente conectada con tres agujeros como esta.

Antes de hablar de las extensiones del teorema de Green, tenemos que repasar cierta terminología relativa al borde de una región. Supongamos que D es una región y que C es una componente del borde de D. Decimos que C está orientada positivamente si, al caminar por C en la dirección de la orientación, la región D está siempre a nuestra izquierda. Por lo tanto, la orientación contraria a las agujas del reloj del borde de un disco es una orientación positiva, por ejemplo. La curva C está orientada negativamente si, al recorrerla en la dirección de la orientación, la región D está siempre a nuestra derecha. La orientación del borde de un disco en el sentido de las agujas del reloj es una orientación negativa, por ejemplo.

Supongamos que D es una región con un número finito de agujeros (de modo que D tiene un número finito de curvas de borde), y denotemos el borde de D por $\partial D$ (Figura 6.44). Para ampliar el teorema de Green de manera que pueda manejar D, dividimos la región D en dos regiones, $D_{1}$ y $D_{2}$ (con sus respectivos bordes $\partial D_{1}$ y $\partial D_{2}),$ de tal manera que $D = D_{1} \cup D_{2}$ y que $D_{1}$ ni $D_{2}$ tienen algún agujero (Figura 6.44).

Dos regiones. La primera región D tiene forma ovalada con tres agujeros circulares. Su borde orientado es en sentido contrario a las agujas del reloj. La segunda región es la región D, dividida horizontalmente por la mitad en dos regiones simplemente conectadas y sin agujeros. Sigue teniendo un borde orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

Figura 6.44 (a) La región D con un borde orientado tiene tres agujeros. (b) La región D dividida en dos regiones simplemente conectadas no tiene agujeros.

Supongamos que el borde de D está orientado como en la figura, con los agujeros interiores con orientación negativa y el borde exterior con orientación positiva. El borde de cada región simplemente conectada $D_{1}$ y $D_{2}$ se orienta positivamente. Si F es un campo vectorial definido en D, entonces el teorema de Green dice que

\begin{matrix} \oint_{\partial D} F . d r & = \oint_{\partial D_{1}} F . d r + \oint_{\partial D_{2}} F . d r \\ = \iint_{D_{1}} Q_{x} - P_{y} d A + \iint_{D_{2}} Q_{x} - P_{y} d A \\ = \iint_{D} (Q_{x} - P_{y}) d A . \end{matrix}

Por lo tanto, el teorema de Green sigue funcionando en una región con agujeros.

Para ver cómo funciona esto en la práctica, considere el anillo D en la Figura 6.45 y suponga que $F = 〈 P, Q 〉$ es un campo vectorial definido en este anillo. La región D tiene un agujero, por lo que no está simplemente conectada. Oriente el círculo exterior del anillo en el sentido contrario a las agujas del reloj y el círculo interior en el sentido de las agujas del reloj (Figura 6.45) para que, cuando dividamos la región en $D_{1}$ y $D_{2},$ podamos mantener la región a nuestra izquierda mientras caminamos por la trayectoria que atraviesa el borde. Supongamos que $D_{1}$ es la mitad superior del anillo y $D_{2}$ es la mitad inferior. Ninguna de estas regiones tiene agujeros, por lo que hemos dividido D en dos regiones simplemente conectadas.

Marcamos cada pieza de estos nuevos bordes como $P_{i}$ para alguna i, como en la Figura 6.45. Si empezamos en P y recorremos el borde orientado, el primer segmento es $P_{1},$ entonces $P_{2}, P_{3},$ y $P_{4} .$ Ahora hemos atravesado $D_{1}$ y regresamos a P. A continuación, empezamos de nuevo en P y atravesamos $D_{2} .$ Dado que el primer trozo del borde es el mismo que $P_{4}$ en $D_{1},$ pero orientada en sentido contrario, la primera pieza de $D_{2}$ ¿es $− P_{4} .$ A continuación, tenemos $P_{5},$ entonces $− P_{2},$ y finalmente $P_{6} .$

Un diagrama de un anillo, una región circular con un agujero dentro como una rosquilla. Su borde está orientado en sentido contrario a las agujas del reloj. Está marcado un punto P en el borde exterior. Es el extremo derecho del diámetro horizontal. El anillo está dividido horizontalmente por la mitad en dos regiones separadas que están simplemente conectadas. El punto P está marcado en estas dos regiones, D1 y D2. Cada región tiene límites orientados en sentido contrario a las agujas del reloj. La curva superior de D1 se denomina P1, el lado plano izquierdo es P2, la curva inferior es P3 y el lado plano derecho es P4. La curva inferior de D2 es P6, el lado plano izquierdo es -P2, la curva superior es P5 y el lado plano derecho es -P4.

Figura 6.45 Al dividir el anillo en dos regiones separadas, obtenemos dos regiones simplemente conectadas. Las integrales de línea sobre los límites comunes se cancelan.

la Figura 6.45 muestra una trayectoria que atraviesa el borde de D. Observe que esta trayectoria atraviesa el borde de la región $D_{1},$ vuelve al punto de partida, y luego atraviesa el borde de la región $D_{2} .$ Además, mientras vamos por la trayectoria, la región está siempre a nuestra izquierda. Observe que esta travesía de las trayectorias $P_{i}$ cubre todo el borde de la región D. Si solo hubiéramos atravesado una parte del borde de D, entonces no podríamos aplicar el teorema de Green a D.

Por lo tanto, el límite de la mitad superior del anillo es $P_{1} \cup P_{2} \cup P_{3} \cup P_{4}$ y el borde de la mitad inferior del anillo es $− P_{4} \cup P_{5} \cup - P_{2} \cup P_{6} .$ Entonces, el teorema de Green implica

\begin{matrix} \int_{\partial D} F . d r & = \int_{P_{1}} F . d r + \int_{P_{2}} F . d r + \int_{P_{3}} F . d r + \int_{P_{4}} F . d r + \int_{− P_{4}} F . d r + \int_{P_{5}} F . d r - \int_{P_{2}} F . d r + \int_{P_{6}} F . d r \\ = \int_{P_{1}} F . d r + \int_{P_{2}} F . d r + \int_{P_{3}} F . d r + \int_{P_{4}} F . d r - \int_{P_{4}} F . d r + \int_{P_{5}} F . d r - \int_{P_{2}} F . d r + \int_{P_{6}} F . d r \\ = \int_{P_{1}} F . d r + \int_{P_{3}} F . d r + \int_{P_{5}} F . d r + \int_{P_{6}} F . d r \\ = \int_{\partial D_{1}} F . d r + \int_{\partial D_{2}} F . d r \\ = \iint_{D_{1}} (Q_{x} - P_{y}) d A + \iint_{D_{2}} (Q_{x} - P_{y}) d A \\ = \iint_{D} (Q_{x} - P_{y}) d A . \end{matrix}

Por lo tanto, llegamos a la ecuación que se encuentra en el teorema de Green, a saber

\oint_{\partial D} F . d r = \iint_{D} (Q_{x} - P_{y}) d A .

La misma lógica implica que la forma de flujo del teorema de Green también puede extenderse a una región con un número finito de agujeros:

\oint_{C} F . N d s = \iint_{D} (P_{x} + Q_{y}) d A .

Ejemplo 6.46

Usar el teorema de Green en una región con agujeros

Calcule la integral

\oint_{\partial D} (sen x - \frac{x^{3}}{3}) d x + (\frac{y^{3}}{3} + sen y) d y,

donde D es el anillo dado por las desigualdades polares $1 \leq r \leq 2,$ $0 \leq θ \leq 2 π .$

Solución

Aunque D no está simplemente conectado, podemos utilizar la forma extendida del teorema de Green para calcular la integral. Dado que la integración se produce sobre un anillo, la convertimos a coordenadas polares:

\begin{matrix} \oint_{\partial D} (sen x - \frac{y^{3}}{3}) d x + (\frac{x^{3}}{3} + sen y) d y & = \iint_{D} (Q_{x} - P_{y}) d A \\ = \iint_{D} (x^{2} + y^{2}) d A \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{1}^{2} r^{3} d r d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{15}{4} d θ \\ = \frac{15 π}{2} . \end{matrix}

Ejemplo 6.47

Usar la forma ampliada del teorema de Green

Supongamos que $F = 〈 P, Q 〉 = 〈 \frac{y}{x^{2} + y^{2}}, - \frac{x}{x^{2} + y^{2}} 〉$ y supongamos que C es cualquier curva simple cerrada en un plano orientado en sentido contrario a las agujas del reloj. ¿Cuáles son los posibles valores de $\oint_{C} F . d r ?$

Solución

Utilizamos la forma ampliada del teorema de Green para demostrar que $\oint_{C} F . d r$ es 0 o $−2 π$ , es decir, por muy loca que sea la curva C, la integral de línea de F a lo largo de C solo puede tener uno de los dos valores posibles. Consideramos dos casos: el caso en que C abarca el origen y el caso en que C no abarca el origen.

Caso 1: C no abarca el origen

En este caso, la región encerrada por C está simplemente conectada porque el único hueco en el dominio de F está en el origen. Hemos demostrado en nuestra discusión de los parciales cruzados que F satisface la condición de parciales cruzados. Si restringimos el dominio de F solo a C y a la región que encierra, entonces F con este dominio restringido está ahora definido en un dominio simplemente conectado. Dado que F satisface la propiedad transversal en su dominio restringido, el campo F es conservativo en esta región simplemente conectada y, por tanto, la circulación $\oint_{C} F . d r$ es cero.

Caso 2: C sí abarca el origen

En este caso, la región encerrada por C no está simplemente conectada porque esta región contiene un agujero en el origen. Supongamos que $C_{1}$ es un círculo de radio a centrado en el origen de forma que $C_{1}$ está completamente dentro de la región delimitada por C (Figura 6.46). Dé a $C_{1}$ una orientación en el sentido de las agujas del reloj.

Un diagrama en dos dimensiones. Un círculo C1 orientado en el sentido de las agujas del reloj está centrado en el origen completamente dentro de una curva genérica C que está en los cuatro cuadrantes. La curva C está orientada en sentido contrario a las agujas del reloj.

Figura 6.46 Elija el círculo

C_{1}

centrado en el origen que está contenida completamente dentro de C.

Supongamos que D es la región entre $C_{1}$ y C, y C está orientado en sentido contrario a las agujas del reloj. Según la versión extendida del teorema de Green,

\begin{matrix} \int_{C} F . d r + \int_{C_{1}} F . d r & = \iint_{D} Q_{x} - P_{y} d A \\ = \iint_{D} - \frac{y^{2} - x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y^{2} - x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} d A \\ = 0, \end{matrix}

y por lo tanto

\int_{C} F . d r = - \int_{C_{1}} F . d r .

Dado que $C_{1}$ es una curva específica, podemos evaluar $\int_{C_{1}} F . d r .$ Supongamos que

x = a cos t, y = a sen t, 0 \leq t \leq 2 π

ser una parametrización de $C_{1} .$ Entonces,

\begin{matrix} \int_{C_{1}} F . d r & = \int_{0}^{2 π} F (r (t)) . r ′ (t) d t \\ = \int_{0}^{2 π} 〈 - \frac{sen (t)}{a}, - \frac{cos (t)}{a} 〉 . 〈 − a sen (t), − a cos (t) 〉 d t \\ = \int_{0}^{2 π} {sen}^{2} (t) + {cos}^{2} (t) d t = \int_{0}^{2 π} d t = 2 π . \end{matrix}

Por lo tanto, $\int_{C} F . d s = - 2 π .$

Punto de control 6.39

Calcule la integral $\oint_{\partial D} F . d r,$ donde D es el anillo dado por las desigualdades polares $2 \leq r \leq 5, 0 \leq θ \leq 2 π,$ y $F (x, y) = 〈 x^{3}, 5 x + e^{y} sen y 〉 .$

Proyecto de estudiante

Medición del área a partir de un borde: El planímetro

Imagen de resonancia magnética del cerebro de un paciente con un tumor resaltado en rojo.

Figura 6.47 Esta imagen de resonancia magnética del cerebro de un paciente muestra un tumor, que está resaltado en rojo (créditos: modificación del trabajo de Christaras A., Wikimedia Commons).

Imagine que es un médico que acaba de recibir una imagen de resonancia magnética del cerebro de su paciente. El cerebro tiene un tumor (Figura 6.47). ¿Qué tamaño tiene el tumor? Para ser precisos, ¿cuál es el área de la región roja? La sección transversal roja del tumor tiene una forma irregular y, por lo tanto, es poco probable que pueda encontrar un conjunto de ecuaciones o desigualdades para la región y luego poder calcular su área por medios convencionales. Se podría aproximar el área cortando la región en pequeños cuadrados (un enfoque de suma de Riemann), pero este método siempre da una respuesta con algún error.

En vez de intentar medir el área de la región directamente, podemos utilizar un dispositivo llamado planímetro de rodillos para calcular el área de la región con exactitud, simplemente midiendo su borde. En este proyecto investiga cómo funciona un planímetro y utiliza el teorema de Green para demostrar que el aparato calcula el área correctamente.

Un planímetro de rodillos es un dispositivo que mide el área de una región plana trazando el borde de dicha región (Figura 6.48). Para medir el área de una región, basta con pasar el trazador del planímetro alrededor del borde de la región. El planímetro mide el número de vueltas que da la rueda al trazar el borde; el área de la forma es proporcional a este número de vueltas de la rueda. Podemos derivar la ecuación de proporcionalidad precisa utilizando el teorema de Green. A medida que el trazador se desplaza por el borde de la región, el brazo del trazador gira y el rodillo se mueve hacia adelante y hacia atrás (pero no gira).

Dos imágenes. La primera muestra un planímetro rodante. Una barra horizontal tiene un rodillo unido a ella perpendicularmente con un pivote. No gira por sí mismo; solo se mueve hacia adelante y hacia atrás. A la derecha del rodillo está el brazo trazador con una rueda y un trazador en el extremo. La segunda muestra una vista interior de un planímetro rodante. La rueda no puede girar si el planímetro se mueve hacia adelante y hacia atrás con el brazo trazador perpendicular al rodillo.

Figura 6.48 (a) Un planímetro rodante. El pivote permite que el brazo trazador gire. El rodillo en sí no gira; solo se mueve hacia adelante y hacia atrás. (b) Una vista interior de un planímetro rodante. Observe que la rueda no puede girar si el planímetro se mueve hacia adelante y hacia atrás con el brazo trazador perpendicular al rodillo.

Supongamos que C muestra el borde de la región D, el área a calcular. A medida que el trazador atraviesa la curva C, se supone que el rodillo se mueve a lo largo del eje y (como el rodillo no gira, se puede suponer que se mueve a lo largo de una línea recta). Utilice las coordenadas $(x, y)$ para representar los puntos del borde C, y las coordenadas $(0, Y)$ para representar la posición del pivote. A medida que el planímetro traza C, el pivote se mueve a lo largo del eje y mientras el brazo trazador gira sobre el pivote.

Medios

Vea una breve animación de un planímetro en acción.

Comience el análisis considerando el movimiento del trazador mientras se mueve desde el punto $(x, y)$ en sentido contrario a las agujas del reloj para apuntar $(x + d x, y + d y)$ que está cerca de $(x, y)$ (Figura 6.49). El pivote también se mueve, desde el punto $(0, Y)$ a un punto cercano $(0, Y + d Y) .$ ¿Cuánto gira la rueda como resultado de este movimiento? Para responder esta pregunta, divida la moción en dos partes. En primer lugar, haga rodar el pivote a lo largo del eje y desde $(0, Y)$ al $(0, Y + d Y)$ sin girar el brazo trazador. El brazo trazador termina entonces en el punto $(x, y + d Y)$ manteniendo un ángulo constante $ϕ$ con el eje x. En segundo lugar, gire el brazo trazador en un ángulo $d θ$ sin mover el rodillo. Ahora el rastreador está en el punto $(x + d x, y + d y) .$ Supongamos que $l$ es la distancia del pivote a la rueda y que L es la distancia del pivote al trazador (la longitud del brazo del trazador).

Un diagrama en los cuadrantes 1 y 2 que muestra el movimiento del planímetro. En el eje y se marcan dos puntos: (0, Y) y (0, Y + dY), donde Y es menor que Y + dY. El primer punto es el pivote. Más arriba y a la derecha del cuadrante 1 hay tres puntos: (x, y), (x, y + dy) y (x + dx, y + dy). Observe que la Y mayúscula y la y minúscula no son iguales; la y es mucho más grande. Se dibuja un segmento de línea entre (0,Y) y (x,y). Aproximadamente a la mitad de esta línea hay una marca para la rueda, y el punto final (x,y) está marcado para el trazador. Supongamos que l es la distancia del pivote a la rueda, y que L es la distancia del pivote al trazador. También se dibujan segmentos de línea desde (0, Y + dY) hasta cada uno de los otros puntos del cuadrante 1. El ángulo entre el segmento de línea con (0,Y) como punto final y el eje y se denomina phi. El ángulo entre los segmentos de línea con (0, Y+dY) como punto final es "d theta" Se dibuja una curva que pasa por la rueda, el trazador y los tres puntos del cuadrante 1, hacia arriba y a través del eje y, hacia abajo y de vuelta a través del eje y en un valor y más pequeño cerca a la altura del trazador, y hacia abajo a través de los segmentos de línea y de vuelta a la rueda.

Figura 6.49 Análisis matemático del movimiento del planímetro.

Explique por qué la distancia total por la que rueda el pequeño movimiento que acabamos de describir es $sen ϕ d Y + l d θ = \frac{x}{L} d Y + l d θ .$
Demuestre que $\oint_{C} d θ = 0,$
Utilice el paso 2 para demostrar que la distancia total de rodadura de la rueda mientras el trazador atraviesa la curva C es
Rollo total de la rueda $= \frac{1}{L} \oint_{C} x d Y .$
Ahora que tiene una ecuación para la distancia total de rodadura de la rueda, conecta esta ecuación con el teorema de Green para calcular el área D encerrada por C.
Demuestre que $x^{2} + {(y - Y)}^{2} = L^{2} .$
Supongamos que la orientación del planímetro es la que se muestra en la Figura 6.49. Explique por qué $Y \leq y,$ y utilice esta desigualdad para demostrar que existe un valor único de Y para cada punto $(x, y) :$ $Y = y = \sqrt{L^{2} - x^{2}} .$
Utilice el paso 5 para demostrar que $d Y = d y + \frac{x}{\sqrt{L^{2} - x^{2}}} d x .$
Utilice el teorema de Green para demostrar que $\oint_{C} \frac{x}{\sqrt{L^{2} - x^{2}}} d x = 0,$
Utilice el paso 7 para demostrar que el balanceo total de la rueda es
Balanceo total de la rueda $= \frac{1}{L} \oint_{C} x d y .$
Tomó un poco de trabajo, pero esta ecuación dice que la variable de integración Y en el paso 3 se puede sustituir por y.
Utilice el teorema de Green para demostrar que el área de D es $\oint_{C} x d y .$ La lógica es similar a la utilizada para demostrar que el área de $D = \frac{1}{2} \oint_{C} − y d x + x d y .$
Concluya que el área de D es igual a la longitud del brazo trazador multiplicada por la distancia total de rodadura de la rueda.
Ahora sabe cómo funciona un planímetro y ha utilizado el teorema de Green para justificar su funcionamiento. Para calcular el área de una región plana D, utilice un planímetro para trazar el límite de la región. El área de la región es la longitud del brazo trazador multiplicada por la distancia que rodó la rueda.

Sección 6.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales de línea aplicando el teorema de Green.

146.

$\int_{C}^{} 2 x y d x + (x + y) d y,$ donde C es la trayectoria de (0, 0) a (1, 1) a lo largo del gráfico de $y = x^{3}$ y de (1, 1) a (0, 0) a lo largo del gráfico de $y = x$ orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj

147.

$\int_{C}^{} 2 x y d x + (x + y) d y,$ donde C es el borde de la región situada entre los gráficos de $y = 0$ y $y = 4 - x^{2}$ orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj

148.

$\int_{C}^{} 2 arctan (\frac{y}{x}) d x + ln (x^{2} + y^{2}) d y,$ donde C se define por $x = 4 + 2 cos θ, y = 4 sen θ$ orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj

149.

$\int_{C}^{} sen x cos y d x + (x y + cos x sen y) d y,$ donde C es el borde de la región situada entre los gráficos de $y = x$ como $y = \sqrt{x}$ orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj

150.

$\int_{C}^{} x y d x + (x + y) d y,$ donde C es el borde de la región situada entre las gráficas de $x^{2} + y^{2} = 1$ y $x^{2} + y^{2} = 9$ orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj

151.

$\oint_{C} (− y d x + x d y),$ donde C consiste en el segmento de línea C1de $(–1, 0)$ a (1, 0), seguido del arco semicircular C2desde (1, 0) de vuelta a (1, 0)

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de Green.

152.

Supongamos que C es la curva formada por los segmentos de línea de (0, 0) a (1, 1) a (0, 1) y de vuelta a (0, 0). Calcule el valor de $\int_{C} x y d x + \sqrt{y^{2} + 1} d y .$

153.

Evalúe la integral de línea $\int_{C} x e^{−2 x} d x + (x^{4} + 2 x^{2} y^{2}) d y,$ donde C es el borde de la región entre círculos $x^{2} + y^{2} = 1$ y $x^{2} + y^{2} = 4,$ y es una curva de orientación positiva.

154.

Halle la circulación del campo en sentido contrario a las agujas del reloj $F (x, y) = x y i + y^{2} j$ alrededor y sobre el borde de la región limitada por las curvas $y = x^{2}$ y $y = x$ en el primer cuadrante y orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Un campo vectorial con foco en el cuadrante 1. Se dibuja una línea de (0,0) a (1,1) según la función y = x, y también se dibuja una curva según la función y = x^2. La región comprendida entre las dos funciones está sombreada. Las flechas que están cerca del origen son mucho más pequeñas que las que están más lejos, sobre todo en sentido vertical. Las flechas apuntan hacia arriba y se alejan del origen hacia la derecha en la parte del cuadrante 1 que se muestra.

155.

Evalúe $\oint_{C} y^{3} d x - x^{3} y^{2} d y,$ donde C es el círculo de radio 2 orientado positivamente y centrado en el origen.

156.

Evalúe $\oint_{C} y^{3} d x - x^{3} d y,$ donde C incluye los dos círculos de radio 2 y radio 1 centrados en el origen, ambos con orientación positiva.

Un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas rodean el origen en un movimiento circular en el sentido de las agujas del reloj. Los que están cerca del origen son mucho más pequeños que los que están más lejos. Se dibuja un círculo de radio 2 y otro de radio con centro en el origen, y se sombrea la región entre ambos.

157.

Calcule $\oint_{C} − x^{2} y d x + x y^{2} d y,$ donde C es un círculo de radio 2 centrado en el origen y orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

158.

Calcule la integral $\oint_{C} 2 [y + x sen (y)] d x + [x^{2} cos (y) - 3 y^{2}] d y$ a lo largo del triángulo C con vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 1), orientado en sentido contrario a las agujas del reloj, utilizando el teorema de Green.

159.

Evalúe la integral $\oint_{C} (x^{2} + y^{2}) d x + 2 x y d y,$ donde C es la curva que sigue a la parábola $y = x^{2} de (0, 0) (2, 4),$ luego la línea de (2, 4) a (2, 0), y finalmente la línea de (2, 0) a (0, 0).

Un campo vectorial en el cuadrante 1. Las flechas son mucho más pequeñas cerca del origen. Apuntan hacia arriba y se alejan del origen, con una pendiente creciente cuanto más a la derecha. La curva sigue la parábola y = x^2 desde el origen hasta (2,4), la línea desde (2,4) hasta (2,0) y la línea desde (2,0) hasta (0,0). El área bajo y=2x y sobre la parábola está sombreada.

160.

Evalúe la integral de línea $\oint_{C} (y - sen (y) cos (y)) d x + 2 x {sen}^{2} (y) d y,$ donde C se orienta en una trayectoria contraria a las agujas del reloj alrededor de la región delimitada por $x = −1, x = 2, y = 4 - x^{2},$ y $y = x - 2 .$

Un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más pequeñas cuanto más cerca están del origen, sobre todo en sentido vertical. La curva C sigue una trayectoria en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de la región delimitada por x = –1, x = 2, y = 4 – x^2 y y = x – 2. La región está sombreada.

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de Green para hallar el área.

161.

Halle el área entre la elipse $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ y el círculo $x^{2} + y^{2} = 25 .$

162.

Halle el área de la región encerrada por la ecuación paramétrica

p (θ) = (cos (θ) - {cos}^{2} (θ)) i + (sen (θ) - cos (θ) sen (θ)) j para 0 \leq θ \leq 2 π .

Un cardioide que comienza en el origen, pasando por (0,1), (-2,0), (0,-1) y volviendo al origen.

163.

Halle el área de la región delimitada por el hipocicloide $r (t) = {cos}^{3} (t) i + {sen}^{3} (t) j .$ La curva está parametrizada por $t \in [0, 2 π] .$

164.

Halle el área de un pentágono con vértices $(0, 4), (4, 1), (3, 0), (–1, –1),$ y $(–2, 2) .$

165.

Utilice el teorema de Green para evaluar $\int_{C +} (y^{2} + x^{3}) d x + x^{4} d y,$ donde $C^{+}$ es el perímetro del cuadrado $[0, 1] \times [0, 1]$ orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

166.

Utilice el teorema de Green para demostrar que el área de un disco con radio a es $A = π a^{2} .$

167.

Utilice el teorema de Green para encontrar el área de un bucle de una rosa de cuatro hojas $r = 3 sen 2 θ .$ (Pista: $x d y - y d x = r^{2} d θ) .$

168.

Utilice el teorema de Green para hallar el área bajo un arco de la cicloide dada por el plano paramétrico $x = t - sen t, y = 1 - cos t, t \geq 0 .$

169.

Utilice el teorema de Green para encontrar el área de la región encerrada por la curva

r (t) = t^{2} i + (\frac{t^{3}}{3} - t) j, - \sqrt{3} \leq t \leq \sqrt{3} .

Una región horizontal en forma de lágrima simétrica respecto al eje x y con intersecciones a en el origen y (3,0). El extremo más grande y curvo está en el origen, y el extremo puntiagudo está en (3,0).

170.

[T] Evalúe el teorema de Green utilizando un sistema de álgebra computacional para evaluar la integral $\int_{C} x e^{y} d x + e^{x} d y,$ donde C es el círculo dado por $x^{2} + y^{2} = 4$ y se orienta en el sentido contrario a las agujas del reloj.

171.

Evalúe $\int_{C} (x^{2} y - 2 x y + y^{2}) d s,$ donde C es el borde del cuadrado unitario $0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1,$ atravesado en sentido contrario a las agujas del reloj.

172.

Evalúe $\int_{C}^{} \frac{− (y + 2) d x + (x - 1) d y}{{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2}},$ donde C es cualquier curva simple cerrada con un interior que no contiene punto $(1, –2)$ atravesado en sentido contrario a las agujas del reloj.

173.

Evalúe $\int_{C}^{} \frac{x d x + y d y}{x^{2} + y^{2}},$ donde C es cualquier curva cerrada simple y suave a trozos que encierra el origen, atravesada en sentido contrario a las agujas del reloj.

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de Green para calcular el trabajo realizado por la fuerza F sobre una partícula que se mueve en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de la trayectoria cerrada C.

174.

$F (x, y) = x y i + (x + y) j,$ $C : x^{2} + y^{2} = 4$

175.

$F (x, y) = (x^{3 / 2} - 3 y) i + (6 x + 5 \sqrt{y}) j,$ C: borde de un triángulo con vértices (0, 0), (5, 0) y (0, 5)

176.

Evalúe $\int_{C} (2 x^{3} - y^{3}) d x + (x^{3} + y^{3}) d y,$ donde C es un círculo unitario orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

177.

Una partícula comienza en el punto $(–2, 0),$ se desplaza a lo largo del eje x hasta (2, 0), y luego recorre el semicírculo $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ al punto de partida. Utilice el teorema de Green para hallar el trabajo realizado sobre esta partícula por el campo de fuerza $F (x, y) = x i + (x^{3} + 3 x y^{2}) j .$

178.

David y Sandra están patinando en un estanque sin fricción y con viento. David patina por el interior, recorriendo un círculo de radio 2 en sentido contrario a las agujas del reloj. Sandra patina una vez alrededor de un círculo de radio 3, también en sentido contrario a las agujas del reloj. Supongamos que la fuerza del viento en el punto $(x, y)$ $(x, y)$ $(x, y)$ es $F (x, y) = (x^{2} y + 10 y) i + (x^{3} + 2 x y^{2}) j .$ Utilice el teorema de Green para determinar quién hace más trabajo.

179.

Utilice el teorema de Green para hallar el trabajo realizado por el campo de fuerza $F (x, y) = (3 y - 4 x) i + (4 x - y) j$ cuando un objeto se mueve una vez en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de la elipse $4 x^{2} + y^{2} = 4 .$

180.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea $\oint_{C} e^{2 x} sen 2 y d x + e^{2 x} cos 2 y d y,$ donde C es la elipse $9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y - 3)}^{2} = 36$ orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

181.

Evalúe la integral de línea $\oint_{C} y^{2} d x + x^{2} d y,$ donde C es el borde de un triángulo con vértices $(0, 0), (1, 1), y (1, 0),$ con la orientación contraria a las agujas del reloj.

182.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea $\int_{C} h . d r$ si $h (x, y) = e^{y} i - sen π x j,$ donde C es un triángulo con vértices (1, 0), (0, 1) y (–1, 0) recorridos en sentido contrario a las agujas del reloj.

183.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea $\int_{C}^{} \sqrt{1 + x^{3}} d x + 2 x y d y$ donde C es un triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 3) orientados en el sentido de las agujas del reloj.

184.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea $\int_{C}^{} x^{2} y d x - x y^{2} d y$ donde C es un círculo $x^{2} + y^{2} = 4$ orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

185.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea $\int_{C}^{} (3 y - e^{sen x}) d x + (7 x + \sqrt{y^{4} + 1}) d y$ donde C es un círculo $x^{2} + y^{2} = 9$ orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

186.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea $\int_{C}^{} (3 x - 5 y) d x + (x - 6 y) d y,$ donde C es la elipse $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ y se orienta en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Un óvalo horizontal orientado en sentido contrario a las agujas del reloj con vértices en (-2,0), (0,-1), (2,0) y (0,1). La región que encierra está sombreada.

187.

Supongamos que C es una curva cerrada triangular de (0, 0) a (1, 0) a (1, 1) y finalmente de vuelta a (0, 0). Supongamos que $F (x, y) = 4 y i + 6 x^{2} j .$ Utilice el teorema de Green para evaluar $\oint_{C} F . d s .$

188.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea $\oint_{C} y d x - x d y,$ donde C es un círculo $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ orientado en el sentido de las agujas del reloj.

189.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea $\oint_{C} (y + x) d x + (x + sen y) d y,$ donde C es cualquier curva cerrada simple y suave que une el origen a sí misma orientada en el sentido contrario a las agujas del reloj.

190.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea $\oint_{C} (y - ln (x^{2} + y^{2})) d x + (2 arctan \frac{y}{x}) d y,$ donde C es el círculo orientado positivamente ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1 .$

191.

Utilice el teorema de Green para evaluar $\oint_{C} x y d x + x^{3} y^{3} d y,$ donde C es un triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 2) con orientación positiva.

192.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea $\int_{C}^{} sen y d x + x cos y d y,$ donde C es la elipse $x^{2} + x y + y^{2} = 1$ orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

193.

Supongamos que $F (x, y) = (cos (x^{5})) - \frac{1}{3} y^{3} i + \frac{1}{3} x^{3} j .$ Halle la circulación en sentido contrario a las agujas del reloj $\oint_{C} F . d r,$ donde C es una curva que consiste en el segmento de línea que une $(–2, 0) y (–1, 0),$ medio círculo $y = \sqrt{1 - x^{2}},$ el segmento de línea que une (1, 0) y (2, 0), y el semicírculo $y = \sqrt{4 - x^{2}} .$

194.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea $\int_{C}^{} sen (x^{3}) d x + 2 y e^{x^{2}} d y,$ donde C es una curva cerrada triangular que conecta los puntos (0, 0), (2, 2) y (0, 2) en sentido contrario a las agujas del reloj.

195.

Supongamos que C es el borde del cuadrado $0 \leq x \leq π, 0 \leq y \leq π,$ atravesado en sentido contrario a las agujas del reloj. Utilice el teorema de Green para hallar $\int_{C}^{} sen (x + y) d x + cos (x + y) d y .$

196.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea $\int_{C}^{} F . d r,$ donde $F (x, y) = (y^{2} - x^{2}) i + (x^{2} + y^{2}) j,$ y C es un triángulo delimitado por $y = 0, x = 3, y y = x,$ orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

197.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral $\int_{C}^{} F . d r,$ donde $F (x, y) = (x y^{2}) i + x j,$ y C es un círculo unitario orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

198.

Utilice el teorema de Green en un plano para evaluar la integral de línea $\oint_{C} (x y + y^{2}) d x + x^{2} d y,$ donde C es una curva cerrada de una región delimitada por $y = x y y = x^{2}$ orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

199.

Calcule el flujo de salida de $F = − x i + 2 y j$ sobre un cuadrado con esquinas $(±1, ±1),$ donde la normal de la unidad está orientada hacia el exterior y en sentido contrario a las agujas del reloj.

200.

[T] Supongamos que C es un círculo $x^{2} + y^{2} = 4$ orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj. Evalúe $\oint_{C} [(3 y - e^{tan - 1_{x}}) d x + (7 x + \sqrt{y^{4} + 1}) d y]$ utilizando un sistema de álgebra computacional.

201.

Halle el flujo de campo $F = − x i + y j$ a través de $x^{2} + y^{2} = 16$ orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

202.

Supongamos que $F = (y^{2} - x^{2}) i + (x^{2} + y^{2}) j,$ y que C es un triángulo delimitado por $y = 0, x = 3,$ y $y = x$ orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj. Halle el flujo de salida de F a través de C.

203.

[T] Supongamos queC es el círculo unitario $x^{2} + y^{2} = 1$ atravesado una vez en sentido contrario a las agujas del reloj. Evalúe $\int_{C} [− y^{3} + sen (x y) + x y cos (x y)] d x + [x^{3} + x^{2} cos (x y)] d y$ utilizando un sistema de álgebra computacional.

204.

[T] Halle el flujo de salida del campo vectorial $F = x y^{2} i + x^{2} y j$ a través del borde del anillo $R = {(x, y) : 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4} = {(r, θ) : 1 \leq r \leq 2, 0 \leq θ \leq 2 π}$ utilizando un sistema de álgebra computacional.

205.

Consideremos la región R delimitada por las parábolas $y = x^{2} y x = y^{2} .$ Supongamos que C es el borde de R orientado en sentido contrario a las agujas del reloj. Utilice el teorema de Green para evaluar $\oint_{C} (y + e^{\sqrt{x}}) d x + (2 x + cos (y^{2})) d y .$

6.4 Teorema de Green

Ampliación del teorema fundamental del cálculo

Forma de circulación del teorema de Green

Teorema de Green, forma de circulación

Prueba

Aplicar el teorema de Green sobre un rectángulo

Solución

Análisis

Aplicar el teorema de Green para calcular el trabajo

Solución

Aplicar el teorema de Green sobre una elipse

Solución

Forma de flujo del teorema de Green

Teorema de Green, forma de flujo

Prueba

Aplicar el teorema de Green para el flujo a través de un círculo

Solución

Aplicar el teorema de Green para el flujo a través de un triángulo

Solución

Aplicar el teorema de Green para el flujo de agua a través de un rectángulo

Solución

Hallar una función de flujo

Solución

Satisfacer la ecuación de Laplace

Solución

Teorema de Green sobre regiones generales

Usar el teorema de Green en una región con agujeros

Solución

Usar la forma ampliada del teorema de Green

Solución

Caso 1: C no abarca el origen

Caso 2: C sí abarca el origen

Medición del área a partir de un borde: El planímetro

Sección 6.4 ejercicios