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Cálculo volumen 3

6.4 Teorema de Green

Cálculo volumen 36.4 Teorema de Green

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 6.4.1 Aplicar la forma de circulación del teorema de Green.
  • 6.4.2 Aplicar la forma de flujo del teorema de Green.
  • 6.4.3 Calcular la circulación y el flujo en regiones más generales.

En esta sección, examinamos el teorema de Green, que es una extensión del teorema fundamental del cálculo a dos dimensiones. El teorema de Green tiene dos formas: una forma de circulación y una forma de flujo, ambas requieren que la región D en la integral doble sea simplemente conectada. Sin embargo, extenderemos el teorema de Green a regiones que no son simplemente conectadas.

En pocas palabras, el teorema de Green relaciona una integral de línea alrededor de una curva plana simplemente cerrada C y una integral doble sobre la región encerrada por C. El teorema es útil porque nos permite traducir integrales de línea difíciles en integrales dobles más simples, o integrales dobles difíciles en integrales de línea más simples.

Ampliación del teorema fundamental del cálculo

Recordemos que el teorema fundamental del cálculo dice que

abF(x)dx=F(b)F(a).abF(x)dx=F(b)F(a).

Como enunciado geométrico, esta ecuación dice que la integral sobre la región por debajo del gráfico de F(x)F(x) y por encima del segmento de línea [a,b][a,b] depende únicamente del valor de F en los puntos finales a y b de ese segmento. Como los números a y b son el límite del segmento de línea [a,b],[a,b], el teorema dice que podemos calcular la integral abF(x)dxabF(x)dx con base en la información sobre el límite del segmento de línea [a,b][a,b] (Figura 6.32). La misma idea es válida para el teorema fundamental de las integrales de línea:

Cf.dr=f(r(b))f(r(a)).Cf.dr=f(r(b))f(r(a)).

Cuando tenemos una función potencial (una "antiderivada"), podemos calcular la integral de línea basándonos únicamente en la información sobre el límite de la curva C.

Un gráfico en el cuadrante 1 de una función genérica f(x). Es una función cóncava creciente hacia arriba para el primer cuarto, una función cóncava creciente hacia abajo para el segundo cuarto, una función cóncava decreciente hacia abajo para el tercer cuarto y una función cóncava creciente hacia abajo para el último cuarto. En el segundo cuarto se marca un punto a en el eje x, y en el tercero se marca un punto b en el eje x. El área bajo la curva y entre a y b está sombreada. Esta área se denomina la integral de a hasta b de f(x) dx.
Figura 6.32 El teorema fundamental del cálculo dice que la integral sobre un segmento de línea [ a , b ] [ a , b ] depende únicamente de los valores de la antiderivada en los puntos extremos de [ a , b ] . [ a , b ] .

El teorema de Green toma esta idea y la extiende al cálculo de integrales dobles. El teorema de Green dice que podemos calcular una integral doble sobre la región D basándonos únicamente en la información sobre el borde de D. También dice que podemos calcular una integral de línea sobre una curva simple cerrada C basándonos únicamente en la información sobre la región que encierra C. En particular, el teorema de Green conecta una integral doble sobre la región D con una integral de línea alrededor del borde de D.

Forma de circulación del teorema de Green

La primera forma del teorema de Green que examinamos es la forma de circulación. Esta forma del teorema relaciona la integral de línea vectorial sobre una curva plana simple y cerrada C con una integral doble sobre la región encerrada por C. Por tanto, la circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva simple y cerrada puede transformarse en una integral doble y viceversa.

Teorema 6.12

Teorema de Green, forma de circulación

Supongamos que D es una región abierta y limitada simple con una curva límite C que es una curva cerrada simple y suave a trozos orientada en sentido contrario a las agujas del reloj (Figura 6.33). Supongamos que F=P,QF=P,Q es un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas en D. Entonces,

CF.dr=CPdx+Qdy=D(QxPy)dA.CF.dr=CPdx+Qdy=D(QxPy)dA.
(6.13)
Un campo vectorial en dos dimensiones con todas las flechas apuntando hacia arriba y hacia la derecha. Una curva C orientada en sentido contrario a las agujas del reloj secciona una región D alrededor del origen. Es una región simple y cerrada.
Figura 6.33 La forma de circulación del teorema de Green relaciona una integral de línea sobre la curva C con una integral doble sobre la región D.

Observe que el teorema de Green solo puede utilizarse para un campo vectorial bidimensional F. Si F es un campo tridimensional, el teorema de Green no es aplicable. Dado que

CPdx+Qdy=CF.Tds,CPdx+Qdy=CF.Tds,

esta versión del teorema de Green se denomina a veces la forma tangencial del teorema de Green.

La demostración del teorema de Green es bastante técnica y está fuera del alcance de este texto. Aquí examinamos una demostración del teorema en el caso especial de que D sea un rectángulo. Por el momento, observe que podemos confirmar rápidamente que el teorema es verdadero para el caso especial en el que F=P,QF=P,Q es conservativo. En este caso,

CPdx+Qdy=0CPdx+Qdy=0

porque la circulación es nula en los campos vectoriales conservativos. Según la Propiedad parcial cruzada de los campos conservadores, F satisface la condición de paridad cruzada, por lo que Py=Qx.Py=Qx. Por lo tanto,

D(QxPy)dA=D0dA=0=CPdx+Qdy,D(QxPy)dA=D0dA=0=CPdx+Qdy,

lo que confirma el teorema de Green en el caso de campos vectoriales conservadores.

Prueba

Demostremos ahora que la forma de circulación del teorema de Green es verdadera cuando la región D es un rectángulo. Supongamos que D es el rectángulo [a,b]×[c,d][a,b]×[c,d] orientado en sentido contrario a las agujas del reloj. Entonces, el borde C de D está formado por cuatro trozos suaves C1,C1, C2 ,C2 , C3,C3, y C4C4 (Figura 6.34). Parametrizamos cada lado de D como sigue:

C1:r1(t)=t,c,atbC2 :r2 (t)=b,t,ctdC3:r3(t)=t,d,atbC4:r4(t)=a,t,ctd.C1:r1(t)=t,c,atbC2 :r2 (t)=b,t,ctdC3:r3(t)=t,d,atbC4:r4(t)=a,t,ctd.
Un diagrama en el cuadrante 1. El rectángulo D está orientado en sentido contrario a las agujas del reloj. Los puntos a y b están en el eje x, y los puntos c y d están en el eje y con b > a y d > c. Los lados del rectángulo son el lado c1 con puntos extremos en (a,c) y (b,c), el lado c2 con puntos extremos en (b,c) y (b,d), el lado c3 con puntos extremos en (b,d) y (a,d), y el lado c4 con puntos extremos en (a,d) y (a,c).
Figura 6.34 El rectángulo D está orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

Entonces,

CFdr=C1Fdr+C2 Fdr+C3Fdr+C4Fdr=C1Fdr+C2 FdrC3FdrC4Fdr=abF(r1(t))r1(t)dt+cdF(r2 (t))r2 (t)dtabF(r3(t))r3(t)dtcdF(r4(t))r4(t)dt=abP(t,c)dt+cdQ(b,t)dtabP(t,d)dtcdQ(a,t)dt=ab(P(t,c)P(t,d))dt+cd(Q(b,t)Q(a,t))dt=ab(P(t,d)P(t,c))dt+cd(Q(b,t)Q(a,t))dt.CFdr=C1Fdr+C2 Fdr+C3Fdr+C4Fdr=C1Fdr+C2 FdrC3FdrC4Fdr=abF(r1(t))r1(t)dt+cdF(r2 (t))r2 (t)dtabF(r3(t))r3(t)dtcdF(r4(t))r4(t)dt=abP(t,c)dt+cdQ(b,t)dtabP(t,d)dtcdQ(a,t)dt=ab(P(t,c)P(t,d))dt+cd(Q(b,t)Q(a,t))dt=ab(P(t,d)P(t,c))dt+cd(Q(b,t)Q(a,t))dt.

Según el teorema fundamental del cálculo,

P(t,d)P(t,c)=cdyP(t,y)dyyQ(b,t)Q(a,t)=abxQ(x,t)dx.P(t,d)P(t,c)=cdyP(t,y)dyyQ(b,t)Q(a,t)=abxQ(x,t)dx.

Por lo tanto,

ab(P(t,d)P(t,c))dt+cd(Q(b,t)Q(a,t))dt=abcdyP(t,y)dydt+cdabxQ(x,t)dxdt.ab(P(t,d)P(t,c))dt+cd(Q(b,t)Q(a,t))dt=abcdyP(t,y)dydt+cdabxQ(x,t)dxdt.

Pero,

abcdyP(t,y)dydt+cdabxQ(x,t)dxdt=abcdyP(x,y)dydx+cdabxQ(x,y)dxdy=abcd(QxPy)dydx=D(QxPy)dA.abcdyP(t,y)dydt+cdabxQ(x,t)dxdt=abcdyP(x,y)dydx+cdabxQ(x,y)dxdy=abcd(QxPy)dydx=D(QxPy)dA.

Por lo tanto, CFdr=D(QxPy)dACFdr=D(QxPy)dA con lo que hemos demostrado el teorema de Green en el caso de un rectángulo.

Para demostrar el teorema de Green sobre una región general D, podemos descomponer D en muchos rectángulos pequeños y utilizar la prueba de que el teorema funciona sobre rectángulos. Sin embargo, los detalles son técnicos y están fuera del alcance de este texto.

Ejemplo 6.38

Aplicar el teorema de Green sobre un rectángulo

Calcule la integral de línea

Cx2 ydx+(y3)dy,Cx2 ydx+(y3)dy,

donde C es un rectángulo con vértices (1,1),(1,1), (4,1),(4,1), (4,5),(4,5), y (1,5)(1,5) orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

Análisis

Si tuviéramos que evaluar esta integral de línea sin utilizar el teorema de Green, tendríamos que parametrizar cada lado del rectángulo, dividir la integral de línea en cuatro integrales de línea separadas y utilizar los métodos de las integrales de línea para evaluar cada integral. Además, como el campo vectorial aquí no es conservativo, no podemos aplicar el teorema fundamental de las integrales de línea. El teorema de Green simplifica mucho el cálculo.

Ejemplo 6.39

Aplicar el teorema de Green para calcular el trabajo

Calcule el trabajo realizado sobre una partícula por el campo de fuerza

F(x,y)=y+senx,eyxF(x,y)=y+senx,eyx

a medida que la partícula atraviesa el círculo x2 +y2 =4x2 +y2 =4 exactamente una vez en el sentido contrario a las agujas del reloj, empezando y terminando en el punto (2 ,0).(2 ,0).

Punto de control 6.34

Utilice el teorema de Green para calcular la integral de línea

Csen(x2 )dx+(3xy)dy,Csen(x2 )dx+(3xy)dy,

donde C es un triángulo rectángulo con vértices (–1,2 ),(–1,2 ), (4,2 ),(4,2 ), y (4,5)(4,5) orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

En los dos ejemplos anteriores, la integral doble del teorema de Green era más fácil de calcular que la integral de línea, así que utilizamos el teorema para calcular la integral de línea. En el siguiente ejemplo, la integral doble es más difícil de calcular que la integral de línea, así que utilizamos el teorema de Green para traducir una integral doble en una integral de línea.

Ejemplo 6.40

Aplicar el teorema de Green sobre una elipse

Calcule el área encerrada por la elipse x2 a2 +y2 b2 =1x2 a2 +y2 b2 =1 (Figura 6.37).

Una elipse horizontal graficada en dos dimensiones. Tiene vértices en (-a, 0), (0, -b), (a, 0) y (0, b), donde el valor absoluto de a está entre 2,5 y 5 y el valor absoluto de b está entre 0 y 2,5.
Figura 6.37 Elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 se indica con C.

En el Ejemplo 6.40, utilizamos el campo vectorial F(x,y)=P,Q=y2 ,x2 F(x,y)=P,Q=y2 ,x2 para hallar el área de cualquier elipse. La lógica del ejemplo anterior puede extenderse para derivar una fórmula para el área de cualquier región D. Supongamos que D es cualquier región con un límite que sea una curva simple cerrada C orientada en sentido contrario a las agujas del reloj. Si los valores de F(x,y)=P,Q=y2 ,x2 ,F(x,y)=P,Q=y2 ,x2 , entonces QxPy=1.QxPy=1. Por lo tanto, por la misma lógica que en el Ejemplo 6.40,

área deD=DdA=12 Cydx+xdy.área deD=DdA=12 Cydx+xdy.
(6.14)

Cabe destacar que si F=P,QF=P,Q es cualquier campo vectorial con QxPy=1,QxPy=1, entonces la lógica del párrafo anterior funciona. Así pues, la Ecuación 6.14 no es la única ecuación que utiliza las parciales mixtas de un campo vectorial para obtener el área de una región.

Punto de control 6.35

Halle el área de la región encerrada por la curva con parametrización r(t)=sentcost,sent,0tπ.r(t)=sentcost,sent,0tπ.

Una imagen de una curva en los cuadrantes 1 y 2. La curva comienza en el origen, se curva hacia arriba y hacia la derecha hasta aproximadamente (0,5, 0,8), se curva hacia la izquierda casi horizontalmente, pasa por (0,1), continúa hasta aproximadamente (–1, 0,7), y luego se curva hacia abajo y hacia la derecha hasta que llega al origen de nuevo.

Forma de flujo del teorema de Green

La forma de circulación del teorema de Green relaciona una integral doble sobre la región D con la integral de línea CF.Tds,CF.Tds, donde C es el borde de D. La forma de flujo del teorema de Green relaciona una integral doble sobre la región D con el flujo a través del borde C. El flujo de un fluido a través de una curva puede ser difícil de calcular usando la integral de línea de flujo. Esta forma del teorema de Green nos permite traducir una integral de flujo difícil en una integral doble que suele ser más fácil de calcular.

Teorema 6.13

Teorema de Green, forma de flujo

Supongamos que D es una región abierta y simplemente conectada con una curva límite C que es una curva cerrada simple y suave a trozos que está orientada en sentido contrario a las agujas del reloj (Figura 6.38). Supongamos que F=P,QF=P,Q es un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a D. Entonces,

CF.Nds=DPx+QydA.CF.Nds=DPx+QydA.
(6.15)
Un campo vectorial en dos dimensiones. Una curva genérica C encierra una región simple D alrededor del origen orientada en sentido contrario a las agujas del reloj. Los vectores normales N apuntan hacia fuera y lejos de la curva en los cuadrantes 1, 3 y 4.
Figura 6.38 La forma de flujo del teorema de Green relaciona una integral doble sobre la región D con el flujo a través de la curva C.

Debido a que esta forma del teorema de Green contiene el vector normal unitario N, a veces se denomina la forma normaldel teorema de Green.

Prueba

Recordemos que CF.Nds=CQdx+Pdy.CF.Nds=CQdx+Pdy. Supongamos que M=QM=Q y N=P.N=P. Según la forma de circulación del teorema de Green,

CQdx+Pdy=CMdx+Ndy=DNxMydA=DPx(Q)ydA=DPx+QydA.CQdx+Pdy=CMdx+Ndy=DNxMydA=DPx(Q)ydA=DPx+QydA.

Ejemplo 6.41

Aplicar el teorema de Green para el flujo a través de un círculo

Supongamos que C es un círculo de radio r centrado en el origen (Figura 6.39) y supongamos que F(x,y)=x,y.F(x,y)=x,y. Calcule el flujo a través de C.

Un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas apuntan hacia fuera del origen en un patrón radial. Son más cortas cerca del origen y mucho más largas más lejos. Se dibuja una circunferencia de radio 2 y centro en el origen.
Figura 6.39 La curva C es un círculo de radio r centrado en el origen.

Ejemplo 6.42

Aplicar el teorema de Green para el flujo a través de un triángulo

Supongamos que S es el triángulo con vértices (0,0),(0,0), (1,0),(1,0), y (0,3)(0,3) orientado en el sentido de las agujas del reloj (Figura 6.40). Calcule el flujo de F(x,y)=P(x,y),Q(x,y)=x2 +ey,x+yF(x,y)=P(x,y),Q(x,y)=x2 +ey,x+y a través de S.

Un campo vectorial en dos dimensiones. Se dibuja un triángulo orientado en el sentido de las agujas del reloj con vértices en (0,0), (1,0) y (0,3). Las flechas del campo apuntan hacia la derecha y hacia arriba ligeramente. El ángulo es mayor cuanto más cerca están del eje.
Figura 6.40 La curva S es un triángulo con vértices ( 0 , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , y ( 0 , 3 ) ( 0 , 3 ) orientado en el sentido de las agujas del reloj.

Punto de control 6.36

Calcule el flujo de F(x,y)=x3,y3F(x,y)=x3,y3 a través de un círculo unitario orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

Ejemplo 6.43

Aplicar el teorema de Green para el flujo de agua a través de un rectángulo

El agua fluye desde un manantial situado en el origen. La velocidad del agua se modela mediante un campo vectorial v(x,y)=5x+y,x+3yv(x,y)=5x+y,x+3y m/s. Halle la cantidad de agua por segundo que fluye a través del rectángulo con vértices (–1,–2),(1,–2),(1,3),y(–1,3),(–1,–2),(1,–2),(1,3),y(–1,3), orientado en sentido contrario a las agujas del reloj (Figura 6.41).

Un campo vectorial en dos dimensiones. Se dibuja un rectángulo orientado en sentido contrario a las agujas del reloj con vértices en (-1,3), (1,3), (-1,-2) y (1,-2). Las flechas apuntan hacia fuera y lejos del origen en un patrón radial. Sin embargo, las flechas de los cuadrantes 2 y 4 se curvan ligeramente hacia el eje y en vez de salir directamente. Las flechas cercanas al origen son cortas, y las más alejadas del origen son mucho más largas.
Figura 6.41 El agua fluye a través del rectángulo con vértices ( –1 , –2 ) , ( 1 , –2 ) , ( 1 , 3 ) , y ( –1 , 3 ) , ( –1 , –2 ) , ( 1 , –2 ) , ( 1 , 3 ) , y ( –1 , 3 ) , orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

Recuerde que si el campo vectorial F es conservativo, entonces F no trabaja alrededor de curvas cerradas, es decir, la circulación de F alrededor de una curva cerrada es cero. De hecho, si el dominio de F es simplemente conectado, entonces F es conservativo si y solo si la circulación de F alrededor de cualquier curva cerrada es cero. Si sustituimos "circulación de F" por "flujo de F", obtenemos una definición de campo vectorial sin fuente. Las siguientes afirmaciones son formas equivalentes de definir un campo libre de fuentes F=P,QF=P,Q en un dominio simplemente conectado (observe las similitudes con las propiedades de los campos vectoriales conservativos):

  1. El flujo CF.NdsCF.Nds a través de cualquier curva cerrada C es cero.
  2. Si los valores de C1C1 y C2 C2 son curvas en el dominio de F con los mismos puntos iniciales y finales, entonces C1F.Nds=C2 F.Nds.C1F.Nds=C2 F.Nds. En otras palabras, el flujo es independiente de la trayectoria.
  3. Existe una función de flujo g(x,y)g(x,y) para F. Una función de flujo para F=P,QF=P,Q es una función g tal que P=gyP=gy y Q=gx.Q=gx. Geométricamente, F(a,b)F(a,b) es tangente a la curva de nivel de g en (a,b).(a,b). Como el gradiente de g es perpendicular a la curva de nivel de g en (a,b),(a,b), la función de flujo g tiene la propiedad F(a,b)g(a,b)=0F(a,b)g(a,b)=0 para cualquier punto (a,b)(a,b) en el dominio de g. (Las funciones de flujo desempeñan el mismo papel para los campos sin fuente que las funciones de potencial para los campos conservativos).
  4. Px+Qy=0Px+Qy=0

Ejemplo 6.44

Hallar una función de flujo

Verifique que el campo vectorial de rotación F(x,y)=y,xF(x,y)=y,x está libre de fuentes, y halle una función de flujo para F.

Punto de control 6.37

Hallar una función de flujo para el campo vectorial F(x,y)=xseny,cosy.F(x,y)=xseny,cosy.

Los campos vectoriales que son a la vez conservativos y libres de fuentes son campos vectoriales importantes. Una característica importante de los campos vectoriales conservadores y sin fuente en un dominio simplemente conectado es que cualquier función potencial ff de tal campo satisface la ecuación de Laplace fxx+fyy=0.fxx+fyy=0. La ecuación de Laplace es fundamental en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales porque modela fenómenos como los potenciales gravitacionales y magnéticos en el espacio, y el potencial de velocidad de un fluido ideal. Una función que satisface la ecuación de Laplace se llama función armónica. Por lo tanto, cualquier función potencial de un campo vectorial conservador y sin fuentes es armónica.

Para ver que cualquier función potencial de un campo vectorial conservativo y sin fuente en un dominio simplemente conectado es armónica, supongamos que ff es una función potencial del campo vectorial F=P,Q.F=P,Q. Entonces, fx=Pfx=P y fx=Qfx=Q porque f=F.f=F. Por lo tanto, fxx=Pxfxx=Px y fyy=Qy.fyy=Qy. Ya que F no tiene fuente, fxx+fyy=Px+Qy=0,fxx+fyy=Px+Qy=0, y tenemos que ff es armónico.

Ejemplo 6.45

Satisfacer la ecuación de Laplace

Para el campo vectorial F(x,y)=exseny,excosy,F(x,y)=exseny,excosy, verifique que el campo es conservativo y libre de fuentes, halle una función potencial para F, y verifique que la función potencial es armónica.

Punto de control 6.38

¿La función f(x,y)=ex+5yf(x,y)=ex+5y es armónica?

Teorema de Green sobre regiones generales

El teorema de Green, tal y como se ha establecido, solo se aplica a las regiones que están simplemente conectadas, es decir, el teorema de Green, tal y como se ha establecido hasta ahora, no puede manejar regiones con agujeros. Aquí, extendemos el teorema de Green para que funcione en regiones con un número finito de agujeros (Figura 6.43).

Una región ovalada no conectada con tres agujeros circulares.
Figura 6.43 El teorema de Green, como se ha dicho, no se aplica a una región no simplemente conectada con tres agujeros como esta.

Antes de hablar de las extensiones del teorema de Green, tenemos que repasar cierta terminología relativa al borde de una región. Supongamos que D es una región y que C es una componente del borde de D. Decimos que C está orientada positivamente si, al caminar por C en la dirección de la orientación, la región D está siempre a nuestra izquierda. Por lo tanto, la orientación contraria a las agujas del reloj del borde de un disco es una orientación positiva, por ejemplo. La curva C está orientada negativamente si, al recorrerla en la dirección de la orientación, la región D está siempre a nuestra derecha. La orientación del borde de un disco en el sentido de las agujas del reloj es una orientación negativa, por ejemplo.

Supongamos que D es una región con un número finito de agujeros (de modo que D tiene un número finito de curvas de borde), y denotemos el borde de D por DD (Figura 6.44). Para ampliar el teorema de Green de manera que pueda manejar D, dividimos la región D en dos regiones, D1D1 y D2 D2 (con sus respectivos bordes D1D1 y D2 ),D2 ), de tal manera que D=D1D2 D=D1D2 y que D1D1 ni D2 D2 tienen algún agujero (Figura 6.44).

Dos regiones. La primera región D tiene forma ovalada con tres agujeros circulares. Su borde orientado es en sentido contrario a las agujas del reloj. La segunda región es la región D, dividida horizontalmente por la mitad en dos regiones simplemente conectadas y sin agujeros. Sigue teniendo un borde orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.
Figura 6.44 (a) La región D con un borde orientado tiene tres agujeros. (b) La región D dividida en dos regiones simplemente conectadas no tiene agujeros.

Supongamos que el borde de D está orientado como en la figura, con los agujeros interiores con orientación negativa y el borde exterior con orientación positiva. El borde de cada región simplemente conectada D1D1 y D2 D2 se orienta positivamente. Si F es un campo vectorial definido en D, entonces el teorema de Green dice que

DF.dr=D1F.dr+D2 F.dr=D1QxPydA+D2 QxPydA=D(QxPy)dA.DF.dr=D1F.dr+D2 F.dr=D1QxPydA+D2 QxPydA=D(QxPy)dA.

Por lo tanto, el teorema de Green sigue funcionando en una región con agujeros.

Para ver cómo funciona esto en la práctica, considere el anillo D en la Figura 6.45 y suponga que F=P,QF=P,Q es un campo vectorial definido en este anillo. La región D tiene un agujero, por lo que no está simplemente conectada. Oriente el círculo exterior del anillo en el sentido contrario a las agujas del reloj y el círculo interior en el sentido de las agujas del reloj (Figura 6.45) para que, cuando dividamos la región en D1D1 y D2 ,D2 , podamos mantener la región a nuestra izquierda mientras caminamos por la trayectoria que atraviesa el borde. Supongamos que D1D1 es la mitad superior del anillo y D2 D2 es la mitad inferior. Ninguna de estas regiones tiene agujeros, por lo que hemos dividido D en dos regiones simplemente conectadas.

Marcamos cada pieza de estos nuevos bordes como PiPi para alguna i, como en la Figura 6.45. Si empezamos en P y recorremos el borde orientado, el primer segmento es P1,P1, entonces P2 ,P3,P2 ,P3, y P4.P4. Ahora hemos atravesado D1D1 y regresamos a P. A continuación, empezamos de nuevo en P y atravesamos D2 .D2 . Dado que el primer trozo del borde es el mismo que P4P4 en D1,D1, pero orientada en sentido contrario, la primera pieza de D2 D2 ¿es P4.P4. A continuación, tenemos P5,P5, entonces P2 ,P2 , y finalmente P6.P6.

Un diagrama de un anillo, una región circular con un agujero dentro como una rosquilla. Su borde está orientado en sentido contrario a las agujas del reloj. Está marcado un punto P en el borde exterior. Es el extremo derecho del diámetro horizontal. El anillo está dividido horizontalmente por la mitad en dos regiones separadas que están simplemente conectadas. El punto P está marcado en estas dos regiones, D1 y D2. Cada región tiene límites orientados en sentido contrario a las agujas del reloj. La curva superior de D1 se denomina P1, el lado plano izquierdo es P2, la curva inferior es P3 y el lado plano derecho es P4. La curva inferior de D2 es P6, el lado plano izquierdo es -P2, la curva superior es P5 y el lado plano derecho es -P4.
Figura 6.45 Al dividir el anillo en dos regiones separadas, obtenemos dos regiones simplemente conectadas. Las integrales de línea sobre los límites comunes se cancelan.

la Figura 6.45 muestra una trayectoria que atraviesa el borde de D. Observe que esta trayectoria atraviesa el borde de la región D1,D1, vuelve al punto de partida, y luego atraviesa el borde de la región D2 .D2 . Además, mientras vamos por la trayectoria, la región está siempre a nuestra izquierda. Observe que esta travesía de las trayectorias PiPi cubre todo el borde de la región D. Si solo hubiéramos atravesado una parte del borde de D, entonces no podríamos aplicar el teorema de Green a D.

Por lo tanto, el límite de la mitad superior del anillo es P1P2 P3P4P1P2 P3P4 y el borde de la mitad inferior del anillo es P4P5P2 P6.P4P5P2 P6. Entonces, el teorema de Green implica

DF.dr =P1F.dr+P2 F.dr+P3F.dr+P4F.dr+P4F.dr+P5F.drP2 F.dr+P6F.dr =P1F.dr+P2 F.dr+P3F.dr+P4F.drP4F.dr+P5F.drP2 F.dr+P6F.dr =P1F.dr+P3F.dr+P5F.dr+P6F.dr =D1F.dr+D2 F.dr=D1(QxPy)dA+D2 (QxPy)dA=D(QxPy)dA. DF.dr =P1F.dr+P2 F.dr+P3F.dr+P4F.dr+P4F.dr+P5F.drP2 F.dr+P6F.dr =P1F.dr+P2 F.dr+P3F.dr+P4F.drP4F.dr+P5F.drP2 F.dr+P6F.dr =P1F.dr+P3F.dr+P5F.dr+P6F.dr =D1F.dr+D2 F.dr=D1(QxPy)dA+D2 (QxPy)dA=D(QxPy)dA.

Por lo tanto, llegamos a la ecuación que se encuentra en el teorema de Green, a saber

DF.dr=D(QxPy)dA.DF.dr=D(QxPy)dA.

La misma lógica implica que la forma de flujo del teorema de Green también puede extenderse a una región con un número finito de agujeros:

CF.Nds=D(Px+Qy)dA.CF.Nds=D(Px+Qy)dA.

Ejemplo 6.46

Usar el teorema de Green en una región con agujeros

Calcule la integral

D(senxx33)dx+(y33+seny)dy,D(senxx33)dx+(y33+seny)dy,

donde D es el anillo dado por las desigualdades polares 1r2 ,1r2 , 0θ2 π.0θ2 π.

Ejemplo 6.47

Usar la forma ampliada del teorema de Green

Supongamos que F=P,Q=yx2 +y2 ,xx2 +y2 F=P,Q=yx2 +y2 ,xx2 +y2 y supongamos que C es cualquier curva simple cerrada en un plano orientado en sentido contrario a las agujas del reloj. ¿Cuáles son los posibles valores de CF.dr?CF.dr?

Punto de control 6.39

Calcule la integral DF.dr,DF.dr, donde D es el anillo dado por las desigualdades polares 2 r5,0θ2 π,2 r5,0θ2 π, y F(x,y)=x3,5x+eyseny.F(x,y)=x3,5x+eyseny.

Proyecto de estudiante

Medición del área a partir de un borde: El planímetro

Imagen de resonancia magnética del cerebro de un paciente con un tumor resaltado en rojo.
Figura 6.47 Esta imagen de resonancia magnética del cerebro de un paciente muestra un tumor, que está resaltado en rojo (créditos: modificación del trabajo de Christaras A., Wikimedia Commons).

Imagine que es un médico que acaba de recibir una imagen de resonancia magnética del cerebro de su paciente. El cerebro tiene un tumor (Figura 6.47). ¿Qué tamaño tiene el tumor? Para ser precisos, ¿cuál es el área de la región roja? La sección transversal roja del tumor tiene una forma irregular y, por lo tanto, es poco probable que pueda encontrar un conjunto de ecuaciones o desigualdades para la región y luego poder calcular su área por medios convencionales. Se podría aproximar el área cortando la región en pequeños cuadrados (un enfoque de suma de Riemann), pero este método siempre da una respuesta con algún error.

En vez de intentar medir el área de la región directamente, podemos utilizar un dispositivo llamado planímetro de rodillos para calcular el área de la región con exactitud, simplemente midiendo su borde. En este proyecto investiga cómo funciona un planímetro y utiliza el teorema de Green para demostrar que el aparato calcula el área correctamente.

Un planímetro de rodillos es un dispositivo que mide el área de una región plana trazando el borde de dicha región (Figura 6.48). Para medir el área de una región, basta con pasar el trazador del planímetro alrededor del borde de la región. El planímetro mide el número de vueltas que da la rueda al trazar el borde; el área de la forma es proporcional a este número de vueltas de la rueda. Podemos derivar la ecuación de proporcionalidad precisa utilizando el teorema de Green. A medida que el trazador se desplaza por el borde de la región, el brazo del trazador gira y el rodillo se mueve hacia adelante y hacia atrás (pero no gira).

Dos imágenes. La primera muestra un planímetro rodante. Una barra horizontal tiene un rodillo unido a ella perpendicularmente con un pivote. No gira por sí mismo; solo se mueve hacia adelante y hacia atrás. A la derecha del rodillo está el brazo trazador con una rueda y un trazador en el extremo. La segunda muestra una vista interior de un planímetro rodante. La rueda no puede girar si el planímetro se mueve hacia adelante y hacia atrás con el brazo trazador perpendicular al rodillo.
Figura 6.48 (a) Un planímetro rodante. El pivote permite que el brazo trazador gire. El rodillo en sí no gira; solo se mueve hacia adelante y hacia atrás. (b) Una vista interior de un planímetro rodante. Observe que la rueda no puede girar si el planímetro se mueve hacia adelante y hacia atrás con el brazo trazador perpendicular al rodillo.

Supongamos que C muestra el borde de la región D, el área a calcular. A medida que el trazador atraviesa la curva C, se supone que el rodillo se mueve a lo largo del eje y (como el rodillo no gira, se puede suponer que se mueve a lo largo de una línea recta). Utilice las coordenadas (x,y)(x,y) para representar los puntos del borde C, y las coordenadas (0,Y)(0,Y) para representar la posición del pivote. A medida que el planímetro traza C, el pivote se mueve a lo largo del eje y mientras el brazo trazador gira sobre el pivote.

Medios

Vea una breve animación de un planímetro en acción.

Comience el análisis considerando el movimiento del trazador mientras se mueve desde el punto (x,y)(x,y) en sentido contrario a las agujas del reloj para apuntar (x+dx,y+dy)(x+dx,y+dy) que está cerca de (x,y)(x,y) (Figura 6.49). El pivote también se mueve, desde el punto (0,Y)(0,Y) a un punto cercano (0,Y+dY).(0,Y+dY). ¿Cuánto gira la rueda como resultado de este movimiento? Para responder esta pregunta, divida la moción en dos partes. En primer lugar, haga rodar el pivote a lo largo del eje y desde (0,Y)(0,Y) al (0,Y+dY)(0,Y+dY) sin girar el brazo trazador. El brazo trazador termina entonces en el punto (x,y+dY)(x,y+dY) manteniendo un ángulo constante ϕϕ con el eje x. En segundo lugar, gire el brazo trazador en un ángulo dθdθ sin mover el rodillo. Ahora el rastreador está en el punto (x+dx,y+dy).(x+dx,y+dy). Supongamos que ll es la distancia del pivote a la rueda y que L es la distancia del pivote al trazador (la longitud del brazo del trazador).

Un diagrama en los cuadrantes 1 y 2 que muestra el movimiento del planímetro. En el eje y se marcan dos puntos: (0, Y) y (0, Y + dY), donde Y es menor que Y + dY. El primer punto es el pivote. Más arriba y a la derecha del cuadrante 1 hay tres puntos: (x, y), (x, y + dy) y (x + dx, y + dy). Observe que la Y mayúscula y la y minúscula no son iguales; la y es mucho más grande. Se dibuja un segmento de línea entre (0,Y) y (x,y). Aproximadamente a la mitad de esta línea hay una marca para la rueda, y el punto final (x,y) está marcado para el trazador. Supongamos que l es la distancia del pivote a la rueda, y que L es la distancia del pivote al trazador. También se dibujan segmentos de línea desde (0, Y + dY) hasta cada uno de los otros puntos del cuadrante 1. El ángulo entre el segmento de línea con (0,Y) como punto final y el eje y se denomina phi. El ángulo entre los segmentos de línea con (0, Y+dY) como punto final es "d theta" Se dibuja una curva que pasa por la rueda, el trazador y los tres puntos del cuadrante 1, hacia arriba y a través del eje y, hacia abajo y de vuelta a través del eje y en un valor y más pequeño cerca a la altura del trazador, y hacia abajo a través de los segmentos de línea y de vuelta a la rueda.
Figura 6.49 Análisis matemático del movimiento del planímetro.
  1. Explique por qué la distancia total por la que rueda el pequeño movimiento que acabamos de describir es senϕdY+ldθ=xLdY+ldθ.senϕdY+ldθ=xLdY+ldθ.
  2. Demuestre que Cdθ=0,Cdθ=0,
  3. Utilice el paso 2 para demostrar que la distancia total de rodadura de la rueda mientras el trazador atraviesa la curva C es
    Rollo total de la rueda =1LCxdY.=1LCxdY.
    Ahora que tiene una ecuación para la distancia total de rodadura de la rueda, conecta esta ecuación con el teorema de Green para calcular el área D encerrada por C.
  4. Demuestre que x2 +(yY)2 =L2 .x2 +(yY)2 =L2 .
  5. Supongamos que la orientación del planímetro es la que se muestra en la Figura 6.49. Explique por qué Yy,Yy, y utilice esta desigualdad para demostrar que existe un valor único de Y para cada punto (x,y):(x,y): Y=y=L2 x2 .Y=y=L2 x2 .
  6. Utilice el paso 5 para demostrar que dY=dy+xL2 x2 dx.dY=dy+xL2 x2 dx.
  7. Utilice el teorema de Green para demostrar que CxL2 x2 dx=0,CxL2 x2 dx=0,
  8. Utilice el paso 7 para demostrar que el balanceo total de la rueda es
    Balanceo total de la rueda =1LCxdy.=1LCxdy.
    Tomó un poco de trabajo, pero esta ecuación dice que la variable de integración Y en el paso 3 se puede sustituir por y.
  9. Utilice el teorema de Green para demostrar que el área de D es Cxdy.Cxdy. La lógica es similar a la utilizada para demostrar que el área de D=12 Cydx+xdy.D=12 Cydx+xdy.
  10. Concluya que el área de D es igual a la longitud del brazo trazador multiplicada por la distancia total de rodadura de la rueda.
    Ahora sabe cómo funciona un planímetro y ha utilizado el teorema de Green para justificar su funcionamiento. Para calcular el área de una región plana D, utilice un planímetro para trazar el límite de la región. El área de la región es la longitud del brazo trazador multiplicada por la distancia que rodó la rueda.

Sección 6.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales de línea aplicando el teorema de Green.

146.

C2 xydx+(x+y)dy,C2 xydx+(x+y)dy, donde C es la trayectoria de (0, 0) a (1, 1) a lo largo del gráfico de y=x3y=x3 y de (1, 1) a (0, 0) a lo largo del gráfico de y=xy=x orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj

147.

C2 xydx+(x+y)dy,C2 xydx+(x+y)dy, donde C es el borde de la región situada entre los gráficos de y=0y=0 y y=4x2 y=4x2 orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj

148.

C2 arctan(yx)dx+ln(x2 +y2 )dy,C2 arctan(yx)dx+ln(x2 +y2 )dy, donde C se define por x=4+2 cosθ,y=4senθx=4+2 cosθ,y=4senθ orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj

149.

Csenxcosydx+(xy+cosxseny)dy,Csenxcosydx+(xy+cosxseny)dy, donde C es el borde de la región situada entre los gráficos de y=xy=x como y=xy=x orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj

150.

Cxydx+(x+y)dy,Cxydx+(x+y)dy, donde C es el borde de la región situada entre las gráficas de x2 +y2 =1x2 +y2 =1 y x2 +y2 =9x2 +y2 =9 orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj

151.

C(ydx+xdy),C(ydx+xdy), donde C consiste en el segmento de línea C1de (–1,0)(–1,0) a (1, 0), seguido del arco semicircular C2desde (1, 0) de vuelta a (1, 0)

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de Green.

152.

Supongamos que C es la curva formada por los segmentos de línea de (0, 0) a (1, 1) a (0, 1) y de vuelta a (0, 0). Calcule el valor de Cxydx+y2 +1dy.Cxydx+y2 +1dy.

153.

Evalúe la integral de línea Cxe−2xdx+(x4+2 x2 y2 )dy,Cxe−2xdx+(x4+2 x2 y2 )dy, donde C es el borde de la región entre círculos x2 +y2 =1x2 +y2 =1 y x2 +y2 =4,x2 +y2 =4, y es una curva de orientación positiva.

154.

Halle la circulación del campo en sentido contrario a las agujas del reloj F(x,y)=xyi+y2 jF(x,y)=xyi+y2 j alrededor y sobre el borde de la región limitada por las curvas y=x2 y=x2 y y=xy=x en el primer cuadrante y orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Un campo vectorial con foco en el cuadrante 1. Se dibuja una línea de (0,0) a (1,1) según la función y = x, y también se dibuja una curva según la función y = x^2. La región comprendida entre las dos funciones está sombreada. Las flechas que están cerca del origen son mucho más pequeñas que las que están más lejos, sobre todo en sentido vertical. Las flechas apuntan hacia arriba y se alejan del origen hacia la derecha en la parte del cuadrante 1 que se muestra.
155.

Evalúe Cy3dxx3y2 dy,Cy3dxx3y2 dy, donde C es el círculo de radio 2 orientado positivamente y centrado en el origen.

156.

Evalúe Cy3dxx3dy,Cy3dxx3dy, donde C incluye los dos círculos de radio 2 y radio 1 centrados en el origen, ambos con orientación positiva.

Un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas rodean el origen en un movimiento circular en el sentido de las agujas del reloj. Los que están cerca del origen son mucho más pequeños que los que están más lejos. Se dibuja un círculo de radio 2 y otro de radio con centro en el origen, y se sombrea la región entre ambos.
157.

Calcule Cx2 ydx+xy2 dy,Cx2 ydx+xy2 dy, donde C es un círculo de radio 2 centrado en el origen y orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

158.

Calcule la integral C2 [y+xsen(y)]dx+[x2 cos(y)3y2 ]dyC2 [y+xsen(y)]dx+[x2 cos(y)3y2 ]dy a lo largo del triángulo C con vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 1), orientado en sentido contrario a las agujas del reloj, utilizando el teorema de Green.

159.

Evalúe la integral C(x2 +y2 )dx+2 xydy,C(x2 +y2 )dx+2 xydy, donde C es la curva que sigue a la parábola y=x2 de(0,0)(2 ,4),y=x2 de(0,0)(2 ,4), luego la línea de (2, 4) a (2, 0), y finalmente la línea de (2, 0) a (0, 0).

Un campo vectorial en el cuadrante 1. Las flechas son mucho más pequeñas cerca del origen. Apuntan hacia arriba y se alejan del origen, con una pendiente creciente cuanto más a la derecha. La curva sigue la parábola y = x^2 desde el origen hasta (2,4), la línea desde (2,4) hasta (2,0) y la línea desde (2,0) hasta (0,0). El área bajo y=2x y sobre la parábola está sombreada.
160.

Evalúe la integral de línea C(ysen(y)cos(y))dx+2 xsen2 (y)dy,C(ysen(y)cos(y))dx+2 xsen2 (y)dy, donde C se orienta en una trayectoria contraria a las agujas del reloj alrededor de la región delimitada por x=−1,x=2 ,y=4x2 ,x=−1,x=2 ,y=4x2 , y y=x2 .y=x2 .

Un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más pequeñas cuanto más cerca están del origen, sobre todo en sentido vertical. La curva C sigue una trayectoria en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de la región delimitada por x = –1, x = 2, y = 4 – x^2 y y = x – 2. La región está sombreada.

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de Green para hallar el área.

161.

Halle el área entre la elipse x2 9+y2 4=1x2 9+y2 4=1 y el círculo x2 +y2 =25.x2 +y2 =25.

162.

Halle el área de la región encerrada por la ecuación paramétrica

p ( θ ) = ( cos ( θ ) cos 2 ( θ ) ) i + ( sen ( θ ) cos ( θ ) sen ( θ ) ) j para 0 θ 2 π . p ( θ ) = ( cos ( θ ) cos 2 ( θ ) ) i + ( sen ( θ ) cos ( θ ) sen ( θ ) ) j para 0 θ 2 π .
Un cardioide que comienza en el origen, pasando por (0,1), (-2,0), (0,-1) y volviendo al origen.
163.

Halle el área de la región delimitada por el hipocicloide r(t)=cos3(t)i+sen3(t)j.r(t)=cos3(t)i+sen3(t)j. La curva está parametrizada por t[0,2 π].t[0,2 π].

164.

Halle el área de un pentágono con vértices (0,4),(4,1),(3,0),(–1,–1),(0,4),(4,1),(3,0),(–1,–1), y (–2,2 ).(–2,2 ).

165.

Utilice el teorema de Green para evaluar C+(y2 +x3)dx+x4dy,C+(y2 +x3)dx+x4dy, donde C+C+ es el perímetro del cuadrado [0,1]×[0,1][0,1]×[0,1] orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

166.

Utilice el teorema de Green para demostrar que el área de un disco con radio a es A=πa2 .A=πa2 .

167.

Utilice el teorema de Green para encontrar el área de un bucle de una rosa de cuatro hojas r=3sen2 θ.r=3sen2 θ. (Pista: xdyydx=r2 dθ).xdyydx=r2 dθ).

168.

Utilice el teorema de Green para hallar el área bajo un arco de la cicloide dada por el plano paramétrico x=tsent,y=1cost,t0.x=tsent,y=1cost,t0.

169.

Utilice el teorema de Green para encontrar el área de la región encerrada por la curva

r ( t ) = t 2 i + ( t 3 3 t ) j , 3 t 3 . r ( t ) = t 2 i + ( t 3 3 t ) j , 3 t 3 .
Una región horizontal en forma de lágrima simétrica respecto al eje x y con intersecciones a en el origen y (3,0). El extremo más grande y curvo está en el origen, y el extremo puntiagudo está en (3,0).
170.

[T] Evalúe el teorema de Green utilizando un sistema de álgebra computacional para evaluar la integral Cxeydx+exdy,Cxeydx+exdy, donde C es el círculo dado por x2 +y2 =4x2 +y2 =4 y se orienta en el sentido contrario a las agujas del reloj.

171.

Evalúe C(x2 y2 xy+y2 )ds,C(x2 y2 xy+y2 )ds, donde C es el borde del cuadrado unitario 0x1,0y1,0x1,0y1, atravesado en sentido contrario a las agujas del reloj.

172.

Evalúe C(y+2 )dx+(x1)dy(x1)2 +(y+2 )2 ,C(y+2 )dx+(x1)dy(x1)2 +(y+2 )2 , donde C es cualquier curva simple cerrada con un interior que no contiene punto (1,–2)(1,–2) atravesado en sentido contrario a las agujas del reloj.

173.

Evalúe Cxdx+ydyx2 +y2 ,Cxdx+ydyx2 +y2 , donde C es cualquier curva cerrada simple y suave a trozos que encierra el origen, atravesada en sentido contrario a las agujas del reloj.

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de Green para calcular el trabajo realizado por la fuerza F sobre una partícula que se mueve en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de la trayectoria cerrada C.

174.

F(x,y)=xyi+(x+y)j,F(x,y)=xyi+(x+y)j, C:x2 +y2 =4C:x2 +y2 =4

175.

F(x,y)=(x3/2 3y)i+(6x+5y)j,F(x,y)=(x3/2 3y)i+(6x+5y)j, C: borde de un triángulo con vértices (0, 0), (5, 0) y (0, 5)

176.

Evalúe C(2 x3y3)dx+(x3+y3)dy,C(2 x3y3)dx+(x3+y3)dy, donde C es un círculo unitario orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

177.

Una partícula comienza en el punto (–2,0),(–2,0), se desplaza a lo largo del eje x hasta (2, 0), y luego recorre el semicírculo y=4x2 y=4x2 al punto de partida. Utilice el teorema de Green para hallar el trabajo realizado sobre esta partícula por el campo de fuerza F(x,y)=xi+(x3+3xy2 )j.F(x,y)=xi+(x3+3xy2 )j.

178.

David y Sandra están patinando en un estanque sin fricción y con viento. David patina por el interior, recorriendo un círculo de radio 2 en sentido contrario a las agujas del reloj. Sandra patina una vez alrededor de un círculo de radio 3, también en sentido contrario a las agujas del reloj. Supongamos que la fuerza del viento en el punto (x,y)(x,y) (x,y)(x,y) (x,y)(x,y) es F(x,y)=(x2 y+10y)i+(x3+2 xy2 )j.F(x,y)=(x2 y+10y)i+(x3+2 xy2 )j. Utilice el teorema de Green para determinar quién hace más trabajo.

179.

Utilice el teorema de Green para hallar el trabajo realizado por el campo de fuerza F(x,y)=(3y4x)i+(4xy)jF(x,y)=(3y4x)i+(4xy)j cuando un objeto se mueve una vez en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de la elipse 4x2 +y2 =4.4x2 +y2 =4.

180.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea Ce2 xsen2 ydx+e2 xcos2 ydy,Ce2 xsen2 ydx+e2 xcos2 ydy, donde C es la elipse 9(x1)2 +4(y3)2 =369(x1)2 +4(y3)2 =36 orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

181.

Evalúe la integral de línea Cy2 dx+x2 dy,Cy2 dx+x2 dy, donde C es el borde de un triángulo con vértices (0,0),(1,1),y(1,0),(0,0),(1,1),y(1,0), con la orientación contraria a las agujas del reloj.

182.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea Ch.drCh.dr si h(x,y)=eyisenπxj,h(x,y)=eyisenπxj, donde C es un triángulo con vértices (1, 0), (0, 1) y (–1, 0) recorridos en sentido contrario a las agujas del reloj.

183.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea C1+x3dx+2 xydyC1+x3dx+2 xydy donde C es un triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 3) orientados en el sentido de las agujas del reloj.

184.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea Cx2 ydxxy2 dyCx2 ydxxy2 dy donde C es un círculo x2 +y2 =4x2 +y2 =4 orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

185.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea C(3yesenx)dx+(7x+y4+1)dyC(3yesenx)dx+(7x+y4+1)dy donde C es un círculo x2 +y2 =9x2 +y2 =9 orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

186.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea C(3x5y)dx+(x6y)dy,C(3x5y)dx+(x6y)dy, donde C es la elipse x2 4+y2 =1x2 4+y2 =1 y se orienta en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Un óvalo horizontal orientado en sentido contrario a las agujas del reloj con vértices en (-2,0), (0,-1), (2,0) y (0,1). La región que encierra está sombreada.
187.

Supongamos que C es una curva cerrada triangular de (0, 0) a (1, 0) a (1, 1) y finalmente de vuelta a (0, 0). Supongamos que F(x,y)=4yi+6x2 j.F(x,y)=4yi+6x2 j. Utilice el teorema de Green para evaluar CF.ds.CF.ds.

188.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea Cydxxdy,Cydxxdy, donde C es un círculo x2 +y2 =a2 x2 +y2 =a2 orientado en el sentido de las agujas del reloj.

189.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea C(y+x)dx+(x+seny)dy,C(y+x)dx+(x+seny)dy, donde C es cualquier curva cerrada simple y suave que une el origen a sí misma orientada en el sentido contrario a las agujas del reloj.

190.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea C(yln(x2 +y2 ))dx+(2 arctanyx)dy,C(yln(x2 +y2 ))dx+(2 arctanyx)dy, donde C es el círculo orientado positivamente (x2 )2 +(y3)2 =1.(x2 )2 +(y3)2 =1.

191.

Utilice el teorema de Green para evaluar Cxydx+x3y3dy,Cxydx+x3y3dy, donde C es un triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 2) con orientación positiva.

192.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea Csenydx+xcosydy,Csenydx+xcosydy, donde C es la elipse x2 +xy+y2 =1x2 +xy+y2 =1 orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

193.

Supongamos que F(x,y)=(cos(x5))13y3i+13x3j.F(x,y)=(cos(x5))13y3i+13x3j. Halle la circulación en sentido contrario a las agujas del reloj CF.dr,CF.dr, donde C es una curva que consiste en el segmento de línea que une (–2,0)y(–1,0),(–2,0)y(–1,0), medio círculo y=1x2 ,y=1x2 , el segmento de línea que une (1, 0) y (2, 0), y el semicírculo y=4x2 .y=4x2 .

194.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea Csen(x3)dx+2 yex2 dy,Csen(x3)dx+2 yex2 dy, donde C es una curva cerrada triangular que conecta los puntos (0, 0), (2, 2) y (0, 2) en sentido contrario a las agujas del reloj.

195.

Supongamos que C es el borde del cuadrado 0xπ,0yπ,0xπ,0yπ, atravesado en sentido contrario a las agujas del reloj. Utilice el teorema de Green para hallar Csen(x+y)dx+cos(x+y)dy.Csen(x+y)dx+cos(x+y)dy.

196.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea CF.dr,CF.dr, donde F(x,y)=(y2 x2 )i+(x2 +y2 )j,F(x,y)=(y2 x2 )i+(x2 +y2 )j, y C es un triángulo delimitado por y=0,x=3,yy=x,y=0,x=3,yy=x, orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

197.

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral CF.dr,CF.dr, donde F(x,y)=(xy2 )i+xj,F(x,y)=(xy2 )i+xj, y C es un círculo unitario orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

198.

Utilice el teorema de Green en un plano para evaluar la integral de línea C(xy+y2 )dx+x2 dy,C(xy+y2 )dx+x2 dy, donde C es una curva cerrada de una región delimitada por y=xyy=x2 y=xyy=x2 orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

199.

Calcule el flujo de salida de F=xi+2 yjF=xi+2 yj sobre un cuadrado con esquinas (±1,±1),(±1,±1), donde la normal de la unidad está orientada hacia el exterior y en sentido contrario a las agujas del reloj.

200.

[T] Supongamos que C es un círculo x2 +y2 =4x2 +y2 =4 orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj. Evalúe C[(3yetan1x)dx+(7x+y4+1)dy]C[(3yetan1x)dx+(7x+y4+1)dy] utilizando un sistema de álgebra computacional.

201.

Halle el flujo de campo F=xi+yjF=xi+yj a través de x2 +y2 =16x2 +y2 =16 orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

202.

Supongamos que F=(y2 x2 )i+(x2 +y2 )j,F=(y2 x2 )i+(x2 +y2 )j, y que C es un triángulo delimitado por y=0,x=3,y=0,x=3, y y=xy=x orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj. Halle el flujo de salida de F a través de C.

203.

[T] Supongamos queC es el círculo unitario x2 +y2 =1x2 +y2 =1 atravesado una vez en sentido contrario a las agujas del reloj. Evalúe C[y3+sen(xy)+xycos(xy)]dx+[x3+x2 cos(xy)]dyC[y3+sen(xy)+xycos(xy)]dx+[x3+x2 cos(xy)]dy utilizando un sistema de álgebra computacional.

204.

[T] Halle el flujo de salida del campo vectorial F=xy2 i+x2 yjF=xy2 i+x2 yj a través del borde del anillo R={(x,y):1x2 +y2 4}={(r,θ):1r2 ,0θ2 π}R={(x,y):1x2 +y2 4}={(r,θ):1r2 ,0θ2 π} utilizando un sistema de álgebra computacional.

205.

Consideremos la región R delimitada por las parábolas y=x2 yx=y2 .y=x2 yx=y2 . Supongamos que C es el borde de R orientado en sentido contrario a las agujas del reloj. Utilice el teorema de Green para evaluar C(y+ex)dx+(2 x+cos(y2 ))dy.C(y+ex)dx+(2 x+cos(y2 ))dy.

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