Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Ejercicios de repaso

¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

Campo vectorial $F (x, y) = x^{2} y i + y^{2} x j$ es conservativo.

428.

Para el campo vectorial $F (x, y) = P (x, y) i + Q (x, y) j,$ si $P_{y} (x, y) = Q_{x} (x, y)$ en región abierta $D,$ entonces $\int_{\partial D} P d x + Q d y = 0 .$

429.

La divergencia de un campo vectorial es un campo vectorial.

430.

Si los valores de $rizo F = 0,$ entonces $F$ es un campo vectorial conservativo.

Dibuje los siguientes campos vectoriales.

431.

$F (x, y) = \frac{1}{2} i + 2 x j$

432.

$F (x, y) = \sqrt{\frac{y i + 3 x j}{x^{2} + y^{2}}}$

¿Son conservativos los siguientes campos vectoriales? Si es así, halle la función potencial $f$ de manera que $F = \nabla f .$

433.

$F (x, y) = y i + (x - 2 e^{y}) j$

434.

$F (x, y) = (6 x y) i + (3 x^{2} - y e^{y}) j$

435.

$F (x, y, z) = (2 x y + z^{2}) i + (x^{2} + 2 y z) j + (2 x z + y^{2}) k$

436.

$F (x, y, z) = (e^{x} y) i + (e^{x} + z) j + (e^{x} + y^{2}) k$

Evalúe las siguientes integrales.

437.

$\int_{C} x^{2} d y + (2 x - 3 x y) d x,$ a lo largo de $C : y = \frac{1}{2} x$ de (0, 0) a (4, 2)

438.

$\int_{C} y d x + x y^{2} d y,$ donde $C : x = \sqrt{t}, y = t - 1, 0 \leq t \leq 1$

439.

$\iint_{S} x y^{2} d S,$ donde S es la superficie $z = x^{2} - y, 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 4$

Halle la divergencia y el rizo de los siguientes campos vectoriales.

440.

$F (x, y, z) = 3 x y z i + x y e^{z} j - 3 x y k$

441.

$F (x, y, z) = e^{x} i + e^{x y} j + e^{x y z} k$

Utilice el teorema de Green para evaluar las siguientes integrales.

442.

$\int_{C} 3 x y d x + 2 x y^{2} d y,$ donde C es un cuadrado con vértices (0, 0), (0, 2), (2, 2) y (2, 0) orientados en sentido contrario a las agujas del reloj.

443.

$\oint_{C} 3 y d x + (x + e^{y}) d y,$ donde C es un círculo centrado en el origen con radio 3

Utilice el teorema de Stokes para evaluar $\int \int_{S} rizo F . d S .$

444.

$F (x, y, z) = y i - x j + z k,$ donde $S$ es la mitad superior de la esfera unitaria

445.

$F (x, y, z) = y i + x y z j - 2 z x k,$ donde $S$ es el paraboloide orientado hacia arriba $z = x^{2} + y^{2}$ acostado en el cilindro $x^{2} + y^{2} = 1$

Utilice el teorema de la divergencia para evaluar $\int \int_{S} F . d S .$

446.

$F (x, y, z) = (x^{3} y) i + (3 y - e^{x}) j + (z + x) k,$ sobre el cubo $S$ definidas por $−1 \leq x \leq 1,$ $0 \leq y \leq 2,$ $0 \leq z \leq 2$

447.

$F (x, y, z) = (2 x y) i + (− y^{2}) j + (2 z^{3}) k,$ donde $S$ está limitado por el paraboloide $z = x^{2} + y^{2}$ y el plano $z = 2$

448.

Halle la cantidad de trabajo realizado por una mujer de 50 kg que asciende por una escalera helicoidal de radio 2 m y altura 100 m. La mujer completa cinco revoluciones durante la subida.

449.

Calcule la masa total de un alambre delgado en forma de semicírculo superior con radio $\sqrt{2,}$ y una función de densidad de $ρ (x, y) = y + x^{2} .$

450.

Halle la masa total de una lámina delgada en forma de semiesfera de radio 2 para $z \geq 0$ con una función de densidad $ρ (x, y, z) = x + y + z .$

451.

Utilice el teorema de la divergencia para calcular el valor de la integral de flujo sobre la esfera unitaria con $F (x, y, z) = 3 z i + 2 y j + 2 x k .$