Ejercicios de repaso
¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.
Para el campo vectorial F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j, si Py(x,y)=Qx(x,y) en región abierta D, entonces ∫∂DPdx+Qdy=0.
Si los valores de rizoF=0, entonces F es un campo vectorial conservativo.
Dibuje los siguientes campos vectoriales.
F(x,y)=√yi+3xjx2+y2
¿Son conservativos los siguientes campos vectoriales? Si es así, halle la función potencial f de manera que F=∇f.
F(x,y)=(6xy)i+(3x2−yey)j
F(x,y,z)=(exy)i+(ex+z)j+(ex+y2)k
Evalúe las siguientes integrales.
∫Cydx+xy2dy, donde C:x=√t,y=t−1,0≤t≤1
Halle la divergencia y el rizo de los siguientes campos vectoriales.
F(x,y,z)=3xyzi+xyezj−3xyk
Utilice el teorema de Green para evaluar las siguientes integrales.
∫C3xydx+2xy2dy, donde C es un cuadrado con vértices (0, 0), (0, 2), (2, 2) y (2, 0) orientados en sentido contrario a las agujas del reloj.
Utilice el teorema de Stokes para evaluar ∫∫SrizoF.dS.
F(x,y,z)=yi−xj+zk, donde S es la mitad superior de la esfera unitaria
F(x,y,z)=yi+xyzj−2zxk, donde S es el paraboloide orientado hacia arriba z=x2+y2 acostado en el cilindro x2+y2=1
Utilice el teorema de la divergencia para evaluar ∫∫SF.dS.
F(x,y,z)=(x3y)i+(3y−ex)j+(z+x)k, sobre el cubo S definidas por −1≤x≤1, 0≤y≤2, 0≤z≤2
Halle la cantidad de trabajo realizado por una mujer de 50 kg que asciende por una escalera helicoidal de radio 2 m y altura 100 m. La mujer completa cinco revoluciones durante la subida.
Calcule la masa total de un alambre delgado en forma de semicírculo superior con radio √2, y una función de densidad de ρ(x,y)=y+x2.
Halle la masa total de una lámina delgada en forma de semiesfera de radio 2 para z≥0 con una función de densidad ρ(x,y,z)=x+y+z.
Utilice el teorema de la divergencia para calcular el valor de la integral de flujo sobre la esfera unitaria con F(x,y,z)=3zi+2yj+2xk.