Ejercicios de repaso

Para el campo vectorial $\text{F}(x,y)=P(x,y)\text{i}+Q(x,y)\text{j},$ si $P_y(x,y)=Q_x(x,y)$ en región abierta $D,$ entonces ${\displaystyle {\int }_{\partial D}Pdx+Qdy=0}.$

Si los valores de $\text{rizo}\text{F}=0,$ entonces $\text{F}$ es un campo vectorial conservativo.

$\text{F}\left(x,y\right)=\sqrt{\frac{y\text{i}+3x\text{j}}{x^2+y^2}}$

$\text{F}\left(x,y\right)=\left(6xy\right)\text{i}+\left(3x^2-y{e}^y\right)\text{j}$

$\text{F}(x,y,z)=\left(e^{x}y\right)\text{i}+\left(e^x+z\right)\text{j}+\left(e^x+y^2\right)\text{k}$

${\displaystyle \underset{C}{\int }ydx+x{y}^{2}dy,}$ donde $C:x=\sqrt{t},y=t-1,0\le t\le 1$

$\text{F}(x,y,z)=3xyz\text{i}+xy{e}^z\text{j}-3xy\text{k}$

${\displaystyle \underset{C}{\int }3xydx+2x{y}^{2}dy,}$ donde C es un cuadrado con vértices (0, 0), (0, 2), (2, 2) y (2, 0) orientados en sentido contrario a las agujas del reloj.

$\text{F}(x,y,z)=y\text{i}-x\text{j}+z\text{k},$ donde $S$ es la mitad superior de la esfera unitaria

$\text{F}(x,y,z)=\left(x^{3}y\right)\text{i}+\left(3y-e^x\right)\text{j}+\left(z+x\right)\text{k},$ sobre el cubo $S$ definidas por $\mathrm{-1}\le x\le 1,$ $0\le y\le 2,$ $0\le z\le 2$

Halle la cantidad de trabajo realizado por una mujer de 50 kg que asciende por una escalera helicoidal de radio 2 m y altura 100 m. La mujer completa cinco revoluciones durante la subida.

Halle la masa total de una lámina delgada en forma de semiesfera de radio 2 para $z\ge 0$ con una función de densidad $\rho \left(x,y,z\right)=x+y+z.$