6.1 Campos vectoriales

Un campo vectorial asigna un vector $F (x, y)$ a cada punto $(x, y)$ en un subconjunto D de $ℝ^{2} o ℝ^{3} .$ $F (x, y, z)$ a cada punto $(x, y, z)$ en un subconjunto D de $ℝ^{3} .$
Los campos vectoriales pueden describir la distribución de cantidades vectoriales, como las fuerzas o las velocidades, en una región del plano o del espacio. Son de uso común en áreas como la física, la ingeniería, la meteorología o la oceanografía.
Podemos dibujar un campo vectorial examinando su ecuación definitoria para determinar las magnitudes relativas en varios lugares y, a continuación, dibujando suficientes vectores para determinar un patrón.
Un campo vectorial $F$ se llama conservativo si existe una función escalar $f$ de manera que $∇ f = F .$

6.2 Integrales de línea

Las integrales de línea generalizan la noción de integral de una sola variable a dimensiones superiores. El dominio de integración en una integral de una sola variable es un segmento de línea a lo largo del eje x, pero el dominio de integración en una integral de línea es una curva en un plano o en el espacio.
Si C es una curva, la longitud de C es $\int_{C} d s .$
Hay dos tipos de integrales de línea: integrales de línea escalares e integrales de línea vectoriales. Las integrales de línea escalares pueden utilizarse para calcular la masa de un cable; las integrales de línea vectoriales pueden utilizarse para calcular el trabajo realizado sobre una partícula que viaja a través de un campo.
Las integrales de línea escalares se pueden calcular con la Ecuación 6.8; las integrales lineales vectoriales se pueden calcular con la Ecuación 6.9.
Dos conceptos clave expresados en términos de integrales de línea son el flujo y la circulación. El flujo mide la velocidad con la que un campo cruza una línea determinada; la circulación mide la tendencia de un campo a moverse en la misma dirección que una curva cerrada determinada.

Los teoremas de esta sección requieren que las curvas sean cerradas, simples o ambas, y que las regiones sean conectadas o simplemente conectadas.
La integral lineal de un campo vectorial conservativo se puede calcular utilizando el teorema fundamental de las integrales de línea. Este teorema es una generalización del teorema fundamental del cálculo en dimensiones superiores. El uso de este teorema suele facilitar el cálculo de la integral de línea.
Los campos conservativos son independientes de la trayectoria. La integral de línea de un campo conservativo depende solo del valor de la función potencial en los puntos extremos de la curva del dominio.
Dado un campo vectorial F, podemos comprobar si F es conservativo utilizando la propiedad parcial cruzada. Si F tiene la propiedad parcial cruzada y el dominio es simplemente conectado, entonces F es conservativo (y por lo tanto tiene una función potencial). Si F es conservativo, podemos encontrar una función potencial utilizando la estrategia de resolución de problemas.
La circulación de un campo vectorial conservativo en un dominio simplemente conectado sobre una curva cerrada es cero.

El teorema de Green relaciona la integral sobre una región conectada con una integral sobre el límite de la región. El teorema de Green es una versión del teorema fundamental del cálculo en una dimensión superior.
El teorema de Green tiene dos formas: una forma de circulación y otra de flujo. En la forma de circulación, la integración es $F . T .$ En la forma de flujo, la integración es $F . N .$
El teorema de Green puede utilizarse para transformar una integral de línea difícil en una integral doble más fácil, o para transformar una integral doble difícil en una integral de línea más fácil.
Un campo vectorial está libre de fuentes si tiene una función de flujo. El flujo de un campo vectorial sin fuente a través de una curva cerrada es cero, al igual que la circulación de un campo vectorial conservativo a través de una curva cerrada es cero.

La divergencia de un campo vectorial es una función escalar. La divergencia mide la "salida" de un campo vectorial. Si v es el campo de velocidad de un fluido, la divergencia de v en un punto es la salida del fluido menos la entrada en el punto.
El rizo de un campo vectorial es un campo vectorial. El rizo de un campo vectorial en el punto P mide la tendencia de las partículas en P a girar alrededor del eje que apunta en la dirección del rizo en P.
Un campo vectorial con un dominio simplemente conectado es conservativo si y solo si su rizo es cero.

Las superficies pueden ser parametrizadas, al igual que las curvas. En general, las superficies se deben parametrizar con dos parámetros.
Las superficies, a veces, pueden orientarse, al igual que las curvas. Algunas superficies, como una banda de Möbius, no pueden orientarse.
Una integral de superficie es como una integral lineal en una dimensión superior. El dominio de integración de una integral de superficie es una superficie en un plano o espacio, en vez de una curva en un plano o espacio.
La integración de una integral de superficie puede ser una función escalar o un campo vectorial. Para calcular una integral de superficie con una integración que es una función, utilice la Ecuación 6.19. Para calcular una integral de superficie con una integración que es un campo vectorial, utilice la Ecuación 6.20.
Si S es una superficie, entonces el área de S es $\int \int_{S} d S .$

El teorema de Stokes relaciona una integral de flujo sobre una superficie con una integral de línea alrededor del borde de la superficie. El teorema de Stokes es una versión de mayor dimensión del teorema de Green, y por tanto es otra versión del teorema fundamental del cálculo en dimensiones superiores.
El teorema de Stokes puede utilizarse para transformar una integral de superficie difícil en una integral de línea más fácil, o una integral de línea difícil en una integral de superficie más fácil.
Mediante el teorema de Stokes, las integrales de línea pueden evaluarse utilizando la superficie más simple con el borde C.
La ley de Faraday relaciona el rizo de un campo eléctrico con la tasa de cambio del campo magnético correspondiente. El teorema de Stokes puede utilizarse para derivar la ley de Faraday.

El teorema de la divergencia relaciona una integral de superficie a través de una superficie cerrada S con una integral triple sobre el sólido encerrado por S. El teorema de la divergencia es una versión de mayor dimensión de la forma de flujo del teorema de Green, y es por tanto una versión de mayor dimensión del teorema fundamental del cálculo.
El teorema de la divergencia puede utilizarse para transformar una integral de flujo difícil en una integral triple más fácil y viceversa.
El teorema de la divergencia puede utilizarse para derivar la ley de Gauss, una ley fundamental de la electrostática.