Ecuaciones clave

Ecuaciones clave

Campo vectorial en ${ℝ}^2$	$\text{F}(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle$ o $\text{F}(x,y)=P(x,y)\text{i}+Q(x,y)\text{j}$
Campo vectorial en ${ℝ}^3$	$\text{F}\left(x,y,z\right)=\langle P\left(x,y,z\right),Q\left(x,y,z\right),R\left(x,y,z\right)\rangle$ o $\text{F}\left(x,y,z\right)=P\left(x,y,z\right)\text{i}+Q\left(x,y,z\right)\text{j}+R\left(x,y,z\right)\text{k}$

Cálculo de una integral de línea escalar	${\displaystyle {\int }_{C}f\left(x,y,z\right)ds={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(\text{r}(t)\right)\sqrt{{\left(x^{\prime }(t)\right)}^2+{\left(y^{\prime }(t)\right)}^2+{\left(z^{\prime }(t)\right)}^2}dt}}$
Cálculo de una integral de línea vectorial	${\displaystyle {\int }_C\text{F}.ds}={\displaystyle {\int }_C\text{F}.\text{T}ds}={\displaystyle {\int }_a^b\text{F}\left(\text{r}(t)\right).{r^{\prime }}^{}(t)dt}$ o ${\displaystyle {\int }_{C}Pdx+Qdy+Rdz}={\displaystyle {\int }_a^b\left(P(\text{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\text{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\text{r}(t))\frac{dz}{dt}\right)dt}$
Calcular el flujo	${\displaystyle {\int }_C\text{F}.\frac{\text{n}(t)}{\Vert \text{n}(t)\Vert }}ds={\displaystyle {\int }_a^b\text{F}\left(\text{r}(t)\right).\text{n}(t)dt}$

Teorema fundamental de las integrales de línea	${\displaystyle {\int }_C\text{∇}f.d\text{r}}=f\left(\text{r}(b)\right)-f\left(\text{r}(a)\right)$
Circulación de un campo conservativo sobre la curva C que encierra una región simplemente conectada	${\displaystyle {\oint }_C\text{∇}f.d\text{r}}=0$

Teorema de Green, forma de circulación	${\displaystyle {\oint }_{C}Pdx+Qdy={\displaystyle {\iint }_D{Q}_x-P_{y}dA,}}$ donde C es el borde de D
Teorema de Green, forma de flujo	${\displaystyle {\oint }_C\text{F}.d\text{r}}={\displaystyle {\iint }_D{Q}_x-P_{y}dA,}$ donde C es el borde de D
Teorema de Green, versión ampliada	${\displaystyle {\oint }_{\partial D}\text{F}.d\text{r}}={\displaystyle {\iint }_D{Q}_x-P_{y}dA}$

Rizo	$\nabla \times \text{F}=\left(R_y-Q_z\right)\text{i}+\left(P_z-R_x\right)\text{j}+\left(Q_x-P_y\right)\text{k}$
Divergencia	$\nabla .\text{F}=P_x+Q_y+R_z$
La divergencia del rizo es cero	$\nabla .\left(\nabla \times \text{F}\right)=0$
El rizo de un gradiente es el vector cero	$\nabla \times \left(\text{∇}f\right)=0$

Integral de superficie escalar	${\displaystyle \int {\displaystyle {\int }_{S}f\left(x,y,z\right)dS={\displaystyle \int {\displaystyle {\int }_{D}f\left(\text{r}\left(u,v\right)\right)\left|\left|{\text{t}}_u\times {\text{t}}_v\right|\right|dA}}}}$
Integral de flujo	${\displaystyle {\iint }_S\text{F}.\text{N}dS=}{\displaystyle {\iint }_S\text{F}.d\text{S}=}{\displaystyle {\iint }_D\text{F}\left(\text{r}(u,v)\right).\left({\text{t}}_u\times {\text{t}}_v\right)dA}$

teorema de Stokes

${\displaystyle {\int }_C\text{F}.d\text{r}}={\displaystyle {\iint }_S\text{rizo}\text{F}.d\text{S}}$

Teorema de la divergencia

${\displaystyle {\iiint }_E\text{div}\text{F}dV=}{\displaystyle \underset{S}{\iint }\text{F}.d\text{S}}$