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  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Punto de control

7.1
  1. No lineal
  2. Lineal, no homogéneo
7.4

Linealmente independiente

7.5

y ( x ) = c 1 e 3 x + c 2 x e 3 x y ( x ) = c 1 e 3 x + c 2 x e 3 x

7.6
  1. y(x)=ex(c1cos3x+c2 sen3x)y(x)=ex(c1cos3x+c2 sen3x) grandes.
  2. y(x)=c1e−7x+c2 xe−7xy(x)=c1e−7x+c2 xe−7x
7.7

y ( x ) = e −2 x + e 5 x y ( x ) = e −2 x + e 5 x

7.8

y(x)=ex(2 cos3xsen3x)y(x)=ex(2 cos3xsen3x)

Esta figura es el gráfico de y(x) = e^x(2 cos 3x - sen 3x). Tiene el eje x positivo escalado en incrementos de décimas pares. El eje y se escala en incrementos de veinte. El propio gráfico comienza en el origen. Su amplitud aumenta al aumentar x.
7.9

y(t)=te−7ty(t)=te−7t

Esta figura es el gráfico de y(t) = te^-7t. El eje horizontal está marcado con t y está escalado en incrementos de décimas. El eje y se escala en incrementos de 0,5. El gráfico pasa por el origen y tiene una asíntota horizontal del eje t positivo.


En el momento t=0,3,t=0,3, y(0,3)=0,3e(−7*0,3)=0,3e−2,10,0367.y(0,3)=0,3e(−7*0,3)=0,3e−2,10,0367. La masa está a 0,0367 pies por debajo del equilibrio. En el tiempo t=0,1,t=0,1, y(0,1)=0,3e−0,70,1490.y(0,1)=0,3e−0,70,1490. La masa se mueve hacia abajo a una velocidad de 0,1490 ft/s.

7.10

y ( x ) = c 1 e x + c 2 e 4 x 2 y ( x ) = c 1 e x + c 2 e 4 x 2

7.11

y ( t ) = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t + sen t + cos t y ( t ) = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t + sen t + cos t

7.12
  1. y(x)=c1e4x+c2 exxexy(x)=c1e4x+c2 exxex
  2. y(t)=c1e−3t+c2 e2 t5cos2 t+sen2 ty(t)=c1e−3t+c2 e2 t5cos2 t+sen2 t
7.13

z1=3x+311x2 ,z1=3x+311x2 , z2 =2 x+2 11xz2 =2 x+2 11x

7.14
  1. y(x)=c1cosx+c2 senx+cosxln|cosx|+xsenxy(x)=c1cosx+c2 senx+cosxln|cosx|+xsenx
  2. x(t)=c1et+c2 tet+tetln|t|x(t)=c1et+c2 tet+tetln|t|
7.15

x(t)=0,1cos(14t)x(t)=0,1cos(14t) (en metros); la frecuencia es 142 π142 π Hz.

7.16

x(t)=17sen(4t+0,245),x(t)=17sen(4t+0,245), frecuencia=42 π0,637,frecuencia=42 π0,637, A=17A=17

7.17

x ( t ) = 0,6 e −2 t 0,2 e −6 t x ( t ) = 0,6 e −2 t 0,2 e −6 t

7.18

x ( t ) = 1 2 e −8 t + 4 t e −8 t x ( t ) = 1 2 e −8 t + 4 t e −8 t

7.19

x ( t ) = –0,24 e −2 t cos ( 4 t ) 0,12 e −2 t sen ( 4 t ) x ( t ) = –0,24 e −2 t cos ( 4 t ) 0,12 e −2 t sen ( 4 t )

7.20

x(t)=12 cos(4t)+94sen(4t)+12 e−2tcos(4t)2 e−2tsen(4t)x(t)=12 cos(4t)+94sen(4t)+12 e−2tcos(4t)2 e−2tsen(4t)
Solución transitoria:12 e−2tcos(4t)2 e−2tsen(4t)Solución transitoria:12 e−2tcos(4t)2 e−2tsen(4t)
Solución en estado estacionario:12 cos(4t)+94sen(4t)Solución en estado estacionario:12 cos(4t)+94sen(4t)

7.21

q ( t ) = −25 e t cos ( 3 t ) 7 e t sen ( 3 t ) + 25 q ( t ) = −25 e t cos ( 3 t ) 7 e t sen ( 3 t ) + 25

7.22
  1. y(x)=a0n=0(–1)nn!x2 n=a0ex2 y(x)=a0n=0(–1)nn!x2 n=a0ex2
  2. y(x)=a0(x+1)3y(x)=a0(x+1)3

Sección 7.1 ejercicios

1.

lineal, homogénea

3.

no lineal

5.

lineal, homogénea

11.

y = c 1 e 5 x + c 2 e −2 x y = c 1 e 5 x + c 2 e −2 x

13.

y = c 1 e −2 x + c 2 x e −2 x y = c 1 e −2 x + c 2 x e −2 x

15.

y = c 1 e 5 x / 2 + c 2 e x y = c 1 e 5 x / 2 + c 2 e x

17.

y=ex/2 (c1cos3x2 +c2 sen3x2 )y=ex/2 (c1cos3x2 +c2 sen3x2 ) grandes.

19.

y = c 1 e −11 x + c 2 e 11 x y = c 1 e −11 x + c 2 e 11 x

21.

y = c 1 cos 9 x + c 2 sen 9 x y = c 1 cos 9 x + c 2 sen 9 x

23.

y = c 1 + c 2 x y = c 1 + c 2 x

25.

y = c 1 e ( ( 1 + 22 ) / 3 ) x + c 2 e ( ( 1 22 ) / 3 ) x y = c 1 e ( ( 1 + 22 ) / 3 ) x + c 2 e ( ( 1 22 ) / 3 ) x

27.

y = c 1 e x / 6 + c 2 x e x / 6 y = c 1 e x / 6 + c 2 x e x / 6

29.

y = c 1 + c 2 e 9 x y = c 1 + c 2 e 9 x

31.

y = −2 e −2 x + 2 e −3 x y = −2 e −2 x + 2 e −3 x

33.

y=3cos(2 x)+5sen(2 x)y=3cos(2 x)+5sen(2 x) grandes.

35.

y = e 6 x + 2 e −5 x y = e 6 x + 2 e −5 x

37.

y = 2 e x / 5 + 7 5 x e x / 5 y = 2 e x / 5 + 7 5 x e x / 5

39.

y = ( 2 e 6 e −7 ) e 6 x ( 2 e 6 e −7 ) e −7 x y = ( 2 e 6 e −7 ) e 6 x ( 2 e 6 e −7 ) e −7 x

41.

No existe una solución.

43.

y = 2 e 2 x 2 e 2 + 1 e 2 x e 2 x y = 2 e 2 x 2 e 2 + 1 e 2 x e 2 x

45.

y = 4 cos 3 x + c 2 sen 3 x , infinitas soluciones y = 4 cos 3 x + c 2 sen 3 x , infinitas soluciones

47.

5 y + 19 y 4 y = 0 5 y + 19 y 4 y = 0

49.

a. y=3cos(8x)+2 sen(8x)y=3cos(8x)+2 sen(8x)
b.

Esta figura es un gráfico periódico. Tiene una amplitud de 3,5. Tanto el eje x como el eje y están escalados en incrementos de 1.
51.

a. y=e(−5/2 )x[−2cos(352 x)+43535sen(352 x)]y=e(−5/2 )x[−2cos(352 x)+43535sen(352 x)]
b.

Esta figura es un gráfico de una función oscilante. Los ejes x y y se escalan en incrementos de números pares. La amplitud del gráfico disminuye a medida que aumenta x.

Sección 7.2 ejercicios

55.

y = c 1 e −4 x / 3 + c 2 e x 2 y = c 1 e −4 x / 3 + c 2 e x 2

57.

y = c 1 cos 4 x + c 2 sen 4 x + 1 20 e −2 x y = c 1 cos 4 x + c 2 sen 4 x + 1 20 e −2 x

59.

y = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x + 2 x 2 + 5 x y = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x + 2 x 2 + 5 x

61.

y = c 1 e x + c 2 x e x + 1 2 sen x 1 2 cos x y = c 1 e x + c 2 x e x + 1 2 sen x 1 2 cos x

63.

y = c 1 cos x + c 2 sen x 1 3 x cos 2 x 5 9 sen 2 x y = c 1 cos x + c 2 sen x 1 3 x cos 2 x 5 9 sen 2 x

65.

y = c 1 e −5 x + c 2 x e −5 x + 1 6 x 3 e −5 x + 4 25 y = c 1 e −5 x + c 2 x e −5 x + 1 6 x 3 e −5 x + 4 25

67.

a. yp(x)=Ax2 +Bx+Cyp(x)=Ax2 +Bx+C
b. yp(x)=13x2 +43x359yp(x)=13x2 +43x359

69.

a. yp(x)=(Ax2 +Bx+C)exyp(x)=(Ax2 +Bx+C)ex
b. yp(x)=(14x2 58x3332)exyp(x)=(14x2 58x3332)ex

71.

a. yp(x)=(Ax2 +Bx+C)excosxyp(x)=(Ax2 +Bx+C)excosx +(Dx2 +Ex+F)exsenx+(Dx2 +Ex+F)exsenx
b. yp(x)=(110x2 1125x27250)excosxyp(x)=(110x2 1125x27250)excosx +(310x2 +2 25x+39250)exsenx+(310x2 +2 25x+39250)exsenx

73.

y = c 1 + c 2 e −2 x + 1 15 e 3 x y = c 1 + c 2 e −2 x + 1 15 e 3 x

75.

y = c 1 e 2 x + c 2 e −4 x + x e 2 x y = c 1 e 2 x + c 2 e −4 x + x e 2 x

77.

y = c 1 e 3 x + c 2 e −3 x 8 x 9 y = c 1 e 3 x + c 2 e −3 x 8 x 9

79.

y = c 1 cos 2 x + c 2 sen 2 x 3 2 x cos 2 x + 3 4 sen 2 x ln ( sen 2 x ) y = c 1 cos 2 x + c 2 sen 2 x 3 2 x cos 2 x + 3 4 sen 2 x ln ( sen 2 x )

81.

y = 347 343 + 4 343 e 7 x + 2 7 x 2 e 7 x 4 49 x e 7 x y = 347 343 + 4 343 e 7 x + 2 7 x 2 e 7 x 4 49 x e 7 x

83.

y = 57 25 + 3 25 e 5 x + 1 5 x e 5 x + 4 25 e −5 x y = 57 25 + 3 25 e 5 x + 1 5 x e 5 x + 4 25 e −5 x

85.

y p = 1 2 + 10 3 x 2 ln x y p = 1 2 + 10 3 x 2 ln x

Sección 7.3 ejercicios

87.

x+16x=0,x+16x=0, x(t)=16cos(4t)2 sen(4t),x(t)=16cos(4t)2 sen(4t), periodo =π2 sec,=π2 sec, frecuencia =2 πHz=2 πHz

89.

x+196x=0,x+196x=0, x(t)=0,15cos(14t),x(t)=0,15cos(14t), periodo =π7sec,=π7sec, frecuencia =7πHz=7πHz

91.

a. x(t)=5sen(2 t)x(t)=5sen(2 t)
b. periodo =πs,=πs, frecuencia =1πHz=1πHz
c.

Esta figura es el gráfico de una función. Es una función periódica con una amplitud consistente. El eje horizontal está marcado en incrementos de 1. El eje vertical está marcado en incrementos de 1,5.


d. t=π2 sect=π2 sec

93.

a. x(t)=et/5(20cos(3t)+15sen(3t))x(t)=et/5(20cos(3t)+15sen(3t))
b. subamortiguado

95.

a. x(t)=5e−4t+10te−4tx(t)=5e−4t+10te−4t
b. amortiguado críticamente

97.

x(π)=7eπ/46x(π)=7eπ/46 pies por debajo

99.

x ( t ) = 32 9 sen ( 4 t ) + cos ( 128 t ) 16 9 2 sen ( 128 t ) x ( t ) = 32 9 sen ( 4 t ) + cos ( 128 t ) 16 9 2 sen ( 128 t )

101.

q ( t ) = e −6 t ( 0,051 cos ( 8 t ) + 0,03825 sen ( 8 t ) ) 1 20 cos ( 10 t ) q ( t ) = e −6 t ( 0,051 cos ( 8 t ) + 0,03825 sen ( 8 t ) ) 1 20 cos ( 10 t )

103.

q ( t ) = e −10 t ( −32 t 5 ) + 5 , I ( t ) = 2 e −10 t ( 160 t + 9 ) q ( t ) = e −10 t ( −32 t 5 ) + 5 , I ( t ) = 2 e −10 t ( 160 t + 9 )

Sección 7.4 ejercicios

105.

y = c 0 + 5 c 1 n = 1 ( x / 5 ) n n ! = c 0 + 5 c 1 e x / 5 y = c 0 + 5 c 1 n = 1 ( x / 5 ) n n ! = c 0 + 5 c 1 e x / 5

107.

y = c 0 n = 0 ( x ) 2 n ( 2 n ) ! + c 1 n = 0 ( x ) 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! y = c 0 n = 0 ( x ) 2 n ( 2 n ) ! + c 1 n = 0 ( x ) 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

109.

y = c 0 n = 0 x 2 n n ! = c 0 e x 2 y = c 0 n = 0 x 2 n n ! = c 0 e x 2

111.

y=c0n=0x2 n2 nn!+c1n=0x2 n+11357(2 n+1)y=c0n=0x2 n2 nn!+c1n=0x2 n+11357(2 n+1) grandes.

113.

y = c 1 x 3 + c 2 x y = c 1 x 3 + c 2 x

115.

y = 1 3 x + 2 x 3 3 ! 12 x 4 4 ! + 16 x 6 6 ! 120 x 7 7 ! + y = 1 3 x + 2 x 3 3 ! 12 x 4 4 ! + 16 x 6 6 ! 120 x 7 7 ! +

Ejercicios de repaso

117.

Verdadero

119.

Falso

121.

de segundo orden, de línea, homogénea, λ2 2 =0λ2 2 =0

123.

de primer orden, no lineal, no homogéneo

125.

y=c1sen(3x)+c2 cos(3x)y=c1sen(3x)+c2 cos(3x) grandes.

127.

y = c 1 e x sen ( 3 x ) + c 2 e x cos ( 3 x ) + 2 5 x + 2 25 y = c 1 e x sen ( 3 x ) + c 2 e x cos ( 3 x ) + 2 5 x + 2 25

129.

y = c 1 e x + c 2 e −4 x + x 4 + e 2 x 18 5 16 y = c 1 e x + c 2 e −4 x + x 4 + e 2 x 18 5 16

131.

y = c 1 e ( −3 / 2 ) x + c 2 x e ( −3 / 2 ) x + 4 9 x 2 + 4 27 x 16 27 y = c 1 e ( −3 / 2 ) x + c 2 x e ( −3 / 2 ) x + 4 9 x 2 + 4 27 x 16 27

133.

y=e−2xsen(2 x)y=e−2xsen(2 x) grandes.

135.

y=e1xe41(e4x1)y=e1xe41(e4x1) grandes.

137.

θ ( t ) = θ 0 cos ( g l t ) θ ( t ) = θ 0 cos ( g l t )

141.

b = a b = a

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