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Cálculo volumen 3

7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series

Cálculo volumen 37.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series

Objetivos de aprendizaje

  • 7.4.1 Utilizar las series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.

En Introducción a series de potencias estudiamos cómo se pueden representar las funciones como series de potencias, y(x)=n=0anxn.y(x)=n=0anxn. También vimos que podemos hallar representaciones en serie de las derivadas de dichas funciones diferenciando la serie de potencias término a término. Esto da y(x)=n=1nanxn1y(x)=n=1nanxn1 y y(x)=n=2 n(n1)anxn2 .y(x)=n=2 n(n1)anxn2 . En algunos casos, estas representaciones en serie de potencias pueden utilizarse para hallar soluciones a ecuaciones diferenciales.

Observe que este tema se trata muy brevemente en este texto. La mayoría de los libros de texto de introducción a las ecuaciones diferenciales incluyen un capítulo entero sobre soluciones de series de potencias. Este texto solo tiene una sección sobre el tema, por lo que no se abordan aquí varias cuestiones importantes, sobre todo las relacionadas con la existencia de soluciones. Se han elegido los ejemplos y ejercicios de esta sección para los que existen soluciones de potencia. Sin embargo, no siempre existen soluciones de potencias. Aquellos que estén interesados en un tratamiento más riguroso de este tema deberán consultar un texto de ecuaciones diferenciales.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Buscar soluciones en serie de potencia para ecuaciones diferenciales

  1. Suponga que la ecuación diferencial tiene una solución de la forma y(x)=n=0anxn.y(x)=n=0anxn.
  2. Diferencie la serie de potencias término a término para obtener y(x)=n=1nanxn1y(x)=n=1nanxn1 y y(x)=n=2 n(n1)anxn2 .y(x)=n=2 n(n1)anxn2 .
  3. Sustituya las expresiones de la serie de potencias en la ecuación diferencial.
  4. Reajuste las sumas según sea necesario para combinar los términos y simplificar la expresión.
  5. Iguale los coeficientes de las potencias similares de xx para determinar los valores de los coeficientes anan en la serie de potencias.
  6. Sustituya los coeficientes en la serie de potencias y escriba la solución.

Ejemplo 7.25

Soluciones en serie para las ecuaciones diferenciales

Halle una solución mediante series de potencias para las siguientes ecuaciones diferenciales.

  1. yy=0yy=0
  2. (x2 1)y+6xy+4y=–4(x2 1)y+6xy+4y=–4

Punto de control 7.22

Halle una solución mediante series de potencias para las siguientes ecuaciones diferenciales.

  1. y+2 xy=0y+2 xy=0
  2. (x+1)y=3y(x+1)y=3y

Cerramos esta sección con una breve introducción a las funciones de Bessel. El tratamiento completo de las funciones de Bessel va mucho más allá del alcance de este curso, pero aquí tenemos una pequeña muestra del tema para que podamos ver cómo se utilizan las soluciones en serie de las ecuaciones diferenciales en aplicaciones del mundo real. La ecuación de Bessel de orden n viene dada por

x2 y+xy+(x2 n2 )y=0.x2 y+xy+(x2 n2 )y=0.

Esta ecuación surge en muchas aplicaciones físicas, en particular las que implican coordenadas cilíndricas, como la vibración de una cabeza de tambor circular y el calentamiento o enfriamiento transitorio de un cilindro. En el siguiente ejemplo, encontramos una solución en serie de potencias para la ecuación de Bessel de orden 0.

Ejemplo 7.26

Solución de la serie de potencias de la ecuación de Bessel

Halle una solución en serie de potencias de la ecuación de Bessel de orden 0 y grafique la solución.

Punto de control 7.23

Compruebe que la expresión encontrada en el Ejemplo 7.26 es una solución de la ecuación de Bessel de orden 0.

Sección 7.4 ejercicios

Halle una solución mediante series de potencias para las siguientes ecuaciones diferenciales.

104.

y + 6 y = 0 y + 6 y = 0

105.

5 y + y = 0 5 y + y = 0

106.

y + 25 y = 0 y + 25 y = 0

107.

y y = 0 y y = 0

108.

2 y + y = 0 2 y + y = 0

109.

y 2 x y = 0 y 2 x y = 0

110.

( x 7 ) y + 2 y = 0 ( x 7 ) y + 2 y = 0

111.

y x y y = 0 y x y y = 0

112.

( 1 + x 2 ) y 4 x y + 6 y = 0 ( 1 + x 2 ) y 4 x y + 6 y = 0

113.

x 2 y x y 3 y = 0 x 2 y x y 3 y = 0

114.

y 8 y = 0 , y ( 0 ) = –2 , y ( 0 ) = 10 y 8 y = 0 , y ( 0 ) = –2 , y ( 0 ) = 10

115.

y 2 x y = 0 , y ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = −3 y 2 x y = 0 , y ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = −3

116.

La ecuación diferencial x2 y+xy+(x2 1)y=0x2 y+xy+(x2 1)y=0 es una ecuación de Bessel de orden 1. Utilice una serie de potencias de la forma y=n=0anxny=n=0anxn para hallar la solución.

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