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Cálculo volumen 3

7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series

Cálculo volumen 37.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 7.4.1 Utilizar las series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.

En Introducción a series de potencias estudiamos cómo se pueden representar las funciones como series de potencias, y(x)=n=0anxn.y(x)=n=0anxn. También vimos que podemos hallar representaciones en serie de las derivadas de dichas funciones diferenciando la serie de potencias término a término. Esto da y(x)=n=1nanxn1y(x)=n=1nanxn1 y y(x)=n=2 n(n1)anxn2 .y(x)=n=2 n(n1)anxn2 . En algunos casos, estas representaciones en serie de potencias pueden utilizarse para hallar soluciones a ecuaciones diferenciales.

Observe que este tema se trata muy brevemente en este texto. La mayoría de los libros de texto de introducción a las ecuaciones diferenciales incluyen un capítulo entero sobre soluciones de series de potencias. Este texto solo tiene una sección sobre el tema, por lo que no se abordan aquí varias cuestiones importantes, sobre todo las relacionadas con la existencia de soluciones. Se han elegido los ejemplos y ejercicios de esta sección para los que existen soluciones de potencia. Sin embargo, no siempre existen soluciones de potencias. Aquellos que estén interesados en un tratamiento más riguroso de este tema deberán consultar un texto de ecuaciones diferenciales.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Buscar soluciones en serie de potencia para ecuaciones diferenciales

  1. Suponga que la ecuación diferencial tiene una solución de la forma y(x)=n=0anxn.y(x)=n=0anxn.
  2. Diferencie la serie de potencias término a término para obtener y(x)=n=1nanxn1y(x)=n=1nanxn1 y y(x)=n=2 n(n1)anxn2 .y(x)=n=2 n(n1)anxn2 .
  3. Sustituya las expresiones de la serie de potencias en la ecuación diferencial.
  4. Reajuste las sumas según sea necesario para combinar los términos y simplificar la expresión.
  5. Iguale los coeficientes de las potencias similares de xx para determinar los valores de los coeficientes anan en la serie de potencias.
  6. Sustituya los coeficientes en la serie de potencias y escriba la solución.

Ejemplo 7.25

Soluciones en serie para las ecuaciones diferenciales

Halle una solución mediante series de potencias para las siguientes ecuaciones diferenciales.

  1. yy=0yy=0
  2. (x2 1)y+6xy+4y=–4(x2 1)y+6xy+4y=–4

Punto de control 7.22

Halle una solución mediante series de potencias para las siguientes ecuaciones diferenciales.

  1. y+2 xy=0y+2 xy=0
  2. (x+1)y=3y(x+1)y=3y

Cerramos esta sección con una breve introducción a las funciones de Bessel. El tratamiento completo de las funciones de Bessel va mucho más allá del alcance de este curso, pero aquí tenemos una pequeña muestra del tema para que podamos ver cómo se utilizan las soluciones en serie de las ecuaciones diferenciales en aplicaciones del mundo real. La ecuación de Bessel de orden n viene dada por

x2 y+xy+(x2 n2 )y=0.x2 y+xy+(x2 n2 )y=0.

Esta ecuación surge en muchas aplicaciones físicas, en particular las que implican coordenadas cilíndricas, como la vibración de una cabeza de tambor circular y el calentamiento o enfriamiento transitorio de un cilindro. En el siguiente ejemplo, encontramos una solución en serie de potencias para la ecuación de Bessel de orden 0.

Ejemplo 7.26

Solución de la serie de potencias de la ecuación de Bessel

Halle una solución en serie de potencias de la ecuación de Bessel de orden 0 y grafique la solución.

Punto de control 7.23

Compruebe que la expresión encontrada en el Ejemplo 7.26 es una solución de la ecuación de Bessel de orden 0.

Sección 7.4 ejercicios

Halle una solución mediante series de potencias para las siguientes ecuaciones diferenciales.

104.

y + 6 y = 0 y + 6 y = 0

105.

5 y + y = 0 5 y + y = 0

106.

y + 25 y = 0 y + 25 y = 0

107.

y y = 0 y y = 0

108.

2 y + y = 0 2 y + y = 0

109.

y 2 x y = 0 y 2 x y = 0

110.

( x 7 ) y + 2 y = 0 ( x 7 ) y + 2 y = 0

111.

y x y y = 0 y x y y = 0

112.

( 1 + x 2 ) y 4 x y + 6 y = 0 ( 1 + x 2 ) y 4 x y + 6 y = 0

113.

x 2 y x y 3 y = 0 x 2 y x y 3 y = 0

114.

y 8 y = 0 , y ( 0 ) = –2 , y ( 0 ) = 10 y 8 y = 0 , y ( 0 ) = –2 , y ( 0 ) = 10

115.

y 2 x y = 0 , y ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = −3 y 2 x y = 0 , y ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = −3

116.

La ecuación diferencial x2 y+xy+(x2 1)y=0x2 y+xy+(x2 1)y=0 es una ecuación de Bessel de orden 1. Utilice una serie de potencias de la forma y=n=0anxny=n=0anxn para hallar la solución.

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