7.3 Aplicaciones

Movimiento armónico simple

Consideremos una masa suspendida de un resorte unido a un soporte rígido. (Esto se llama comúnmente un sistema masa resorte) La gravedad tira de la masa hacia abajo y la fuerza restauradora del resorte tira de la masa hacia arriba. Como se muestra en la Figura 7.2, cuando estas dos fuerzas son iguales, se dice que la masa está en posición de equilibrio. Si la masa se desplaza del equilibrio, oscila hacia arriba y hacia abajo. Este comportamiento puede modelarse mediante una ecuación diferencial de segundo orden de coeficiente constante.

Figura 7.2 Un resorte en su posición natural (a), en equilibrio con una masa m acoplada (b), y en movimiento oscilatorio (c).

Supongamos que $x(t)$ denotan el desplazamiento de la masa desde el equilibrio. Observe que para este tipo de sistema masa resorte es habitual adoptar la convención de que la bajada es positiva. Así, un desplazamiento positivo indica que la masa está por debajo del punto de equilibrio, mientras que un desplazamiento negativo indica que la masa está por encima del equilibrio. El desplazamiento suele indicarse en pies en el sistema inglés o en metros en el sistema métrico.

Considere las fuerzas que actúan sobre la masa. La fuerza de la gravedad viene dada por $mg\text{.}$ En el sistema inglés, la masa se expresa en “slugs” y la aceleración resultante de la gravedad se expresa en pies por segundo al cuadrado. La aceleración resultante de la gravedad es constante, por lo que en el sistema inglés, $g=32$ ft/s². Recordemos que 1 slug-pies/s² es una libra, por lo que la expresión mg puede expresarse en libras. Las unidades del sistema métrico son los kilogramos para la masa y los m/s² para la aceleración gravitacional. En el sistema métrico, tenemos $g=\mathrm{9,8}$ m/s².

Según la ley de Hooke, la fuerza restauradora del resorte es proporcional al desplazamiento y actúa en sentido contrario al desplazamiento, por lo que la fuerza restauradora viene dada por $\text{−}k\left(s+x\right).$ La constante del resorte se indica en libras por pie en el sistema inglés y en newtons por metro en el sistema métrico.

Ahora, según la segunda ley de Newton, la suma de las fuerzas sobre el sistema (la gravedad más la fuerza restauradora) es igual a la masa por la aceleración, por lo que tenemos

Sin embargo, por la forma en que hemos definido nuestra posición de equilibrio, $mg=ks,$ la ecuación diferencial se convierte en

Es conveniente reordenar esta ecuación e introducir una nueva variable, llamada frecuencia angular, $\omega \text{.}$ Supongamos que $\omega =\sqrt{k\text{/}m},$ podemos escribir la ecuación como

Esta ecuación diferencial tiene la solución general

que da la posición de la masa en cualquier punto en el tiempo. El movimiento de la masa se llama movimiento armónico simple. El periodo de este movimiento (el tiempo que tarda en completar una oscilación) es $T=\frac{2\pi }{\omega }$ y la frecuencia es $f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }$ (Figura 7.3).

Figura 7.3 Gráfico del desplazamiento vertical en función del tiempo para un movimiento armónico simple.

Escribir la solución general en la forma $x(t)=c_1\text{cos}\left(\omega t\right)+c_2\text{sen}\left(\omega t\right)$ tiene algunas ventajas. Es fácil ver el vínculo entre la ecuación diferencial y la solución, y el periodo y la frecuencia del movimiento son evidentes. Sin embargo, esta forma de la función nos dice muy poco sobre la amplitud del movimiento. En algunas situaciones, podemos preferir escribir la solución en la forma

Aunque el vínculo con la ecuación diferencial no es tan explícito en este caso, el periodo y la frecuencia del movimiento siguen siendo evidentes. Además, la amplitud del movimiento, A, es evidente en esta forma de la función. La constante $\varphi$ se llama desplazamiento de fase y tiene el efecto de desplazar el gráfico de la función hacia la izquierda o la derecha.

Para convertir la solución a esta forma, queremos hallar los valores de A y $\varphi$ tal que

Primero aplicamos la identidad trigonométrica

para obtener

Por lo tanto,

Si elevamos al cuadrado ambas ecuaciones y las sumamos, obtenemos

Por lo tanto,

Ahora, para hallar $\varphi ,$ regrese a las ecuaciones para $c_1$ y $c_2,$ pero esta vez, divida la primera ecuación entre la segunda para obtener

Entonces,

Resumimos este hallazgo en el siguiente teorema.

Tenga en cuenta que al utilizar la fórmula $\text{tan}\varphi =\frac{c_1}{c_2}$ para calcular $\varphi ,$ debemos tener cuidado de asegurarnos de que $\varphi$ esté en el cuadrante derecho (Figura 7.4).

Figura 7.4 Gráfico del desplazamiento vertical en función del tiempo para un movimiento armónico simple con cambio de fase.

Vibraciones amortiguadas

Con el modelo recién descrito, el movimiento de la masa continúa indefinidamente. Está claro que esto no sucede realmente. En el mundo real, casi siempre hay algo de fricción en el sistema, lo que hace que las oscilaciones desaparezcan lentamente, un efecto llamado amortiguación. Así que ahora vamos a ver cómo incorporar esa fuerza de amortiguación en nuestra ecuación diferencial.

Los sistemas masa resorte físicos casi siempre tienen algo de amortiguación como resultado de la fricción, la resistencia del aire o un amortiguador físico, llamado amortiguador (un cilindro neumático; vea la Figura 7.5).

Figura 7.5 Un amortiguador es un cilindro neumático que amortigua el movimiento de un sistema oscilante.

Dado que la amortiguación es principalmente una fuerza de fricción, suponemos que es proporcional a la velocidad de la masa y que actúa en sentido contrario. Así, la fuerza de amortiguación viene dada por $\text{−}b{x}^{\prime }$ para alguna constante $b>0.$ Aplicando de nuevo la segunda ley de Newton, la ecuación diferencial se convierte en

Entonces la ecuación característica asociada es

Aplicando la fórmula cuadrática, tenemos

Al igual que en las ecuaciones lineales de segundo orden, consideramos tres casos, basados en si la ecuación característica tiene raíces reales distintas, una raíz real repetida o raíces complejas conjugadas.

Caso 1: $b^2>4mk$

En este caso, decimos que el sistema es sobreamortiguado. La solución general tiene la forma

$$x(t)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t},$$

donde ambos ${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$ son inferiores a cero. Como los exponentes son negativos, el desplazamiento decae hasta llegar a cero con el tiempo, normalmente con bastante rapidez. Los sistemas sobreamortiguados no oscilan (no hay más de un cambio de dirección), sino que simplemente se mueven hacia la posición de equilibrio. La Figura 7.6 muestra cómo es el comportamiento típico de un sistema críticamente amortiguado.

Figura 7.6 Comportamiento de un sistema masa resorte sobreamortiguado, sin cambio de dirección (a) y con un solo cambio de dirección (b).

Ejemplo 7.19

Sistema masa resorte sobreamortiguado

Una masa de 16 libras está unida a un resorte de 10 pies. Cuando la masa se detiene en la posición de equilibrio, el resorte mide 15 pies 4 pulgadas. El sistema se sumerge en un medio que imparte una fuerza de amortiguación igual a $\frac{5}{2}$ veces la velocidad instantánea de la masa. Halle la ecuación del movimiento si la masa es empujada hacia arriba desde la posición de equilibrio con una velocidad inicial hacia arriba de 5 ft/s. ¿Cuál es la posición de la masa después de 10 segundos? ¿Su velocidad?

Solución

La masa estira el resorte 5 pies y 4 pulgadas, o $\frac{16}{3}$ pies. Así, $16=\left(\frac{16}{3}\right)k,$ por lo que $k=3.$ También tenemos $m=\frac{16}{32}=\frac{1}{2},$ por lo que la ecuación diferencial es

$$\frac{1}{2}x\text{″}+\frac{5}{2}{x}^{\prime }+3x=0.$$

Multiplicando por 2 se obtiene $x\text{″}+5x^{\prime }+6x=0,$ que tiene la solución general

$$x(t)=c_1{e}^{\mathrm{-2}t}+c_2{e}^{\mathrm{-3}t}.$$

Si aplicamos las condiciones iniciales, $x(0)=0$ y $x^{\prime }(0)=\mathrm{-5},$ obtenemos

$$x(t)=\mathrm{-5}{e}^{\mathrm{-2}t}+5e^{\mathrm{-3}t}.$$

Después de 10 segundos la masa está en la posición

$$x(10)=\mathrm{-5}{e}^{\mathrm{-20}}+5e^{\mathrm{-30}}\approx -\mathrm{1,0305}\times {10}^{\mathrm{-8}}\approx 0,$$

por lo que está, efectivamente, en la posición de equilibrio. Tenemos $x^{\prime }(t)=10e^{\mathrm{-2}t}-15e^{\mathrm{-3}t},$ por lo que después de 10 segundos la masa se mueve a una velocidad de

$$x^{\prime }(10)=10e^{\mathrm{-20}}-15e^{\mathrm{-30}}\approx \mathrm{2,061}\times {10}^{\mathrm{-8}}\approx 0.$$

Después de solo 10 segundos, la masa apenas se mueve.

Punto de control 7.17

Una masa de 2 kg está unida a un resorte con una constante de resorte de 24 N/m. A continuación, el sistema se sumerge en un medio que imparte una fuerza de amortiguación igual a 16 veces la velocidad instantánea de la masa. Halle la ecuación del movimiento si se libera del reposo en un punto situado 40 cm por debajo del equilibrio.

Caso 2: $b^2=4mk$

En este caso, decimos que el sistema está amortiguado críticamente. La solución general tiene la forma

$$x(t)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_{2}t{e}^{{\lambda }_{1}t},$$

donde ${\lambda }_1$ es inferior a cero. El movimiento de un sistema amortiguado críticamente es muy similar al de un sistema sobreamortiguado. No oscila. Sin embargo, con un sistema amortiguado críticamente, si la amortiguación se reduce aunque sea un poco, se produce un comportamiento oscilatorio. Desde el punto de vista práctico, los sistemas físicos están casi siempre sobreamortiguados o infraamortiguados (caso 3, que consideramos a continuación). Es imposible afinar las características de un sistema físico para que $b^2$ y $4mk$ sean exactamente iguales. La Figura 7.7 muestra el comportamiento típico de la amortiguación crítica.

Figura 7.7 Comportamiento de un sistema masa resorte críticamente amortiguado. El sistema representado en la parte (a) tiene más amortiguación que el sistema representado en la parte (b).

Ejemplo 7.20

Sistema masa resorte con amortiguación crítica

Una masa de 1 kg estira un resorte 20 cm. El sistema está unido a un amortiguador que imparte una fuerza de amortiguación igual a 14 veces la velocidad instantánea de la masa. Halle la ecuación del movimiento si la masa se libera del equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 m/s.

Solución

Tenemos $mg=1\left(\mathrm{9,8}\right)=\mathrm{0,2}k,$ por lo que $k=49.$ Entonces, la ecuación diferencial es

$$x\text{″}+14x^{\prime }+49x=0,$$

que tiene solución general

$$x(t)=c_1{e}^{\mathrm{-7}t}+c_{2}t{e}^{\mathrm{-7}t}.$$

Si aplicamos las condiciones iniciales $x(0)=0$ y $x^{\prime }(0)=\mathrm{-3}$ da como resultado

$$x(t)=\mathrm{-3}t{e}^{\mathrm{-7}t}.$$

Punto de control 7.18

Un peso de 1 libra estira un resorte de 6 pulgadas, y el sistema está unido a un amortiguador que imparte una fuerza de amortiguación igual a la mitad de la velocidad instantánea de la masa. Halle la ecuación del movimiento si la masa se libera del reposo en un punto que está 6 pulgadas por debajo del equilibrio.

Caso 3: $b^2<4mk$

En este caso, decimos que el sistema está infraamortiguado. La solución general tiene la forma

$$x(t)=e^{\alpha t}\left(c_1\text{cos}\left(\beta t\right)+c_2\text{sen}\left(\beta t\right)\right),$$

donde $\alpha$ es inferior a cero. Los sistemas poco amortiguados oscilan debido a los términos del seno y el coseno en la solución. Sin embargo, el término exponencial acaba dominando, por lo que la amplitud de las oscilaciones disminuye con el tiempo. Figura 7.8 muestra el aspecto del típico comportamiento subamortiguado.

Figura 7.8 Comportamiento de un sistema masa resorte infraamortiguado.

Observe que para todos los sistemas amortiguados, $\underset{t\to \infty }{\text{lím}}x(t)=0.$ El sistema siempre se aproxima a la posición de equilibrio a lo largo del tiempo.

Ejemplo 7.21

Sistema masa resorte sin amortiguación

Un peso de 16 libras estira un resorte 3,2 pies. Supongamos que la fuerza de amortiguación del sistema es igual a la velocidad instantánea de la masa. Halle la ecuación del movimiento si la masa se libera del reposo en un punto que está a 9 pulgadas por debajo del equilibrio.

Solución

Tenemos $k=\frac{16}{\mathrm{3,2}}=5$ y $m=\frac{16}{32}=\frac{1}{2},$ por lo que la ecuación diferencial es

$$\frac{1}{2}x\text{″}+x^{\prime }+5x=0,\text{o}x\text{″}+2x^{\prime }+10x=0.$$

Esta ecuación tiene la solución general

$$x(t)=e^{\text{−}t}\left(c_1\text{cos}\left(3t\right)+c_2\text{sen}\left(3t\right)\right).$$

Si aplicamos las condiciones iniciales, $x(0)=\frac{3}{4}$ y $x^{\prime }(0)=0,$ obtenemos

$$x(t)=e^{\text{−}t}\left(\frac{3}{4}\text{cos}\left(3t\right)+\frac{1}{4}\text{sen}\left(3t\right)\right).$$

Punto de control 7.19

Una masa de 1 kg estira un resorte 49 cm. El sistema se sumerge en un medio que imparte una fuerza de amortiguación igual a cuatro veces la velocidad instantánea de la masa. Halle la ecuación del movimiento si la masa se libera del reposo en un punto a 24 cm por encima del equilibrio.

Ejemplo 7.22

Inicio del capítulo: Modelado de un sistema de suspensión de motocicleta

Figura 7.9 (créditos: modificación de la obra de nSeika, Flickr).

Para los pilotos de motocross, los sistemas de suspensión de sus motocicletas son muy importantes. Los recorridos todoterreno por los que circulan incluyen saltos, y perder el control de la motocicleta al aterrizar podría costarles la carrera.

Este sistema de suspensión puede modelarse como un sistema masa resorte amortiguado. Definimos nuestro marco de referencia con respecto al chasis de la motocicleta. Supongamos que el extremo del amortiguador unido al chasis de la motocicleta es fijo. Entonces, la "masa" en nuestro sistema masa resorte es la rueda de la moto. Medimos la posición de la rueda con respecto al chasis de la motocicleta. Esto puede parecer contraintuitivo, ya que, en muchos casos, es realmente el chasis de la motocicleta el que se mueve, pero este marco de referencia preserva el desarrollo de la ecuación diferencial que se hizo anteriormente. Al igual que en el desarrollo anterior, definimos la dirección descendente como positiva.

Cuando la motocicleta se levanta por su chasis, la rueda cuelga libremente y el resorte se descomprime. Esta es la posición natural del resorte. Cuando la motocicleta se coloca en el suelo y el piloto se monta en ella, el resorte se comprime y el sistema se encuentra en posición de equilibrio (Figura 7.10).

Figura 7.10 Podemos utilizar un sistema masa resorte para modelar la suspensión de una motocicleta.

Este sistema se puede modelar utilizando la misma ecuación diferencial que utilizamos antes:

$$mx\text{″}+b{x}^{\prime }+kx=0.$$

Una motocicleta de motocross pesa 204 libras, y suponemos que el peso del piloto es de 180 libras. Cuando el piloto se monta en la motocicleta, la suspensión se comprime 4 pulgadas y luego llega al equilibrio. El sistema de suspensión proporciona una amortiguación igual a 240 veces la velocidad vertical instantánea de la motocicleta (y del piloto).

1. Establezca la ecuación diferencial que modela el comportamiento del sistema de suspensión de la motocicleta.
2. Nos interesa saber qué ocurre cuando la motocicleta aterriza después de dar un salto. Supongamos que el tiempo $t=0$ indica el momento en que la motocicleta entra en contacto con el suelo por primera vez. Si la motocicleta golpea el suelo con una velocidad de 10 ft/s hacia abajo, halle la ecuación del movimiento de la motocicleta después del salto.
3. Grafique la ecuación del movimiento durante el primer segundo después de que la motocicleta toque el suelo.

Solución

1. Hemos definido el equilibrio como el punto en el que $mg=ks,$ por lo que tenemos
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill mg& =\hfill & ks\hfill \\ \hfill 384& =\hfill & k\left(\frac{1}{3}\right)\hfill \\ \hfill k& =\hfill & 1152.\hfill \end{array}$$
   
   También tenemos
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill W& =\hfill & mg\hfill \\ \hfill 384& =\hfill & m\left(32\right)\hfill \\ \hfill m& =\hfill & 12.\hfill \end{array}$$
   
   Por tanto, la ecuación diferencial que modela el comportamiento de la suspensión de la motocicleta es
   
   $$12x\text{″}+240x^{\prime }+1152x=0.$$
   
   Dividiendo entre 12, obtenemos
   
   $$x\text{″}+20x^{\prime }+96x=0.$$
2. La ecuación diferencial encontrada en la parte a. tiene la solución general
   
   $$x(t)=c_1{e}^{\mathrm{-8}t}+c_2{e}^{\mathrm{-12}t}.$$
   
   Ahora, para determinar nuestras condiciones iniciales, consideramos la posición y la velocidad de la rueda de la motocicleta cuando entra en contacto con el suelo por primera vez. Como la motocicleta estaba en el aire antes de entrar en contacto con el suelo, la rueda colgaba libremente y el resorte estaba sin comprimir. Por lo tanto, la rueda es de 4 pulgadas. $\left(\frac{1}{3}\text{pies}\right)$ por debajo de la posición de equilibrio (con respecto al chasis de la moto), y tenemos $x(0)=\frac{1}{3}.$ Según el enunciado del problema, la motocicleta tiene una velocidad de 10 ft/s hacia abajo cuando entra en contacto con el suelo, por lo que $x^{\prime }(0)=10.$ Aplicando estas condiciones iniciales, obtenemos $c_1=\frac{7}{2}$ y $c_2=\text{−}\left(\frac{19}{6}\right),$ por lo que la ecuación del movimiento es
   
   $$x(t)=\frac{7}{2}{e}^{\mathrm{-8}t}-\frac{19}{6}{e}^{\mathrm{-12}t}.$$
3. El gráfico se muestra en la Figura 7.11
   

   Figura 7.11 Gráfico de la ecuación del movimiento en un tiempo de un segundo.

Proyecto de estudiante

Módulo de aterrizaje

La NASA está planeando una misión a Marte. Para ahorrar dinero, los ingenieros han decidido adaptar uno de los módulos de alunizaje para la nueva misión. Sin embargo, les preocupa cómo las diferentes fuerzas gravitacionales afectarán al sistema de suspensión que amortigua la nave cuando toca tierra. La aceleración resultante de la gravedad en la Luna es de 1,6 m/s², mientras que en Marte es de 3,7 m/s².

El sistema de suspensión de la nave puede modelarse como un sistema masa resorte amortiguado. En este caso, el resorte está por debajo del módulo de alunizaje, por lo que el resorte está ligeramente comprimido en el equilibrio, como se muestra en la Figura 7.12.

Figura 7.12 La suspensión del módulo de aterrizaje puede representarse como un sistema masa resorte amortiguado (créditos: "lander": NASA).

Mantenemos la convención de que abajo es positivo. A pesar de la nueva orientación, un examen de las fuerzas que afectan al módulo de aterrizaje muestra que se puede utilizar la misma ecuación diferencial para modelar su posición en relación con el equilibrio:

$$mx\text{″}+b{x}^{\prime }+kx=0,$$

donde m es la masa del módulo de aterrizaje, b es el coeficiente de amortiguación y k es la constante del resorte.

1. El módulo de aterrizaje tiene una masa de 15.000 kg y el resorte mide 2 m cuando está sin comprimir. El módulo de aterrizaje está diseñado para comprimir el resorte 0,5 m para alcanzar la posición de equilibrio bajo la gravedad lunar. El amortiguador imparte una fuerza de amortiguación igual a 48.000 veces la velocidad instantánea del módulo de aterrizaje. Establezca la ecuación diferencial que modela el movimiento del módulo de aterrizaje cuando la nave aterriza en la luna.
2. Supongamos que el tiempo $t=0$ indican el instante en que el módulo de aterrizaje toca tierra. La velocidad de descenso del módulo de aterrizaje puede ser controlada por la tripulación, de modo que descienda a una velocidad de 2 m/s cuando toque tierra. Halle la ecuación de movimiento del módulo de aterrizaje en la luna.
3. Si el módulo de aterrizaje se desplaza demasiado rápido cuando toca tierra, podría comprimir completamente el resorte y "tocar fondo" El tocar fondo podría dañar el módulo de aterrizaje y debe evitarse a toda costa. Grafique la ecuación del movimiento encontrada en la parte 2. Si el resorte tiene una longitud de 0,5 m cuando está totalmente comprimido, ¿el módulo de aterrizaje corre el riesgo de tocar fondo?
4. Suponiendo que los ingenieros de la NASA no realicen ningún ajuste en el resorte ni en el amortiguador, ¿hasta dónde comprime el módulo de aterrizaje el resorte para alcanzar la posición de equilibrio bajo la gravedad marciana?
5. Si la tripulación del módulo de aterrizaje utiliza los mismos procedimientos en Marte que en la Luna, y mantiene la velocidad de descenso a 2 m/s, ¿el módulo de aterrizaje tocará fondo cuando aterrice en Marte?
6. ¿Qué ajustes, si los hay, deberían hacer los ingenieros de la NASA para utilizar el módulo de aterrizaje de forma segura en Marte?

Vibraciones forzadas

El último caso que consideramos es cuando una fuerza externa actúa sobre el sistema. En el caso del sistema de suspensión de la motocicleta, por ejemplo, los baches de la carretera actúan como una fuerza externa que actúa sobre el sistema. Otro ejemplo es un resorte que cuelga de un soporte; si el soporte se pone en movimiento, ese movimiento se consideraría una fuerza externa sobre el sistema. Modelamos estos sistemas forzados con la ecuación diferencial no homogénea

donde la fuerza externa está representada por el término $f(t)$. Como vimos en Ecuaciones lineales no homogéneas, las ecuaciones diferenciales como esta tienen soluciones de la forma

donde $c_1{x}_1(t)+c_2{x}_2(t)$ es la solución general de la ecuación complementaria y $x_p(t)$ es una solución particular de la ecuación no homogénea. Si el sistema está amortiguado, $\underset{t\to \infty }{\text{lím}}{c}_1{x}_1(t)+c_2{x}_2(t)=0.$ Como estos términos no afectan al comportamiento a largo plazo del sistema, llamamos a esta parte de la solución solución transitoria. El comportamiento a largo plazo del sistema viene determinado por $x_p(t),$ por lo que llamamos a esta parte de la solución la solución en estado estacionario.

El circuito en serie RLC

Considere un circuito eléctrico que contiene un resistor, un inductor y un condensador, como se muestra en la Figura 7.10. Un circuito de este tipo se denomina circuito en serie RLC. Los circuitos RLC se utilizan en muchos sistemas electrónicos, sobre todo como sintonizadores en radios AM/FM. La perilla de sintonía varía la capacitancia del condensador, que a su vez sintoniza la radio. Estos circuitos pueden modelarse mediante ecuaciones diferenciales de segundo orden y coeficiente constante.

Supongamos que $I(t)$ denota la corriente en el circuito RLC y $q(t)$ denotan la carga del condensador. Además, supongamos que L denota la inductancia en henrys (H), R denota la resistencia en ohmios $\left(\text{Ω}\right),$ y C denota la capacidad en faradios (F). Por último, supongamos que $E(t)$ denota el potencial eléctrico en voltios (V).

La regla del voltaje de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje alrededor de cualquier bucle cerrado debe ser cero. Por lo tanto, tenemos que considerar las caídas de voltaje a través del inductor (denotado $E_L$), la resistencia (denotada $E_R$), y el condensador (denotado $E_C$). Como el circuito RLC mostrado en la Figura 7.10 incluye una fuente de voltaje, $E(t),$ que añade voltaje al circuito, tenemos $E_L+E_R+E_C=E(t).$

A continuación presentamos las fórmulas sin mayor desarrollo. Los que estén interesados en la derivación de estas fórmulas deben consultar un texto de física. Utilizando la ley de Faraday y la ley de Lenz, se puede demostrar que la caída de voltaje a través de un inductor es proporcional a la tasa instantánea de cambio de la corriente, con la constante de proporcionalidad L. Así,

A continuación, según la ley de Ohm, la caída de voltaje a través de un resistor es proporcional a la corriente que pasa por el resistor, con la constante de proporcionalidad R. Por lo tanto,

Por último, la caída de voltaje en un condensador es proporcional a la carga, q, en el condensador, con la constante de proporcionalidad $1\text{/}C.$ Por lo tanto,

Sumando estos términos, obtenemos

Si observamos que $I=\left(dq\right)\text{/}\left(dt\right),$ esto se convierte en

Matemáticamente, este sistema es análogo a los sistemas masa resorte que hemos estado examinando en esta sección.

Figura 7.13 Un circuito en serie RLC puede ser modelado por la misma ecuación diferencial que un sistema masa resorte.