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Cálculo volumen 3

7.3 Aplicaciones

Cálculo volumen 37.3 Aplicaciones
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 7.3.1 Resolver una ecuación diferencial de segundo orden que represente un movimiento armónico simple.
  • 7.3.2 Resolver una ecuación diferencial de segundo orden que represente un movimiento armónico simple amortiguado.
  • 7.3.3 Resolver una ecuación diferencial de segundo orden que represente un movimiento armónico simple forzado.
  • 7.3.4 Resolver una ecuación diferencial de segundo orden que represente la carga y la corriente en un circuito RLC en serie.

En la introducción del capítulo vimos que las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden se utilizan para modelar muchas situaciones en física e ingeniería. En esta sección, veremos cómo funciona esto para sistemas de un objeto con masa unido a un resorte vertical y un circuito eléctrico que contiene un resistor, un inductor y un condensador conectados en serie. Estos modelos pueden utilizarse para aproximar otras situaciones más complicadas; por ejemplo, los enlaces entre átomos o moléculas suelen modelarse como resortes que vibran, tal y como describen estas mismas ecuaciones diferenciales.

Movimiento armónico simple

Consideremos una masa suspendida de un resorte unido a un soporte rígido. (Esto se llama comúnmente un sistema masa resorte) La gravedad tira de la masa hacia abajo y la fuerza restauradora del resorte tira de la masa hacia arriba. Como se muestra en la Figura 7.2, cuando estas dos fuerzas son iguales, se dice que la masa está en posición de equilibrio. Si la masa se desplaza del equilibrio, oscila hacia arriba y hacia abajo. Este comportamiento puede modelarse mediante una ecuación diferencial de segundo orden de coeficiente constante.

Esta figura tiene tres imágenes de resortes. La primera imagen es un resorte vertical en su posición natural con una longitud L unido en su parte superior a un punto fijo. La segunda imagen muestra un resorte vertical con una masa m unida a él, estirándolo a una distancia s desde L. El resorte está en equilibrio. La tercera imagen es un resorte vertical con una masa m unida donde el resorte está en movimiento, distancia x desde el equilibrio L + s.
Figura 7.2 Un resorte en su posición natural (a), en equilibrio con una masa m acoplada (b), y en movimiento oscilatorio (c).

Supongamos que x(t)x(t) denotan el desplazamiento de la masa desde el equilibrio. Observe que para este tipo de sistema masa resorte es habitual adoptar la convención de que la bajada es positiva. Así, un desplazamiento positivo indica que la masa está por debajo del punto de equilibrio, mientras que un desplazamiento negativo indica que la masa está por encima del equilibrio. El desplazamiento suele indicarse en pies en el sistema inglés o en metros en el sistema métrico.

Considere las fuerzas que actúan sobre la masa. La fuerza de la gravedad viene dada por mg.mg. En el sistema inglés, la masa se expresa en “slugs” y la aceleración resultante de la gravedad se expresa en pies por segundo al cuadrado. La aceleración resultante de la gravedad es constante, por lo que en el sistema inglés, g=32g=32 ft/s2. Recordemos que 1 slug-pies/s2 es una libra, por lo que la expresión mg puede expresarse en libras. Las unidades del sistema métrico son los kilogramos para la masa y los m/s2 para la aceleración gravitacional. En el sistema métrico, tenemos g=9,8g=9,8 m/s2.

Según la ley de Hooke, la fuerza restauradora del resorte es proporcional al desplazamiento y actúa en sentido contrario al desplazamiento, por lo que la fuerza restauradora viene dada por k(s+x).k(s+x). La constante del resorte se indica en libras por pie en el sistema inglés y en newtons por metro en el sistema métrico.

Ahora, según la segunda ley de Newton, la suma de las fuerzas sobre el sistema (la gravedad más la fuerza restauradora) es igual a la masa por la aceleración, por lo que tenemos

mx=k(s+x)+mg=kskx+mg.mx=k(s+x)+mg=kskx+mg.

Sin embargo, por la forma en que hemos definido nuestra posición de equilibrio, mg=ks,mg=ks, la ecuación diferencial se convierte en

mx+kx=0.mx+kx=0.

Es conveniente reordenar esta ecuación e introducir una nueva variable, llamada frecuencia angular, ω.ω. Supongamos que ω=k/m,ω=k/m, podemos escribir la ecuación como

x+ω2 x=0.x+ω2 x=0.
(7.5)

Esta ecuación diferencial tiene la solución general

x(t)=c1cosωt+c2 senωt,x(t)=c1cosωt+c2 senωt,
(7.6)

que da la posición de la masa en cualquier punto en el tiempo. El movimiento de la masa se llama movimiento armónico simple. El periodo de este movimiento (el tiempo que tarda en completar una oscilación) es T=2 πωT=2 πω y la frecuencia es f=1T=ω2 πf=1T=ω2 π (Figura 7.3).

Esta figura es el gráfico de f(t) = sen 2t. Es un gráfico periódico y oscilante. El periodo del gráfico se representa con una línea que apunta de un pico al siguiente. Está marcado con el periodo T = 2π/ω.
Figura 7.3 Gráfico del desplazamiento vertical en función del tiempo para un movimiento armónico simple.

Ejemplo 7.17

Movimiento armónico simple

Supongamos que un objeto que pesa 2 libras estira un resorte de 6 pulgadas. Calcule la ecuación del movimiento si el resorte se libera de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 16 ft/s. ¿Cuál es el periodo del movimiento?

Punto de control 7.15

Una masa de 200 g estira un resorte de 5 cm. Halle la ecuación del movimiento de la masa si se suelta del reposo desde una posición 10 cm por debajo de la posición de equilibrio. ¿Cuál es la frecuencia de este movimiento?

Escribir la solución general en la forma x(t)=c1cos(ωt)+c2 sen(ωt)x(t)=c1cos(ωt)+c2 sen(ωt) tiene algunas ventajas. Es fácil ver el vínculo entre la ecuación diferencial y la solución, y el periodo y la frecuencia del movimiento son evidentes. Sin embargo, esta forma de la función nos dice muy poco sobre la amplitud del movimiento. En algunas situaciones, podemos preferir escribir la solución en la forma

x(t)=Asen(ωt+ϕ).x(t)=Asen(ωt+ϕ).
(7.7)

Aunque el vínculo con la ecuación diferencial no es tan explícito en este caso, el periodo y la frecuencia del movimiento siguen siendo evidentes. Además, la amplitud del movimiento, A, es evidente en esta forma de la función. La constante ϕϕ se llama desplazamiento de fase y tiene el efecto de desplazar el gráfico de la función hacia la izquierda o la derecha.

Para convertir la solución a esta forma, queremos hallar los valores de A y ϕϕ tal que

c1cos(ωt)+c2 sen(ωt)=Asen(ωt+ϕ).c1cos(ωt)+c2 sen(ωt)=Asen(ωt+ϕ).

Primero aplicamos la identidad trigonométrica

sen(α+β)=senαcosβ+cosαsenβsen(α+β)=senαcosβ+cosαsenβ

para obtener

c1cos(ωt)+c2 sen(ωt)=A(sen(ωt)cosϕ+cos(ωt)senϕ)=Asenϕ(cos(ωt))+Acosϕ(sen(ωt)).c1cos(ωt)+c2 sen(ωt)=A(sen(ωt)cosϕ+cos(ωt)senϕ)=Asenϕ(cos(ωt))+Acosϕ(sen(ωt)).

Por lo tanto,

c1=Asenϕyc2 =Acosϕ.c1=Asenϕyc2 =Acosϕ.

Si elevamos al cuadrado ambas ecuaciones y las sumamos, obtenemos

c12 +c2 2 =A2 sen2 ϕ+A2 cos2 ϕ=A2 (sen2 ϕ+cos2 ϕ)=A2 .c12 +c2 2 =A2 sen2 ϕ+A2 cos2 ϕ=A2 (sen2 ϕ+cos2 ϕ)=A2 .

Por lo tanto,

A=c12 +c2 2 .A=c12 +c2 2 .

Ahora, para hallar ϕ,ϕ, regrese a las ecuaciones para c1c1 y c2 ,c2 , pero esta vez, divida la primera ecuación entre la segunda para obtener

c1c2 =AsenϕAcosϕ=tanϕ.c1c2 =AsenϕAcosϕ=tanϕ.

Entonces,

tanϕ=c1c2 .tanϕ=c1c2 .

Resumimos este hallazgo en el siguiente teorema.

Teorema 7.5

Solución a la ecuación del movimiento armónico simple

La función x(t)=c1cos(ωt)+c2 sen(ωt)x(t)=c1cos(ωt)+c2 sen(ωt) se puede escribir de la forma x(t)=Asen(ωt+ϕ),x(t)=Asen(ωt+ϕ), donde A=c12 +c2 2 A=c12 +c2 2 y tanϕ=c1c2 .tanϕ=c1c2 .

Tenga en cuenta que al utilizar la fórmula tanϕ=c1c2 tanϕ=c1c2 para calcular ϕ,ϕ, debemos tener cuidado de asegurarnos de que ϕϕ esté en el cuadrante derecho (Figura 7.4).

Esta figura es la gráfica de f(t) = sen 2t. Es un gráfico periódico y oscilante. El periodo del gráfico se representa con una línea que apunta de un pico al siguiente. Está marcado con el periodo T = 2π/ω. El gráfico tiene un desplazamiento de fase de ϕ/ω de modo que la curva sinusoidal tiene el valor cero a la izquierda del origen.
Figura 7.4 Gráfico del desplazamiento vertical en función del tiempo para un movimiento armónico simple con cambio de fase.

Ejemplo 7.18

Expresar la solución con desplazamiento de fase

Exprese las siguientes funciones en la forma Asen(ωt+ϕ).Asen(ωt+ϕ). ¿Cuál es la frecuencia del movimiento? ¿La amplitud?

  1. x(t)=2 cos(3t)+sen(3t)x(t)=2 cos(3t)+sen(3t) grandes.
  2. x(t)=3cos(2 t)2 sen(2 t)x(t)=3cos(2 t)2 sen(2 t)

Punto de control 7.16

Exprese la función x(t)=cos(4t)+4sen(4t)x(t)=cos(4t)+4sen(4t) en la forma Asen(ωt+ϕ).Asen(ωt+ϕ). ¿Cuál es la frecuencia del movimiento? ¿La amplitud?

Vibraciones amortiguadas

Con el modelo recién descrito, el movimiento de la masa continúa indefinidamente. Está claro que esto no sucede realmente. En el mundo real, casi siempre hay algo de fricción en el sistema, lo que hace que las oscilaciones desaparezcan lentamente, un efecto llamado amortiguación. Así que ahora vamos a ver cómo incorporar esa fuerza de amortiguación en nuestra ecuación diferencial.

Los sistemas masa resorte físicos casi siempre tienen algo de amortiguación como resultado de la fricción, la resistencia del aire o un amortiguador físico, llamado amortiguador (un cilindro neumático; vea la Figura 7.5).

Esta figura es un cilindro neumático. El cilindro es claro, y el pistón se puede ver.
Figura 7.5 Un amortiguador es un cilindro neumático que amortigua el movimiento de un sistema oscilante.

Dado que la amortiguación es principalmente una fuerza de fricción, suponemos que es proporcional a la velocidad de la masa y que actúa en sentido contrario. Así, la fuerza de amortiguación viene dada por bxbx para alguna constante b>0.b>0. Aplicando de nuevo la segunda ley de Newton, la ecuación diferencial se convierte en

mx+bx+kx=0.mx+bx+kx=0.

Entonces la ecuación característica asociada es

mλ2 +bλ+k=0.mλ2 +bλ+k=0.

Aplicando la fórmula cuadrática, tenemos

λ=b±b2 4mk2 m.λ=b±b2 4mk2 m.

Al igual que en las ecuaciones lineales de segundo orden, consideramos tres casos, basados en si la ecuación característica tiene raíces reales distintas, una raíz real repetida o raíces complejas conjugadas.

Caso 1: b2 >4mkb2 >4mk

En este caso, decimos que el sistema es sobreamortiguado. La solución general tiene la forma

x(t)=c1eλ1t+c2 eλ2 t,x(t)=c1eλ1t+c2 eλ2 t,

donde ambos λ1λ1 y λ2 λ2 son inferiores a cero. Como los exponentes son negativos, el desplazamiento decae hasta llegar a cero con el tiempo, normalmente con bastante rapidez. Los sistemas sobreamortiguados no oscilan (no hay más de un cambio de dirección), sino que simplemente se mueven hacia la posición de equilibrio. La Figura 7.6 muestra cómo es el comportamiento típico de un sistema críticamente amortiguado.

Esta figura tiene dos gráficos marcados como (a) y (b). El primer gráfico es una curva decreciente con el eje horizontal como asíntota horizontal. El segundo gráfico es inicialmente una función decreciente pero se convierte en creciente por debajo del eje horizontal. Entonces, el eje horizontal es también una asíntota horizontal.
Figura 7.6 Comportamiento de un sistema masa resorte sobreamortiguado, sin cambio de dirección (a) y con un solo cambio de dirección (b).

Ejemplo 7.19

Sistema masa resorte sobreamortiguado

Una masa de 16 libras está unida a un resorte de 10 pies. Cuando la masa se detiene en la posición de equilibrio, el resorte mide 15 pies 4 pulgadas. El sistema se sumerge en un medio que imparte una fuerza de amortiguación igual a 52 52 veces la velocidad instantánea de la masa. Halle la ecuación del movimiento si la masa es empujada hacia arriba desde la posición de equilibrio con una velocidad inicial hacia arriba de 5 ft/s. ¿Cuál es la posición de la masa después de 10 segundos? ¿Su velocidad?

Punto de control 7.17

Una masa de 2 kg está unida a un resorte con una constante de resorte de 24 N/m. A continuación, el sistema se sumerge en un medio que imparte una fuerza de amortiguación igual a 16 veces la velocidad instantánea de la masa. Halle la ecuación del movimiento si se libera del reposo en un punto situado 40 cm por debajo del equilibrio.

Caso 2: b2 =4mkb2 =4mk

En este caso, decimos que el sistema está amortiguado críticamente. La solución general tiene la forma

x(t)=c1eλ1t+c2 teλ1t,x(t)=c1eλ1t+c2 teλ1t,

donde λ1λ1 es inferior a cero. El movimiento de un sistema amortiguado críticamente es muy similar al de un sistema sobreamortiguado. No oscila. Sin embargo, con un sistema amortiguado críticamente, si la amortiguación se reduce aunque sea un poco, se produce un comportamiento oscilatorio. Desde el punto de vista práctico, los sistemas físicos están casi siempre sobreamortiguados o infraamortiguados (caso 3, que consideramos a continuación). Es imposible afinar las características de un sistema físico para que b2 b2 y 4mk4mk sean exactamente iguales. La Figura 7.7 muestra el comportamiento típico de la amortiguación crítica.

Esta figura tiene dos gráficos marcados como (a) y (b). El primer gráfico está en el primer cuadrante y es una curva decreciente con el eje horizontal como asíntota horizontal. El segundo gráfico es inicialmente una función decreciente pero se convierte en creciente por debajo del eje horizontal. Entonces, el eje horizontal es también una asíntota horizontal.
Figura 7.7 Comportamiento de un sistema masa resorte críticamente amortiguado. El sistema representado en la parte (a) tiene más amortiguación que el sistema representado en la parte (b).

Ejemplo 7.20

Sistema masa resorte con amortiguación crítica

Una masa de 1 kg estira un resorte 20 cm. El sistema está unido a un amortiguador que imparte una fuerza de amortiguación igual a 14 veces la velocidad instantánea de la masa. Halle la ecuación del movimiento si la masa se libera del equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 m/s.

Punto de control 7.18

Un peso de 1 libra estira un resorte de 6 pulgadas, y el sistema está unido a un amortiguador que imparte una fuerza de amortiguación igual a la mitad de la velocidad instantánea de la masa. Halle la ecuación del movimiento si la masa se libera del reposo en un punto que está 6 pulgadas por debajo del equilibrio.

Caso 3: b2 <4mkb2 <4mk

En este caso, decimos que el sistema está infraamortiguado. La solución general tiene la forma

x(t)=eαt(c1cos(βt)+c2 sen(βt)),x(t)=eαt(c1cos(βt)+c2 sen(βt)),

donde αα es inferior a cero. Los sistemas poco amortiguados oscilan debido a los términos del seno y el coseno en la solución. Sin embargo, el término exponencial acaba dominando, por lo que la amplitud de las oscilaciones disminuye con el tiempo. Figura 7.8 muestra el aspecto del típico comportamiento subamortiguado.

Esta figura es un gráfico oscilante en el que la amplitud es decreciente. En los picos de las amplitudes hay curvas rojas discontinuas que muestran el patrón de una amplitud decreciente. A medida que t aumenta, el eje horizontal se convierte en una asíntota horizontal.
Figura 7.8 Comportamiento de un sistema masa resorte infraamortiguado.

Observe que para todos los sistemas amortiguados, límtx(t)=0.límtx(t)=0. El sistema siempre se aproxima a la posición de equilibrio a lo largo del tiempo.

Ejemplo 7.21

Sistema masa resorte sin amortiguación

Un peso de 16 libras estira un resorte 3,2 pies. Supongamos que la fuerza de amortiguación del sistema es igual a la velocidad instantánea de la masa. Halle la ecuación del movimiento si la masa se libera del reposo en un punto que está a 9 pulgadas por debajo del equilibrio.

Punto de control 7.19

Una masa de 1 kg estira un resorte 49 cm. El sistema se sumerge en un medio que imparte una fuerza de amortiguación igual a cuatro veces la velocidad instantánea de la masa. Halle la ecuación del movimiento si la masa se libera del reposo en un punto a 24 cm por encima del equilibrio.

Ejemplo 7.22

Inicio del capítulo: Modelado de un sistema de suspensión de motocicleta

Esta imagen es un amortiguador de una motocicleta
Figura 7.9 (créditos: modificación de la obra de nSeika, Flickr).

Para los pilotos de motocross, los sistemas de suspensión de sus motocicletas son muy importantes. Los recorridos todoterreno por los que circulan incluyen saltos, y perder el control de la motocicleta al aterrizar podría costarles la carrera.

Este sistema de suspensión puede modelarse como un sistema masa resorte amortiguado. Definimos nuestro marco de referencia con respecto al chasis de la motocicleta. Supongamos que el extremo del amortiguador unido al chasis de la motocicleta es fijo. Entonces, la "masa" en nuestro sistema masa resorte es la rueda de la moto. Medimos la posición de la rueda con respecto al chasis de la motocicleta. Esto puede parecer contraintuitivo, ya que, en muchos casos, es realmente el chasis de la motocicleta el que se mueve, pero este marco de referencia preserva el desarrollo de la ecuación diferencial que se hizo anteriormente. Al igual que en el desarrollo anterior, definimos la dirección descendente como positiva.

Cuando la motocicleta se levanta por su chasis, la rueda cuelga libremente y el resorte se descomprime. Esta es la posición natural del resorte. Cuando la motocicleta se coloca en el suelo y el piloto se monta en ella, el resorte se comprime y el sistema se encuentra en posición de equilibrio (Figura 7.10).

Esta figura tiene dos resortes unidos por encima en un punto fijo. El primer resorte está marcado como "Posición natural" y tiene un resorte sin comprimir que cuelga verticalmente. El segundo resorte está marcado como "Posición de equilibrio" y tiene un resorte comprimido que cuelga verticalmente. La diferencia vertical entre los dos resortes está marcada, "s"
Figura 7.10 Podemos utilizar un sistema masa resorte para modelar la suspensión de una motocicleta.

Este sistema se puede modelar utilizando la misma ecuación diferencial que utilizamos antes:

mx+bx+kx=0.mx+bx+kx=0.

Una motocicleta de motocross pesa 204 libras, y suponemos que el peso del piloto es de 180 libras. Cuando el piloto se monta en la motocicleta, la suspensión se comprime 4 pulgadas y luego llega al equilibrio. El sistema de suspensión proporciona una amortiguación igual a 240 veces la velocidad vertical instantánea de la motocicleta (y del piloto).

  1. Establezca la ecuación diferencial que modela el comportamiento del sistema de suspensión de la motocicleta.
  2. Nos interesa saber qué ocurre cuando la motocicleta aterriza después de dar un salto. Supongamos que el tiempo t=0t=0 indica el momento en que la motocicleta entra en contacto con el suelo por primera vez. Si la motocicleta golpea el suelo con una velocidad de 10 ft/s hacia abajo, halle la ecuación del movimiento de la motocicleta después del salto.
  3. Grafique la ecuación del movimiento durante el primer segundo después de que la motocicleta toque el suelo.

Proyecto de estudiante

Módulo de aterrizaje

La NASA está planeando una misión a Marte. Para ahorrar dinero, los ingenieros han decidido adaptar uno de los módulos de alunizaje para la nueva misión. Sin embargo, les preocupa cómo las diferentes fuerzas gravitacionales afectarán al sistema de suspensión que amortigua la nave cuando toca tierra. La aceleración resultante de la gravedad en la Luna es de 1,6 m/s2, mientras que en Marte es de 3,7 m/s2.

El sistema de suspensión de la nave puede modelarse como un sistema masa resorte amortiguado. En este caso, el resorte está por debajo del módulo de alunizaje, por lo que el resorte está ligeramente comprimido en el equilibrio, como se muestra en la Figura 7.12.

Esta figura tiene tres imágenes. La primera es una imagen del aterrizaje de la Mars Lander en una superficie. La segunda imagen es un diagrama del Mars Lander en el momento del aterrizaje, con un resorte sin comprimir de longitud L entre el Lander y la superficie de aterrizaje. La tercera imagen es un diagrama del Lander en posición de equilibrio después de haber aterrizado. El resorte se comprime una distancia de s.
Figura 7.12 La suspensión del módulo de aterrizaje puede representarse como un sistema masa resorte amortiguado (créditos: "lander": NASA).

Mantenemos la convención de que abajo es positivo. A pesar de la nueva orientación, un examen de las fuerzas que afectan al módulo de aterrizaje muestra que se puede utilizar la misma ecuación diferencial para modelar su posición en relación con el equilibrio:

mx+bx+kx=0,mx+bx+kx=0,

donde m es la masa del módulo de aterrizaje, b es el coeficiente de amortiguación y k es la constante del resorte.

  1. El módulo de aterrizaje tiene una masa de 15.000 kg y el resorte mide 2 m cuando está sin comprimir. El módulo de aterrizaje está diseñado para comprimir el resorte 0,5 m para alcanzar la posición de equilibrio bajo la gravedad lunar. El amortiguador imparte una fuerza de amortiguación igual a 48.000 veces la velocidad instantánea del módulo de aterrizaje. Establezca la ecuación diferencial que modela el movimiento del módulo de aterrizaje cuando la nave aterriza en la luna.
  2. Supongamos que el tiempo t=0t=0 indican el instante en que el módulo de aterrizaje toca tierra. La velocidad de descenso del módulo de aterrizaje puede ser controlada por la tripulación, de modo que descienda a una velocidad de 2 m/s cuando toque tierra. Halle la ecuación de movimiento del módulo de aterrizaje en la luna.
  3. Si el módulo de aterrizaje se desplaza demasiado rápido cuando toca tierra, podría comprimir completamente el resorte y "tocar fondo" El tocar fondo podría dañar el módulo de aterrizaje y debe evitarse a toda costa. Grafique la ecuación del movimiento encontrada en la parte 2. Si el resorte tiene una longitud de 0,5 m cuando está totalmente comprimido, ¿el módulo de aterrizaje corre el riesgo de tocar fondo?
  4. Suponiendo que los ingenieros de la NASA no realicen ningún ajuste en el resorte ni en el amortiguador, ¿hasta dónde comprime el módulo de aterrizaje el resorte para alcanzar la posición de equilibrio bajo la gravedad marciana?
  5. Si la tripulación del módulo de aterrizaje utiliza los mismos procedimientos en Marte que en la Luna, y mantiene la velocidad de descenso a 2 m/s, ¿el módulo de aterrizaje tocará fondo cuando aterrice en Marte?
  6. ¿Qué ajustes, si los hay, deberían hacer los ingenieros de la NASA para utilizar el módulo de aterrizaje de forma segura en Marte?

Vibraciones forzadas

El último caso que consideramos es cuando una fuerza externa actúa sobre el sistema. En el caso del sistema de suspensión de la motocicleta, por ejemplo, los baches de la carretera actúan como una fuerza externa que actúa sobre el sistema. Otro ejemplo es un resorte que cuelga de un soporte; si el soporte se pone en movimiento, ese movimiento se consideraría una fuerza externa sobre el sistema. Modelamos estos sistemas forzados con la ecuación diferencial no homogénea

mx+bx+kx=f(t),mx+bx+kx=f(t),
(7.8)

donde la fuerza externa está representada por el término f(t)f(t). Como vimos en Ecuaciones lineales no homogéneas, las ecuaciones diferenciales como esta tienen soluciones de la forma

x(t)=c1x1(t)+c2 x2 (t)+xp(t),x(t)=c1x1(t)+c2 x2 (t)+xp(t),

donde c1x1(t)+c2 x2 (t)c1x1(t)+c2 x2 (t) es la solución general de la ecuación complementaria y xp(t)xp(t) es una solución particular de la ecuación no homogénea. Si el sistema está amortiguado, límtc1x1(t)+c2 x2 (t)=0.límtc1x1(t)+c2 x2 (t)=0. Como estos términos no afectan al comportamiento a largo plazo del sistema, llamamos a esta parte de la solución solución transitoria. El comportamiento a largo plazo del sistema viene determinado por xp(t),xp(t), por lo que llamamos a esta parte de la solución la solución en estado estacionario.

Medios

Este sitio web muestra una simulación de vibraciones forzadas.

Ejemplo 7.23

Vibraciones forzadas

Una masa de 1 slug estira un resorte 2 pies y llega al equilibrio. El sistema está unido a un amortiguador que imparte una fuerza de amortiguación igual a ocho veces la velocidad instantánea de la masa. Halle la ecuación del movimiento si una fuerza externa igual a f(t)=8sen(4t)f(t)=8sen(4t) se aplica al sistema a partir del momento t=0.t=0. ¿Cuál es la solución transitoria? ¿Cuál es la solución en estado estacionario?

Punto de control 7.20

Una masa de 2 kg está unida a un resorte con constante 32 N/m y llega a reposar en la posición de equilibrio. A partir del tiempo t=0,t=0, una fuerza externa igual af(t)=68e−2tcos(4t)f(t)=68e−2tcos(4t) se aplica al sistema. Halle la ecuación del movimiento si no hay amortiguación. ¿Cuál es la solución transitoria? ¿Cuál es la solución en estado estacionario?

Proyecto de estudiante

Resonancia

Consideremos un sistema no amortiguado que presenta un movimiento armónico simple. En el mundo real, nunca tenemos realmente un sistema sin amortiguación; siempre se produce algún tipo de amortiguación. Sin embargo, a efectos teóricos, podríamos imaginar un sistema masa resorte contenido en una cámara de vacío. Sin la resistencia del aire, la masa continuaría moviéndose hacia arriba y hacia abajo indefinidamente.

La frecuencia del movimiento resultante, dada por f=1T=ω2 π,f=1T=ω2 π, se llama la frecuencia natural del sistema. Si una fuerza externa que actúa sobre el sistema tiene una frecuencia cercana a la frecuencia natural del sistema, se produce un fenómeno llamado resonancia. La fuerza externa refuerza y amplifica el movimiento natural del sistema.

  1. Consideremos la ecuación diferencial x+x=0.x+x=0. Halle la solución general. ¿Cuál es la frecuencia natural del sistema?
  2. Supongamos ahora que este sistema está sometido a una fuerza externa dada por f(t)=5cost.f(t)=5cost. Resuelva el problema de valor inicial x+x=5cost,x+x=5cost, x(0)=0,x(0)=0, x(0)=1.x(0)=1.
  3. Grafique la solución. ¿Qué ocurre con el comportamiento del sistema a lo largo del tiempo?
  4. En el mundo real, siempre hay algo de amortiguación. Sin embargo, si la fuerza de amortiguación es débil y la fuerza externa es lo suficientemente fuerte, los sistemas del mundo real pueden seguir presentando resonancia. Uno de los ejemplos más famosos de resonancia es el derrumbe del puente Tacoma Narrows el 7 de noviembre de 1940. El puente había mostrado un comportamiento extraño desde que se construyó. La calzada tenía un extraño "rebote". El día que se derrumbó, un fuerte temporal de viento hizo que la calzada se retorciera y ondulara violentamente. El puente no pudo resistir estas fuerzas y finalmente se derrumbó. Los expertos creen que el temporal de viento ejerció sobre el puente fuerzas muy cercanas a su frecuencia natural, y la resonancia resultante acabó por destrozarlo

    Medios

    Este sitio web contiene más información sobre el colapso del puente Tacoma Narrows.

    Medios

    Durante el poco tiempo que el puente Tacoma Narrows estuvo en pie, se convirtió en una gran atracción turística. Varias personas se encontraban en el lugar el día en que se derrumbó el puente, y una de ellas captó el derrumbe en una película. Mire el video para ver el colapso.

  5. Otro ejemplo de resonancia en el mundo real es el de una cantante que hace añicos una copa de cristal cuando canta la nota justa. Cuando alguien golpea una copa de cristal o moja un dedo y lo pasa por el borde, se oye un tono. Esa nota es creada por la copa de vino que vibra a su frecuencia natural. Si un cantante canta esa misma nota a un volumen suficientemente alto, el cristal se rompe como resultado de la resonancia

    Medios

    El programa de televisión Cazadores de Mitos emitió un episodio sobre este fenómeno. Adam Savage describió la experiencia. Vea este video para conocer su relato.

El circuito en serie RLC

Considere un circuito eléctrico que contiene un resistor, un inductor y un condensador, como se muestra en la Figura 7.10. Un circuito de este tipo se denomina circuito en serie RLC. Los circuitos RLC se utilizan en muchos sistemas electrónicos, sobre todo como sintonizadores en radios AM/FM. La perilla de sintonía varía la capacitancia del condensador, que a su vez sintoniza la radio. Estos circuitos pueden modelarse mediante ecuaciones diferenciales de segundo orden y coeficiente constante.

Supongamos que I(t)I(t) denota la corriente en el circuito RLC y q(t)q(t) denotan la carga del condensador. Además, supongamos que L denota la inductancia en henrys (H), R denota la resistencia en ohmios (Ω),(Ω), y C denota la capacidad en faradios (F). Por último, supongamos que E(t)E(t) denota el potencial eléctrico en voltios (V).

La regla del voltaje de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje alrededor de cualquier bucle cerrado debe ser cero. Por lo tanto, tenemos que considerar las caídas de voltaje a través del inductor (denotado ELEL), la resistencia (denotada ERER), y el condensador (denotado ECEC). Como el circuito RLC mostrado en la Figura 7.10 incluye una fuente de voltaje, E(t),E(t), que añade voltaje al circuito, tenemos EL+ER+EC=E(t).EL+ER+EC=E(t).

A continuación presentamos las fórmulas sin mayor desarrollo. Los que estén interesados en la derivación de estas fórmulas deben consultar un texto de física. Utilizando la ley de Faraday y la ley de Lenz, se puede demostrar que la caída de voltaje a través de un inductor es proporcional a la tasa instantánea de cambio de la corriente, con la constante de proporcionalidad L. Así,

EL=LdIdt.EL=LdIdt.

A continuación, según la ley de Ohm, la caída de voltaje a través de un resistor es proporcional a la corriente que pasa por el resistor, con la constante de proporcionalidad R. Por lo tanto,

ER=RI.ER=RI.

Por último, la caída de voltaje en un condensador es proporcional a la carga, q, en el condensador, con la constante de proporcionalidad 1/C.1/C. Por lo tanto,

EC=1Cq.EC=1Cq.

Sumando estos términos, obtenemos

LdIdt+RI+1Cq=E(t).LdIdt+RI+1Cq=E(t).

Si observamos que I=(dq)/(dt),I=(dq)/(dt), esto se convierte en

Ld2 qdt2 +Rdqdt+1Cq=E(t).Ld2 qdt2 +Rdqdt+1Cq=E(t).
(7.9)

Matemáticamente, este sistema es análogo a los sistemas masa resorte que hemos estado examinando en esta sección.

Esta figura es el diagrama de un circuito. Tiene líneas discontinuas en la parte inferior marcadas como C. En el lado izquierdo hay un círculo abierto marcado como E. La parte superior tiene líneas diagonales marcadas como R. El lado derecho tiene pequeñas protuberancias marcadas como L.
Figura 7.13 Un circuito en serie RLC puede ser modelado por la misma ecuación diferencial que un sistema masa resorte.

Ejemplo 7.24

El circuito en serie RLC

Calcule la carga en el condensador en un circuito en serie RLC donde L=5/3L=5/3 H, R=10Ω,R=10Ω, C=1/30C=1/30 F y E(t)=300E(t)=300 V. Supongamos que la carga inicial del condensador es de 0 C y la corriente inicial es de 9 A. ¿Qué ocurre con la carga del condensador a lo largo del tiempo?

Punto de control 7.21

Calcule la carga en el condensador en un circuito en serie RLC donde L=1/5L=1/5 H, R=2 /5Ω,R=2 /5Ω, C=1/2 C=1/2 F y E(t)=50E(t)=50 V. Supongamos que la carga inicial del condensador es de 0 C y la corriente inicial es de 4 A.

Sección 7.3 ejercicios

86.

Una masa de 4 libras estira un resorte de 8 pulgadas. Halle la ecuación del movimiento si el resorte se libera de la posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 12 ft/s. ¿Cuál es el periodo y la frecuencia del movimiento?

87.

Una masa que pesa 2 libras estira un resorte 2 pies. Halle la ecuación del movimiento si el resorte se suelta desde 2 in por debajo de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 8 ft/s. ¿Cuál es el periodo y la frecuencia del movimiento?

88.

Una masa de 100 g estira un resorte 0,1 m. Halle la ecuación del movimiento de la masa si se suelta del reposo desde una posición 20 cm por debajo de la posición de equilibrio. ¿Cuál es la frecuencia de este movimiento?

89.

Una masa de 400 g estira un resorte 5 cm. Halle la ecuación del movimiento de la masa si se suelta del reposo desde una posición 15 cm por debajo de la posición de equilibrio. ¿Cuál es la frecuencia de este movimiento?

90.

Un bloque tiene una masa de 9 kg y está unido a un resorte vertical con una constante de un resorte de 0,25 N/m. El bloque se estira 0,75 m por debajo de su posición de equilibrio y se suelta.

  1. Calcule la función de posición x(t)x(t) del bloque.
  2. Calcule el periodo y la frecuencia de la vibración.
  3. Dibuje un gráfico de x(t).x(t).
  4. ¿En qué momento pasa el bloque por primera vez por la posición de equilibrio?
91.

Un bloque tiene una masa de 5 kg y está unido a un resorte vertical con una constante de un resorte de 20 N/m. El bloque se suelta de la posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 10 m/s.

  1. Calcule la función de posición x(t)x(t) del bloque.
  2. Calcule el periodo y la frecuencia de la vibración.
  3. Dibuje un gráfico de x(t).x(t).
  4. ¿En qué momento pasa el bloque por primera vez por la posición de equilibrio?
92.

Una masa de 1 kg está unida a un resorte vertical con una constante de un resorte de 21 N/m. La resistencia en el sistema masa resorte es igual a 10 veces la velocidad instantánea de la masa.

  1. Halle la ecuación del movimiento si la masa se suelta desde una posición 2 m por debajo de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 2 m/s.
  2. Grafique la solución y determine si el movimiento está sobreamortiguado, amortiguado críticamente o subamortiguado.
93.

Una pesa de 800 libras (25 slugs) está unida a un resorte vertical con una constante de un resorte de 226 libras/pies. El sistema se sumerge en un medio que imparte una fuerza de amortiguación igual a 10 veces la velocidad instantánea de la masa.

  1. Halle la ecuación del movimiento si se suelta desde una posición 20 pies por debajo de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 41 ft/s.
  2. Grafique la solución y determine si el movimiento está sobreamortiguado, amortiguado críticamente o subamortiguado.
94.

Una masa de 9 kg está unida a un resorte vertical con una constante de un resorte de 16 N/m. El sistema se sumerge en un medio que imparte una fuerza de amortiguación igual a 24 veces la velocidad instantánea de la masa.

  1. Halle la ecuación del movimiento si se suelta de su posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 4 m/s.
  2. Grafique la solución y determine si el movimiento está sobreamortiguado, amortiguado críticamente o subamortiguado.
95.

Una masa de 1 kg estira un resorte 6,25 cm. La resistencia en el sistema masa resorte es igual a ocho veces la velocidad instantánea de la masa.

  1. Halle la ecuación del movimiento si la masa se suelta desde una posición 5 m por debajo de su posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 10 m/s.
  2. Determine si el movimiento está sobreamortiguado, amortiguado críticamente o subamortiguado.
96.

Una pesa de 32 libras (1 slug) estira un resorte vertical de 4 pulgadas. La resistencia en el sistema masa resorte es igual a cuatro veces la velocidad instantánea de la masa.

  1. Halle la ecuación del movimiento si se suelta de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 12 ft/s.
  2. Determine si el movimiento está sobreamortiguado, amortiguado críticamente o subamortiguado.
97.

Un peso de 64 libras está unido a un resorte vertical con una constante de un resorte de 4,625 libras/pies. La resistencia en el sistema masa resorte es igual a la velocidad instantánea. El peso se pone en movimiento desde una posición 1 ft por debajo de su posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 2 ft/s. ¿La masa está por encima o por debajo de la posición de la ecuación al final de ππ seg? ¿A qué distancia?

98.

Una masa que pesa 8 libras estira un resorte 6 pulgadas. El sistema está sometido a una fuerza externa de 8sen8t8sen8t libras. Si se tira de la masa hacia abajo 3 pulgadas y luego se suelta, determine la posición de la masa en cualquier momento.

99.

Una masa que pesa 6 libras estira un resorte de 3 pulgadas. El sistema está sometido a una fuerza externa de 8sen(4t)8sen(4t) libras. Si se tira de la masa hacia abajo 1 pulgada y luego se suelta, determine la posición de la masa en cualquier momento.

100.

Calcule la carga en el condensador en un circuito en serie RLC donde L=40L=40 H, R=30Ω,R=30Ω, C=1/200C=1/200 F y E(t)=200E(t)=200 V. Supongamos que la carga inicial del condensador es de 7 C y la corriente inicial es de 0 A.

101.

Calcule la carga en el condensador en un circuito en serie RLC donde L=2 L=2 H, R=24Ω,R=24Ω, C=0,005C=0,005 F y E(t)=12sen10tE(t)=12sen10t V. Supongamos que la carga inicial del condensador es de 0,001 C y la corriente inicial es de 0 A.

102.

Un circuito en serie consiste en un dispositivo en el que L=1L=1 H, R=20Ω,R=20Ω, C=0,002C=0,002 F y E(t)=12E(t)=12 V. Si la carga y la corriente iniciales son ambas cero, halle la carga y la corriente en el tiempo t.

103.

Un circuito en serie consiste en un dispositivo en el que L=12 L=12 H, R=10Ω,R=10Ω, C=150C=150 F y E(t)=250E(t)=250 V. Si la carga inicial del condensador es de 0 C y la corriente inicial es de 18 A, halle la carga y la corriente en el tiempo t.

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