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Cálculo volumen 3

7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas

Cálculo volumen 37.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 7.2.1 Escribir la solución general de una ecuación diferencial no homogénea.
  • 7.2.2 Resolver una ecuación diferencial no homogénea por el método de los coeficientes indeterminados.
  • 7.2.3 Resolver una ecuación diferencial no homogénea por el método de variación de parámetros.

En esta sección, examinamos cómo resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. La terminología y los métodos son diferentes de los que utilizamos para las ecuaciones homogéneas, así que vamos a empezar por definir algunos términos nuevos.

Solución general para una ecuación lineal no homogénea

Consideremos la ecuación diferencial lineal no homogénea

a2 (x)y+a1(x)y+a0(x)y=r(x).a2 (x)y+a1(x)y+a0(x)y=r(x).

La ecuación homogénea asociada

a2 (x)y+a1(x)y+a0(x)y=0a2 (x)y+a1(x)y+a0(x)y=0
(7.3)

se denomina ecuación complementaria. Veremos que la resolución de la ecuación complementaria es un paso importante para resolver una ecuación diferencial no homogénea.

Definición

Una solución yp(x)yp(x) de una ecuación diferencial que no contiene constantes arbitrarias se llama solución particular de la ecuación.

Teorema 7.4

Solución general para una ecuación no homogénea

Supongamos que yp(x)yp(x) es cualquier solución particular de la ecuación diferencial no homogénea lineal

a2 (x)y+a1(x)y+a0(x)y=r(x).a2 (x)y+a1(x)y+a0(x)y=r(x).

Además, supongamos que c1y1(x)+c2 y2 (x)c1y1(x)+c2 y2 (x) denota la solución general de la ecuación complementaria. Entonces, la solución general de la ecuación no homogénea viene dada por

y(x)=c1y1(x)+c2 y2 (x)+yp(x).y(x)=c1y1(x)+c2 y2 (x)+yp(x).
(7.4)

Prueba

Para demostrar que y(x)y(x) es la solución general, primero debemos demostrar que resuelve la ecuación diferencial y, segundo, que cualquier solución de la ecuación diferencial puede escribirse en esa forma. Al sustituir y(x)y(x) en la ecuación diferencial, tenemos

a2 (x)y+a1(x)y+a0(x)y=a2 (x)(c1y1+c2 y2 +yp)+a1(x)(c1y1+c2 y2 +yp)+a0(x)(c1y1+c2 y2 +yp)=[a2 (x)(c1y1+c2 y2 )+a1(x)(c1y1+c2 y2 )+a0(x)(c1y1+c2 y2 )]+a2 (x)yp+a1(x)yp+a0(x)yp=0+r(x)=r(x).a2 (x)y+a1(x)y+a0(x)y=a2 (x)(c1y1+c2 y2 +yp)+a1(x)(c1y1+c2 y2 +yp)+a0(x)(c1y1+c2 y2 +yp)=[a2 (x)(c1y1+c2 y2 )+a1(x)(c1y1+c2 y2 )+a0(x)(c1y1+c2 y2 )]+a2 (x)yp+a1(x)yp+a0(x)yp=0+r(x)=r(x).

Así que y(x)y(x) es una solución.

Ahora, supongamos que z(x)z(x) es cualquier solución a a2 (x)y+a1(x)y+a0(x)y=r(x).a2 (x)y+a1(x)y+a0(x)y=r(x). Entonces

a2 (x)(zyp)+a1(x)(zyp)+a0(x)(zyp)=(a2 (x)z+a1(x)z+a0(x)z)(a2 (x)yp+a1(x)yp+a0(x)yp)=r(x)r(x)=0,a2 (x)(zyp)+a1(x)(zyp)+a0(x)(zyp)=(a2 (x)z+a1(x)z+a0(x)z)(a2 (x)yp+a1(x)yp+a0(x)yp)=r(x)r(x)=0,

por lo que z(x)yp(x)z(x)yp(x) es una solución a la ecuación complementaria. Pero, c1y1(x)+c2 y2 (x)c1y1(x)+c2 y2 (x) es la solución general de la ecuación complementaria, por lo que hay constantes c1c1 y c2 c2 tal que

z(x)yp(x)=c1y1(x)+c2 y2 (x).z(x)yp(x)=c1y1(x)+c2 y2 (x).

Por lo tanto, vemos que z(x)=c1y1(x)+c2 y2 (x)+yp(x).z(x)=c1y1(x)+c2 y2 (x)+yp(x).

Ejemplo 7.11

Verificar la solución general

Dado que yp(x)=xyp(x)=x es una solución particular de la ecuación diferencial y+y=x,y+y=x, escriba la solución general y compruebe que la solución satisface la ecuación.

Punto de control 7.10

Dado que yp(x)=−2yp(x)=−2 es una solución particular para y3y4y=8,y3y4y=8, escriba la solución general y verifique que la solución general satisface la ecuación.

En el apartado anterior aprendimos a resolver ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes. Por lo tanto, para las ecuaciones no homogéneas de la forma ay+by+cy=r(x),ay+by+cy=r(x), ya sabemos cómo resolver la ecuación complementaria, y el problema se reduce a hallar una solución particular para la ecuación no homogénea. A continuación examinamos dos técnicas para ello: el método de los coeficientes indeterminados y el método de la variación de los parámetros.

Coeficientes indeterminados

El método de los coeficientes indeterminados consiste en hacer conjeturas sobre la forma de la solución particular basándose en la forma de r(x).r(x). Cuando tomamos derivadas de polinomios, funciones exponenciales, senos y cosenos, obtenemos polinomios, funciones exponenciales, senos y cosenos. Así que cuando r(x)r(x) tiene una de estas formas, es posible que la solución de la ecuación diferencial no homogénea tenga esa misma forma. Veamos algunos ejemplos para ver cómo funciona.

Ejemplo 7.12

Coeficientes indeterminados cuando r(x)r(x) es un polinomio

Halle la solución general de y+4y+3y=3x.y+4y+3y=3x.

En el Ejemplo 7.12, observe que aunque r(x)r(x) no incluía un término constante, era necesario que incluyéramos el término constante en nuestra conjetura. Si hubiéramos asumido una solución de la forma yp=Axyp=Ax (sin término constante), no habríamos podido hallar una solución. (¡Verifique esto!). Si se grafica la función r(x)r(x) es un polinomio, nuestra conjetura para la solución particular debe ser un polinomio del mismo grado, y debe incluir todos los términos de orden inferior, independientemente de que estén presentes en r(x).r(x).

Ejemplo 7.13

Coeficientes indeterminados cuando r(x)r(x) es un exponencial

Halle la solución general de yy2 y=2 e3x.yy2 y=2 e3x.

Punto de control 7.11

Halle la solución general de y4y+4y=7sentcost.y4y+4y=7sentcost.

En el punto de control anterior, r(x)r(x) incluyó los términos del seno y del coseno. Sin embargo, aunque r(x)r(x) incluyó un término de seno solamente o un término de coseno solamente, ambos términos deben estar presentes en la conjetura. El método de los coeficientes indeterminados también funciona con productos de polinomios, exponenciales, senos y cosenos. Algunas de las principales formas de r(x)r(x) y las conjeturas asociadas para yp(x)yp(x) se resumen en la Tabla 7.2.

r(x)r(x) Conjetura inicial para yp(x)yp(x) grandes.
kk (una constante) AA (una constante)
ax+bax+b Ax+BAx+B (Nota: La conjetura debe incluir ambos términos aunque b=0.b=0.)
ax2 +bx+cax2 +bx+c Ax2 +Bx+CAx2 +Bx+C (Nota: La conjetura debe incluir los tres términos aunque bb o cc son cero).
Polinomios de orden superior Polinomio del mismo orden que r(x)r(x) grandes.
aeλxaeλx AeλxAeλx
acosβx+bsenβxacosβx+bsenβx Acosβx+BsenβxAcosβx+Bsenβx (Nota: La conjetura debe incluir ambos términos, incluso si cualquiera de ellos sean a=0a=0 o b=0.b=0.)
aeαxcosβx+beαxsenβxaeαxcosβx+beαxsenβx Aeαxcosβx+BeαxsenβxAeαxcosβx+Beαxsenβx
(ax2 +bx+c)eλx(ax2 +bx+c)eλx (Ax2 +Bx+C)eλx(Ax2 +Bx+C)eλx
(a2 x2 +a1x+a0)cosβx+(b2 x2 +b1x+b0)senβx(a2 x2 +a1x+a0)cosβx+(b2 x2 +b1x+b0)senβx (A2 x2 +A1x+A0)cosβx+(B2 x2 +B1x+B0)senβx(A2 x2 +A1x+A0)cosβx+(B2 x2 +B1x+B0)senβx
(a2 x2 +a1x+a0)eαxcosβx+(b2 x2 +b1x+b0)eαxsenβx(a2 x2 +a1x+a0)eαxcosβx+(b2 x2 +b1x+b0)eαxsenβx (A2 x2 +A1x+A0)eαxcosβx+(B2 x2 +B1x+B0)eαxsenβx(A2 x2 +A1x+A0)eαxcosβx+(B2 x2 +B1x+B0)eαxsenβx
Tabla 7.2 Formas clave del método de los coeficientes indeterminados

Hay que tener en cuenta que este método tiene un inconveniente importante. Consideremos la ecuación diferencial y+5y+6y=3e−2x.y+5y+6y=3e−2x. Con base en la forma de r(x),r(x), adivinamos una solución particular de la forma yp(x)=Ae−2x.yp(x)=Ae−2x. Pero cuando sustituimos esta expresión en la ecuación diferencial para encontrar un valor para A,A, nos encontramos con un problema. Tenemos

yp(x)=−2Ae−2xyp(x)=−2Ae−2x

y

yp=4Ae−2x,yp=4Ae−2x,

por lo que queremos

y+5y+6y=3e−2x4Ae−2x+5(−2Ae−2x)+6Ae−2x=3e−2x4Ae−2x10Ae−2x+6Ae−2x=3e−2x0=3e−2x,y+5y+6y=3e−2x4Ae−2x+5(−2Ae−2x)+6Ae−2x=3e−2x4Ae−2x10Ae−2x+6Ae−2x=3e−2x0=3e−2x,

que no es posible.

Si observamos detenidamente, vemos que, en este caso, la solución general de la ecuación complementaria es c1e−2x+c2 e−3x.c1e−2x+c2 e−3x. La función exponencial en r(x)r(x) es en realidad una solución de la ecuación complementaria, por lo que, como acabamos de ver, todos los términos del lado izquierdo de la ecuación se cancelan. En este caso podemos seguir utilizando el método de los coeficientes indeterminados, pero tenemos que modificar nuestra conjetura multiplicándola porx.x. Usando la nueva conjetura, yp(x)=Axe−2x,yp(x)=Axe−2x, tenemos

yp(x)=A(e−2x2 xe−2x)yp(x)=A(e−2x2 xe−2x)

y

yp(x)=−4Ae−2x+4Axe−2x.yp(x)=−4Ae−2x+4Axe−2x.

La sustitución da como resultado

y+5y+6y=3e−2x(−4Ae−2x+4Axe−2x)+5(Ae−2x2 Axe−2x)+6Axe−2x=3e−2x−4Ae−2x+4Axe−2x+5Ae−2x10Axe−2x+6Axe−2x=3e−2xAe−2x=3e−2x.y+5y+6y=3e−2x(−4Ae−2x+4Axe−2x)+5(Ae−2x2 Axe−2x)+6Axe−2x=3e−2x−4Ae−2x+4Axe−2x+5Ae−2x10Axe−2x+6Axe−2x=3e−2xAe−2x=3e−2x.

Así que, A=3A=3 y yp(x)=3xe−2x.yp(x)=3xe−2x. Esto nos da la siguiente solución general

y(x)=c1e−2x+c2 e−3x+3xe−2x.y(x)=c1e−2x+c2 e−3x+3xe−2x.

Observe que si xe−2xxe−2x fuera también una solución de la ecuación complementaria, tendríamos que multiplicar por xx de nuevo, y trataríamos yp(x)=Ax2 e−2x.yp(x)=Ax2 e−2x.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Método de los coeficientes indeterminados

  1. Resuelva la ecuación complementaria y escriba la solución general.
  2. Con base en la forma de r(x),r(x), haga una conjetura inicial para yp(x).yp(x).
  3. Compruebe si algún término de la conjetura de yp(x)yp(x) es una solución a la ecuación complementaria. Si es así, multiplique la estimación porx.x. Repita este paso hasta que no haya términos en yp(x)yp(x) que resuelven la ecuación complementaria.
  4. Sustituya yp(x)yp(x) en la ecuación diferencial e iguale los términos similares para encontrar los valores de los coeficientes desconocidos en yp(x).yp(x).
  5. Sume la solución general de la ecuación complementaria y la solución particular que acaba de encontrar para obtener la solución general de la ecuación no homogénea.

Ejemplo 7.14

Resolver ecuaciones no homogéneas

Halle las soluciones generales de las siguientes ecuaciones diferenciales.

  1. y9y=−6cos3xy9y=−6cos3x
  2. x+2 x+x=4etx+2 x+x=4et
  3. y2 y+5y=10x2 3x3y2 y+5y=10x2 3x3
  4. y3y=−12ty3y=−12t

Punto de control 7.12

Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

  1. y5y+4y=3exy5y+4y=3ex
  2. y+y6y=52cos2 ty+y6y=52cos2 t

Variación de los parámetros

A veces, r(x)r(x) no es una combinación de polinomios, exponenciales o senos y cosenos. Cuando este es el caso, el método de los coeficientes indeterminados no funciona y tenemos que utilizar otro enfoque para hallar una solución particular a la ecuación diferencial. Utilizamos un enfoque denominado método de variación de los parámetros.

Para simplificar un poco nuestros cálculos, vamos a dividir la ecuación diferencial entre a,a, por lo que tenemos un coeficiente principal de 1. Entonces la ecuación diferencial tiene la forma

y+py+qy=r(x),y+py+qy=r(x),

donde pp y qq son constantes.

Si la solución general de la ecuación complementaria viene dada por c1y1(x)+c2 y2 (x),c1y1(x)+c2 y2 (x), vamos a buscar una solución particular de la forma yp(x)=u(x)y1(x)+v(x)y2 (x).yp(x)=u(x)y1(x)+v(x)y2 (x). En este caso, utilizamos las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación complementaria para formar nuestra solución particular. Sin embargo, estamos asumiendo que los coeficientes son funciones de x, en vez de constantes. Queremos encontrar funciones u(x)u(x) y v(x)v(x) de manera que yp(x)yp(x) satisfagan la ecuación diferencial. Tenemos

yp=uy1+vy2 yp=uy1+uy1+vy2 +vy2 yp=(uy1+vy2 )+uy1+uy1+vy2 +vy2 .yp=uy1+vy2 yp=uy1+uy1+vy2 +vy2 yp=(uy1+vy2 )+uy1+uy1+vy2 +vy2 .

Sustituyendo en la ecuación diferencial, obtenemos

yp+pyp+qyp=[(uy1+vy2 )+uy1+uy1+vy2 +vy2 ]+p[uy1+uy1+vy2 +vy2 ]+q[uy1+vy2 ]=u[y1+py1+qy1]+v[y2 +py2 +qy2 ]+(uy1+vy2 )+p(uy1+vy2 )+(uy1+vy2 ).yp+pyp+qyp=[(uy1+vy2 )+uy1+uy1+vy2 +vy2 ]+p[uy1+uy1+vy2 +vy2 ]+q[uy1+vy2 ]=u[y1+py1+qy1]+v[y2 +py2 +qy2 ]+(uy1+vy2 )+p(uy1+vy2 )+(uy1+vy2 ).

Observe que y1y1 y y2 y2 son soluciones de la ecuación complementaria, por lo que los dos primeros términos son cero. Por lo tanto, tenemos

(uy1+vy2 )+p(uy1+vy2 )+(uy1+vy2 )=r(x).(uy1+vy2 )+p(uy1+vy2 )+(uy1+vy2 )=r(x).

Si simplificamos esta ecuación imponiendo la condición adicional uy1+vy2 =0,uy1+vy2 =0, los dos primeros términos son cero, y esto se reduce a uy1+vy2 =r(x).uy1+vy2 =r(x). Así, con esta condición adicional, tenemos un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas:

uy1+vy2 =0uy1+vy2 =r(x).uy1+vy2 =0uy1+vy2 =r(x).

La resolución de este sistema nos da uu y v,v, que podemos integrar para hallar u y v.

Entonces, yp(x)=u(x)y1(x)+v(x)y2 (x)yp(x)=u(x)y1(x)+v(x)y2 (x) es una solución particular de la ecuación diferencial. Resolver este sistema de ecuaciones, a veces, es un reto, así que aprovechemos para repasar la regla de Cramer, que nos permite resolver el sistema de ecuaciones utilizando determinantes.

Regla: regla de Cramer

El sistema de ecuaciones

a1z1+b1z2 =r1a2 z1+b2 z2 =r2 a1z1+b1z2 =r1a2 z1+b2 z2 =r2

tiene una solución única si y solo si el determinante de los coeficientes es distinto de cero. En este caso, la solución viene dada por

z1=|r1b1r2 b2 ||a1b1a2 b2 |yz2 =|a1r1a2 r2 ||a1b1a2 b2 |.z1=|r1b1r2 b2 ||a1b1a2 b2 |yz2 =|a1r1a2 r2 ||a1b1a2 b2 |.

Ejemplo 7.15

Usar la regla de Cramer

Utilice la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

x2 z1+2 xz2 =0z13x2 z2 =2 xx2 z1+2 xz2 =0z13x2 z2 =2 x

Punto de control 7.13

Utilice la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

2 xz13z2 =0x2 z1+4xz2 =x+12 xz13z2 =0x2 z1+4xz2 =x+1

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Método de variación de los parámetros

  1. Resuelva la ecuación complementaria y escriba la solución general
    c1y1(x)+c2 y2 (x).c1y1(x)+c2 y2 (x).
  2. Utilice la regla de Cramer u otra técnica adecuada para hallar funciones u(x)u(x) y v(x)v(x) que satisfacen
    uy1+vy2 =0uy1+vy2 =r(x).uy1+vy2 =0uy1+vy2 =r(x).
  3. Integre uu y vv para calcular u(x)u(x) y v(x).v(x). Entonces, yp(x)=u(x)y1(x)+v(x)y2 (x)yp(x)=u(x)y1(x)+v(x)y2 (x) es una solución particular de la ecuación.
  4. Sume la solución general de la ecuación complementaria y la solución particular encontrada en el paso 3 para obtener la solución general de la ecuación no homogénea.

Ejemplo 7.16

Usar el método de variación de los parámetros

Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

  1. y2 y+y=ett2 y2 y+y=ett2
  2. y+y=3sen2 xy+y=3sen2 x

Punto de control 7.14

Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

  1. y+y=secxy+y=secx
  2. x2 x+x=ettx2 x+x=ett

Sección 7.2 ejercicios

Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando el método de los coeficientes indeterminados.

54.

2 y 5 y 12 y = 6 2 y 5 y 12 y = 6

55.

3 y + y 4 y = 8 3 y + y 4 y = 8

56.

y 6 y + 5 y = e x y 6 y + 5 y = e x

57.

y + 16 y = e −2 x y + 16 y = e −2 x

58.

y 4 y = x 2 + 1 y 4 y = x 2 + 1

59.

y 4 y + 4 y = 8 x 2 + 4 x y 4 y + 4 y = 8 x 2 + 4 x

60.

y 2 y 3 y = sen 2 x y 2 y 3 y = sen 2 x

61.

y + 2 y + y = sen x + cos x y + 2 y + y = sen x + cos x

62.

y + 9 y = e x cos x y + 9 y = e x cos x

63.

y + y = 3 sen 2 x + x cos 2 x y + y = 3 sen 2 x + x cos 2 x

64.

y + 3 y 28 y = 10 e 4 x y + 3 y 28 y = 10 e 4 x

65.

y + 10 y + 25 y = x e −5 x + 4 y + 10 y + 25 y = x e −5 x + 4

En cada uno de los siguientes problemas,

  1. Escriba la forma de la solución particular yp(x)yp(x) para el método de los coeficientes indeterminados.
  2. [T] Utilice un sistema de álgebra computacional para hallar una solución particular a la ecuación dada.
66.

y y y = x + e x y y y = x + e x

67.

y 3 y = x 2 4 x + 11 y 3 y = x 2 4 x + 11

68.

y y 4 y = e x cos 3 x y y 4 y = e x cos 3 x

69.

2 y y + y = ( x 2 5 x ) e x 2 y y + y = ( x 2 5 x ) e x

70.

4 y + 5 y 2 y = e 2 x + x sen x 4 y + 5 y 2 y = e 2 x + x sen x

71.

y y 2 y = x 2 e x sen x y y 2 y = x 2 e x sen x

Resuelva la ecuación diferencial utilizando el método de los coeficientes indeterminados o el de la variación de los parámetros.

72.

y + 3 y 4 y = 2 e x y + 3 y 4 y = 2 e x

73.

y + 2 y = e 3 x y + 2 y = e 3 x

74.

y + 6 y + 9 y = e x y + 6 y + 9 y = e x

75.

y + 2 y 8 y = 6 e 2 x y + 2 y 8 y = 6 e 2 x

Resuelva la ecuación diferencial utilizando el método de variación de los parámetros.

76.

4 y + y = 2 sen x 4 y + y = 2 sen x

77.

y 9 y = 8 x y 9 y = 8 x

78.

y + y = sec x , 0 < x < π / 2 y + y = sec x , 0 < x < π / 2

79.

y + 4 y = 3 csc 2 x , 0 < x < π / 2 y + 4 y = 3 csc 2 x , 0 < x < π / 2

Halle la única solución que satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales dadas, donde yp(x)yp(x) es la solución particular.

80.

y2 y+y=12ex,y2 y+y=12ex, yp(x)=6x2 ex,yp(x)=6x2 ex, y(0)=6,y(0)=0y(0)=6,y(0)=0

81.

y7y=4xe7x,y7y=4xe7x, yp(x)=2 7x2 e7x449xe7x,yp(x)=2 7x2 e7x449xe7x, y(0)=−1,y(0)=0y(0)=−1,y(0)=0

82.

y+y=cosx4senx,y+y=cosx4senx, yp(x)=2 xcosx+12 xsenx,yp(x)=2 xcosx+12 xsenx, y(0)=8,y(0)=–4y(0)=8,y(0)=–4

83.

y5y=e5x+8e−5x,y5y=e5x+8e−5x, yp(x)=15xe5x+425e−5x,yp(x)=15xe5x+425e−5x, y(0)=–2,y(0)=0y(0)=–2,y(0)=0

En cada uno de los siguientes problemas, dos soluciones linealmente independientes —y1y1 y y2 y2 —-que satisfacen la ecuación homogénea correspondiente. Utilice el método de variación de los parámetros para hallar una solución particular a la ecuación no homogénea dada. Supongamos que x > 0 en cada ejercicio.

84.

x2 y+2 xy2 y=3x,x2 y+2 xy2 y=3x, y1(x)=x,y2 (x)=x−2y1(x)=x,y2 (x)=x−2

85.

x2 y2 y=10x2 1,x2 y2 y=10x2 1, y1(x)=x2 ,y2 (x)=x−1y1(x)=x2 ,y2 (x)=x−1

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