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Cálculo volumen 3

7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden

Cálculo volumen 37.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 7.1.1 Reconocer las ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas lineales.
  • 7.1.2 Determinar la ecuación característica de una ecuación lineal homogénea.
  • 7.1.3 Utilizar las raíces de la ecuación característica para hallar la solución de una ecuación lineal homogénea.
  • 7.1.4 Resolver problemas de valor inicial y de condición de frontera que impliquen ecuaciones diferenciales lineales.

Cuando se trabaja con ecuaciones diferenciales, normalmente, la meta es hallar una solución. En otras palabras, queremos encontrar una función (o funciones) que satisfaga la ecuación diferencial. La técnica que utilizamos para hallar estas soluciones varía según la forma de la ecuación diferencial con la que estamos trabajando. Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen varias características importantes que pueden ayudarnos a determinar qué método de solución utilizar. En esta sección, examinamos algunas de estas características y la terminología asociada.

Ecuaciones lineales homogéneas

Consideremos la ecuación diferencial de segundo orden

xy+2 x2 y+5x3y=0.xy+2 x2 y+5x3y=0.

Observe que y y sus derivadas aparecen en una forma relativamente sencilla. Se multiplican por funciones de x, pero no se elevan a ninguna potencia por sí mismas, ni se multiplican juntas. Como se discutió en Introducción a las ecuaciones diferenciales, se dice que las ecuaciones de primer orden con características similares son lineales. Lo mismo ocurre con las ecuaciones de segundo orden. Observe también que todos los términos de esta ecuación diferencial implican a y o a una de sus derivadas. No hay términos que impliquen solo funciones de x. Las ecuaciones de este tipo, en las que cada término contiene y o una de sus derivadas, se llaman homogéneas.

No todas las ecuaciones diferenciales son homogéneas. Considere la ecuación diferencial

xy+2 x2 y+5x3y=x2 .xy+2 x2 y+5x3y=x2 .

Las intersecciones en x2 x2 a la derecha del signo igual no contiene y ni ninguna de sus derivadas. Por lo tanto, esta ecuación diferencial es no homogénea.

Definición

Una ecuación diferencial de segundo orden es lineal si se puede escribir de la forma

a2 (x)y+a1(x)y+a0(x)y=r(x),a2 (x)y+a1(x)y+a0(x)y=r(x),
(7.1)

donde a2 (x),a2 (x), a1(x),a1(x), a0(x),a0(x), y r(x)r(x) son funciones de valor real y a2 (x)a2 (x) no es idéntico a cero. Si los valores de r(x)0r(x)0, en otras palabras, si r(x)=0r(x)=0 para cada valor de x,se dice que la ecuación es una ecuación lineal homogénea. Si los valores de r(x)0r(x)0 para algún valor de x,x, se dice que la ecuación es una ecuación no homogénea lineal.

Medios

Visite este sitio web para estudiar más sobre las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.

En las ecuaciones diferenciales lineales, yy y sus derivadas solo pueden elevarse a la primera potencia y no pueden multiplicarse entre sí. Los términos que implican y2 y2 o yy hacen que la ecuación no sea lineal. Las funciones de yy y sus derivados, como senyseny o ey,ey, están prohibidos de forma similar en las ecuaciones diferenciales lineales.

Observe que las ecuaciones no siempre se dan en forma estándar (la forma que aparece en la definición). Puede ser útil reescribirlas en esa forma para decidir si son lineales, o si una ecuación lineal es homogénea.

Ejemplo 7.1

Clasificar las ecuaciones de segundo orden

Clasifique cada una de las siguientes ecuaciones como lineales o no lineales. Si la ecuación es lineal, determine además si es homogénea o no homogénea.

  1. y+3x4y+x2 y2 =x3y+3x4y+x2 y2 =x3
  2. (senx)y+(cosx)y+3y=0(senx)y+(cosx)y+3y=0
  3. 4t2 x+3txx+4x=04t2 x+3txx+4x=0
  4. 5y+y=4x55y+y=4x5
  5. (cosx)yseny+(senx)ycosx=0(cosx)yseny+(senx)ycosx=0
  6. 8ty6t2 y+4ty3t2 =08ty6t2 y+4ty3t2 =0
  7. sen(x2 )y(cosx)y+x2 y=y3sen(x2 )y(cosx)y+x2 y=y3
  8. y+5xy3y=cosyy+5xy3y=cosy

Medios

Visite este sitio web que analiza las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Punto de control 7.1

Clasifique cada una de las siguientes ecuaciones como lineales o no lineales. Si la ecuación es lineal, determine además si es homogénea o no homogénea.

  1. (y)2 y+8x3y=0(y)2 y+8x3y=0
  2. (sent)y+cost3ty=0(sent)y+cost3ty=0

Más adelante en esta sección, veremos algunas técnicas para resolver tipos específicos de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, antes de llegar a eso, vamos a conocer cómo se comportan las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales. En muchos casos, la resolución de ecuaciones diferenciales depende de hacer conjeturas sobre el aspecto de la solución. Saber cómo se comportan los distintos tipos de soluciones será útil.

Ejemplo 7.2

Verificar una solución

Consideremos la ecuación diferencial lineal y homogénea

x2 yxy3y=0.x2 yxy3y=0.

Si se observa esta ecuación, se nota que las funciones de los coeficientes son polinomios, con potencias mayores de xx asociados a las derivadas de orden superior de y.y. Demuestre que y=x3y=x3 es una solución de esta ecuación diferencial.

Punto de control 7.2

Demuestre que y=2 x2 y=2 x2 es una solución de la ecuación diferencial

12 x2 yxy+y=0.12 x2 yxy+y=0.

Aunque simplemente hallar cualquier solución a una ecuación diferencial es importante, los matemáticos e ingenieros a menudo quieren ir más allá de hallar una solución a una ecuación diferencial para hallar todas las soluciones de una ecuación diferencial. En otras palabras, queremos hallar una solución general. Al igual que con las ecuaciones diferenciales de primer orden, una solución general (o familia de soluciones) da el conjunto completo de soluciones de una ecuación diferencial. Una diferencia importante entre las ecuaciones de primer orden y las de segundo orden es que, con las ecuaciones de segundo orden, normalmente necesitamos hallar dos soluciones diferentes de la ecuación para hallar la solución general. Si hallamos dos soluciones, entonces cualquier combinación lineal de estas soluciones es también una solución. Enunciamos este hecho como el siguiente teorema.

Teorema 7.1

Principio de superposición

Si los valores de y1(x)y1(x) y de y2 (x)y2 (x) son soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea, entonces la función

y(x)=c1y1(x)+c2 y2 (x),y(x)=c1y1(x)+c2 y2 (x),

donde c1c1 y c2 c2 son constantes, también es una solución.

La demostración de este teorema del principio de superposición se deja como ejercicio.

Ejemplo 7.3

Verificar el principio de superposición

Considere la ecuación diferencial

y4y5y=0.y4y5y=0.

Dado que exex y e5xe5x son soluciones de esta ecuación diferencial, demuestre que 4ex+e5x4ex+e5x es una solución.

Punto de control 7.3

Considere la ecuación diferencial

y+5y+6y=0.y+5y+6y=0.

Dado que e−2xe−2x y e−3xe−3x son soluciones de esta ecuación diferencial, demuestre que 3e−2x+6e−3x3e−2x+6e−3x es una solución.

Desafortunadamente, para hallar la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden, no basta con hallar dos soluciones cualesquiera y luego combinarlas. Considere la ecuación diferencial

x+7x+12x=0.x+7x+12x=0.

Tanto e−3te−3t y 2 e−3t2 e−3t son soluciones (compruebe esto). Sin embargo, x(t)=c1e−3t+c2 (2 e−3t)x(t)=c1e−3t+c2 (2 e−3t) no es la solución general. Esta expresión no tiene en cuenta todas las soluciones de la ecuación diferencial. En particular, no tiene en cuenta la función e−4t,e−4t, que también es una solución de la ecuación diferencial.

Resulta que para hallar la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden, debemos hallar dos soluciones linealmente independientes. Aquí definimos esa terminología.

Definición

Un conjunto de funciones f1(x),f2 (x),…,fn(x)f1(x),f2 (x),…,fn(x) se dice que es linealmente dependiente si hay constantes c1,c2 ,…cn,c1,c2 ,…cn, sin que sean todos cero, de modo que c1f1(x)+c2 f2 (x)++cnfn(x)=0c1f1(x)+c2 f2 (x)++cnfn(x)=0 para todo x en el intervalo de interés. Un conjunto de funciones que no es linealmente dependiente se dice que es linealmente independiente.

En este capítulo, solemos probar conjuntos de solo dos funciones para la independencia lineal, lo que nos permite simplificar esta definición. Desde un punto de vista práctico, vemos que dos funciones son linealmente dependientes si una de ellas es idéntica a cero o si son múltiplos constantes la una de la otra.

Primero demostramos que si las funciones cumplen las condiciones dadas anteriormente, entonces son linealmente dependientes. Si una de las funciones es idéntica a cero, por ejemplo, f2 (x)0f2 (x)0−luego elija c1=0c1=0 y c2 =1,c2 =1, y se cumple la condición de dependencia lineal. Si, por el contrario, ni f1(x)f1(x) ni f2 (x)f2 (x) son idénticos a cero, pero f1(x)=Cf2 (x)f1(x)=Cf2 (x) para alguna constante C,C, y luego elija c1=1Cc1=1C y c2 =−1,c2 =−1, y de nuevo se cumple la condición.

A continuación, demostramos que si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es idéntica a cero o son múltiplos constantes de la otra. Supongamos que f1(x)f1(x) y f2 (x)f2 (x) son linealmente independientes. Luego, hay constantes, c1c1 y c2 ,c2 , no sean ambos cero, de manera que

c1f1(x)+c2 f2 (x)=0c1f1(x)+c2 f2 (x)=0

para todo x en el intervalo de interés. Entonces,

c1f1(x)=c2 f2 (x).c1f1(x)=c2 f2 (x).

Ahora bien, como hemos dicho que c1c1 y c2 c2 no pueden ser ambos cero, asuma c2 0.c2 0. Entonces, hay dos casos: o bien c1=0c1=0 o c10.c10. Si c1=0,c1=0, entonces

0=c2 f2 (x)0=f2 (x),0=c2 f2 (x)0=f2 (x),

por lo que una de las funciones es idéntica a cero. Supongamos ahora que c10.c10. Entonces,

f1(x)=(c2 c1)f2 (x)f1(x)=(c2 c1)f2 (x)

y vemos que las funciones son múltiplos constantes unas de otras.

Teorema 7.2

Dependencia lineal de dos funciones

Dos funciones, f1(x)f1(x) y f2 (x),f2 (x), se dice que son linealmente dependientes si una de ellas es idéntica a cero o si f1(x)=Cf2 (x)f1(x)=Cf2 (x) para alguna constante C y para todo x en el intervalo de interés. Las funciones que no son linealmente dependientes se dice que son linealmente independientes.

Ejemplo 7.4

Probar la dependencia lineal

Determine si los siguientes pares de funciones son linealmente dependientes o linealmente independientes.

  1. f1(x)=x2 ,f1(x)=x2 , f2 (x)=5x2 f2 (x)=5x2
  2. f1(x)=senx,f1(x)=senx, f2 (x)=cosxf2 (x)=cosx
  3. f1(x)=e3x,f1(x)=e3x, f2 (x)=e−3xf2 (x)=e−3x
  4. f1(x)=3x,f1(x)=3x, f2 (x)=3x+1f2 (x)=3x+1

Punto de control 7.4

Determine si los siguientes pares de funciones son linealmente dependientes o linealmente independientes f1(x)=ex,f1(x)=ex, f2 (x)=3e3x.f2 (x)=3e3x.

Si somos capaces de hallar dos soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial de segundo orden, entonces podemos combinarlas para hallar la solución general. Este resultado se enuncia formalmente en el siguiente teorema.

Teorema 7.3

Solución general de una ecuación homogénea

Si los valores de y1(x)y1(x) y de y2 (x)y2 (x) son soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, entonces la solución general viene dada por

y(x)=c1y1(x)+c2 y2 (x),y(x)=c1y1(x)+c2 y2 (x),

donde c1c1 y c2 c2 son constantes.

Cuando decimos que una familia de funciones es la solución general de una ecuación diferencial, queremos decir que (1) toda expresión de esa forma es una solución y (2) toda solución de la ecuación diferencial puede escribirse en esa forma, lo que hace que este teorema sea extremadamente potente. Si podemos hallar dos soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial, habremos hallado todas las soluciones de la ecuación diferencial. La demostración de este teorema está fuera del alcance de este texto.

Ejemplo 7.5

Escribir la solución general

Si los valores de y1(t)=e3ty1(t)=e3t y y2 (t)=e−3ty2 (t)=e−3t son soluciones a y9y=0,y9y=0, ¿cuál es la solución general?

Punto de control 7.5

Si y1(x)=e3xy1(x)=e3x como y2 (x)=xe3xy2 (x)=xe3x son soluciones a y6y+9y=0,y6y+9y=0, ¿cuál es la solución general?

Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes

Ahora que tenemos una mejor idea de las ecuaciones diferenciales lineales, vamos a concentrarnos en la resolución de ecuaciones de segundo orden de la forma

ay+by+cy=0,ay+by+cy=0,
(7.2)

donde a,a, b,b, y cc son constantes.

Como todos los coeficientes son constantes, las soluciones probablemente serán funciones con derivadas que son múltiplos constantes de sí mismas. Necesitamos que todos los términos se cancelen, y si al tomar una derivada se introduce un término que no es un múltiplo constante de la función original, es difícil ver cómo se cancela ese término. Las funciones exponenciales tienen derivadas que son múltiplos constantes de la función original, así que veamos qué ocurre cuando probamos una solución de la forma y(x)=eλx,y(x)=eλx, donde λλ (la letra griega minúscula lambda) es alguna constante.

Si los valores de y(x)=eλx,y(x)=eλx, entonces y(x)=λeλxy(x)=λeλx como y=λ2 eλx.y=λ2 eλx. Sustituyendo estas expresiones en la Ecuación 7.1, obtenemos

ay+by+cy=a(λ2 eλx)+b(λeλx)+ceλx=eλx(aλ2 +bλ+c).ay+by+cy=a(λ2 eλx)+b(λeλx)+ceλx=eλx(aλ2 +bλ+c).

Dado que eλxeλx nunca es cero, esta expresión puede ser igual a cero para todo x solo si

aλ2 +bλ+c=0.aλ2 +bλ+c=0.

Llamamos a esto la ecuación característica de la ecuación diferencial.

Definición

La ecuación característica de la ecuación diferencial ay+by+cy=0ay+by+cy=0 ¿es aλ2 +bλ+c=0.aλ2 +bλ+c=0.

La ecuación característica es muy importante para hallar soluciones a las ecuaciones diferenciales de esta forma. Podemos resolver la ecuación característica mediante la factorización o utilizando la fórmula cuadrática

λ=b±b2 4ac2 a.λ=b±b2 4ac2 a.

Esto da lugar a tres casos. La ecuación característica tiene (1) raíces reales distintas; (2) una única raíz real repetida; o (3) raíces complejas conjugadas. Consideramos cada uno de estos casos por separado.

Raíces reales diferenciadas

Si la ecuación característica tiene raíces reales distintas λ1λ1 y λ2 ,λ2 , entonces eλ1xeλ1x y eλ2 xeλ2 x son soluciones linealmente independientes del Ejemplo 7.1, y la solución general viene dada por

y(x)=c1eλ1x+c2 eλ2 x,y(x)=c1eλ1x+c2 eλ2 x,

donde c1c1 y c2 c2 son constantes.

Por ejemplo, la ecuación diferencial y+9y+14y=0y+9y+14y=0 tiene la ecuación característica asociada λ2 +9λ+14=0.λ2 +9λ+14=0. Esto se factoriza en (λ+2 )(λ+7)=0,(λ+2 )(λ+7)=0, que tiene raíces λ1=−2λ1=−2 y λ2 =−7.λ2 =−7. Por lo tanto, la solución general de esta ecuación diferencial es

y(x)=c1e−2x+c2 e−7x.y(x)=c1e−2x+c2 e−7x.

Raíz real única repetida

Las cosas son un poco más complicadas si la ecuación característica tiene una raíz real repetida, λ.λ. En este caso, sabemos que eλxeλx es una solución de la Ecuación 7.1, pero es solo una solución y necesitamos dos soluciones linealmente independientes para determinar la solución general. Podríamos estar tentados de probar una función de la forma keλx,keλx, donde k es alguna constante, pero no sería linealmente independiente de eλx.eλx. Por lo tanto, vamos a intentar xeλxxeλx como la segunda solución. En primer lugar, hay que tener en cuenta que según la fórmula cuadrática,

λ=b±b2 4ac2 a.λ=b±b2 4ac2 a.

Pero, λλ es una raíz repetida, por lo que b2 4ac=0b2 4ac=0 y λ=b2 a.λ=b2 a. Por lo tanto, si y=xeλx,y=xeλx, tenemos

y=eλx+λxeλxyy=2 λeλx+λ2 xeλx.y=eλx+λxeλxyy=2 λeλx+λ2 xeλx.

Sustituyendo estas expresiones en la Ecuación 7.1, vemos que

ay+by+cy=a(2 λeλx+λ2 xeλx)+b(eλx+λxeλx)+cxeλx=xeλx(aλ2 +bλ+c)+eλx(2 aλ+b)=xeλx(0)+eλx(2 a(b2 a)+b)=0+eλx(0)=0.ay+by+cy=a(2 λeλx+λ2 xeλx)+b(eλx+λxeλx)+cxeλx=xeλx(aλ2 +bλ+c)+eλx(2 aλ+b)=xeλx(0)+eλx(2 a(b2 a)+b)=0+eλx(0)=0.

Esto demuestra que xeλxxeλx es una solución a la Ecuación 7.1. Dado que eλxeλx y xeλxxeλx son linealmente independientes, cuando la ecuación característica tiene una raíz repetida λ,λ, la solución general de la Ecuación 7.1 viene dada por

y(x)=c1eλx+c2 xeλx,y(x)=c1eλx+c2 xeλx,

donde c1c1 y c2 c2 son constantes.

Por ejemplo, la ecuación diferencial y+12y+36y=0y+12y+36y=0 tiene la ecuación característica asociada λ2 +12λ+36=0.λ2 +12λ+36=0. Esto se factoriza en (λ+6)2 =0,(λ+6)2 =0, que tiene una raíz repetida λ=−6.λ=−6. Por lo tanto, la solución general de esta ecuación diferencial es

y(x)=c1e−6x+c2 xe−6x.y(x)=c1e−6x+c2 xe−6x.

Raíces complejas conjugadas

El tercer caso que debemos considerar es cuando b2 4ac<0.b2 4ac<0. En este caso, cuando aplicamos la fórmula cuadrática, estamos sacando la raíz cuadrada de un número negativo. Debemos utilizar el número imaginario i=−1i=−1 para hallar las raíces, que tienen la forma λ1=α+βiλ1=α+βi y λ2 =αβi.λ2 =αβi. El número complejo α+βiα+βi se llama el conjugado de αβi.αβi. Así, vemos que cuando b2 4ac<0,b2 4ac<0, las raíces de nuestra ecuación característica son siempre conjugadas complejas.

Esto nos crea un pequeño problema. Si seguimos el mismo proceso que utilizamos para las raíces reales distintas, utilizando las raíces de la ecuación característica como los coeficientes de los exponentes de las funciones exponenciales, obtenemos las funciones e(α+βi)xe(α+βi)x y e(αβi)xe(αβi)x como nuestras soluciones. Sin embargo, este enfoque plantea problemas. En primer lugar, estas funciones toman valores complejos (imaginarios), y una discusión completa de tales funciones está más allá del alcance de este texto. En segundo lugar, aunque nos sintamos cómodos con las funciones de valor complejo, en este curso no abordamos la idea de una derivada para dichas funciones. Así que, si es posible, nos gustaría hallar dos soluciones de valor real linealmente independientes para la ecuación diferencial. A efectos de este desarrollo, vamos a manipular y diferenciar las funciones e(α+βi)xe(α+βi)x y e(αβi)xe(αβi)x como si fueran funciones de valor real. Para estas funciones en particular, este enfoque es válido desde el punto de vista matemático, pero tenga en cuenta que hay otros casos en los que las funciones de valor complejo no siguen las mismas reglas que las funciones de valor real. Aquellos que estén interesados en una discusión más profunda de las funciones de valor complejo deben consultar un texto de análisis complejo.

Basado en las raíces α±βiα±βi de la ecuación característica, las funciones e(α+βi)xe(α+βi)x y e(αβi)xe(αβi)x son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial y la solución general viene dada por

y(x)=c1e(α+βi)x+c2 e(αβi)x.y(x)=c1e(α+βi)x+c2 e(αβi)x.

Utilizando algunas opciones inteligentes para c1c1 y c2 ,c2 , y un poco de manipulación algebraica, podemos hallar dos soluciones de valor real linealmente independientes a la Ecuación 7.1 y expresar nuestra solución general en esos términos.

Anteriormente nos encontramos con funciones exponenciales con exponentes complejos. Una de las herramientas clave que utilizamos para expresar estas funciones exponenciales en términos de senos y cosenos fue la fórmula de Euler, que nos dice que

eiθ=cosθ+isenθeiθ=cosθ+isenθ

para todos los números reales θ.θ.

Volviendo a la solución general, tenemos

y(x)=c1e(α+βi)x+c2 e(αβi)x=c1eαxeβix+c2 eαxeβix=eαx(c1eβix+c2 eβix).y(x)=c1e(α+βi)x+c2 e(αβi)x=c1eαxeβix+c2 eαxeβix=eαx(c1eβix+c2 eβix).

Aplicando la fórmula de Euler junto con las identidades cos(x)=cosxcos(x)=cosx y sen(x)=senx,sen(x)=senx, obtenemos

y(x)=eαx[c1(cosβx+isenβx)+c2 (cos(βx)+isen(βx))]=eαx[(c1+c2 )cosβx+(c1c2 )isenβx].y(x)=eαx[c1(cosβx+isenβx)+c2 (cos(βx)+isen(βx))]=eαx[(c1+c2 )cosβx+(c1c2 )isenβx].

Ahora, si elegimos c1=c2 =12 ,c1=c2 =12 , el segundo término es cero y obtenemos

y(x)=eαxcosβxy(x)=eαxcosβx

como una solución de valor real a la Ecuación 7.1. Del mismo modo, si elegimos c1=i2 c1=i2 y c2 =i2 ,c2 =i2 , el primer término es cero y obtenemos

y(x)=eαxsenβxy(x)=eαxsenβx

como una segunda solución de valor real, linealmente independiente, de la Ecuación 7.1.

Basándonos en esto, vemos que si la ecuación característica tiene raíces complejas conjugadas α±βi,α±βi, entonces la solución general de la Ecuación 7.1 viene dada por

y(x)=c1eαxcosβx+c2 eαxsenβx=eαx(c1cosβx+c2 senβx),y(x)=c1eαxcosβx+c2 eαxsenβx=eαx(c1cosβx+c2 senβx),

donde c1c1 y c2 c2 son constantes.

Por ejemplo, la ecuación diferencial y2 y+5y=0y2 y+5y=0 tiene la ecuación característica asociada λ2 2 λ+5=0.λ2 2 λ+5=0. Por la fórmula cuadrática, las raíces de la ecuación característica son 1±2 i.1±2 i. Por lo tanto, la solución general de esta ecuación diferencial es

y(x)=ex(c1cos2 x+c2 sen2 x).y(x)=ex(c1cos2 x+c2 sen2 x).

Resumen de resultados

Podemos resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden, lineales y homogéneas, con coeficientes constantes, hallando las raíces de la ecuación característica asociada. La forma de la solución general varía, dependiendo de si la ecuación característica tiene raíces reales distintas; una única raíz real repetida; o raíces complejas conjugadas. Los tres casos se resumen en Tabla 7.1.

Raíces de la ecuación característica Solución general de la ecuación diferencial
Raíces reales distintas, λ1λ1 y λ2 λ2 y(x)=c1eλ1x+c2 eλ2 xy(x)=c1eλ1x+c2 eλ2 x
Una raíz real repetida, λλ y(x)=c1eλx+c2 xeλxy(x)=c1eλx+c2 xeλx
Raíces complejas conjugadas α±βiα±βi y(x)=eαx(c1cosβx+c2 senβx)y(x)=eαx(c1cosβx+c2 senβx)
Tabla 7.1 Resumen de los casos de ecuaciones características

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Usar la ecuación característica para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes

  1. Escriba la ecuación diferencial en la forma ay+by+cy=0.ay+by+cy=0.
  2. Halle la ecuación característica correspondiente aλ2 +bλ+c=0.aλ2 +bλ+c=0.
  3. Factorice la ecuación característica o utilice la fórmula cuadrática para hallar las raíces.
  4. Determine la forma de la solución general en función de si la ecuación característica tiene raíces reales distintas; una única raíz real repetida o raíces complejas conjugadas.

Ejemplo 7.6

Resolver ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes

Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales. Dé sus respuestas como funciones de x.

  1. y+3y4y=0y+3y4y=0
  2. y+6y+13y=0y+6y+13y=0
  3. y+2 y+y=0y+2 y+y=0
  4. y5y=0y5y=0
  5. y16y=0y16y=0
  6. y+16y=0y+16y=0

Punto de control 7.6

Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

  1. y2 y+10y=0y2 y+10y=0
  2. y+14y+49y=0y+14y+49y=0

Problemas de valores iniciales y de valores límite

Hasta ahora, hemos encontrado soluciones generales a ecuaciones diferenciales. Sin embargo, las ecuaciones diferenciales se utilizan a menudo para describir sistemas físicos, y la persona que estudia ese sistema físico suele saber algo sobre el estado de ese sistema en uno o varios momentos. Por ejemplo, si una ecuación diferencial de coeficiente constante está representando hasta qué punto se comprime el amortiguador de una motocicleta, podríamos saber que el piloto está sentado en su motocicleta al comienzo de una carrera, el tiempo t=t0.t=t0. Esto significa que el sistema está en equilibrio, por lo que y(t0)=0,y(t0)=0, y la compresión del amortiguador no cambia, por lo que y(t0)=0.y(t0)=0. Con estas dos condiciones iniciales y la solución general de la ecuación diferencial, podemos hallar la solución específica de la ecuación diferencial que satisface ambas condiciones iniciales. Este proceso se conoce como resolución de un problema de valor inicial (recordemos que hemos hablado de los problemas de valores iniciales en Introducción a las ecuaciones diferenciales). Observe que las ecuaciones de segundo orden tienen dos constantes arbitrarias en la solución general, y por lo tanto requerimos dos condiciones iniciales para hallar la solución al problema de valor inicial.

A veces conocemos el estado del sistema en dos momentos diferentes. Por ejemplo, podemos saber y(t0)=y0y(t0)=y0 y y(t1)=y1.y(t1)=y1. Estas condiciones se llaman condiciones de frontera, y hallar la solución de la ecuación diferencial que satisface las condiciones de frontera se llama resolver un problema de valor límite.

Matemáticos, científicos e ingenieros están interesados en comprender las condiciones en las que un problema de valores iniciales o un problema de valores límite tiene una solución única. Aunque el tratamiento completo de este tema está más allá del alcance de este texto, es útil saber que, en el contexto de las ecuaciones de segundo orden de coeficiente constante, se garantiza que los problemas de valor inicial tienen una solución única, siempre que se proporcionen dos condiciones iniciales. Sin embargo, los problemas de valores límite no se comportan tan bien. Incluso cuando se conocen dos condiciones de frontera, podemos encontrarnos con problemas de valor límite con soluciones únicas, muchas soluciones o ninguna solución.

Ejemplo 7.7

Resolver un problema de valor inicial

Resuelva el siguiente problema de valor inicial y+3y4y=0,y+3y4y=0, y(0)=1,y(0)=1, y(0)=−9.y(0)=−9.

Punto de control 7.7

Resuelva el problema de valor inicial y3y10y=0,y3y10y=0, y(0)=0,y(0)=0, y(0)=7.y(0)=7.

Ejemplo 7.8

Resolver un problema de valor inicial y graficar la solución

Resuelva el siguiente problema de valor inicial y grafique la solución:

y+6y+13y=0,y(0)=0,y(0)=2 y+6y+13y=0,y(0)=0,y(0)=2

Punto de control 7.8

Resuelva el siguiente problema de valor inicial y grafique la solución y2 y+10y=0,y(0)=2 ,y(0)=–1y2 y+10y=0,y(0)=2 ,y(0)=–1

Ejemplo 7.9

Problema de valor inicial que representa un sistema masa resorte

El siguiente problema de valor inicial modela la posición de un objeto con masa unido a un resorte. Los sistemas masa resorte se examinan en detalle en Aplicaciones. La solución de la ecuación diferencial da la posición de la masa con respecto a una posición neutra (de equilibrio) (en metros) en cualquier momento. (Observe que para los sistemas masa resorte de este tipo se acostumbra a definir la dirección descendente como positiva)

y+2 y+y=0,y(0)=1,y(0)=0y+2 y+y=0,y(0)=1,y(0)=0

Resuelva el problema de valor inicial y grafique la solución. ¿Cuál es la posición de la masa en el momento t=2 t=2 seg? ¿A qué velocidad se mueve la masa en el momento t=1t=1 seg? ¿En qué dirección?

Punto de control 7.9

Supongamos que el siguiente problema de valor inicial modela la posición (en pies) de una masa en un sistema masa resorte en un momento dado. Resuelva el problema de valor inicial y grafique la solución. ¿Cuál es la posición de la masa en el momento t=0,3t=0,3 seg? ¿Qué tan rápido se mueve en el momento t=0,1t=0,1 seg? ¿En qué dirección?

y+14y+49y=0,y(0)=0,y(0)=1y+14y+49y=0,y(0)=0,y(0)=1

Ejemplo 7.10

Resolver un problema de valor límite

En el Ejemplo 7.6f., resolvimos la ecuación diferencial y+16y=0y+16y=0 y se encontró que la solución general es y(t)=c1cos4t+c2 sen4t.y(t)=c1cos4t+c2 sen4t. Si es posible, resuelva el problema de valor límite si las condiciones de frontera son las siguientes:

  1. y(0)=0,y(0)=0, y(π4)=0y(π4)=0
  2. y(0)=1,y(0)=1, y(π8)=0y(π8)=0
  3. y(π8)=0,y(π8)=0, y(3π8)=2 y(3π8)=2

Sección 7.1 ejercicios

Clasifique cada una de las siguientes ecuaciones como lineales o no lineales. Si la ecuación es lineal, determine si es homogénea o no homogénea.

1.

x 3 y + ( x 1 ) y 8 y = 0 x 3 y + ( x 1 ) y 8 y = 0

2.

( 1 + y 2 ) y + x y 3 y = cos x ( 1 + y 2 ) y + x y 3 y = cos x

3.

x y + e y y = x x y + e y y = x

4.

y + 4 x y 8 x y = 5 x 2 + 1 y + 4 x y 8 x y = 5 x 2 + 1

5.

y + ( sen x ) y x y = 4 y y + ( sen x ) y x y = 4 y

6.

y + ( x + 3 y ) y = 0 y + ( x + 3 y ) y = 0

En cada uno de los siguientes problemas, verifique que la función dada es una solución de la ecuación diferencial. Utilice una herramienta gráfica para graficar las soluciones particulares para varios valores de c1 y c2. ¿Qué tienen en común las soluciones?

7.

[T]y+2 y3y=0;y+2 y3y=0; y(x)=c1ex+c2 e−3xy(x)=c1ex+c2 e−3x

8.

[T]x2 y2 y3x2 +1=0;x2 y2 y3x2 +1=0; y(x)=c1x2 +c2 x−1+x2 ln(x)+12 y(x)=c1x2 +c2 x−1+x2 ln(x)+12

9.

[T]y+14y+49y=0;y+14y+49y=0; y(x)=c1e−7x+c2 xe−7xy(x)=c1e−7x+c2 xe−7x

10.

[T]6y49y+8y=0;6y49y+8y=0; y(x)=c1ex/6+c2 e8xy(x)=c1ex/6+c2 e8x

Halle la solución general de la ecuación diferencial lineal.

11.

y 3 y 10 y = 0 y 3 y 10 y = 0

12.

y 7 y + 12 y = 0 y 7 y + 12 y = 0

13.

y + 4 y + 4 y = 0 y + 4 y + 4 y = 0

14.

4 y 12 y + 9 y = 0 4 y 12 y + 9 y = 0

15.

2 y 3 y 5 y = 0 2 y 3 y 5 y = 0

16.

3 y 14 y + 8 y = 0 3 y 14 y + 8 y = 0

17.

y + y + y = 0 y + y + y = 0

18.

5 y + 2 y + 4 y = 0 5 y + 2 y + 4 y = 0

19.

y 121 y = 0 y 121 y = 0

20.

8 y + 14 y 15 y = 0 8 y + 14 y 15 y = 0

21.

y + 81 y = 0 y + 81 y = 0

22.

y y + 11 y = 0 y y + 11 y = 0

23.

2 y = 0 2 y = 0

24.

y 6 y + 9 y = 0 y 6 y + 9 y = 0

25.

3 y 2 y 7 y = 0 3 y 2 y 7 y = 0

26.

4 y 10 y = 0 4 y 10 y = 0

27.

36 d 2 y d x 2 + 12 d y d x + y = 0 36 d 2 y d x 2 + 12 d y d x + y = 0

28.

25 d 2 y d x 2 80 d y d x + 64 y = 0 25 d 2 y d x 2 80 d y d x + 64 y = 0

29.

d 2 y d x 2 9 d y d x = 0 d 2 y d x 2 9 d y d x = 0

30.

4 d 2 y d x 2 + 8 y = 0 4 d 2 y d x 2 + 8 y = 0

Resuelva el problema de valor inicial.

31.

y + 5 y + 6 y = 0 , y ( 0 ) = 0 , y ( 0 ) = –2 y + 5 y + 6 y = 0 , y ( 0 ) = 0 , y ( 0 ) = –2

32.

y + 2 y 8 y = 0 , y ( 0 ) = 5 , y ( 0 ) = 4 y + 2 y 8 y = 0 , y ( 0 ) = 5 , y ( 0 ) = 4

33.

y + 4 y = 0 , y ( 0 ) = 3 , y ( 0 ) = 10 y + 4 y = 0 , y ( 0 ) = 3 , y ( 0 ) = 10

34.

y 18 y + 81 y = 0 , y ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = 5 y 18 y + 81 y = 0 , y ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = 5

35.

y y 30 y = 0 , y ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = −16 y y 30 y = 0 , y ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = −16

36.

4 y + 4 y 8 y = 0 , y ( 0 ) = 2 , y ( 0 ) = 1 4 y + 4 y 8 y = 0 , y ( 0 ) = 2 , y ( 0 ) = 1

37.

25 y + 10 y + y = 0 , y ( 0 ) = 2 , y ( 0 ) = 1 25 y + 10 y + y = 0 , y ( 0 ) = 2 , y ( 0 ) = 1

38.

y + y = 0 , y ( π ) = 1 , y ( π ) = −5 y + y = 0 , y ( π ) = 1 , y ( π ) = −5

Resuelva el problema de condición de frontera, si es posible.

39.

y + y 42 y = 0 , y ( 0 ) = 0 , y ( 1 ) = 2 y + y 42 y = 0 , y ( 0 ) = 0 , y ( 1 ) = 2

40.

9 y + y = 0 , y ( 3 π 2 ) = 6 , y ( 0 ) = −8 9 y + y = 0 , y ( 3 π 2 ) = 6 , y ( 0 ) = −8

41.

y + 10 y + 34 y = 0 , y ( 0 ) = 6 , y ( π ) = 2 y + 10 y + 34 y = 0 , y ( 0 ) = 6 , y ( π ) = 2

42.

y + 7 y 60 y = 0 , y ( 0 ) = 4 , y ( 2 ) = 0 y + 7 y 60 y = 0 , y ( 0 ) = 4 , y ( 2 ) = 0

43.

y 4 y + 4 y = 0 , y ( 0 ) = 2 , y ( 1 ) = –1 y 4 y + 4 y = 0 , y ( 0 ) = 2 , y ( 1 ) = –1

44.

y 5 y = 0 , y ( 0 ) = 3 , y ( –1 ) = 2 y 5 y = 0 , y ( 0 ) = 3 , y ( –1 ) = 2

45.

y + 9 y = 0 , y ( 0 ) = 4 , y ( π 3 ) = –4 y + 9 y = 0 , y ( 0 ) = 4 , y ( π 3 ) = –4

46.

4 y + 25 y = 0 , y ( 0 ) = 2 , y ( 2 π ) = –2 4 y + 25 y = 0 , y ( 0 ) = 2 , y ( 2 π ) = –2

47.

Calcule una ecuación diferencial con solución general que sea y=c1ex/5+c2 e−4x.y=c1ex/5+c2 e−4x.

48.

Calcule una ecuación diferencial con solución general que sea y=c1ex+c2 e−4x/3.y=c1ex+c2 e−4x/3.

En cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:

  1. Resuelva el problema de valor inicial.
  2. [T] Utilice una herramienta gráfica para graficar la solución particular.
49.

y + 64 y = 0 ; y ( 0 ) = 3 , y ( 0 ) = 16 y + 64 y = 0 ; y ( 0 ) = 3 , y ( 0 ) = 16

50.

y 2 y + 10 y = 0 y ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = 13 y 2 y + 10 y = 0 y ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = 13

51.

y + 5 y + 15 y = 0 y ( 0 ) = –2 , y ( 0 ) = 7 y + 5 y + 15 y = 0 y ( 0 ) = –2 , y ( 0 ) = 7

52.

(Principio de superposición) Demuestre que si y1(x)y1(x) y de y2 (x)y2 (x) son soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea, y+p(x)y+q(x)y=0,y+p(x)y+q(x)y=0, entonces la función y(x)=c1y1(x)+c2 y2 (x),y(x)=c1y1(x)+c2 y2 (x), donde c1c1 y c2 c2 son constantes, también es una solución.

53.

Demuestre que si a, b y c son constantes positivas, entonces todas las soluciones de la ecuación diferencial lineal de segundo orden ay+by+cy=0ay+by+cy=0 se acercan a cero a medida que x.x. (Sugerencia: Considere tres casos: dos raíces distintas, raíces reales repetidas y raíces complejas conjugadas).

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