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Cálculo volumen 3

Ejercicios de repaso

Cálculo volumen 3Ejercicios de repaso
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Ejercicios de repaso

¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

117.

Si los valores de yy y de zz son ambas soluciones para y+2 y+y=0,y+2 y+y=0, entonces y+zy+z también es una solución.

118.

El siguiente sistema de ecuaciones algebraicas tiene una solución única:

6 z 1 + 3 z 2 = 8 4 z 1 + 2 z 2 = 4 . 6 z 1 + 3 z 2 = 8 4 z 1 + 2 z 2 = 4 .

119.

y=excos(3x)+exsen(2 x)y=excos(3x)+exsen(2 x) es una solución de la ecuación diferencial de segundo orden y+2 y+10=0.y+2 y+10=0.

120.

Para hallar la solución particular de una ecuación diferencial de segundo orden, se necesita una condición inicial.

Clasifique la ecuación diferencial. Determine el orden, si es de línea y, si lo es, si la ecuación diferencial es homogénea o no homogénea. Si la ecuación es homogénea de segundo orden y de línea, halle la ecuación característica.

121.

y 2 y = 0 y 2 y = 0

122.

y3y+2 y=cos(t)y3y+2 y=cos(t) grandes.

123.

( d y d t ) 2 + y y = 1 ( d y d t ) 2 + y y = 1

124.

d 2 y d t 2 + t d y d t + sen 2 ( t ) y = e t d 2 y d t 2 + t d y d t + sen 2 ( t ) y = e t

En los siguientes problemas, halle la solución general.

125.

y + 9 y = 0 y + 9 y = 0

126.

y + 2 y + y = 0 y + 2 y + y = 0

127.

y 2 y + 10 y = 4 x y 2 y + 10 y = 4 x

128.

y = cos ( x ) + 2 y + y y = cos ( x ) + 2 y + y

129.

y + 5 y + y = x + e 2 x y + 5 y + y = x + e 2 x

130.

y = 3 y + x e x y = 3 y + x e x

131.

y x 2 = −3 y 9 4 y + 3 x y x 2 = −3 y 9 4 y + 3 x

132.

y = 2 cos x + y y y = 2 cos x + y y

En los siguientes problemas, halle la solución del problema de valor inicial, si es posible.

133.

y+4y+6y=0,y+4y+6y=0, y(0)=0,y(0)=0, y(0)=2 y(0)=2

134.

y=3ycos(x),y=3ycos(x), y(0)=94,y(0)=94, y(0)=0y(0)=0

En los siguientes problemas, halle la solución del problema de condición de borde.

135.

4y=–6y+2 y,4y=–6y+2 y, y(0)=0,y(0)=0, y(1)=1y(1)=1

136.

y=3xyy,y=3xyy, y(0)=−3,y(0)=−3, y(1)=0y(1)=0

En el siguiente problema, plantee y resuelva la ecuación diferencial.

137.

El movimiento de un péndulo para ángulos pequeños θθ se puede aproximar por d2 θdt2 +gLθ=0,d2 θdt2 +gLθ=0, donde θθ es el ángulo que forma el péndulo con respecto a una línea vertical, g es la aceleración resultante de la gravedad y L es la longitud del péndulo. Halle la ecuación que describe el ángulo del péndulo en el momento t,t, suponiendo un desplazamiento inicial de θ0θ0 y una velocidad inicial de cero.

Los siguientes problemas consideran los "latidos" que se producen cuando el término de forzamiento de una ecuación diferencial provoca amplitudes "lentas" y "rápidas". Consideremos la ecuación diferencial generalay+by=cos(ωt)ay+by=cos(ωt) que gobierna el movimiento no amortiguado. Supongamos que baω.baω.

138.

Halle la solución general de esta ecuación. (Pista: Llame a ω0=b/aω0=b/a).

139.

Suponiendo que el sistema parte del reposo, demuestre que la solución particular puede escribirse como y=2 a(ω02 ω2 )sen(ω0ωt2 )sen(ω0+ωt2 ).y=2 a(ω02 ω2 )sen(ω0ωt2 )sen(ω0+ωt2 ).

140.

[T] Usando sus soluciones derivadas anteriormente, trace la solución del sistema 2 y+9y=cos(2 t)2 y+9y=cos(2 t) en el intervalo t=[–50,50].t=[–50,50]. Halle analíticamente el periodo de las amplitudes rápida y lenta.

En el siguiente problema, plantee y resuelva las ecuaciones diferenciales.

141.

Un cantante de ópera intenta romper un vaso cantando una nota determinada. Las vibraciones del vidrio pueden modelarse mediante y+ay=cos(bt),y+ay=cos(bt), donde y+ay=0y+ay=0 representa la frecuencia natural del vaso y el cantante está forzando las vibraciones a cos(bt).cos(bt). ¿En qué valor bb podría el cantante romper ese cristal? (Nota: Para que el cristal se rompa, las oscilaciones tendrían que ser cada vez más altas).

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