Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Ejercicios de repaso

¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

Si los valores de $y$ y de $z$ son ambas soluciones para $y ″ + 2 y^{'} + y = 0,$ entonces $y + z$ también es una solución.

118.

El siguiente sistema de ecuaciones algebraicas tiene una solución única:

$\begin{matrix} 6 z_{1} + 3 z_{2} = 8 \\ 4 z_{1} + 2 z_{2} = 4 . \end{matrix}$

119.

$y = e^{x} cos (3 x) + e^{x} sen (2 x)$ es una solución de la ecuación diferencial de segundo orden $y ″ + 2 y' + 10 = 0 .$

120.

Para hallar la solución particular de una ecuación diferencial de segundo orden, se necesita una condición inicial.

Clasifique la ecuación diferencial. Determine el orden, si es de línea y, si lo es, si la ecuación diferencial es homogénea o no homogénea. Si la ecuación es homogénea de segundo orden y de línea, halle la ecuación característica.

121.

$y ″ - 2 y = 0$

122.

$y ″ - 3 y + 2 y = cos (t)$ grandes.

123.

${(\frac{d y}{d t})}^{2} + y y^{'} = 1$

124.

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} + t \frac{d y}{d t} + {sen}^{2} (t) y = e^{t}$

En los siguientes problemas, halle la solución general.

125.

$y ″ + 9 y = 0$

126.

$y ″ + 2 y^{'} + y = 0$

127.

$y ″ - 2 y^{'} + 10 y = 4 x$

128.

$y ″ = cos (x) + 2 y^{'} + y$

129.

$y ″ + 5 y + y = x + e^{2 x}$

130.

$y ″ = 3 y^{'} + x e^{– x}$

131.

$y ″ - x^{2} = −3 y^{'} - \frac{9}{4} y + 3 x$

132.

$y ″ = 2 cos x + y^{'} - y$

En los siguientes problemas, halle la solución del problema de valor inicial, si es posible.

133.

$y ″ + 4 y^{'} + 6 y = 0,$ $y (0) = 0,$ $y^{'} (0) = \sqrt{2}$

134.

$y ″ = 3 y - cos (x),$ $y (0) = \frac{9}{4},$ $y^{'} (0) = 0$

En los siguientes problemas, halle la solución del problema de condición de borde.

135.

$4 y^{'} = –6 y + 2 y ″,$ $y (0) = 0,$ $y (1) = 1$

136.

$y ″ = 3 x - y - y^{'},$ $y (0) = −3,$ $y (1) = 0$

En el siguiente problema, plantee y resuelva la ecuación diferencial.

137.

El movimiento de un péndulo para ángulos pequeños $θ$ se puede aproximar por $\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + \frac{g}{L} θ = 0,$ donde $θ$ es el ángulo que forma el péndulo con respecto a una línea vertical, g es la aceleración resultante de la gravedad y L es la longitud del péndulo. Halle la ecuación que describe el ángulo del péndulo en el momento $t,$ suponiendo un desplazamiento inicial de $θ_{0}$ y una velocidad inicial de cero.

Los siguientes problemas consideran los "latidos" que se producen cuando el término de forzamiento de una ecuación diferencial provoca amplitudes "lentas" y "rápidas". Consideremos la ecuación diferencial general $a y ″ + b y = cos (ω t)$ que gobierna el movimiento no amortiguado. Supongamos que $\sqrt{\frac{b}{a}} \neq ω .$

138.

Halle la solución general de esta ecuación. (Pista: Llame a $ω_{0} = \sqrt{b / a}$ ).

139.

Suponiendo que el sistema parte del reposo, demuestre que la solución particular puede escribirse como $y = \frac{2}{a (ω_{0}^{2} - ω^{2})} sen (\frac{ω_{0} - ω t}{2}) sen (\frac{ω_{0} + ω t}{2}) .$

140.

[T] Usando sus soluciones derivadas anteriormente, trace la solución del sistema $2 y ″ + 9 y = cos (2 t)$ en el intervalo $t = [–50, 50] .$ Halle analíticamente el periodo de las amplitudes rápida y lenta.

En el siguiente problema, plantee y resuelva las ecuaciones diferenciales.

141.

Un cantante de ópera intenta romper un vaso cantando una nota determinada. Las vibraciones del vidrio pueden modelarse mediante $y ″ + a y = cos (b t),$ donde $y ″ + a y = 0$ representa la frecuencia natural del vaso y el cantante está forzando las vibraciones a $cos (b t).$ ¿En qué valor $b$ podría el cantante romper ese cristal? (Nota: Para que el cristal se rompa, las oscilaciones tendrían que ser cada vez más altas).