Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidad
Logo de OpenStax
Cálculo volumen 3

Conceptos clave

Cálculo volumen 3Conceptos clave
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Conceptos clave

7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden

  • Las ecuaciones diferenciales de segundo orden pueden clasificarse como lineales o no lineales, homogéneas o no homogéneas.
  • Para hallar una solución general para una ecuación diferencial de segundo orden homogénea, debemos encontrar dos soluciones linealmente independientes. Si los valores de y1(x)y1(x) y de y2 (x)y2 (x) son soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, entonces la solución general viene dada por
    y(x)=c1y1(x)+c2 y2 (x).y(x)=c1y1(x)+c2 y2 (x).
  • Para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, halle las raíces de la ecuación característica. La forma de la solución general varía dependiendo de si la ecuación característica tiene raíces reales distintas, una única raíz real repetida o raíces complejas conjugadas.
  • Las condiciones iniciales o las condiciones de contorno se pueden utilizar para hallar la solución específica de una ecuación diferencial que satisfaga esas condiciones, excepto cuando no hay solución o hay infinitas soluciones.

7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas

  • Para resolver una ecuación diferencial no homogénea lineal de segundo orden, primero hay que hallar la solución general de la ecuación complementaria y luego hallar una solución particular de la ecuación no homogénea.
  • Supongamos que yp(x)yp(x) es cualquier solución particular de la ecuación diferencial no homogénea lineal
    a2 (x)y+a1(x)y+a0(x)y=r(x),a2 (x)y+a1(x)y+a0(x)y=r(x),

    y supongamos que c1y1(x)+c2 y2 (x)c1y1(x)+c2 y2 (x) denota la solución general de la ecuación complementaria. Entonces, la solución general de la ecuación no homogénea viene dada por
    y(x)=c1y1(x)+c2 y2 (x)+yp(x).y(x)=c1y1(x)+c2 y2 (x)+yp(x).
  • Cuando r(x)r(x) es una combinación de polinomios, funciones exponenciales, senos y cosenos, utilice el método de los coeficientes indeterminados para hallar la solución particular. Para utilizar este método, suponga una solución de la misma forma que r(x),r(x), multiplicando por x según sea necesario hasta que la supuesta solución sea linealmente independiente de la solución general de la ecuación complementaria. A continuación, sustituya la supuesta solución en la ecuación diferencial para encontrar los valores de los coeficientes.
  • Cuando r(x)r(x) no es una combinación de polinomios, funciones exponenciales o senos y cosenos, utilice el método de variación de los parámetros para hallar la solución particular. Este método consiste en utilizar la regla de Cramer u otra técnica adecuada para encontrar funciones u(x)u(x) y v(x)v(x) que satisfacen
    uy1+vy2 =0uy1+vy2 =r(x).uy1+vy2 =0uy1+vy2 =r(x).

    Entonces, yp(x)=u(x)y1(x)+v(x)y2 (x)yp(x)=u(x)y1(x)+v(x)y2 (x) es una solución particular de la ecuación diferencial.

7.3 Aplicaciones

  • Las ecuaciones diferenciales de segundo orden de coeficiente constante pueden utilizarse para modelar sistemas masa resorte.
  • Un examen de las fuerzas sobre un sistema masa resorte da como resultado una ecuación diferencial de la forma
    mx+bx+kx=f(t),mx+bx+kx=f(t),

    donde mm representa la masa, bb es el coeficiente de la fuerza de amortiguación, kk es la constante del resorte, y f(t)f(t) representa cualquier fuerza externa neta sobre el sistema.
  • Si los valores de b=0,b=0, no hay ninguna fuerza de amortiguación que actúe sobre el sistema y se produce un movimiento armónico simple. Si los valores de b0,b0, el comportamiento del sistema depende de si b2 4mk>0,b2 4mk>0, b2 4mk=0,b2 4mk=0, o b2 4mk<0.b2 4mk<0.
  • Si b2 4mk>0,b2 4mk>0, el sistema está sobreamortiguado y no presenta un comportamiento oscilatorio.
  • Si los valores de b2 4mk=0,b2 4mk=0, el sistema está amortiguado críticamente. No presenta un comportamiento oscilador, pero cualquier ligera reducción de la amortiguación provocaría un comportamiento oscilador.
  • Si los valores de b2 4mk<0,b2 4mk<0, el sistema está infraamortiguado. Presenta un comportamiento oscilador, pero la amplitud de las oscilaciones disminuye con el tiempo.
  • Si los valores de f(t)0,f(t)0, la solución de la ecuación diferencial es la suma de una solución transitoria y una solución en estado estacionario. La solución en estado estacionario rige el comportamiento a largo plazo del sistema.
  • La carga en el condensador en un circuito en serie RLC también se puede modelar con una ecuación diferencial de segundo orden de coeficiente constante de la forma
    Ld2 qdt2 +Rdqdt+1Cq=E(t),Ld2 qdt2 +Rdqdt+1Cq=E(t),

    donde L es la inductancia, R es la resistencia, C es la capacitancia y E(t)E(t) es la fuente de voltaje.

7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series

  • Las representaciones en serie de las funciones se pueden usar, a veces, para hallar soluciones a ecuaciones diferenciales.
  • Diferencie la serie de potencias término a término y sustitúyala en la ecuación diferencial para hallar las relaciones entre los coeficientes de la serie de potencias.
Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 2 mar. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.