Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Conceptos clave

7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden pueden clasificarse como lineales o no lineales, homogéneas o no homogéneas.
Para hallar una solución general para una ecuación diferencial de segundo orden homogénea, debemos encontrar dos soluciones linealmente independientes. Si los valores de $y_{1} (x)$ y de $y_{2} (x)$ son soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, entonces la solución general viene dada por

$y (x) = c_{1} y_{1} (x) + c_{2} y_{2} (x) .$
Para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, halle las raíces de la ecuación característica. La forma de la solución general varía dependiendo de si la ecuación característica tiene raíces reales distintas, una única raíz real repetida o raíces complejas conjugadas.
Las condiciones iniciales o las condiciones de contorno se pueden utilizar para hallar la solución específica de una ecuación diferencial que satisfaga esas condiciones, excepto cuando no hay solución o hay infinitas soluciones.

7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas

Para resolver una ecuación diferencial no homogénea lineal de segundo orden, primero hay que hallar la solución general de la ecuación complementaria y luego hallar una solución particular de la ecuación no homogénea.
Supongamos que $y_{p} (x)$ es cualquier solución particular de la ecuación diferencial no homogénea lineal

$a_{2} (x) y ″ + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = r (x),$

y supongamos que $c_{1} y_{1} (x) + c_{2} y_{2} (x)$ denota la solución general de la ecuación complementaria. Entonces, la solución general de la ecuación no homogénea viene dada por

$y (x) = c_{1} y_{1} (x) + c_{2} y_{2} (x) + y_{p} (x).$
Cuando $r (x)$ es una combinación de polinomios, funciones exponenciales, senos y cosenos, utilice el método de los coeficientes indeterminados para hallar la solución particular. Para utilizar este método, suponga una solución de la misma forma que $r (x),$ multiplicando por x según sea necesario hasta que la supuesta solución sea linealmente independiente de la solución general de la ecuación complementaria. A continuación, sustituya la supuesta solución en la ecuación diferencial para encontrar los valores de los coeficientes.
Cuando $r (x)$ no es una combinación de polinomios, funciones exponenciales o senos y cosenos, utilice el método de variación de los parámetros para hallar la solución particular. Este método consiste en utilizar la regla de Cramer u otra técnica adecuada para encontrar funciones $u^{'} (x)$ y $v^{'} (x)$ que satisfacen

$\begin{matrix} u^{'} y_{1} + v^{'} y_{2} & = & 0 \\ u^{'} y_{1}^{'} + v^{'} y_{2}^{'} & = & r (x). \end{matrix}$

Entonces, $y_{p} (x) = u (x) y_{1} (x) + v (x) y_{2} (x)$ es una solución particular de la ecuación diferencial.

7.3 Aplicaciones

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden de coeficiente constante pueden utilizarse para modelar sistemas masa resorte.
Un examen de las fuerzas sobre un sistema masa resorte da como resultado una ecuación diferencial de la forma

$m x ″ + b x^{'} + k x = f (t),$

donde $m$ representa la masa, $b$ es el coeficiente de la fuerza de amortiguación, $k$ es la constante del resorte, y $f (t)$ representa cualquier fuerza externa neta sobre el sistema.
Si los valores de $b = 0,$ no hay ninguna fuerza de amortiguación que actúe sobre el sistema y se produce un movimiento armónico simple. Si los valores de $b \neq 0,$ el comportamiento del sistema depende de si $b^{2} - 4 m k > 0,$ $b^{2} - 4 m k = 0,$ o $b^{2} - 4 m k < 0 .$
Si $b^{2} - 4 m k > 0,$ el sistema está sobreamortiguado y no presenta un comportamiento oscilatorio.
Si los valores de $b^{2} - 4 m k = 0,$ el sistema está amortiguado críticamente. No presenta un comportamiento oscilador, pero cualquier ligera reducción de la amortiguación provocaría un comportamiento oscilador.
Si los valores de $b^{2} - 4 m k < 0,$ el sistema está infraamortiguado. Presenta un comportamiento oscilador, pero la amplitud de las oscilaciones disminuye con el tiempo.
Si los valores de $f (t) \neq 0,$ la solución de la ecuación diferencial es la suma de una solución transitoria y una solución en estado estacionario. La solución en estado estacionario rige el comportamiento a largo plazo del sistema.
La carga en el condensador en un circuito en serie RLC también se puede modelar con una ecuación diferencial de segundo orden de coeficiente constante de la forma

$L \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + R \frac{d q}{d t} + \frac{1}{C} q = E (t),$

donde L es la inductancia, R es la resistencia, C es la capacitancia y $E (t)$ es la fuente de voltaje.

7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series

Las representaciones en serie de las funciones se pueden usar, a veces, para hallar soluciones a ecuaciones diferenciales.
Diferencie la serie de potencias término a término y sustitúyala en la ecuación diferencial para hallar las relaciones entre los coeficientes de la serie de potencias.