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Cálculo volumen 3

5.7 Cambio de variables en integrales múltiples

Cálculo volumen 35.7 Cambio de variables en integrales múltiples

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 5.7.1 Determinar la imagen de una región bajo una transformación de variables dada.
  • 5.7.2 Calcular el jacobiano de una transformación dada.
  • 5.7.3 Evaluar una integral doble utilizando un cambio de variables.
  • 5.7.4 Evaluar una integral triple utilizando un cambio de variables.

Recordemos de la Regla de sustitución el método de integración por sustitución. Al evaluar una integral como 2 3x(x2 4)5dx,2 3x(x2 4)5dx, sustituimos u=g(x)=x2 4.u=g(x)=x2 4. Entonces du=2 xdxdu=2 xdx o xdx=12 duxdx=12 du y los límites cambian a u=g(2 )=2 2 4=0u=g(2 )=2 2 4=0 y u=g(3)=94=5.u=g(3)=94=5. Así, la integral se convierte en 0512 u5du0512 u5du y esta integral es mucho más sencilla de evaluar. En otras palabras, al resolver problemas de integración, realizamos las sustituciones adecuadas para obtener una integral mucho más sencilla que la integral original.

También utilizamos esta idea cuando transformamos integrales dobles en coordenadas rectangulares a coordenadas polares y transformamos integrales triples en coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas o esféricas para simplificar los cálculos. De manera más general,

abf(x)dx=cdf(g(u))g(u)du,abf(x)dx=cdf(g(u))g(u)du,

Donde x=g(u),dx=g(u)du,x=g(u),dx=g(u)du, y u=cu=c y u=du=d satisfacen c=g(a)c=g(a) y d=g(b).d=g(b).

Un resultado similar ocurre en las integrales dobles cuando sustituimos x=h(r,θ)=rcosθ,x=h(r,θ)=rcosθ, y=g(r,θ)=rsenθ,y=g(r,θ)=rsenθ, y dA=dxdy=rdrdθ.dA=dxdy=rdrdθ. Entonces obtenemos

Rf(x,y)dA=Sf(rcosθ,rsenθ)rdrdθRf(x,y)dA=Sf(rcosθ,rsenθ)rdrdθ

donde el dominio RR se sustituye por el dominio SS en coordenadas polares. Generalmente, la función que utilizamos para cambiar las variables y hacer la integración más sencilla se llama transformación o mapeo.

Transformaciones planares

Una transformación planar TT es una función que transforma una región GG en un plano en una región RR en otro plano mediante un cambio de variables. Tanto GG como RR son subconjuntos de R2 .R2 . Por ejemplo, la Figura 5.71 muestra una región GG en el plano uv uv transformado en una región RR en el plano xy xy por el cambio de variables x=g(u,v)x=g(u,v) y de y=h(u,v),y=h(u,v), o a veces escribimos x=x(u,v)x=x(u,v) y de y=y(u,v).y=y(u,v). Normalmente, supondremos que cada una de estas funciones tiene primeras derivadas parciales continuas, lo que significa gu,gv,hu,gu,gv,hu, y hvhv existen y también son continuas. La necesidad de este requisito se pondrá de manifiesto en breve.

En el lado izquierdo de esta figura, hay una región G con el punto (u, v) dado en el plano cartesiano u v. Entonces hay una flecha desde este gráfico hasta el lado derecho de la figura marcada con x = g(u, v) y y = h(u, v). En el lado derecho de esta figura hay una región R con el punto (x, y) dado en el plano cartesiano xy.
Figura 5.71 La transformación de una región G G en el plano u v u v en una región R R en el plano x y . x y .

Definición

Una transformación T:GR,T:GR, definida como T(u,v)=(x,y),T(u,v)=(x,y), se dice que es una transformación uno a uno si no hay dos puntos que correspondan al mismo punto de la imagen.

Para demostrar que TT es una transformación uno a uno, suponemos que T(u1,v1)=T(u2 ,v2 )T(u1,v1)=T(u2 ,v2 ) y demostramos que como consecuencia obtenemos (u1,v1)=(u2 ,v2 ).(u1,v1)=(u2 ,v2 ). Si la transformación TT es biunívoca en el dominio G,G, entonces la inversa T–1T–1 existe con el dominio RR de manera que T−1TT−1T y TT−1TT−1 son funciones de identidad.

La Figura 5.71 muestra el mapeo T(u,v)=(x,y)T(u,v)=(x,y) donde xx como yy están relacionados con uu y vv por las ecuaciones x=g(u,v)x=g(u,v) y de y=h(u,v).y=h(u,v). La región GG es el dominio de TT y la región RR es el rango de T,T, también conocida como la imagen de GG bajo la transformación T.T.

Ejemplo 5.65

Determinar cómo funciona la transformación

Supongamos una transformación TT se define como T(r,θ)=(x,y)T(r,θ)=(x,y) donde x=rcosθ,y=rsenθ.x=rcosθ,y=rsenθ. Halle la imagen del rectángulo polar G={(r,θ)|0<r1,0θπ/2 }G={(r,θ)|0<r1,0θπ/2 } en el plano rθ rθ a una región RR en el plano xy .xy . Demuestre que TT es una transformación uno a uno en GG y halle T−1(x,y).T−1(x,y).

Ejemplo 5.66

Hallar la imagen bajo TT

Supongamos que la transformación TT se define por T(u,v)=(x,y)T(u,v)=(x,y) donde x=u2 v2 x=u2 v2 y y=uv.y=uv. Halle la imagen del triángulo en el plano uv uv con vértices (0,0),(0,1),(0,0),(0,1), y (1,1).(1,1).

Punto de control 5.43

Supongamos que una transformación TT se define como T(u,v)=(x,y)T(u,v)=(x,y) donde x=u+v,y=3v.x=u+v,y=3v. Halle la imagen del rectángulo G={(u,v):0u1,0v2 }G={(u,v):0u1,0v2 } del plano uv uv después de la transformación en una región RR en el plano xy .xy . Demuestre que TT es una transformación de uno a uno y halle T−1(x,y).T−1(x,y).

Jacobianos

Recordemos que hemos mencionado al principio de esta sección que cada una de las funciones componentes debe tener primeras derivadas parciales continuas, lo que significa que gu,gv,hu,gu,gv,hu, y hvhv existen y también son continuas. Una transformación que tiene esta propiedad se llama transformación C1C1 (aquí CC denota continuidad). Supongamos que T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)), donde x=g(u,v)x=g(u,v) y de y=h(u,v),y=h(u,v), es una transformación uno a uno C1C1. Queremos ver cómo transforma una pequeña región rectangular S,S, ΔuΔu unidades por ΔvΔv unidades, en el uv uv (vea la siguiente figura).

En el lado izquierdo de esta figura, hay una región S con el vértice inferior derecho (u subíndice 0, v subíndice 0), altura Delta v, y longitud Delta u dada en el plano cartesiano u v. Entonces hay una flecha desde este gráfico hasta el lado derecho de la figura marcada con T. En el lado derecho de esta figura hay una región R con el punto (x subíndice 0, y subíndice 0) dado en el plano cartesiano x y con los lados r(u, v subíndice 0) por la parte inferior y r(u subíndice 0, v) por la izquierda.
Figura 5.74 Un pequeño rectángulo S S en el plano u v u v se transforma en una región R R en el plano x y . x y .

Dado que x=g(u,v)x=g(u,v) y de y=h(u,v),y=h(u,v), tenemos el vector de posición r(u,v)=g(u,v)i+h(u,v)jr(u,v)=g(u,v)i+h(u,v)j de la imagen del punto (u,v).(u,v). Supongamos que (u0,v0)(u0,v0) es la coordenada del punto de la esquina inferior izquierda que se mapea en (x0,y0)=T(u0,v0).(x0,y0)=T(u0,v0). La línea v=v0v=v0 mapea a la curva de la imagen con la función vectorial r(u,v0),r(u,v0), y el vector tangente en (x0,y0)(x0,y0) a la curva de la imagen es

ru=gu(u0,v0)i+hu(u0,v0)j=xui+yuj.ru=gu(u0,v0)i+hu(u0,v0)j=xui+yuj.

Del mismo modo, la línea u=u0u=u0 mapea a la curva de la imagen con la función vectorial r(u0,v),r(u0,v), y el vector tangente en (x0,y0)(x0,y0) a la curva de la imagen es

rv=gv(u0,v0)i+hv(u0,v0)j=xvi+yvj.rv=gv(u0,v0)i+hv(u0,v0)j=xvi+yvj.

Ahora bien, observe que

ru=límΔu0r(u0+Δu,v0)r(u0,v0)Δupor lo quer(u0+Δu,v0)r(u0,v0)Δuru.ru=límΔu0r(u0+Δu,v0)r(u0,v0)Δupor lo quer(u0+Δu,v0)r(u0,v0)Δuru.

De la misma manera,

rv=límΔv0r(u0,v0+Δv)r(u0,v0)Δvpor lo quer(u0,v0+Δv)r(u0,v0)Δvrv.rv=límΔv0r(u0,v0+Δv)r(u0,v0)Δvpor lo quer(u0,v0+Δv)r(u0,v0)Δvrv.

Esto nos permite estimar el área ΔAΔA de la imagen RR hallando el área del paralelogramo formado por los lados ΔvrvΔvrv y Δuru.Δuru. Utilizando el producto vectorial de estos dos vectores sumando el componente k−ésimo como 0,0, el área ΔAΔA de la imagen RR (consulte El producto vectorial) es aproximadamente |Δuru×Δvrv|=|ru×rv|ΔuΔv.|Δuru×Δvrv|=|ru×rv|ΔuΔv. En forma de determinante, el producto vectorial es

ru×rv=|ijkxuyu0xvyv0|=|xuyuxvyv|k=(xuyvxvyu)k.ru×rv=|ijkxuyu0xvyv0|=|xuyuxvyv|k=(xuyvxvyu)k.

Dado que |k|=1,|k|=1, tenemos ΔA|ru×rv|ΔuΔv=(xuyvxvyu)ΔuΔv.ΔA|ru×rv|ΔuΔv=(xuyvxvyu)ΔuΔv.

Definición

El jacobiano de la transformación C1C1, T(u,v)=(g(u,v),h(u,v))T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)) se denota por J(u,v)J(u,v) y está definido por el determinante 2 ×2 2 ×2

J(u,v)=|(x,y)(u,v)|=|xuyuxvyv|=(xuyvxvyu).J(u,v)=|(x,y)(u,v)|=|xuyuxvyv|=(xuyvxvyu).

Utilizando la definición, tenemos

ΔAJ(u,v)ΔuΔv=|(x,y)(u,v)|ΔuΔv.ΔAJ(u,v)ΔuΔv=|(x,y)(u,v)|ΔuΔv.

Observe que el jacobiano se suele denotar simplemente por

J(u,v)=(x,y)(u,v).J(u,v)=(x,y)(u,v).

Observe también que

|xuyuxvyv|=(xuyvxvyu)=|xuxvyuyv|.|xuyuxvyv|=(xuyvxvyu)=|xuxvyuyv|.

De ahí la notación J(u,v)=(x,y)(u,v)J(u,v)=(x,y)(u,v) sugiere que podemos escribir el determinante jacobiano con parciales de xx en la primera fila y los parciales de yy en la segunda fila.

Ejemplo 5.67

Hallar el jacobiano

Halle el jacobiano de la transformación dada en el Ejemplo 5.65.

Ejemplo 5.68

Hallar el jacobiano

Halle el jacobiano de la transformación dada en el Ejemplo 5.66.

Punto de control 5.44

Halle el jacobiano de la transformación dada en el punto de control anterior T(u,v)=(u+v,2 v).T(u,v)=(u+v,2 v).

Cambio de variables para integrales dobles

Ya hemos visto que, bajo el cambio de variables T(u,v)=(x,y)T(u,v)=(x,y) donde x=g(u,v)x=g(u,v) y de y=h(u,v),y=h(u,v), una pequeña región ΔAΔA en el plano xy xy está relacionado con el área formada por el producto ΔuΔvΔuΔv en el plano uv uv por la aproximación

ΔAJ(u,v)Δu,Δv.ΔAJ(u,v)Δu,Δv.

Ahora volvamos a la definición de integral doble por un minuto:

Rf(x,y)dA=límm,ni=1mj=1nf(xij,yij)ΔA.Rf(x,y)dA=límm,ni=1mj=1nf(xij,yij)ΔA.

Consultando la Figura 5.75, observe que hemos dividido la región SS en el plano uv uv en pequeños subrectángulos SijSij y dejamos que los subrectángulos RijRij en el plano xy xy sean las imágenes de SijSij bajo la transformación T(u,v)=(x,y).T(u,v)=(x,y).

En el lado izquierdo de esta figura, hay un rectángulo S con un óvalo rojo inscrito y un subrectángulo con el punto de la esquina inferior derecha (u subíndice ij, v subíndice ij), altura Delta v y longitud Delta u dados en el plano cartesiano u v. Entonces hay una flecha desde este gráfico hasta el lado derecho de la figura marcada con T. En el lado derecho de esta figura hay una región R con óvalo rojo inscrito (deformado) y un subrectángulo R subíndice ij con punto de esquina (x subíndice ij, y subíndice ij) dado en el plano cartesiano x y. El subrectángulo se amplía y se muestra con vectores que apuntan a lo largo del borde desde el punto de la esquina.
Figura 5.75 Los subrectángulos S i j S i j en el plano u v u v se transforman en subrectángulos R i j R i j en el plano x y . x y .

Entonces la integral doble se convierte en

Rf(x,y)dA=límm,ni=1mj=1nf(xij,yij)ΔA=límm,ni=1mj=1nf(g(uij,vij),h(uij,vij))|J(uij,vij)|ΔuΔv.Rf(x,y)dA=límm,ni=1mj=1nf(xij,yij)ΔA=límm,ni=1mj=1nf(g(uij,vij),h(uij,vij))|J(uij,vij)|ΔuΔv.

Observe que esto es exactamente la suma doble de Riemann para la integral

Sf(g(u,v),h(u,v))|(x,y)(u,v)|dudv.Sf(g(u,v),h(u,v))|(x,y)(u,v)|dudv.

Teorema 5.14

Cambio de variables para integrales dobles

Supongamos que T(u,v)=(x,y)T(u,v)=(x,y) donde x=g(u,v)x=g(u,v) y de y=h(u,v)y=h(u,v) es una transformación uno a uno C1C1, con un jacobiano no nulo en el interior de la región SS en el plano uv;uv; mapea SS en la región RR en el plano xy .xy . Si ff es continuo en R,R, entonces

Rf(x,y)dA=Sf(g(u,v),h(u,v))|(x,y)(u,v)|dudv.Rf(x,y)dA=Sf(g(u,v),h(u,v))|(x,y)(u,v)|dudv.

Con este teorema para integrales dobles, podemos cambiar las variables de (x,y)(x,y) al (u,v)(u,v) en una integral doble simplemente sustituyendo

dA=dxdy=|(x,y)(u,v)|dudvdA=dxdy=|(x,y)(u,v)|dudv

cuando utilizamos las sustituciones x=g(u,v)x=g(u,v) y de y=h(u,v)y=h(u,v) y luego cambiar los límites de integración en consecuencia. Este cambio de variables suele simplificar mucho los cálculos.

Ejemplo 5.69

Cambiar variables de coordenadas rectangulares a polares

Considere la integral

02 02 xx2 x2 +y2 dydx.02 02 xx2 x2 +y2 dydx.

Utilice el cambio de variables x=rcosθx=rcosθ y y=rsenθ,y=rsenθ, y calcule la integral resultante.

Punto de control 5.45

Considerando la integral 0101x2 (x2 +y2 )dydx,0101x2 (x2 +y2 )dydx, utilice el cambio de variables x=rcosθx=rcosθ y y=rsenθ,y=rsenθ, y calcule la integral resultante.

Observe en el siguiente ejemplo que la región sobre la que vamos a integrar puede sugerir una transformación adecuada para la integración. Esta es una situación común e importante.

Ejemplo 5.70

Cambiar variables

Considere la integral R(xy)dydx,R(xy)dydx, donde RR es el paralelogramo que une los puntos (1,2 ),(1,2 ), (3,4),(4,3),(3,4),(4,3), y (6,5)(6,5) (Figura 5.77). Haga los cambios de variables apropiados y escriba la integral resultante.

Un paralelogramo R con los vértices (1, 2), (3, 4), (6, 5) y (4, 3).
Figura 5.77 La región de integración para la integral dada.

Punto de control 5.46

Realice los cambios adecuados de las variables en la integral R4(xy)2 dydx,R4(xy)2 dydx, donde RR es el trapecio limitado por las líneas xy=2 ,xy=4,x=0,yy=0.xy=2 ,xy=4,x=0,yy=0. Escriba la integral resultante.

Estamos preparados para dar una estrategia de resolución de problemas de cambio de variables.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Cambio de variables

  1. Dibuje la región dada por el problema en el plano xy xy y luego escriba las ecuaciones de las curvas que forman el borde.
  2. En función de la región o de la integración, elija las transformaciones x=g(u,v)x=g(u,v) y de y=h(u,v).y=h(u,v).
  3. Determine los nuevos límites de integración en el plano uv .uv .
  4. Halle el jacobiano J(u,v).J(u,v).
  5. En la integración, sustituya las variables para obtener el nuevo integrando.
  6. Sustituya dydxdydx o dxdy,dxdy, lo que ocurra, por J(u,v)dudv.J(u,v)dudv.

En el siguiente ejemplo, hallamos una sustitución que hace que la integración sea mucho más sencilla de calcular.

Ejemplo 5.71

Evaluar una integral

Utilizando el cambio de variables u=xyu=xy y v=x+y,v=x+y, evalúe la integral

R(xy)ex2 y2 dA,R(xy)ex2 y2 dA,

donde RR es la región delimitada por las líneas x+y=1x+y=1 y x+y=3x+y=3 y las curvas x2 y2 =–1x2 y2 =–1 y x2 y2 =1x2 y2 =1 (vea la primera región en la Figura 5.79).

Punto de control 5.47

Usando las sustituciones x=vx=v y y=u+v,y=u+v, evalúe la integral Rysen(y2 x)dARysen(y2 x)dA donde RR es la región delimitada por las líneas y=x,x=2 ,yy=0.y=x,x=2 ,yy=0.

Cambiar variables para integrales triples

Cambiar variables en las integrales triples funciona exactamente igual. Las sustituciones de coordenadas cilíndricas y esféricas son casos especiales de este método, que demostramos aquí.

Supongamos que GG es una región en el espacio uvw uvw y se asigna a DD en el espacio xyz xyz (Figura 5.80) por una transformación uno a uno C1C1, T(u,v,w)=(x,y,z)T(u,v,w)=(x,y,z) donde x=g(u,v,w),x=g(u,v,w), y=h(u,v,w),y=h(u,v,w), y z=k(u,v,w).z=k(u,v,w).

En el lado izquierdo de esta figura, hay una región G en el espacio u v w. Entonces hay una flecha desde este gráfico a la derecha de la figura marcada con x = g(u, v, w), y = h(u, v, w) y z = k(u, v, w). En la parte derecha de esta figura hay una región D en el espacio xyz.
Figura 5.80 Una región G G en u v w u v w asignada a una región D D en el espacio x y z . x y z .

Entonces cualquier función F(x,y,z)F(x,y,z) definida en DD puede considerarse como otra función H(u,v,w)H(u,v,w) que se define en G:G:

F(x,y,z)=F(g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w))=H(u,v,w).F(x,y,z)=F(g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w))=H(u,v,w).

Ahora tenemos que definir el jacobiano para tres variables.

Definición

El determinante jacobiano J(u,v,w)J(u,v,w) en tres variables se define como sigue:

J(u,v,w)=|xuyuzuxvyvzvxwywzw|.J(u,v,w)=|xuyuzuxvyvzvxwywzw|.

Esto es también lo mismo que

J(u,v,w)=|xuxvxwyuyvywzuzvzw|.J(u,v,w)=|xuxvxwyuyvywzuzvzw|.

El jacobiano también se puede denotar simplemente como (x,y,z)(u,v,w).(x,y,z)(u,v,w).

Con las transformaciones y el jacobiano para tres variables, estamos listos para establecer el teorema que describe el cambio de variables para integrales triples.

Teorema 5.15

Cambiar variables para integrales triples

Supongamos que T(u,v,w)=(x,y,z)T(u,v,w)=(x,y,z) donde x=g(u,v,w),y=h(u,v,w),x=g(u,v,w),y=h(u,v,w), y z=k(u,v,w),z=k(u,v,w), es una transformación uno a uno C1C1, con un jacobiano no nulo, que mapea la región GG en el plano uvw uvw en la región DD en el plano xyz .xyz . Como en el caso bidimensional, si FF es continuo en D,D, entonces

RF(x,y,z)dV=GF(g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w))|(x,y,z)(u,v,w)|dudvdw=GH(u,v,w)|J(u,v,w)|dudvdw.RF(x,y,z)dV=GF(g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w))|(x,y,z)(u,v,w)|dudvdw=GH(u,v,w)|J(u,v,w)|dudvdw.

Veamos ahora cómo los cambios en las integrales triples para coordenadas cilíndricas y esféricas se ven afectados por este teorema. Esperamos obtener las mismas fórmulas que en Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.

Ejemplo 5.72

Obtener fórmulas en integrales triples para coordenadas cilíndricas y esféricas

Derive la fórmula en integrales triples para

  1. coordinadas cilíndrica y
  2. coordenadas esféricas.

Intentemos otro ejemplo con una sustitución diferente.

Ejemplo 5.73

Evaluar una integral triple con cambio de variables

Evalúe la integral triple

0304y/2 (y/2 )+1(x+z3)dxdydz0304y/2 (y/2 )+1(x+z3)dxdydz

en xyz xyz utilizando la transformación

u=(2 xy)/2 ,v=y/2 ,yw=z/3.u=(2 xy)/2 ,v=y/2 ,yw=z/3.

A continuación, integre sobre una región apropiada en el espacio uvw .uvw .

Punto de control 5.48

Supongamos que DD es la región en el espacio xyz xyz definidas por 1x2 ,0xy2 ,y0z1.1x2 ,0xy2 ,y0z1.

Evalúe D(x2 y+3xyz)dxdydzD(x2 y+3xyz)dxdydz utilizando la transformación u=x,v=xy,u=x,v=xy, y w=3z.w=3z.

Sección 5.7 ejercicios

En los siguientes ejercicios, la función T:SR,T(u,v)=(x,y)T:SR,T(u,v)=(x,y) en la región S={(u,v)|0u1,0v1}S={(u,v)|0u1,0v1} delimitado por el cuadrado unitario, donde RR2 RR2 es la imagen de SS bajo T.T.

  1. Justifique que la función TT es una matriz C1C1.
  2. Halle las imágenes de los vértices del cuadrado unitario SS a través de la función T.T.
  3. Determine la imagen RR del cuadrado de la unidad SS y grafique.
356.

x = 2 u , y = 3 v x = 2 u , y = 3 v

357.

x = u 2 , y = v 3 x = u 2 , y = v 3

358.

x = u v , y = u + v x = u v , y = u + v

359.

x = 2 u v , y = u + 2 v x = 2 u v , y = u + 2 v

360.

x = u 2 , y = v 2 x = u 2 , y = v 2

361.

x = u 3 , y = v 3 x = u 3 , y = v 3

En los siguientes ejercicios, determine si las transformaciones T:SRT:SR son uno a uno o no.

362.

x=u2 ,y=v2 ,dondeSx=u2 ,y=v2 ,dondeS es el rectángulo de vértices (–1,0),(1,0),(1,1),y(–1,1).(–1,0),(1,0),(1,1),y(–1,1).

363.

x=u4,y=u2 +v,dondeSx=u4,y=u2 +v,dondeS es el triángulo de vértices (–2,0),(2 ,0),y(0,2 ).(–2,0),(2 ,0),y(0,2 ).

364.

x=2 u,y=3v,dondeSx=2 u,y=3v,dondeS es el cuadrado de los vértices (–1,1),(–1,–1),(1,–1),y(1,1).(–1,1),(–1,–1),(1,–1),y(1,1).

365.

T(u,v)=(2 uv,u),T(u,v)=(2 uv,u), donde SS es el triángulo de vértices (–1,1),(–1,–1),y(1,–1).(–1,1),(–1,–1),y(1,–1).

366.

x=u+v+w,y=u+v,z=w,x=u+v+w,y=u+v,z=w, donde S=R=R3.S=R=R3.

367.

x=u2 +v+w,y=u2 +v,z=w,x=u2 +v+w,y=u2 +v,z=w, donde S=R=R3.S=R=R3.

En los siguientes ejercicios, las transformaciones T:SRT:SR son uno a uno. Halle sus transformaciones inversas relacionadas T−1:RS.T−1:RS.

368.

x=4u,y=5v,x=4u,y=5v, donde S=R=R2 .S=R=R2 .

369.

x=u+2 v,y=u+v,x=u+2 v,y=u+v, donde S=R=R2 .S=R=R2 .

370.

x=e2 u+v,y=euv,x=e2 u+v,y=euv, donde S=R2 S=R2 y R={(x,y)|x>0,y>0}R={(x,y)|x>0,y>0}

371.

x=lnu,y=ln(uv),x=lnu,y=ln(uv), donde S={(u,v)|u>0,v>0}S={(u,v)|u>0,v>0} y R=R2 .R=R2 .

372.

x=u+v+w,y=3v,z=2 w,x=u+v+w,y=3v,z=2 w, donde S=R=R3.S=R=R3.

373.

x=u+v,y=v+w,z=u+w,x=u+v,y=v+w,z=u+w, donde S=R=R3.S=R=R3.

En los siguientes ejercicios, la transformación T:SR,T(u,v)=(x,y)T:SR,T(u,v)=(x,y) y la región RR2 RR2 están dados. Halle la región SR2 .SR2 .

374.

x=au,y=bv,R={(x,y)|x2 +y2 a2 b2 },x=au,y=bv,R={(x,y)|x2 +y2 a2 b2 }, donde a,b>0a,b>0

375.

x=au,y=bv,R={(x,y)|x2 a2 +y2 b2 1},x=au,y=bv,R={(x,y)|x2 a2 +y2 b2 1}, donde a,b>0a,b>0

376.

x=ua,y=vb,z=wc,x=ua,y=vb,z=wc, R={(x,y)|x2 +y2 +z2 1},R={(x,y)|x2 +y2 +z2 1}, donde a,b,c>0a,b,c>0

377.

x=au,y=bv,z=cw,R={(x,y)|x2 a2 y2 b2 z2 c2 1,z>0},x=au,y=bv,z=cw,R={(x,y)|x2 a2 y2 b2 z2 c2 1,z>0}, donde a,b,c>0a,b,c>0

En los siguientes ejercicios, halle el jacobiano JJ de la transformación.

378.

x = u + 2 v , y = u + v x = u + 2 v , y = u + v

379.

x = u 3 2 , y = v u 2 x = u 3 2 , y = v u 2

380.

x = e 2 u v , y = e u + v x = e 2 u v , y = e u + v

381.

x = u e v , y = e v x = u e v , y = e v

382.

x=ucos(ev),y=usen(ev)x=ucos(ev),y=usen(ev) grandes.

383.

x=vsen(u2 ),y=vcos(u2 )x=vsen(u2 ),y=vcos(u2 ) grandes.

384.

x = u cosh v , y = u senoh v , z = w x = u cosh v , y = u senoh v , z = w

385.

x = v cosh ( 1 u ) , y = v senoh ( 1 u ) , z = u + w 2 x = v cosh ( 1 u ) , y = v senoh ( 1 u ) , z = u + w 2

386.

x = u + v , y = v + w , z = u x = u + v , y = v + w , z = u

387.

x = u v , y = u + v , z = u + v + w x = u v , y = u + v , z = u + v + w

388.

La región triangular RR con los vértices (0,0),(1,1),y(1,2 )(0,0),(1,1),y(1,2 ) se muestra en la siguiente figura.

Un triángulo con vértices en el origen, (1, 1) y (1, 2).
  1. Calcule una transformación T:SR,T:SR, T(u,v)=(x,y)=(au+bv,cu+dv),T(u,v)=(x,y)=(au+bv,cu+dv), donde a,b,c,a,b,c, y dd son números reales con adbc0adbc0 de manera que T−1(0,0)=(0,0),T−1(1,1)=(1,0),T−1(0,0)=(0,0),T−1(1,1)=(1,0), y T−1(1,2 )=(0,1).T−1(1,2 )=(0,1).
  2. Utilice la transformación TT para calcular el área A(R)A(R) de la región R.R.
389.

La región triangular RR con los vértices (0,0),(2 ,0),y(1,3)(0,0),(2 ,0),y(1,3) se muestra en la siguiente figura.

Un triángulo con vértices en el origen, (2, 0) y (1, 3).
  1. Calcule una transformación T:SR,T:SR, T(u,v)=(x,y)=(au+bv,cu+dv),T(u,v)=(x,y)=(au+bv,cu+dv), donde a,b,ca,b,c y dd son números reales con adbc0adbc0 de manera que T−1(0,0)=(0,0),T−1(0,0)=(0,0), T−1(2 ,0)=(1,0),T−1(2 ,0)=(1,0), y T−1(1,3)=(0,1).T−1(1,3)=(0,1).
  2. Utilice la transformación TT para calcular el área A(R)A(R) de la región R.R.

En los siguientes ejercicios, utilice la transformación u=yx,v=y,u=yx,v=y, para evaluar las integrales en el paralelogramo RR de vértices (0,0),(1,0),(2 ,1),y(1,1)(0,0),(1,0),(2 ,1),y(1,1) que se muestra en la siguiente figura

Un rombo con vértices en el origen, (1, 0), (1, 1) y (2, 1).
390.

R ( y x ) d A R ( y x ) d A

391.

R ( y 2 x y ) d A R ( y 2 x y ) d A

En los siguientes ejercicios, utilice la transformación yx=u,x+y=vyx=u,x+y=v para evaluar las integrales en el cuadrado RR determinado por las líneas y=x,y=x+2 ,y=x+2 ,y=x,y=x+2 ,y=x+2 , y y=xy=x que se muestra en la siguiente figura

Un cuadrado con longitudes de lado raíz cuadrada de 2 girado 45 grados con una esquina en el origen y otra en (1, 1).
392.

R e x + y d A R e x + y d A

393.

R sen ( x y ) d A R sen ( x y ) d A

En los siguientes ejercicios, utilice la transformación x=u,5y=vx=u,5y=v para evaluar las integrales en la región RR delimitada por la elipse x2 +25y2 =1x2 +25y2 =1 que se muestra en la siguiente figura

Una elipse con centro en el origen, eje mayor 2 y menor 0,4.
394.

R x 2 + 25 y 2 d A R x 2 + 25 y 2 d A

395.

R ( x 2 + 25 y 2 ) 2 d A R ( x 2 + 25 y 2 ) 2 d A

En los siguientes ejercicios, utilice la transformación u=x+y,v=xyu=x+y,v=xy para evaluar las integrales en la región trapezoidal RR determinado por los puntos (1,0),(2 ,0),(0,2 ).,y(0,1)(1,0),(2 ,0),(0,2 ).,y(0,1) que se muestra en la siguiente figura

Un trapecio con vértices en (1, 0), (0, 1), (0, 2) y (2, 0).
396.

R ( x 2 2 x y + y 2 ) e x + y d A R ( x 2 2 x y + y 2 ) e x + y d A

397.

R ( x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 ) d A R ( x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 ) d A

398.

El sector circular anular RR delimitado por los círculos 4x2 +4y2 =14x2 +4y2 =1 y 9x2 +9y2 =64,9x2 +9y2 =64, la línea x=y3,x=y3, y la intersección y y se muestra en la siguiente figura. Calcule una transformación TT de una región rectangular SS en el plano rθ rθ a la región RR en el plano xy.xy. Gráfico S.S.

En el primer cuadrante, una sección de un anillo descrito por un radio interior de 0,5, radio exterior ligeramente superior a 2,5, y centro el origen. Hay una línea que divide este anillo que viene de un ángulo de aproximadamente 30 grados. La parte correspondiente a 60 grados está sombreada.
399.

El sólido RR delimitado por el cilindro circular x2 +y2 =9x2 +y2 =9 y los planos z=0,z=1,z=0,z=1, x=0,yy=0x=0,yy=0 se muestra en la siguiente figura. Calcule una transformación TT de una caja cilíndrica SS en rθz rθz al sólido RR en xyz .xyz .

Un cuarto de cilindro con altura 1 y radio 3. El eje central es el eje z.
400.

Demuestre que Rf(x2 3+y2 3)dA=2 π1501f(ρ)ρdρ,Rf(x2 3+y2 3)dA=2 π1501f(ρ)ρdρ, donde ff es una función continua en [0,1][0,1] y RR es la región limitada por la elipse 5x2 +3y2 =15.5x2 +3y2 =15.

401.

Demuestre que Rf(16x2 +4y2 +z2 )dV=π2 01f(ρ)ρ2 dρ,Rf(16x2 +4y2 +z2 )dV=π2 01f(ρ)ρ2 dρ, donde ff es una función continua en [0,1][0,1] y RR es la región delimitada por el elipsoide 16x2 +4y2 +z2 =1.16x2 +4y2 +z2 =1.

402.

[T] Calcule el área de la región delimitada por las curvas xy=1,xy=3,y=2 x,xy=1,xy=3,y=2 x, y y=3xy=3x utilizando la transformación u=xyu=xy y v=yx.v=yx. Utilizar un sistema de álgebra computacional (CAS) para graficar las curvas límite de la región R.R.

403.

[T] Calcule el área de la región delimitada por las curvas x2 y=2 ,x2 y=3,y=x,x2 y=2 ,x2 y=3,y=x, y y=2 xy=2 x utilizando la transformación u=x2 yu=x2 y y v=yx.v=yx. Utilizar un CAS para graficar las curvas límite de la región R.R.

404.

Evalúe la integral triple 0112 zz+1(y+1)dxdydz0112 zz+1(y+1)dxdydz utilizando la transformación u=xz,u=xz, v=3y,yw=z2 .v=3y,yw=z2 .

405.

Evalúe la integral triple 02 463z3z+2 (54y)dxdzdy02 463z3z+2 (54y)dxdzdy utilizando la transformación u=x3z,v=4y,yw=z.u=x3z,v=4y,yw=z.

406.

Una transformación T:R2 R2 ,T(u,v)=(x,y)T:R2 R2 ,T(u,v)=(x,y) de la forma x=au+bv,y=cu+dv,x=au+bv,y=cu+dv, donde a,b,c,yda,b,c,yd son números reales, se llama lineal. Demuestre que una transformación lineal para la que adbc0adbc0 mapea paralelogramos a paralelogramos.

407.

La transformación Tθ:R2 R2 ,Tθ(u,v)=(x,y),Tθ:R2 R2 ,Tθ(u,v)=(x,y), donde x=ucosθvsenθ,x=ucosθvsenθ, y=usenθ+vcosθ,y=usenθ+vcosθ, se llama una rotación de ángulo θ.θ. Demuestre que la transformación inversa de TθTθ satisface Tθ−1=Tθ,Tθ−1=Tθ, donde TθTθ es la rotación del ángulo θ.θ.

408.

[T] Halle la región SS en el plano uv uv cuya imagen a través de una rotación de ángulo π4π4 es la región RR encerrado en la elipse x2 +4y2 =1.x2 +4y2 =1. Utilice un CAS para responder las siguientes preguntas.

  1. Graficar la región S.S.
  2. Evalúe la integral Se−2uvdudv.Se−2uvdudv. Redondee su respuesta a dos decimales.
409.

[T] Las transformaciones Ti:2 2 ,Ti:2 2 , i=1,…,4,i=1,…,4, definidas por T1(u,v)=(u,v),T1(u,v)=(u,v), T2 (u,v)=(u,v),T3(u,v)=(u,v),T2 (u,v)=(u,v),T3(u,v)=(u,v), y T4(u,v)=(v,u)T4(u,v)=(v,u) se llaman reflexiones sobre el x ,y ,x ,y , origen, y la línea y=x,y=x, respectivamente.

  1. Hallar la imagen de la región S={(u,v)|u2 +v2 2 u4v+10}S={(u,v)|u2 +v2 2 u4v+10} en el plano xy xy a través de la transformación T1T2 T3T4.T1T2 T3T4.
  2. Utilizar un CAS para hacer un gráfico R.R.
  3. Evalúe la integral Ssen(u2 )dudvSsen(u2 )dudv utilizando un CAS. Redondee su respuesta a dos decimales.
410.

[T] La transformación Tk,1,1:33,Tk,1,1(u,v,w)=(x,y,z)Tk,1,1:33,Tk,1,1(u,v,w)=(x,y,z) de la forma x=ku,x=ku, y=v,z=w,y=v,z=w, donde k1k1 es un número real positivo, se llama tramo si k>1k>1 y una compresión si 0<k<10<k<1 en el plano x .x . Utilice un CAS para evaluar la integral Se(4x2 +9y2 +25z2 )dxdydzSe(4x2 +9y2 +25z2 )dxdydz en el sólido S={(x,y,z)|4x2 +9y2 +25z2 1}S={(x,y,z)|4x2 +9y2 +25z2 1} considerando la compresión T2 ,3,5(u,v,w)=(x,y,z)T2 ,3,5(u,v,w)=(x,y,z) definidas por x=u2 ,y=v3,x=u2 ,y=v3, y z=w5.z=w5. Redondee su respuesta a cuatro decimales.

411.

[T] La transformación Ta,0:2 2 ,Ta,0(u,v)=(u+av,v),Ta,0:2 2 ,Ta,0(u,v)=(u+av,v), donde a0a0 es un número real, se llama cizalla en la dirección x .x . La transformación, Tb,0:R2 R2 ,Ti,b(u,v)=(u,bu+v),Tb,0:R2 R2 ,Ti,b(u,v)=(u,bu+v), donde b0b0 es un número real, se llama cizalla en la dirección y .y .

  1. Hallar transformaciones T0,2 T3,0.T0,2 T3,0.
  2. Halle la imagen RR de la región trapezoidal SS limitada por u=0,v=0,v=1,u=0,v=0,v=1, y v=2 uv=2 u a través de la transformación T0,2 T3,0.T0,2 T3,0.
  3. Utilice un CAS para graficar la imagen RR en el plano xy .xy .
  4. Calcule el área de la región RR utilizando el área de la región S.S.
412.

Utilice la transformación, x=au,y=av,z=cwx=au,y=av,z=cw y coordenadas esféricas para demostrar que el volumen de una región limitada por el esferoide x2 +y2 a2 +z2 c2 =1x2 +y2 a2 +z2 c2 =1 ¿es 4πa2 c3.4πa2 c3.

413.

Halle el volumen de un balón de fútbol cuya forma es un esferoide x2 +y2 a2 +z2 c2 =1x2 +y2 a2 +z2 c2 =1 cuya longitud de punta a punta es 1111 pulgadas y la circunferencia en el centro es 2222 pulgadas. Redondee su respuesta a dos decimales.

414.

[T] Los óvalos de Lamé (o superelipses) son curvas planas de ecuaciones (xa)n+(yb)n=1,(xa)n+(yb)n=1, donde a, b y n son números reales positivos.

  1. Utilice un CAS para graficar las regiones RR delimitada por los óvalos de Lamé para a=1,b=2 ,n=4a=1,b=2 ,n=4 y n=6,n=6, respectivamente.
  2. Halle las transformaciones que mapean la región RR limitado por el óvalo de Lamé x4+y4=1,x4+y4=1, también llamado ardilla y graficado en la siguiente figura, en el disco de la unidad
    Un cuadrado de lado 2 con esquinas redondeadas.
  3. Utilice un CAS para hallar una aproximación del área A(R)A(R) de la región RR limitado por x4+y4=1.x4+y4=1. Redondee su respuesta a dos decimales.
415.

[T] Los diseñadores y arquitectos han utilizado constantemente los óvalos de Lamé. Por ejemplo, Gerald Robinson, un arquitecto canadiense, ha diseñado un aparcamiento en un centro comercial de Peterborough, Ontario, con la forma de una superelipse de la ecuación (xa)n+(yb)n=1(xa)n+(yb)n=1 con la ab=97ab=97 y n=e.n=e. Utilice un CAS para hallar una aproximación del área del estacionamiento en el caso a=900a=900 yardas, b=700b=700 yardas, y n=2,72n=2,72 yardas.

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