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Cálculo volumen 3

Ejercicios de repaso

Cálculo volumen 3Ejercicios de repaso
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Ejercicios de repaso

¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

416.

a b c d f ( x , y ) d y d x = c d a b f ( x , y ) d y d x a b c d f ( x , y ) d y d x = c d a b f ( x , y ) d y d x

417.

El teorema de Fubini puede extenderse a tres dimensiones, siempre que ff es continua en todas las variables.

418.

La integral 02 π01r1dzdrdθ02 π01r1dzdrdθ representa el volumen de un cono derecho.

419.

El jacobiano de la transformación para x=u2 2 v,y=3v2 uvx=u2 2 v,y=3v2 uv viene dada por –4u2 +6u+4v.–4u2 +6u+4v.

Evalúe las siguientes integrales.

420.

R ( 5 x 3 y 2 y 2 ) d A , R = { ( x , y ) | 0 x 2 , 1 y 4 } R ( 5 x 3 y 2 y 2 ) d A , R = { ( x , y ) | 0 x 2 , 1 y 4 }

421.

D y 3 x 2 + 1 d A , D = { ( x , y ) | 0 x 1 , x y x } D y 3 x 2 + 1 d A , D = { ( x , y ) | 0 x 1 , x y x }

422.

Dsen(x2 +y2 )dADsen(x2 +y2 )dA donde DD es un disco de radio 2 2 centrado en el origen

423.

0 1 y 1 x y e x 2 d x d y 0 1 y 1 x y e x 2 d x d y

424.

–1 1 0 z 0 x z 6 d y d x d z –1 1 0 z 0 x z 6 d y d x d z

425.

R3ydV,R3ydV, donde R={(x,y,z)|0x1,0yx,0z9y2 }R={(x,y,z)|0x1,0yx,0z9y2 }

426.

0 2 0 2 π r 1 r d z d θ d r 0 2 0 2 π r 1 r d z d θ d r

427.

0 2 π 0 π / 2 1 3 ρ 2 sen ( φ ) d ρ d φ d θ 0 2 π 0 π / 2 1 3 ρ 2 sen ( φ ) d ρ d φ d θ

428.

0 1 1 x 2 1 x 2 1 x 2 y 2 1 x 2 y 2 d z d y d x 0 1 1 x 2 1 x 2 1 x 2 y 2 1 x 2 y 2 d z d y d x

En los siguientes problemas, halle el área o el volumen especificado.

429.

El área de la región encerrada por un pétalo de r=cos(4θ).r=cos(4θ).

430.

El volumen del sólido que se encuentra entre el paraboloide z=2 x2 +2 y2 z=2 x2 +2 y2 y el plano z=8.z=8.

431.

El volumen del sólido delimitado por el cilindro x2 +y2 =16x2 +y2 =16 y de z=1z=1 al z+x=2 .z+x=2 .

432.

El volumen de la intersección entre dos esferas de radio 1, la superior cuyo centro es (0,0,0,25)(0,0,0,25) y la parte inferior, centrada en (0,0,0).(0,0,0).

Para los siguientes problemas, halle el centro de masa de la región.

433.

ρ(x,y)=xyρ(x,y)=xy en el círculo de radio 11 solo en el primer cuadrante.

434.

ρ(x,y)=(y+1)xρ(x,y)=(y+1)x en la región limitada por y=ex,y=ex, y=0,y=0, y x=1.x=1.

435.

ρ(x,y,z)=zρ(x,y,z)=z en el cono invertido de radio 2 2 y altura 2 .2 .

436.

El volumen de un cono de helado que viene dado por el sólido anterior z=(x2 +y2 )z=(x2 +y2 ) y más abajo z2 +x2 +y2 =z.z2 +x2 +y2 =z.

Los siguientes problemas examinan el monte Holly en el estado de Michigan. El monte Holly es un vertedero que se convirtió en una estación de esquí. La forma del monte Holly puede ser aproximada por un cono circular derecho de altura 1.1001.100 pies y radio 6.0006.000 pies.

437.

Si la basura compactada utilizada para construir el monte Holly tiene en promedio una densidad 400lb/ft3,400lb/ft3, calcular la cantidad de trabajo necesaria para construir la montaña.

438.

En realidad, es muy probable que la basura del fondo del monte Holly se haya compactado con todo el peso de la basura anterior. Consideremos una función de densidad con respecto a la altura: la densidad en la cima de la montaña sigue siendo la densidad 400lb/ft3400lb/ft3 y la densidad aumenta. Cada 100100 pies de profundidad, la densidad se duplica. ¿Cuál es el peso total del monte Holly?

Los siguientes problemas consideran la temperatura y la densidad de las capas de la Tierra.

439.

[T] La temperatura de las capas de la Tierra se muestra en la siguiente tabla. Utilice su calculadora para ajustar un polinomio de grado 33 a la temperatura a lo largo del radio de la Tierra. A continuación, halle la temperatura media de la Tierra. (Pista: Empiece por 00 en el núcleo interno y aumente hacia la superficie).

Fuente: http://www.enchantedlearning.com/subjects/astronomy/planets/earth/Inside.shtml
Capa Profundidad desde el centro (km) Temperatura °C°C
Corteza rocosa 0 a 40 0
Manto superior De 40 a 150 870
Manto De 400 a 650 870
Manto interior 650 a 2.700 870
Núcleo exterior fundido 2.890 a 5.150 4.300
Núcleo interno 5.150 a 6.378 7.200
440.

[T] La densidad de las capas de la Tierra se muestra en la siguiente tabla. Utilizando su calculadora o un programa de computadora, halle la ecuación cuadrática que mejor se ajuste a la densidad. Utilizando esta ecuación, calcule la masa total de la Tierra.

Fuente: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/geophys/earthstruct.html
Capa Profundidad desde el centro (km) Densidad (g/cm3)
Núcleo interno 00 12,9512,95
Núcleo exterior 1.2281.228 11,0511,05
Manto 3.4883.488 5,005,00
Manto superior 6.3386.338 3,903,90
Corteza 6.3786.378 2,552,55

Los siguientes problemas se refieren al teorema de Pappus (consulte Momentos y centros de masa para ver un repaso), un método para calcular el volumen utilizando los centroides. Suponiendo que una región R,R, cuando gira en torno al eje x x el volumen viene dado por Vx=2 πAy,Vx=2 πAy, y cuando se gira en torno al eje yeje y el volumen viene dado por Vy=2 πAx,Vy=2 πAx, donde AA es el área de R.R. Consideremos la región delimitada por x2 +y2 =1x2 +y2 =1 y por encima de y=x+1.y=x+1.

441.

Calcule el volumen cuando se gira la región alrededor del x.x.

442.

Calcule el volumen cuando se gira la región alrededor del y.y.

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