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Cálculo volumen 3

Conceptos clave

Cálculo volumen 3Conceptos clave
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Conceptos clave

5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares

  • Podemos utilizar una suma doble de Riemann para aproximar el volumen de un sólido delimitado arriba por una función de dos variables sobre una región rectangular. Al tomar el límite, esto se convierte en una integral doble que representa el volumen del sólido.
  • Las propiedades de la integral doble son útiles para simplificar el cálculo y hallar límites a sus valores.
  • Podemos utilizar el teorema de Fubini para escribir y evaluar una integral doble como una integral iterada.
  • Las integrales dobles se utilizan para calcular el área de una región, el volumen debajo de una superficie y el valor medio de una función de dos variables sobre una región rectangular.

5.2 Integrales dobles sobre regiones generales

  • Una región limitada general DD en el plano es una región que puede ser encerrada dentro de una región rectangular. Podemos utilizar esta idea para definir una integral doble sobre una región limitada general.
  • Para evaluar una integral iterada de una función sobre una región general no rectangular, dibujamos la región y la expresamos como una región de Tipo I o de Tipo II, o como una unión de varias regiones de Tipo I o de Tipo II que se superponen solo en sus límites.
  • Podemos utilizar las integrales dobles para calcular volúmenes, áreas y valores promedio de una función sobre regiones generales, de forma similar a los cálculos sobre regiones rectangulares.
  • Podemos utilizar el teorema de Fubini para integrales impropias para evaluar algunos tipos de integrales impropias.

5.3 Integrales dobles en coordenadas polares

  • Para aplicar una integral doble a una situación con simetría circular, suele ser conveniente utilizar una integral doble en coordenadas polares. Podemos aplicar estas integrales dobles sobre una región polar rectangular o una región polar general, utilizando una integral iterada similar a las utilizadas con las integrales dobles rectangulares.
  • La zona dAdA en coordenadas polares se convierte en rdrdθ.rdrdθ.
  • Utilice la sustitución en x=rcosθ,x=rcosθ, y=rsenθ,y=rsenθ, y dA=rdrdθdA=rdrdθ para convertir una integral en coordenadas rectangulares en una integral en coordenadas polares.
  • Utilice la sustitución en r2 =x2 +y2 r2 =x2 +y2 y θ=tan–1(yx)θ=tan–1(yx) para convertir una integral en coordenadas polares en una integral en coordenadas rectangulares, si es necesario.
  • Para hallar el volumen en coordenadas polares delimitado arriba por una superficie z=f(r,θ)z=f(r,θ) sobre una región en el plano xyxy, utilice una integral doble en coordenadas polares.

5.4 Integrales triples

  • Para calcular una integral triple utilizamos el teorema de Fubini, que dice que si f(x,y,z)f(x,y,z) es continua en una caja rectangular B=[a,b]×[c,d]×[e,f],B=[a,b]×[c,d]×[e,f], entonces
    Bf(x,y,z)dV=efcdabf(x,y,z)dxdydzBf(x,y,z)dV=efcdabf(x,y,z)dxdydz

    y también es igual a cualquiera de las otras cinco ordenaciones posibles para la integral triple iterada.
  • Para calcular el volumen de una región limitada general sólida EE utilizamos la integral triple
    V(E)=E1dV.V(E)=E1dV.
  • Intercambiar el orden de las integrales iteradas no cambia la respuesta. De hecho, intercambiar el orden de integración puede ayudar a simplificar el cálculo.
  • Para calcular el valor promedio de una función en una región tridimensional general, utilizamos
    fave=1V(E)Ef(x,y,z)dV.fave=1V(E)Ef(x,y,z)dV.

5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

  • Para evaluar una integral triple en coordenadas cilíndricas, utilice la integral iterada
    θ=αθ=βr=g1(θ)r=g2 (θ)z=u1(r,θ)z=u2 (r,θ)f(r,θ,z)rdzdrdθ.θ=αθ=βr=g1(θ)r=g2 (θ)z=u1(r,θ)z=u2 (r,θ)f(r,θ,z)rdzdrdθ.
  • Para evaluar una integral triple en coordenadas esféricas, utilice la integral iterada
    θ=αθ=βρ=g1(θ)ρ=g2 (θ)φ=u1(r,θ)φ=u2 (r,θ)f(ρ,θ,φ)ρ2 senφdφdρdθ.θ=αθ=βρ=g1(θ)ρ=g2 (θ)φ=u1(r,θ)φ=u2 (r,θ)f(ρ,θ,φ)ρ2 senφdφdρdθ.

5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia

Hallar la masa, el centro de masa, los momentos y los momentos de inercia en integrales dobles:

  • Para una lámina RR con una función de densidad ρ(x,y)ρ(x,y) en cualquier punto (x,y)(x,y) en el plano, la masa es m=Rρ(x,y)dA.m=Rρ(x,y)dA.
  • Los momentos en torno al eje x x y y y son
    Mx=Ryρ(x,y)dAyMy=Rxρ(x,y)dA.Mx=Ryρ(x,y)dAyMy=Rxρ(x,y)dA.
  • El centro de masa viene dado por x=Mym,y=Mxm.x=Mym,y=Mxm.
  • El centro de masa se convierte en el centroide del plano cuando la densidad es constante.
  • Los momentos de inercia sobre los ejes x,, x,, y y y el origen son
    Ix=Ry2 ρ(x,y)dA,Iy=Rx2 ρ(x,y)dA,yI0=Ix+Iy=R(x2 +y2 )ρ(x,y)dA.Ix=Ry2 ρ(x,y)dA,Iy=Rx2 ρ(x,y)dA,yI0=Ix+Iy=R(x2 +y2 )ρ(x,y)dA.

Hallar la masa, el centro de masa, los momentos y los momentos de inercia en integrales triples:

  • Para un objeto sólido QQ con una función de densidad ρ(x,y,z)ρ(x,y,z) en cualquier punto (x,y,z)(x,y,z) en el espacio, la masa es m=Qρ(x,y,z)dV.m=Qρ(x,y,z)dV.
  • Los momentos en torno al eje xy,xy, el plano xz,xz, y el plano yz yz son
    Mxy=Qzρ(x,y,z)dV,Mxz=Qyρ(x,y,z)dV,Myz=Qxρ(x,y,z)dV.Mxy=Qzρ(x,y,z)dV,Mxz=Qyρ(x,y,z)dV,Myz=Qxρ(x,y,z)dV.
  • El centro de masa viene dado por x=Myzm,y=Mxzm,z=Mxym.x=Myzm,y=Mxzm,z=Mxym.
  • El centro de masa se convierte en el centroide del sólido cuando la densidad es constante.
  • Los momentos de inercia sobre el plano yz,yz, el plano xz,xz, y el plano xy xy son
    Ix=Q(y2 +z2 )ρ(x,y,z)dV,Iy=Q(x2 +z2 )ρ(x,y,z)dV,Iz=Q(x2 +y2 )ρ(x,y,z)dV.Ix=Q(y2 +z2 )ρ(x,y,z)dV,Iy=Q(x2 +z2 )ρ(x,y,z)dV,Iz=Q(x2 +y2 )ρ(x,y,z)dV.

5.7 Cambio de variables en integrales múltiples

  • Una transformación TT es una función que transforma una región GG en un plano (espacio) en una región RR en otro plano (espacio) mediante un cambio de variables.
  • Una transformación T:GRT:GR definida como T(u,v)=(x,y)T(u,v)=(x,y) (oT(u,v,w)=(x,y,z))(oT(u,v,w)=(x,y,z)) se dice que es una transformación de uno a uno si no hay dos puntos que correspondan al mismo punto de la imagen.
  • Si los valores de ff es continuo en R,R, entonces Rf(x,y)dA=Sf(g(u,v),h(u,v))|(x,y)(u,v)|dudv.Rf(x,y)dA=Sf(g(u,v),h(u,v))|(x,y)(u,v)|dudv.
  • Si los valores de FF es continuo en R,R, entonces
    RF(x,y,z)dV=GF(g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w))|(x,y,z)(u,v,w)|dudvdw=GH(u,v,w)|J(u,v,w)|dudvdw.RF(x,y,z)dV=GF(g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w))|(x,y,z)(u,v,w)|dudvdw=GH(u,v,w)|J(u,v,w)|dudvdw.
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