Conceptos clave

• Podemos utilizar una suma doble de Riemann para aproximar el volumen de un sólido delimitado arriba por una función de dos variables sobre una región rectangular. Al tomar el límite, esto se convierte en una integral doble que representa el volumen del sólido.
• Las propiedades de la integral doble son útiles para simplificar el cálculo y hallar límites a sus valores.
• Podemos utilizar el teorema de Fubini para escribir y evaluar una integral doble como una integral iterada.
• Las integrales dobles se utilizan para calcular el área de una región, el volumen debajo de una superficie y el valor medio de una función de dos variables sobre una región rectangular.

• Una región limitada general $D$ en el plano es una región que puede ser encerrada dentro de una región rectangular. Podemos utilizar esta idea para definir una integral doble sobre una región limitada general.
• Para evaluar una integral iterada de una función sobre una región general no rectangular, dibujamos la región y la expresamos como una región de Tipo I o de Tipo II, o como una unión de varias regiones de Tipo I o de Tipo II que se superponen solo en sus límites.
• Podemos utilizar las integrales dobles para calcular volúmenes, áreas y valores promedio de una función sobre regiones generales, de forma similar a los cálculos sobre regiones rectangulares.
• Podemos utilizar el teorema de Fubini para integrales impropias para evaluar algunos tipos de integrales impropias.

• Para aplicar una integral doble a una situación con simetría circular, suele ser conveniente utilizar una integral doble en coordenadas polares. Podemos aplicar estas integrales dobles sobre una región polar rectangular o una región polar general, utilizando una integral iterada similar a las utilizadas con las integrales dobles rectangulares.
• La zona $dA$ en coordenadas polares se convierte en $rdrd\theta .$
• Utilice la sustitución en $x=r\text{cos}\theta ,$ $y=r\text{sen}\theta ,$ y $dA=rdrd\theta$ para convertir una integral en coordenadas rectangulares en una integral en coordenadas polares.
• Utilice la sustitución en $r^2=x^2+y^2$ y $\theta ={\text{tan}}^{\mathrm{–1}}\left(\frac{y}{x}\right)$ para convertir una integral en coordenadas polares en una integral en coordenadas rectangulares, si es necesario.
• Para hallar el volumen en coordenadas polares delimitado arriba por una superficie $z=f\left(r,\theta \right)$ sobre una región en el plano $xy$, utilice una integral doble en coordenadas polares.

• Para calcular una integral triple utilizamos el teorema de Fubini, que dice que si $f\left(x,y,z\right)$ es continua en una caja rectangular $B=\left[a,b\right]\times \left[c,d\right]\times \left[e,f\right],$ entonces
  
  $${\displaystyle \underset{B}{\iiint }f\left(x,y,z\right)dV={\displaystyle \underset{e}{\overset{f}{\int }}{\displaystyle \underset{c}{\overset{d}{\int }}{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x,y,z\right)dxdydz}}}}$$
  
  y también es igual a cualquiera de las otras cinco ordenaciones posibles para la integral triple iterada.
• Para calcular el volumen de una región limitada general sólida $E$ utilizamos la integral triple
  
  $$V\left(E\right)={\displaystyle \underset{E}{\iiint }1dV}.$$
• Intercambiar el orden de las integrales iteradas no cambia la respuesta. De hecho, intercambiar el orden de integración puede ayudar a simplificar el cálculo.
• Para calcular el valor promedio de una función en una región tridimensional general, utilizamos
  
  $$f_{\text{ave}}=\frac{1}{V\left(E\right)}{\displaystyle \underset{E}{\iiint }f\left(x,y,z\right)}dV.$$

• Para evaluar una integral triple en coordenadas cilíndricas, utilice la integral iterada
  
  $${\displaystyle \underset{\theta =\alpha }{\overset{\theta =\beta }{\int }}{\displaystyle \underset{r=g_1\left(\theta \right)}{\overset{r=g_2\left(\theta \right)}{\int }}{\displaystyle \underset{z=u_1\left(r,\theta \right)}{\overset{z=u_2\left(r,\theta \right)}{\int }}f\left(r,\theta ,z\right)}}}rdzdrd\theta .$$
• Para evaluar una integral triple en coordenadas esféricas, utilice la integral iterada
  
  $${\displaystyle \underset{\theta =\alpha }{\overset{\theta =\beta }{\int }}{\displaystyle \underset{\rho =g_1\left(\theta \right)}{\overset{\rho =g_2\left(\theta \right)}{\int }}{\displaystyle \underset{\phi =u_1\left(r,\theta \right)}{\overset{\phi =u_2\left(r,\theta \right)}{\int }}f\left(\rho ,\theta ,\phi \right)}}}{\rho }^2\text{sen}\phi d\phi d\rho d\theta .$$

Hallar la masa, el centro de masa, los momentos y los momentos de inercia en integrales dobles:

• Para una lámina $R$ con una función de densidad $\rho \left(x,y\right)$ en cualquier punto $\left(x,y\right)$ en el plano, la masa es $m={\displaystyle \underset{R}{\iint }\rho \left(x,y\right)dA}.$
• Los momentos en torno al eje $x$ y $y$ son
  
  $$M_x={\displaystyle \underset{R}{\iint }y\rho \left(x,y\right)}dA\text{y}{M}_y={\displaystyle \underset{R}{\iint }x\rho \left(x,y\right)}dA.$$
• El centro de masa viene dado por $\stackrel{\text{−}}{x}=\frac{M_y}{m},\stackrel{\text{−}}{y}=\frac{M_x}{m}.$
• El centro de masa se convierte en el centroide del plano cuando la densidad es constante.
• Los momentos de inercia sobre los ejes $\mathrm{x,},$ $y-$ y el origen son
  
  $$I_x={\displaystyle \underset{R}{\iint }{y}^2\rho \left(x,y\right)dA,}{I}_y={\displaystyle \underset{R}{\iint }{x}^2\rho \left(x,y\right)dA,}\text{y}{I}_0=I_x+I_y={\displaystyle \underset{R}{\iint }\left(x^2+y^2\right)\rho \left(x,y\right)dA.}$$

Hallar la masa, el centro de masa, los momentos y los momentos de inercia en integrales triples:

• Para un objeto sólido $Q$ con una función de densidad $\rho \left(x,y,z\right)$ en cualquier punto $\left(x,y,z\right)$ en el espacio, la masa es $m={\displaystyle \underset{Q}{\iiint }\rho \left(x,y,z\right)dV}.$
• Los momentos en torno al eje $xy\text{,}$ el plano $xz\text{,}$ y el plano $yz$ son
  
  $$M_{xy}={\displaystyle \underset{Q}{\iiint }z\rho \left(x,y,z\right)dV},M_{xz}={\displaystyle \underset{Q}{\iiint }y\rho \left(x,y,z\right)dV},M_{yz}={\displaystyle \underset{Q}{\iiint }x\rho \left(x,y,z\right)dV}.$$
• El centro de masa viene dado por $\stackrel{\text{−}}{x}=\frac{M_{yz}}{m},\stackrel{\text{−}}{y}=\frac{M_{xz}}{m},\stackrel{\text{−}}{z}=\frac{M_{xy}}{m}.$
• El centro de masa se convierte en el centroide del sólido cuando la densidad es constante.
• Los momentos de inercia sobre el plano $yz\text{,}$ el plano $xz\text{,}$ y el plano $xy$ son
  
  $$\begin{array}{}\\ I_x={\displaystyle \underset{Q}{\iiint }\left(y^2+z^2\right)\rho \left(x,y,z\right)dV,}{I}_y={\displaystyle \underset{Q}{\iiint }\left(x^2+z^2\right)\rho \left(x,y,z\right)dV,}\hfill \\ I_z={\displaystyle \underset{Q}{\iiint }\left(x^2+y^2\right)\rho \left(x,y,z\right)dV.}\hfill \end{array}$$

• Una transformación $T$ es una función que transforma una región $G$ en un plano (espacio) en una región $R$ en otro plano (espacio) mediante un cambio de variables.
• Una transformación $T:G\to R$ definida como $T\left(u,v\right)=\left(x,y\right)$ $\left(\text{o}T\left(u,v,w\right)=\left(x,y,z\right)\right)$ se dice que es una transformación de uno a uno si no hay dos puntos que correspondan al mismo punto de la imagen.
• Si los valores de $f$ es continuo en $R,$ entonces ${\displaystyle \underset{R}{\iint }f\left(x,y\right)}dA={\displaystyle \underset{S}{\iint }f\left(g\left(u,v\right),h\left(u,v\right)\right)}\left|\frac{\partial \left(x,y\right)}{\partial \left(u,v\right)}\right|dudv.$
• Si los valores de $F$ es continuo en $R,$ entonces
  
  $$\begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \underset{R}{\iiint }F\left(x,y,z\right)}dV& ={\displaystyle \underset{G}{\iiint }F\left(g\left(u,v,w\right),h\left(u,v,w\right),k\left(u,v,w\right)\right)}\left|\frac{\partial \left(x,y,z\right)}{\partial \left(u,v,w\right)}\right|dudvdw\hfill \\ & ={\displaystyle \underset{G}{\iiint }H\left(u,v,w\right)}\left|J\left(u,v,w\right)\right|dudvdw.\hfill \end{array}$$