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Cálculo volumen 3

4.7 Problemas con máximos/mínimos

Cálculo volumen 34.7 Problemas con máximos/mínimos

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 4.7.1 Utilizar las derivadas parciales para localizar los puntos críticos de una función de dos variables.
  • 4.7.2 Aplicar una prueba de segunda derivada para identificar un punto crítico como máximo local, mínimo local o punto de silla para una función de dos variables.
  • 4.7.3 Examinar los puntos críticos y los puntos límite para calcular los valores máximos y mínimos absolutos de una función de dos variables.

Una de las aplicaciones más útiles de las derivadas de una función de una variable es la determinación de los valores máximos o mínimos. Esta aplicación también es importante para las funciones de dos o más variables, pero como hemos visto en secciones anteriores de este capítulo, la introducción de más variables independientes conduce a más resultados posibles para los cálculos. Las ideas principales de hallar puntos críticos y utilizar pruebas derivadas siguen siendo válidas, pero aparecen giros inesperados al evaluar los resultados.

Puntos críticos

Para las funciones de una sola variable, definimos los puntos críticos como los valores de la función cuando la derivada es igual a cero o no existe. Para las funciones de dos o más variables, el concepto es esencialmente el mismo, excepto por el hecho de que ahora estamos trabajando con derivadas parciales.

Definición

Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una función de dos variables definida en un conjunto abierto que contiene el punto (x0,y0).(x0,y0). El punto (x0,y0)(x0,y0) se llama punto crítico de una función de dos variables ff si se cumple una de las dos condiciones siguientes:

  1. fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0
  2. O bien fx(x0,y0)ofy(x0,y0)fx(x0,y0)ofy(x0,y0) no existe.

Ejemplo 4.38

Hallar los puntos críticos

Halle los puntos críticos de cada una de las siguientes funciones:

  1. f(x,y)=4y2 9x2 +24y+36x+36f(x,y)=4y2 9x2 +24y+36x+36
  2. g(x,y)=x2 +2 xy4y2 +4x6y+4g(x,y)=x2 +2 xy4y2 +4x6y+4

Punto de control 4.34

Halle el punto crítico de la función f(x,y)=x3+2 xy2 x4y.f(x,y)=x3+2 xy2 x4y.

El objetivo principal para determinar los puntos críticos es localizar los máximos y mínimos relativos, como en el cálculo de una sola variable. Cuando se trabaja con una función de una variable, la definición de un extremo local implica hallar un intervalo alrededor del punto crítico tal que el valor de la función sea mayor o menor que todos los demás valores de la función en ese intervalo. Cuando se trabaja con una función de dos o más variables, se trabaja con un disco abierto alrededor del punto.

Definición

Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una función de dos variables definida y continua en un conjunto abierto que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). Entonces f tiene un máximo local en (x0,y0)(x0,y0) si

f(x0,y0)f(x,y)f(x0,y0)f(x,y)

para todos los puntos (x,y)(x,y) dentro de un disco centrado en (x0,y0).(x0,y0). El número f(x0,y0)f(x0,y0) se denomina valor máximo local. Si la desigualdad anterior se cumple para cada punto (x,y)(x,y) en el dominio de f,f, entonces ff tiene un máximo global (también llamado máximo absoluto) en (x0,y0).(x0,y0).

La función ff tiene un mínimo local en (x0,y0)(x0,y0) si

f(x0,y0)f(x,y)f(x0,y0)f(x,y)

para todos los puntos (x,y)(x,y) dentro de un disco centrado en (x0,y0).(x0,y0). El número f(x0,y0)f(x0,y0) se denomina valor mínimo local. Si la desigualdad anterior se cumple para cada punto (x,y)(x,y) en el dominio de f,f, entonces ff tiene un mínimo global (también llamado mínimo absoluto) en (x0,y0).(x0,y0).

Si f(x0,y0)f(x0,y0) es un valor máximo o mínimo local, entonces se llama extremos locales(vea la figura siguiente).

Se muestra la función z = la raíz cuadrada de (16 - x2 - y2), que es la semiesfera superior de radio 4 con centro en el origen. En el plano xy se destaca el círculo de radio 4 y centro en el origen, que tiene la ecuación x2 + y2 = 16.
Figura 4.47 El gráfico de z = 16 x 2 y 2 z = 16 x 2 y 2 tiene un valor máximo cuando ( x , y ) = ( 0 , 0 ) . ( x , y ) = ( 0 , 0 ) . Alcanza su valor mínimo en el borde de su dominio, que es el círculo x 2 + y 2 = 16 . x 2 + y 2 = 16 .

En Máximos y mínimos demostramos que los extremos de las funciones de una variable se dan en los puntos críticos. Lo mismo ocurre con las funciones de más de una variable, como se indica en el siguiente teorema.

Teorema 4.16

Teorema de Fermat para funciones de dos variables

Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una función de dos variables definida y continua en un conjunto abierto que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). Supongamos que fxfx y fyfy existen en (x0,y0).(x0,y0). Si ff tiene un extremo local en (x0,y0),(x0,y0), entonces (x0,y0)(x0,y0) es un punto crítico de f.f.

Prueba de la segunda derivada

Considere la función f(x)=x3.f(x)=x3. Esta función tiene un punto crítico en x=0,x=0, dado que f(0)=3(0)2 =0.f(0)=3(0)2 =0. Sin embargo, el que ff no tiene un valor extremo en x=0.x=0. Por lo tanto, la existencia de un valor crítico en x=x0x=x0 no garantiza un extremo local en x=x0.x=x0. Lo mismo ocurre con una función de dos o más variables. Una de las formas en que esto puede ocurrir es en un punto de silla. En la siguiente figura aparece un ejemplo de punto de silla.

Se muestra la función z = x2 – y2, que tiene un aspecto de silla de montar, con la función alcanzando máximos a lo largo de los ejes x y y.
Figura 4.48 Gráfico de la función z = x 2 y 2 . z = x 2 y 2 . Esta gráfico tiene un punto de silla en el origen.

En este gráfico, el origen es un punto de silla. Esto se debe a que las primeras derivadas parciales de f(x,y)=x2 y2 f(x,y)=x2 y2 son ambos iguales a cero en este punto, pero no es ni un máximo ni un mínimo para la función. Además, la traza vertical correspondiente a y=0y=0 ¿es z=x2 z=x2 (una parábola que se abre hacia arriba), pero la traza vertical correspondiente a x=0x=0 ¿es z=y2 z=y2 (una parábola que se abre hacia abajo). Por lo tanto, es tanto un máximo global para una traza como un mínimo global para otra.

Definición

Dada la función z=f(x,y),z=f(x,y), el punto (x0,y0,f(x0,y0))(x0,y0,f(x0,y0)) es un punto de silla si fx(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0 y fy(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0, pero ff no tienen un extremo local en (x0,y0).(x0,y0).

La prueba de la segunda derivada para una función de una variable proporciona un método para determinar si ocurre un extremo en un punto crítico de una función. Al extender este resultado a una función de dos variables, surge un problema relacionado con el hecho de que hay, de hecho, cuatro derivadas parciales de segundo orden diferentes, aunque la igualdad de las parciales mixtas lo reduce a tres. La prueba de la segunda derivada para una función de dos variables, enunciada en el siguiente teorema, utiliza un discriminante DD que sustituye a f(x0)f(x0) en la prueba de la segunda derivada para una función de una variable.

Teorema 4.17

Prueba de la segunda derivada

Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una función de dos variables para la que las derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en algún disco que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). Supongamos que fx(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0 y fy(x0,y0)=0.fy(x0,y0)=0. Definamos la cantidad

D=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)(fxy(x0,y0))2 .D=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)(fxy(x0,y0))2 .
(4.43)
  1. Si los valores de D>0D>0 y fxx(x0,y0)>0,fxx(x0,y0)>0, entonces ff tiene un mínimo local en (x0,y0).(x0,y0).
  2. Si los valores de D>0D>0 y fxx(x0,y0)<0,fxx(x0,y0)<0, entonces ff tiene un máximo local en (x0,y0).(x0,y0).
  3. Si los valores de D<0,D<0, entonces ff tiene un punto de silla en (x0,y0).(x0,y0).
  4. Si los valores de D=0,D=0, entonces la prueba no es concluyente.

Vea el Figura 4.49.

Esta figura se compone de tres figuras marcadas como a, b y c. La figura a tiene dos montículos bulbosos que apuntan hacia abajo, y los dos extremos están marcados como los mínimos locales. La figura b tiene dos montículos bulbosos que apuntan hacia arriba, y los dos extremos están marcados como máximos locales. La figura c tiene la forma de una silla de montar, y el centro de la misma está marcado como punto de silla.
Figura 4.49 A menudo, la prueba de la segunda derivada puede determinar si una función de dos variables tiene un mínimo local (a), un máximo local (b) o un punto de silla (c).

Para aplicar la prueba de la segunda derivada, es necesario que primero hallemos los puntos críticos de la función. Todo el procedimiento consta de varios pasos, que se resumen en una estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Usar la prueba de la segunda derivada para funciones de dos variables

Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una función de dos variables para la que las derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en algún disco que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). Para aplicar la prueba de la segunda derivada para hallar los extremos locales, siga los siguientes pasos:

  1. Determine los puntos críticos (x0,y0)(x0,y0) de la función ff donde fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0.fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0. Descarte los puntos en los que no existe al menos una de las derivadas parciales.
  2. Calcule el discriminante D=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)(fxy(x0,y0))2 D=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)(fxy(x0,y0))2 para cada punto crítico de f.f.
  3. Aplique la Prueba de la segunda derivada para determinar si cada punto crítico es un máximo local, un mínimo local o un punto de silla, o si el teorema no es concluyente.

Ejemplo 4.39

Usar la prueba de la segunda derivada

Halle los puntos críticos de cada una de las siguientes funciones y utilice la prueba de la segunda derivada para hallar los extremos locales:

  1. f(x,y)=4x2 +9y2 +8x36y+24f(x,y)=4x2 +9y2 +8x36y+24
  2. g(x,y)=13x3+y2 +2 xy6x3y+4g(x,y)=13x3+y2 +2 xy6x3y+4

Punto de control 4.35

Utilice la segunda derivada para hallar los extremos locales de la función

f(x,y)=x3+2 xy6x4y2 .f(x,y)=x3+2 xy6x4y2 .

Máximos y mínimos absolutos

Para hallar los extremos globales de las funciones de una variable en un intervalo cerrado, empezamos comprobando los valores críticos sobre ese intervalo y luego evaluamos la función en sus puntos extremos. Cuando se trabaja con una función de dos variables, el intervalo cerrado se sustituye por un conjunto cerrado y delimitado. Un conjunto está delimitado si todos los puntos de ese conjunto pueden estar contenidos en una bola (o disco) de radio finito. En primer lugar, tenemos que hallar los puntos críticos dentro del conjunto y calcular los valores críticos correspondientes. Entonces, es necesario hallar el valor máximo y mínimo de la función en el borde del conjunto. Cuando tenemos todos estos valores, el mayor valor de la función corresponde al máximo global y el menor valor de la función corresponde al mínimo absoluto. Sin embargo, en primer lugar hay que asegurarse de que esos valores existen. El siguiente teorema lo hace.

Teorema 4.18

Teorema del valor extremo

Una función continua f(x,y)f(x,y) en un conjunto cerrado y delimitado DD en el plano alcanza un valor máximo absoluto en algún punto de DD y un valor mínimo absoluto en algún punto de D.D.

Ahora que sabemos que cualquier función continua ff definida en un conjunto cerrado y delimitado alcanza sus valores extremos, necesitamos saber cómo hallarlos.

Teorema 4.19

Hallar los valores extremos de una función de dos variables

Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una función diferenciable de dos variables definida en un conjunto cerrado y delimitado D.D. Entonces ff alcanzará el valor máximo absoluto y el valor mínimo absoluto, que son, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños encontrados entre los siguientes:

  1. Los valores de ff en los puntos críticos de ff en D.D.
  2. Los valores de ff en el borde de D.D.

La demostración de este teorema es una consecuencia directa del teorema del valor extremo y del teorema de Fermat. En particular, si alguno de los extremos no se encuentra en el borde de D,D, entonces se encuentra en un punto interior de D.D. Pero un punto interior (x0,y0)(x0,y0) de DD, que es un extremo absoluto, es también un extremo local; por lo tanto, (x0,y0)(x0,y0) es un punto crítico de ff por el teorema de Fermat. Por lo tanto, los únicos valores posibles para los extremos globales de ff sobre DD son los valores extremos de ff en el interior o en el borde de D.D.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Calcular valores máximos y mínimos absolutos

Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una función continua de dos variables definida en un conjunto cerrado y delimitado D,D, y asumamos que ff es diferenciable en D.D. Para hallar los valores máximos y mínimos absolutos de ff sobre D,D, haga lo siguiente:

  1. Determine los puntos críticos de ff en D.D.
  2. Calcule ff en cada uno de estos puntos críticos.
  3. Determine los valores máximos y mínimos de ff en el borde de su dominio.
  4. Los valores máximos y mínimos de ff se producirán en uno de los valores obtenidos en los pasos 2 y3.2 y3.

Calcular los valores máximos y mínimos de ff en el borde de DD puede ser un reto. Si el borde es un rectángulo o un conjunto de líneas rectas, entonces es posible parametrizar los segmentos de línea y determinar los máximos en cada uno de estos segmentos, como se ve en el Ejemplo 4.40. El mismo enfoque puede utilizarse para otras formas, como los círculos y las elipses.

Si el límite del conjunto DD es una curva más complicada definida por una función g(x,y)=cg(x,y)=c para alguna constante c,c, y las derivadas parciales de primer orden de gg existen, entonces el método de los multiplicadores de Lagrange puede ser útil para determinar los extremos de ff en el borde. El método de los multiplicadores de Lagrange se introduce en Multiplicadores de Lagrange.

Ejemplo 4.40

Hallar los extremos absolutos

Utilice la estrategia de resolución de problemas para hallar los extremos absolutos de una función para determinar los extremos absolutos de cada una de las siguientes funciones:

  1. f(x,y)=x2 2 xy+4y2 4x2 y+24f(x,y)=x2 2 xy+4y2 4x2 y+24 en el dominio definido por 0x40x4 y 0y2 0y2
  2. g(x,y)=x2 +y2 +4x6yg(x,y)=x2 +y2 +4x6y en el dominio definido por x2 +y2 16x2 +y2 16

Punto de control 4.36

Utilice la estrategia de resolución de problemas para hallar los extremos absolutos de una función para encontrar los extremos absolutos de la función

f(x,y)=4x2 2 xy+6y2 8x+2 y+3f(x,y)=4x2 2 xy+6y2 8x+2 y+3

en el dominio definido por 0x2 0x2 y −1y3.−1y3.

Ejemplo 4.41

Inicio del capítulo: Pelotas de golf rentables

Una cesta llena de pelotas de golf
Figura 4.56 (créditos: modificación del trabajo de oatsy40, Flickr).

La compañía Pro-TT ha desarrollado un modelo de ganancias que depende del número x de pelotas de golf vendidas al mes (medido en miles) y del número de horas al mes de publicidad y, según la función

z=f(x,y)=48x+96yx2 2 xy9y2 ,z=f(x,y)=48x+96yx2 2 xy9y2 ,

donde zz se mide en miles de dólares. El número máximo de pelotas de golf que se pueden producir y vender es 50 000,50 000, y el número máximo de horas de publicidad que se puede adquirir es 25.25. Halle los valores de xx como yy que maximizan la ganancia y halle la ganancia máxima.

Sección 4.7 ejercicios

En los siguientes ejercicios, halle todos los puntos críticos.

310.

f ( x , y ) = 1 + x 2 + y 2 f ( x , y ) = 1 + x 2 + y 2

311.

f ( x , y ) = ( 3 x 2 ) 2 + ( y 4 ) 2 f ( x , y ) = ( 3 x 2 ) 2 + ( y 4 ) 2

312.

f ( x , y ) = x 4 + y 4 16 x y f ( x , y ) = x 4 + y 4 16 x y

313.

f ( x , y ) = 15 x 3 3 x y + 15 y 3 f ( x , y ) = 15 x 3 3 x y + 15 y 3

En los siguientes ejercicios, halle los puntos críticos de la función utilizando técnicas algebraicas (completando el cuadrado) o examinando la forma de la ecuación. Verifique sus resultados utilizando la prueba de las derivadas parciales.

314.

f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 1 f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 1

315.

f ( x , y ) = x 2 5 y 2 + 8 x 10 y 13 f ( x , y ) = x 2 5 y 2 + 8 x 10 y 13

316.

f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 2 x 6 y + 6 f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 2 x 6 y + 6

317.

f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 1 f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 1

En los siguientes ejercicios utilice la Prueba de la segunda derivada para clasificar cualquier punto crítico y determine si cada punto crítico es un máximo, un mínimo, un punto de silla o ninguno de ellos.

318.

f ( x , y ) = x 3 + 4 x y 2 y 2 + 1 f ( x , y ) = x 3 + 4 x y 2 y 2 + 1

319.

f ( x , y ) = x 2 y 2 f ( x , y ) = x 2 y 2

320.

f ( x , y ) = x 2 6 x + y 2 + 4 y 8 f ( x , y ) = x 2 6 x + y 2 + 4 y 8

321.

f ( x , y ) = 2 x y + 3 x + 4 y f ( x , y ) = 2 x y + 3 x + 4 y

322.

f ( x , y ) = 8 x y ( x + y ) + 7 f ( x , y ) = 8 x y ( x + y ) + 7

323.

f ( x , y ) = x 2 + 4 x y + y 2 f ( x , y ) = x 2 + 4 x y + y 2

324.

f ( x , y ) = x 3 + y 3 300 x 75 y 3 f ( x , y ) = x 3 + y 3 300 x 75 y 3

325.

f ( x , y ) = 9 x 4 y 4 f ( x , y ) = 9 x 4 y 4

326.

f ( x , y ) = 7 x 2 y + 9 x y 2 f ( x , y ) = 7 x 2 y + 9 x y 2

327.

f ( x , y ) = 3 x 2 2 x y + y 2 8 y f ( x , y ) = 3 x 2 2 x y + y 2 8 y

328.

f ( x , y ) = 3 x 2 + 2 x y + y 2 f ( x , y ) = 3 x 2 + 2 x y + y 2

329.

f ( x , y ) = y 2 + x y + 3 y + 2 x + 3 f ( x , y ) = y 2 + x y + 3 y + 2 x + 3

330.

f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 3 x f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 3 x

331.

f ( x , y ) = x 2 + 2 y 2 x 2 y f ( x , y ) = x 2 + 2 y 2 x 2 y

332.

f ( x , y ) = x 2 + y e y f ( x , y ) = x 2 + y e y

333.

f(x,y)=e(x2 +y2 +2 x)f(x,y)=e(x2 +y2 +2 x) grandes.

334.

f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 x y + 1 f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 x y + 1

335.

f ( x , y ) = x 2 + 10 x y + y 2 f ( x , y ) = x 2 + 10 x y + y 2

336.

f ( x , y ) = x 2 5 y 2 + 10 x 30 y 62 f ( x , y ) = x 2 5 y 2 + 10 x 30 y 62

337.

f ( x , y ) = 120 x + 120 y x y x 2 y 2 f ( x , y ) = 120 x + 120 y x y x 2 y 2

338.

f ( x , y ) = 2 x 2 + 2 x y + y 2 + 2 x 3 f ( x , y ) = 2 x 2 + 2 x y + y 2 + 2 x 3

339.

f ( x , y ) = x 2 + x 3 x y + y 3 5 f ( x , y ) = x 2 + x 3 x y + y 3 5

340.

f ( x , y ) = 2 x y e x 2 y 2 f ( x , y ) = 2 x y e x 2 y 2

En los siguientes ejercicios, determine los valores extremos y los puntos de equilibrio. Utilice un CAS para graficar la función.

341.

[T] f(x,y)=yexeyf(x,y)=yexey

342.

[T] f(x,y)=xsen(y)f(x,y)=xsen(y)

343.

[T] f(x,y)=sen(x)sen(y),x(0,2 π),y(0,2 π)f(x,y)=sen(x)sen(y),x(0,2 π),y(0,2 π)

Halle el extremo absoluto de la función dada en el conjunto cerrado y delimitado indicado R.R.

344.

f(x,y)=xyx3y;f(x,y)=xyx3y; RR es la región triangular con vértices (0,0),(0,4),y(5,0).(0,0),(0,4),y(5,0).

345.

Halle los valores máximos y mínimos absolutos de f(x,y)=x2 +y2 2 y+1f(x,y)=x2 +y2 2 y+1 en la región R={(x,y)|x2 +y2 4}.R={(x,y)|x2 +y2 4}.

346.

f(x,y)=x33xyy3f(x,y)=x33xyy3 sobre R={(x,y):−2x2 ,–2y2 }R={(x,y):−2x2 ,–2y2 }

347.

f(x,y)=–2yx2 +y2 +1f(x,y)=–2yx2 +y2 +1 sobre R={(x,y):x2 +y2 4}R={(x,y):x2 +y2 4}

348.

Halle tres números positivos cuya suma es 27,27, de manera que la suma de sus cuadrados sea lo más pequeña posible.

349.

Halle los puntos de la superficie x2 yz=5x2 yz=5 que están más cerca del origen.

350.

Halla el volumen máximo de una caja rectangular con tres caras en los planos de coordenadas y un vértice en el primer octante del plano x+y+z=1.x+y+z=1.

351.

La suma de la longitud y la circunferencia (perímetro de una sección transversal) de un paquete transportado por un servicio de entrega no puede superar 108108 pulgadas Halle las dimensiones del paquete rectangular de mayor volumen que se puede enviar.

352.

Una caja de cartón sin tapa debe hacerse con un volumen de 44 pies3. Halle las dimensiones de la caja que requiere la menor cantidad de cartón.

353.

Halle el punto de la superficie f(x,y)=x2 +y2 +10f(x,y)=x2 +y2 +10 más cercano al plano x+2 yz=0.x+2 yz=0. Identifique el punto del plano.

354.

Halle el punto en el plano 2 xy+2 z=162 xy+2 z=16 que está más cerca del origen.

355.

Una empresa que fabrica dos tipos de calzado deportivo: las zapatillas de correr y las zapatillas de crossfit. Los ingresos totales de xx unidades de zapatillas para correr y yy unidades de entrenadores cruzados viene dada por R(x,y)=−5x2 8y2 2 xy+42x+102y,R(x,y)=−5x2 8y2 2 xy+42x+102y, donde xx como yy están en miles de unidades. Halle los valores de x y de y para maximizar los ingresos totales.

356.

Una empresa de transporte maneja cajas rectangulares siempre que la suma de la longitud, la anchura y la altura de la caja no supere 9696 pulgadas Halle las dimensiones de la caja que cumple esta condición y tiene el mayor volumen.

357.

Halle el volumen máximo de una lata de refresco cilíndrica tal que la suma de su altura y su circunferencia sea 120120 cm.

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