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Cálculo volumen 3

4.8 Multiplicadores de Lagrange

Cálculo volumen 34.8 Multiplicadores de Lagrange

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 4.8.1 Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización con una restricción.
  • 4.8.2 Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización con dos restricciones.

La resolución de problemas de optimización para funciones de dos o más variables puede ser similar a la resolución de estos problemas en el cálculo de una sola variable. Sin embargo, las técnicas para tratar con múltiples variables nos permiten resolver problemas de optimización más variados para los que necesitamos tratar con condiciones o restricciones adicionales. En esta sección, examinamos uno de los métodos más comunes y útiles para resolver problemas de optimización con restricciones.

Multiplicadores de Lagrange

El Ejemplo 4.41 era una situación aplicada que implicaba la maximización de una función de ganancia, sujeta a ciertas restricciones. En ese ejemplo, las restricciones se referían a un número máximo de pelotas de golf que podían producirse y venderse en 11 mes (x),(x), y un número máximo de horas de publicidad que se pueden comprar al mes (y).(y). Supongamos que se combinan en una restricción de presupuesto, como 20x+4y216,20x+4y216, que tuvo en cuenta el costo de producción de las pelotas de golf y el número de horas de publicidad compradas al mes. El objetivo sigue siendo maximizar la ganancia, pero ahora hay un tipo diferente de restricción en los valores de xx como y.y. Esta restricción, cuando se combina con la función de ganancia f(x,y)=48x+96yx2 2 xy9y2 ,f(x,y)=48x+96yx2 2 xy9y2 , es un ejemplo de problema de optimización, y la función f(x,y)f(x,y) se denomina función objetivo. Un gráfico de varias curvas de nivel de la función f(x,y)f(x,y) es el siguiente.

Una serie de elipses rotadas que se hacen cada vez más grandes. La más pequeña está marcada como f(x, y) = 400, y la más grande como f(x, y) = 150.
Figura 4.59 Gráfico de las curvas de nivel de la función f ( x , y ) = 48 x + 96 y x 2 2 x y 9 y 2 f ( x , y ) = 48 x + 96 y x 2 2 x y 9 y 2 correspondiente a c = 150 , 250 , 350 , y 400 . c = 150 , 250 , 350 , y 400 .

En la Figura 4.59, el valor cc representa diferentes niveles de ganancia (es decir, valores de la función f).f). Como el valor de cc aumenta, la curva se desplaza hacia la derecha. Como nuestro objetivo es maximizar la ganancia, queremos elegir una curva lo más a la derecha posible. Si no hubiera ninguna restricción en el número de pelotas de golf que puede producir la compañía o en el número de unidades de publicidad disponibles, entonces podríamos producir todas las pelotas de golf que quisiéramos y hacer toda la publicidad que quisiéramos, y no habría una ganancia máxima para la compañía. Por desgracia, tenemos una restricción de presupuesto que se modela mediante la desigualdad 20x+4y216.20x+4y216. Para ver cómo interactúa esta restricción con la función de ganancias, la Figura 4.60 muestra el gráfico de la línea 20x+4y=21620x+4y=216 superpuesta al gráfico anterior.

Una serie de elipses rotadas que se hacen cada vez más grandes. En la elipse más pequeña, de color rojo, hay una línea tangente marcada con la ecuación 20x + 4y = 216 que parece tocar la elipse cerca de (10, 4).
Figura 4.60 Gráfica de las curvas de nivel de la función f ( x , y ) = 48 x + 96 y x 2 2 x y 9 y 2 f ( x , y ) = 48 x + 96 y x 2 2 x y 9 y 2 correspondiente a c = 150 , 250 , 350 , y 395 . c = 150 , 250 , 350 , y 395 . El gráfico rojo es la función de restricción.

Como se ha mencionado anteriormente, la ganancia máxima se produce cuando la curva de nivel está lo más a la derecha posible. Sin embargo, el nivel de producción correspondiente a esta ganancia máxima también debe satisfacer la restricción de presupuesto, por lo que el punto en el que se produce esta ganancia también debe situarse en (o a la izquierda de) la línea roja en la Figura 4.60. La inspección de este gráfico revela que este punto existe donde la línea es tangente a la curva de nivel de f.f. La prueba y el error revelan que este nivel de ganancias parece estar en torno a 395,395, cuando xx como yy son ambos poco menos que 5.5. Volveremos a la solución de este problema más adelante en esta sección. Desde un punto de vista teórico, en el punto en el que la curva de ganancias es tangente a la línea de restricción, el gradiente de ambas funciones evaluadas en ese punto debe apuntar en la misma dirección (o en la opuesta). Recordemos que el gradiente de una función de más de una variable es un vector. Si dos vectores apuntan en la misma dirección (o en direcciones opuestas), uno de ellos debe ser un múltiplo constante del otro. Esta idea es la base del método de los multiplicadores de Lagrange.

Teorema 4.20

Método de los multiplicadores de Lagrange: una restricción

Supongamos que ff y gg son funciones de dos variables con derivadas parciales continuas en cada punto de algún conjunto abierto que contenga la curva suave g(x,y)=0.g(x,y)=0. Supongamos que f,f, cuando se restringe a los puntos de la curva g(x,y)=0,g(x,y)=0, tiene un extremo local en el punto (x0,y0)(x0,y0) y que g(x0,y0)0.g(x0,y0)0. Entonces hay un número λλ llamado multiplicador de Lagrange, para el cual

f(x0,y0)=λg(x0,y0).f(x0,y0)=λg(x0,y0).

Prueba

Supongamos que un extremo restringido se produce en el punto (x0,y0).(x0,y0). Además, suponemos que la ecuación g(x,y)=0g(x,y)=0 se puede parametrizar suavemente como

x=x(s)yy=y(s)x=x(s)yy=y(s)

donde s es un parámetro de longitud de arco con punto de referencia (x0,y0)(x0,y0) a las s=0.s=0. Por lo tanto, la cantidad z=f(x(s),y(s))z=f(x(s),y(s)) tiene un máximo o un mínimo relativos en s=0,s=0, y esto implica que dzds=0dzds=0 en ese punto. Según la regla de la cadena,

dzds=fx.xs+fy.ys=( fxî+ fy).(xsî.ys)=0,dzds=fx.xs+fy.ys=( fxî+ fy).(xsî.ys)=0,

donde las derivadas se evalúan todas en s=0.s=0. Sin embargo, el primer factor del producto escalar es el gradiente de f,f, y el segundo factor es el vector tangente unitario T(0)T(0) a la curva de restricción. Dado que el punto (x0,y0)(x0,y0) corresponde a s=0,s=0, se deduce de esta ecuación que

f(x0,y0).T(0)=0,f(x0,y0).T(0)=0,

lo que implica que el gradiente es 00 o es normal a la curva de restricción en un extremo relativo restringido. Sin embargo, la curva de restricción g(x,y)=0g(x,y)=0 es una curva de nivel para la función g(x,y)g(x,y) de modo que si g(x0,y0)0g(x0,y0)0 entonces g(x0,y0)g(x0,y0) es normal a esta curva en (x0,y0)(x0,y0) Se deduce, entonces, que hay algún escalar λλ tal que

f(x0,y0)=λg(x0,y0)f(x0,y0)=λg(x0,y0)

Para aplicar el Método de los multiplicadores de Lagrange: una restricción a un problema de optimización similar al del fabricante de pelotas de golf, necesitamos una estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia de resolución de problemas: Pasos para utilizar los multiplicadores de Lagrange

  1. Determine la función objetivo f(x,y)f(x,y) y la función de restricción g(x,y).g(x,y). ¿El problema de optimización consiste en maximizar o minimizar la función objetivo?
  2. Establezca un sistema de ecuaciones utilizando la siguiente plantilla
    f(x0,y0)=λg(x0,y0)g(x0,y0)=0.f(x0,y0)=λg(x0,y0)g(x0,y0)=0.
  3. Resuelva para x0x0 y y0.y0.
  4. El mayor de los valores de ff en las soluciones encontradas en el paso 33 maximiza f;f; el menor de esos valores minimiza f.f.

Ejemplo 4.42

Usar los multiplicadores de Lagrange

Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el valor mínimo de f(x,y)=x2 +4y2 2 x+8yf(x,y)=x2 +4y2 2 x+8y sujeto a la restricción x+2 y=7.x+2 y=7.

Punto de control 4.37

Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el valor máximo de f(x,y)=9x2 +36xy4y2 18x8yf(x,y)=9x2 +36xy4y2 18x8y sujeto a la restricción 3x+4y=32.3x+4y=32.

Volvamos ahora al problema planteado al principio de la sección.

Ejemplo 4.43

Pelotas de golf y multiplicadores de Lagrange

El fabricante de pelotas de golf Pro-T ha desarrollado un modelo de ganancias que depende del número xx de pelotas de golf vendidas al mes (medidas en miles), y el número de horas al mes de publicidad y, según la función

z=f(x,y)=48x+96yx2 2 xy9y2 ,z=f(x,y)=48x+96yx2 2 xy9y2 ,

donde zz se mide en miles de dólares. La función de restricción de presupuesto que relaciona el costo de producción de miles de pelotas de golf y las unidades de publicidad viene dada por 20x+4y=216.20x+4y=216. Halle los valores de xx como yy que maximizan la ganancia y halle la ganancia máxima.

Punto de control 4.38

Una empresa ha determinado que su nivel de producción viene dado por la función Cobb-Douglas f(x,y)=2,5x0,45y0,55f(x,y)=2,5x0,45y0,55 donde x representa el número total de horas de trabajo en 11 año y y representa el aporte total de capital para la compañía. Supongamos que 11 unidad de trabajo cuesta $40$40 y 11 unidad de capital cuesta $50.$50. Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el valor máximo de f(x,y)=2,5x0,45y0,55f(x,y)=2,5x0,45y0,55 con una restricción de presupuesto de $500 000$500 000 por año.

En el caso de una función de optimización con tres variables y una única función de restricción, también es posible utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver un problema de optimización. Un ejemplo de función de optimización con tres variables podría ser la función Cobb-Douglas del ejemplo anterior f(x,y,z)=x0,2y0,4z0,4,f(x,y,z)=x0,2y0,4z0,4, donde xx representa el costo de la mano de obra, yy representa la aportación de capital, y zz representa el costo de la publicidad. El método es el mismo que para el método con una función de dos variables; las ecuaciones a resolver son

f(x,y,z)=λg(x,y,z)g(x,y,z)=0,f(x,y,z)=λg(x,y,z)g(x,y,z)=0,

Ejemplo 4.44

Multiplicadores de Lagrange con una función de optimización de tres variables

Halle el mínimo de la función f(x,y,z)=x2 +y2 +z2 f(x,y,z)=x2 +y2 +z2 sujeto a la restricción x+y+z=1.x+y+z=1.

Punto de control 4.39

Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el valor mínimo de la función

f(x,y,z)=x+y+zf(x,y,z)=x+y+z

sujeto a la restricción x2 +y2 +z2 =1.x2 +y2 +z2 =1.

Problemas con dos restricciones

El método de los multiplicadores de Lagrange puede aplicarse a problemas con más de una restricción. En este caso la función de optimización, ww es una función de tres variables:

w=f(x,y,z)w=f(x,y,z)

y está sujeta a dos restricciones:

g(x,y,z)=0yh(x,y,z)=0.g(x,y,z)=0yh(x,y,z)=0.

Hay dos multiplicadores de Lagrange, λ1λ1 y λ2 ,λ2 , y el sistema de ecuaciones se convierte en

f(x0,y0,z0)=λ1g(x0,y0,z0)+λ2 h(x0,y0,z0)g(x0,y0,z0)=0h(x0,y0,z0)=0,f(x0,y0,z0)=λ1g(x0,y0,z0)+λ2 h(x0,y0,z0)g(x0,y0,z0)=0h(x0,y0,z0)=0,

Ejemplo 4.45

Multiplicadores de Lagrange con dos restricciones

Halle los valores máximos y mínimos de la función

f(x,y,z)=x2 +y2 +z2 f(x,y,z)=x2 +y2 +z2

sujeta a las condiciones z2 =x2 +y2 z2 =x2 +y2 y x+yz+1=0.x+yz+1=0.

Punto de control 4.40

Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el valor mínimo de la función

f(x,y,z)=x2 +y2 +z2 f(x,y,z)=x2 +y2 +z2

sujeta a las condiciones 2 x+y+2 z=92 x+y+2 z=9 y 5x+5y+7z=29.5x+5y+7z=29.

Sección 4.8 ejercicios

En los siguientes ejercicios, utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los valores máximos y mínimos de la función sujeta a las restricciones dadas.

358.

f ( x , y ) = x 2 y ; x 2 + 2 y 2 = 6 f ( x , y ) = x 2 y ; x 2 + 2 y 2 = 6

359.

f ( x , y , z ) = x y z , x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6 f ( x , y , z ) = x y z , x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6

360.

f ( x , y ) = x y ; 4 x 2 + 8 y 2 = 16 f ( x , y ) = x y ; 4 x 2 + 8 y 2 = 16

361.

f ( x , y ) = 4 x 3 + y 2 ; 2 x 2 + y 2 = 1 f ( x , y ) = 4 x 3 + y 2 ; 2 x 2 + y 2 = 1

362.

f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 , x 4 + y 4 + z 4 = 1 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 , x 4 + y 4 + z 4 = 1

363.

f ( x , y , z ) = y z + x y , x y = 1 , y 2 + z 2 = 1 f ( x , y , z ) = y z + x y , x y = 1 , y 2 + z 2 = 1

364.

f ( x , y ) = x 2 + y 2 , ( x 1 ) 2 + 4 y 2 = 4 f ( x , y ) = x 2 + y 2 , ( x 1 ) 2 + 4 y 2 = 4

365.

f ( x , y ) = 4 x y , x 2 9 + y 2 16 = 1 f ( x , y ) = 4 x y , x 2 9 + y 2 16 = 1

366.

f ( x , y , z ) = x + y + z , 1 x + 1 y + 1 z = 1 f ( x , y , z ) = x + y + z , 1 x + 1 y + 1 z = 1

367.

f ( x , y , z ) = x + 3 y z , x 2 + y 2 + z 2 = 4 f ( x , y , z ) = x + 3 y z , x 2 + y 2 + z 2 = 4

368.

f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 , x y z = 4 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 , x y z = 4

369.

Minimice f(x,y)=x2 +y2 f(x,y)=x2 +y2 en la hipérbola xy=1.xy=1.

370.

Minimice f(x,y)=xyf(x,y)=xy en la elipse b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 .b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 .

371.

Maximice f(x,y,z)=2 x+3y+5zf(x,y,z)=2 x+3y+5z en la esfera x2 +y2 +z2 =19.x2 +y2 +z2 =19.

372.

Maximice f(x,y)=x2 y2 ;x>0,y>0;g(x,y)=yx2 =0f(x,y)=x2 y2 ;x>0,y>0;g(x,y)=yx2 =0

373.

La curva x3y3=1x3y3=1 es asintótica a la línea y=x.y=x. Halle el punto o puntos de la curva x3y3=1x3y3=1 más alejados de la línea y=x.y=x.

374.

Maximice U(x,y)=8x4/5y1/5;4x+2 y=12U(x,y)=8x4/5y1/5;4x+2 y=12

375.

Minimice f(x,y)=x2 +y2 ,x+2 y5=0.f(x,y)=x2 +y2 ,x+2 y5=0.

376.

Maximice f(x,y)=6x2 y2 ,x+y2 =0.f(x,y)=6x2 y2 ,x+y2 =0.

377.

Minimice f(x,y,z)=x2 +y2 +z2 ,x+y+z=1.f(x,y,z)=x2 +y2 +z2 ,x+y+z=1.

378.

Minimice f(x,y)=x2 y2 f(x,y)=x2 y2 sujeto a la restricción x2 y+6=0.x2 y+6=0.

379.

Minimice f(x,y,z)=x2 +y2 +z2 f(x,y,z)=x2 +y2 +z2 cuando x+y+z=9x+y+z=9 y x+2 y+3z=20.x+2 y+3z=20.

En el siguiente grupo de ejercicios, utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver los siguientes problemas aplicados.

380.

Un pentágono se forma al colocar un triángulo isósceles sobre un rectángulo, como se muestra en el diagrama. Si el perímetro del pentágono es 1010 pulgadas, halle las longitudes de los lados del pentágono que maximizarán el área del pentágono.

Un rectángulo con un triángulo isósceles en la parte superior. El lado del triángulo isósceles con los dos ángulos iguales de tamaño θ se superpone a la longitud superior del rectángulo.
381.

Una caja rectangular sin tapa (una caja sin tapa) debe hacerse de 1212 pies2 de cartón. Halle el volumen máximo de dicha caja.

382.

Halle las distancias mínima y máxima entre la elipse x2 +xy+2 y2 =1x2 +xy+2 y2 =1 y el origen.

383.

Halle el punto de la superficie x2 2 xy+y2 x+y=0x2 2 xy+y2 x+y=0 más cercano al punto (1,2 ,−3).(1,2 ,−3).

384.

Demuestre que, de todos los triángulos inscritos en una circunferencia de radio RR (vea el diagrama), el triángulo equilátero tiene el mayor perímetro.

Un círculo con un triángulo equilátero dibujado en su interior de forma que cada vértice del triángulo toca el círculo.
385.

Halle la distancia mínima del punto (0,1)(0,1) a la parábola x2 =4y.x2 =4y.

386.

Halle la distancia mínima de la parábola y=x2 y=x2 al punto (0,3).(0,3).

387.

Halle la distancia mínima del plano x+y+z=1x+y+z=1 al punto (2 ,1,1).(2 ,1,1).

388.

Un gran contenedor con forma de sólido rectangular debe tener un volumen de 480480m3. La construcción del fondo del contenedor cuesta 5 dólares por metro cuadrado, mientras que la parte superior y los laterales cuestan 3 dólares por metro cuadrado. Utilice los multiplicadores de Lagrange para calcular las dimensiones del contenedor de este tamaño que tenga el mínimo costo.

389.

Hale el punto de la línea y=2 x+3y=2 x+3 que está más cerca del punto (4,2 ).(4,2 ).

390.

Halle el punto en el plano 4x+3y+z=2 4x+3y+z=2 que está más cerca del punto (1,–1,1).(1,–1,1).

391.

Halle el valor máximo de f(x,y)=senxseny,f(x,y)=senxseny, donde xyyxyy denota los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Dibuje los contornos de la función utilizando un CAS.

392.

Un sólido rectangular está contenido en un tetraedro con vértices en

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), y el origen. La base de la caja tiene unas dimensiones x,y,x,y, y la altura de la caja es z.z. Si la suma de x,y,yzx,y,yz es 1,0, halle las dimensiones que maximizan el volumen del sólido rectangular.

393.

[T] Invirtiendo x unidades de trabajo y y unidades de capital, un fabricante de relojes puede producir P(x,y)=50x0,4y0,6P(x,y)=50x0,4y0,6 relojes. Calcule el número máximo de relojes que se pueden producir con un presupuesto de $20 000$20 000 si la mano de obra cuesta 100 dólares/unidad y el capital 200 dólares/unidad. Utilice un CAS para trazar un gráfico de contorno de la función.

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