Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

4.8.1 Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización con una restricción.
4.8.2 Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización con dos restricciones.

La resolución de problemas de optimización para funciones de dos o más variables puede ser similar a la resolución de estos problemas en el cálculo de una sola variable. Sin embargo, las técnicas para tratar con múltiples variables nos permiten resolver problemas de optimización más variados para los que necesitamos tratar con condiciones o restricciones adicionales. En esta sección, examinamos uno de los métodos más comunes y útiles para resolver problemas de optimización con restricciones.

Multiplicadores de Lagrange

El Ejemplo 4.41 era una situación aplicada que implicaba la maximización de una función de ganancia, sujeta a ciertas restricciones. En ese ejemplo, las restricciones se referían a un número máximo de pelotas de golf que podían producirse y venderse en $1$ mes $(x),$ y un número máximo de horas de publicidad que se pueden comprar al mes $(y) .$ Supongamos que se combinan en una restricción de presupuesto, como $20 x + 4 y \leq 216,$ que tuvo en cuenta el costo de producción de las pelotas de golf y el número de horas de publicidad compradas al mes. El objetivo sigue siendo maximizar la ganancia, pero ahora hay un tipo diferente de restricción en los valores de $x$ como $y .$ Esta restricción, cuando se combina con la función de ganancia $f (x, y) = 48 x + 96 y - x^{2} - 2 x y - 9 y^{2},$ es un ejemplo de problema de optimización, y la función $f (x, y)$ se denomina función objetivo. Un gráfico de varias curvas de nivel de la función $f (x, y)$ es el siguiente.

Una serie de elipses rotadas que se hacen cada vez más grandes. La más pequeña está marcada como f(x, y) = 400, y la más grande como f(x, y) = 150.

Figura 4.59 Gráfico de las curvas de nivel de la función

f (x, y) = 48 x + 96 y - x^{2} - 2 x y - 9 y^{2}

correspondiente a

c = 150, 250, 350, y 400 .

En la Figura 4.59, el valor $c$ representa diferentes niveles de ganancia (es decir, valores de la función $f) .$ Como el valor de $c$ aumenta, la curva se desplaza hacia la derecha. Como nuestro objetivo es maximizar la ganancia, queremos elegir una curva lo más a la derecha posible. Si no hubiera ninguna restricción en el número de pelotas de golf que puede producir la compañía o en el número de unidades de publicidad disponibles, entonces podríamos producir todas las pelotas de golf que quisiéramos y hacer toda la publicidad que quisiéramos, y no habría una ganancia máxima para la compañía. Por desgracia, tenemos una restricción de presupuesto que se modela mediante la desigualdad $20 x + 4 y \leq 216 .$ Para ver cómo interactúa esta restricción con la función de ganancias, la Figura 4.60 muestra el gráfico de la línea $20 x + 4 y = 216$ superpuesta al gráfico anterior.

Una serie de elipses rotadas que se hacen cada vez más grandes. En la elipse más pequeña, de color rojo, hay una línea tangente marcada con la ecuación 20x + 4y = 216 que parece tocar la elipse cerca de (10, 4).

Figura 4.60 Gráfica de las curvas de nivel de la función

f (x, y) = 48 x + 96 y - x^{2} - 2 x y - 9 y^{2}

correspondiente a

c = 150, 250, 350, y 395 .

El gráfico rojo es la función de restricción.

Como se ha mencionado anteriormente, la ganancia máxima se produce cuando la curva de nivel está lo más a la derecha posible. Sin embargo, el nivel de producción correspondiente a esta ganancia máxima también debe satisfacer la restricción de presupuesto, por lo que el punto en el que se produce esta ganancia también debe situarse en (o a la izquierda de) la línea roja en la Figura 4.60. La inspección de este gráfico revela que este punto existe donde la línea es tangente a la curva de nivel de $f .$ La prueba y el error revelan que este nivel de ganancias parece estar en torno a $395,$ cuando $x$ como $y$ son ambos poco menos que $5 .$ Volveremos a la solución de este problema más adelante en esta sección. Desde un punto de vista teórico, en el punto en el que la curva de ganancias es tangente a la línea de restricción, el gradiente de ambas funciones evaluadas en ese punto debe apuntar en la misma dirección (o en la opuesta). Recordemos que el gradiente de una función de más de una variable es un vector. Si dos vectores apuntan en la misma dirección (o en direcciones opuestas), uno de ellos debe ser un múltiplo constante del otro. Esta idea es la base del método de los multiplicadores de Lagrange.

Teorema 4.20

Método de los multiplicadores de Lagrange: una restricción

Supongamos que $f$ y $g$ son funciones de dos variables con derivadas parciales continuas en cada punto de algún conjunto abierto que contenga la curva suave $g (x, y) = 0 .$ Supongamos que $f,$ cuando se restringe a los puntos de la curva $g (x, y) = 0,$ tiene un extremo local en el punto $(x_{0}, y_{0})$ y que $\nabla g (x_{0}, y_{0}) \neq 0 .$ Entonces hay un número $λ$ llamado multiplicador de Lagrange, para el cual

\nabla f (x_{0}, y_{0}) = λ \nabla g (x_{0}, y_{0}) .

Prueba

Supongamos que un extremo restringido se produce en el punto $(x_{0}, y_{0}) .$ Además, suponemos que la ecuación $g (x, y) = 0$ se puede parametrizar suavemente como

x = x (s) y y = y (s)

donde s es un parámetro de longitud de arco con punto de referencia $(x_{0}, y_{0})$ a las $s = 0 .$ Por lo tanto, la cantidad $z = f (x (s), y (s))$ tiene un máximo o un mínimo relativos en $s = 0,$ y esto implica que $\frac{d z}{d s} = 0$ en ese punto. Según la regla de la cadena,

\frac{d z}{d s} = \frac{\partial f}{\partial x} . \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y} . \frac{\partial y}{\partial s} = (\frac{\partial f}{\partial x} î + \frac{\partial f}{\partial y} ĵ) . (\frac{\partial x}{\partial s} î . \frac{\partial y}{\partial s} ĵ) = 0,

donde las derivadas se evalúan todas en $s = 0 .$ Sin embargo, el primer factor del producto escalar es el gradiente de $f,$ y el segundo factor es el vector tangente unitario $T (0)$ a la curva de restricción. Dado que el punto $(x_{0}, y_{0})$ corresponde a $s = 0,$ se deduce de esta ecuación que

\nabla f (x_{0}, y_{0}) . T (0) = 0,

lo que implica que el gradiente es $0$ o es normal a la curva de restricción en un extremo relativo restringido. Sin embargo, la curva de restricción $g (x, y) = 0$ es una curva de nivel para la función $g (x, y)$ de modo que si $\nabla g (x_{0}, y_{0}) \neq 0$ entonces $\nabla g (x_{0}, y_{0})$ es normal a esta curva en $(x_{0}, y_{0})$ Se deduce, entonces, que hay algún escalar $λ$ tal que

\nabla f (x_{0}, y_{0}) = λ \nabla g (x_{0}, y_{0})

□

Para aplicar el Método de los multiplicadores de Lagrange: una restricción a un problema de optimización similar al del fabricante de pelotas de golf, necesitamos una estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia de resolución de problemas: Pasos para utilizar los multiplicadores de Lagrange

Determine la función objetivo $f (x, y)$ y la función de restricción $g (x, y) .$ ¿El problema de optimización consiste en maximizar o minimizar la función objetivo?
Establezca un sistema de ecuaciones utilizando la siguiente plantilla

$\begin{matrix} \nabla f (x_{0}, y_{0}) & = & λ \nabla g (x_{0}, y_{0}) \\ g (x_{0}, y_{0}) & = & 0 . \end{matrix}$
Resuelva para $x_{0}$ y $y_{0} .$
El mayor de los valores de $f$ en las soluciones encontradas en el paso $3$ maximiza $f;$ el menor de esos valores minimiza $f .$

Ejemplo 4.42

Usar los multiplicadores de Lagrange

Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el valor mínimo de $f (x, y) = x^{2} + 4 y^{2} - 2 x + 8 y$ sujeto a la restricción $x + 2 y = 7 .$

Solución

Sigamos la estrategia de resolución de problemas:

La función de optimización es $f (x, y) = x^{2} + 4 y^{2} - 2 x + 8 y .$ Para determinar la función de restricción, primero debemos restar $7$ de ambos lados de la restricción. Esto da $x + 2 y - 7 = 0 .$ La función de restricción es igual al lado izquierdo, por lo que $g (x, y) = x + 2 y - 7 .$ El problema nos pide que resolvamos el valor mínimo de $f,$ sujeto a la restricción (vea el siguiente gráfico).

Figura 4.61 Gráfica de las curvas de nivel de la función $f (x, y) = x^{2} + 4 y^{2} - 2 x + 8 y$ correspondiente a $c = 10$ y $26 .$ La gráfica roja es la función de restricción.
A continuación, debemos calcular los gradientes tanto de f como de g:

$\begin{matrix} \nabla f (x, y) = (2 x - 2) i + (8 y + 8) j \\ \nabla g (x, y) = i + 2 j . \end{matrix}$

La ecuación $\nabla f (x_{0}, y_{0}) = λ \nabla g (x_{0}, y_{0})$ se convierte en

$(2 x_{0} - 2) i + (8 y_{0} + 8) j = λ (i + 2 j),$

que se puede reescribir como

$(2 x_{0} - 2) i + (8 y_{0} + 8) j = λ i + 2λ j .$

A continuación, establecemos los coeficientes de $i y j$ iguales entre sí:

$\begin{matrix} 2 x_{0} - 2 = λ \\ 8 y_{0} + 8 = 2 λ . \end{matrix}$

La ecuación $g (x_{0}, y_{0}) = 0$ se convierte en $x_{0} + 2 y_{0} - 7 = 0 .$ Por tanto, el sistema de ecuaciones que hay que resolver es

$\begin{matrix} 2 x_{0} - 2 & = & λ \\ 8 y_{0} + 8 & = & 2 λ \\ x_{0} + 2 y_{0} - 7 & = & 0, \end{matrix}$
Se trata de un sistema lineal de tres ecuaciones en tres variables. Comenzamos resolviendo la segunda ecuación para $λ$ y sustituyéndolo en la primera ecuación. Esto da $λ = 4 y_{0} + 4,$ por lo que sustituyendo esto en la primera ecuación se obtiene

$2 x_{0} - 2 = 4 y_{0} + 4 .$

Al resolver esta ecuación para $x_{0}$ da como resultado $x_{0} = 2 y_{0} + 3 .$ A continuación, sustituimos esto en la tercera ecuación:
$\begin{matrix} (2 y_{0} + 3) + 2 y_{0} - 7 & = & 0 \\ 4 y_{0} - 4 & = & 0 \\ y_{0} & = & 1 \end{matrix}$

Dado que $x_{0} = 2 y_{0} + 3,$ esto da $x_{0} = 5 .$
A continuación, sustituimos $(5, 1)$ en $f (x, y) = x^{2} + 4 y^{2} - 2 x + 8 y,$ y da como resultado $f (5, 1) = 5^{2} + 4 {(1)}^{2} - 2 (5) + 8 (1) = 27 .$ Para asegurarnos de que esto corresponde a un valor mínimo en la función de restricción, probemos con otros valores, como la intersección de $g (x, y) = 0,$ Que son $(7, 0)$ y $(0, 3,5) .$ Obtenemos $f (7, 0) = 35$ y $f (0, 3,5) = 77,$ por lo que parece que $f$ tiene un mínimo en $(5, 1) .$

Punto de control 4.37

Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el valor máximo de $f (x, y) = 9 x^{2} + 36 x y - 4 y^{2} - 18 x - 8 y$ sujeto a la restricción $3 x + 4 y = 32 .$

Volvamos ahora al problema planteado al principio de la sección.

Ejemplo 4.43

Pelotas de golf y multiplicadores de Lagrange

El fabricante de pelotas de golf Pro-T ha desarrollado un modelo de ganancias que depende del número $x$ de pelotas de golf vendidas al mes (medidas en miles), y el número de horas al mes de publicidad y, según la función

z = f (x, y) = 48 x + 96 y - x^{2} - 2 x y - 9 y^{2},

donde $z$ se mide en miles de dólares. La función de restricción de presupuesto que relaciona el costo de producción de miles de pelotas de golf y las unidades de publicidad viene dada por $20 x + 4 y = 216 .$ Halle los valores de $x$ como $y$ que maximizan la ganancia y halle la ganancia máxima.

Solución

Una vez más, seguimos la estrategia de resolución de problemas:

La función de optimización es $f (x, y) = 48 x + 96 y - x^{2} - 2 x y - 9 y^{2} .$ Para determinar la función de restricción, primero restamos 216 a ambos lados de la restricción, y luego dividimos ambos lados entre $4,$ que da $5 x + y - 54 = 0 .$ La función de restricción es igual al lado izquierdo, por lo que $g (x, y) = 5 x + y - 54 .$ El problema nos pide que resolvamos el valor máximo de $f,$ con esta restricción.
Por lo tanto, calculamos los gradientes de ambos $f y$ $g :$

$\begin{matrix} \nabla f (x, y) = (48 - 2 x - 2 y) i + (96 - 2 x - 18 y) j \\ \nabla g (x, y) = 5 i + j . \end{matrix}$

La ecuación $\nabla f (x_{0}, y_{0}) = λ \nabla g (x_{0}, y_{0})$ se convierte en

$(48 - 2 x_{0} - 2 y_{0}) i + (96 - 2 x_{0} - 18 y_{0}) j = λ (5 i + j),$

que se puede reescribir como

$(48 - 2 x_{0} - 2 y_{0}) i + (96 - 2 x_{0} - 18 y_{0}) j = λ 5 i + λ j .$

A continuación, fijamos los coeficientes de $i y j$ iguales entre sí:

$\begin{matrix} 48 - 2 x_{0} - 2 y_{0} & = & 5 λ \\ 96 - 2 x_{0} - 18 y_{0} & = & λ . \end{matrix}$

La ecuación $g (x_{0}, y_{0}) = 0$ se convierte en $5 x_{0} + y_{0} - 54 = 0 .$ Por tanto, el sistema de ecuaciones que hay que resolver es

$\begin{matrix} 48 - 2 x_{0} - 2 y_{0} & = & 5 λ \\ 96 - 2 x_{0} - 18 y_{0} & = & λ \\ 5 x_{0} + y_{0} - 54 & = & 0, \end{matrix}$
Utilizamos el lado izquierdo de la segunda ecuación para sustituir $λ$ en la primera ecuación

$\begin{matrix} 48 - 2 x_{0} - 2 y_{0} & = & 5 (96 - 2 x_{0} - 18 y_{0}) \\ 48 - 2 x_{0} - 2 y_{0} & = & 480 - 10 x_{0} - 90 y_{0} \\ 8 x_{0} & = & 432 - 88 y_{0} \\ x_{0} & = & 54 - 11 y_{0} . \end{matrix}$

Entonces sustituimos esto en la tercera ecuación

$\begin{matrix} 5 (54 - 11 y_{0}) + y_{0} - 54 & = & 0 \\ 270 - 55 y_{0} + y_{0} & = & 0 \\ 216 - 54 y_{0} & = & 0 \\ y_{0} & = & 4. \end{matrix}$

Dado que $x_{0} = 54 - 11 y_{0},$ esto da $x_{0} = 10 .$
A continuación, sustituimos $(10, 4)$ en $f (x, y) = 48 x + 96 y - x^{2} - 2 x y - 9 y^{2},$ que da

$\begin{matrix} f (10, 4) & = 48 (10) + 96 (4) - {(10)}^{2} - 2 (10) (4) - 9 {(4)}^{2} \\ = 480 + 384 - 100 - 80 - 144 = 540. \end{matrix}$

Por lo tanto, la ganancia máxima que se puede alcanzar, con las restricciones presupuesto, es $$ 540.000$ con un nivel de producción de $10 000$ pelotas de golf y $4$ horas de publicidad comprada al mes. Comprobemos que esto es realmente un máximo. Los puntos finales de la línea que define la restricción son $(10,8, 0)$ y $(0, 54)$ Evaluemos $f$ en estos dos puntos

$\begin{matrix} f (10,8, 0) & = & 48 (10,8) + 96 (0) - {10,8}^{2} - 2 (10,8) (0) - 9 (0^{2}) = 401,76 \\ f (0, 54) & = & 48 (0) + 96 (54) - 0^{2} - 2 (0) (54) - 9 (54^{2}) = −21, 060. \end{matrix}$

El segundo valor representa una pérdida, ya que no se producen pelotas de golf. Ninguno de estos valores supera $540,$ por lo que parece que nuestro extremo es un valor máximo de $f .$

Punto de control 4.38

Una empresa ha determinado que su nivel de producción viene dado por la función Cobb-Douglas $f (x, y) = 2,5 x^{0,45} y^{0,55}$ donde x representa el número total de horas de trabajo en $1$ año y y representa el aporte total de capital para la compañía. Supongamos que $1$ unidad de trabajo cuesta $$ 40$ y $1$ unidad de capital cuesta $$ 50 .$ Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el valor máximo de $f (x, y) = 2,5 x^{0,45} y^{0,55}$ con una restricción de presupuesto de $$ 500 000$ por año.

En el caso de una función de optimización con tres variables y una única función de restricción, también es posible utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver un problema de optimización. Un ejemplo de función de optimización con tres variables podría ser la función Cobb-Douglas del ejemplo anterior $f (x, y, z) = x^{0,2} y^{0,4} z^{0,4},$ donde $x$ representa el costo de la mano de obra, $y$ representa la aportación de capital, y $z$ representa el costo de la publicidad. El método es el mismo que para el método con una función de dos variables; las ecuaciones a resolver son

\begin{matrix} \nabla f (x, y, z) & = & λ \nabla g (x, y, z) \\ g (x, y, z) & = & 0, \end{matrix}

Ejemplo 4.44

Multiplicadores de Lagrange con una función de optimización de tres variables

Halle el mínimo de la función $f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ sujeto a la restricción $x + y + z = 1 .$

Solución

La función de optimización es $f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} .$ Para determinar la función de restricción, restamos $1$ de cada lado de la restricción $x + y + z - 1 = 0$ que da la función de restricción como $g (x, y, z) = x + y + z - 1 .$
A continuación, calculamos $\nabla f (x, y, z)$ y $\nabla g (x, y, z) :$

$\begin{matrix} \nabla f (x, y, z) = 〈 2 x, 2 y, 2 z 〉 \\ \nabla g (x, y, z) = 〈 1, 1, 1 〉 . \end{matrix}$

Esto lleva a las ecuaciones

$\begin{matrix} 〈 2 x_{0}, 2 y_{0}, 2 z_{0} 〉 & = & λ 〈 1, 1, 1 〉 \\ x_{0} + y_{0} + z_{0} - 1 & = & 0 \end{matrix}$

que se pueden reescribir de la siguiente forma

$\begin{matrix} 2 x_{0} & = & λ \\ 2 y_{0} & = & λ \\ 2 z_{0} & = & λ \\ x_{0} + y_{0} + z_{0} - 1 & = & 0, \end{matrix}$
Como cada una de las tres primeras ecuaciones tiene $λ$ en el lado derecho, sabemos que $2 x_{0} = 2 y_{0} = 2 z_{0}$ y las tres variables son iguales entre sí. Al sustituir $y_{0} = x_{0}$ y $z_{0} = x_{0}$ en la última ecuación da como resultado $3 x_{0} - 1 = 0,$ por lo que $x_{0} = \frac{1}{3}$ y $y_{0} = \frac{1}{3}$ y $z_{0} = \frac{1}{3}$ que corresponde a un punto crítico de la curva de restricción.
Entonces, evaluamos f en el punto $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) :$

$f (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} .$

Por lo tanto, un extremo de la función es $\frac{1}{3} .$ Para comprobar que es un mínimo, elija otros puntos que satisfagan la restricción y calcule $f$ en ese punto. Por ejemplo,

$\begin{matrix} f (1, 0, 0) & = & 1^{2} + 0^{2} + 0^{2} = 1 \\ f (0, –2, 3) & = & 0^{2} + {(−2)}^{2} + 3^{2} = 13. \end{matrix}$

Ambos valores son mayores que $\frac{1}{3},$ lo que nos lleva a creer que el extremo es un mínimo.

Punto de control 4.39

Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el valor mínimo de la función

f (x, y, z) = x + y + z

sujeto a la restricción $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 .$

Problemas con dos restricciones

El método de los multiplicadores de Lagrange puede aplicarse a problemas con más de una restricción. En este caso la función de optimización, $w$ es una función de tres variables:

w = f (x, y, z)

y está sujeta a dos restricciones:

g (x, y, z) = 0 y h (x, y, z) = 0 .

Hay dos multiplicadores de Lagrange, $λ_{1}$ y $λ_{2},$ y el sistema de ecuaciones se convierte en

\begin{matrix} \nabla f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) & = & λ_{1} \nabla g (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + λ_{2} \nabla h (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \\ g (x_{0}, y_{0}, z_{0}) & = & 0 \\ h (x_{0}, y_{0}, z_{0}) & = & 0, \end{matrix}

Ejemplo 4.45

Multiplicadores de Lagrange con dos restricciones

Halle los valores máximos y mínimos de la función

f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

sujeta a las condiciones $z^{2} = x^{2} + y^{2}$ y $x + y - z + 1 = 0 .$

Solución

Sigamos la estrategia de resolución de problemas:

La función de optimización es $f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} .$ Para determinar las funciones de restricción, primero restamos $z^{2}$ de ambos lados de la primera restricción, lo que da $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0,$ por lo que $g (x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z^{2} .$ La segunda función de restricción es $h (x, y, z) = x + y - z + 1 .$
A continuación, calculamos los gradientes de $f, g, y h :$

$\begin{matrix} \nabla f (x, y, z) = 2 x i + 2 y j + 2 z k \\ \nabla g (x, y, z) = 2 x i + 2 y j - 2 z k \\ \nabla h (x, y, z) = i + j - k . \end{matrix}$

La ecuación $\nabla f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = λ_{1} \nabla g (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + λ_{2} \nabla h (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ se convierte en

$2 x_{0} i + 2 y_{0} j + 2 z_{0} k = λ_{1} (2 x_{0} i + 2 y_{0} j - 2 z_{0} k) + λ_{2} (i + j - k),$

que se puede reescribir como

$2 x_{0} i + 2 y_{0} j + 2 z_{0} k = (2 λ_{1} x_{0} + λ_{2}) i + (2 λ_{1} y_{0} + λ_{2}) j - (2 λ_{1} z_{0} + λ_{2}) k .$

A continuación, establecemos los coeficientes de $i, j, y k$ iguales entre sí:

$\begin{matrix} 2 x_{0} = 2 λ_{1} x_{0} + λ_{2} \\ 2 y_{0} = 2 λ_{1} y_{0} + λ_{2} \\ 2 z_{0} = −2 λ_{1} z_{0} - λ_{2} . \end{matrix}$

Las dos ecuaciones que surgen de las restricciones son $z_{0}^{2} = x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ y $x_{0} + y_{0} - z_{0} + 1 = 0 .$ Combinando estas ecuaciones con las tres anteriores se obtiene

$\begin{matrix} 2 x_{0} & = & 2 λ_{1} x_{0} + λ_{2} \\ 2 y_{0} & = & 2 λ_{1} y_{0} + λ_{2} \\ 2 z_{0} & = & −2 λ_{1} z_{0} - λ_{2} \\ z_{0}^{2} & = & x_{0}^{2} + y_{0}^{2} \\ x_{0} + y_{0} - z_{0} + 1 & = & 0, \end{matrix}$
Las tres primeras ecuaciones contienen la variable $λ_{2} .$ Resolver la tercera ecuación para $λ_{2}$ y sustituyendo en las ecuaciones primera y segunda se reduce el número de ecuaciones a cuatro

$\begin{matrix} 2 x_{0} & = & 2 λ_{1} x_{0} - 2 λ_{1} z_{0} - 2 z_{0} \\ 2 y_{0} & = & 2 λ_{1} y_{0} - 2 λ_{1} z_{0} - 2 z_{0} \\ z_{0}^{2} & = & x_{0}^{2} + y_{0}^{2} \\ x_{0} + y_{0} - z_{0} + 1 & = & 0, \end{matrix}$

A continuación, resolvemos la primera y la segunda ecuación para $λ_{1} .$ La primera ecuación da $λ_{1} = \frac{x_{0} + z_{0}}{x_{0} - z_{0}},$ la segunda ecuación da $λ_{1} = \frac{y_{0} + z_{0}}{y_{0} - z_{0}} .$ . Establecemos el lado derecho de cada ecuación igual a la otra y hacemos una multiplicación cruzada

$\begin{matrix} \frac{x_{0} + z_{0}}{x_{0} - z_{0}} & = & \frac{y_{0} + z_{0}}{y_{0} - z_{0}} \\ (x_{0} + z_{0}) (y_{0} - z_{0}) & = & (x_{0} - z_{0}) (y_{0} + z_{0}) \\ x_{0} y_{0} - x_{0} z_{0} + y_{0} z_{0} - z_{0}^{2} & = & x_{0} y_{0} + x_{0} z_{0} - y_{0} z_{0} - z_{0} 2 \\ 2 y_{0} z_{0} - 2 x_{0} z_{0} & = & 0 \\ 2 z_{0} (y_{0} - x_{0}) & = & 0, \end{matrix} .$

Por lo tanto, o bien $z_{0} = 0$ o $y_{0} = x_{0} .$ Si $z_{0} = 0,$ entonces la primera restricción se convierte en $0 = x_{0}^{2} + y_{0}^{2} .$ La única solución real a esta ecuación es $x_{0} = 0$ y $y_{0} = 0,$ que da la triple ordenada $(0, 0, 0) .$ Este punto no satisface la segunda restricción, por lo que no es una solución.
A continuación, consideramos $y_{0} = x_{0},$ que reduce el número de ecuaciones a tres

$\begin{matrix} y_{0} & = & x_{0} \\ z_{0}^{2} & = & x_{0}^{2} + y_{0}^{2} \\ x_{0} + y_{0} - z_{0} + 1 & = & 0, \end{matrix}$

Sustituimos la primera ecuación en las ecuaciones segunda y tercera

$\begin{matrix} z_{0}^{2} & = & x_{0}^{2} + x_{0}^{2} \\ x_{0} + x_{0} - z_{0} + 1 & = & 0, \end{matrix}$

Entonces, resolvemos la segunda ecuación para $z_{0},$ que da $z_{0} = 2 x_{0} + 1 .$ A continuación, sustituimos esto en la primera ecuación,

$\begin{matrix} z_{0}^{2} & = & 2 x_{0}^{2} \\ {(2 x_{0} + 1)}^{2} & = & 2 x_{0}^{2} \\ 4 x_{0}^{2} + 4 x_{0} + 1 & = & 2 x_{0}^{2} \\ 2 x_{0}^{2} + 4 x_{0} + 1 & = & 0, \end{matrix}$

y utilizamos la fórmula cuadrática para resolver $x_{0} :$

$x_{0} = \frac{–4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 (2) (1)}}{2 (2)} = \frac{–4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{–4 \pm 2 \sqrt{2}}{4} = –1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Recuerdo que $y_{0} = x_{0},$ por lo que esto resuelve $y_{0}$ también. Entonces, $z_{0} = 2 x_{0} + 1,$ así que

$z_{0} = 2 x_{0} + 1 = 2 (−1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 = −2 + 1 \pm \sqrt{2} = –1 \pm \sqrt{2} .$

Por lo tanto, hay dos soluciones de triple ordenadas

$(–1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, −1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, −1 + \sqrt{2}) y (−1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, −1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, −1 - \sqrt{2}) .$
Sustituimos $(–1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, −1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, −1 + \sqrt{2})$ en $f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2},$ que da

$\begin{matrix} f (–1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, −1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, −1 + \sqrt{2}) & = {(–1 + \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(–1 + \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(–1 + \sqrt{2})}^{2} \\ = (1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2}) + (1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2}) + (1 - 2 \sqrt{2} + 2) \\ = 6 - 4 \sqrt{2} . \end{matrix}$

Entonces, sustituimos $(−1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, −1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, −1 - \sqrt{2})$ en $f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2},$ que da

$\begin{matrix} f (−1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, −1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, −1 - \sqrt{2}) & = {(−1 - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(−1 - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(−1 - \sqrt{2})}^{2} \\ = (1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2}) + (1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2}) + (1 + 2 \sqrt{2} + 2) \\ = 6 + 4 \sqrt{2} . \end{matrix}$

$6 + 4 \sqrt{2}$ es el valor máximo y $6 - 4 \sqrt{2}$ es el valor mínimo de $f (x, y, z),$ con las restricciones dadas.

Punto de control 4.40

Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el valor mínimo de la función

f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

sujeta a las condiciones $2 x + y + 2 z = 9$ y $5 x + 5 y + 7 z = 29 .$

Sección 4.8 ejercicios

En los siguientes ejercicios, utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los valores máximos y mínimos de la función sujeta a las restricciones dadas.

358.

$f (x, y) = x^{2} y; x^{2} + 2 y^{2} = 6$

359.

$f (x, y, z) = x y z, x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 6$

360.

$f (x, y) = x y; 4 x^{2} + 8 y^{2} = 16$

361.

$f (x, y) = 4 x^{3} + y^{2}; 2 x^{2} + y^{2} = 1$

362.

$f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}, x^{4} + y^{4} + z^{4} = 1$

363.

$f (x, y, z) = y z + x y, x y = 1, y^{2} + z^{2} = 1$

364.

$f (x, y) = x^{2} + y^{2}, {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} = 4$

365.

$f (x, y) = 4 x y, \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

366.

$f (x, y, z) = x + y + z, \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$

367.

$f (x, y, z) = x + 3 y - z, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$

368.

$f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}, x y z = 4$

369.

Minimice $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ en la hipérbola $x y = 1 .$

370.

Minimice $f (x, y) = x y$ en la elipse $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2} .$

371.

Maximice $f (x, y, z) = 2 x + 3 y + 5 z$ en la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 19 .$

372.

Maximice $\begin{matrix} f (x, y) = x^{2} - y^{2}; x > 0, y > 0; \\ g (x, y) = y - x^{2} = 0 \end{matrix}$

373.

La curva $x^{3} - y^{3} = 1$ es asintótica a la línea $y = x .$ Halle el punto o puntos de la curva $x^{3} - y^{3} = 1$ más alejados de la línea $y = x .$

374.

Maximice $U (x, y) = 8 x^{4 / 5} y^{1 / 5}; 4 x + 2 y = 12$

375.

Minimice $f (x, y) = x^{2} + y^{2}, x + 2 y - 5 = 0 .$

376.

Maximice $f (x, y) = \sqrt{6 - x^{2} - y^{2}}, x + y - 2 = 0 .$

377.

Minimice $f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}, x + y + z = 1 .$

378.

Minimice $f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ sujeto a la restricción $x - 2 y + 6 = 0 .$

379.

Minimice $f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ cuando $x + y + z = 9$ y $x + 2 y + 3 z = 20 .$

En el siguiente grupo de ejercicios, utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver los siguientes problemas aplicados.

380.

Un pentágono se forma al colocar un triángulo isósceles sobre un rectángulo, como se muestra en el diagrama. Si el perímetro del pentágono es $10$ pulgadas, halle las longitudes de los lados del pentágono que maximizarán el área del pentágono.

Un rectángulo con un triángulo isósceles en la parte superior. El lado del triángulo isósceles con los dos ángulos iguales de tamaño θ se superpone a la longitud superior del rectángulo.

381.

Una caja rectangular sin tapa (una caja sin tapa) debe hacerse de $12$ pies² de cartón. Halle el volumen máximo de dicha caja.

382.

Halle las distancias mínima y máxima entre la elipse $x^{2} + x y + 2 y^{2} = 1$ y el origen.

383.

Halle el punto de la superficie $x^{2} - 2 x y + y^{2} - x + y = 0$ más cercano al punto $(1, 2, −3) .$

384.

Demuestre que, de todos los triángulos inscritos en una circunferencia de radio $R$ (vea el diagrama), el triángulo equilátero tiene el mayor perímetro.

Un círculo con un triángulo equilátero dibujado en su interior de forma que cada vértice del triángulo toca el círculo.

385.

Halle la distancia mínima del punto $(0, 1)$ a la parábola $x^{2} = 4 y .$

386.

Halle la distancia mínima de la parábola $y = x^{2}$ al punto $(0, 3) .$

387.

Halle la distancia mínima del plano $x + y + z = 1$ al punto $(2, 1, 1) .$

388.

Un gran contenedor con forma de sólido rectangular debe tener un volumen de $480$ m³. La construcción del fondo del contenedor cuesta 5 dólares por metro cuadrado, mientras que la parte superior y los laterales cuestan 3 dólares por metro cuadrado. Utilice los multiplicadores de Lagrange para calcular las dimensiones del contenedor de este tamaño que tenga el mínimo costo.

389.

Hale el punto de la línea $y = 2 x + 3$ que está más cerca del punto $(4, 2) .$

390.

Halle el punto en el plano $4 x + 3 y + z = 2$ que está más cerca del punto $(1, –1, 1) .$

391.

Halle el valor máximo de $f (x, y) = sen x sen y,$ donde $x y y$ denota los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Dibuje los contornos de la función utilizando un CAS.

392.

Un sólido rectangular está contenido en un tetraedro con vértices en

$(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),$ y el origen. La base de la caja tiene unas dimensiones $x, y,$ y la altura de la caja es $z .$ Si la suma de $x, y, y z$ es 1,0, halle las dimensiones que maximizan el volumen del sólido rectangular.

393.

[T] Invirtiendo x unidades de trabajo y y unidades de capital, un fabricante de relojes puede producir $P (x, y) = 50 x^{0,4} y^{0,6}$ relojes. Calcule el número máximo de relojes que se pueden producir con un presupuesto de $$ 20 000$ si la mano de obra cuesta 100 dólares/unidad y el capital 200 dólares/unidad. Utilice un CAS para trazar un gráfico de contorno de la función.

4.8 Multiplicadores de Lagrange

Multiplicadores de Lagrange

Método de los multiplicadores de Lagrange: una restricción

Prueba

Estrategia de resolución de problemas: Pasos para utilizar los multiplicadores de Lagrange

Usar los multiplicadores de Lagrange

Solución

Pelotas de golf y multiplicadores de Lagrange

Solución

Multiplicadores de Lagrange con una función de optimización de tres variables

Solución

Problemas con dos restricciones

Multiplicadores de Lagrange con dos restricciones

Solución

Sección 4.8 ejercicios