Términos clave

Términos clave

aproximación lineal

dada una función $f\left(x,y\right)$ y un plano tangente a la función en un punto $\left(x_0,y_0\right),$ podemos aproximar $f\left(x,y\right)$ para los puntos cercanos a $\left(x_0,y_0\right)$ utilizando la fórmula del plano tangente

conjunto abierto

un conjunto $S$ que no contiene ninguno de sus puntos límite

conjunto cerrado

un conjunto $S$ que contiene todos sus puntos límite

conjunto conectado

un conjunto abierto $S$ que no puede representarse como la unión de dos o más subconjuntos abiertos no vacíos

curva de nivel de una función de dos variables

el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación $f\left(x,y\right)=c$ para algún número real $c$ en el rango de $f$

derivada direccional

la derivada de una función en la dirección de un vector unitario dado

derivada parcial

una derivada de una función de más de una variable independiente en la que todas las variables menos una se mantienen constantes

derivadas parciales de orden superior

derivadas parciales de segundo orden o superiores, independientemente de que sean derivadas parciales mixtas

derivadas parciales mixtas

derivadas parciales de segundo orden o superiores, en las que al menos dos de las diferenciaciones son con respecto a variables diferentes

diagrama de árbol

ilustra y deriva fórmulas para la regla de la cadena generalizada, en la que se contabiliza cada variable independiente

diferenciable

una función $f\left(x,y,z\right)$ es diferenciable en $\left(x_0,y_0\right)$ si $f\left(x,y\right)$ puede expresarse en la forma $f(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\left(x–x_0\right)+f_y(x_0,y_0)\left(y–y_0\right)+E\left(x,y\right),$
donde el término de error $E\left(x,y\right)$ satisface $\underset{\left(x,y\right)\to \left(x_0,y_0\right)}{\text{lím}}\frac{E\left(x,y\right)}{\sqrt{{\left(x–x_0\right)}^2+{\left(y–y_0\right)}^2}}=0$

diferencial total

el diferencial total de la función $f\left(x,y\right)$ a las $\left(x_0,y_0\right)$ está dado por la fórmula $dz=f_x\left(x_0,y_0\right)dx+f_y\left(x_0,y_0\right)dy$

discriminante

el discriminante de la función $f\left(x,y\right)$ está dado por la fórmula $D=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-{\left(f_{xy}(x_0,y_0)\right)}^2$

ecuación diferencial parcial

una ecuación que implica una función desconocida de más de una variable independiente y una o más de sus derivadas parciales

función de dos variables

una función $z=f\left(x,y\right)$ que aplica cada par ordenado $\left(x,y\right)$ en un subconjunto $D$ de ${ℝ}^2$ a un único número real $z$

función objetivo

la función que debe ser maximizada o minimizada en un problema de optimización

gradiente

el gradiente de la función $f\left(x,y\right)$ se define como $\nabla f\left(x,y\right)=\left(\partial f\text{/}\partial x\right)i+\left(\partial f\text{/}\partial y\right)j,$ que puede generalizarse a una función de cualquier número de variables independientes

gráfico de una función de dos variables

un conjunto de triples ordenadas $\left(x,y,z\right)$ que satisface la ecuación $z=f\left(x,y\right)$ trazado en el espacio cartesiano tridimensional

líneas de contorno

un gráfico de las distintas curvas de nivel de una función determinada $f\left(x,y\right)$

método de los multiplicadores de Lagrange

un método para resolver un problema de optimización sujeto a una o más restricciones

Multiplicador de Lagrange

la constante (o constantes) utilizada en el método de los multiplicadores de Lagrange; en el caso de una constante, se representa por la variable $\lambda$

plano tangente

dada una función $f\left(x,y\right)$ que es diferenciable en un punto $\left(x_0,y_0\right),$ la ecuación del plano tangente a la superficie $z=f\left(x,y\right)$ viene dada por $z=f\left(x_0,y_0\right)+f_x\left(x_0,y_0\right)\left(x–x_0\right)+f_y\left(x_0,y_0\right)\left(y–y_0\right)$

problema de optimización

cálculo de un valor máximo o mínimo de una función de varias variables, a menudo utilizando multiplicadores de Lagrange

punto crítico de una función de dos variables

el punto $\left(x_0,y_0\right)$ se llama punto crítico de $f\left(x,y\right)$ si se cumple una de las dos condiciones siguientes

1. $f_x\left(x_0,y_0\right)=f_y\left(x_0,y_0\right)=0$
2. Al menos uno de $f_x\left(x_0,y_0\right)$ y $f_y\left(x_0,y_0\right)$ no existe

punto de silla

dada la función $z=f(x,y),$ el punto $\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)$ es un punto de silla si $f_x\left(x_0,y_0\right)=0$ y $f_y\left(x_0,y_0\right)=0,$ pero $f$ no tienen un extremo local en $\left(x_0,y_0\right)$

punto interior

un punto $P_0$ de $R$ es un punto límite si existe un disco $\delta$ centrado en $P_0$ contenido completamente en $R$

punto límite

un punto $P_0$ de $R$ es un punto límite si cada disco $\delta$ centrado en $P_0$ contiene puntos tanto dentro como fuera de $R$

región

un subconjunto abierto, conectado y no vacío de ${ℝ}^2$

regla de la cadena generalizada

la regla de la cadena ampliada a las funciones de más de una variable independiente, en las que cada variable independiente puede depender de una o varias otras variables

restricción

una desigualdad o ecuación que implica una o más variables que se utiliza en un problema de optimización; la restricción impone un límite a las posibles soluciones del problema

superficie

el gráfico de una función de dos variables, $z=f\left(x,y\right)$

superficie de nivel de una función de tres variables

el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación $f\left(x,y,z\right)=c$ para algún número real $c$ en el rango de $f$

traza vertical

el conjunto de triples ordenadas $\left(c,y,z\right)$ que resuelve la ecuación $f\left(c,y\right)=z$ para una constante dada $x=c$ o el conjunto de triples ordenadas $\left(x,d,z\right)$ que resuelve la ecuación $f\left(x,d\right)=z$ para una constante dada $y=d$

variable intermedia

dada una composición de funciones (por ejemplo $f\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)),$ las variables intermedias son las variables que son independientes en la función externa pero que dependen de otras variables también; en la función $f\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right),$ las variables $x\text{y}y$ son ejemplos de variables intermedias

$\delta$ bola

todos los puntos de ${ℝ}^3$ que se encuentran a una distancia inferior a $\delta$ a partir de $\left(x_0,y_0,z_0\right)$

$\delta$ disco

un disco abierto de radio $\delta$ centrado en el punto $\left(a,b\right)$