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Cálculo volumen 3

Ejercicios de repaso

Cálculo volumen 3Ejercicios de repaso
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Ejercicios de repaso

En los siguientes ejercicios, determine si la afirmación es verdadera o falsa. Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

394.

El dominio de f(x,y)=x3sen−1(y)f(x,y)=x3sen−1(y) ¿es x=x= todos los números reales, y πyπ.πyπ.

395.

Si se grafica la función f(x,y)f(x,y) es continua en todas partes, entonces fxy=fyx.fxy=fyx.

396.

La aproximación lineal a la función de f(x,y)=5x2 +xtan(y)f(x,y)=5x2 +xtan(y) a las (2 ,π)(2 ,π) está dada por L(x,y)=22+21(x2 )+(yπ).L(x,y)=22+21(x2 )+(yπ).

397.

(34,916)(34,916) es un punto crítico de g(x,y)=4x32 x2 y+y2 2 .g(x,y)=4x32 x2 y+y2 2 .

En los siguientes ejercicios, dibuje la función en una gráfico y, en una segunda, dibuje varias curvas de nivel.

398.

f ( x , y ) = e ( x 2 + 2 y 2 ) . f ( x , y ) = e ( x 2 + 2 y 2 ) .

399.

f ( x , y ) = x + 4 y 2 . f ( x , y ) = x + 4 y 2 .

En los siguientes ejercicios, evalúe los siguientes límites, si existen. Si no existen, demuéstrelo.

400.

lím ( x , y ) ( 1 , 1 ) 4 x y x 2 y 2 lím ( x , y ) ( 1 , 1 ) 4 x y x 2 y 2

401.

lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) 4 x y x 2 y 2 lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) 4 x y x 2 y 2

En los siguientes ejercicios, halle el mayor intervalo de continuidad de la función.

402.

f(x,y)=x3sen−1(y)f(x,y)=x3sen−1(y) grandes.

403.

g ( x , y ) = ln ( 4 x 2 y 2 ) g ( x , y ) = ln ( 4 x 2 y 2 )

En los siguientes ejercicios, halle todas las primeras derivadas parciales.

404.

f ( x , y ) = x 2 y 2 f ( x , y ) = x 2 y 2

405.

u ( x , y ) = x 4 3 x y + 1 , x = 2 t , y = t 3 u ( x , y ) = x 4 3 x y + 1 , x = 2 t , y = t 3

En los siguientes ejercicios, halle todas las segundas derivadas parciales.

406.

g(t,x)=3t2 sen(x+t)g(t,x)=3t2 sen(x+t) grandes.

407.

h ( x , y , z ) = x 3 e 2 y z h ( x , y , z ) = x 3 e 2 y z

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación del plano tangente a la superficie especificada en el punto dado.

408.

z=x32 y2 +y1z=x32 y2 +y1 en el punto (1,1,–1)(1,1,–1) grandes.

409.

z=ex+2 yz=ex+2 y en el punto (0,1,3)(0,1,3) grandes.

410.

Aproxime f(x,y)=ex2 +yf(x,y)=ex2 +y a las (0,1,9,1).(0,1,9,1). Escriba su función de aproximación lineal L(x,y).L(x,y). ¿Qué precisión tiene la aproximación a la respuesta exacta, redondeada a cuatro dígitos?

411.

Calcule el diferencial dzdz de h(x,y)=4x2 +2 xy3yh(x,y)=4x2 +2 xy3y y aproxímelo ΔzΔz en el punto (1,–2).(1,–2). Supongamos que Δx=0,1Δx=0,1 y Δy=0,01.Δy=0,01.

412.

Halle la derivada direccional de f(x,y)=x2 +6xyy2 f(x,y)=x2 +6xyy2 en la dirección v=i+4j.v=i+4j.

413.

Halle la magnitud y la dirección de la derivada direccional máxima de la función f(x,y)=x3+2 xycos(πy)f(x,y)=x3+2 xycos(πy) en el punto (3,0).(3,0).

En los siguientes ejercicios, calcule el gradiente.

414.

c(x,t)=e(tx)2 +3cos(t)c(x,t)=e(tx)2 +3cos(t) grandes.

415.

f ( x , y ) = x + y 2 x y f ( x , y ) = x + y 2 x y

En los siguientes ejercicios, halle y clasifica los puntos críticos.

416.

z = x 3 x y + y 2 1 z = x 3 x y + y 2 1

En los siguientes ejercicios, utilice los multiplicadores de Lagrange para hallar los valores máximos y mínimos de las funciones con las restricciones dadas.

417.

f ( x , y ) = x 2 y , x 2 + y 2 = 4 f ( x , y ) = x 2 y , x 2 + y 2 = 4

418.

f ( x , y ) = x 2 y 2 , x + 6 y = 4 f ( x , y ) = x 2 y 2 , x + 6 y = 4

419.

Un maquinista está construyendo un cono circular recto a partir de un bloque de aluminio. La máquina da un error de 5 %5 % en altura y 2  %2  % en el radio. Halle el máximo error en el volumen del cono si el maquinista crea un cono de altura 66 cm y radio 2 2 cm.

420.

Un compactador de basura tiene forma de cubo. Supongamos que el compactador está lleno de un líquido incompresible. La longitud y la anchura disminuyen a ritmos de 2 2 ft/s y 33 ft/s, respectivamente. Halle la velocidad a la que sube el nivel del líquido cuando la longitud es 1414 pies, la anchura es 1010 pies, y la altura es 44 pies.

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