Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Ejercicios de repaso

En los siguientes ejercicios, determine si la afirmación es verdadera o falsa. Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

394.

El dominio de $f (x, y) = x^{3} {sen}^{−1} (y)$ ¿es $x =$ todos los números reales, y $− π \leq y \leq π .$

395.

Si se grafica la función $f (x, y)$ es continua en todas partes, entonces $f_{x y} = f_{y x} .$

396.

La aproximación lineal a la función de $f (x, y) = 5 x^{2} + x tan (y)$ a las $(2, π)$ está dada por $L (x, y) = 22 + 21 (x - 2) + (y - π) .$

397.

$(\frac{3}{4}, \frac{9}{16})$ es un punto crítico de $g (x, y) = 4 x^{3} - 2 x^{2} y + y^{2} - 2 .$

En los siguientes ejercicios, dibuje la función en una gráfico y, en una segunda, dibuje varias curvas de nivel.

398.

$f (x, y) = e^{− (x^{2} + 2 y^{2})} .$

399.

$f (x, y) = x + 4 y^{2} .$

En los siguientes ejercicios, evalúe los siguientes límites, si existen. Si no existen, demuéstrelo.

400.

$\underset{(x, y) \to (1, 1)}{lím} \frac{4 x y}{x - 2 y^{2}}$

401.

$\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{4 x y}{x - 2 y^{2}}$

En los siguientes ejercicios, halle el mayor intervalo de continuidad de la función.

402.

$f (x, y) = x^{3} {sen}^{−1} (y)$ grandes.

403.

$g (x, y) = ln (4 - x^{2} - y^{2})$

En los siguientes ejercicios, halle todas las primeras derivadas parciales.

404.

$f (x, y) = \sqrt{x^{2} - y^{2}}$

405.

$u (x, y) = x^{4} - 3 x y + 1, x = 2 t, y = t^{3}$

En los siguientes ejercicios, halle todas las segundas derivadas parciales.

406.

$g (t, x) = 3 t^{2} - sen (x + t)$ grandes.

407.

$h (x, y, z) = \frac{x^{3} e^{2 y}}{z}$

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación del plano tangente a la superficie especificada en el punto dado.

408.

$z = x^{3} - 2 y^{2} + y - 1$ en el punto $(1, 1, –1)$ grandes.

409.

$z = e^{x} + \frac{2}{y}$ en el punto $(0, 1, 3)$ grandes.

410.

Aproxime $f (x, y) = e^{x^{2}} + \sqrt{y}$ a las $(0,1, 9,1) .$ Escriba su función de aproximación lineal $L (x, y) .$ ¿Qué precisión tiene la aproximación a la respuesta exacta, redondeada a cuatro dígitos?

411.

Calcule el diferencial $d z$ de $h (x, y) = 4 x^{2} + 2 x y - 3 y$ y aproxímelo $Δ z$ en el punto $(1, –2) .$ Supongamos que $Δ x = 0,1$ y $Δ y = 0,01 .$

412.

Halle la derivada direccional de $f (x, y) = x^{2} + 6 x y - y^{2}$ en la dirección $v = i + 4 j .$

413.

Halle la magnitud y la dirección de la derivada direccional máxima de la función $f (x, y) = x^{3} + 2 x y - cos (π y)$ en el punto $(3, 0) .$

En los siguientes ejercicios, calcule el gradiente.

414.

$c (x, t) = e {(t - x)}^{2} + 3 cos (t)$ grandes.

415.

$f (x, y) = \frac{\sqrt{x} + y^{2}}{x y}$

En los siguientes ejercicios, halle y clasifica los puntos críticos.

416.

$z = x^{3} - x y + y^{2} - 1$

En los siguientes ejercicios, utilice los multiplicadores de Lagrange para hallar los valores máximos y mínimos de las funciones con las restricciones dadas.

417.

$f (x, y) = x^{2} y, x^{2} + y^{2} = 4$

418.

$f (x, y) = x^{2} - y^{2}, x + 6 y = 4$

419.

Un maquinista está construyendo un cono circular recto a partir de un bloque de aluminio. La máquina da un error de $5 %$ en altura y $2 %$ en el radio. Halle el máximo error en el volumen del cono si el maquinista crea un cono de altura $6$ cm y radio $2$ cm.

420.

Un compactador de basura tiene forma de cubo. Supongamos que el compactador está lleno de un líquido incompresible. La longitud y la anchura disminuyen a ritmos de $2$ ft/s y $3$ ft/s, respectivamente. Halle la velocidad a la que sube el nivel del líquido cuando la longitud es $14$ pies, la anchura es $10$ pies, y la altura es $4$ pies.