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Cálculo volumen 3

Conceptos clave

Cálculo volumen 3Conceptos clave
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Conceptos clave

4.1 Funciones de varias variables

  • El gráfico de una función de dos variables es una superficie en 33 y puede estudiarse mediante curvas de nivel y trazas verticales.
  • Un conjunto de curvas de nivel se denomina mapa de líneas de contorno.

4.2 Límites y continuidad

  • Para estudiar los límites y la continuidad de las funciones de dos variables, utilizamos un disco δδ centrado en un punto determinado.
  • Una función de varias variables tiene un límite si para cualquier punto en una bola δδ centrada en un punto P,P, el valor de la función en ese punto se acerca arbitrariamente a un valor fijo (el valor límite).
  • Las leyes de límites establecidas para una función de una variable tienen extensiones naturales a funciones de más de una variable.
  • Una función de dos variables es continua en un punto si el límite existe en ese punto, la función existe en ese punto y el límite y la función son iguales en ese punto.

4.3 Derivadas parciales

  • Una derivada parcial es una derivada que implica una función de más de una variable independiente.
  • Para calcular una derivada parcial con respecto a una variable dada, trate todas las demás variables como constantes y utilice las reglas de diferenciación habituales.
  • Las derivadas parciales de orden superior se pueden calcular de la misma manera que las derivadas de orden superior.

4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales

  • El análogo de una línea tangente a una curva es un plano tangente a una superficie para funciones de dos variables.
  • Los planos tangentes pueden utilizarse para aproximar los valores de las funciones cerca de los valores conocidos.
  • Una función es diferenciable en un punto si es “regular" en ese punto (es decir, no existen esquinas o discontinuidades en ese punto).
  • La diferencial total puede utilizarse para aproximar el cambio de una función z=f(x0,y0)z=f(x0,y0) en el punto (x0,y0)(x0,y0) para determinados valores de ΔxΔx y Δy.Δy.

4.5 La regla de la cadena

  • La regla de la cadena para funciones de más de una variable implica las derivadas parciales con respecto a todas las variables independientes.
  • Los diagramas de árbol son útiles para derivar fórmulas de la regla de la cadena para funciones de más de una variable, donde cada variable independiente también depende de otras variables.

4.6 Derivadas direccionales y el gradiente

  • Una derivada direccional representa la tasa de cambio de una función en cualquier dirección.
  • El gradiente puede utilizarse en una fórmula para calcular la derivada direccional.
  • El gradiente indica la dirección del mayor cambio de una función de más de una variable.

4.7 Problemas con máximos/mínimos

  • Un punto crítico de la función f(x,y)f(x,y) es cualquier punto (x0,y0)(x0,y0) en el que fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0,fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0, o al menos uno de fx(x0,y0)fx(x0,y0) y fy(x0,y0)fy(x0,y0) no existen.
  • Un punto de silla es un punto (x0,y0)(x0,y0) donde fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0,fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0, pero (x0,y0)(x0,y0) no es ni un máximo ni un mínimo en ese punto.
  • Para hallar los extremos de las funciones de dos variables, primero hay que hallar los puntos críticos, luego calcular el discriminante y aplicar la prueba de la segunda derivada.

4.8 Multiplicadores de Lagrange

  • Una función objetivo combinada con una o varias restricciones es un ejemplo de problema de optimización.
  • Para resolver los problemas de optimización, aplicamos el método de los multiplicadores de Lagrange utilizando una estrategia de resolución de problemas en cuatro pasos.
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