Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

7.1.1 Reconocer las ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas lineales.
7.1.2 Determinar la ecuación característica de una ecuación lineal homogénea.
7.1.3 Utilizar las raíces de la ecuación característica para hallar la solución de una ecuación lineal homogénea.
7.1.4 Resolver problemas de valor inicial y de condición de frontera que impliquen ecuaciones diferenciales lineales.

Cuando se trabaja con ecuaciones diferenciales, normalmente, la meta es hallar una solución. En otras palabras, queremos encontrar una función (o funciones) que satisfaga la ecuación diferencial. La técnica que utilizamos para hallar estas soluciones varía según la forma de la ecuación diferencial con la que estamos trabajando. Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen varias características importantes que pueden ayudarnos a determinar qué método de solución utilizar. En esta sección, examinamos algunas de estas características y la terminología asociada.

Ecuaciones lineales homogéneas

Consideremos la ecuación diferencial de segundo orden

x y ″ + 2 x^{2} y^{'} + 5 x^{3} y = 0 .

Observe que y y sus derivadas aparecen en una forma relativamente sencilla. Se multiplican por funciones de x, pero no se elevan a ninguna potencia por sí mismas, ni se multiplican juntas. Como se discutió en Introducción a las ecuaciones diferenciales, se dice que las ecuaciones de primer orden con características similares son lineales. Lo mismo ocurre con las ecuaciones de segundo orden. Observe también que todos los términos de esta ecuación diferencial implican a y o a una de sus derivadas. No hay términos que impliquen solo funciones de x. Las ecuaciones de este tipo, en las que cada término contiene y o una de sus derivadas, se llaman homogéneas.

No todas las ecuaciones diferenciales son homogéneas. Considere la ecuación diferencial

x y ″ + 2 x^{2} y^{'} + 5 x^{3} y = x^{2} .

Las intersecciones en $x^{2}$ a la derecha del signo igual no contiene y ni ninguna de sus derivadas. Por lo tanto, esta ecuación diferencial es no homogénea.

Definición

Una ecuación diferencial de segundo orden es lineal si se puede escribir de la forma

a_{2} (x) y ″ + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = r (x),

(7.1)

donde $a_{2} (x),$ $a_{1} (x),$ $a_{0} (x),$ y $r (x)$ son funciones de valor real y $a_{2} (x)$ no es idéntico a cero. Si los valores de $r (x) \equiv 0$ , en otras palabras, si $r (x) = 0$ para cada valor de x,se dice que la ecuación es una ecuación lineal homogénea. Si los valores de $r (x) \neq 0$ para algún valor de $x,$ se dice que la ecuación es una ecuación no homogénea lineal.

Medios

Visite este sitio web para estudiar más sobre las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.

En las ecuaciones diferenciales lineales, $y$ y sus derivadas solo pueden elevarse a la primera potencia y no pueden multiplicarse entre sí. Los términos que implican $y^{2}$ o $\sqrt{y^{'}}$ hacen que la ecuación no sea lineal. Las funciones de $y$ y sus derivados, como $sen y$ o $e^{y^{'}},$ están prohibidos de forma similar en las ecuaciones diferenciales lineales.

Observe que las ecuaciones no siempre se dan en forma estándar (la forma que aparece en la definición). Puede ser útil reescribirlas en esa forma para decidir si son lineales, o si una ecuación lineal es homogénea.

Ejemplo 7.1

Clasificar las ecuaciones de segundo orden

Clasifique cada una de las siguientes ecuaciones como lineales o no lineales. Si la ecuación es lineal, determine además si es homogénea o no homogénea.

$y ″ + 3 x^{4} y^{'} + x^{2} y^{2} = x^{3}$
$(sen x) y ″ + (cos x) y^{'} + 3 y = 0$
$4 t^{2} x ″ + 3 t x x^{'} + 4 x = 0$
$5 y ″ + y = 4 x^{5}$
$(cos x) y ″ - sen y^{'} + (sen x) y - cos x = 0$
$8 t y ″ - 6 t^{2} y^{'} + 4 t y - 3 t^{2} = 0$
$sen (x^{2}) y ″ - (cos x) y^{'} + x^{2} y = y^{'} - 3$
$y ″ + 5 x y^{'} - 3 y = cos y$

Solución

Esta ecuación no es lineal debido al término $y^{2}$ .
Esta ecuación es lineal. No hay ningún término que implique una potencia o función de $y,$ y los coeficientes son todos funciones de $x .$ La ecuación ya está escrita en forma estándar, y $r (x)$ es idénticamente cero, por lo que la ecuación es homogénea.
Esta ecuación no es lineal. Observe que, en este caso, x es la variable dependiente y t es la variable independiente. El segundo término implica el producto de $x$ y $x^{'},$ por lo que la ecuación es no lineal.
Esta ecuación es lineal. Dado que $r (x) = 4 x^{5},$ la ecuación es no homogénea.
Esta ecuación es no lineal, debido al término $sen y^{'}$ .
Esta ecuación es lineal. Al reescribirlo en forma estándar se obtiene

$8 t^{2} y ″ - 6 t^{2} y^{'} + 4 t y = 3 t^{2} .$

Con la ecuación en forma estándar, podemos ver que $r (t) = 3 t^{2},$ por lo que la ecuación es no homogénea.
Esta ecuación parece ser lineal, pero deberíamos reescribirla en forma estándar para estar seguros. Obtenemos

$sen (x^{2}) y ″ - (cos x + 1) y^{'} + x^{2} y = −3 .$

Esta ecuación es, efectivamente, lineal. Con $r (x) = −3,$ es no homogénea.
Esta ecuación no es lineal debido al término $cos y$ .

Medios

Visite este sitio web que analiza las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Punto de control 7.1

Clasifique cada una de las siguientes ecuaciones como lineales o no lineales. Si la ecuación es lineal, determine además si es homogénea o no homogénea.

${(y ″)}^{2} - y^{'} + 8 x^{3} y = 0$
$(sen t) y ″ + cos t - 3 t y^{'} = 0$

Más adelante en esta sección, veremos algunas técnicas para resolver tipos específicos de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, antes de llegar a eso, vamos a conocer cómo se comportan las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales. En muchos casos, la resolución de ecuaciones diferenciales depende de hacer conjeturas sobre el aspecto de la solución. Saber cómo se comportan los distintos tipos de soluciones será útil.

Ejemplo 7.2

Verificar una solución

Consideremos la ecuación diferencial lineal y homogénea

x^{2} y ″ - x y^{'} - 3 y = 0 .

Si se observa esta ecuación, se nota que las funciones de los coeficientes son polinomios, con potencias mayores de $x$ asociados a las derivadas de orden superior de $y .$ Demuestre que $y = x^{3}$ es una solución de esta ecuación diferencial.

Solución

Supongamos que $y = x^{3} .$ Entonces $y^{'} = 3 x^{2}$ y $y ″ = 6 x .$ Sustituyendo en la ecuación diferencial, vemos que

\begin{matrix} x^{2} y ″ - x y' - 3 y & = x^{2} (6 x) - x (3 x^{2}) - 3 (x^{3}) \\ = 6 x^{3} - 3 x^{3} - 3 x^{3} \\ = 0 . \end{matrix}

Punto de control 7.2

Demuestre que $y = 2 x^{2}$ es una solución de la ecuación diferencial

\frac{1}{2} x^{2} y ″ - x y^{'} + y = 0 .

Aunque simplemente hallar cualquier solución a una ecuación diferencial es importante, los matemáticos e ingenieros a menudo quieren ir más allá de hallar una solución a una ecuación diferencial para hallar todas las soluciones de una ecuación diferencial. En otras palabras, queremos hallar una solución general. Al igual que con las ecuaciones diferenciales de primer orden, una solución general (o familia de soluciones) da el conjunto completo de soluciones de una ecuación diferencial. Una diferencia importante entre las ecuaciones de primer orden y las de segundo orden es que, con las ecuaciones de segundo orden, normalmente necesitamos hallar dos soluciones diferentes de la ecuación para hallar la solución general. Si hallamos dos soluciones, entonces cualquier combinación lineal de estas soluciones es también una solución. Enunciamos este hecho como el siguiente teorema.

Teorema 7.1

Principio de superposición

Si los valores de $y_{1} (x)$ y de $y_{2} (x)$ son soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea, entonces la función

y (x) = c_{1} y_{1} (x) + c_{2} y_{2} (x),

donde $c_{1}$ y $c_{2}$ son constantes, también es una solución.

La demostración de este teorema del principio de superposición se deja como ejercicio.

Ejemplo 7.3

Verificar el principio de superposición

Considere la ecuación diferencial

y ″ - 4 y^{'} - 5 y = 0 .

Dado que $e^{– x}$ y $e^{5 x}$ son soluciones de esta ecuación diferencial, demuestre que $4 e^{– x} + e^{5 x}$ es una solución.

Solución

Tenemos

y (x) = 4 e^{– x} + e^{5 x}, por lo que y^{'} (x) = −4 e^{– x} + 5 e^{5 x} y y ″ (x) = 4 e^{– x} + 25 e^{5 x} .

Entonces

\begin{matrix} y ″ - 4 y^{'} - 5 y & = (4 e^{– x} + 25 e^{5 x}) - 4 (−4 e^{– x} + 5 e^{5 x}) - 5 (4 e^{– x} + e^{5 x}) \\ = 4 e^{– x} + 25 e^{5 x} + 16 e^{– x} - 20 e^{5 x} - 20 e^{– x} - 5 e^{5 x} \\ = 0 . \end{matrix}

Así, $y (x) = 4 e^{– x} + e^{5 x}$ es una solución.

Punto de control 7.3

Considere la ecuación diferencial

y ″ + 5 y^{'} + 6 y = 0 .

Dado que $e^{−2 x}$ y $e^{−3 x}$ son soluciones de esta ecuación diferencial, demuestre que $3 e^{−2 x} + 6 e^{−3 x}$ es una solución.

Desafortunadamente, para hallar la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden, no basta con hallar dos soluciones cualesquiera y luego combinarlas. Considere la ecuación diferencial

x ″ + 7 x^{'} + 12 x = 0 .

Tanto $e^{−3 t}$ y $2 e^{−3 t}$ son soluciones (compruebe esto). Sin embargo, $x (t) = c_{1} e^{−3 t} + c_{2} (2 e^{−3 t})$ no es la solución general. Esta expresión no tiene en cuenta todas las soluciones de la ecuación diferencial. En particular, no tiene en cuenta la función $e^{−4 t},$ que también es una solución de la ecuación diferencial.

Resulta que para hallar la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden, debemos hallar dos soluciones linealmente independientes. Aquí definimos esa terminología.

Definición

Un conjunto de funciones $f_{1} (x), f_{2} (x),…, f_{n} (x)$ se dice que es linealmente dependiente si hay constantes $c_{1}, c_{2},… c_{n},$ sin que sean todos cero, de modo que $c_{1} f_{1} (x) + c_{2} f_{2} (x) + ⋯ + c_{n} f_{n} (x) = 0$ para todo x en el intervalo de interés. Un conjunto de funciones que no es linealmente dependiente se dice que es linealmente independiente.

En este capítulo, solemos probar conjuntos de solo dos funciones para la independencia lineal, lo que nos permite simplificar esta definición. Desde un punto de vista práctico, vemos que dos funciones son linealmente dependientes si una de ellas es idéntica a cero o si son múltiplos constantes la una de la otra.

Primero demostramos que si las funciones cumplen las condiciones dadas anteriormente, entonces son linealmente dependientes. Si una de las funciones es idéntica a cero, por ejemplo, $f_{2} (x) \equiv 0$ −luego elija $c_{1} = 0$ y $c_{2} = 1,$ y se cumple la condición de dependencia lineal. Si, por el contrario, ni $f_{1} (x)$ ni $f_{2} (x)$ son idénticos a cero, pero $f_{1} (x) = C f_{2} (x)$ para alguna constante $C,$ y luego elija $c_{1} = \frac{1}{C}$ y $c_{2} = −1,$ y de nuevo se cumple la condición.

A continuación, demostramos que si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es idéntica a cero o son múltiplos constantes de la otra. Supongamos que $f_{1} (x)$ y $f_{2} (x)$ son linealmente independientes. Luego, hay constantes, $c_{1}$ y $c_{2},$ no sean ambos cero, de manera que

c_{1} f_{1} (x) + c_{2} f_{2} (x) = 0

para todo x en el intervalo de interés. Entonces,

c_{1} f_{1} (x) = − c_{2} f_{2} (x) .

Ahora bien, como hemos dicho que $c_{1}$ y $c_{2}$ no pueden ser ambos cero, asuma $c_{2} \neq 0 .$ Entonces, hay dos casos: o bien $c_{1} = 0$ o $c_{1} \neq 0 .$ Si $c_{1} = 0,$ entonces

\begin{matrix} 0 = − c_{2} f_{2} (x) \\ 0 = f_{2} (x), \end{matrix}

por lo que una de las funciones es idéntica a cero. Supongamos ahora que $c_{1} \neq 0 .$ Entonces,

f_{1} (x) = (- \frac{c_{2}}{c_{1}}) f_{2} (x)

y vemos que las funciones son múltiplos constantes unas de otras.

Teorema 7.2

Dependencia lineal de dos funciones

Dos funciones, $f_{1} (x)$ y $f_{2} (x),$ se dice que son linealmente dependientes si una de ellas es idéntica a cero o si $f_{1} (x) = C f_{2} (x)$ para alguna constante C y para todo x en el intervalo de interés. Las funciones que no son linealmente dependientes se dice que son linealmente independientes.

Ejemplo 7.4

Probar la dependencia lineal

Determine si los siguientes pares de funciones son linealmente dependientes o linealmente independientes.

$f_{1} (x) = x^{2},$ $f_{2} (x) = 5 x^{2}$
$f_{1} (x) = sen x,$ $f_{2} (x) = cos x$
$f_{1} (x) = e^{3 x},$ $f_{2} (x) = e^{−3 x}$
$f_{1} (x) = 3 x,$ $f_{2} (x) = 3 x + 1$

Solución

$f_{2} (x) = 5 f_{1} (x),$ por lo que las funciones son linealmente dependientes.
No existe una constante C de modo que $f_{1} (x) = C f_{2} (x),$ por lo que las funciones son linealmente independientes.
No existe una constante C de modo que $f_{1} (x) = C f_{2} (x),$ por lo que las funciones son linealmente independientes. No se confunda por el hecho de que los exponentes sean múltiplos constantes entre sí. Con dos funciones exponenciales, a menos que los exponentes sean iguales, las funciones son linealmente independientes.
No existe una constante C de modo que $f_{1} (x) = C f_{2} (x),$ por lo que las funciones son linealmente independientes.

Punto de control 7.4

Determine si los siguientes pares de funciones son linealmente dependientes o linealmente independientes $f_{1} (x) = e^{x},$ $f_{2} (x) = 3 e^{3 x} .$

Si somos capaces de hallar dos soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial de segundo orden, entonces podemos combinarlas para hallar la solución general. Este resultado se enuncia formalmente en el siguiente teorema.

Teorema 7.3

Solución general de una ecuación homogénea

Si los valores de $y_{1} (x)$ y de $y_{2} (x)$ son soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, entonces la solución general viene dada por

y (x) = c_{1} y_{1} (x) + c_{2} y_{2} (x),

donde $c_{1}$ y $c_{2}$ son constantes.

Cuando decimos que una familia de funciones es la solución general de una ecuación diferencial, queremos decir que (1) toda expresión de esa forma es una solución y (2) toda solución de la ecuación diferencial puede escribirse en esa forma, lo que hace que este teorema sea extremadamente potente. Si podemos hallar dos soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial, habremos hallado todas las soluciones de la ecuación diferencial. La demostración de este teorema está fuera del alcance de este texto.

Ejemplo 7.5

Escribir la solución general

Si los valores de $y_{1} (t) = e^{3 t}$ y $y_{2} (t) = e^{−3 t}$ son soluciones a $y ″ - 9 y = 0,$ ¿cuál es la solución general?

Solución

Observe que $y_{1}$ y $y_{2}$ no son múltiplos constantes entre sí, por lo que son linealmente independientes. Entonces, la solución general de la ecuación diferencial es $y (t) = c_{1} e^{3 t} + c_{2} e^{−3 t} .$

Punto de control 7.5

Si $y_{1} (x) = e^{3 x}$ como $y_{2} (x) = x e^{3 x}$ son soluciones a $y ″ - 6 y^{'} + 9 y = 0,$ ¿cuál es la solución general?

Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes

Ahora que tenemos una mejor idea de las ecuaciones diferenciales lineales, vamos a concentrarnos en la resolución de ecuaciones de segundo orden de la forma

a y ″ + b y^{'} + c y = 0,

(7.2)

donde $a,$ $b,$ y $c$ son constantes.

Como todos los coeficientes son constantes, las soluciones probablemente serán funciones con derivadas que son múltiplos constantes de sí mismas. Necesitamos que todos los términos se cancelen, y si al tomar una derivada se introduce un término que no es un múltiplo constante de la función original, es difícil ver cómo se cancela ese término. Las funciones exponenciales tienen derivadas que son múltiplos constantes de la función original, así que veamos qué ocurre cuando probamos una solución de la forma $y (x) = e^{λ x},$ donde $λ$ (la letra griega minúscula lambda) es alguna constante.

Si los valores de $y (x) = e^{λ x},$ entonces $y^{'} (x) = λ e^{λ x}$ como $y ″ = λ^{2} e^{λ x} .$ Sustituyendo estas expresiones en la Ecuación 7.1, obtenemos

\begin{matrix} a y ″ + b y^{'} + c y & = a (λ^{2} e^{λ x}) + b (λ e^{λ x}) + c e^{λ x} \\ = e^{λ x} (a λ^{2} + b λ + c) . \end{matrix}

Dado que $e^{λ x}$ nunca es cero, esta expresión puede ser igual a cero para todo x solo si

a λ^{2} + b λ + c = 0 .

Llamamos a esto la ecuación característica de la ecuación diferencial.

Definición

La ecuación característica de la ecuación diferencial $a y ″ + b y^{'} + c y = 0$ ¿es $a λ^{2} + b λ + c = 0 .$

La ecuación característica es muy importante para hallar soluciones a las ecuaciones diferenciales de esta forma. Podemos resolver la ecuación característica mediante la factorización o utilizando la fórmula cuadrática

λ = \frac{− b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Esto da lugar a tres casos. La ecuación característica tiene (1) raíces reales distintas; (2) una única raíz real repetida; o (3) raíces complejas conjugadas. Consideramos cada uno de estos casos por separado.

Raíces reales diferenciadas

Si la ecuación característica tiene raíces reales distintas $λ_{1}$ y $λ_{2},$ entonces $e^{λ_{1} x}$ y $e^{λ_{2} x}$ son soluciones linealmente independientes del Ejemplo 7.1, y la solución general viene dada por

y (x) = c_{1} e^{λ_{1} x} + c_{2} e^{λ_{2} x},

donde $c_{1}$ y $c_{2}$ son constantes.

Por ejemplo, la ecuación diferencial $y ″ + 9 y^{'} + 14 y = 0$ tiene la ecuación característica asociada $λ^{2} + 9 λ + 14 = 0 .$ Esto se factoriza en $(λ + 2) (λ + 7) = 0,$ que tiene raíces $λ_{1} = −2$ y $λ_{2} = −7 .$ Por lo tanto, la solución general de esta ecuación diferencial es

y (x) = c_{1} e^{−2 x} + c_{2} e^{−7 x} .

Raíz real única repetida

Las cosas son un poco más complicadas si la ecuación característica tiene una raíz real repetida, $λ .$ En este caso, sabemos que $e^{λ x}$ es una solución de la Ecuación 7.1, pero es solo una solución y necesitamos dos soluciones linealmente independientes para determinar la solución general. Podríamos estar tentados de probar una función de la forma $k e^{λ x},$ donde k es alguna constante, pero no sería linealmente independiente de $e^{λ x} .$ Por lo tanto, vamos a intentar $x e^{λ x}$ como la segunda solución. En primer lugar, hay que tener en cuenta que según la fórmula cuadrática,

λ = \frac{− b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Pero, $λ$ es una raíz repetida, por lo que $b^{2} - 4 a c = 0$ y $λ = \frac{− b}{2 a} .$ Por lo tanto, si $y = x e^{λ x},$ tenemos

y^{'} = e^{λ x} + λ x e^{λ x} y y ″ = 2 λ e^{λ x} + λ^{2} x e^{λ x} .

Sustituyendo estas expresiones en la Ecuación 7.1, vemos que

\begin{matrix} a y ″ + b y^{'} + c y & = a (2 λ e^{λ x} + λ^{2} x e^{λ x}) + b (e^{λ x} + λ x e^{λ x}) + c x e^{λ x} \\ = x e^{λ x} (a λ^{2} + b λ + c) + e^{λ x} (2 a λ + b) \\ = x e^{λ x} (0) + e^{λ x} (2 a (\frac{− b}{2 a}) + b) \\ = 0 + e^{λ x} (0) \\ = 0 . \end{matrix}

Esto demuestra que $x e^{λ x}$ es una solución a la Ecuación 7.1. Dado que $e^{λ x}$ y $x e^{λ x}$ son linealmente independientes, cuando la ecuación característica tiene una raíz repetida $λ,$ la solución general de la Ecuación 7.1 viene dada por

y (x) = c_{1} e^{λ x} + c_{2} x e^{λ x},

donde $c_{1}$ y $c_{2}$ son constantes.

Por ejemplo, la ecuación diferencial $y ″ + 12 y^{'} + 36 y = 0$ tiene la ecuación característica asociada $λ^{2} + 12 λ + 36 = 0 .$ Esto se factoriza en ${(λ + 6)}^{2} = 0,$ que tiene una raíz repetida $λ = −6 .$ Por lo tanto, la solución general de esta ecuación diferencial es

y (x) = c_{1} e^{−6 x} + c_{2} x e^{−6 x} .

Raíces complejas conjugadas

El tercer caso que debemos considerar es cuando $b^{2} - 4 a c < 0 .$ En este caso, cuando aplicamos la fórmula cuadrática, estamos sacando la raíz cuadrada de un número negativo. Debemos utilizar el número imaginario $i = \sqrt{−1}$ para hallar las raíces, que tienen la forma $λ_{1} = α + β i$ y $λ_{2} = α - β i .$ El número complejo $α + β i$ se llama el conjugado de $α - β i .$ Así, vemos que cuando $b^{2} - 4 a c < 0,$ las raíces de nuestra ecuación característica son siempre conjugadas complejas.

Esto nos crea un pequeño problema. Si seguimos el mismo proceso que utilizamos para las raíces reales distintas, utilizando las raíces de la ecuación característica como los coeficientes de los exponentes de las funciones exponenciales, obtenemos las funciones $e^{(α + β i) x}$ y $e^{(α - β i) x}$ como nuestras soluciones. Sin embargo, este enfoque plantea problemas. En primer lugar, estas funciones toman valores complejos (imaginarios), y una discusión completa de tales funciones está más allá del alcance de este texto. En segundo lugar, aunque nos sintamos cómodos con las funciones de valor complejo, en este curso no abordamos la idea de una derivada para dichas funciones. Así que, si es posible, nos gustaría hallar dos soluciones de valor real linealmente independientes para la ecuación diferencial. A efectos de este desarrollo, vamos a manipular y diferenciar las funciones $e^{(α + β i) x}$ y $e^{(α - β i) x}$ como si fueran funciones de valor real. Para estas funciones en particular, este enfoque es válido desde el punto de vista matemático, pero tenga en cuenta que hay otros casos en los que las funciones de valor complejo no siguen las mismas reglas que las funciones de valor real. Aquellos que estén interesados en una discusión más profunda de las funciones de valor complejo deben consultar un texto de análisis complejo.

Basado en las raíces $α \pm β i$ de la ecuación característica, las funciones $e^{(α + β i) x}$ y $e^{(α - β i) x}$ son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial y la solución general viene dada por

y (x) = c_{1} e^{(α + β i) x} + c_{2} e^{(α - β i) x} .

Utilizando algunas opciones inteligentes para $c_{1}$ y $c_{2},$ y un poco de manipulación algebraica, podemos hallar dos soluciones de valor real linealmente independientes a la Ecuación 7.1 y expresar nuestra solución general en esos términos.

Anteriormente nos encontramos con funciones exponenciales con exponentes complejos. Una de las herramientas clave que utilizamos para expresar estas funciones exponenciales en términos de senos y cosenos fue la fórmula de Euler, que nos dice que

e^{i θ} = cos θ + i sen θ

para todos los números reales $θ .$

Volviendo a la solución general, tenemos

\begin{matrix} y (x) & = c_{1} e^{(α + β i) x} + c_{2} e^{(α - β i) x} \\ = c_{1} e^{α x} e^{β i x} + c_{2} e^{α x} e^{− β i x} \\ = e^{α x} (c_{1} e^{β i x} + c_{2} e^{− β i x}) . \end{matrix}

Aplicando la fórmula de Euler junto con las identidades $cos (− x) = cos x$ y $sen (− x) = − sen x,$ obtenemos

\begin{matrix} y (x) & = e^{α x} [c_{1} (cos β x + i sen β x) + c_{2} (cos (− β x) + i sen (− β x))] \\ = e^{α x} [(c_{1} + c_{2}) cos β x + (c_{1} - c_{2}) i sen β x] . \end{matrix}

Ahora, si elegimos $c_{1} = c_{2} = \frac{1}{2},$ el segundo término es cero y obtenemos

y (x) = e^{α x} cos β x

como una solución de valor real a la Ecuación 7.1. Del mismo modo, si elegimos $c_{1} = − \frac{i}{2}$ y $c_{2} = \frac{i}{2},$ el primer término es cero y obtenemos

y (x) = e^{α x} sen β x

como una segunda solución de valor real, linealmente independiente, de la Ecuación 7.1.

Basándonos en esto, vemos que si la ecuación característica tiene raíces complejas conjugadas $α \pm β i,$ entonces la solución general de la Ecuación 7.1 viene dada por

\begin{matrix} y (x) & = c_{1} e^{α x} cos β x + c_{2} e^{α x} sen β x \\ = e^{α x} (c_{1} cos β x + c_{2} sen β x), \end{matrix}

donde $c_{1}$ y $c_{2}$ son constantes.

Por ejemplo, la ecuación diferencial $y ″ - 2 y^{'} + 5 y = 0$ tiene la ecuación característica asociada $λ^{2} - 2 λ + 5 = 0 .$ Por la fórmula cuadrática, las raíces de la ecuación característica son $1 \pm 2 i .$ Por lo tanto, la solución general de esta ecuación diferencial es

y (x) = e^{x} (c_{1} cos 2 x + c_{2} sen 2 x) .

Resumen de resultados

Podemos resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden, lineales y homogéneas, con coeficientes constantes, hallando las raíces de la ecuación característica asociada. La forma de la solución general varía, dependiendo de si la ecuación característica tiene raíces reales distintas; una única raíz real repetida; o raíces complejas conjugadas. Los tres casos se resumen en Tabla 7.1.

Raíces de la ecuación característica	Solución general de la ecuación diferencial
Raíces reales distintas, $λ_{1}$ y $λ_{2}$	$y (x) = c_{1} e^{λ_{1} x} + c_{2} e^{λ_{2} x}$
Una raíz real repetida, $λ$	$y (x) = c_{1} e^{λ x} + c_{2} x e^{λ x}$
Raíces complejas conjugadas $α \pm β i$	$y (x) = e^{α x} (c_{1} cos β x + c_{2} sen β x)$

Tabla 7.1 Resumen de los casos de ecuaciones características

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Usar la ecuación característica para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes

Escriba la ecuación diferencial en la forma $a y ″ + b y^{'} + c y = 0 .$
Halle la ecuación característica correspondiente $a λ^{2} + b λ + c = 0 .$
Factorice la ecuación característica o utilice la fórmula cuadrática para hallar las raíces.
Determine la forma de la solución general en función de si la ecuación característica tiene raíces reales distintas; una única raíz real repetida o raíces complejas conjugadas.

Ejemplo 7.6

Resolver ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes

Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales. Dé sus respuestas como funciones de x.

$y ″ + 3 y^{'} - 4 y = 0$
$y ″ + 6 y^{'} + 13 y = 0$
$y ″ + 2 y^{'} + y = 0$
$y ″ - 5 y^{'} = 0$
$y ″ - 16 y = 0$
$y ″ + 16 y = 0$

Solución

Observe que todas estas ecuaciones ya están dadas en forma estándar (paso 1).

La ecuación característica es $λ^{2} + 3 λ - 4 = 0$ (paso 2). Esto se factoriza en $(λ + 4) (λ - 1) = 0,$ por lo que las raíces de la ecuación característica son $λ_{1} = −4$ y $λ_{2} = 1$ (paso 3). Entonces la solución general de la ecuación diferencial es

$y (x) = c_{1} e^{−4 x} + c_{2} e^{x} (paso 4) .$
La ecuación característica es $λ^{2} + 6 λ + 13 = 0$ (paso 2). Aplicando la fórmula cuadrática, vemos que esta ecuación tiene raíces complejas conjugadas $−3 \pm 2 i$ (paso 3). Entonces la solución general de la ecuación diferencial es

$y (t) = e^{−3 t} (c_{1} cos 2 t + c_{2} sen 2 t) (paso 4) .$
La ecuación característica es $λ^{2} + 2 λ + 1 = 0$ (paso 2). Esto se factoriza en ${(λ + 1)}^{2} = 0,$ por lo que la ecuación característica tiene una raíz real repetida $λ = −1$ (paso 3). Entonces la solución general de la ecuación diferencial es

$y (t) = c_{1} e^{− t} + c_{2} t e^{− t} (paso 4).$
La ecuación característica es $λ^{2} - 5 λ$ (paso 2). Esto se factoriza en $λ (λ - 5) = 0,$ por lo que las raíces de la ecuación característica son $λ_{1} = 0$ y $λ_{2} = 5$ (paso 3). Observe que $e^{0 x} = e^{0} = 1,$ así que nuestra primera solución es solo una constante. Entonces la solución general de la ecuación diferencial es

$y (x) = c_{1} + c_{2} e^{5 x} (paso 4) .$
La ecuación característica es $λ^{2} - 16 = 0$ (paso 2). Esto se factoriza en $(λ + 4) (λ - 4) = 0,$ por lo que las raíces de la ecuación característica son $λ_{1} = 4$ y $λ_{2} = −4$ (paso 3). Entonces la solución general de la ecuación diferencial es

$y (x) = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{−4 x} (paso 4) .$
La ecuación característica es $λ^{2} + 16 = 0$ (paso 2). Esto tiene raíces complejas conjugadas $\pm 4 i$ (paso 3). Observe que $e^{0 x} = e^{0} = 1,$ por lo que el término exponencial en nuestra solución es solo una constante. Entonces la solución general de la ecuación diferencial es

$y (t) = c_{1} cos 4 t + c_{2} sen 4 t (paso 4) .$

Punto de control 7.6

Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

$y ″ - 2 y^{'} + 10 y = 0$
$y ″ + 14 y^{'} + 49 y = 0$

Problemas de valores iniciales y de valores límite

Hasta ahora, hemos encontrado soluciones generales a ecuaciones diferenciales. Sin embargo, las ecuaciones diferenciales se utilizan a menudo para describir sistemas físicos, y la persona que estudia ese sistema físico suele saber algo sobre el estado de ese sistema en uno o varios momentos. Por ejemplo, si una ecuación diferencial de coeficiente constante está representando hasta qué punto se comprime el amortiguador de una motocicleta, podríamos saber que el piloto está sentado en su motocicleta al comienzo de una carrera, el tiempo $t = t_{0} .$ Esto significa que el sistema está en equilibrio, por lo que $y (t_{0}) = 0,$ y la compresión del amortiguador no cambia, por lo que $y^{'} (t_{0}) = 0 .$ Con estas dos condiciones iniciales y la solución general de la ecuación diferencial, podemos hallar la solución específica de la ecuación diferencial que satisface ambas condiciones iniciales. Este proceso se conoce como resolución de un problema de valor inicial (recordemos que hemos hablado de los problemas de valores iniciales en Introducción a las ecuaciones diferenciales). Observe que las ecuaciones de segundo orden tienen dos constantes arbitrarias en la solución general, y por lo tanto requerimos dos condiciones iniciales para hallar la solución al problema de valor inicial.

A veces conocemos el estado del sistema en dos momentos diferentes. Por ejemplo, podemos saber $y (t_{0}) = y_{0}$ y $y (t_{1}) = y_{1} .$ Estas condiciones se llaman condiciones de frontera, y hallar la solución de la ecuación diferencial que satisface las condiciones de frontera se llama resolver un problema de valor límite.

Matemáticos, científicos e ingenieros están interesados en comprender las condiciones en las que un problema de valores iniciales o un problema de valores límite tiene una solución única. Aunque el tratamiento completo de este tema está más allá del alcance de este texto, es útil saber que, en el contexto de las ecuaciones de segundo orden de coeficiente constante, se garantiza que los problemas de valor inicial tienen una solución única, siempre que se proporcionen dos condiciones iniciales. Sin embargo, los problemas de valores límite no se comportan tan bien. Incluso cuando se conocen dos condiciones de frontera, podemos encontrarnos con problemas de valor límite con soluciones únicas, muchas soluciones o ninguna solución.

Ejemplo 7.7

Resolver un problema de valor inicial

Resuelva el siguiente problema de valor inicial $y ″ + 3 y^{'} - 4 y = 0,$ $y (0) = 1,$ $y^{'} (0) = −9 .$

Solución

Ya resolvimos esta ecuación diferencial en el Ejemplo 7.6a., y encontramos que la solución general es

y (x) = c_{1} e^{−4 x} + c_{2} e^{x} .

Entonces

y^{'} (x) = −4 c_{1} e^{−4 x} + c_{2} e^{x} .

Cuando $x = 0,$ tenemos $y (0) = c_{1} + c_{2}$ y $y^{'} (0) = −4 c_{1} + c_{2} .$ Aplicando las condiciones iniciales, tenemos

\begin{matrix} c_{1} + c_{2} & = & 1 \\ −4 c_{1} + c_{2} & = & −9 . \end{matrix}

Luego $c_{1} = 1 - c_{2} .$ Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación, vemos que

\begin{matrix} −4 (1 - c_{2}) + c_{2} & = & −9 \\ −4 + 4 c_{2} + c_{2} & = & −9 \\ 5 c_{2} & = & −5 \\ c_{2} & = & −1 . \end{matrix}

Así que, $c_{1} = 2$ y la solución del problema de valor inicial es

y (x) = 2 e^{−4 x} - e^{x} .

Punto de control 7.7

Resuelva el problema de valor inicial $y ″ - 3 y^{'} - 10 y = 0,$ $y (0) = 0,$ $y^{'} (0) = 7 .$

Ejemplo 7.8

Resolver un problema de valor inicial y graficar la solución

Resuelva el siguiente problema de valor inicial y grafique la solución:

y ″ + 6 y^{'} + 13 y = 0, y (0) = 0, y^{'} (0) = 2

Solución

Ya resolvimos esta ecuación diferencial en el Ejemplo 7.6b., y encontramos que la solución general es

y (x) = e^{−3 x} (c_{1} cos 2 x + c_{2} sen 2 x) .

Entonces

y^{'} (x) = e^{−3 x} (−2 c_{1} sen 2 x + 2 c_{2} cos 2 x) - 3 e^{−3 x} (c_{1} cos 2 x + c_{2} sen 2 x) .

Cuando $x = 0,$ tenemos $y (0) = c_{1}$ y $y^{'} (0) = 2 c_{2} - 3 c_{1} .$ Si aplicamos las condiciones iniciales, obtenemos

\begin{matrix} c_{1} & = & 0 \\ −3 c_{1} + 2 c_{2} & = & 2 . \end{matrix}

Por lo tanto, $c_{1} = 0,$ $c_{2} = 1,$ y la solución del problema de valor inicial se muestra en el siguiente gráfico.

y = e^{−3 x} sen 2 x .

Esta figura es un gráfico de la función y = e^-3x sen 2x. El eje x se escala en incrementos de décimas. El eje y se escala en incrementos de décimas pares. La curva pasa por el origen y tiene una asíntota horizontal del eje x positivo.

Punto de control 7.8

Resuelva el siguiente problema de valor inicial y grafique la solución $y ″ - 2 y^{'} + 10 y = 0, y (0) = 2, y^{'} (0) = –1$

Ejemplo 7.9

Problema de valor inicial que representa un sistema masa resorte

El siguiente problema de valor inicial modela la posición de un objeto con masa unido a un resorte. Los sistemas masa resorte se examinan en detalle en Aplicaciones. La solución de la ecuación diferencial da la posición de la masa con respecto a una posición neutra (de equilibrio) (en metros) en cualquier momento. (Observe que para los sistemas masa resorte de este tipo se acostumbra a definir la dirección descendente como positiva)

y ″ + 2 y^{'} + y = 0, y (0) = 1, y^{'} (0) = 0

Resuelva el problema de valor inicial y grafique la solución. ¿Cuál es la posición de la masa en el momento $t = 2$ seg? ¿A qué velocidad se mueve la masa en el momento $t = 1$ seg? ¿En qué dirección?

Solución

En el Ejemplo 7.6c., encontramos que la solución general de esta ecuación diferencial es

y (t) = c_{1} e^{− t} + c_{2} t e^{− t} .

Entonces

y^{'} (t) = − c_{1} e^{− t} + c_{2} (− t e^{− t} + e^{− t}) .

Cuando $t = 0,$ tenemos $y (0) = c_{1}$ y $y^{'} (0) = − c_{1} + c_{2} .$ Si aplicamos las condiciones iniciales, obtenemos

\begin{matrix} c_{1} & = & 1 \\ {− c}_{1} + c_{2} & = & 0 . \end{matrix}

Así, $c_{1} = 1,$ $c_{2} = 1,$ y la solución del problema de valor inicial es

y (t) = e^{− t} + t e^{− t} .

Esta solución se representa en el siguiente gráfico. En el tiempo $t = 2,$ la masa está en la posición $y (2) = e^{−2} + 2 e^{−2} = 3 e^{−2} \approx 0,406$ m por debajo del equilibrio.

Esta figura es el gráfico de y(t) = e^-t + te^-t. El eje horizontal está marcado con t y está escalado en incrementos de décimas pares. El eje y se escala en incrementos de 0,5. El gráfico pasa por el positivo y disminuye con una asíntota horizontal del eje t positivo.

Para calcular la velocidad en el momento $t = 1,$ necesitamos hallar la derivada. Tenemos $y (t) = e^{− t} + t e^{− t},$ así que

y^{'} (t) = − e^{− t} + e^{− t} - t e^{− t} = − t e^{− t} .

Luego $y^{'} (1) = − e^{−1} \approx - 0,3679 .$ En el momento $t = 1,$ la masa se mueve hacia arriba a 0,3679 m/s.

Punto de control 7.9

Supongamos que el siguiente problema de valor inicial modela la posición (en pies) de una masa en un sistema masa resorte en un momento dado. Resuelva el problema de valor inicial y grafique la solución. ¿Cuál es la posición de la masa en el momento $t = 0,3$ seg? ¿Qué tan rápido se mueve en el momento $t = 0,1$ seg? ¿En qué dirección?

y ″ + 14 y^{'} + 49 y = 0, y (0) = 0, y^{'} (0) = 1

Ejemplo 7.10

Resolver un problema de valor límite

En el Ejemplo 7.6f., resolvimos la ecuación diferencial $y ″ + 16 y = 0$ y se encontró que la solución general es $y (t) = c_{1} cos 4 t + c_{2} sen 4 t .$ Si es posible, resuelva el problema de valor límite si las condiciones de frontera son las siguientes:

$y (0) = 0,$ $y (\frac{π}{4}) = 0$
$y (0) = 1,$ $y (\frac{π}{8}) = 0$
$y (\frac{π}{8}) = 0,$ $y (\frac{3 π}{8}) = 2$

Solución

Tenemos

y (x) = c_{1} cos 4 t + c_{2} sen 4 t .

Si aplicamos la primera condición de límite que se da aquí, obtenemos $y (0) = c_{1} = 0 .$ Así que la solución es de la forma $y (t) = c_{2} sen 4 t .$ Sin embargo, cuando aplicamos la segunda condición de frontera, obtenemos $y (\frac{π}{4}) = c_{2} sen (4 (\frac{π}{4})) = c_{2} sen π = 0$ para todos los valores de $c_{2} .$ Las condiciones de frontera no son suficientes para determinar un valor para $c_{2},$ por lo que este problema de valor límite tiene infinitas soluciones. Así, $y (t) = c_{2} sen 4 t$ es una solución para cualquier valor de $c_{2} .$
Si aplicamos la primera condición de límite que se da aquí, obtenemos $y (0) = c_{1} = 1 .$ Aplicando la segunda condición de frontera se obtiene $y (\frac{π}{8}) = c_{2} = 0,$ por lo que $c_{2} = 0 .$ En este caso, tenemos una solución única $y (t) = cos 4 t .$
Si aplicamos la primera condición de límite que se da aquí, obtenemos $y (\frac{π}{8}) = c_{2} = 0 .$ Sin embargo, aplicando la segunda condición de frontera se obtiene $y (\frac{3 π}{8}) = − c_{2} = 2,$ por lo que $c_{2} = –2 .$ No podemos tener $c_{2} = 0 = –2,$ por lo que este problema de valor límite no tiene solución.

Sección 7.1 ejercicios

Clasifique cada una de las siguientes ecuaciones como lineales o no lineales. Si la ecuación es lineal, determine si es homogénea o no homogénea.

1.

$x^{3} y ″ + (x - 1) y^{'} - 8 y = 0$

2.

$(1 + y^{2}) y ″ + x y^{'} - 3 y = cos x$

3.

$x y ″ + e^{y} y^{'} = x$

4.

$y ″ + \frac{4}{x} y^{'} - 8 x y = 5 x^{2} + 1$

5.

$y ″ + (sen x) y^{'} - x y = 4 y$

6.

$y ″ + (\frac{x + 3}{y}) y^{'} = 0$

En cada uno de los siguientes problemas, verifique que la función dada es una solución de la ecuación diferencial. Utilice una herramienta gráfica para graficar las soluciones particulares para varios valores de c₁ y c₂. ¿Qué tienen en común las soluciones?

7.

[T] $y ″ + 2 y^{'} - 3 y = 0;$ $y (x) = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{−3 x}$

8.

[T] $x^{2} y ″ - 2 y - 3 x^{2} + 1 = 0;$ $y (x) = c_{1} x^{2} + c_{2} x^{−1} + x^{2} ln (x) + \frac{1}{2}$

9.

[T] $y ″ + 14 y^{'} + 49 y = 0;$ $y (x) = c_{1} e^{−7 x} + c_{2} x e^{−7 x}$

10.

[T] $6 y ″ - 49 y^{'} + 8 y = 0;$ $y (x) = c_{1} e^{x / 6} + c_{2} e^{8 x}$

Halle la solución general de la ecuación diferencial lineal.

11.

$y ″ - 3 y^{'} - 10 y = 0$

12.

$y ″ - 7 y^{'} + 12 y = 0$

13.

$y ″ + 4 y^{'} + 4 y = 0$

14.

$4 y ″ - 12 y^{'} + 9 y = 0$

15.

$2 y ″ - 3 y^{'} - 5 y = 0$

16.

$3 y ″ - 14 y^{'} + 8 y = 0$

17.

$y ″ + y^{'} + y = 0$

18.

$5 y ″ + 2 y^{'} + 4 y = 0$

19.

$y ″ - 121 y = 0$

20.

$8 y ″ + 14 y^{'} - 15 y = 0$

21.

$y ″ + 81 y = 0$

22.

$y ″ - y^{'} + 11 y = 0$

23.

$2 y ″ = 0$

24.

$y ″ - 6 y^{'} + 9 y = 0$

25.

$3 y ″ - 2 y^{'} - 7 y = 0$

26.

$4 y ″ - 10 y^{'} = 0$

27.

$36 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 12 \frac{d y}{d x} + y = 0$

28.

$25 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 80 \frac{d y}{d x} + 64 y = 0$

29.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 9 \frac{d y}{d x} = 0$

30.

$4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 8 y = 0$

Resuelva el problema de valor inicial.

31.

$y ″ + 5 y^{'} + 6 y = 0, y (0) = 0, y^{'} (0) = –2$

32.

$y ″ + 2 y^{'} - 8 y = 0, y (0) = 5, y^{'} (0) = 4$

33.

$y ″ + 4 y = 0, y (0) = 3, y^{'} (0) = 10$

34.

$y ″ - 18 y^{'} + 81 y = 0, y (0) = 1, y^{'} (0) = 5$

35.

$y ″ - y^{'} - 30 y = 0, y (0) = 1, y^{'} (0) = −16$

36.

$4 y ″ + 4 y^{'} - 8 y = 0, y (0) = 2, y^{'} (0) = 1$

37.

$25 y ″ + 10 y^{'} + y = 0, y (0) = 2, y^{'} (0) = 1$

38.

$y ″ + y = 0, y (π) = 1, y^{'} (π) = −5$

Resuelva el problema de condición de frontera, si es posible.

39.

$y ″ + y^{'} - 42 y = 0, y (0) = 0, y (1) = 2$

40.

$9 y ″ + y = 0, y (\frac{3 π}{2}) = 6, y (0) = −8$

41.

$y ″ + 10 y^{'} + 34 y = 0, y (0) = 6, y (π) = 2$

42.

$y ″ + 7 y^{'} - 60 y = 0, y (0) = 4, y (2) = 0$

43.

$y ″ - 4 y^{'} + 4 y = 0, y (0) = 2, y (1) = –1$

44.

$y ″ - 5 y^{'} = 0, y (0) = 3, y (–1) = 2$

45.

$y ″ + 9 y = 0, y (0) = 4, y (\frac{π}{3}) = –4$

46.

$4 y ″ + 25 y = 0, y (0) = 2, y (2 π) = –2$

47.

Calcule una ecuación diferencial con solución general que sea $y = c_{1} e^{x / 5} + c_{2} e^{−4 x} .$

48.

Calcule una ecuación diferencial con solución general que sea $y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{−4 x / 3} .$

En cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:

Resuelva el problema de valor inicial.
[T] Utilice una herramienta gráfica para graficar la solución particular.

49.

$y ″ + 64 y = 0; y (0) = 3, y^{'} (0) = 16$

50.

$y ″ - 2 y^{'} + 10 y = 0 y (0) = 1, y^{'} (0) = 13$

51.

$y ″ + 5 y^{'} + 15 y = 0 y (0) = –2, y^{'} (0) = 7$

52.

(Principio de superposición) Demuestre que si $y_{1} (x)$ y de $y_{2} (x)$ son soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea, $y ″ + p (x) y^{'} + q (x) y = 0,$ entonces la función $y (x) = c_{1} y_{1} (x) + c_{2} y_{2} (x),$ donde $c_{1}$ y $c_{2}$ son constantes, también es una solución.

53.

Demuestre que si a, b y c son constantes positivas, entonces todas las soluciones de la ecuación diferencial lineal de segundo orden $a y ″ + b y^{'} + c y = 0$ se acercan a cero a medida que $x \to \infty .$ (Sugerencia: Considere tres casos: dos raíces distintas, raíces reales repetidas y raíces complejas conjugadas).

7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden

Ecuaciones lineales homogéneas

Clasificar las ecuaciones de segundo orden

Solución

Verificar una solución

Solución

Principio de superposición

Verificar el principio de superposición

Solución

Dependencia lineal de dos funciones

Probar la dependencia lineal

Solución

Solución general de una ecuación homogénea

Escribir la solución general

Solución

Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes

Raíces reales diferenciadas

Raíz real única repetida

Raíces complejas conjugadas

Resumen de resultados

Estrategia para la resolución de problemas: Usar la ecuación característica para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes

Resolver ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes

Solución

Problemas de valores iniciales y de valores límite

Resolver un problema de valor inicial

Solución

Resolver un problema de valor inicial y graficar la solución

Solución

Problema de valor inicial que representa un sistema masa resorte

Solución

Resolver un problema de valor límite

Solución

Sección 7.1 ejercicios