3.1 Definir la derivada

La pendiente de la línea tangente a una curva mide la tasa instantánea de cambio de una curva. Podemos calcularla encontrando el límite del cociente de diferencias o el cociente de diferencias con incremento $h .$
La derivada de una función $f (x)$ en un valor $a$ se encuentra utilizando cualquiera de las definiciones de la pendiente de la línea tangente.
La velocidad es la tasa de cambio de la posición. Así, la velocidad $v (t)$ en el momento $t$ es la derivada de la posición $s (t)$ en el momento $t .$ La velocidad media viene dada por

$v_{ave} = \frac{s (t) - s (a)}{t - a} .$

La velocidad instantánea viene dada por

$v (a) = s^{'} (a) = \underset{t \to a}{lím} \frac{s (t) - s (a)}{t - a} .$
Podemos estimar una derivada utilizando una tabla de valores.

3.2 La derivada como función

La derivada de una función $f (x)$ es la función cuyo valor en $x$ es $f^{'} (x) .$
El gráfico de la derivada de una función $f (x)$ está relacionado con el gráfico de $f (x) .$ Donde $f (x)$ tiene una línea tangente con pendiente positiva, $f^{'} (x) > 0 .$ Donde $f (x)$ tiene una línea tangente con pendiente negativa, $f^{'} (x) < 0 .$ Donde $f (x)$ tiene una línea tangente horizontal, $f^{'} (x) = 0 .$
Si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto. Una función no es diferenciable en un punto si no es continua en el mismo, si tiene una línea tangente vertical en el punto o si el gráfico tiene una esquina aguda o cúspide.
Las derivadas de orden superior son derivadas de derivadas, desde la segunda derivada hasta la $n −ésima$ derivada.

La derivada de una función constante es cero.
La derivada de una función potencia es una función en la que la potencia sobre $x$ se convierte en el coeficiente del término y la potencia en $x$ en la derivada disminuye en 1.
La derivada de una constante c multiplicada por una función f es lo mismo que la constante multiplicada por la derivada.
La derivada de la suma de una función f y una función g es la misma que la suma de la derivada de f y la derivada de g.
La derivada de la diferencia de una función f y una función g es la misma que la diferencia de la derivada de f y la derivada de g.
La derivada de un producto de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda más la derivada de la segunda función multiplicada por la primera.
La derivada del cociente de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda menos la derivada de la segunda función multiplicada por la primera, todo ello dividido entre el cuadrado de la segunda función.
Utilizamos la definición de límite de la derivada para desarrollar fórmulas que nos permitan encontrar derivadas sin recurrir a la definición de la derivada. Estas fórmulas pueden usarse por separado o combinadas.

Utilizando $f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h,$ es posible estimar $f (a + h)$ dado que $f^{'} (a)$ y $f (a) .$
La tasa de cambio de posición es la velocidad, y la tasa de cambio de la velocidad es la aceleración. La rapidez es el valor absoluto, o la magnitud, de la velocidad.
La tasa de crecimiento de la población y la población actual pueden utilizarse para predecir el tamaño de una población futura.
Las funciones de costo marginal, ingreso marginal y ganancia marginal pueden utilizarse para predecir, respectivamente, el costo de producción de un artículo más, los ingresos obtenidos por la venta de un artículo más y la ganancia obtenida por la producción y venta de un artículo más.

Podemos encontrar las derivadas de sen x y cos x utilizando la definición de derivada y las fórmulas de límite encontradas anteriormente. Los resultados son

$\frac{d}{d x} sen x = cos x \frac{d}{d x} cos x = − sen x .$
Con estas dos fórmulas, podemos determinar las derivadas de las seis funciones trigonométricas básicas.

La regla de la cadena nos permite diferenciar composiciones de dos o más funciones. Establece que para $h (x) = f (g (x)),$

$h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) .$

En la notación de Leibniz esta regla toma la forma

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} . \frac{d u}{d x} .$
Podemos utilizar la regla de la cadena con otras reglas que ya aprendimos y derivar fórmulas en algunas de ellas.
La regla de la cadena se combina con la regla de la potencia para formar una nueva regla:

$Si h (x) = {(g (x))}^{n}, entonces h^{'} (x) = n {(g (x))}^{n - 1} g^{'} (x) .$
Cuando se aplica a la composición de tres funciones, la regla de la cadena puede expresarse como sigue: Si los valores de $h (x) = f (g (k (x))),$ entonces $h^{'} (x) = f^{'} (g (k (x)) g^{'} (k (x)) k^{'} (x) .$

El teorema de la función inversa nos permite calcular derivadas de funciones inversas sin utilizar la definición de límite de la derivada.
Podemos utilizar el teorema de la función inversa para desarrollar fórmulas de diferenciación para las funciones trigonométricas inversas.

Utilizamos la diferenciación implícita para encontrar las derivadas de funciones definidas implícitamente (funciones definidas por ecuaciones).
Utilizando la diferenciación implícita, podemos encontrar la ecuación de una línea tangente al gráfico de una curva.

Partiendo de la base de que la función exponencial $y = b^{x}, b > 0$ es continua en todas partes y diferenciable en 0, esta función es diferenciable en todas partes y existe una fórmula para su derivada.
Podemos utilizar una fórmula para calcular la derivada de $y = ln x,$ y la relación ${log}_{b} x = \frac{ln x}{ln b}$ nos permite extender nuestras fórmulas de diferenciación para incluir logaritmos con bases arbitrarias.
La diferenciación logarítmica nos permite diferenciar funciones de la forma $y = g {(x)}^{f (x)}$ o funciones muy complejas tomando el logaritmo natural de ambos lados y explotando las propiedades de los logaritmos antes de diferenciar.