Rozdział 5

Szczególna teoria względności odnosi się jedynie do układów poruszających się ze stałą prędkością, natomiast ogólna teoria względności bierze pod uwagę także układy przyspieszające.

$\gamma =1∕\sqrt{1-v^2∕c^2}=1∕\sqrt{1-{\left(\mathrm{0,65}c\right)}^2∕c^2}=\mathrm{1,32}$.

a. $\Delta t=\Delta \tau ∕\sqrt{1-{\left(v∕c\right)}^2}=\mathrm{2,1}\cdot {10}^{-8}\mathrm{s}∕\sqrt{1-{\left[\left(\mathrm{1,9}\cdot {10}^8\mathrm{m}∕\mathrm{s}\right)∕\left(3\cdot {10}^8\mathrm{m}∕\mathrm{s}\right)\right]}^2}=\mathrm{2,71}\cdot {10}^{-8}\mathrm{s}$; b. Tylko prędkość względna obu statków jest istotna, ponieważ w kosmosie nie istnieje ruch bezwzględny. Sygnał jest emitowany z ustalonego położenia w układzie odniesienia statku A, a więc czas własny emisji sygnału wynosi $\tau =1\mathrm{s}$. Czas emisji sygnału w układzie odniesienia statku B wynosi wtedy $\Delta t=\Delta \tau ∕\sqrt{1-{\left(v∕c\right)}^2}=1\mathrm{s}∕\sqrt{1-{\left[\left(4\cdot {10}^7\mathrm{m}∕\mathrm{s}\right)∕\left(3\cdot {10}^8\mathrm{m}∕\mathrm{s}\right)\right]}^2}=\mathrm{1,01}\mathrm{s}$.

$L=L_0\sqrt{1-v^2∕c^2}=\mathrm{2,5}\mathrm{km}\cdot \sqrt{1-{\left(\mathrm{0,75}c\right)}^2∕c^2}=\mathrm{1,65}\mathrm{km}$.

Zacznijmy od definicji zmiany czasu własnego: $d\tau =\sqrt{-{\left(ds\right)}^2∕c^2}-\sqrt{d{t}^2-\left(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2\right)∕c^2}$, gdzie $\left(dx,dy,dz,cdt\right)$ są mierzone w inercjalnym układzie odniesienia obserwatora, który niekoniecznie widzi cząstkę jako spoczywającą. A zatem otrzymujemy: $d\tau =\sqrt{-{\left(ds\right)}^2∕c^2}-\sqrt{d{t}^2-\left(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2\right)∕c^2}=dt\sqrt{1-\left[{\left(dx∕dt\right)}^2+{\left(dy∕dt\right)}^2+{\left(dz∕dt\right)}^2\right]∕c^2}$, czyli $d\tau =dt\sqrt{1-v^2∕c^2}$, z czego wynika, że $dt=\gamma d\tau$.

Chociaż przemieszczenia prostopadłe do kierunku ruchu względnego są takie same w obu układach odniesienia, to czas trwania pomiędzy dwoma zdarzeniami jest różny, a różnice między $dt$ a $d{t}^{\prime }$ prowadzą do różnych prędkości oglądanych z dwóch układów odniesienia.

Możemy podstawić dane bezpośrednio do wzoru na relatywistyczną częstotliwość Dopplera: $f_{\text{obs}}=f_{\text{źr}}\sqrt{\frac{1-v∕c}{1+v∕c}}=\mathrm{1,5}\mathrm{GHz}\cdot \sqrt{\frac{1-\mathrm{0,35}c∕c}{1+\mathrm{0,35}c∕c}}=\mathrm{1,04}\mathrm{GHz}$.

$p=\gamma mu=mu∕\sqrt{1-u^2∕c^2}$, a więc otrzymujemy $p=\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\mathrm{kg}\cdot \mathrm{0,985}\cdot 3\cdot {10}^8\mathrm{m}∕\mathrm{s}∕\sqrt{1-{\left(\mathrm{0,985}c\right)}^2∕c^2}=\mathrm{1,56}\cdot {10}^{-21}\mathrm{kg}\mathrm{m}∕\mathrm{s}$.

$E_{\text{k rel}}=\left(\gamma -1\right)m{c}^2=\left(1∕\sqrt{1-u^2∕c^2}-1\right)m{c}^2$, zatem otrzymujemy $E_{\text{k rel}}=\left(1∕\sqrt{1-{\left(\mathrm{0,992}c\right)}^2∕c^2}-1\right)\cdot \mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\mathrm{kg}\cdot {\left(3\cdot {10}^8\mathrm{m}∕\mathrm{s}\right)}^2=\mathrm{5,67}\cdot {10}^{-13}\mathrm{J}$.

Drugi postulat, dotyczący prędkości światła. Fizyka klasyczna założyła już niezmienność zasad mechaniki we wszystkich układach odniesienia, ale prędkość impulsu świetlnego była różna w zależności od ruchu względnego układów odniesienia.

Tak, zakładając, że samolot porusza się ze stałą prędkością względem Ziemi. W tym przypadku ciało, na które w samolocie nie działa żadna siła zewnętrzna, nie porusza się względem samolotu, a także nie zmienia się jego prędkość względem Ziemi. Zarówno układ odniesienia związany z samolotem, jak i ten związany z Ziemią są układami inercjalnymi.

Obserwator poruszający się razem ze zdarzeniem obserwuje czas własny zdarzenia, który jest najkrótszym możliwym interwałem czasu w tym przypadku.

Długość ciała jest największa dla obserwatora, który porusza się razem z tym ciałem, a zatem mierzy długość własną zdarzenia.

a. Nie, nie w układzie odniesienia astronauty; b. Astronauta widzi ziemskie zegary, jakby znajdowały się w układzie spoczynkowym, który porusza się względem niego, a zatem obserwuje zwolnienie czasu; c. Nie, nie w układzie odniesienia astronauty; d. Tak, zmierzona przez niego odległość między gwiazdami jest krótsza; e. Obaj obserwatorzy zgadzają się co do prędkości względnej.

W tym przypadku nie obserwujemy zmiany w długości czy częstotliwości fali. Relatywistyczny efekt Dopplera zależy jedynie od prędkości względnej między źródłem i obserwatorem, a nie od jakiejkolwiek innej prędkości względnej.

Przesunięcie takie wskazuje na oddalanie się gwiazd od Ziemi, a co za tym idzie na rozszerzanie się Wszechświata. Co więcej – ruch ten jest przyspieszony, a prędkość przyjmuje większe wartości dla bardziej odległych gwiazd.

Tak, może się tak zdarzyć, jeżeli siła zewnętrzna jest równoważona przez inne siły zewnętrzne, tak że zewnętrzna siła wypadkowa jest równa zero.

Ze względu na straty energii termicznej, które odpowiadają energii kinetycznej losowego ruchu cząstek materiału, masa wody ulega zmniejszeniu o bardzo małą wartość, jak opisywane jest to przez wzór wyrażający zależność między masą a energią.

Tak, w teorii efekt powinien być analogiczny dla dowolnej zmiany energii, jednak w przypadku konwencjonalnej elektrowni zmiany będą niemierzalnie małe.

Według szczególnej teorii względności nie. Żadne ciało o niezerowej masie nie może osiągnąć prędkości światła.

a. $\mathrm{1,0328}$; b. $\mathrm{1,15}$.

$\mathrm{5,96}\cdot {10}^{-8}\mathrm{s}$.

$\mathrm{0,8}c$.

$\mathrm{0,14}c$.

$\mathrm{48,6}\mathrm{m}$.

Wykorzystując wartości podane w Przykładzie 5.3: a. $\mathrm{1,39}\mathrm{km}$; b. $\mathrm{0,433}\mathrm{km}$; c. $\mathrm{0,433}\mathrm{km}$.

a. $10c$; b. Dana prędkość kanistra wynosi więcej niż prędkość światła; c. Nieracjonalne jest przyjęcie, że kanister będzie się poruszał w kierunku Ziemi z prędkością $\mathrm{1,2}c$.

Kąt $\alpha$ zbliża się do $45°$, a osie $t^{\prime }$ i $x^{\prime }$ obracają się w kierunku brzegu stożka świetlnego.

$15\mathrm{m}∕\mathrm{s}$.

$32\mathrm{m}∕\mathrm{s}$.

a. Druga bila zbliża się z prędkością $-v$ i zatrzymuje się, gdy pierwsza kontynuuje ruch z prędkością $-v$; b. To zgadza się z zasadą zachowania pędu.

a. $t_1^{\prime }=0\mathrm{s}$, $t_2^{\prime }=\tau$, $x_1^{\prime }=0\mathrm{m}$, $x_2^{\prime }=0\mathrm{m}$; b. $t_1^{\prime }=0\mathrm{s}$, $t_2^{\prime }=\tau ∕\sqrt{1-v^2∕c^2}$, $x_1^{\prime }=0\mathrm{m}$, $x_2^{\prime }=-v\tau ∕\sqrt{1-v^2∕c^2}$.

$\mathrm{0,615}c$.

$\mathrm{0,696}c$.

Dowód ze wzoru na składanie prędkości lub postulatu teorii względności o stałej prędkości światła.

$\mathrm{4,09}\cdot {10}^{-19}\mathrm{kg}\mathrm{m}∕\mathrm{s}$.

a. $\mathrm{3,000\hspace{0.17em}000\hspace{0.17em}015}\cdot {10}^{13}\mathrm{kg}\mathrm{m}∕\mathrm{s}$; b. $\mathrm{1,000\hspace{0.17em}000\hspace{0.17em}005}$.

$\mathrm{2,988}\cdot {10}^8\mathrm{m}∕\mathrm{s}$.

$\mathrm{0,512}\mathrm{MeV}$.

$\mathrm{2,3}\cdot {10}^{-30}\mathrm{kg}$, z zaokrągleniem do dwóch cyfr znaczących.

a. $\mathrm{1,11}\cdot {10}^{27}\mathrm{kg}$; b. $\mathrm{5,56}\cdot {10}^{-5}$.

a. $\mathrm{7,1}\cdot {10}^{-3}\mathrm{kg}$; b. $\mathrm{7,1}\cdot {10}^{-3}=\mathrm{7,1}\cdot {10}^{-3}$; c. $\Delta m∕m$ jest większy dla wodoru.

a. $208$; b. $\mathrm{0,999\hspace{0.17em}988}c$; sześć cyfr znaczących potrzebnych do znalezienia różnicy od $c$.

a. $\mathrm{6,92}\cdot {10}^5\mathrm{J}$; b. $\mathrm{1,54}$.

a. $\mathrm{0,914}c$; b. Masa spoczynkowa elektronu wynosi $\mathrm{0,511}\mathrm{MeV}$, a więc energia kinetyczna jest w przybliżeniu równa $150\mathrm{\%}$ energii spoczynkowej. Elektron powinien poruszać się z prędkością bliską prędkości światła.

a. $\mathrm{0,866}c$; b. $\mathrm{0,995}c$.

a. $\mathrm{4,303}$ roku, z zaokrągleniem do trzech cyfr znaczących; b. $\mathrm{0,1434}$ roku; c. $1∕\sqrt{1-v^2∕c^2}$.

a. $4$; b. $v=\mathrm{0,867}c$.

a. Statek kosmiczny A wysyła puls astronauty za pomocą sygnału radiowego do punktu B, gdzie znana jest prędkość względna obu statków i dzięki wzorowi na dylatację czasu możliwe jest obliczenie czasu własnego oryginalnego pomiaru; b. $66\mathrm{uderzeń}∕\min \cdot \sqrt{1-v^2∕c^2}=\mathrm{57,1}\mathrm{uderzenia}∕\min$.

a. Pierwszy foton: $\left(0\mathrm{m},0\mathrm{m},0\mathrm{m}\right)$ dla $t=t^{\prime }$, drugi foton: $t^{\prime }=-\left(vx∕c^2\right)∕\sqrt{1-v^2∕c^2}=-\left(c∕2\cdot 1\mathrm{m}∕c^2\right)∕\sqrt{\mathrm{0,75}}=-\mathrm{0,577}\mathrm{m}∕c=\mathrm{1,93}\cdot {10}^{-9}\mathrm{s}$, $x^{\prime }=x∕\sqrt{1-v^2∕c^2}=1\mathrm{m}∕\sqrt{\mathrm{0,75}}=\mathrm{1,15}\mathrm{m}$; b. Jednoczesne dla A, niejednoczesne dla B.

$t^{\prime }=\left(t-vx∕c^2\right)∕\sqrt{1-v^2∕c^2}=\left(\mathrm{4,5}\cdot {10}^{-4}\mathrm{s}-\mathrm{0,6}c\cdot 150\cdot {10}^3\mathrm{m}∕c^2\right)∕\sqrt{1-{\left(\mathrm{0,6}\right)}^2}=\mathrm{1,88}\cdot {10}^{-4}\mathrm{s}$, $x^{\prime }=\left(x-vt\right)∕\sqrt{1-v^2∕c^2}$, a zatem otrzymujemy $x^{\prime }=\left(150\cdot {10}^3\mathrm{m}-\mathrm{0,6}\cdot 3\cdot {10}^8\mathrm{m}∕\mathrm{s}\cdot \mathrm{4,5}\cdot {10}^{-4}\mathrm{s}\right)∕\sqrt{1-{\left(\mathrm{0,6}\right)}^2}=-\mathrm{1,01}\cdot {10}^5\mathrm{m}=-101\mathrm{km}$, $y^{\prime }=y=15\mathrm{km}$, $z^{\prime }=z=1\mathrm{km}$.

$\Delta t=\left(\Delta t^{\prime }+v\Delta x^{\prime }∕c^2\right)∕\sqrt{1-v^2∕c^2}\Rightarrow 0\mathrm{s}=\left(\Delta t^{\prime }+v\cdot 500\mathrm{m}∕c^2\right)∕\sqrt{1-v^2∕c^2}$; ponieważ $v\ll c$, możemy pominąć wyrażenie $v^2∕c^2$ i obliczyć $\Delta t^{\prime }=-50\mathrm{m}∕\mathrm{s}\cdot 500\mathrm{m}∕{\left(3\cdot {10}^8\mathrm{m}∕\mathrm{s}\right)}^2=-\mathrm{2,78}\cdot {10}^{-13}\mathrm{s}$. Różnica czasu jest bardzo mała, ale nie jest równa zero.

$\Delta t^{\prime }=\left(\Delta t-v\Delta x∕c^2\right)∕\sqrt{1-v^2∕c^2}\Rightarrow 0\mathrm{s}=\left[\mathrm{0,3}\mathrm{s}-v\cdot 2\cdot {10}^9\mathrm{m}∕{\left(3\cdot {10}^8\mathrm{m}∕\mathrm{s}\right)}^2\right]∕\sqrt{1-v^2∕c^2}$, stąd $v=\mathrm{0,3}\mathrm{s}\cdot {\left(3\cdot {10}^8\mathrm{m}∕\mathrm{s}\right)}^2∕2\cdot {10}^9\mathrm{m}=\mathrm{1,35}\cdot {10}^7\mathrm{m}∕\mathrm{s}$.

Zauważ, że wszystkie rozwiązania tego zadania będą podane z dokładnością do pięciu cyfr znaczących. a. $\mathrm{0,999\hspace{0.17em}47}c$; b. $\mathrm{1,2064}\cdot {10}^{11}$ lat; c. $\mathrm{1,2058}\cdot {10}^{11}$ lat.

a. $-\mathrm{0,4}c$; b. $-\mathrm{0,909}c$.

a. $\mathrm{1,65}\mathrm{km}∕\mathrm{s}$; b. Tak, jeśli prędkość światła byłaby tak mała, prędkości, które osiągamy na co dzień, byłyby większe niż $1\mathrm{\%}$ prędkości światła i dużo częściej moglibyśmy obserwować efekty relatywistyczne.

$775\mathrm{MHz}$.

a. $\mathrm{1,12}\cdot {10}^{-8}\mathrm{m}∕\mathrm{s}$; b. Tak nieduża prędkość pokazuje nam, jak mała musi być masa protonu (nawet najmniejszy pyłek jest od niego dużo masywniejszy).

a. $F=dp∕dt=d\left(mu∕\sqrt{1-u^2∕c^2}\right)∕dt$, czyli $F=du∕dt\cdot m∕\sqrt{1-u^2∕c^2}-1∕2\cdot m{u}^2∕{\left(1-u^2∕c^2\right)}^{3∕2}\cdot 2\cdot du∕dt$, stąd otrzymujemy $F=m∕{\left(1-u^2∕c^2\right)}^{3∕2}\cdot du∕dt$; b. $F=m∕{\left(1-u^2∕c^2\right)}^{3∕2}\cdot du∕dt=1\mathrm{kg}∕{\left(1-{\left(1∕2\right)}^2\right)}^{3∕2}\cdot 1\mathrm{m}∕{\mathrm{s}}^2=\mathrm{1,53}\mathrm{N}$.

$90\mathrm{MeV}$.

a. Dowód z definicji; energia zależy głównie od pędu, a nie masy; b. Tak.

$\mathrm{1,07}\cdot {10}^3$.

a. $\mathrm{6,56}\cdot {10}^{-8}\mathrm{kg}$; b. $m=200\mathrm{l}\cdot \left(1{\mathrm{m}}^3∕1000\mathrm{l}\right)\cdot 750\mathrm{kg}∕{\mathrm{m}}^3=150\mathrm{kg}$, a więc $\Delta m∕m=\mathrm{4,37}\cdot {10}^{-10}$.

a. $\mathrm{0,314}c$; b. $\mathrm{0,999\hspace{0.17em}95}c$ z dokładnością do pięciu cyfr, aby pokazać różnicę.

a. $1\mathrm{kg}$; b. Taki ubytek masy byłby mierzalny, ale trudny do zaobserwowania gołym okiem, jako że wynosi on jedynie $\mathrm{0,01}\mathrm{\%}$ masy całkowitej.

a. $\mathrm{6,6}\cdot {10}^{11}\mathrm{kg}∕\mathrm{s}$; b. $\mathrm{4,67}\cdot {10}^{10}$ lat; c. $\mathrm{4,27}\cdot {10}^9\mathrm{kg}$; d. $\mathrm{0,32}\mathrm{\%}$.