Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Optyka
    1. 1 Natura światła
      1. Wstęp
      2. 1.1 Rozchodzenie się światła
      3. 1.2 Prawo odbicia
      4. 1.3 Załamanie
      5. 1.4 Całkowite wewnętrzne odbicie
      6. 1.5 Rozszczepienie
      7. 1.6 Zasada Huygensa
      8. 1.7 Polaryzacja
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Optyka geometryczna i tworzenie obrazu
      1. Wstęp
      2. 2.1 Obrazy tworzone przez zwierciadła płaskie
      3. 2.2 Zwierciadła sferyczne
      4. 2.3 Obrazy tworzone przez załamanie promieni światła
      5. 2.4 Cienkie soczewki
      6. 2.5 Oko
      7. 2.6 Aparat fotograficzny
      8. 2.7 Proste przyrządy powiększające
      9. 2.8 Mikroskopy i teleskopy
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 3 Interferencja
      1. Wstęp
      2. 3.1 Doświadczenie Younga z dwiema szczelinami
      3. 3.2 Matematyczny opis interferencji
      4. 3.3 Interferencja na wielu szczelinach
      5. 3.4 Interferencja w cienkich warstwach
      6. 3.5 Interferometr Michelsona
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Dyfrakcja
      1. Wstęp
      2. 4.1 Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie
      3. 4.2 Natężenie światła w dyfrakcji na pojedynczej szczelinie
      4. 4.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie
      5. 4.4 Siatki dyfrakcyjne
      6. 4.5 Otwory kołowe i rozdzielczość
      7. 4.6 Dyfrakcja rentgenowska
      8. 4.7 Holografia
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fizyka współczesna
    1. 5 Teoria względności
      1. Wstęp
      2. 5.1 Niezmienność praw fizyki
      3. 5.2 Względność jednoczesności zdarzeń
      4. 5.3 Dylatacja czasu
      5. 5.4 Skrócenie długości w szczególnej teorii względności
      6. 5.5 Transformacja Lorentza
      7. 5.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności
      8. 5.7 Relatywistyczny efekt Dopplera
      9. 5.8 Pęd relatywistyczny
      10. 5.9 Energia relatywistyczna
      11. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Fotony i fale materii
      1. Wstęp
      2. 6.1 Promieniowanie ciała doskonale czarnego
      3. 6.2 Efekt fotoelektryczny
      4. 6.3 Efekt Comptona
      5. 6.4 Model atomu wodoru Bohra
      6. 6.5 Fale de Broglie’a
      7. 6.6 Dualizm korpuskularno-falowy
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 7 Mechanika kwantowa
      1. Wstęp
      2. 7.1 Funkcje falowe
      3. 7.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga
      4. 7.3 Równanie Schrӧdingera
      5. 7.4 Cząstka kwantowa w pudełku
      6. 7.5 Kwantowy oscylator harmoniczny
      7. 7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Budowa atomu
      1. Wstęp
      2. 8.1 Atom wodoru
      3. 8.2 Orbitalny magnetyczny moment dipolowy elektronu
      4. 8.3 Spin elektronu
      5. 8.4 Zakaz Pauliego i układ okresowy pierwiastków
      6. 8.5 Widma atomowe i promieniowanie rentgenowskie
      7. 8.6 Lasery
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    5. 9 Fizyka materii skondensowanej
      1. Wstęp
      2. 9.1 Rodzaje wiązań cząsteczkowych
      3. 9.2 Widma cząsteczkowe
      4. 9.3 Wiązania w ciałach stałych
      5. 9.4 Model elektronów swobodnych w metalach
      6. 9.5 Teoria pasmowa ciał stałych
      7. 9.6 Półprzewodniki i domieszkowanie
      8. 9.7 Przyrządy półprzewodnikowe
      9. 9.8 Nadprzewodnictwo
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Fizyka jądrowa
      1. Wstęp
      2. 10.1 Własności jądra atomowego
      3. 10.2 Energia wiązania jądra
      4. 10.3 Rozpad promieniotwórczy
      5. 10.4 Procesy rozpadu
      6. 10.5 Rozszczepienie jądra atomowego
      7. 10.6 Fuzja jądrowa
      8. 10.7 Skutki biologiczne i zastosowania medyczne promieniowania jądrowego
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia
      1. Wstęp
      2. 11.1 Wstęp do fizyki cząstek elementarnych
      3. 11.2 Zasady zachowania w fizyce cząstek elementarnych
      4. 11.3 Kwarki
      5. 11.4 Akceleratory i detektory cząstek
      6. 11.5 Model standardowy
      7. 11.6 Wielki Wybuch
      8. 11.7 Ewolucja wczesnego Wszechświata
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • dlaczego mierzony upływ czasu może być inny w różnych układach odniesienia;
  • w jaki sposób odróżnić czas własny od czasu innego obserwatora;
  • opisywać znaczenie eksperymentu Rossiego-Halla;
  • dlaczego paradoks bliźniąt nie jest sprzecznością;
  • obliczać dylatację czasu, znając prędkość ciała w danym układzie.

Przeprowadzona w poprzednim podrozdziale analiza jednoczesności zdarzeń zwraca uwagę na pewien wniosek płynący z postulatów Einsteina: odcinki czasu mają różne wartości w różnych układach odniesienia. Dla przykładu załóżmy, że astronauta mierzy czas, jakiego potrzebuje impuls światła do pokonania odległości między zwierciadłem a źródłem, biegnąc tam i z powrotem (Ilustracja 5.4), poruszając się prostopadle do ruchu promu (względem obserwatora na Ziemi). Jak ma się wartość zmierzona przez astronautę do czasu trwania zdarzenia dla obserwatora znajdującego się na powierzchni Ziemi?

Wyniki tego eksperymentu dostarczają ciekawych wniosków. Czas zajścia danego zdarzenia zależy od obserwatora. W przypadku pomiaru dokonanego przez astronautę (który znajduje się w środku promu kosmicznego, względem którego jest w spoczynku) wartość jest mniejsza niż ta zmierzona przez obserwatora znajdującego się na Ziemi, w stronę którego porusza się astronauta. Różnica ta wynika z różnicy dróg światła dla obu układów odniesienia. Jak widać na Ilustracji 5.4, światło musi przebyć krótszą drogę w układzie astronauty niż w układzie obserwatora na Ziemi. Jako że światło ma stałą prędkość we wszystkich układach odniesienia, potrzebuje więcej czasu na pokonanie większej odległości względem obserwatora na Ziemi.

Ilustracja a przedstawia astronautę na pokładzie promu kosmicznego, obserwującego zegar analogowy wskazujący, że upłynął czas Δτ. Pokazane są również szczegóły doświadczenia: na dole znajdują się źródło oraz detektor światła, na górze zaś lustro. Odległość pionowa między emiterem a lustrem wynosi D. Zaznaczona jest ścieżka świetlna od emitera, przez lustro, do detektora. Ilustracja b przedstawia obserwatora na ziemi posiadającego analogiczny zegar, wskazujący, że upłynął czas Δt. Nad obserwatorem znajdują się trzy diagramy przedstawiające doświadczenie w trzech kluczowych momentach przebiegu sygnału świetlnego. Diagram z lewej, nazwany „zdarzenie początkowe”, przedstawia emiter światła. Diagram z prawej, nazwany „zdarzenie końcowe”, przedstawia detektor światła. Ścieżka świetlna przedstawiona jest jednocześnie na tych diagramach, zaczynając się na detektorze, przechodząc przez lustro na środkowym diagramie, i kończąc się w detektorze. Pionowa odległość między detektorem a lustrem nazwana jest D. Pozioma odległość między zdarzeniem początkowym a zegarem, znajdującym się w połowie środkowego diagramu, nazwana jest L równe v razy Δt przez 2. Pozioma odległość między tym zegarem a zdarzeniem końcowym nazwana jest L. Ilustracja c przedstawia trójkąt równoramienny z poziomą podstawą, podzielony wysokością D na dwa trójkąty prostokątne. Podstawa lewego trójkąta nazwana jest L równe v razy Δt przez 2, prawego L. Przeciwprostokątna każdego z tych trójkątów nazwana jest s. Nad diagramem znajduje się równanie s jest równe pierwiastkowi sumy D kwadrat dodać L kwadrat.
Ilustracja 5.4 (a) Astronauta mierzy czas Δ τ Δ τ potrzebny światłu na przebycie odległości 2 D 2 D w jego układzie odniesienia. (b) Naukowiec ESA (ang. European Space Agency ) rejestruje dłuższą drogę światła 2 s 2 s i dłuższy czas Δ t Δ t . (c) Zależność między drogami D D a s s .

Dylatacja czasu

Dylatacja czasu (ang. time dilation) to wydłużenie badanego odcinka czasu związane z różnicą w pomiarze dokonywanym jednocześnie w dwóch różnych układach odniesienia, z których jeden porusza się względem drugiego.

Aby porównać wartości obydwu pomiarów czasu, możemy porównać drogi, które musi pokonać światło pokazane na Ilustracji 5.4, a następnie przedstawić je w odniesieniu do czasu podróży (odpowiednio ΔτΔτ lub ΔtΔt) impulsu światła w odpowiadającym im układzie odniesienia. Otrzymane równanie może być rozwiązane dla ΔtΔt w funkcji ΔτΔτ.

Długości DD i LL na Ilustracji 5.4 są bokami trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej ss. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że

s 2 = D 2 + L 2 . s 2 = D 2 + L 2 .

Długości 2s2s i 2L2L są odpowiednio odległościami, które pokonują światło i prom kosmiczny w czasie ΔtΔt w układzie odniesienia ziemskiego obserwatora. Długość 2D2D 2D to odległość, jaką przebywa światło w czasie ΔτΔτ w układzie astronauty. To daje nam trzy równania

2 s = c Δ t ,   2 L = v Δ t ,   2 D = c Δ τ . 2 s = c Δ t ,   2 L = v Δ t ,   2 D = c Δ τ .

Zauważmy, że opisując prędkość światła jako cc w obu układach odniesienia, wykorzystaliśmy drugi postulat Einsteina. Podstawiając te wartości do poprzedniego równania, wykorzystującego twierdzenie Pitagorasa, otrzymujemy

s 2 = D 2 + L 2 , c Δ t 2 2 = c Δ τ 2 2 + v Δ t 2 2 . s 2 = D 2 + L 2 , c Δ t 2 2 = c Δ τ 2 2 + v Δ t 2 2 . s 2 = D 2 + L 2 , c Δ t 2 2 = c Δ τ 2 2 + v Δ t 2 2 .

Następnie porządkujemy równanie

c Δ t 2 v Δ t 2 = c Δ τ 2 . c Δ t 2 v Δ t 2 = c Δ τ 2 .

Ostatecznie, rozwiązując to równanie dla ΔtΔt w funkcji ΔτΔτ, otrzymujemy

Δ t = Δ τ 1 v c 2 , Δ t = Δ τ 1 v c 2 ,
5.1

co można również zapisać jako

Δ t = γ Δ τ , Δ t = γ Δ τ ,
5.2

gdzie γγ to czynnik relatywistyczny (nazywany też czynnikiem Lorentza (ang. Lorentz factor)) wyrażany wzorem

γ = 1 1 v c 2 , γ= 1 1 v c 2 ,

przy czym vv i cc to odpowiednio prędkości poruszającego się obserwatora i światła.

Warto zauważyć asymetrię tych pomiarów. Tylko jeden z nich jest pomiarem czasu między dwoma zdarzeniami – emisją a powrotem impulsu światła – zachodzącymi w tym samym miejscu. Mowa oczywiście o pomiarze w układzie odniesienia astronauty. Pomiar w układzie odniesienia obserwatora na Ziemi obejmuje porównanie upływu czasu między dwoma zdarzeniami, które zachodzą w dwóch różnych położeniach. Czas między zdarzeniami następującymi w tym samym miejscu ma własną nazwę, pozwalającą na odróżnienie go od czasu mierzonego przez obserwatora na Ziemi, i w tym rozdziale oznaczany jest jako ΔτΔτ.

Czas własny

Czas własny (ang. proper time) ΔτΔτ to czas mierzony w układzie, w którym zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu.

Zależność wiążąca czasy ΔtΔt i ΔτΔτ jest niezwykle istotna dla zrozumienia fizyki relatywistycznej. Przede wszystkim pokazuje ona fakt, że czas może biec inaczej w dwóch układach odniesienia w zależności od ich ruchu względem siebie. Chcąc zmierzyć najkrótszy możliwy czas między dwoma zdarzeniami (np. emisją i powrotem impulsu światła), musimy dokonać pomiaru w układzie inercjalnym, w którym oba te zdarzenia mają takie samo położenie, czyli w układzie spoczynkowym. Dla przykładu z astronautą oznacza to, że z punktu widzenia obserwatora na Ziemi czas na promie kosmicznym biegnie wolniej niż na Ziemi. Oglądając tę samą sytuację z perspektywy astronauty, zaobserwujemy przyspieszenie upływu czasu na Ziemi względem poruszającego się promu.

Ten efekt, choć brzmi jak wyjęty z opowiadania science-fiction, jest jak najbardziej rzeczywisty. Nie powodują go też błędy pomiarowe związane z niedokładnymi zegarami czy niepoprawnymi założeniami. Potwierdza to fakt, że każdy zegar poruszający się względem obserwatora (nawet biologiczny, jak tętno czy proces starzenia się) zwalnia w porównaniu z zegarem będącym w spoczynku względem tego obserwatora.

Warto jednak zauważyć, że jeśli prędkość względna jest dużo mniejsza od prędkości światła (vcvc), to iloraz v2c2v2c2 jest bardzo mały, a czasy ΔtΔt i ΔτΔτ mają prawie tę samą wartość. Przy niskich prędkościach prawa fizyki oparte na teorii względności zbliżają się do teorii klasycznej. Dlatego też w życiu codziennym zazwyczaj nie zauważamy efektów relatywistycznych. Jednak dla prędkości bliskich prędkości światła wartość v2c2v2c2 zbliżona jest do 11, a więc 1v2c21v2c2 przyjmuje bardzo małe wartości i ΔtΔt może być dużo większe niż ΔτΔτ.

Okres połowicznego rozpadu mionu

Równanie Δt=γΔτΔt=γΔτ zostało wielokrotnie potwierdzone doświadczalnie. Eksperyment Rossiego-Halla związany jest z cząsteczkami promieniowania kosmicznego, które cały czas padają na Ziemię. Produktem zderzeń tych cząsteczek z jądrami atomów w górnych partiach atmosfery są nietrwałe cząstki nazywane mionami (ang. muons) o tym samym ładunku co elektron, ale większej masie. Okres połowicznego rozpadu (czas, w którym połowa danego materiału uległa rozpadowi) mionu wynosi 1,52µs1,52µs, gdy jest mierzony przez obserwatora znajdującego się w spoczynku względem cząstki. Ten czas nazwiemy czasem własnym ΔτΔτ. Jeżeli założenia Newtona na temat czasu byłyby prawdziwe, w tak krótkim okresie jedynie niewielka ilość mionów zdążyłaby dotrzeć na powierzchnię Ziemi i zostać zarejestrowana. Jednak miony mogą mieć różne prędkości, nie wykluczając też tych bliskich prędkości światła. Okres rozpadu mionu obserwowany z powierzchni Ziemi (ΔtΔt) zmienia się w zależności od jego prędkości zgodnie z równaniem Δt=γΔτΔt=γΔτ, gdzie γ=11v2c2γ=11v2c2. Im szybciej porusza się mion, tym dłużej istnieje. Obserwując mion z powierzchni Ziemi, zmierzymy dłuższy czas życia tej cząstki, niż przewiduje jego czas połowicznego rozpadu, w rezultacie czego detektory rejestrują dużo większą część populacji mionów.

Zanim podejmiemy się rozwiązania pierwszego zagadnienia związanego z fizyką relatywistyczną, przedstawimy algorytm, który będziesz mógł wykorzystać w swoich obliczeniach.

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązywania zadań: teoria względności

  1. Sporządź listę informacji podanych w treści zagadnienia (określ dane). W szczególności szukaj informacji o prędkości relatywistycznej vv (prędkości bliskiej prędkości światła).
  2. Zdecyduj, co musi zostać wyliczone według treści zadania (określ wielkości szukane).
  3. Przed wykonaniem obliczeń upewnij się, że dobrze zrozumiałeś założenia zadania (wyraź rozwiązanie w formie równania). Na przykład określ, który z obserwatorów zauważy efekty relatywistyczne (dylatację czasu lub skrócenie długości), zanim zaczniesz przekształcać równania czy podstawiać dane pod zmienne. Jeżeli przeanalizujesz wszystkie aspekty zagadnienia, kto i gdzie znajduje się w układzie spoczynkowym obserwowanego zdarzenia oraz kto mierzy czas własny, lepiej zrozumiesz zagadnienie, które próbujesz rozwiązać.
  4. Zdecyduj, jakie obliczenia należy wykonać, aby określić wartości wszystkich szukanych (wykonaj obliczenia). W razie problemów zapoznaj się z podsumowaniem rozdziału, gdzie pokrótce opisane są najważniejsze pojęcia.

Wstrzymaj się z zaokrąglaniem wyników. Jak już wspomnieliśmy wcześniej, do otrzymania pożądanego wyniku często niezbędne będą bardzo dokładne obliczenia (do wielu cyfr znaczących). Możesz zaokrąglić ostateczny wynik, ale nie podstawiaj zaokrąglonych wyników wcześniejszych działań do kolejnych równań. Upewnij się też, że twoja odpowiedź ma sens. W przypadku fizyki relatywistycznej niewiele jest przykładów z codziennego życia, z którymi mógłbyś porównać swój rezultat. Powinieneś uważać na oczywiste błędy, jeśli uzyskasz np. prędkość większą od cc, czy efekty relatywistyczne zachodzące w złym kierunku – choćby skrócenie czasu tam, gdzie powinniśmy obserwować jego dylatację.

Przykład 5.1

Dylatacja czasu w pojeździe o dużej prędkości

Amerykański bezzałogowy statek powietrzny HTV-2 (ang. Hypersonic Technology Vehicle 2) może się poruszać lotem szybującym z prędkością 21 000kmh21 000kmh (5830ms5830ms). Jeżeli zegar elektroniczny znajdujący się na pokładzie HTV-2 zmierzy upływ dokładnie 1s1s, to jaki czas przelotu zmierzą naukowcy w laboratorium na Ziemi?

Strategia rozwiązania

Zastosujemy wzór na dylatację czasu, aby porównać czas własny zdarzenia na pokładzie HTV-2 z odpowiadającym mu czasem zmierzonym w laboratorium.

Rozwiązanie

  • Określamy dane: Δτ=1sΔτ=1s, v=5830msv=5830ms.
  • Określamy szukane: ΔtΔt.
  • Wyrażamy rozwiązanie w formie równania
    Δt=γΔτ=Δτ1vc2.Δt=γΔτ=Δτ1vc2.
  • Wykonujemy obliczenia. Wykorzystamy wzór na γγ do obliczenia ΔtΔt, znając ΔτΔτ
    Δt=1s15830ms3108ms2=1,000 000 000 189sΔt=1s+1,8910-10s.Δt=1s15830ms3108ms2=1,000 000 000 189sΔt=1s+1,8910-10s. \begin{multiline} \prefop{\Delta} t &= \frac{\SI{1}{\second}}{\sqrt{1-(\frac{\SI{5830}{\metre\per\second}}{\SI{3e8}{\metre\per\second}})^2}} = \SI{1,000000000189}{\second} \\ &= \SI{1}{\second} + \SI{1,89e-10}{\second} \text{.} \end{multiline}Δt=1s15830ms3108ms2=1,000 000 000 189s=1s+1,8910-10s.

Znaczenie

Nawet hipersoniczna prędkość HTV-2 jest tylko 1100 0001100 000 częścią prędkości światła. W przypadku HTV-2 efekty relatywistyczne będzie można pominąć, choć nie są one równe zero.

Przykład 5.2

Jakie prędkości są relatywistyczne?

Z jaką prędkością musi się przemieszczać pojazd, aby w czasie jednej sekundy mierzonej na zegarku jego pasażera pomiar ten różnił się od pomiaru obserwatora znajdującego się poza pojazdem o 1%1% \SI{1}{\percent}?

Strategia rozwiązania

Wykorzystamy wzór na dylatację czasu, aby obliczyć stosunek vcvc dla danej różnicy czasu.

Rozwiązanie

  • Określamy dane: ΔτΔt=1s1,01sΔτΔt=1s1,01s.
  • Określamy szukane: vcvc.
  • Wyrażamy rozwiązanie w formie równania
    Δt=γΔτ=Δτ1v2c2,ΔτΔt=1v2c2,ΔτΔt2=1v2c2,vc=1ΔτΔt2.Δt=γΔτ=Δτ1v2c2,ΔτΔt=1v2c2,ΔτΔt2=1v2c2,vc=1ΔτΔt2.Δt=γΔτ=Δτ1v2c2,ΔτΔt=1v2c2,ΔτΔt2=1v2c2,vc=1ΔτΔt2.
  • Wykonujemy obliczenia
    vc=11s1,01s2=0,14.vc=11s1,01s2=0,14. \frac{v}{c} = \sqrt{1 - (\frac{\SI{1}{\second}}{\SI{1,01}{\second}})^2} = \num{0,14} \text{.}

Znaczenie

Wynik tego zadania pokazuje, że aby otrzymać znaczące efekty relatywistyczne, ciało musi poruszać się z prędkością równą około 10%10% \SI{10}{\percent} prędkości światła.

Przykład 5.3

Obliczanie ΔtΔt zdarzenia relatywistycznego

Załóżmy, że wiązka promieniowania kosmicznego zderza się z jądrem atomowym w górnej partii atmosfery ziemskiej i produkuje mion o prędkości v=0,95cv=0,95c. Mion porusza się ze stałą prędkością i rozpada się po 2,2µs2,2µs, mierzonych w układzie odniesienia mionu. Możemy to sobie wyobrazić jako zegar wewnętrzny mionu. Jak długi jest czas życia mionu mierzony przez obserwatora na Ziemi (Ilustracja 5.5)?
Rysunek a, wykonany w układzie odniesienia mionu, pokazuje zegar analogowy wskazujący okres Δτ, podpisany „długość życia mionu”. Pod zegarem znajduje się rysunek wzgórza wraz z dwoma poziomymi liniami: na szczycie opisanej „stworzenie mionu” oraz przy podstawie opisanej „rozpad mionu”. Rysunek b, wykonany w układzie odniesienia ziemi, zawiera te same elementy, z tym, że zegar pokazuje dłuższy czas opisany Δt, a rysunek wzgórza jest wyższy.
Ilustracja 5.5 Czas istnienia mionu mierzony przez obserwatora na powierzchni Ziemi jest dłuższy niż mierzony przez zegar związany z tym mionem.

Strategia rozwiązania

Zegar poruszający się razem z mionem mierzy czas własny procesu rozpadu mionu, tak więc czas dany w treści zadania to Δτ=2,2µsΔτ=2,2µs. Obserwator na Ziemi mierzy czas ΔtΔt dany równaniem Δt=γΔτΔt=γΔτ. Ponieważ prędkość mionu jest dana, możemy obliczyć czas zmierzony w układzie odniesienia obserwatora na Ziemi.

Rozwiązanie

  • Określamy dane: v=0,95cv=0,95c, Δτ=2,2µsΔτ=2,2µs.
  • Określamy szukane: ΔtΔt.
  • Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania. Wykorzystamy Δt=γΔτΔt=γΔτ, gdzie γ=11v2c2γ=11v2c2.
  • Wykonujemy obliczenia. Wykorzystamy wzór na γγ, aby wyznaczyć ΔtΔt, znając ΔτΔτ
    Δt=γΔτ=Δτ1v2c2=2,2µs10,952=7,05µs.Δt=γΔτ=Δτ1v2c2=2,2µs10,952=7,05µs. \begin{multiline} \prefop{\Delta} t = \gamma \prefop{\Delta} \tau = \frac{\prefop{\Delta} \tau}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} = \frac{\SI{2,2}{\micro\second}}{\sqrt{1-(\num{0,95})^2}} = \SI{7,05}{\micro\second} \text{.} \end{multiline}

Znaczenie

Ponieważ γ=3,2γ=3,2 dla 95%95% \SI{95}{\percent} prędkości światła (v=0,95cv=0,95c), efekty relatywistyczne będą znaczące. Z punktu widzenia teorii klasycznej, oba czasy powinny być takie same, ale w przypadku tak relatywistycznych prędkości czas ΔtΔt jest ponad 3,23,2 razy dłuższy od czasu własnego mionu.

Przykład 5.4

„Relatywistyczna” telewizja

Telewizory starego typu – kineskopowe (Ilustracja 5.6) – działają na zasadzie przyspieszania elektronów do prędkości relatywistycznych na krótkich odległościach i kontrolowania miejsca ich uderzenia we fluorescencyjny ekran za pomocą pola elektromagnetycznego. Załóżmy, że elektron porusza się z prędkością 6107ms6107ms na drodze 0,2m0,2m (od początku wiązki elektronów do ekranu).
  1. Jaki jest czas przelotu elektronu w układzie spoczynkowym telewizora?
  2. Jaki jest czas przelotu w jego własnym układzie spoczynkowym?
Ilustracja przedstawia szczegółu budowy lampy kineskopowej. Na jednym końcu tuby znajduje się działo elektronowe emitujące strumień elektronów wzdłuż osi tuby. Strumień ten przechodzi między dwoma równoległymi pionowymi płytami, a następnie między dwoma równoległymi poziomymi płytami. Stąd strumień wpada z prędkością v w obszar pola magnetycznego B skierowanego wewnątrz strony, wywołującego prąd okrężny I, i działającego na strumień siłą F skierowaną w dół strony. To powoduje zakrzywienie się strumienia elektronów, który następnie uderza w powierzchnię ekranu poniżej osi tuby.
Ilustracja 5.6 Bieg wiązki elektronów w telewizorze kineskopowym (nazywanym też CRT, ang. Cathode-Ray Tube ).

Strategia rozwiązania dla części (a)

Obliczamy czas przelotu, wykorzystując wzór vΔt=dvΔt=d v\prefop{\Delta}t=d. Chociaż prędkość jest relatywistyczna, obliczenia będziemy wykonywać tylko dla jednego układu odniesienia, a więc nie zauważymy efektów relatywistycznych.

Rozwiązanie

  • Określamy dane: v=6107msv=6107ms, d=0,2md=0,2m.
  • Określamy szukane: czas przelotu ΔtΔt.
  • Wyrażamy rozwiązanie w formie równania
    Δt=dv.Δt=dv.
  • Wykonujemy obliczenia
    Δt=0,2m6107ms=3,3310-9s.Δt=0,2m6107ms=3,3310-9s. \prefop{\Delta} t= \frac{\SI{0,2}{\metre}}{\SI{6e7}{\metre\per\second}} = \SI{3,33e-9}{\second} \text{.}

Znaczenie

Tak jak się spodziewaliśmy, czas przelotu jest niezwykle krótki. Ponieważ ruch obserwowany jest w jednym układzie odniesienia, nie bierzemy pod uwagę efektów relatywistycznych, nawet w przypadku prędkości bliskich cc.

Strategia rozwiązania dla części (b)

W układzie odniesienia elektronu komora próżniowa telewizora się porusza, a elektron pozostaje w spoczynku. Katoda emitująca elektrony oddala się od elektronu, ekran porusza się w jego kierunku, gdy sam elektron pozostaje w spoczynku. W takim przypadku wykorzystujemy wzór na dylatację czasu, aby powiązać ze sobą czas własny elektronu w jego spoczynkowym układzie odniesienia i czas w układzie odniesienia telewizora.

Rozwiązanie

  • Określamy dane, korzystając z podpunktu (a): Δt=3,3310-9sΔt=3,3310-9s, v=6107msv=6107ms, d=0,2md=0,2m.
  • Określamy szukane: ττ.
  • Wyrażamy rozwiązanie w formie równania
    Δt=γΔτ=Δτ1v2c2,Δτ=Δt1v2c2.Δt=γΔτ=Δτ1v2c2,Δτ=Δt1v2c2.Δt=γΔτ=Δτ1v2c2,Δτ=Δt1v2c2.
  • Wykonujemy obliczenia
    Δτ=3,3310-9s16107ms3108ms2=3,2610-9s.Δτ=3,3310-9s16107ms3108ms2=3,2610-9s.Δτ=3,3310-9s16107ms3108ms2=3,2610-9s.

Znaczenie

Czas przelotu jest krótszy w układzie odniesienia elektronu. Ponieważ rozwiązanie tego zagadnienia wymaga obliczenia czasu zajścia tego samego zdarzenia w dwóch różnych układach odniesienia, musimy wziąć pod uwagę efekty relatywistyczne. Jeżeli chcielibyśmy obliczyć czas przelotu elektronu w jego układzie spoczynkowym, dzieląc odległość dd przez prędkość vv, nasz wynik odbiegałby od poprawnego z powodu pominięcia efektów relatywistycznych.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.2

Ile wynosi γγ, gdy v=0,65cv=0,65c?

Paradoks bliźniąt

Ciekawą konsekwencją dylatacji czasu jest przypadek bliźniąt, z których jedno żyje na Ziemi, a drugie zostaje wysłane w przestrzeń kosmiczną na statku osiągającym bardzo duże prędkości. Bliźniak astronauta powinien w takim przypadku starzeć się wolniej od swojego brata czy siostry na Ziemi. Zagadnienie to jest nazywane paradoksem bliźniąt (ang. twin paradox). Wyobraźmy sobie sytuację przedstawioną na Ilustracji 5.7: astronautka porusza się z prędkością odpowiadającą γ=30γ=30. Okres dwóch lat w układzie odniesienia związanym z astronautką odpowiada okresowi 60 lat na Ziemi. Załóżmy, że podróżując z taką prędkością, astronautka przez rok odkrywa sąsiednie układy planetarne, a następnie wraca opowiedzieć, co widziała. Astronautka, która wyruszyła w kosmos w wieku 40 lat, po powrocie będzie miała 42 lata. Jej siostra, podobnie jak wszystko na Ziemi, zestarzała się o 60 lat i jeśli nadal żyje, będzie miała 100 lat w momencie powrotu astronautki.

Sytuacja wygląda odmiennie z perspektywy astronautki. Ponieważ ruch jest względny, statek kosmiczny pozostaje w spoczynku względem układu odniesienia związanego z astronautką, a Ziemia się przemieszcza. Analogiczną sytuację zaobserwuje pasażer podczas lotu samolotem. Spoglądając przez okno na statku, astronautka zauważyłaby spowolnienie czasu na Ziemi o czynnik γ=30γ=30. Względem statku siostra, która została na Ziemi, zestarzałaby się jedynie o 230230, czyli 0,070,07 roku w trakcie dwuletniej podróży astronautki.

Figura składa się z dwóch rysunków. Pierwszy jest opisany „Na początku podróży, para bliźniąt jest w takim samym wieku”, i ukazuje jedno z bliźniąt pozostające na Ziemi, podczas gdy drugie wyrusza z prędkością relatywistyczną w podróż statkiem kosmicznym. Każde z bliźniąt ma własny zegar i oba zegary pokazują ten sam czas. Drugi rysunek jest opisany „Po powrocie okazuje się, że bliźniaczka, która została na Ziemi zestarzała się o więcej lat”, i ukazuje statek kosmiczny powracający na Ziemię. Bliźnię na statku nie zestarzało się prawie wcale, podczas gdy bliźnię na Ziemi jest bardzo stare, a ziemski zegar odmierzył znacznie dłuższy czas.
Ilustracja 5.7 Paradoks bliźniąt to eksperyment myślowy, którego sprzeczność tkwi w różnym tempie starzenia się rodzeństwa, z którego jedno odbywa podróż kosmiczną z prędkością zbliżoną do prędkości światła.

W tej historii wnioski obu bliźniąt są sprzeczne – jeden wyklucza drugi. Ta sprzeczność jest istotą paradoksu bliźniąt. Jednak jak w przypadku paradoksów, sprzeczność ta jest wynikiem fałszywych założeń. Ruch astronautki nie jest tak prosty, jak przedstawiliśmy go na początku podrozdziału, i znacznie różni się od ruchu jej siostry na Ziemi. Astronautka przyspiesza, wyruszając w podróż, i zwalnia, zbliżając się do celu. Analogicznie – wracając na Ziemię, najpierw przyspiesza, a potem zwalnia, przygotowując się do lądowania. W takim przypadku statek kosmiczny nie jest układem inercjalnym, do którego moglibyśmy bezpośrednio zastosować wzór na dylatację czasu. Bliźniak znajdujący się na Ziemi nie doświadcza opisanych przyspieszeń i pozostaje w tym samym układzie inercjalnym. Jak widać, sytuacja nie jest symetryczna i nie można powiedzieć, że astronauta obserwuje te same efekty, co jego bliźniak. Ten brak symetrii będzie dobrze widoczny w dalszej części rozdziału, gdzie będziemy analizować drogę, którą poruszał się astronauta w czterowymiarowej czasoprzestrzeni.

W 1971 roku amerykańscy fizycy Joseph Hafele i Richard Keating potwierdzili istnienie efektu dylatacji czasu za pomocą niezwykle dokładnych zegarów atomowych, które mierzyły czas z dokładnością do nanosekund. Część z tych zegarów została umieszczona na pokładach samolotów okrążających Ziemię i ich pomiary porównano z wynikami grupy testowej pozostawionej na powierzchni Ziemi. Wyniki Hafelego i Keatinga zgadzały się z przewidywaniami teoretycznymi w granicach błędu statystycznego. Do obliczeń teoretycznych wykorzystano założenia szczególnej i ogólnej teorii względności z uwagi na udział grawitacji, przyspieszeń i ruchu względnego.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.3

  1. Cząstka porusza się z prędkością 1,9108ms1,9108ms przez 2,110-8s2,110-8s, a następnie rozpada się (czas mierzony w układzie spoczynkowym cząstki). Jaki jest czas życia cząstki obserwowany z poziomu laboratorium?
  2. Dwa statki kosmiczne A i B mijają się z prędkością względną 4107ms4107ms. Wewnętrzny zegar w statku A wyzwala emisję sygnału radiowego przez 1s1s. Komputer pokładowy statku B bierze poprawkę na przemieszczający się sygnał, aby zmierzyć czas jego emisji. Jaki czas trwania emisji obliczy komputer pokładowy?
Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.