5.3 Dylatacja czasu

Okres połowicznego rozpadu mionu

Równanie $\Delta t=\gamma \Delta \tau$ zostało wielokrotnie potwierdzone doświadczalnie. Eksperyment Rossiego-Halla związany jest z cząsteczkami promieniowania kosmicznego, które cały czas padają na Ziemię. Produktem zderzeń tych cząsteczek z jądrami atomów w górnych partiach atmosfery są nietrwałe cząstki nazywane mionami (ang. muons) o tym samym ładunku co elektron, ale większej masie. Okres połowicznego rozpadu (czas, w którym połowa danego materiału uległa rozpadowi) mionu wynosi $\mathrm{1,52}\mathrm{\mu s}$, gdy jest mierzony przez obserwatora znajdującego się w spoczynku względem cząstki. Ten czas nazwiemy czasem własnym $\Delta \tau$. Jeżeli założenia Newtona na temat czasu byłyby prawdziwe, w tak krótkim okresie jedynie niewielka ilość mionów zdążyłaby dotrzeć na powierzchnię Ziemi i zostać zarejestrowana. Jednak miony mogą mieć różne prędkości, nie wykluczając też tych bliskich prędkości światła. Okres rozpadu mionu obserwowany z powierzchni Ziemi ($\Delta t$) zmienia się w zależności od jego prędkości zgodnie z równaniem $\Delta t=\gamma \Delta \tau$, gdzie $\gamma =1∕\sqrt{1-v^2∕c^2}$. Im szybciej porusza się mion, tym dłużej istnieje. Obserwując mion z powierzchni Ziemi, zmierzymy dłuższy czas życia tej cząstki, niż przewiduje jego czas połowicznego rozpadu, w rezultacie czego detektory rejestrują dużo większą część populacji mionów.

Zanim podejmiemy się rozwiązania pierwszego zagadnienia związanego z fizyką relatywistyczną, przedstawimy algorytm, który będziesz mógł wykorzystać w swoich obliczeniach.

Wstrzymaj się z zaokrąglaniem wyników. Jak już wspomnieliśmy wcześniej, do otrzymania pożądanego wyniku często niezbędne będą bardzo dokładne obliczenia (do wielu cyfr znaczących). Możesz zaokrąglić ostateczny wynik, ale nie podstawiaj zaokrąglonych wyników wcześniejszych działań do kolejnych równań. Upewnij się też, że twoja odpowiedź ma sens. W przypadku fizyki relatywistycznej niewiele jest przykładów z codziennego życia, z którymi mógłbyś porównać swój rezultat. Powinieneś uważać na oczywiste błędy, jeśli uzyskasz np. prędkość większą od $c$, czy efekty relatywistyczne zachodzące w złym kierunku – choćby skrócenie czasu tam, gdzie powinniśmy obserwować jego dylatację.

Przykład 5.3

Obliczanie $\Delta t$ zdarzenia relatywistycznego

Załóżmy, że wiązka promieniowania kosmicznego zderza się z jądrem atomowym w górnej partii atmosfery ziemskiej i produkuje mion o prędkości $v=\mathrm{0,95}c$. Mion porusza się ze stałą prędkością i rozpada się po $\mathrm{2,2}\mathrm{\mu s}$, mierzonych w układzie odniesienia mionu. Możemy to sobie wyobrazić jako zegar wewnętrzny mionu. Jak długi jest czas życia mionu mierzony przez obserwatora na Ziemi (Ilustracja 5.5)?

Ilustracja 5.5 Czas istnienia mionu mierzony przez obserwatora na powierzchni Ziemi jest dłuższy niż mierzony przez zegar związany z tym mionem.

Strategia rozwiązania

Zegar poruszający się razem z mionem mierzy czas własny procesu rozpadu mionu, tak więc czas dany w treści zadania to $\Delta \tau =\mathrm{2,2}\mathrm{\mu s}$. Obserwator na Ziemi mierzy czas $\Delta t$ dany równaniem $\Delta t=\gamma \Delta \tau$. Ponieważ prędkość mionu jest dana, możemy obliczyć czas zmierzony w układzie odniesienia obserwatora na Ziemi.

Rozwiązanie

• Określamy dane: $v=\mathrm{0,95}c$, $\Delta \tau =\mathrm{2,2}\mathrm{\mu s}$.
• Określamy szukane: $\Delta t$.
• Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania. Wykorzystamy $\Delta t=\gamma \Delta \tau$, gdzie $\gamma =1∕\sqrt{1-v^2∕c^2}$.
• Wykonujemy obliczenia. Wykorzystamy wzór na $\gamma$, aby wyznaczyć $\Delta t$, znając $\Delta \tau$
  $$\Delta t=\gamma \Delta \tau =\frac{\Delta \tau }{\sqrt{1-v^2∕c^2}}=\frac{\mathrm{2,2}\mathrm{\mu s}}{\sqrt{1-{\left(\mathrm{0,95}\right)}^2}}=\mathrm{7,05}\mathrm{\mu s}\text{.}$$

Znaczenie

Ponieważ $\gamma =\mathrm{3,2}$ dla $95\mathrm{\%}$ prędkości światła ($v=\mathrm{0,95}c$), efekty relatywistyczne będą znaczące. Z punktu widzenia teorii klasycznej, oba czasy powinny być takie same, ale w przypadku tak relatywistycznych prędkości czas $\Delta t$ jest ponad $\mathrm{3,2}$ razy dłuższy od czasu własnego mionu.

Przykład 5.4

„Relatywistyczna” telewizja

Telewizory starego typu – kineskopowe (Ilustracja 5.6) – działają na zasadzie przyspieszania elektronów do prędkości relatywistycznych na krótkich odległościach i kontrolowania miejsca ich uderzenia we fluorescencyjny ekran za pomocą pola elektromagnetycznego. Załóżmy, że elektron porusza się z prędkością $6\cdot {10}^7\mathrm{m}∕\mathrm{s}$ na drodze $\mathrm{0,2}\mathrm{m}$ (od początku wiązki elektronów do ekranu).

1. Jaki jest czas przelotu elektronu w układzie spoczynkowym telewizora?
2. Jaki jest czas przelotu w jego własnym układzie spoczynkowym?

Ilustracja 5.6 Bieg wiązki elektronów w telewizorze kineskopowym (nazywanym też CRT, ang. Cathode-Ray Tube).

Strategia rozwiązania dla części (a)

Obliczamy czas przelotu, wykorzystując wzór $v\Delta t=d$. Chociaż prędkość jest relatywistyczna, obliczenia będziemy wykonywać tylko dla jednego układu odniesienia, a więc nie zauważymy efektów relatywistycznych.

Rozwiązanie

• Określamy dane: $v=6\cdot {10}^7\mathrm{m}∕\mathrm{s}$, $d=\mathrm{0,2}\mathrm{m}$.
• Określamy szukane: czas przelotu $\Delta t$.
• Wyrażamy rozwiązanie w formie równania
  $$\Delta t=\frac{d}{v}\text{.}$$
• Wykonujemy obliczenia
  $$\Delta t=\frac{\mathrm{0,2}\mathrm{m}}{6\cdot {10}^7\mathrm{m}∕\mathrm{s}}=\mathrm{3,33}\cdot {10}^{-9}\mathrm{s}\text{.}$$

Znaczenie

Tak jak się spodziewaliśmy, czas przelotu jest niezwykle krótki. Ponieważ ruch obserwowany jest w jednym układzie odniesienia, nie bierzemy pod uwagę efektów relatywistycznych, nawet w przypadku prędkości bliskich $c$.

Strategia rozwiązania dla części (b)

W układzie odniesienia elektronu komora próżniowa telewizora się porusza, a elektron pozostaje w spoczynku. Katoda emitująca elektrony oddala się od elektronu, ekran porusza się w jego kierunku, gdy sam elektron pozostaje w spoczynku. W takim przypadku wykorzystujemy wzór na dylatację czasu, aby powiązać ze sobą czas własny elektronu w jego spoczynkowym układzie odniesienia i czas w układzie odniesienia telewizora.

Rozwiązanie

• Określamy dane, korzystając z podpunktu (a): $\Delta t=\mathrm{3,33}\cdot {10}^{-9}\mathrm{s}$, $v=6\cdot {10}^7\mathrm{m}∕\mathrm{s}$, $d=\mathrm{0,2}\mathrm{m}$.
• Określamy szukane: $\tau$.
• Wyrażamy rozwiązanie w formie równania
  $$\begin{array}{rl}\Delta t& =\gamma \Delta \tau =\frac{\Delta \tau }{\sqrt{1-v^2∕c^2}}\text{,}\\ \Delta \tau & =\Delta t\sqrt{1-v^2∕c^2}\text{.}\end{array}$$
• Wykonujemy obliczenia
  $$\begin{array}{rl}\Delta \tau & =\mathrm{3,33}\cdot {10}^{-9}\mathrm{s}\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{6\cdot {10}^7\mathrm{m}∕\mathrm{s}}{3\cdot {10}^8\mathrm{m}∕\mathrm{s}}\right)}^2}\\ & =\mathrm{3,26}\cdot {10}^{-9}\mathrm{s}\text{.}\end{array}$$

Znaczenie

Czas przelotu jest krótszy w układzie odniesienia elektronu. Ponieważ rozwiązanie tego zagadnienia wymaga obliczenia czasu zajścia tego samego zdarzenia w dwóch różnych układach odniesienia, musimy wziąć pod uwagę efekty relatywistyczne. Jeżeli chcielibyśmy obliczyć czas przelotu elektronu w jego układzie spoczynkowym, dzieląc odległość $d$ przez prędkość $v$, nasz wynik odbiegałby od poprawnego z powodu pominięcia efektów relatywistycznych.

Paradoks bliźniąt

Ciekawą konsekwencją dylatacji czasu jest przypadek bliźniąt, z których jedno żyje na Ziemi, a drugie zostaje wysłane w przestrzeń kosmiczną na statku osiągającym bardzo duże prędkości. Bliźniak astronauta powinien w takim przypadku starzeć się wolniej od swojego brata czy siostry na Ziemi. Zagadnienie to jest nazywane paradoksem bliźniąt (ang. twin paradox). Wyobraźmy sobie sytuację przedstawioną na Ilustracji 5.7: astronautka porusza się z prędkością odpowiadającą $\gamma =30$. Okres dwóch lat w układzie odniesienia związanym z astronautką odpowiada okresowi 60 lat na Ziemi. Załóżmy, że podróżując z taką prędkością, astronautka przez rok odkrywa sąsiednie układy planetarne, a następnie wraca opowiedzieć, co widziała. Astronautka, która wyruszyła w kosmos w wieku 40 lat, po powrocie będzie miała 42 lata. Jej siostra, podobnie jak wszystko na Ziemi, zestarzała się o 60 lat i jeśli nadal żyje, będzie miała 100 lat w momencie powrotu astronautki.

Sytuacja wygląda odmiennie z perspektywy astronautki. Ponieważ ruch jest względny, statek kosmiczny pozostaje w spoczynku względem układu odniesienia związanego z astronautką, a Ziemia się przemieszcza. Analogiczną sytuację zaobserwuje pasażer podczas lotu samolotem. Spoglądając przez okno na statku, astronautka zauważyłaby spowolnienie czasu na Ziemi o czynnik $\gamma =30$. Względem statku siostra, która została na Ziemi, zestarzałaby się jedynie o $2∕30$, czyli $\mathrm{0,07}$ roku w trakcie dwuletniej podróży astronautki.

Ilustracja 5.7 Paradoks bliźniąt to eksperyment myślowy, którego sprzeczność tkwi w różnym tempie starzenia się rodzeństwa, z którego jedno odbywa podróż kosmiczną z prędkością zbliżoną do prędkości światła.

W tej historii wnioski obu bliźniąt są sprzeczne – jeden wyklucza drugi. Ta sprzeczność jest istotą paradoksu bliźniąt. Jednak jak w przypadku paradoksów, sprzeczność ta jest wynikiem fałszywych założeń. Ruch astronautki nie jest tak prosty, jak przedstawiliśmy go na początku podrozdziału, i znacznie różni się od ruchu jej siostry na Ziemi. Astronautka przyspiesza, wyruszając w podróż, i zwalnia, zbliżając się do celu. Analogicznie – wracając na Ziemię, najpierw przyspiesza, a potem zwalnia, przygotowując się do lądowania. W takim przypadku statek kosmiczny nie jest układem inercjalnym, do którego moglibyśmy bezpośrednio zastosować wzór na dylatację czasu. Bliźniak znajdujący się na Ziemi nie doświadcza opisanych przyspieszeń i pozostaje w tym samym układzie inercjalnym. Jak widać, sytuacja nie jest symetryczna i nie można powiedzieć, że astronauta obserwuje te same efekty, co jego bliźniak. Ten brak symetrii będzie dobrze widoczny w dalszej części rozdziału, gdzie będziemy analizować drogę, którą poruszał się astronauta w czterowymiarowej czasoprzestrzeni.

W 1971 roku amerykańscy fizycy Joseph Hafele i Richard Keating potwierdzili istnienie efektu dylatacji czasu za pomocą niezwykle dokładnych zegarów atomowych, które mierzyły czas z dokładnością do nanosekund. Część z tych zegarów została umieszczona na pokładach samolotów okrążających Ziemię i ich pomiary porównano z wynikami grupy testowej pozostawionej na powierzchni Ziemi. Wyniki Hafelego i Keatinga zgadzały się z przewidywaniami teoretycznymi w granicach błędu statystycznego. Do obliczeń teoretycznych wykorzystano założenia szczególnej i ogólnej teorii względności z uwagi na udział grawitacji, przyspieszeń i ruchu względnego.