Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

5.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 35.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Optyka
    1. 1 Natura światła
      1. Wstęp
      2. 1.1 Rozchodzenie się światła
      3. 1.2 Prawo odbicia
      4. 1.3 Załamanie
      5. 1.4 Całkowite wewnętrzne odbicie
      6. 1.5 Rozszczepienie
      7. 1.6 Zasada Huygensa
      8. 1.7 Polaryzacja
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Optyka geometryczna i tworzenie obrazu
      1. Wstęp
      2. 2.1 Obrazy tworzone przez zwierciadła płaskie
      3. 2.2 Zwierciadła sferyczne
      4. 2.3 Obrazy tworzone przez załamanie promieni światła
      5. 2.4 Cienkie soczewki
      6. 2.5 Oko
      7. 2.6 Aparat fotograficzny
      8. 2.7 Proste przyrządy powiększające
      9. 2.8 Mikroskopy i teleskopy
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 3 Interferencja
      1. Wstęp
      2. 3.1 Doświadczenie Younga z dwiema szczelinami
      3. 3.2 Matematyczny opis interferencji
      4. 3.3 Interferencja na wielu szczelinach
      5. 3.4 Interferencja w cienkich warstwach
      6. 3.5 Interferometr Michelsona
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Dyfrakcja
      1. Wstęp
      2. 4.1 Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie
      3. 4.2 Natężenie światła w dyfrakcji na pojedynczej szczelinie
      4. 4.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie
      5. 4.4 Siatki dyfrakcyjne
      6. 4.5 Otwory kołowe i rozdzielczość
      7. 4.6 Dyfrakcja rentgenowska
      8. 4.7 Holografia
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fizyka współczesna
    1. 5 Teoria względności
      1. Wstęp
      2. 5.1 Niezmienność praw fizyki
      3. 5.2 Względność jednoczesności zdarzeń
      4. 5.3 Dylatacja czasu
      5. 5.4 Skrócenie długości w szczególnej teorii względności
      6. 5.5 Transformacja Lorentza
      7. 5.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności
      8. 5.7 Relatywistyczny efekt Dopplera
      9. 5.8 Pęd relatywistyczny
      10. 5.9 Energia relatywistyczna
      11. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Fotony i fale materii
      1. Wstęp
      2. 6.1 Promieniowanie ciała doskonale czarnego
      3. 6.2 Efekt fotoelektryczny
      4. 6.3 Efekt Comptona
      5. 6.4 Model atomu wodoru Bohra
      6. 6.5 Fale de Broglie’a
      7. 6.6 Dualizm korpuskularno-falowy
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 7 Mechanika kwantowa
      1. Wstęp
      2. 7.1 Funkcje falowe
      3. 7.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga
      4. 7.3 Równanie Schrӧdingera
      5. 7.4 Cząstka kwantowa w pudełku
      6. 7.5 Kwantowy oscylator harmoniczny
      7. 7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Budowa atomu
      1. Wstęp
      2. 8.1 Atom wodoru
      3. 8.2 Orbitalny magnetyczny moment dipolowy elektronu
      4. 8.3 Spin elektronu
      5. 8.4 Zakaz Pauliego i układ okresowy pierwiastków
      6. 8.5 Widma atomowe i promieniowanie rentgenowskie
      7. 8.6 Lasery
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    5. 9 Fizyka materii skondensowanej
      1. Wstęp
      2. 9.1 Rodzaje wiązań cząsteczkowych
      3. 9.2 Widma cząsteczkowe
      4. 9.3 Wiązania w ciałach stałych
      5. 9.4 Model elektronów swobodnych w metalach
      6. 9.5 Teoria pasmowa ciał stałych
      7. 9.6 Półprzewodniki i domieszkowanie
      8. 9.7 Przyrządy półprzewodnikowe
      9. 9.8 Nadprzewodnictwo
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Fizyka jądrowa
      1. Wstęp
      2. 10.1 Własności jądra atomowego
      3. 10.2 Energia wiązania jądra
      4. 10.3 Rozpad promieniotwórczy
      5. 10.4 Procesy rozpadu
      6. 10.5 Rozszczepienie jądra atomowego
      7. 10.6 Fuzja jądrowa
      8. 10.7 Skutki biologiczne i zastosowania medyczne promieniowania jądrowego
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia
      1. Wstęp
      2. 11.1 Wstęp do fizyki cząstek elementarnych
      3. 11.2 Zasady zachowania w fizyce cząstek elementarnych
      4. 11.3 Kwarki
      5. 11.4 Akceleratory i detektory cząstek
      6. 11.5 Model standardowy
      7. 11.6 Wielki Wybuch
      8. 11.7 Ewolucja wczesnego Wszechświata
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • wyprowadzać zgodne ze szczególną teorią względności równania na przekształcenie prędkości z jednego układu odniesienia w drugi;
  • stosować transformację prędkości do ciał poruszających się z prędkością relatywistyczną;
  • porównywać wyniki otrzymane dzięki transformacji prędkości w ujęciu szczególnej teorii względności z przewidywanymi przez fizykę klasyczną.

Utrzymanie się w jednym miejscu w kajaku pośrodku rwącej rzeki nie jest prostym zadaniem. Prąd rzeki ciągnie ze sobą nasz kajak. Wiosłowanie pozwala przeciwstawić się nurtowi rzeki i jeżeli włożymy w nie dużo siły, to może udać nam się przemieścić w górę rzeki względem jej brzegu. Ruch naszego kajaka doskonale oddaje dodawanie wektorowe prędkości, stosowane w mechanice newtonowskiej. Prędkość wypadkowa kajaka jest sumą wektorową prędkości kajaka względem nurtu wody i wody względem brzegu rzeki. Jednak w fizyce relatywistycznej dodawanie prędkości wygląda inaczej.

Transformacja prędkości

Wyobraźmy sobie samochód poruszający się po prostej drodze, jak pokazano na Ilustracji 5.19.

Rysunek samochodu poruszającego się z prędkością v, emitującym z reflektorów światło z większą prędkością c.
Ilustracja 5.19 Zgodnie z wynikami doświadczeń i drugim postulatem szczególnej teorii względności światło opuszcza reflektor z prędkością c c i z taką samą prędkością dociera do przechodnia.

Kierowca widzi światło reflektorów poruszające się z prędkością cc w układzie odniesienia samochodu. Jeżeli zastosowalibyśmy w tej sytuacji transformację Galileusza, to światło wychodzące z reflektorów dotarłoby do przechodnia z prędkością u=c+vu=c+v, co byłoby sprzeczne z postulatami Einsteina. Zarówno odległość przebyta przez światło, jak i czas przemieszczenia są różne w układach odniesienia samochodu i przechodnia. Co więcej, muszą się od siebie różnić w taki sposób, by światło miało jednakową prędkość w obu układach. Sposób przeliczania prędkości określa transformacja Lorentza.

Relatywistyczna transformacja prędkości

Załóżmy, że ciało PP porusza się ze stałą prędkością u=uxuyuzu=uxuyuz w układzie odniesienia SS. Układ ten przemieszcza się z prędkością vv wzdłuż osi xx. W czasie dtdt cząstka przemieszcza się o odległość dxdx wzdłuż osi xx. Stosując transformację Lorentza, możemy wyprowadzić odpowiednie wartości w układzie nieprimowanym

d t = γ d t + v d x c 2 , d x = γ d x + v d t , d y = d y , d z = d z . d t = γ d t + v d x c 2 , d x = γ d x + v d t , d y = d y , d z = d z . d t = γ d t + v d x c 2 , d x = γ d x + v d t , d y = d y , d z = d z .

Składowe prędkości ciała w układzie nieprimowanym wyglądają więc następująco

d x d t = γ d x + v d t γ d t + v d x c 2 = d x d t + v 1 + v c 2 d x d t , d y d t = d y γ d t + v d x c 2 = d y d t γ 1 + v c 2 d x d t , d z d t = d z γ d t + v d x c 2 = d z d t γ 1 + v c 2 d x d t . d x d t = γ d x + v d t γ d t + v d x c 2 = d x d t + v 1 + v c 2 d x d t , d y d t = d y γ d t + v d x c 2 = d y d t γ 1 + v c 2 d x d t , d z d t = d z γ d t + v d x c 2 = d z d t γ 1 + v c 2 d x d t . d x d t = γ d x + v d t γ d t + v d x c 2 = d x d t + v 1 + v c 2 d x d t , d y d t = d y γ d t + v d x c 2 = d y d t γ 1 + v c 2 d x d t , d z d t = d z γ d t + v d x c 2 = d z d t γ 1 + v c 2 d x d t .

W ten sposób otrzymaliśmy wzory na prędkości składowe

u x = u x + v 1 + v u x c 2 ,   u y = u y γ 1 + v u x c 2 ,   u z = u z γ 1 + v u x c 2 . u x = u x + v 1 + v u x c 2 ,   u y = u y γ 1 + v u x c 2 ,   u z = u z γ 1 + v u x c 2 .

Przy czym gdybyśmy chcieli otrzymać te same składowe, korzystając z klasycznego podejścia, czyli transformacji Galileusza (wówczas cc dąży do ++), musielibyśmy jedynie dodać te prędkości wektorowo

u x = u x + v ,   u y = u y ,   u z = u z . u x = u x + v ,   u y = u y ,   u z = u z . u_x = u_x' + v \text{,  } u_y = u_y' \text{,  } u_z = u_z' \text{.}

Jeżeli prędkość względna układów poruszających się względem siebie jest mała (vcvcv \ll c), efekty relatywistyczne są tak nieznaczne, że śmiało możemy przybliżyć wynik, stosując transformację Galileusza. Jednak gdy vvv zbliża się do prędkości światła, korzystanie z transformacji relatywistycznej (transformacji Lorentza) daje inne wyniki niż klasyczne podejście.

Przykład 5.9

Transformacja prędkości dla światła

Załóżmy, że statek kosmiczny porusza się prosto w stronę Ziemi z prędkością c2c2c/2. Statek wysyła sygnał do ziemskiego laboratorium za pomocą wiązki laserowej, jak na Ilustracji 5.20. Wiedząc, że widziane z perspektywy statku światło opuszcza go z prędkością ccc, obliczmy prędkość, z jaką dotrze do laboratorium.
Ilustracja przedstawia statek kosmiczny poruszający się w prawo z prędkością v będącą połową prędkości światła, emitujący poziomo wiązkę laserową, która przemieszcza się w prawo z prędkością c.
Ilustracja 5.20 Z jaką prędkością sygnał świetlny wysłany ze statku kosmicznego poruszającego się z prędkością c 2 c 2 c/2 dotrze na Ziemię?

Strategia rozwiązania

Ponieważ statek i światło poruszają się z prędkościami relatywistycznymi, nie możemy skorzystać z klasycznego dodawania wektorów. Zamiast tego wykorzystamy relatywistyczne przekształcenia prędkości.

Rozwiązanie

  • Określamy dane: v=c2v=c2 v=c/2, u=cu=c u'=c.
  • Określamy szukane: uu u.
  • Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
    u=v+u1+vuc2.u=v+u1+vuc2. u = \frac{v + u'}{1 + v u'/ c^2} \text{.}
  • Wykonujemy obliczenia
    u=v+u1+vuc2=c2+c1+c2cc2u=v+u1+vu=c2+c1+c2cc2=1,5c1,5c2c2=c.u=v+u1+vuc2=c2+c1+c2cc2u=v+u1+vu=c2+c1+c2cc2=1,5c1,5c2c2=c. \begin{multiline} u &= \frac{v + u'}{1 + v u'/ c^2} = \frac{\frac{c}{2} + c}{1 + \frac{c}{2} \cdot c / c^2} \\ &= \frac{\num{1,5} c}{\num{1,5} c^2/ c^2} = c \text{.} \end{multiline}u=v+u1+vuc2=c2+c1+c2cc2=1,5c1,5c2c2=c.

Znaczenie

Dodawanie prędkości w sposób relatywistyczny daje poprawny wynik. Światło opuszcza statek i dociera do laboratorium z taką samą prędkością cc c. Prędkość światła jest niezależna od względnego ruchu źródła i obserwatora bez względu na to, czy obserwator znajduje się na statku kosmicznym, czy w ziemskim laboratorium.

Dodawanie prędkości nie może dać wyniku większego niż prędkość światła, zakładając, że ani vv v, ani uu u' nie przekraczają cc c. Następny przykład pokazuje, że relatywistyczne dodawanie prędkości nie jest tak symetryczne, jak klasyczne dodawanie wektorów.

Przykład 5.10

Relatywistyczne dostarczanie przesyłek

Załóżmy, że statek kosmiczny z poprzedniego przykładu zbliża się do Ziemi z prędkością równą połowie prędkości światła i wystrzeliwuje kanister z prędkością 0,75c0,75c \num{0,75} c (Ilustracja 5.21). Jaką prędkość kanistra zaobserwuje naukowiec znajdujący się w laboratorium na Ziemi, jeżeli kanister zostanie wystrzelony
  1. w kierunku Ziemi;
  2. w kierunku przeciwnym do Ziemi?
Pierwsza ilustracja pokazuje statek kosmiczny poruszający się w prawo, w kierunku Ziemi, z prędkością v równą połowie prędkości światła, oraz kanister poruszający się w prawo z prędkością u prim równą trzem czwartym prędkości światła. Druga ilustracja pokazuje analogiczną sytuację różniącą się tylko tym, że kanister porusza się w lewo.
Ilustracja 5.21 Kanister zostaje wystrzelony z prędkością 0,75 c 0,75 c \num{0,75} c w kierunku Ziemi i przeciwnym.

Strategia rozwiązania

Podobnie jak w Przykładzie 5.9 nie możemy skorzystać z klasycznego dodawania wektorów, ale zastosujemy przekształcenie relatywistyczne.

Rozwiązanie części (a)

  • Określamy dane: v=0,5cv=0,5c v=\num{0,5}c, u=0,75cu=0,75c u'=\num{0,75}c.
  • Określamy szukane: uu u.
  • Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
    u=v+u1+vuc2.u=v+u1+vuc2. u = \frac{v + u'}{1 + v u'/ c^2} \text{.}
  • Wykonujemy obliczenia
    u=v+u1+vuc2=0,5c+0,75c1+0,5c0,75cc2=0,909c.u=v+u1+vuc2=0,5c+0,75c1+0,5c0,75cc2=0,909c.u=v+u1+vuc2=0,5c+0,75c1+0,5c0,75cc2=0,909c. \begin{align} u &= \frac{v + u'}{1 + v u'/ c^2} \\ \text{} &= \frac{\num{0,5} c + \num{0,75} c}{1 + \num{0,5} c \cdot \num{0,75} c / c^2} \\ \text{} &= \num{0,909} c \text{.} \end{align}

Rozwiązanie części (b)

  • Określamy dane: v=0,5cv=0,5c v=\num{0,5}c, u=0,75cu=0,75c u'=-\num{0,75}c.
  • Określamy szukane: uu u.
  • Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
    u=v+u1+vuc2.u=v+u1+vuc2. u = \frac{v + u'}{1 + v u'/ c^2} \text{.}
  • Wykonujemy obliczenia
    u=v+u1+vuc2=0,5c+0,75c1+0,5c0,75cc2=0,4c.u=v+u1+vuc2=0,5c+0,75c1+0,5c0,75cc2=0,4c.u=v+u1+vuc2=0,5c+0,75c1+0,5c0,75cc2=0,4c. \begin{align} u &= \frac{v + u'}{1 + v u'/ c^2} \\ \text{} &= \frac{\num{0,5} c + ( - \num{0,75} c)}{1 + \num{0,5} c \cdot ( - \num{0,75} c) / c^2} \\ \text{} &= - \num{0,4} c \text{.} \end{align}

Znaczenie

Znak minus oznacza, że prędkość jest skierowana w kierunku przeciwnym do Ziemi (w przeciwnym kierunku do vv v). Jednak prędkości relatywistyczne nie dodają się w tak prosty sposób, jak w przypadku fizyki klasycznej. W części (a) kanister faktycznie porusza się szybciej w stronę Ziemi, ale nie tak szybko, jak wynikałoby to z dodania obu wektorów prędkości, które dałoby wartość równą 1,25c1,25c \num{1,25} c. W podpunkcie (b) kanister oddala się od Ziemi z prędkością 0,4c0,4c - \num{0,4} c, czyli szybciej, niż przewidywałaby fizyka klasyczna (0,25c0,25c - \num{0,25} c). Co więcej, różnice w prędkościach nie są nawet symetryczne: w części (a) naukowiec zauważy kanister oddalający się od statku z prędkością 0,409c0,409c \num{0,409} c, a w (b) różnica wyniesie 0,9c0,9c \num{0,9} c.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.6

Odległości prostopadłe do kierunku ruchu względnego dwóch układów inercjalnych są takie same w obu układach. Dlaczego w takim razie składowe prędkości prostopadłe do osi xx x nie są takie same w tych układach?

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.