5.5 Transformacja Lorentza

Transformacja Galileusza

Zdarzenie (ang. event) opisane jest za pomocą trzech współrzędnych przestrzennych i jednej współrzędnej czasowej $\left(x,y,z,t\right)$ odpowiadających pewnemu układowi inercjalnemu $S$. Współrzędne te mogłyby np. opisywać położenie pewnej cząstki w czasie $t$, którą moglibyśmy następnie obserwować w różnych momentach i której ruch moglibyśmy określić. Załóżmy, że drugi układ odniesienia $S^{\prime }$ porusza się z prędkością $v$ względem pierwszego. Dla uproszczenia przyjmijmy, że kierunek tej prędkości pokrywa się z osią $x$. Zależność współrzędnych przestrzennych w obu tych układach będzie wyglądała następująco

Zakładamy, że czas mierzony w obu układach jest taki sam, a więc

Te cztery równania znane są jako transformacja Galileusza (ang. Galilean transformation).

Możemy teraz otrzymać wzory na transformacje prędkości i przyspieszenia przez zróżniczkowanie tych równań po czasie. Prędkość cząstki w tym rozdziale będziemy oznaczać jako $u$, aby można ją było odróżnić od prędkości względnej układu odniesienia $v$. Zauważmy, że w transformacji Galileusza przyrost czasu wykorzystywany podczas różniczkowania w celu obliczenia prędkości cząstki jest taki sam w obu układach odniesienia, czyli $dt=d{t}^{\prime }$. Różniczkując po czasie, otrzymujemy równania prędkości

i następnie przyspieszenia

Prędkość w obu układach różni się o wartość prędkości względnej $v$. Obserwatorzy w obu układach odniesienia mierzą to samo przyspieszenie. Ponieważ transformacja nie wpływa na masę i odległość między poszczególnymi punktami, to siły $F=ma$ działające w tych układach pozostaną niezmienione, podobnie jak zachowane zostają druga i trzecia zasada mechaniki Newtona we wszystkich układach inercjalnych. Prawa mechaniki pozostają zgodne z pierwszym postulatem szczególnej teorii względności.

Transformacja Lorentza

Jednak transformacja Galileusza nie zgadza się w pełni z postulatami Einsteina. Według tych równań impuls świetlny poruszający się z prędkością $c$ wzdłuż osi $x$ w innym układzie współrzędnych miałby prędkość równą $c-v$. Impuls ten rozchodzi się sferycznie i ma promień $r=ct$ w czasie $t$ w nieprimowanym układzie odniesienia, a promień $r^{\prime }=c{t}^{\prime }$ w czasie $t^{\prime }$ w układzie primowanym. Wyrażając te zależności we współrzędnych kartezjańskich, otrzymujemy

Możemy przyrównać lewe strony obu równań, ponieważ każda z nich wynosi zero. Jako że $y=y^{\prime }$, a $z=z^{\prime }$, otrzymujemy

Ta zależność nie może być spełniona dla niezerowej prędkości $v$, jeżeli założymy zgodnie z transformacją Galileusza, że $t=t^{\prime }$ i $x=x^{\prime }+v{t}^{\prime }$.

Aby określić odpowiednie przekształcenia, zgodne z postulatami Einsteina, rozważmy dwa układy współrzędnych $S$ i $S^{\prime }$ przedstawione na Ilustracji 5.13. Najpierw załóżmy, że zachodzi zdarzenie o współrzędnych $\left(x,0,0,t\right)$ w układzie $S$ i $\left(x^{\prime },0,0,t^{\prime }\right)$ w układzie $S^{\prime }$, jak na rysunku.

Ilustracja 5.13 Zachodzi zdarzenie o współrzędnych $\left(x,0,0,t\right)$ w układzie $S$ i $\left(x^{\prime },0,0,t^{\prime }\right)$ w układzie $S^{\prime }$. Transformacja Lorentza wiąże zdarzenia w obu układach.

Przypuśćmy, że w chwili, gdy początki obu układów współrzędnych się zbiegają, lampa błyskowa emituje rozszerzający się sferycznie impuls świetlny. W momencie $t$ obserwator w układzie $S$ zauważa, że początek układu $S^{\prime }$ znajduje się w $x=vt$. Z pomocą obserwatora w układzie $S$ obserwatorowi $S^{\prime }$ udało się zmierzyć odległość od zdarzenia do punktu początkowego, równą $x^{\prime }\sqrt{1-v^2∕c^2}$. Odległość ta zgadza się z wyprowadzonymi wcześniej zależnościami na skrócenie długości. Zdarzenie w układzie $S$ ma współrzędne

oraz

Według postulatów Einsteina zależność między położeniem a czasem fali sferycznej

musi mieć zastosowanie zarówno w przypadku współrzędnych primowanych, jak i nieprimowanych, co, jak zostało pokazane, prowadzi do Równania 5.7

Zatem równania wiążące czas i położenie zdarzeń widzianych w układzie $S$ to

Ten zestaw równań wiążący czas i położenie w dwóch układach inercjalnych jest znany jako transformacja Lorentza (ang. Lorentz transformation). Ich nazwa pochodzi od H. A. Lorentza (1853–1928), który zaproponował je jako pierwszy. Pełniły dla niego funkcję pomocniczą, bo sam wierzył w eter. Poprawny sens nadała im oczywiście szczególna teoria względności Einsteina.

Odwrotna transformacja przedstawia współrzędne układu $S$ w zmiennych układu $S^{\prime }$. Zamieniając miejscami primowane i nieprimowane współrzędne, otrzymujemy

Przykład 5.8

Transformacja Lorentza a jednoczesność zdarzeń

Obserwator stojący na peronie (Ilustracja 5.14) widzi dwie lampy błyskowe zawieszone na końcach $26$-metrowego wagonu, jednocześnie emitujące impuls świetlny. Zdarzenie zachodzi, gdy pociąg poruszający się z prędkością $c∕2$ mija obserwatora widzącego dokładnie środek wagonu z lampami. Obliczmy rozbieżność czasu między emisjami impulsów świetlnych widzianych przez pasażera jadącego tym pociągiem.

Ilustracja 5.14 Obserwator na peronie stwierdza jednoczesną emisję impulsów światła z obu lamp błyskowych znajdujących się na końcach wagonu pociągu. Pasażer siedzący pośrodku tego wagonu obserwuje te same błyski, ale z innej perspektywy.

Rozwiązanie

• Określamy dane: $\Delta t=0\mathrm{s}$. Zauważmy, że rozdzielenie przestrzenne obu zdarzeń dotyczy odległości między dwiema lampami, a nie lampy i pasażera.
• Określamy szukane: $\Delta t^{\prime }=t_2^{\prime }-t_1^{\prime }$. Znowu różnica czasu występuje między błyskami lamp, a nie między momentami, w których sygnały te docierają do obserwatora.
• Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
  $$\Delta t=\frac{\Delta t^{\prime }+v\Delta x^{\prime }∕c^2}{\sqrt{1-v^2∕c^2}}\text{.}$$
• Wykonujemy obliczenia
  $$\begin{array}{rl}0\mathrm{s}& =\frac{\Delta t^{\prime }+\frac{c}{2}\cdot \frac{26\mathrm{m}}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\text{,}\\ \Delta t^{\prime }& =-\frac{26\mathrm{m}∕\mathrm{s}}{2c}=-\frac{26\mathrm{m}∕\mathrm{s}}{2\cdot 3\cdot {10}^8\mathrm{m}∕\mathrm{s}}\text{,}\\ \Delta t^{\prime }& =-\mathrm{4,33}\cdot {10}^{-8}\mathrm{s}\text{.}\end{array}$$

Znaczenie

Znak wyniku pokazuje, że zdarzenie, któremu nadaliśmy indeks 2, czyli błysk prawej lampy, pojawia się wcześniej w układzie $S^{\prime }$, a więc $t_2<t_1$.

Czasoprzestrzeń

Zjawiska relatywistyczne mogą być analizowane w czterowymiarowej czasoprzestrzeni (ang. space-time). Jeżeli spojrzymy na zjawiska fizyczne związane z efektami relatywistycznymi (jak paradoks bliźniąt, dylatacja czasu, skrócenie długości czy zależność jednoczesności zdarzeń od ruchu względnego układów) w taki sposób, to zauważymy, że są one naturalną konsekwencją istnienia czasoprzestrzeni, a nie skomplikowanych teorii fizycznych.

W trójwymiarowej przestrzeni położenie określają trzy współrzędne opisane w układzie kartezjańskim, a przemieszczenie z jednego punktu do drugiego dane jest wzorem

Odległość $\Delta r$ między tymi punktami wynosi

Odległość $\Delta r$ jest niezmienna w trakcie obrotu osi. Jeżeli nowy układ kartezjański zostanie obrócony względem układu początkowego, każdy punkt przestrzeni otrzyma nowe współrzędne względem nowych osi, ale odległość $\Delta r^{\prime }$ dana wzorem

będzie miała taką samą wartość jak $\Delta r$. Podobnie dzieje się w przypadku transformacji Lorentza w czasie i przestrzeni.

Określmy dwa oddzielne zdarzenia, każde dane zestawem współrzędnych $x$, $y$, $z$ i $ct$ w czterowymiarowym układzie kartezjańskim jako

Zdefiniujmy też interwał czasoprzestrzenny $\Delta s$ jako

Zauważmy, że dla impulsu świetlnego ten interwał wynosi zero w każdym układzie odniesienia. Jeżeli oba zdarzenia będą się charakteryzowały tą samą wartością $ct$ w rozważanym układzie odniesienia, to $\Delta s$ będzie odpowiadało odległości $\Delta r$ między punktami w przestrzeni.

Ścieżka cząstki poruszającej się w czasoprzestrzeni zawiera kolejne zdarzenia $\left(x,y,z,ct\right)$ określające jej położenie w kolejnych momentach czasu. Ta ścieżka bywa też nazywana linią świata (ang. world line) danej cząstki. Ścieżka cząstki, która pozostaje w spoczynku w przestrzeni, jest linią prostą, równoległą do osi czasu. Jeśli cząstka porusza się ze stałą prędkością $v$ równoległą do osi $x$, jej linia świata będzie krzywą $x=vt$, zgodną ze znanym nam już wykresem zależności przemieszczenia od czasu. Jeżeli cząstka przyspiesza, ścieżka jest zakrzywiona. Kolejne wartości $s$ dane są w formie różniczkowej jako

Tak jak odległość $\Delta r$ jest niezmienna podczas obrotu układu, tak interwał czasoprzestrzenny

jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Wynika to z postulatów Einsteina i można to wyprowadzić, podstawiając przekształcenia Lorentza do wzoru na interwał czasoprzestrzenny

Co więcej, transformacja Lorentza przekształca współrzędne zdarzenia w czasie i przestrzeni, podobnie jak zmieniają się współrzędne podczas obrotu w układzie trójwymiarowym

gdzie $\gamma =1∕\sqrt{1-{\beta }^2}$, $\beta =v∕c$.

Transformacje Lorentza mogą być postrzegane jako rozszerzenie obrotów przestrzennych na czasoprzestrzeń. Istnieją jednak rozbieżności między trójwymiarowym obrotem a transformacją Lorentza obejmującą także oś czasu, ze względu na różnice w sposobie pomiaru przemieszczenia $\Delta r$ i $\Delta s$. Chociaż $\Delta r$ i $\Delta s$ są niezmiennikami, odpowiednio obrotów wokół osi i transformacji Lorentza, to w przypadku tego drugiego nie są zachowane wszystkie własności, takie jak prostopadłość osi do siebie nawzajem czy skala danej osi.

Zwróćmy uwagę, że $\Delta s^2$ może przyjmować wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne, w zależności od współrzędnych badanych zdarzeń. W przypadku par zdarzeń, dla których wyrażenie to przyjmuje wartości ujemne, dobrze jest oznaczyć $\Delta {\tau }^2$ jako $-\Delta s^2$. Zauważmy, że w układzie odniesienia, w którym zachodzą dwa zdarzenia o tym samym położeniu, otrzymujemy $\Delta x=\Delta y=\Delta z=0\mathrm{m}$, a z tego wynika, że

Odcinek czasu $\Delta \tau$ odpowiada więc $\Delta t$ w układzie odniesienia, w którym dwa zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu. Nazwiemy go też wspomnianym wcześniej czasem własnym. Jako że w transformacjach Lorentza $\Delta s$ jest niezmienne, także czas własny będzie niezmiennikiem. Obserwatorzy we wszystkich układach inercjalnych muszą się zgodzić co do wartości czasu własnego pomiędzy tymi samymi zdarzeniami.

Stożek świetlny

Możemy poradzić sobie z przedstawieniem czterowymiarowej czasoprzestrzeni na kartce zeszytu przez wyobrażenie sobie trójwymiarowej przestrzeni jako poziomej płaszczyzny (rezygnujemy z trzeciego wymiaru) i pionowej osi czasu. Zaczynamy nasz wykres od pewnego zdarzenia w czasoprzestrzeni. Jeżeli cząstka uczestnicząca w tym zdarzeniu nie zmieniała położenia, to jej linia świata utworzy oś czasu. Każda płaszczyzna przechodząca przez oś czasu, równoległa do osi przestrzeni zawiera wszystkie możliwe zdarzenia zachodzące w danej chwili, widziane z układu spoczynkowego zdarzenia początkowego.

Możemy sobie wyobrazić stożek utworzony przez linie świata wszystkich wiązek światła przechodzących przez punkt początkowy $A$, co pokazano na Ilustracji 5.15. Ściany stożka świetlnego (ang. light cone) (lub czasoprzestrzennego) są zgodnie z postulatami Einsteina pochylone pod kątem $45°$ do osi przestrzeni, jeśli czas mierzymy w jednostkach $ct$. Co więcej, taki stożek opisuje maksymalne rozchodzenie się prędkości światła. Każde zdarzenie w czasoprzestrzeni jest wierzchołkiem takiego stożka.

Ilustracja 5.15 Stożek świetlny zawiera wszystkie linie świata, po jakich przemieszcza się światło, a których źródłem jest zdarzenie $A$ – wierzchołek stożka.

Zastanówmy się nad możliwymi ścieżkami cząstki w czasoprzestrzeni. Aby dotrzeć od zdarzenia $A$ do zdarzenia mającego miejsce poza stożkiem świetlnym (np. $C$), niezbędna jest prędkość przekraczająca $c$, co jest niemożliwe do osiągnięcia. Interwał czasoprzestrzenny związany z takim zdarzeniem nazywamy interwałem przestrzennym (ang. space-like separation) i opiszemy zależnością

$$\Delta s_{AC}^2={\left(x_A-x_C\right)}^2+{\left(y_A-y_C\right)}^2+{\left(z_A-z_C\right)}^2-{\left(c\Delta t\right)}^2>0\text{.}$$

Zdarzenie leżące w górnej części stożka, jak zdarzenie $B$, może zostać osiągnięte bez przekraczania prędkości światła w próżni i możemy je opisać jako

$$\Delta s_{AB}^2={\left(x_A-x_B\right)}^2+{\left(y_A-y_B\right)}^2+{\left(z_A-z_B\right)}^2-{\left(c\Delta t\right)}^2<0\text{.}$$

Odcinek łączący takie zdarzenie ze zdarzeniem początkowym nazwiemy interwałem czasowym (ang. time-like separation). Zdarzenia zachodzące w stożku możemy też podzielić ze względu na położenie w jego górnej (dodatni fragment osi czasu) lub dolnej (ujemny fragment osi czasu) części i odpowiednio będą to zdarzenia dziejące się w przyszłości lub przeszłości względem zdarzenia $A$. Zdarzenia w czasoprzestrzeni poza stożkiem są niezwiązane w sposób przyczynowo-skutkowy ze zdarzeniem początkowym i nie mogą na nie wpływać.

Oczywiście w przypadku zdarzeń oddzielonych interwałem przestrzennym istnieje możliwość znalezienia odpowiedniej osi czasu, dla której oba te zdarzenia zachodzą równocześnie. Podobnie możemy znaleźć układ odniesienia, w którym zdarzenia oddzielone interwałem czasowym będą miały takie samo położenie. Jednak natura tego interwału pozostaje identyczna we wszystkich układach inercjalnych.

Paradoks bliźniąt widziany w czasoprzestrzeni

Omawiany wcześniej paradoks bliźniąt (ang. twin paradox) opisuje sytuację, w której bliźnięta zostają rozdzielone, a jedno z rodzeństwa zostaje astronautą i podróżuje z prędkością bliską $c$. Po powrocie na Ziemię okazuje się, że na skutek dylatacji czasu astronautka zestarzała się mniej niż jej siostra na Ziemi. Naturę tego paradoksu opisaliśmy dokładniej we wcześniejszej części rozdziału.

Podchodząc do tego zagadnienia od strony czasoprzestrzeni, punkt początkowy zaczepiamy na powierzchni Ziemi. Ścieżka bliźniaczki na Ziemi będzie się więc pokrywała z osią czasu. Natomiast ścieżka astronautki, która podróżuje do pobliskiego układu planetarnego, będzie bardziej skomplikowana – najpierw będzie odbiegać od osi czasu w trakcie podróży, a następnie wracać do punktu wyjścia. Jak widać na Ilustracji 5.16, sytuacja bliźniąt nie jest wcale symetryczna, jak zakładaliśmy na początku. Ich ścieżki w czasoprzestrzeni mają zdecydowanie inną długość. W szczególności linia świata siostry pozostającej na Ziemi to $2c\Delta t$, co oznacza, że jej czas własny wynosi $2\Delta t$. Odległość od pobliskiego układu słonecznego wynosi $\Delta x=v\Delta t$. Czas własny w układzie astronautki wyrazimy więc jako $2\Delta \tau$, gdzie

$$c^2\Delta {\tau }^2=-\Delta s^2={\left(c\Delta t\right)}^2-{\left(\Delta x\right)}^2\text{.}$$

Czas własny astronautki jest znacznie krótszy w porównaniu z czasem jej bliźniaczki, a ich stosunek wynosi

$$\frac{c\Delta \tau }{c\Delta t}=\sqrt{\frac{{\left(c\Delta t\right)}^2-{\left(\Delta x\right)}^2}{{\left(c\Delta t\right)}^2}}=\sqrt{\frac{{\left(c\Delta t\right)}^2-{\left(v\Delta t\right)}^2}{{\left(c\Delta t\right)}^2}}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{1}{\gamma }\text{.}$$

Zgadza się to ze wzorem na dylatację czasu. Tak więc paradoks bliźniąt okazał się pozorny, a sytuacja bliźniaczek nie jest symetryczna, jeżeli spojrzymy na nią z perspektywy czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Jedynym zaskoczeniem może być krótszy czas podróży astronautki, mimo że to ona pokonała większą odległość. Dzieje się tak ze względu na wzajemną relację zmiennych $\Delta \tau$, $\Delta s$, $\Delta x$ i $\Delta t$.

Ilustracja 5.16 W przypadku paradoksu bliźniąt każde z nich porusza się po innej ścieżce w czasie i przestrzeni.

Transformacja Lorentza w czasoprzestrzeni

Wiemy już, że wyrażenie

$$\Delta s^2={\left(\Delta x\right)}^2+{\left(\Delta y\right)}^2+{\left(\Delta z\right)}^2-{\left(c\Delta t\right)}^2$$

jest niezmiennikiem transformacji Lorentza, natomiast sama transformacja odpowiada poniekąd obrotowi osi w czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Niech $S$ i $S^{\prime }$ będą układami odniesienia poruszającymi się wzdłuż wspólnej osi $x$, a osie układu $S^{\prime }$ będą obrócone o kąt $\alpha$, jak przedstawiono na Ilustracji 5.17, gdzie

$$tg\alpha =\frac{v}{c}=\beta \text{.}$$

Transformacja ta różni się od obrotu w trzech wymiarach. Dwie osie czasoprzestrzeni obracają się symetrycznie do siebie, jak nożyce. Obroty osi czasu i osi przestrzennej mają ten sam kąt. Przerywane linie, równoległe do osi $x^{\prime }$ oraz $c{t}^{\prime }$, wskazują, jak powinny być odczytywane współrzędne w układzie primowanym. Może to się odbywać poprzez śledzenie tych linii. Skale obu osi zmieniają się w następujący sposób

$$c{t}^{\prime }=ct\sqrt{\frac{1+{\beta }^2}{1-{\beta }^2}}\text{, }{x}^{\prime }=x\sqrt{\frac{1+{\beta }^2}{1-{\beta }^2}}\text{.}$$

Linia oznaczona jako „$v=c$”, ustawiona pod kątem $45°$ do osi $x$, odpowiada brzegowi stożka świetlnego i nie ulega zmianie podczas transformacji Lorentza, zgodnie z drugim postulatem Einsteina. Linia „$v=c$” i stożek świetlny są takie same w obu układach: $S$ i $S^{\prime }$.

Ilustracja 5.17 Wynikiem transformacji Lorentza są nowe osie $x^{\prime }$ i $c{t}^{\prime }$, obrócone do siebie niczym nożyce.

Jednoczesność

Jednoczesność (ang. simultaneity) zdarzeń rozdzielonych przestrzennie zależy od wybranego do opisu układu odniesienia, jak pokazano na Ilustracji 5.17. Jeżeli dwa zdarzenia mają taką samą współrzędną czasową $t$ w nieprimowanym układzie odniesienia, nie oznacza to, że mają te same wartości na osi $ct$, a przez to nie będą jednoczesne w układzie primowanym.

Jako przykład rozważmy pociąg poruszający się z prędkością bliską prędkości światła, w którym ponownie umieścimy dwie lampy błyskowe na przeciwległych ścianach jednego z wagonów. Niech lampy wyemitują impuls świetlny w tym samym czasie, tak jak widzi to obserwator znajdujący się na peronie. Wykres czasoprzestrzenny przedstawiający tę sytuację widoczny jest na Ilustracji 5.18. Błyski lamp oznaczono na nim jako punkty leżące na stożku świetlnym w przeszłości i opisano: „lewy błysk” oraz „prawy błysk”. Impulsy poruszają się po brzegu stożka i docierają do obserwatora jednocześnie. Dochodzą one do obserwatora w punkcie początkowym stożka, co oznacza, że musiały zostać wyemitowane w tym samym czasie w przeszłości w nieprimowanym układzie odniesienia. Jednak jeżeli czas mierzono w układzie odniesienia pasażera pociągu (oś $c{t}^{\prime }$), to zdarzenia nie były jednoczesne.

Ilustracja 5.18 Poprawiony przykład z pociągiem. Emisja światła następuje w tym samym czasie $t$ (oba błyski jednocześnie) mierzonym na osi czasu obserwatora na peronie, a w różnym na osi czasu pasażera.

Z wykresu przedstawionego na Ilustracji 5.18 (nazywanego diagramem czasoprzestrzennym) wynika, że obserwatorzy znajdujący się w różnych układach inercjalnych korzystają z różnych osi czasu. Wnioski, do których dochodzą, są inne, ale równie prawdziwe. Po zwięzłej analizie diagramów czasoprzestrzennych jesteśmy w stanie twierdzić, że postrzeganie jednoczesności zdarzeń zależy od przyjętego przez nas układu odniesienia i jako takie wynika wprost z natury czasoprzestrzeni.