Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

5.5 Transformacja Lorentza

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 35.5 Transformacja Lorentza

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Optyka
    1. 1 Natura światła
      1. Wstęp
      2. 1.1 Rozchodzenie się światła
      3. 1.2 Prawo odbicia
      4. 1.3 Załamanie
      5. 1.4 Całkowite wewnętrzne odbicie
      6. 1.5 Rozszczepienie
      7. 1.6 Zasada Huygensa
      8. 1.7 Polaryzacja
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Optyka geometryczna i tworzenie obrazu
      1. Wstęp
      2. 2.1 Obrazy tworzone przez zwierciadła płaskie
      3. 2.2 Zwierciadła sferyczne
      4. 2.3 Obrazy tworzone przez załamanie promieni światła
      5. 2.4 Cienkie soczewki
      6. 2.5 Oko
      7. 2.6 Aparat fotograficzny
      8. 2.7 Proste przyrządy powiększające
      9. 2.8 Mikroskopy i teleskopy
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 3 Interferencja
      1. Wstęp
      2. 3.1 Doświadczenie Younga z dwiema szczelinami
      3. 3.2 Matematyczny opis interferencji
      4. 3.3 Interferencja na wielu szczelinach
      5. 3.4 Interferencja w cienkich warstwach
      6. 3.5 Interferometr Michelsona
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Dyfrakcja
      1. Wstęp
      2. 4.1 Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie
      3. 4.2 Natężenie światła w dyfrakcji na pojedynczej szczelinie
      4. 4.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie
      5. 4.4 Siatki dyfrakcyjne
      6. 4.5 Otwory kołowe i rozdzielczość
      7. 4.6 Dyfrakcja rentgenowska
      8. 4.7 Holografia
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fizyka współczesna
    1. 5 Teoria względności
      1. Wstęp
      2. 5.1 Niezmienność praw fizyki
      3. 5.2 Względność jednoczesności zdarzeń
      4. 5.3 Dylatacja czasu
      5. 5.4 Skrócenie długości w szczególnej teorii względności
      6. 5.5 Transformacja Lorentza
      7. 5.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności
      8. 5.7 Relatywistyczny efekt Dopplera
      9. 5.8 Pęd relatywistyczny
      10. 5.9 Energia relatywistyczna
      11. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Fotony i fale materii
      1. Wstęp
      2. 6.1 Promieniowanie ciała doskonale czarnego
      3. 6.2 Efekt fotoelektryczny
      4. 6.3 Efekt Comptona
      5. 6.4 Model atomu wodoru Bohra
      6. 6.5 Fale de Broglie’a
      7. 6.6 Dualizm korpuskularno-falowy
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 7 Mechanika kwantowa
      1. Wstęp
      2. 7.1 Funkcje falowe
      3. 7.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga
      4. 7.3 Równanie Schrӧdingera
      5. 7.4 Cząstka kwantowa w pudełku
      6. 7.5 Kwantowy oscylator harmoniczny
      7. 7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Budowa atomu
      1. Wstęp
      2. 8.1 Atom wodoru
      3. 8.2 Orbitalny magnetyczny moment dipolowy elektronu
      4. 8.3 Spin elektronu
      5. 8.4 Zakaz Pauliego i układ okresowy pierwiastków
      6. 8.5 Widma atomowe i promieniowanie rentgenowskie
      7. 8.6 Lasery
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    5. 9 Fizyka materii skondensowanej
      1. Wstęp
      2. 9.1 Rodzaje wiązań cząsteczkowych
      3. 9.2 Widma cząsteczkowe
      4. 9.3 Wiązania w ciałach stałych
      5. 9.4 Model elektronów swobodnych w metalach
      6. 9.5 Teoria pasmowa ciał stałych
      7. 9.6 Półprzewodniki i domieszkowanie
      8. 9.7 Przyrządy półprzewodnikowe
      9. 9.8 Nadprzewodnictwo
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Fizyka jądrowa
      1. Wstęp
      2. 10.1 Własności jądra atomowego
      3. 10.2 Energia wiązania jądra
      4. 10.3 Rozpad promieniotwórczy
      5. 10.4 Procesy rozpadu
      6. 10.5 Rozszczepienie jądra atomowego
      7. 10.6 Fuzja jądrowa
      8. 10.7 Skutki biologiczne i zastosowania medyczne promieniowania jądrowego
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia
      1. Wstęp
      2. 11.1 Wstęp do fizyki cząstek elementarnych
      3. 11.2 Zasady zachowania w fizyce cząstek elementarnych
      4. 11.3 Kwarki
      5. 11.4 Akceleratory i detektory cząstek
      6. 11.5 Model standardowy
      7. 11.6 Wielki Wybuch
      8. 11.7 Ewolucja wczesnego Wszechświata
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać transformację Galileusza w odniesieniu do położenia, czasu, prędkości i przyspieszeń mierzonych w różnych układach odniesienia;
  • wyprowadzać transformację Lorentza, która jest uogólnieniem transformacji Galileusza i zawiera założenia szczególnej teorii względności;
  • wyjaśniać transformację Lorentza i inne pojęcia związane z teorią względności w czterowymiarowej czasoprzestrzeni.

Do tej pory wykorzystywaliśmy postulaty Einsteina do opisu sposobu, w jaki obserwatorzy w różnych układach odniesienia mierzą czas lub odległości zdarzeń, i wynikających z tego różnic. Chcemy jednak fundamentalnego zrozumienia transformacji Lorentza i wynikającej z niej szczególnej teorii względności. Dlatego najpierw przyjrzymy się temu, w jaki sposób przekształcane są współrzędne czasu i przestrzeni między różnymi układami inercjalnymi w przypadku klasycznej fizyki Newtona i transformacji Galileusza. Następnie zbadamy, jak będą musiały się zmienić te przekształcenia, aby zgodzić się z postulatami Einsteina. Ostatnim krokiem będzie analiza transformacji Lorentza, będącej wynikiem uwzględnienia tych postulatów. Wprowadzimy przy tym czterowymiarową czasoprzestrzeń i diagramy. Dzięki temu zrozumiemy, że efekty relatywistyczne wynikają z natury czasoprzestrzeni, a nie są związane z fizyką fal elektromagnetycznych.

Transformacja Galileusza

Zdarzenie (ang. event) opisane jest za pomocą trzech współrzędnych przestrzennych i jednej współrzędnej czasowej xyztxyzt (x, y, z, t) odpowiadających pewnemu układowi inercjalnemu SS. Współrzędne te mogłyby np. opisywać położenie pewnej cząstki w czasie tt, którą moglibyśmy następnie obserwować w różnych momentach i której ruch moglibyśmy określić. Załóżmy, że drugi układ odniesienia SS porusza się z prędkością vv względem pierwszego. Dla uproszczenia przyjmijmy, że kierunek tej prędkości pokrywa się z osią xx. Zależność współrzędnych przestrzennych w obu tych układach będzie wyglądała następująco

x=x+vt,  y=y,  z=z.x=x+vt,  y=y,  z=z.

Zakładamy, że czas mierzony w obu układach jest taki sam, a więc

t=t.t=t.

Te cztery równania znane są jako transformacja Galileusza (ang. Galilean transformation).

Możemy teraz otrzymać wzory na transformacje prędkości i przyspieszenia przez zróżniczkowanie tych równań po czasie. Prędkość cząstki w tym rozdziale będziemy oznaczać jako uu, aby można ją było odróżnić od prędkości względnej układu odniesienia vv. Zauważmy, że w transformacji Galileusza przyrost czasu wykorzystywany podczas różniczkowania w celu obliczenia prędkości cząstki jest taki sam w obu układach odniesienia, czyli dt=dtdt=dt. Różniczkując po czasie, otrzymujemy równania prędkości

ux=ux+v,  uy=uy,  uz=uzux=ux+v,  uy=uy,  uz=uz
5.5

i następnie przyspieszenia

ax=ax,  ay=ay,  az=az.ax=ax,  ay=ay,  az=az.
5.6

Prędkość w obu układach różni się o wartość prędkości względnej vv. Obserwatorzy w obu układach odniesienia mierzą to samo przyspieszenie. Ponieważ transformacja nie wpływa na masę i odległość między poszczególnymi punktami, to siły F=maF=ma działające w tych układach pozostaną niezmienione, podobnie jak zachowane zostają druga i trzecia zasada mechaniki Newtona we wszystkich układach inercjalnych. Prawa mechaniki pozostają zgodne z pierwszym postulatem szczególnej teorii względności.

Transformacja Lorentza

Jednak transformacja Galileusza nie zgadza się w pełni z postulatami Einsteina. Według tych równań impuls świetlny poruszający się z prędkością cc wzdłuż osi xx w innym układzie współrzędnych miałby prędkość równą cvcv. Impuls ten rozchodzi się sferycznie i ma promień r=ctr=ct w czasie tt w nieprimowanym układzie odniesienia, a promień r=ctr=ct w czasie tt w układzie primowanym. Wyrażając te zależności we współrzędnych kartezjańskich, otrzymujemy

x2+y2+z2c2t2=0,x2+y2+z2c2t2=0.x2+y2+z2c2t2=0,x2+y2+z2c2t2=0.x2+y2+z2c2t2=0,x2+y2+z2c2t2=0.

Możemy przyrównać lewe strony obu równań, ponieważ każda z nich wynosi zero. Jako że y=yy=y, a z=zz=z, otrzymujemy

x2c2t2=x2c2t2.x2c2t2=x2c2t2.
5.7

Ta zależność nie może być spełniona dla niezerowej prędkości vv, jeżeli założymy zgodnie z transformacją Galileusza, że t=tt=t i x=x+vtx=x+vt.

Aby określić odpowiednie przekształcenia, zgodne z postulatami Einsteina, rozważmy dwa układy współrzędnych SS i SS przedstawione na Ilustracji 5.13. Najpierw załóżmy, że zachodzi zdarzenie o współrzędnych x00tx00t (x, 0, 0, t) w układzie SS i x00tx00t (x', 0, 0, t') w układzie SS, jak na rysunku.

Pokazane są osie układów współrzędnych układów odniesienia S i S prim. Osie S oznaczone są x, y oraz z. Osie S prim oznaczone są x prim, y prim oraz z prim. Układy są wyrównanie do swoich osi x, oraz rozdzielone o odległość v razy t. Na osiach x i x prim zaznaczone jest zdarzenie na współrzędnej x na osi x oraz x prim na osi x prim.
Ilustracja 5.13 Zachodzi zdarzenie o współrzędnych x 0 0 t x 0 0 t w układzie S S i x 0 0 t x 0 0 t w układzie S S . Transformacja Lorentza wiąże zdarzenia w obu układach.

Przypuśćmy, że w chwili, gdy początki obu układów współrzędnych się zbiegają, lampa błyskowa emituje rozszerzający się sferycznie impuls świetlny. W momencie tt obserwator w układzie SS zauważa, że początek układu SS znajduje się w x=vtx=vt. Z pomocą obserwatora w układzie SS obserwatorowi SS udało się zmierzyć odległość od zdarzenia do punktu początkowego, równą x1v2c2x1v2c2. Odległość ta zgadza się z wyprowadzonymi wcześniej zależnościami na skrócenie długości. Zdarzenie w układzie SS ma współrzędne

x=vt+x1v2c2x=vt+x1v2c2

oraz

x=xvt1v2c2.x=xvt1v2c2.

Według postulatów Einsteina zależność między położeniem a czasem fali sferycznej

x2+y2+z2c2t2=0x2+y2+z2c2t2=0

musi mieć zastosowanie zarówno w przypadku współrzędnych primowanych, jak i nieprimowanych, co, jak zostało pokazane, prowadzi do Równania 5.7

x2c2t2=x2c2t2.x2c2t2=x2c2t2.

Zatem równania wiążące czas i położenie zdarzeń widzianych w układzie SS to

t=t+vxc21v2c2,x=x+vt1v2c2,y=y,z=z.t=t+vxc21v2c2,x=x+vt1v2c2,y=y,z=z.t=t+vxc21v2c2,x=x+vt1v2c2,y=y,z=z.

Ten zestaw równań wiążący czas i położenie w dwóch układach inercjalnych jest znany jako transformacja Lorentza (ang. Lorentz transformation). Ich nazwa pochodzi od H. A. Lorentza (1853–1928), który zaproponował je jako pierwszy. Pełniły dla niego funkcję pomocniczą, bo sam wierzył w eter. Poprawny sens nadała im oczywiście szczególna teoria względności Einsteina.

Odwrotna transformacja przedstawia współrzędne układu SS w zmiennych układu SS. Zamieniając miejscami primowane i nieprimowane współrzędne, otrzymujemy

t=tvxc21v2c2,x=xvt1v2c2,y=y,z=z.t=tvxc21v2c2,x=xvt1v2c2,y=y,z=z.t=tvxc21v2c2,x=xvt1v2c2,y=y,z=z.

Przykład 5.6

Wykorzystanie transformacji Lorentza dla czasu

Statek kosmiczny SS leci w stronę Alfy Centauri, gdy inny statek SS mija go z prędkością względną c2c2. Kapitan statku SS wysyła sygnał radiowy trwający 1,2s1,2s według zegara pokładowego. Skorzystajmy z transformacji Lorentza, aby obliczyć długość sygnału otrzymanego przez oficera łączności na statku SS.

Rozwiązanie

  • Określamy dane: Δt=t2t1=1,2sΔt=t2t1=1,2s, Δx=x2x1=0mΔx=x2x1=0m.
  • Określamy szukane: Δt=t2t1Δt=t2t1.
  • Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania. Sygnał zaczyna się w xt1xt1 i kończy w xt2xt2. Zauważmy, że współrzędna xx w obu zdarzeniach jest taka sama. Dzieje się tak, ponieważ w układzie SS zegar jest w spoczynku. Zapisujemy pierwsze przekształcenia według transformacji Lorentza, wykorzystując zależności: Δt=t2t1Δt=t2t1 i Δx=x2x1Δx=x2x1 i analogicznie dla zmiennych primowanych
    Δt=Δt+vΔxc21v2c2.Δt=Δt+vΔxc21v2c2.
    Ponieważ położenie zegara w układzie SS jest stałe, to Δx=0mΔx=0m. W takim przypadku ΔtΔt możemy zapisać jako
    Δt=Δt1v2c2.Δt=Δt1v2c2.
  • Wykonujemy obliczenia. Wiemy, że Δt=1,2sΔt=1,2s, otrzymamy zatem
    Δt=1,2s1122=1,6s.Δt=1,2s1122=1,6s.

Przykład 5.7

Wykorzystanie transformacji Lorentza dla przestrzeni

Geodeta zmierzył długość ulicy i otrzymał wynik L=100mL=100m. Przyjmujemy, że znajduje się on w ziemskim układzie odniesienia SS. Użyjmy transformacji Lorentza do obliczenia długości tej ulicy zmierzonej przez astronautę znajdującego się na statku kosmicznym SS poruszającym się z prędkością 0,2c0,2c. Zakładamy, że współrzędne xx obu układów pokrywają się w chwili t=0st=0s.

Rozwiązanie

  • Określamy dane: L=100mL=100m, v=0,2cv=0,2c, Δτ=0sΔτ=0s.
  • Określamy szukane: LL.
  • Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania. Geodeta w układzie odniesienia SS zmierzył oba końce ulicy x1x2x1x2 w tym samym czasie i stwierdził, że znajdują się w spoczynku, oddalone od siebie o L=x2x1=100mL=x2x1=100m. Astronauta także mierzy położenie obu końców ulicy w tym samym czasie, we własnym układzie odniesienia. Aby określić zależność między odległościami zmierzonymi w układach SS i SS, musimy zapisać drugie z czterech równań transformacji Lorentza w następujący sposób
    L=x2x1=x2+vt1v2c2x1+vt1v2c2=x2x11v2c2=L1v2c2.L=x2x1=x2+vt1v2c2x1+vt1v2c2=x2x11v2c2=L1v2c2.L=x2x1=x2vt1v2c2x1vt1v2c2=x2x11v2c2=L1v2c2.
  • Wykonujemy obliczenia
    L=100m1v2c2=100m10,22=98m.L=100m1v2c2=100m10,22=98m.L=100m1v2c2=100m10,22=98m.

    Zastosowanie transformacji Lorentza dało skrócenie długości ulicy.

Przykład 5.8

Transformacja Lorentza a jednoczesność zdarzeń

Obserwator stojący na peronie (Ilustracja 5.14) widzi dwie lampy błyskowe zawieszone na końcach 2626-metrowego wagonu, jednocześnie emitujące impuls świetlny. Zdarzenie zachodzi, gdy pociąg poruszający się z prędkością c2c2 mija obserwatora widzącego dokładnie środek wagonu z lampami. Obliczmy rozbieżność czasu między emisjami impulsów świetlnych widzianych przez pasażera jadącego tym pociągiem.
Obserwator na powierzchni ziemi widzi pociąg poruszający się w prawo z prędkością v. Na każdym z końców wagonu i wewnątrz niego znajdują się lampy emitujące sygnał świetlny, pośrodku wagonu zaś znajduje się pasażer.
Ilustracja 5.14 Obserwator na peronie stwierdza jednoczesną emisję impulsów światła z obu lamp błyskowych znajdujących się na końcach wagonu pociągu. Pasażer siedzący pośrodku tego wagonu obserwuje te same błyski, ale z innej perspektywy.

Rozwiązanie

  • Określamy dane: Δt=0sΔt=0s. Zauważmy, że rozdzielenie przestrzenne obu zdarzeń dotyczy odległości między dwiema lampami, a nie lampy i pasażera.
  • Określamy szukane: Δt=t2t1Δt=t2t1. Znowu różnica czasu występuje między błyskami lamp, a nie między momentami, w których sygnały te docierają do obserwatora.
  • Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
    Δt=Δt+vΔxc21v2c2.Δt=Δt+vΔxc21v2c2.
  • Wykonujemy obliczenia
    0s=Δt+c226mc21 v2c2,Δt=26ms2c=26ms23108ms,Δt= 4,3310-8s.0s=Δt+c226mc21 v2c2,Δt=26ms2c=26ms23108ms,Δt= 4,3310-8s.0s=Δt+c226mc21 v2c2 ,Δt=26ms2c=26ms23108ms,Δt= 4,3310-8s.

Znaczenie

Znak wyniku pokazuje, że zdarzenie, któremu nadaliśmy indeks 2, czyli błysk prawej lampy, pojawia się wcześniej w układzie SS, a więc t2<t1t2<t1.

Czasoprzestrzeń

Zjawiska relatywistyczne mogą być analizowane w czterowymiarowej czasoprzestrzeni (ang. space-time). Jeżeli spojrzymy na zjawiska fizyczne związane z efektami relatywistycznymi (jak paradoks bliźniąt, dylatacja czasu, skrócenie długości czy zależność jednoczesności zdarzeń od ruchu względnego układów) w taki sposób, to zauważymy, że są one naturalną konsekwencją istnienia czasoprzestrzeni, a nie skomplikowanych teorii fizycznych.

W trójwymiarowej przestrzeni położenie określają trzy współrzędne opisane w układzie kartezjańskim, a przemieszczenie z jednego punktu do drugiego dane jest wzorem

ΔxΔyΔz=x2x1y2y1z2z1.ΔxΔyΔz=x2x1y2y1z2z1.

Odległość ΔrΔr między tymi punktami wynosi

Δr2=Δx2+Δy2+Δz2.Δr2=Δx2+Δy2+Δz2.

Odległość ΔrΔr jest niezmienna w trakcie obrotu osi. Jeżeli nowy układ kartezjański zostanie obrócony względem układu początkowego, każdy punkt przestrzeni otrzyma nowe współrzędne względem nowych osi, ale odległość ΔrΔr dana wzorem

Δr2=Δx2+Δy2+Δz2Δr2=Δx2+Δy2+Δz2

będzie miała taką samą wartość jak ΔrΔr. Podobnie dzieje się w przypadku transformacji Lorentza w czasie i przestrzeni.

Określmy dwa oddzielne zdarzenia, każde dane zestawem współrzędnych xx, yy, zz i ctct w czterowymiarowym układzie kartezjańskim jako

ΔxΔyΔzcΔt=x2x1y2y1z2z1ct2t1.ΔxΔyΔzcΔt=x2x1y2y1z2z1ct2t1.

Zdefiniujmy też interwał czasoprzestrzenny ΔsΔs jako

Δs2=Δx2+Δy2+Δz2cΔt2.Δs2=Δx2+Δy2+Δz2cΔt2.

Zauważmy, że dla impulsu świetlnego ten interwał wynosi zero w każdym układzie odniesienia. Jeżeli oba zdarzenia będą się charakteryzowały tą samą wartością ctct w rozważanym układzie odniesienia, to ΔsΔs będzie odpowiadało odległości ΔrΔr między punktami w przestrzeni.

Ścieżka cząstki poruszającej się w czasoprzestrzeni zawiera kolejne zdarzenia xyzctxyzct określające jej położenie w kolejnych momentach czasu. Ta ścieżka bywa też nazywana linią świata (ang. world line) danej cząstki. Ścieżka cząstki, która pozostaje w spoczynku w przestrzeni, jest linią prostą, równoległą do osi czasu. Jeśli cząstka porusza się ze stałą prędkością vv równoległą do osi xx, jej linia świata będzie krzywą x=vtx=vt, zgodną ze znanym nam już wykresem zależności przemieszczenia od czasu. Jeżeli cząstka przyspiesza, ścieżka jest zakrzywiona. Kolejne wartości ss dane są w formie różniczkowej jako

ds2=dx2+dy2+dz2c2dt2.ds2=dx2+dy2+dz2c2dt2.

Tak jak odległość ΔrΔr jest niezmienna podczas obrotu układu, tak interwał czasoprzestrzenny

Δs2=Δx2+Δy2+Δz2cΔt2Δs2=Δx2+Δy2+Δz2cΔt2

jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Wynika to z postulatów Einsteina i można to wyprowadzić, podstawiając przekształcenia Lorentza do wzoru na interwał czasoprzestrzenny

Δs2=Δx2+Δy2+Δz2cΔt2=Δx+vΔt1v2c22+Δy2+Δz2cΔt+vΔxc21v2c22=Δx2+Δy2+Δz2cΔt2=Δs2.Δs2=Δx2+Δy2+Δz2cΔt2=Δx+vΔt1v2c22+Δy2+Δz2cΔt+vΔxc21v2c22=Δx2+Δy2+Δz2cΔt2=Δs2.Δs2=Δx2+Δy2+Δz2cΔt2=Δx+vΔt1v2c22+Δy2+Δz2cΔt+vΔxc21v2c22=Δx2+Δy2+Δz2cΔt2=Δs2.

Co więcej, transformacja Lorentza przekształca współrzędne zdarzenia w czasie i przestrzeni, podobnie jak zmieniają się współrzędne podczas obrotu w układzie trójwymiarowym

Transformacja LorentzaObrót wokół osi z(współrzędne xt):(współrzędne xy):x=γxβγctx=xcosθ+ysinθct=βγx+γcty=xsinθ+ycosθTransformacja LorentzaObrót wokół osi z(współrzędne xt):(współrzędne xy):x=γxβγctx=xcosθ+ysinθct=βγx+γcty=xsinθ+ycosθ \begin{matrix} \text{Transformacja Lorentza} & \text{Obrót wokół osi } z \\ \text{(współrzędne } (x, t) \text{):} & \text{(współrzędne } (x, y) \text{):} \\ x' = \gamma x - \beta \gamma c t & x' = x \cos \theta + y \sin \theta \\ c t' = - \beta \gamma x + \gamma c t & y' = -x \sin \theta + y \cos \theta \end{matrix}

gdzie γ=11β2γ=11β2, β=vcβ=vc.

Transformacje Lorentza mogą być postrzegane jako rozszerzenie obrotów przestrzennych na czasoprzestrzeń. Istnieją jednak rozbieżności między trójwymiarowym obrotem a transformacją Lorentza obejmującą także oś czasu, ze względu na różnice w sposobie pomiaru przemieszczenia ΔrΔr i ΔsΔs. Chociaż ΔrΔr i ΔsΔs są niezmiennikami, odpowiednio obrotów wokół osi i transformacji Lorentza, to w przypadku tego drugiego nie są zachowane wszystkie własności, takie jak prostopadłość osi do siebie nawzajem czy skala danej osi.

Zwróćmy uwagę, że Δs2Δs2 może przyjmować wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne, w zależności od współrzędnych badanych zdarzeń. W przypadku par zdarzeń, dla których wyrażenie to przyjmuje wartości ujemne, dobrze jest oznaczyć Δτ2Δτ2 jako Δs2Δs2. Zauważmy, że w układzie odniesienia, w którym zachodzą dwa zdarzenia o tym samym położeniu, otrzymujemy Δx=Δy=Δz=0mΔx=Δy=Δz=0m, a z tego wynika, że

Δτ2=Δs2=Δt2.Δτ2=Δs2=Δt2.

Odcinek czasu ΔτΔτ odpowiada więc ΔtΔt w układzie odniesienia, w którym dwa zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu. Nazwiemy go też wspomnianym wcześniej czasem własnym. Jako że w transformacjach Lorentza ΔsΔs jest niezmienne, także czas własny będzie niezmiennikiem. Obserwatorzy we wszystkich układach inercjalnych muszą się zgodzić co do wartości czasu własnego pomiędzy tymi samymi zdarzeniami.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.5

Udowodnij, że jeśli dla pewnego obserwatora badającego cząstkę poruszającą się z prędkością vv upłynie czas dtdt, to czas własny tej cząstki będzie wynosił dτ=γdtdτ=γdt.

Stożek świetlny

Możemy poradzić sobie z przedstawieniem czterowymiarowej czasoprzestrzeni na kartce zeszytu przez wyobrażenie sobie trójwymiarowej przestrzeni jako poziomej płaszczyzny (rezygnujemy z trzeciego wymiaru) i pionowej osi czasu. Zaczynamy nasz wykres od pewnego zdarzenia w czasoprzestrzeni. Jeżeli cząstka uczestnicząca w tym zdarzeniu nie zmieniała położenia, to jej linia świata utworzy oś czasu. Każda płaszczyzna przechodząca przez oś czasu, równoległa do osi przestrzeni zawiera wszystkie możliwe zdarzenia zachodzące w danej chwili, widziane z układu spoczynkowego zdarzenia początkowego.

Możemy sobie wyobrazić stożek utworzony przez linie świata wszystkich wiązek światła przechodzących przez punkt początkowy AA, co pokazano na Ilustracji 5.15. Ściany stożka świetlnego (ang. light cone) (lub czasoprzestrzennego) są zgodnie z postulatami Einsteina pochylone pod kątem 45°45° do osi przestrzeni, jeśli czas mierzymy w jednostkach ctct. Co więcej, taki stożek opisuje maksymalne rozchodzenie się prędkości światła. Każde zdarzenie w czasoprzestrzeni jest wierzchołkiem takiego stożka.

Diagram czasoprzestrzenny składa się z poziomej osi reprezentującej przestrzeń oraz pionowej osi reprezentującej czas. Stożek świetlny to suma dwóch stożków o wierzchołkach w środku układu, osiach równoległych do osi czasu, i bokach nachylonych pod kątem 45 stopni. Przedstawione również są trzy zdarzenia: A w środku układu, B wewnątrz stożka świetlnego, i C poza stożkiem.
Ilustracja 5.15 Stożek świetlny zawiera wszystkie linie świata, po jakich przemieszcza się światło, a których źródłem jest zdarzenie A A – wierzchołek stożka.

Zastanówmy się nad możliwymi ścieżkami cząstki w czasoprzestrzeni. Aby dotrzeć od zdarzenia AA do zdarzenia mającego miejsce poza stożkiem świetlnym (np. CC), niezbędna jest prędkość przekraczająca cc, co jest niemożliwe do osiągnięcia. Interwał czasoprzestrzenny związany z takim zdarzeniem nazywamy interwałem przestrzennym (ang. space-like separation) i opiszemy zależnością

ΔsAC2=xAxC2+yAyC2+zAzC2cΔt2>0.ΔsAC2=xAxC2+yAyC2+zAzC2cΔt2>0.

Zdarzenie leżące w górnej części stożka, jak zdarzenie BB, może zostać osiągnięte bez przekraczania prędkości światła w próżni i możemy je opisać jako

ΔsAB2=xAxB2+yAyB2+zAzB2cΔt2<0.ΔsAB2=xAxB2+yAyB2+zAzB2cΔt2<0.

Odcinek łączący takie zdarzenie ze zdarzeniem początkowym nazwiemy interwałem czasowym (ang. time-like separation). Zdarzenia zachodzące w stożku możemy też podzielić ze względu na położenie w jego górnej (dodatni fragment osi czasu) lub dolnej (ujemny fragment osi czasu) części i odpowiednio będą to zdarzenia dziejące się w przyszłości lub przeszłości względem zdarzenia AA. Zdarzenia w czasoprzestrzeni poza stożkiem są niezwiązane w sposób przyczynowo-skutkowy ze zdarzeniem początkowym i nie mogą na nie wpływać.

Oczywiście w przypadku zdarzeń oddzielonych interwałem przestrzennym istnieje możliwość znalezienia odpowiedniej osi czasu, dla której oba te zdarzenia zachodzą równocześnie. Podobnie możemy znaleźć układ odniesienia, w którym zdarzenia oddzielone interwałem czasowym będą miały takie samo położenie. Jednak natura tego interwału pozostaje identyczna we wszystkich układach inercjalnych.

Paradoks bliźniąt widziany w czasoprzestrzeni

Omawiany wcześniej paradoks bliźniąt (ang. twin paradox) opisuje sytuację, w której bliźnięta zostają rozdzielone, a jedno z rodzeństwa zostaje astronautą i podróżuje z prędkością bliską cc. Po powrocie na Ziemię okazuje się, że na skutek dylatacji czasu astronautka zestarzała się mniej niż jej siostra na Ziemi. Naturę tego paradoksu opisaliśmy dokładniej we wcześniejszej części rozdziału.

Podchodząc do tego zagadnienia od strony czasoprzestrzeni, punkt początkowy zaczepiamy na powierzchni Ziemi. Ścieżka bliźniaczki na Ziemi będzie się więc pokrywała z osią czasu. Natomiast ścieżka astronautki, która podróżuje do pobliskiego układu planetarnego, będzie bardziej skomplikowana – najpierw będzie odbiegać od osi czasu w trakcie podróży, a następnie wracać do punktu wyjścia. Jak widać na Ilustracji 5.16, sytuacja bliźniąt nie jest wcale symetryczna, jak zakładaliśmy na początku. Ich ścieżki w czasoprzestrzeni mają zdecydowanie inną długość. W szczególności linia świata siostry pozostającej na Ziemi to 2cΔt2cΔt, co oznacza, że jej czas własny wynosi 2Δt2Δt. Odległość od pobliskiego układu słonecznego wynosi Δx=vΔtΔx=vΔt. Czas własny w układzie astronautki wyrazimy więc jako 2Δτ2Δτ, gdzie

c2Δτ2=Δs2=cΔt2Δx2.c2Δτ2=Δs2=cΔt2Δx2.

Czas własny astronautki jest znacznie krótszy w porównaniu z czasem jej bliźniaczki, a ich stosunek wynosi

cΔτcΔt=cΔt2Δx2cΔt2=cΔt2vΔt2cΔt2=1v2c2=1γ.cΔτcΔt=cΔt2Δx2cΔt2=cΔt2vΔt2cΔt2=1v2c2=1γ.

Zgadza się to ze wzorem na dylatację czasu. Tak więc paradoks bliźniąt okazał się pozorny, a sytuacja bliźniaczek nie jest symetryczna, jeżeli spojrzymy na nią z perspektywy czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Jedynym zaskoczeniem może być krótszy czas podróży astronautki, mimo że to ona pokonała większą odległość. Dzieje się tak ze względu na wzajemną relację zmiennych ΔτΔτ, ΔsΔs, ΔxΔx i ΔtΔt.

Diagram czasoprzestrzenny ma x jako oś poziomą oraz c razy t jako oś pionową. W środku układu znajduje się stożek świetlny. Linia światła ziemskiego bliźniaka idzie pionowo po osi czasu, podróżującego bliźniaka odchodzi od osi czasu pod kątem mniejszym niż 45 stopni. W punkcie o współrzędnej czasowej c razy Δt oraz przestrzennej Δx linia światła podróżującego bliźniaka zwraca się ponownie ku osi czasu i przecina ją w odległości czasowej c razy Δt od miejsca, w którym zmieniła kierunek.
Ilustracja 5.16 W przypadku paradoksu bliźniąt każde z nich porusza się po innej ścieżce w czasie i przestrzeni.

Transformacja Lorentza w czasoprzestrzeni

Wiemy już, że wyrażenie

Δs2=Δx2+Δy2+Δz2cΔt2Δs2=Δx2+Δy2+Δz2cΔt2

jest niezmiennikiem transformacji Lorentza, natomiast sama transformacja odpowiada poniekąd obrotowi osi w czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Niech SS i SS będą układami odniesienia poruszającymi się wzdłuż wspólnej osi xx, a osie układu SS będą obrócone o kąt αα, jak przedstawiono na Ilustracji 5.17, gdzie

tgα=vc=β.tgα=vc=β.

Transformacja ta różni się od obrotu w trzech wymiarach. Dwie osie czasoprzestrzeni obracają się symetrycznie do siebie, jak nożyce. Obroty osi czasu i osi przestrzennej mają ten sam kąt. Przerywane linie, równoległe do osi xx oraz ctct ct', wskazują, jak powinny być odczytywane współrzędne w układzie primowanym. Może to się odbywać poprzez śledzenie tych linii. Skale obu osi zmieniają się w następujący sposób

ct=ct1+β21β2,  x=x1+β21β2.ct=ct1+β21β2,  x=x1+β21β2.

Linia oznaczona jako „v=cv=c”, ustawiona pod kątem 45°45° do osi xx, odpowiada brzegowi stożka świetlnego i nie ulega zmianie podczas transformacji Lorentza, zgodnie z drugim postulatem Einsteina. Linia „v=cv=c” i stożek świetlny są takie same w obu układach: SS i SS.

Diagram czasoprzestrzenny ma osie x oraz c razy t. Linia v = c jest nachylona pod kątem 45 stopni. Narysowany jest również drugi układ osi, x prim oraz c razy t prim. Oś x prim jest nachylona do osi x pod kątem α równe arcus tangens ilorazu v przez c. Oś c razy t prim jest nachylona do osi c razy t pod kątem -α. Narysowana jest również siatka układu współrzędnych osi x prim i c razy t prim.
Ilustracja 5.17 Wynikiem transformacji Lorentza są nowe osie x x i c t c t , obrócone do siebie niczym nożyce.

Jednoczesność

Jednoczesność (ang. simultaneity) zdarzeń rozdzielonych przestrzennie zależy od wybranego do opisu układu odniesienia, jak pokazano na Ilustracji 5.17. Jeżeli dwa zdarzenia mają taką samą współrzędną czasową tt w nieprimowanym układzie odniesienia, nie oznacza to, że mają te same wartości na osi ctct, a przez to nie będą jednoczesne w układzie primowanym.

Jako przykład rozważmy pociąg poruszający się z prędkością bliską prędkości światła, w którym ponownie umieścimy dwie lampy błyskowe na przeciwległych ścianach jednego z wagonów. Niech lampy wyemitują impuls świetlny w tym samym czasie, tak jak widzi to obserwator znajdujący się na peronie. Wykres czasoprzestrzenny przedstawiający tę sytuację widoczny jest na Ilustracji 5.18. Błyski lamp oznaczono na nim jako punkty leżące na stożku świetlnym w przeszłości i opisano: „lewy błysk” oraz „prawy błysk”. Impulsy poruszają się po brzegu stożka i docierają do obserwatora jednocześnie. Dochodzą one do obserwatora w punkcie początkowym stożka, co oznacza, że musiały zostać wyemitowane w tym samym czasie w przeszłości w nieprimowanym układzie odniesienia. Jednak jeżeli czas mierzono w układzie odniesienia pasażera pociągu (oś ctct), to zdarzenia nie były jednoczesne.

Ilustracja przedstawia poruszający się w prawo wagon, wewnątrz którego na każdym końcu jest lampa emitująca sygnał świetlny oraz pasażer. Poza wagonem na ziemi stoi obserwator. Zarówno obserwator jak i pasażer znajdują się w punkcie x = 0. Emisja obu sygnałów świetlnych następuje w równej odległości od x = 0, i jest przedstawiona jako równoczesna. Nad ilustracją znajduje się diagram czasoprzestrzenny. Linie świetlne obu błysków przechodzą przez środek układu pod kątem 45 stopni i są opisane v = c. Zdarzenie t (oba) jest zaznaczone w miejscu, gdzie odcinek łączący oba błyski przecina oś c razy t. Oś x prim przechodzi między osią x a prawą linią świetlną. Oś c razy t prim jest między osią c razy t a prawą linią świetlną. Przez lewy błysk przechodzi przerywana linia równoległa do osi x prim, a punkt w którym przecina oś c razy t prim nazwany jest c razy t prim (lewe). Druga przerywana linia przechodzi przez prawy błysk i również jest równoległa do osi x prim, a punkt w którym przecina oś c razy t prim nazwany jest c razy t prim (prawe). Punkt t prim (prawe) znajduje się poniżej punktu t prim (lewe).
Ilustracja 5.18 Poprawiony przykład z pociągiem. Emisja światła następuje w tym samym czasie t t (oba błyski jednocześnie) mierzonym na osi czasu obserwatora na peronie, a w różnym na osi czasu pasażera.

Z wykresu przedstawionego na Ilustracji 5.18 (nazywanego diagramem czasoprzestrzennym) wynika, że obserwatorzy znajdujący się w różnych układach inercjalnych korzystają z różnych osi czasu. Wnioski, do których dochodzą, są inne, ale równie prawdziwe. Po zwięzłej analizie diagramów czasoprzestrzennych jesteśmy w stanie twierdzić, że postrzeganie jednoczesności zdarzeń zależy od przyjętego przez nas układu odniesienia i jako takie wynika wprost z natury czasoprzestrzeni.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.