Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

5.9 Energia relatywistyczna

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 35.9 Energia relatywistyczna

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Optyka
    1. 1 Natura światła
      1. Wstęp
      2. 1.1 Rozchodzenie się światła
      3. 1.2 Prawo odbicia
      4. 1.3 Załamanie
      5. 1.4 Całkowite wewnętrzne odbicie
      6. 1.5 Rozszczepienie
      7. 1.6 Zasada Huygensa
      8. 1.7 Polaryzacja
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Optyka geometryczna i tworzenie obrazu
      1. Wstęp
      2. 2.1 Obrazy tworzone przez zwierciadła płaskie
      3. 2.2 Zwierciadła sferyczne
      4. 2.3 Obrazy tworzone przez załamanie promieni światła
      5. 2.4 Cienkie soczewki
      6. 2.5 Oko
      7. 2.6 Aparat fotograficzny
      8. 2.7 Proste przyrządy powiększające
      9. 2.8 Mikroskopy i teleskopy
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 3 Interferencja
      1. Wstęp
      2. 3.1 Doświadczenie Younga z dwiema szczelinami
      3. 3.2 Matematyczny opis interferencji
      4. 3.3 Interferencja na wielu szczelinach
      5. 3.4 Interferencja w cienkich warstwach
      6. 3.5 Interferometr Michelsona
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Dyfrakcja
      1. Wstęp
      2. 4.1 Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie
      3. 4.2 Natężenie światła w dyfrakcji na pojedynczej szczelinie
      4. 4.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie
      5. 4.4 Siatki dyfrakcyjne
      6. 4.5 Otwory kołowe i rozdzielczość
      7. 4.6 Dyfrakcja rentgenowska
      8. 4.7 Holografia
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fizyka współczesna
    1. 5 Teoria względności
      1. Wstęp
      2. 5.1 Niezmienność praw fizyki
      3. 5.2 Względność jednoczesności zdarzeń
      4. 5.3 Dylatacja czasu
      5. 5.4 Skrócenie długości w szczególnej teorii względności
      6. 5.5 Transformacja Lorentza
      7. 5.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności
      8. 5.7 Relatywistyczny efekt Dopplera
      9. 5.8 Pęd relatywistyczny
      10. 5.9 Energia relatywistyczna
      11. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Fotony i fale materii
      1. Wstęp
      2. 6.1 Promieniowanie ciała doskonale czarnego
      3. 6.2 Efekt fotoelektryczny
      4. 6.3 Efekt Comptona
      5. 6.4 Model atomu wodoru Bohra
      6. 6.5 Fale de Broglie’a
      7. 6.6 Dualizm korpuskularno-falowy
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 7 Mechanika kwantowa
      1. Wstęp
      2. 7.1 Funkcje falowe
      3. 7.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga
      4. 7.3 Równanie Schrӧdingera
      5. 7.4 Cząstka kwantowa w pudełku
      6. 7.5 Kwantowy oscylator harmoniczny
      7. 7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Budowa atomu
      1. Wstęp
      2. 8.1 Atom wodoru
      3. 8.2 Orbitalny magnetyczny moment dipolowy elektronu
      4. 8.3 Spin elektronu
      5. 8.4 Zakaz Pauliego i układ okresowy pierwiastków
      6. 8.5 Widma atomowe i promieniowanie rentgenowskie
      7. 8.6 Lasery
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    5. 9 Fizyka materii skondensowanej
      1. Wstęp
      2. 9.1 Rodzaje wiązań cząsteczkowych
      3. 9.2 Widma cząsteczkowe
      4. 9.3 Wiązania w ciałach stałych
      5. 9.4 Model elektronów swobodnych w metalach
      6. 9.5 Teoria pasmowa ciał stałych
      7. 9.6 Półprzewodniki i domieszkowanie
      8. 9.7 Przyrządy półprzewodnikowe
      9. 9.8 Nadprzewodnictwo
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Fizyka jądrowa
      1. Wstęp
      2. 10.1 Własności jądra atomowego
      3. 10.2 Energia wiązania jądra
      4. 10.3 Rozpad promieniotwórczy
      5. 10.4 Procesy rozpadu
      6. 10.5 Rozszczepienie jądra atomowego
      7. 10.6 Fuzja jądrowa
      8. 10.7 Skutki biologiczne i zastosowania medyczne promieniowania jądrowego
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia
      1. Wstęp
      2. 11.1 Wstęp do fizyki cząstek elementarnych
      3. 11.2 Zasady zachowania w fizyce cząstek elementarnych
      4. 11.3 Kwarki
      5. 11.4 Akceleratory i detektory cząstek
      6. 11.5 Model standardowy
      7. 11.6 Wielki Wybuch
      8. 11.7 Ewolucja wczesnego Wszechświata
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • wyjaśniać, jak zależność między energią i pracą prowadzi do wyrażenia na relatywistyczną energię kinetyczną danego ciała;
  • pokazywać, jakie są podobieństwa i różnice między energią określoną w sposób relatywistyczny a określoną klasycznie i w jaki sposób energia nakłada ograniczenie na prędkość ciała o niezerowej masie;
  • opisywać, w jaki sposób energia cząstki jest powiązana z jej masą i prędkością;
  • opisywać równoważność masy i energii oraz jej praktyczne konsekwencje.

Tokamak (ros. тороидальная камера с магнитными катушками, czyt. Toroidalnaja Kamiera s Magnitnymi Katuszkami – toroidalna komora z cewką magnetyczną) przedstawiony na Ilustracji 5.25 jest pewnym rodzajem eksperymentalnego reaktora syntezy termojądrowej, który może pozyskiwać energię z masy. Reaktory jądrowe są dowodem na zależność między energią a materią.

Zasada zachowania energii jest jedną z najważniejszych zasad w fizyce. Energia nie tylko posiada wiele ciekawych form, ale też może być zamieniana z jednej formy w drugą. Wiemy, że w podejściu klasycznym energia całkowita w danym układzie pozostaje niezmienna. W ujęciu relatywistycznym energia jest zachowana, ale równoważność masy i energii musi zostać wzięta pod uwagę, zwłaszcza w takich przypadkach jak procesy zachodzące w reaktorze jądrowym. Energia relatywistyczna jest określona w taki sposób, aby możliwe było jej zachowanie we wszystkich inercjalnych układach, podobnie jak w przypadku pędu. Konsekwencją tego jest powiązanie wielu podstawowych wielkości fizycznych, których to relacji nie opisuje fizyka klasyczna. Wszystkie te zależności zostały potwierdzone eksperymentalnie i są niezwykle istotne w dzisiejszej fizyce. Tak zmieniona definicja energii pozwoliła na wiele przełomowych dokonań w dziedzinie fizyki i umożliwiła istnienie nauki takiej, jaką znamy dziś.

Zdjęcie NSTX tokomak
Ilustracja 5.25 NSTX (ang. National Spherical Torus Experiment ) to reaktor termojądrowy, w którym izotopy wodoru poddaje się syntezie jądrowej, w wyniku której powstaje hel. W tym układzie stosunkowo mała masa zostaje zamieniona w dużą ilość energii.

Energia kinetyczna i ostateczne ograniczenie prędkości

Zgodnie z pierwszym postulatem szczególnej teorii względności prawa fizyki są zachowane we wszystkich inercjalnych układach. Einstein wykazał, że prawo zachowania energii obowiązuje także w przypadkach relatywistycznych, ale dla energii wyrażonej za pomocą masy i prędkości zgodnych ze szczególną teorią względności.

Rozważmy najpierw wyrażenie na relatywistyczną energię kinetyczną. Ponownie prędkość oznaczymy jako uu u , dla odróżnienia od prędkości vv v w dwóch układach odniesienia. W fizyce klasycznej energia kinetyczna jest związana z masą i prędkością za pomocą równania Ek=12mu2Ek=12mu2 E_{\text{k}}=1/2\cdot mu^2. Wyrażenie na energię kinetyczną z perspektywy relatywistycznej możemy otrzymać z zależności między energią a pracą. Według tej zależności wypadkowa praca w danym układzie zamienia się w energię kinetyczną. Klasyczne prawo Newtona F=dpdtF=dpdt \vec{F} = \d \vec{p} / \d t musi pozostać prawdziwe także w teorii względności (ale z pędem relatywistycznym) ze względu na zasadę zachowania pędu oraz zasadę akcji i reakcji. Jeżeli wyrazimy siłę przyspieszającą cząstkę do pewnej prędkości ze stanu spoczynku jako F=mdγudtF=mdγudt \vec{F} = m \d (\gamma \vec{u})/ \d t, to praca wykonana nad tą cząstką powinna być równa jej energii kinetycznej. W przypadku ruchu jednowymiarowego zapiszemy to jako

Ek=Fdx=mddtγudx=mdγudtdxdtdt=muddtu1u2c2dt.Ek=Fdx=mddtγudx=mdγudtdxdtdt=muddtu1u2c2dt.Ek=Fdx=mddtγudx=mdγudtdxdtdt=muddtu1u2c2dt. \begin{align} E_{\text{k}} &= \int F \d x = \int m \dd t (\gamma u) \d x \\ \text{} &= m \int \frac{\d (\gamma u)}{\d t} \cdot \frac{\d x}{\d t} \d t \\ \text{} &= m \int u \dd t (\frac{u}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}) \d t \text{.} \end{align}

Całkując to wyrażenie przez części, otrzymujemy

Ek=mu21u2c2|0umu1u2c2dudtdt=mu21u2c2mu1u2c2du=mu21u2c2mc21u2c2|0u=mu21u2c2+mc21u2c2mc2=mc2u2c2+1u2c21u2c2mc2,Ek=mc21u2c2mc2.Ek=mu21u2c2|0umu1u2c2dudtdt=mu21u2c2mu1u2c2du=mu21u2c2mc21u2c2|0u=mu21u2c2+mc21u2c2mc2=mc2u2c2+1u2c21u2c2mc2,Ek=mc21u2c2mc2.Ek=mu21u2c2|0umu1u2c2dudtdt=mu21u2c2mu1u2c2du=mu21u2c2mc21u2c2|0u=mu21u2c2+mc21u2c2mc2=mc2u2c2+1u2c21u2c2mc2,Ek=mc21u2c2mc2. \begin{align} E_{\text{k}} &= \frac{m u^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \mid_0^u - m \int \frac{u}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \cdot \frac{\d u}{\d t} \d t \\ \text{} &= \frac{m u^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} - m \int \frac{u}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \d u \\ \text{} &= \frac{m u^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} - m c^2 \sqrt{1- u^2/c^2} \mid_0^u \\ \text{} &= \frac{m u^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} + \frac{m c^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} - mc^2 \\ \text{} &= m c^2 [\frac{u^2/c^2 +1 - u^2/c^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}] - mc^2 \\ E_{\text{k}} &= \frac{mc^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} - mc^2 \text{.} \end{align}

Wzór na energię można również otrzymać, analizując tylko zderzenia elastyczne z wykorzystaniem zasady zachowania w różnych układach odniesienia i porównując z wynikiem klasycznym dla małych prędkości.

Relatywistyczna energia kinetyczna

Relatywistyczna energia kinetyczna (ang. relativistic kinetic energy) każdego ciała o niezerowej masie wynosi

Ek rel=γ1mc2.Ek rel=γ1mc2. E_{\text{k rel}} = (\gamma - 1) m c^2 \text{.}
5.17

Gdy ciało znajduje się w spoczynku, czyli jego prędkość u=0msu=0ms u=0 \si{\metre\per\second} i

γ=11u2c2=1,γ=11u2c2=1, \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} = 1 \text{,}

także jego Ek relEk rel E_{\text{k rel}} jest równa zero, jak zakładaliśmy. Jednak wyrażenie na relatywistyczną energię kinetyczną nie przypomina klasycznej zależności Ek=12mu2Ek=12mu2 1/2\cdot mu^2. Aby pokazać, że dla małych prędkości relatywistyczny wzór uprości się do klasycznego, wykorzystamy dwumian Newtona, by otrzymać przybliżenie dla 1+εn1+εn (1 + \epsilon)^n, prawdziwe dla małych εε \epsilon

1+εn=1+nε+nn12!ε2+nn1n23!ε3+1+nε.1+εn=1+nε+nn12!ε2+nn1n23!ε3+1+nε. (1 + \epsilon)^n = 1 + n \epsilon + \frac{n(n-1)}{2!} \epsilon^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} \epsilon^3 + \dots \cong 1 + n \epsilon \text{.}

Podstawiając ε=u2c2ε=u2c2 \epsilon = - u^2/ c^2 i n=12n=12 n= - 1/2, otrzymujemy, że γγ \gamma dla niewielkich prędkości jest małe i spełnia równanie

γ=1u2c2121+12u2c2.γ=1u2c2121+12u2c2. \gamma = (1 - \frac{u^2}{c^2})^{-1/2} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^2}{c^2} \text{.}

Dwumian Newtona pozwala na rozwinięcie danej wielkości w nieskończony szereg. W niektórych przypadkach, jak przy niewielkich prędkościach, większość wyrazów szeregu jest bardzo mała. Tak więc wyprowadzone wyrażenie może nie jest idealne, ale stanowi bardzo dokładne przybliżenie. W związku z tym dla małych prędkości

γ1=12u2c2.γ1=12u2c2. \gamma -1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^2}{c^2} \text{.}

Podstawienie tego wyrażenia do wzoru na relatywistyczną energię kinetyczną daje

Ek rel=12u2c2mc2=12mu2=Ek,Ek rel=12u2c2mc2=12mu2=Ek, E_{\text{k rel}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^2}{c^2} m c^2 = \frac{1}{2} m u^2 = E_{\text{k}} \text{,}

co dowodzi słuszności naszego założenia.

Dużo ciekawsze jest jednak to, co dzieje się z energią kinetyczną, gdy prędkość ciała zbliża się do prędkości światła. Wiemy, że γγ \gamma dąży do nieskończoności dla uu u dążącego do cc c , więc EkEk E_{\text{k}} także dąży wtedy do nieskończoności (Ilustracja 5.26). Wzrost energii relatywistycznej jest znacznie większy niż w przypadku energii klasycznej, gdy uu u zbliża się do cc c . Oznacza to, że do przyspieszenia ciała do takich prędkości potrzebna jest nieskończona ilość pracy.

Prędkość światła

Żadne ciało o niezerowej masie nie może osiągnąć prędkości światła (ang. speed of light).

Prędkość światła jest więc ostatecznym ograniczeniem prędkości cząsteczki o niezerowej masie. Wniosek ten jest zgodny z otrzymywanymi przez nas wynikami, z których wynika, że prędkości mniejsze od prędkości światła zawsze dodają się do wartości mniejszej od cc c . Zarówno relatywistyczna forma energii kinetycznej, jak i ograniczenie prędkości zostały wielokrotnie udowodnione doświadczalnie. Nieważne, jak dużo energii wkłada się w przyspieszenie danej masy, jej prędkość może być jedynie zbliżona do prędkości światła, ale nigdy jej nie osiągnie.

Przedstawiony jest graf energii kinetycznej w funkcji prędkości w przypadku relatywistycznym i klasycznym. Dla niskich prędkości wartości obu funkcji są niewielkie. Funkcja relatywistyczna wzrasta znacznie szybciej niż klasyczna, i ma asymptotę pionową u = c. Funkcja klasyczna przecina prostą u = c i przyjmuje skończone wartości dla wszystkich u > c.
Ilustracja 5.26 Wykres przedstawia zależność energii kinetycznej (relatywistycznej i klasycznej) od prędkości dla wartości bliskich prędkości światła.

Przykład 5.12

Porównywanie energii kinetycznej

Elektron porusza się z prędkością v=0,99cv=0,99c v = \num{0,99} c.
  1. Obliczmy energię kinetyczną elektronu w megaelektronowoltach.
  2. Porównajmy otrzymaną wartość z energią kinetyczną obliczoną w sposób klasyczny.

Strategia rozwiązania

Wyrażenie na relatywistyczną energię kinetyczną jest zawsze prawdziwe, zwłaszcza w przypadku (a), gdzie prędkość cząstki jest bardzo bliska prędkości światła. Najpierw należy wyliczyć czynnik relatywistyczny γγ γ , a następnie za jego pomocą określić wartość energii kinetycznej. W części (b) obliczamy klasyczną energię kinetyczną (której wartość powinna być zbliżona do wartości energii relatywistycznej, jeśli uu u wynosiłoby mniej niż kilka procent cc c ) i porównujemy ją z wynikiem z części (a).

Rozwiązanie części (a)

  • Określamy dane: u=0,99cu=0,99c u=\num{0,99}c, m=9,1110-31kgm=9,1110-31kg m=\SI{9,11e-31}{\kilo\gram}.
  • Określamy szukane: Ek relEk rel E_{\text{k rel}}.
  • Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
    Ek rel=γ1mc2  dla  γ=11u2c2.Ek rel=γ1mc2  dla  γ=11u2c2. E_{\text{k rel}} = (\gamma -1) m c^2 \text{  dla  } \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \text{.}
  • Wykonujemy obliczenia. Najpierw obliczymy γγ \gamma. Pamiętajmy, aby zachować wszystkie liczby po przecinku (to nie jest ostateczny wynik)
    γ=11u2c2=110,99c2c2=7,0888.γ=11u2c2=110,99c2c2=7,0888. \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(\num{0,99} c)^2}{c^2}}} = \num{7,0888} \text{.}
    Teraz wykorzystamy otrzymaną wartość do obliczenia energii kinetycznej
    Ek rel=γ1mc2=7,088819,1110-31kg3108ms2=4,992210-13J.Ek rel=γ1mc2=7,088819,1110-31kg3108ms2=4,992210-13J.Ek rel=γ1mc2=7,088819,1110-31kg3108ms2=4,992210-13J. \begin{align} E_{\text{k rel}} &= (\gamma -1) m c^2 \\ \text{} &= (\num{7,0888} - 1) \cdot \SI{9,11e-31}{\kilo\gram} \cdot (\SI{3e8}{\metre\per\second})^2 \\ \text{} &= \SI{4,9922e-13}{\joule} \text{.} \end{align}

    Zamieniamy jednostki

    Ek rel=4,992210-13J1MeV1,610-13J=3,12MeV.Ek rel=4,992210-13J1MeV1,610-13J=3,12MeV. E_{\text{k rel}} = \SI{4,9922e-13}{\joule} \cdot \frac{\SI{1}{\mega\electronvolt}}{\SI{1,6e-13}{\joule}} = \SI{3,12}{\mega\electronvolt} \text{.}

Rozwiązanie części (b)

  • Określamy dane: u=0,99cu=0,99c u=\num{0,99}c, m=9,1110-31kgm=9,1110-31kg m=\SI{9,11e-31}{\kilo\gram}.
  • Określamy szukane: EkEk E_{\text{k}}.
  • Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
    Ek=12mu2.Ek=12mu2. E_{\text{k}} = \frac{1}{2} m u^2 \text{.}
  • Wykonujemy obliczenia
    Ek=12mu2=129,1110-31kg0,9923108ms2=4,017910-14J1MeV1,610-13J=0,251MeV.Ek=12mu2=129,1110-31kg0,9923108ms2=4,017910-14J1MeV1,610-13J=0,251MeV.Ek=12mu2=129,1110-31kg0,9923108ms2=4,017910-14J1MeV1,610-13J=0,251MeV. \begin{align} E_{\text{k}} &= \frac{1}{2} m u^2 \\ \text{} &= \frac{1}{2} \cdot \SI{9,11e-31}{\kilo\gram} \cdot (\num{0,99})^2 \cdot (\SI{3e8}{\metre\per\second})^2 \\ \text{} &= \SI{4,0179e-14}{\joule} \cdot \frac{\SI{1}{\mega\electronvolt}}{\SI{1,6e-13}{\joule}} \\ \text{} &= \SI{0,251}{\mega\electronvolt} \text{.} \end{align}

Znaczenie

Ponieważ prędkość cząstki wynosiła 99%99% \SI{99}{\percent} prędkości światła, energie kinetyczne klasyczna i relatywistyczna różnią się od siebie znacząco, przy czym energia klasyczna jest dużo mniejsza od energii relatywistycznej. A dokładnie: Ek relEk=12,4Ek relEk=12,4 E_{\text{k rel}}/ E_{\text{k}} = \num{12,4}. To pokazuje, jak trudno jest przyspieszyć cząstkę do prędkości bliskich cc c . Im bardziej zbliżamy się do cc c , tym więcej energii musimy włożyć w zwiększenie prędkości. Energia rzędu 3MeV3MeV \SI{3}{\mega\electronvolt} na elektron jest stosunkowo mała i może zostać osiągnięta w istniejących akceleratorach cząstek.

Czy istnieje powód, aby przyspieszać cząstki do prędkości równych 99%99% \SI{99}{\percent} czy 99,9%99,9% \SI{99,9}{\percent} prędkości światła i wyższych? Odpowiedź brzmi: tak. Tego typu eksperymenty dostarczają ogromnych ilości informacji. Energia związana z cząstkami o dużych prędkościach może zostać zmieniona w inną, a nawet spowodować powstanie zupełnie nowych cząstek. W Wielkim Zderzaczu Hadronów (Ilustracja 5.27) naładowane cząstki są przyspieszane przed wprowadzeniem ich do tunelu o kształcie pierścienia. Tam dwie wiązki cząstek są rozpędzane do właściwej prędkości (99,7%99,7% \SI{99,7}{\percent} prędkości światła) w przeciwnych kierunkach i zderzane, co prowadzi do powstania nowych rodzajów cząstek. Większość naszej wiedzy na temat struktury materii i egzotycznych cząstek pochodzi właśnie ze zderzeń w akceleratorach. Obecnie najbardziej oczekiwanym wynikiem tych eksperymentów jest potwierdzenie teorii wielkiej unifikacji. Do tematu cząstek egzotycznych i ich właściwości wrócimy w dalszej części podręcznika.

Zdjęcie Genewy z zaznaczoną lokacją CERNu oraz obsługiwanych przez niego akceleratorów.
Ilustracja 5.27 Europejska Organizacja Badań Jądrowych CERN (od pierwotnej nazwy francuskiej Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire ) posiada największy zderzacz cząstek na świecie, który znajduje się na granicy Francji i Szwajcarii.

Całkowita energia relatywistyczna

Wzór na energię kinetyczną może być przekształcony do

E=mu21u2c2=Ek+mc2.E=mu21u2c2=Ek+mc2. E = \frac{m u^2}{\sqrt{1- u^2/c^2}} = E_{\text{k}} + m c^2 \text{.}

W artykule opublikowanym w 1905 roku Einstein dowiódł, że jeśli energia cząstki zmieni się o ΔEΔE \prefop{\Delta} E, to jej masa zmieni się o Δm=ΔEc2Δm=ΔEc2 \prefop{\Delta} m = \prefop{\Delta} E / c^2. Od tego czasu zostało wielokrotnie potwierdzone doświadczalnie, że mc2mc2 m c^2 odpowiada energii cząstki o masie mm m będącej w spoczynku. Za przykład weźmy neutralny pion o masie spoczynkowej mm m : w momencie jego rozpadu powstają dwa fotony, które mają zerową masę, ale zawierają w sobie energię mc2mc2 m c^2 pionu. Podobnie gdy cząstka o masie mm m rozpadnie się na co najmniej dwie cząstki o mniejszej masie całkowitej, ich energia kinetyczna będzie odpowiadała spadkowi masy. Tak więc EE E jest całkowitą energią relatywistyczną cząstki, a mc2mc2 m c^2 jest jej energią spoczynkową.

Energia całkowita

Energię całkowitą (ang. total energy) EE E cząstki wyrażamy wzorem

E=γmc2,E=γmc2, E = \gamma m c^2 \text{,}
5.18

gdzie mm m jest masą, cc c to prędkość światła, γ=11u2c2γ=11u2c2 \gamma = 1/ \sqrt{1- u^2/ c^2}, a uu u jest prędkością ciała względem obserwatora.

Energia spoczynkowa

Energię spoczynkową (ang. rest energy) danego ciała zapiszemy jako

E0=mc2.E0=mc2. E_0 = m c^2 \text{.}
5.19

Tak wygląda słynne równanie Einsteina, które jako pierwsze pokazało związek między masą a energią ciała. Konsekwencją tej zależności jest wzrost masy spoczynkowej ciała, w którym magazynowana jest energia. Co więcej, masa spoczynkowa może zostać zniszczona w celu uwolnienia energii w niej związanej. Równania opisujące energię relatywistyczną, będące następstwem tych zależności, podobnie jak dowodzące je eksperymenty są tak przełomowe, że przez wiele lat nie wchodziły do kanonu fizyki. Warto zauważyć, że Einstein doskonale rozumiał swą teorię i opisał jej znaczenie i konsekwencje.

Przykład 5.13

Obliczanie energii spoczynkowej

Obliczmy energię spoczynkową ciała o masie 1g1g 1 \si{\gram}.

Strategia rozwiązania

Jeden gram to mała masa – mniej niż jeden grosz. Możemy pomnożyć tę wartość, wyrażoną w jednostkach układu SI, przez prędkość światła podniesioną do kwadratu i określić odpowiadającą jej energię spoczynkową.

Rozwiązanie

  • Określamy dane: m=10-3kgm=10-3kg m=10^{-3}\si{\kilo\gram}, c=3108msc=3108ms c=\SI{3e8}{\metre\per\second}.
  • Określamy szukane: E0E0 E_0.
  • Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
    E0=mc2.E0=mc2. E_0 = m c^2 \text{.}
  • Wykonujemy obliczenia
    E0=mc2=10-3kg3108ms2=91013kgm2s2.E0=mc2=10-3kg3108ms2=91013kgm2s2.E0=mc2=10-3kg3108ms2=91013kgm2s2. \begin{align} E_0 &= m c^2 = 10^{-3} \si{\kilo\gram} \cdot (\SI{3e8}{\metre\per\second})^2 \\ \text{} &= \SI{9e13}{\kilo\gram\square\metre\per\square\second} \text{.} \end{align}
    Zamieniamy jednostki. Zauważmy, że 1kgm2s2=1J1kgm2s2=1J \SI{1}{\kilo\gram\square\metre\per\square\second} = \SI{1}{\joule}. Energia spoczynkowa wynosi więc
    E0=91013J.E0=91013J. E_0=\SI{9e13}{\joule}\text{.}

Znaczenie

Okazuje się, że nawet tak małej masie, jaką jest 1g1g 1 \si{\gram}, odpowiada ogromna energia. Dzieje się tak, ponieważ energia liczona jest jako iloczyn prędkości światła podniesionej do kwadratu i masy badanego ciała. Jako że c2c2 c^2 ma bardzo dużą wartość, także energia będzie duża dla każdej masy. Energia 91013J91013J \SI{9e13}{\joule} jest dwa razy większa niż energia uwolniona podczas wybuchu bomby atomowej w Hiroszimie i około 10 00010 000 \num{10000} razy większa od energii kinetycznej lotniskowca.

Praktyczne zastosowania zamiany masy w energię, takie jak broń jądrowa i energetyka jądrowa, są nam dobrze znane. Gdy Einstein ogłaszał swoją teorię na temat poprawnej formy energii relatywistycznej, istniały już podobne zastosowania i niektóre z nich zostały przez niego opisane. Promieniowanie jądrowe odkryto dekadę wcześniej, a pochodzenie jego energii było tajemnicą. Dzieje się tak, ponieważ podczas procesów jądrowych część masy ulega zniszczeniu i zostaje uwolniona energia przenoszona przez promieniowanie jądrowe. Jednak zredukowana masa jest tak mała, że trudno jest zauważyć jej ubytek. Einstein zasugerował, że ten proces może służyć jako źródło energii w promieniotwórczych związkach chemicznych badanych w tym okresie. Działo się to na wiele lat przed wykorzystaniem tego zjawiska do produkcji energii (Ilustracja 5.28).

Zdjęcia Słońca oraz elektrowni parowej na rzece Susquehanna
Ilustracja 5.28 Zarówno (a) Słońce, jak i (b) elektrownia jądrowa wykorzystują redukcję masy do produkcji energii – Słońce poprzez reakcje termojądrowe, a elektrownia dzięki rozszczepianiu cięższych jąder atomowych na lżejsze jądra atomowe.

Ze względu na związek między energią spoczynkową a masą, bardziej niż jako oddzielną wielkość, rozważamy masę jako formę energii. Przed pracą Einsteina nic nie wskazywało na to, że równoważność masy i energii jest podstawą procesów zachodzących w Słońcu, podobnie jak procesów towarzyszących rozpadowi jądrowemu i procesów zachodzących w jądrze Ziemi.

Energia magazynowana i potencjalna

Co dzieje się z energią magazynowaną w ciele znajdującym się w spoczynku, jak w przypadku ładowania baterii czy energii związanej w ściśniętej sprężynie zabawkowego pistoletu? Energia ta jest częścią energii całkowitej, a przez to wpływa na masę spoczynkową danego ciała. Cała energia związana w ciele i potencjalna staje się masą w układzie. Pozornie sprzeczna zasada zachowania masy (a więc zakładająca, że masa całkowita jest stała) była jednym z praw zweryfikowanych przez dziewiętnastowieczną naukę. Dlaczego wcześniej nie zauważono jej błędności? Następujący przykład pozwoli na lepsze zrozumienie tego zagadnienia.

Przykład 5.14

Obliczanie masy spoczynkowej

Bateria samochodowa ma pojemność 600Ah600Ah \SI{600}{\ampere\hour} (amperogodzin) przy napięciu 12V12V \SI{12}{\volt}.
  1. Obliczmy zwiększenie masy spoczynkowej baterii podczas ładowania (od pełnego rozładowania do pełnego naładowania) przy założeniu, że żaden związek chemiczny ani nie opuszcza baterii, ani nie jest do niej wprowadzany.
  2. Jaki stanowi to procent masy baterii przy założeniu, że wynosi ona 20kg20kg \SI{20}{\kilo\gram}?

Strategia rozwiązania

W części (a) musimy obliczyć wartość energii EbatEbat E_{\text{bat}} pochodzącej z procesów chemicznych, zmagazynowanej w baterii, równą energii wykorzystanej na zasilanie samochodu. Jako że Ebat=qUEbat=qU E_{\text{bat}} = q U, musimy najpierw obliczyć ładunek qq q nagromadzony w 600Ah600Ah \SI{600}{\ampere\hour}, będący iloczynem natężenia prądu II I i czasu tt t . Następnie pomnożymy ładunek przez 12V12V \SI{12}{\volt}. Wtedy możemy obliczyć wzrost masy baterii, wykorzystując równanie Ebat=Δmc2Ebat=Δmc2 E_{\text{bat}} = \prefop{\Delta} m c^2. Część (b) polega na obliczeniu stosunku mas i zamianie wyniku na wartość procentową.

Rozwiązanie części (a)

  • Określamy dane: It=600AhIt=600Ah It=\SI{600}{\ampere\hour}, U=12VU=12V U = \SI{12}{\volt}, c=3108msc=3108ms c=\SI{3e8}{\metre\per\second}.
  • Określamy szukane: ΔmΔm \prefop{\Delta}m.
  • Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
    Ebat=Δmc2,Δm=Ebatc2=qUc2=ItUc2.Ebat=Δmc2,Δm=Ebatc2=qUc2=ItUc2.Ebat=Δmc2,Δm=Ebatc2=qUc2=ItUc2. \begin{align} E_{\text{bat}} &= \prefop{\Delta} m c^2 \\ \prefop{\Delta} m &= \frac{E_{\text{bat}}}{c^2} = \frac{qU}{c^2} = \frac{I t U}{c^2} \text{.} \end{align}
  • Wykonujemy obliczenia
    Δm=600Ah12V3108ms2.Δm=600Ah12V3108ms2. \prefop{\Delta} m = \frac{\SI{600}{\ampere\hour} \cdot \SI{12}{\volt}}{(\SI{3e8}{\metre\per\second})^2} \text{.}
    Zapiszmy AA \si{\ampere} jako kulomb na sekundę (CsCs \si{\coulomb\per\second}) i zamieńmy godziny na sekundy
    Δm=600Csh3600s1h12JC3108ms2=2,8810-10kg.Δm=600Csh3600s1h12JC3108ms2=2,8810-10kg. \prefop{\Delta} m = \frac{(\SI{600}{\coulomb\per\second} \cdot \si{\hour}) \cdot \frac{\SI{3600}{\second}}{1 \si{\hour}} \cdot \SI{12}{\joule\per\coulomb}}{(\SI{3e8}{\metre\per\second})^2} = \SI{2,88e-10}{\kilo\gram} \text{.}
    Zastosowaliśmy też przekształcenie 1kgm2s2=1J1kgm2s2=1J \SI{1}{\kilo\gram\square\metre\per\square\second} = \SI{1}{\joule} .

Rozwiązanie części (b)

  • Określamy dane: Δm=2,8810-10kgΔm=2,8810-10kg \prefop{\Delta}m=\SI{2,88e-10}{\kilo\gram}, m=20kgm=20kg m=\SI{20}{\kilo\gram}.
  • Określamy szukane: zmiana procentowa.
  • Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
    przyrost masy=Δmm100%.przyrost masy=Δmm100%. \text{przyrost masy} = \frac{\prefop{\Delta} m}{m} \cdot \SI{100}{\percent} \text{.}
  • Wykonujemy obliczenia
    przyrost masy=Δmm100%=2,8810-10kg20kg100%=1,4410-9%.przyrost masy=Δmm100%=2,8810-10kg20kg100%=1,4410-9%. \text{przyrost masy} = \frac{\prefop{\Delta} m}{m} \cdot \SI{100}{\percent} = \frac{\SI{2,88e-10}{\kilo\gram}}{\SI{20}{\kilo\gram}} \cdot \SI{100}{\percent} = \SI{1,44e-9}{\percent} \text{.}

Znaczenie

Przyrost masy jest bardzo mały, ponieważ dzielimy energię przez c2c2 c^2, a więc bardzo dużą wartość. Aby zauważyć różnicę w masie, musielibyśmy dysponować wagą o dokładności pomiaru do miliardowej części procenta. Nic więc dziwnego, że zmianę masy spoczynkowej tak trudno jest zaobserwować. Co więcej, zmiana masy jest tak mała, że łatwo podać w wątpliwość fakt, że ktoś mógłby udowodnić jej istnienie. Okazała się jednak zauważalna w procesach jądrowych, w których ubytek masy jest na tyle duży, że można go dokładnie zmierzyć. Masa paliwa w reaktorach jądrowych ulega znacznemu zmniejszeniu w miarę produkcji energii. W tym przypadku energia zmagazynowana w paliwie jest uwalniana (głównie w formie energii termicznej wykorzystywanej do napędzania generatorów prądu), a masa spoczynkowa maleje. Podobnie dzieje się w bateriach, jednak energia wydzielana w elektrowniach jądrowych jest dużo większa, a więc i ubytek masy jest bardziej znaczący.

Relatywistyczne powiązanie energii i pędu

Wiemy, że klasycznie zdefiniowana energia kinetyczna i pęd są ze sobą powiązane w następujący sposób

Ek=p22m=mu22m=12mu2.Ek=p22m=mu22m=12mu2. E_{\text{k}} = \frac{p^2}{2m} = \frac{(mu)^2}{2m} = \frac{1}{2} mu^2 \text{.}

W podejściu relatywistycznym zależność między energią a pędem otrzymujemy poprzez algebraiczne przekształcenia opisujących je wzorów

E2=pc2+mc22,E2=pc2+mc22, E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 \text{,}
5.20

gdzie EE E jest całkowitą energią relatywistyczną opisaną wzorem E=mc21u2c2E=mc21u2c2 E= mc^2/ \sqrt{1- u^2/c^2}, a pp p to pęd relatywistyczny. Ta zależność jest bardziej skomplikowana niż jej klasyczne ujęcie, ale jej analiza przynosi ciekawe wnioski. Po pierwsze, energia całkowita jest związana z pędem i masą spoczynkową. Gdy ciało pozostaje w spoczynku, jego pęd wynosi zero, a energia całkowita opisywana jest jedynie przez człon związany z masą: mc2mc2 m c^2, co pokrywa się ze wzorem na opisywaną wcześniej energię spoczynkową (potencjalną). W trakcie przyspieszania pęd ciała rośnie, a razem z nim energia całkowita. Przy dużych prędkościach człon dotyczący masy mc22mc22 (mc^2)^2 jest tak mały w porównaniu z członem zawierającym pęd pc2pc2 (pc)^2, że można go pominąć, a więc E=pcE=pc E = pc w przypadku prędkości relatywistycznych.

Jeżeli założymy rozdzielność pędu i masy, możemy określić następstwa równania E2=pc2+mc22E2=pc2+mc22 E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 dla cząstki o zerowej masie. Jeżeli przyjmiemy m=0kgm=0kg m=0 \si{\kilo\gram}, to E=pcE=pc E = pc lub p=Ecp=Ec p = E/c. W naturze występuje wiele cząstek o takiej własności i jednymi z nich są fotony, które możemy opisać jako paczki promieniowania elektromagnetycznego. Kolejną konsekwencją takiej formy równania energii jest warunek przemieszczania się cząstki z prędkością światła. Dokładna analiza równania E2=pc2+mc22E2=pc2+mc22 E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 prowadzi między innymi do pojęcia antycząstki (ujemna energia EEEE E \to -E). Wykracza ono poza zakres tego podręcznika, jednak należy pamiętać, jak duży wpływ ma na szczególną teorię względności.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.9

Jaka jest energia kinetyczna elektronu o prędkości 0,992c0,992c \num{0,992} c?

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.