William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

5.3 Dylatacja czasu

23.

Jaka jest wartość $\gamma$ , jeżeli

$v= \num{0,25} c$ ;
$v= \num{0,5} c$ ?

24.

Jaka jest wartość $\gamma$ , jeżeli

$v= \num{0,1} c$ ;
$v= \num{0,9} c$ ?

25.

Cząstki nazywane mezonami $\pi$ są produkowane w akceleratorach cząstek. Jeśli poruszają się one z prędkością $\SI{2,7e8}{\metre\per\second}$ i żyją $\SI{2,6e-8}{\second}$ obserwowane w układzie spoczynkowym, to jak długi będzie ich czas życia mierzony w laboratorium?

26.

Załóżmy, że kaon jest cząstką powstałą w wyniku zderzenia promieniowania kosmicznego z atmosferą. Niech cząstka ta porusza się z prędkością $\num{0,98} c$ , a czas jej życia wynosi $\SI{1,24e-8}{\second}$ , mierzony w układzie spoczynkowym cząstki. Jak długi jest czas życia cząstki mierzony przez naukowca?

27.

Mezon $\pi$ (pion) obserwowany w laboratorium ma czas życia równy $\SI{1,4e-16}{\second}$ , który mierzony w układzie spoczynkowym cząstki wynosi $\SI{0,84e-16}{\second}$ . Jaka jest prędkość pionu względem laboratorium?

28.

Neutron mierzony w spoczynku względem obserwatora istnieje $\SI{900}{\second}$ . Jak szybko porusza się neutron względem obserwatora, jeśli jego czas życia mierzony przez tego obserwatora wynosi $\SI{2065}{\second}$ ?

29.

Jeżeli efekt relatywistyczny jest rzędu $\SI{1}{\percent}$ , to $\gamma$ musi wynosić $\num{1,01}$ . Dla jakiej prędkości względnej $\gamma = \num{1,01}$ ?

30.

Jeżeli efekt relatywistyczny jest rzędu $\SI{3}{\percent}$ , to $\gamma$ musi wynosić $\num{1,03}$ . Dla jakiej prędkości względnej $\gamma = \num{1,03}$ ?

5.4 Skrócenie długości w szczególnej teorii względności

31.

Statek kosmiczny o długości $\SI{200}{\metre}$ (mierzonej z pokładu statku) porusza się w stronę Ziemi z prędkością $\num{0,97} c$ . Jaka jest jego długość mierzona przez naukowca na Ziemi?

32.

Jak szybko musiałby się poruszać sportowy samochód o długości $\SI{6}{\metre}$ względem ciebie, abyś zaobserwował jego długość jako $\SI{5,5}{\metre}$ ?

33.

Jaką drogę przebędzie mion z Przykładu 5.1 względem obserwatora na Ziemi?
Jakie przemieszczenie zmierzy obserwator poruszający się razem z mionem? Oprzyj swoje obliczenia na prędkości względem Ziemi i czasie życia cząstki (czas własny);
Sprawdź, czy wyliczone długości są ze sobą powiązane czynnikiem $\gamma = \num{3,2}$ .

34.

Odpowiedz na poniższe pytania.

Jaki jest czas życia mionu z Przykładu 5.1, przy założeniu, że jego prędkość wynosi $\num{0,05} c$ ?
Jaką drogę przebędzie cząstka obserwowana z powierzchni Ziemi?
Ile wynosi długość tej drogi mierzona z układu odniesienia mionu?

35.

Nieracjonalne wyniki. Statek kosmiczny zmierza w stronę Ziemi z prędkością $\num{0,8} c$ . Astronauta twierdzi, że wyrzucił kanister w stronę Ziemi z prędkością $\num{1,2} c$ względem Ziemi.

Oblicz prędkość kanistra względem statku;
Co się nie zgadza w otrzymanym wyniku?
Które założenia są błędne?

5.5 Transformacja Lorentza

36.

Opisz następujące zdarzenia w formie $(x, y, z, t)$ .

Listonosz dzwoni do drzwi dokładnie w południe;
W tym samym czasie kawałek chleba wyskakuje z tostera, który znajduje się $\SI{10}{\metre}$ na wschód od drzwi;
Dziesięć sekund później samolot ląduje na lotnisku, które jest oddalone od drzwi $\SI{10}{\kilo\metre}$ na wschód i $\SI{2}{\kilo\metre}$ na południe.

37.

Opisz, jak zmienia się kąt $\alpha = \tg (v/c)$ oraz kąt między osiami na Ilustracji 5.17, gdy prędkość względna $v$ między układami $S$ i $S'$ dąży do $c$ .

38.

Opisz kształt ścieżki w czasoprzestrzeni

ciała, które pozostaje w spoczynku z ustaloną współrzędną $x$ ;
ciała poruszającego się ze stałą prędkością $u$ wzdłuż osi $x$ ;
ciała, które porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym o zerowej prędkości początkowej w kierunku dodatnim osi $x$ .

39.

Człowiek stojący na peronie obserwuje dwóch chłopców w wagonie pociągu rzucających do siebie piłkę. Załóż, że pociąg porusza się na wschód ze stałą prędkością $\SI{20}{\metre\per\second}$ , a jeden z chłopców rzuca piłkę z prędkością $\SI{5}{\metre\per\second}$ w kierunku zachodnim do drugiego chłopca oddalonego od niego o $\SI{5}{\metre}$ . Jaka jest prędkość piłki obserwowana przez człowieka na peronie?

40.

Obserwowane ze Słońca Ziemia i Mars w pewnym momencie poruszają się w przeciwnym kierunku z prędkościami odpowiednio $\SI{108}{\kilo\metre\per\hour}$ i $\SI{86,871}{\kilo\metre\per\hour}$ . Jaką prędkość ma w takim przypadku Mars widziany z powierzchni Ziemi?

41.

Człowiek biegnie po prostej drodze, prostopadłej do torów kolejowych, oddalając się od nich z prędkością $\SI{12}{\metre\per\second}$ . Pociąg porusza się z prędkością $\SI{30}{\metre\per\second}$ względem torów. Jaka jest prędkość człowieka względem pasażera siedzącego w pociągu?

42.

Jak zmieniłaby się prędkość z poprzedniego zadania, gdyby droga, po której biegnie człowiek, leżała pod kątem $\ang{30}\$ do torów?

43.

W układzie spoczynkowym stołu bilardowego bila o masie $m$ , poruszająca się z prędkością $v$ uderza w inną bilę o masie $m$ , będącą w spoczynku. Pierwsza bila zatrzymuje się po zderzeniu, a druga zaczyna ruch z prędkością $v$ w kierunku, w którym poruszała się pierwsza bila. Pokazuje to, że pęd w tym układzie został zachowany.

Opisz to samo zdarzenie widziane z układu poruszającego się z prędkością $v$ w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu pierwszej bili;
Czy w nowym układzie pęd jest zachowany?

44.

W układzie spoczynkowym stołu bilardowego dwie bile o tej samej masie $m$ poruszają się ku sobie z tą samą prędkością $v$ i zderzają się ze sobą. Po zderzeniu obie bile się zatrzymują.

Wykaż, że we wspomnianym układzie pęd został zachowany;
Opisz to samo zdarzenie widziane z układu poruszającego się z prędkością $v$ w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu pierwszej bili;
Czy w nowym układzie pęd jest zachowany?

45.

W układzie $S$ obserwujemy dwa zdarzenia: pierwsze to powstanie pionu w spoczynku na początku układu, a drugie to rozpad pionu po czasie $\tau$ . Inny obserwator w układzie $S'$ porusza się w dodatnim kierunku osi $x$ ze stałą prędkością $v$ i obserwuje te same dwa zdarzenia w swoim układzie odniesienia. Początki obu układów pokrywają się w $t = t' = 0 \si{\second}$ . Określ współrzędne czasowe i przestrzenne obu zdarzeń w układzie $S'$ według

transformacji Galileusza;
transformacji Lorentza.

5.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności

46.

Jeśli dwa statki kosmiczne przemieszczają się ku sobie z prędkością $\num{0,8} c$ , to z jaką prędkością należy wystrzelić kanister z pierwszego statku, aby jego prędkość względem drugiego wynosiła $\num{0,999} c$ ?

47.

Dwie planety znajdują się na kursie kolizyjnym, zmierzając prosto ku sobie z prędkością $\num{0,25} c$ . Statek kosmiczny wysłany z jednej planety porusza się z prędkością $\num{0,75} c$ względem drugiej. Jaka jest prędkość statku względem pierwszej planety?

48.

Gdy pocisk jest wystrzeliwany z jednego statku w kierunku drugiego, opuszcza pierwszy statek z prędkością $\num{0,95} c$ i zbliża się do drugiego z prędkością $\num{0,75} c$ . Jaka jest prędkość względna między tymi dwoma statkami?

49.

Jaka jest prędkość względna dwóch statków kosmicznych, jeżeli jeden pocisk zostaje wystrzelony z jednego z nich z prędkością $\num{0,75} c$ i porusza się w kierunku drugiego z prędkością $\num{0,95} c$ ?

50.

Udowodnij, że dla dowolnej prędkości względnej $v$ między dwoma obserwatorami wiązka światła wyemitowana przez jednego z nich w kierunku drugiego będzie się od niego oddalała z prędkością światła (przy założeniu, że $v\ll c$ ).

51.

Udowodnij, że dla dowolnej prędkości względnej $v$ między dwoma obserwatorami wiązka światła wyemitowana przez jednego z nich w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu drugiego będzie się od niego oddalała z prędkością światła (przy założeniu, że $v<c$ ).

5.7 Relatywistyczny efekt Dopplera

52.

Używane przez policję urządzenie do mierzenia prędkości pojazdu wykorzystuje wiązkę fal radiowych odbijaną od powierzchni poruszającego się ciała (samochodu) i mierzy przesunięcie Dopplera. Załóż, że wychodząca fala ma częstotliwość $\SI{100}{\giga\hertz}$ , a powrotna jest o $\SI{15}{\kilo\hertz}$ wyższa. Jaka jest prędkość samochodu? Zauważ, że w tym przypadku nastąpią dwa przesunięcia Dopplera. Pamiętaj, żeby nie zaokrąglać wyniku aż do końca – uzyskana wartość będzie bardzo mała.

5.8 Pęd relatywistyczny

53.

Oblicz moment pędu jądra helu o masie $\SI{6,68e-27}{\kilo\gram}$ poruszającego się z prędkością $\num{0,2} c$ .

54.

Jaki jest pęd elektronu poruszającego się z prędkością $\num{0,98} c$ ?

55.

Oblicz pęd relatywistyczny asteroidy o masie $10^9 \si{\kilo\gram}$ poruszającej się z prędkością $\SI{30}{\kilo\metre\per\second}$ w kierunku Ziemi;
Oblicz stosunek tego pędu do pędu obliczonego w sposób klasyczny.

(Wskazówka: Wykorzystaj zaokrąglenie $\gamma = 1 + (1/2) v^2/c^2$ w przypadku małych prędkości).

56.

Jaki jest pęd $\SI{2000}{\kilo\gram}$ satelity orbitującego na wysokości $\SI{4}{\kilo\metre}$ ?
Oblicz stosunek tego pędu do pędu obliczonego w sposób klasyczny. (Wskazówka: Wykorzystaj zaokrąglenie $\gamma = 1 + (1/2) v^2/c^2$ w przypadku małych prędkości).

57.

Jaka jest prędkość elektronu o pędzie $\SI{3,04e-21}{\kilo\gram\metre\per\second}$ ? Musisz obliczyć prędkość z dokładnością do co najmniej czterech cyfr po przecinku, aby zauważyć różnicę między nią a prędkością światła.

58.

Oblicz prędkość protonu o pędzie $\SI{4,48e-19}{\kilo\gram\metre\per\second}$ .

5.9 Energia relatywistyczna

59.

Jaka jest energia elektronu, jeśli wiemy, że jego masa wynosi $\SI{9,11e-31}{\kilo\gram}$ ? Swoją odpowiedź wyraź w megaelektronowoltach ( $\si{\mega\electronvolt}$ ).

60.

Oblicz energię spoczynkową protonu o masie $\SI{1,67e-27}{\kilo\gram}$ . Wynik podaj w dżulach i megaelektronowoltach.

61.

Jeżeli energie spoczynkowe protonu i neutronu (dwóch budulców jądra atomowego) wynoszą odpowiednio $\SI{938,3}{\mega\electronvolt}$ i $\SI{939,6}{\mega\electronvolt}$ , to jaka jest różnica ich mas w kilogramach?

62.

Podczas Wielkiego Wybuchu, który dał początek istnieniu Wszechświata, uwolniona została energia $10^{68} \si{\joule}$ . Jak wiele gwiazd mogłoby powstać z połowy tej energii, zakładając, że jedna gwiazda ma masę średnio $\SI{4e30}{\kilo\gram}$ ?

63.

Eksplozja supernowej powstała z gwiazdy o masie $\SI{2e31}{\kilo\gram}$ uwalnia energię $10^{44} \si{\joule}$ .

Ile kilogramów masy jest zamienione na energię podczas tego zdarzenia?
Jaki jest stosunek $\prefop{\Delta} m /m$ masy wykorzystanej w trakcie eksplozji do początkowej masy gwiazdy?

64.

Korzystając z danych z Tabeli 8.1, oblicz ilość masy przekształconej w energię podczas rozszczepienia $\SI{1}{\kilo\gram}$ uranu;
Jaki jest stosunek przekształconej masy do początkowej ( $\prefop{\Delta} m /m$ )?

65.

Korzystając z danych z Tabeli 8.1, oblicz ilość masy przekształconej w energię podczas syntezy $\SI{1}{\kilo\gram}$ wodoru;
Jaki jest stosunek przekształconej masy do początkowej ( $Δ m / m$ )?
Porównaj otrzymany wynik ze stosunkiem mas z poprzedniego zadania.

66.

Synteza wodoru w oceanach produkuje około $10^{34} \si{\joule}$ energii.

Jeżeli $10^{33} \si{\joule}$ tej energii zostanie wykorzystane, to jaki będzie ubytek masy w oceanach?
Jakiej objętości wody to odpowiada?
Czy jest to duża część całkowitej masy oceanów?

67.

Mion ma masę spoczynkową $\SI{105,7}{\mega\electronvolt}$ , a z jego rozpadu powstaje elektron i pewna cząstka o zerowej masie.

Jeżeli cały ubytek masy jest przekształcony w energię kinetyczną elektronu, to jaka będzie wartość czynnika $\gamma$ ?
Jaka będzie prędkość elektronu?

68.

Pion rozpada się na mion i pewną cząstkę o zerowej masie. Pion ma energię spoczynkową $\SI{139,6}{\mega\electronvolt}$ , a mion $\SI{105,7}{\mega\electronvolt}$ . Załóż, że pion znajduje się początkowo w spoczynku, a ubytek masy przekształcany jest w energię kinetyczną mionu. Z jaką prędkością będzie się przemieszczał mion?

69.

Oblicz relatywistyczną energię kinetyczną tonowego samochodu poruszającego się z prędkością $\SI{30}{\metre\per\second}$ przy prędkości światła równej $\SI{45}{\metre\per\second}$ ;
Oblicz stosunek relatywistycznej energii kinetycznej do klasycznej.

70.

Rozpad alfa to rozpad jądrowy, w którym emitowane jest jądro helu. Jaka jest prędkość tego jądra, jeżeli jego masa wynosi $\SI{6,8e-27}{\kilo\gram}$ , a procesowi towarzyszy emisja $\SI{5}{\mega\electronvolt}$ energii?

71.

W wyniku rozpadu beta emitowany jest elektron. Jaka jest jego prędkość, jeżeli posiada energię kinetyczną równą $\SI{0,75}{\mega\electronvolt}$ ?
Jak duża prędkość wpływa na energię kinetyczną cząstki i jak się ma ta zależność do energii masy spoczynkowej elektronu?