Rozdział 10

Zgodnie z regułą prawej dłoni, kierunek prędkości kątowej jej ruchu jest prostopadły do ściany i zwrócony w stronę ściany.

Wszystkie punkty na kiju mają taką samą prędkość kątową. Punkty dalej położone mają większą prędkość styczną.

Linia prosta, zależność liniowa w funkcji czasu.

Stałą.

Ponieważ wektor przyspieszenia odśrodkowego jest prostopadły do wektora prędkości.

1. Obu.
2. Tylko przyspieszenia kątowego.
3. Obu.

Sfera, ponieważ jej masa jest rozłożona dalej od osi obrotu.

a. Zmniejszy się, jeżeli za jego moment bezwładności rozumiemy sumę momentów człowieka i dysku. Jeżeli pytamy tylko o moment bezwładności samego człowieka, to pozostanie bez zmiany.

b. Ramiona można przybliżyć prętami, a dysk krążkiem. Tułów znajduje się w pobliżu osi obrotu, więc nie ma istotnego wkładu w moment bezwładności.

Ponieważ moment bezwładności zmienia się z kwadratem odległości od osi obrotu. Masa pręta usytuowanego w odległości większej niż $L\text{/}2$ zapewnia większy wkład do jego momentu bezwładności niż masa w punkcie $L\text{/}2$.

Wartość siły, długość ramienia siły oraz kąt pomiędzy wektorem siły, a wektorem położenia punktu przyłożenia siły.

Moment bezwładności kół jest mniejszy, zatem ten sam moment sił daje większe przyspieszenie.

Tak.

Wartość $\left|\overrightarrow{r}\right|$ może być równa ramieniu siły, ale nigdy nie może być mniejsza niż ramię siły.

Jeśli siły leżą wzdłuż osi obrotu lub jeśli mają takie same ramię siły (są przyłożone w tym samym punkcie pręta).

$\omega =\left(2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\right)\text{/}\left(45\mathrm{,}0\mathrm{s}\right)=0\mathrm{,}14\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}.$

1. $\theta =s\text{/}r=\left(3\mathrm{,}0\mathrm{m}\right)\text{/}\left(1\mathrm{,}5\mathrm{m}\right)=2\mathrm{,}0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$;
2. $\omega =\theta \text{/}t=\left(2\mathrm{,}0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\right)\text{/}\left(1\mathrm{,}0\mathrm{s}\right)=2\mathrm{,}0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}$;
3. $\epsilon =v^2\text{/}r={\left(3\mathrm{,}0\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}\right)}^2\text{/}\left(1\mathrm{,}5\mathrm{m}\right)=6\mathrm{,}0\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$

Czas potrzebny do zatrzymania śmigła wynosi $\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }\omega \text{/}\epsilon =\left(0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}-2\pi \cdot 10\mathrm{,}0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}\right)\text{/}\left(-2\mathrm{,}0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2\right)=31\mathrm{,}4\mathrm{s}$. Tak więc po 40 sekundach prędkość kątowa śmigła będzie wynosiła 0 rad/s.

1. $\omega =25\mathrm{,}0\cdot 2\mathrm{,}0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}=50\mathrm{,}0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}$;
2. $\epsilon =\mathrm{d}\omega \text{/}\mathrm{d}t=25\mathrm{,}0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2$.

1. $\omega =54\mathrm{,}8\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}$;
2. $t=11\mathrm{,}0\mathrm{s}$.

1. $0\mathrm{,}87\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2$;
2. $\theta =12560\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

1. $\omega =42\mathrm{,}0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}$;
2. $\theta =200\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$;
3. $v=42\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$, $a_{\text{s}}=4\mathrm{,}0\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$

1. $\omega =7\mathrm{,}0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}$
2. $\theta =22\mathrm{,}5\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$
3. $a_{\text{s}}=0\mathrm{,}1\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$

$\epsilon =28\mathrm{,}6\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2$.

$r=0\mathrm{,}78\mathrm{m}.$

1. $\epsilon =-0\mathrm{,}314\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2$;
2. $a_{\text{d}}=197\mathrm{,}4\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$;
3. $a=\sqrt{a_{\text{d}}^2+a_{\text{s}}^2}=\sqrt{{\left(197\mathrm{,}4\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2\right)}^2+{\left(-6\mathrm{,}28\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2\right)}^2}=197\mathrm{,}5\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$, $\theta =\mathrm{arctg}\left(\frac{-6\mathrm{,}28}{197\mathrm{,}4}\right)=-1\mathrm{,}{8}^{\circ }$.

Siła odśrodkowa $F_{\text{od}}=30\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\left(3\mathrm{,}77\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}\right)}^2\text{/}3\mathrm{m}=142\mathrm{,}1\mathrm{N}$, $ma=40\mathrm{,}0\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 5\mathrm{,}1\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2=204\mathrm{,}0\mathrm{N}$. Maksymalna siła tarcia statycznego ${\mu }_{s}N=0\mathrm{,}6\cdot 30\mathrm{,}0\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 9\mathrm{,}8\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2=176\mathrm{,}4\mathrm{N}$, więc dziecko pozostanie na karuzeli po 5 s.

$$\begin{gathered} v=r\omega =2\mathrm{,}0t\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}\mathrm{,} \\ {a}_{\text{d}}=v^2\text{/}r={\left(2\mathrm{,}0t\right)}^2\mathrm{m}\text{/}1\mathrm{,}0{\mathrm{s}}^2=4\mathrm{,}0t^2\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2\mathrm{,} \\ {a}_{\text{s}}(t)=r\epsilon (t)=r\left(\mathrm{d}\omega \text{/}\mathrm{d}t\right)=2\mathrm{,}0\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2. \end{gathered}$$
Wykresy przyspieszenia dośrodkowego i stycznego

Przyspieszenie styczne jest stałe, podczas gdy przyspieszenie dośrodkowe zależy od czasu i wzrasta z upływem czasu do wartości znacznie większych niż przyspieszenie styczne po $t=1\mathrm{s}$. W okresach poniżej 0,7 s i zbliżających się do zera przyspieszenie dośrodkowe jest dużo mniejsze niż przyspieszenie styczne.

1. $E_k=2\mathrm{,}56\cdot {10}^{29}\mathrm{J}$;
2. $E_k=2\mathrm{,}68\cdot {10}^{33}\mathrm{J}$.

$E_k=434\mathrm{,}0\mathrm{J}$.

1. $v=86\mathrm{,}5\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$;
2. Prędkość kątowa śmigła jest stała i wynosi 20 obr/s.

$E_k=3\mathrm{,}95\cdot {10}^{42}\mathrm{J}$.

1. $I=0\mathrm{,}0315\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2$.
2. $E_k=621\mathrm{,}8\mathrm{J}$.

$I=\frac{7}{36}m{L}^2.$

$v=7\mathrm{,}14\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}.$

$\theta =10\mathrm{,}{2}^{\circ }.$

$F=30\mathrm{N}.$

1. $0\mathrm{,}85\mathrm{m}\cdot 55\mathrm{,}0\mathrm{N}=46\mathrm{,}75\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$;
2. Nie ma znaczenia, na jakiej wysokości naciskasz na drzwi.

$M=\frac{4\mathrm{,}9\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}}{9\mathrm{,}8\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2\cdot 0\mathrm{,}3\mathrm{m}}=1\mathrm{,}67\mathrm{k}\mathrm{g}.$

$M_{\text{wyp}}=-9\mathrm{,}0\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}+3\mathrm{,}46\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}-3\mathrm{,}28\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}=-8\mathrm{,}82\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}.$

$M=5\mathrm{,}66\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$

$\sum M=57\mathrm{,}82\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}.$

$\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}=4\mathrm{,}0\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\cdot \hat{i}+2\mathrm{,}0\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\cdot \hat{j}-16\mathrm{,}0\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\cdot \hat{k}.$

1. $M=0\mathrm{,}280\mathrm{m}\cdot 180\mathrm{,}0\mathrm{N}=50\mathrm{,}4\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$;
2. $\epsilon =17\mathrm{,}14\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2$;
3. $\epsilon =17\mathrm{,}04\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2$.

$M=8\mathrm{,}0\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}.$

$M=-43\mathrm{,}6\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}.$

1. $\epsilon =1\mathrm{,}4\cdot {10}^{-10}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2$;
2. $M=1\mathrm{,}36\cdot {10}^{28}\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$;
3. $F=2\mathrm{,}1\cdot {10}^{21}\mathrm{N}$.

$a=3\mathrm{,}6\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2.$

1. $a=r\epsilon =14\mathrm{,}7\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$;
2. $a=\left(L\text{/}2\right)\epsilon =\left(3\text{/}4\right)g$.

$M=\frac{P}{\omega }=\frac{2\mathrm{,}0\cdot {10}^6\mathrm{W}}{2\mathrm{,}1\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}}=9\mathrm{,}5\cdot {10}^5\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}.$

1. $E_{\text{k}}=888\mathrm{,}50\mathrm{J}$;
2. $\mathrm{\Delta }\theta =294\mathrm{,}6\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{r}$.

1. $I=114\mathrm{,}6\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2$;
2. $P=104\mathrm{,}700\mathrm{W}$.

$v=L\omega =\sqrt{3Lg}$

1. $a=5\mathrm{,}0\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$;
2. $W=1\mathrm{,}25\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$.

$\mathrm{\Delta }t=10\mathrm{,}0\mathrm{s}\mathrm{,}$

1. $\epsilon =0\mathrm{,}06\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2$;
2. $\theta =105\mathrm{,}0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$.

$s=405\mathrm{,}26\mathrm{m}$.

1. $I=0\mathrm{,}363\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2$;
2. $I=2\mathrm{,}34\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2$

$\omega =\sqrt{\frac{5\mathrm{,}36\mathrm{J}}{4\mathrm{,}4\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2}}=1\mathrm{,}10\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}.$

$F=23\mathrm{,}3\mathrm{N}.$

$\epsilon =\frac{190\mathrm{,}0\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}}{2\mathrm{,}94\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2}=64\mathrm{,}4\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}{\mathrm{s}}^2.$

1. $\omega =\left(2\mathrm{,}0t-1\mathrm{,}5t^2\right)\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}$;
2. $\theta =\left(t^2-0\mathrm{,}5t^3\right)\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$;
3. $\theta (10\mathrm{s})=-400\mathrm{,}0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$;
4. wektor wskazuje kąt $-0\mathrm{,}66\cdot {360}^{\circ }=-237\mathrm{,}{6}^{\circ }$.

$I=\frac{2}{5}m{R}^2$

1. $\omega =8\mathrm{,}2\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}$;
2. $\omega =8\mathrm{,}0\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\text{/}\mathrm{s}$.