Sprawdź, czy rozumiesz
- 40,0obr/s=2π⋅40,0rad/s, –ε=Δω/Δt=(2π⋅40,0rad/s−0rad/s)/(20,0s)=2π⋅2,0rad/s2=4,0πrad/s2;
- Ponieważ w ciągu pierwszych 20 s wzrost prędkości kątowej zależy liniowo od czasu, to chwilowe przyspieszenie kątowe w tym zakresie jest stałe, a jego wartość wynosi 4,0πrad/s2.
- Wyraźmy najpierw prędkość kątową w rad/s: 700obr/min=(7000,0⋅2πrad)/(60s)=7,33rad/s. Teraz możemy wyznaczyć wartość przyspieszenia kątowego ε=(733,0rad/s)/(10,0s)=73,3rad/s2.
- Korzystając z równań podanych w Tabeli 10.1 otrzymamy: ω2=ω0+2εΔθΔθ=(ω2−ω20)/(2ε)=[(0rad/s)2−(733,0rad/s)2]/(2⋅73,3rad/s2)=3665,2rad.
Wartość przyspieszenia kątowego wynosi:ε=(5,0rad/s−0rad/s)/(20,0s)=0,25rad/s2, stąd całkowity kąt, o jaki obróci się karuzela z chłopcem, wynosi: Δθ=(ω2−ω20)/2ε=[(5,0rad/s)2−(0rad/s)2]/(2⋅0,25rad/s2)=50rad. Droga, jaką przebędzie chłopiec hest równa s=rΔθ=5,0m⋅50rad=250m.
Początkowa energia kinetyczna ruchu obrotowego śruby była równa: Kpocz=12Iω2=12⋅800,0kg⋅m2⋅(4,0obr/s⋅2πrad/obr)2=2,53⋅105J.
W chwili t=5s energia kinetyczna ruchu obrotowego śruby była mniejsza o 50 000 J i wynosiła:
Kkońc=2,03⋅105J,
a stąd wyliczona prędkość kątowa
ω=√2⋅2,03⋅105J800,0kg⋅m2=22,54rad/s,
czyli 3,58 obr/s.
Kąt pomiędzy wektorem położenia punktu A i zastosowaną siłą wynosi 80∘. Ramię przyłożonej siły: r⊥=100m⋅sin80∘=98,5m.
Iloczyn wektorowy →M=→r×→F jest ujemny i powoduje obrót w prawo (zgodnie ze wskazówkami zegara).
Jego wartość wynosi M=−r⊥F=−98,5m⋅5,0⋅105N=−4,9⋅107N⋅m.
- Przyspieszenie kątowe jest równe ε=(20,0obr/s⋅2πrad/obr)/(10,0s)=12,56rad/s2, stąd całkowity moment siły M=Iε=30,0kg⋅m2⋅12,56rad/s2=376,8N⋅m.
- Przyspieszenie kątowe jest równe: ε=(20,0obr/s⋅2πrad/obr)/(20,0s)=6,28rad/s2, stąd całkowity moment siły M=Iε=30,0kg⋅m2⋅6,28rad/s2=188,5N⋅m.
Pytania
Zgodnie z regułą prawej dłoni, kierunek prędkości kątowej jej ruchu jest prostopadły do ściany i zwrócony w stronę ściany.
Wszystkie punkty na kiju mają taką samą prędkość kątową. Punkty dalej położone mają większą prędkość styczną.
a. Zmniejszy się, jeżeli za jego moment bezwładności rozumiemy sumę momentów człowieka i dysku. Jeżeli pytamy tylko o moment bezwładności samego człowieka, to pozostanie bez zmiany.
b. Ramiona można przybliżyć prętami, a dysk krążkiem. Tułów znajduje się w pobliżu osi obrotu, więc nie ma istotnego wkładu w moment bezwładności.
Ponieważ moment bezwładności zmienia się z kwadratem odległości od osi obrotu. Masa pręta usytuowanego w odległości większej niż L/2 zapewnia większy wkład do jego momentu bezwładności niż masa w punkcie L/2.
Wartość siły, długość ramienia siły oraz kąt pomiędzy wektorem siły, a wektorem położenia punktu przyłożenia siły.
Jeśli siły leżą wzdłuż osi obrotu lub jeśli mają takie same ramię siły (są przyłożone w tym samym punkcie pręta).
Zadania
Czas potrzebny do zatrzymania śmigła wynosi Δt=Δω/ε=(0rad/s−2π⋅10,0rad/s)/(−2,0rad/s2)=31,4s. Tak więc po 40 sekundach prędkość kątowa śmigła będzie wynosiła 0 rad/s.
- ε=−0,314rad/s2;
- ad=197,4m/s2;
- a=√a2d+a2s=√(197,4m/s2)2+(−6,28m/s2)2=197,5m/s2, θ=arctg(−6,28197,4)=−1,8∘.
Siła odśrodkowa Fod=30kg⋅(3,77m/s)2/3m=142,1N, ma=40,0kg⋅5,1m/s2=204,0N. Maksymalna siła tarcia statycznego μsN=0,6⋅30,0kg⋅9,8m/s2=176,4N, więc dziecko pozostanie na karuzeli po 5 s.
v=rω=2,0tm/s,ad=v2/r=(2,0t)2m/1,0s2=4,0t2m/s2,as(t)=rε(t)=r(dω/dt)=2,0m/s2.
Wykresy przyspieszenia dośrodkowego i stycznego
Przyspieszenie styczne jest stałe, podczas gdy przyspieszenie dośrodkowe zależy od czasu i wzrasta z upływem czasu do wartości znacznie większych niż przyspieszenie styczne po t=1s. W okresach poniżej 0,7 s i zbliżających się do zera przyspieszenie dośrodkowe jest dużo mniejsze niż przyspieszenie styczne.