William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Rozdział 10

Sprawdź, czy rozumiesz

10.1

$40,0 obr/s = 2 π \cdot 40,0 rad/s$ , $\overset{–}{ε} = Δ ω / Δ t = (2 π \cdot 40,0 rad/s - 0 rad/s) / (20,0 s) = 2 π \cdot 2,0 {rad/s}^{2} = 4,0 π rad/ s^{2}$ ;
Ponieważ w ciągu pierwszych 20 s wzrost prędkości kątowej zależy liniowo od czasu, to chwilowe przyspieszenie kątowe w tym zakresie jest stałe, a jego wartość wynosi $4, 0 π r a d / s^{2}$ .

10.2

Wyraźmy najpierw prędkość kątową w rad/s: $700 o b r / m i n = (7000, 0 \cdot 2 π r a d) / (60 s) = 7, 33 r a d / s$ . Teraz możemy wyznaczyć wartość przyspieszenia kątowego $ε = (733, 0 r a d / s) / (10, 0 s) = 73, 3 r a d / s^{2}$ .
Korzystając z równań podanych w Tabeli 10.1 otrzymamy: $ω^{2} = ω_{0} + 2 ε Δ θ$ $Δ θ = (ω^{2} - ω_{0}^{2}) / (2 ε) = [{(0 r a d / s)}^{2} - {(733, 0 r a d / s)}^{2}] / (2 \cdot 73, 3 r a d / s^{2}) = 3665, 2 r a d$ .

10.3

Wartość przyspieszenia kątowego wynosi: $ε = (5, 0 r a d / s - 0 r a d / s) / (20, 0 s) = 0, 25 r a d / s^{2}$ , stąd całkowity kąt, o jaki obróci się karuzela z chłopcem, wynosi: $Δ θ = (ω^{2} - ω_{0}^{2}) / 2 ε = [{(5, 0 r a d / s)}^{2} - {(0 r a d / s)}^{2}] / (2 \cdot 0, 25 r a d / s^{2}) = 50 r a d$ . Droga, jaką przebędzie chłopiec hest równa $s = r Δ θ = 5, 0 m \cdot 50 r a d = 250 m$ .

10.4

Początkowa energia kinetyczna ruchu obrotowego śruby była równa: $K_{pocz} = \frac{1}{2} I ω^{2} = \frac{1}{2} \cdot 800, 0 k g \cdot m^{2} \cdot {(4, 0 o b r / s \cdot 2 π r a d / o b r)}^{2} = 2, 53 \cdot 10^{5} J$ .
W chwili $t = 5 s$ energia kinetyczna ruchu obrotowego śruby była mniejsza o 50 000 J i wynosiła:
$K_{końc} = 2, 03 \cdot 10^{5} J$ ,
a stąd wyliczona prędkość kątowa
$ω = \sqrt{\frac{2 \cdot 2, 03 \cdot 10^{5} J}{800, 0 k g \cdot m^{2}}} = 22, 54 r a d / s,$
czyli 3,58 obr/s.

10.5

$I_{oś równoległa} = I_{środek masy} + m d^{2} = m R^{2} + m R^{2} = 2 m R^{2}$

10.6

Kąt pomiędzy wektorem położenia punktu $A$ i zastosowaną siłą wynosi $80^{\circ}$ . Ramię przyłożonej siły: $r_{⊥} = 100 m \cdot \sin 80^{\circ} = 98, 5 m$ .

Iloczyn wektorowy $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ jest ujemny i powoduje obrót w prawo (zgodnie ze wskazówkami zegara).

Jego wartość wynosi $M = - r_{⊥} F = - 98, 5 m \cdot 5, 0 \cdot 10^{5} N = - 4, 9 \cdot 10^{7} N \cdot m$ .

10.7

Przyspieszenie kątowe jest równe $ε = (20, 0 o b r / s \cdot 2 π r a d / o b r) / (10, 0 s) = 12, 56 r a d / s^{2}$ , stąd całkowity moment siły $M = I ε = 30, 0 k g \cdot m^{2} \cdot 12, 56 r a d / s^{2} = 376, 8 N \cdot m$ .
Przyspieszenie kątowe jest równe: $ε = (20, 0 o b r / s \cdot 2 π r a d / o b r) / (20, 0 s) = 6, 28 r a d / s^{2}$ , stąd całkowity moment siły $M = I ε = 30, 0 k g \cdot m^{2} \cdot 6, 28 r a d / s^{2} = 188, 5 N \cdot m$ .

10.8

3 MW.

Pytania

1.

Zgodnie z regułą prawej dłoni, kierunek prędkości kątowej jej ruchu jest prostopadły do ściany i zwrócony w stronę ściany.

3.

Wszystkie punkty na kiju mają taką samą prędkość kątową. Punkty dalej położone mają większą prędkość styczną.

5.

Linia prosta, zależność liniowa w funkcji czasu.

7.

Stałą.

9.

Ponieważ wektor przyspieszenia odśrodkowego jest prostopadły do wektora prędkości.

11.

Obu.
Tylko przyspieszenia kątowego.
Obu.

13.

Sfera, ponieważ jej masa jest rozłożona dalej od osi obrotu.

15.

a. Zmniejszy się, jeżeli za jego moment bezwładności rozumiemy sumę momentów człowieka i dysku. Jeżeli pytamy tylko o moment bezwładności samego człowieka, to pozostanie bez zmiany.

b. Ramiona można przybliżyć prętami, a dysk krążkiem. Tułów znajduje się w pobliżu osi obrotu, więc nie ma istotnego wkładu w moment bezwładności.

17.

Ponieważ moment bezwładności zmienia się z kwadratem odległości od osi obrotu. Masa pręta usytuowanego w odległości większej niż $L / 2$ zapewnia większy wkład do jego momentu bezwładności niż masa w punkcie $L / 2$ .

19.

Wartość siły, długość ramienia siły oraz kąt pomiędzy wektorem siły, a wektorem położenia punktu przyłożenia siły.

21.

Moment bezwładności kół jest mniejszy, zatem ten sam moment sił daje większe przyspieszenie.

23.

Tak.

25.

Wartość $| \vec{r} |$ może być równa ramieniu siły, ale nigdy nie może być mniejsza niż ramię siły.

27.

Jeśli siły leżą wzdłuż osi obrotu lub jeśli mają takie same ramię siły (są przyłożone w tym samym punkcie pręta).

Zadania

29.

$ω = (2 π r a d) / (45, 0 s) = 0, 14 r a d / s .$

31.

$θ = s / r = (3, 0 m) / (1, 5 m) = 2, 0 r a d$ ;
$ω = θ / t = (2, 0 r a d) / (1, 0 s) = 2, 0 r a d / s$ ;
$ε = v^{2} / r = {(3, 0 m / s)}^{2} / (1, 5 m) = 6, 0 m / s^{2}$

33.

Czas potrzebny do zatrzymania śmigła wynosi $Δ t = Δ ω / ε = (0 r a d / s - 2 π \cdot 10, 0 r a d / s) / (- 2, 0 r a d / s^{2}) = 31, 4 s$ . Tak więc po 40 sekundach prędkość kątowa śmigła będzie wynosiła 0 rad/s.

35.

$ω = 25, 0 \cdot 2, 0 r a d / s = 50, 0 r a d / s$ ;
$ε = d ω / d t = 25, 0 r a d / s^{2}$ .

37.

$ω = 54, 8 r a d / s$ ;
$t = 11, 0 s$ .

39.

$0, 87 r a d / s^{2}$ ;
$θ = 12 560 r a d$

41.

$ω = 42, 0 r a d / s$ ;
$θ = 200 r a d$ ;
$v = 42 m / s$ , $a_{s} = 4, 0 m / s^{2}$

43.

$ω = 7, 0 r a d / s$
$θ = 22, 5 r a d$
$a_{s} = 0, 1 m / s^{2}$

45.

$ε = 28, 6 r a d / s^{2}$ .

47.

$r = 0, 78 m .$

49.

$ε = - 0, 314 r a d / s^{2}$ ;
$a_{d} = 197, 4 m / s^{2}$ ;
$a = \sqrt{a_{d}^{2} + a_{s}^{2}} = \sqrt{{(197, 4 m / s^{2})}^{2} + {(- 6, 28 m / s^{2})}^{2}} = 197, 5 m / s^{2}$ , $θ = arctg (\frac{- 6, 28}{197, 4}) = - 1, 8^{\circ}$ .

51.

Siła odśrodkowa $F_{od} = 30 k g \cdot {(3, 77 m / s)}^{2} / 3 m = 142, 1 N$ , $m a = 40, 0 k g \cdot 5, 1 m / s^{2} = 204, 0 N$ . Maksymalna siła tarcia statycznego $μ_{s} N = 0, 6 \cdot 30, 0 k g \cdot 9, 8 m / s^{2} = 176, 4 N$ , więc dziecko pozostanie na karuzeli po 5 s.

53.

$v = r ω = 2, 0 t m / s, a_{d} = v^{2} / r = {(2, 0 t)}^{2} m / 1, 0 s^{2} = 4, 0 t^{2} m / s^{2}, a_{s} (t) = r ε (t) = r (d ω / d t) = 2, 0 m / s^{2} .$
Wykresy przyspieszenia dośrodkowego i stycznego

Przyspieszenie styczne jest stałe, podczas gdy przyspieszenie dośrodkowe zależy od czasu i wzrasta z upływem czasu do wartości znacznie większych niż przyspieszenie styczne po $t = 1 s$ . W okresach poniżej 0,7 s i zbliżających się do zera przyspieszenie dośrodkowe jest dużo mniejsze niż przyspieszenie styczne.