Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 110.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać sens fizyczny zmiennych obrotowych w zastosowaniu do obrotu wokół stałej osi;
  • wyjaśniać, jak prędkość kątowa jest związana z prędkością styczną;
  • obliczać, znając zależność od czasu położenia kątowego, chwilową prędkość kątową w dowolnej chwili;
  • wyznaczać prędkość kątową i przyspieszenie kątowe obracającego się ciała;
  • obliczać średnie przyspieszenie kątowe, gdy prędkość kątowa się zmienia;
  • obliczać chwilowe przyspieszenie kątowe, znając zależność prędkości kątowej od czasu.

Do tej pory zajmowaliśmy się głównie analizą ruchu postępowego. Zmienne opisujące ruch postępowy to: przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie. Teraz rozszerzymy nasz opis ruchu na ruch obrotowy wokół stałej osi. Zobaczymy, że ruch obrotowy jest opisany przez zestaw powiązanych ze sobą zmiennych, podobnych do tych, które wykorzystaliśmy do opisu ruchu postępowego.

Prędkość kątowa

Jednostajny ruch po okręgu (omówiony wcześniej w rozdziale Ruch w dwóch i trzech wymiarach) jest ruchem po okręgu ze stałą wartością prędkości (szybkością). Chociaż jest to najprostszy przypadek ruchu obrotowego, jest on bardzo przydatny w wielu sytuacjach. Użyjemy go, aby wprowadzić zmienne obrotowe.

Rysunek 10.2 przedstawia cząstkę poruszającą się po okręgu. Układ współrzędnych jest stały i służy jako punkt odniesienia do określenia położenia cząstki. Wektor położenia cząstki (wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych i kończący się w miejscu znajdowania się cząstki) tworzy kąt θθ z osią xx, który rośnie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, gdy cząstka przesuwa się po okręgu. Kąt θθ nazywamy położeniem kątowym (ang. angular position) cząstki. W miarę przesuwania się cząstki po okręgu zakreśla ona łuk o długości ss.

Rysunek przedstawia wykres cząstki poruszającej się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Wektor r od środka układu współrzędnych do punktu s na drodze cząstki tworzy kąt theta z osią X.
Rysunek 10.2 Cząstka porusza się po okręgu w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara, zakreślając łuk o długości s s . Jej wektor położenia tworzy dodatni kąt θ θ z osią x x .

Związek pomiędzy wartością kąta θθ a promieniem okręgu i długością łuku wyraża się wzorem:

θ=sr.θ=sr.
10.1

Kąt θθ, kątowe położenie cząstki, mierzony jest w radianach (rad). Kąt 2π2π radianów odpowiada w mierze łukowej kątowi 360360. Należy zauważyć, że kąt wyrażony w radianach jest ilorazem dwóch długości, a zatem jest wielkością bezwymiarową. Gdy cząstka porusza się po okręgu, jej położenie kątowe zmienia się, powodując zmianę kąta o wartość Δθ.Δθ.

Kątowi θθ możemy przypisać wektor θθ. Wektor θθ jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny xyxy na Rysunku 10.3. Wektory położenia rr i długości łuku ss leżą w płaszczyźnie xyxy. Te trzy wektory związane są relacją:

s = θ × r . s = θ × r .
10.2

Oznacza to, że wektor długości łuku jest iloczynem wektorowym wektora kąta i wektora położenia, tak jak to pokazano na Rysunku 10.3.

Rysunek układu współrzędnych XYZ z trzema wektorami. Wektor Theta skierowany jest ku dodatniej osi Z. Wektor s znajduje się na płaszczyźnie XY. Wektor r jest skierowany od środka układu do początku wektora s.
Rysunek 10.3 Wektor kąta skierowany jest wzdłuż osi z z , a wektory położenia i długości łuku leżą w płaszczyźnie x y x y . Widzimy, że s = θ × r s = θ × r . Wszystkie trzy wektory są wzajemnie do siebie prostopadłe.

Wartość wektora prędkości kątowej (ang. angular velocity), oznaczona jako ωω, jest szybkością zmian kąta θθ, gdy cząstka porusza się po łuku. Chwilowa wartość prędkości kątowej (ang. instantaneous angular velocity) jest definiowana jako granica, przy Δt0Δt0, średniej prędkości kątowej ω=Δθ/Δtω=Δθ/Δt:

ω = lim Δ t 0 Δ θ Δ t = d θ d t , ω= lim Δ t 0 Δ θ Δ t = d θ d t ,
10.3

gdzie θθ jest kątem obrotu (Rysunek 10.3). Jednostką prędkości kątowej jest radian na sekundę (rad/s). Prędkość kątową możemy w prosty sposób powiązać z częstotliwością ff (zwaną też prędkością obrotową), wyrażaną w obrotach na sekundę (obr/s). Aby wyznaczyć prędkość kątową, musimy pomnożyć liczbę obrotów na sekundę przez 2π2π, ponieważ jeden pełny obrót oznacza przemieszczenie kątowe równe 2π2π radianów:

ω = 2πf . ω = 2πf .
10.4

Położenie kątowe w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara będziemy uważali za dodatnie, a położenie kątowe w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara za ujemne.

Związek pomiędzy prędkością kątową a prędkością liniową w ruchu po okręgu możemy wyznaczyć poprzez zróżniczkowanie po czasie równania na przesunięcie kątowe (Równanie 10.1). Zapiszmy to równanie w postaci:

s = r θ . s = r θ .

Obliczając pochodną po czasie i uwzględniając, że promień okręgu jest wielkością stałą, otrzymujemy:

d s d t = d d t ( r θ ) = θ d r d t + r d θ d t = r d θ d t d s d t = d d t ( r θ ) =θ d r d t +r d θ d t =r d θ d t

gdzie θ(dr/dt)=0θ(dr/dt)=0. W powyższym równaniu ds/dtds/dt jest właśnie prędkością liniową vv cząstki w ruchu po okręgu, przedstawionej na Rysunku 10.3 skierowaną zgodnie z kierunkiem wektora s s . W ten sposób, stosując równanie na prędkość kątową (Równanie 10.3) otrzymujemy:

v = r ω . v = r ω .
10.5

Zatem prędkość liniowa cząstki w ruchu po okręgu jest iloczynem prędkości kątowej i promienia okręgu. Z równania tego wynika, że przy stałej prędkości kątowej, prędkość liniowa cząstki wzrasta wraz z odległością od osi obrotu. Efekt ten ilustruje Rysunek 10.4. Na obracającej się ze stałą prędkością kątową tarczy umieszczono, w różnych odległościach od osi obrotu, dwie cząstki. Gdy tarcza się obraca, prędkość cząstek wzrasta liniowo wraz ze wzrostem odległości od osi obrotu. Na podstawie Rysunku 10.4 możemy stwierdzić, że: v1=r1ω1v1=r1ω1 oraz v2=r2ω2v2=r2ω2. Ponieważ prędkości kątowe wszystkich punktów tarczy są jednakowe (ω1=ω2ω1=ω2), to otrzymamy v1/r1=v2/r2v1/r1=v2/r2, czyli v2=(r2/r1)v1v2=(r2/r1)v1. Ponieważ r2>r1r2>r1, to v2>v1v2>v1, innymi słowy prędkość liniowa jest wprost proporcjonalna do promienia.

Rysunek pokazuje dwie cząstki na obracającej się tarczy. Cząstka 1 znajduje się w odległości r1 od osi obrotu i porusza się z prędkością v1. Cząstka 2 znajduje się w odległości r2 od osi obrotu i porusza się z prędkością v2.
Rysunek 10.4 Dwie cząstki umieszczone na obracającej się tarczy mają różne prędkości, w zależności od ich odległości od osi obrotu.

Do tej pory używaliśmy wartości prędkości kątowej ω=dθ/dtω=dθ/dt, która to wielkość jest wielkością skalarną – jest to zmiana położenia kątowego w zależności od czasu. Wektor ωω jest wektorem związanym z prędkością kątową i jest skierowany wzdłuż osi obrotu. Przydaje się, gdy opisujemy ruch obrotowy ciała sztywnego, bo wówczas chcemy znać zarówno położenie osi obrotu, jak i kierunek, w którym nasze ciało obraca się wokół tej osi – zgodnie ze wskazówkami zegara, czy też przeciwnie do ich ruchu. Prędkość kątowa przedstawiona jako wektor daje nam te informacje. Kierunek wektora prędkości kątowej ωω jest określany przez tak zwaną regułę prawej dłoni (ang. right-hand rule). Mówi ona, że jeżeli palce prawej dłoni zgięte są w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od osi xx do osi yy (w kierunku, w którym wzrasta θθ), to odgięty kciuk wskazuje kierunek dodatniej części osi zz (Rysunek 10.5). Wektor prędkości kątowej ωω skierowany zgodnie z kierunkiem osi zz wskazuje na obroty w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, podczas gdy wektor prędkości kątowej ωω skierowany przeciwnie do kierunku osi zz wskazuje na obroty zgodne z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Rysunek jest wykresem pokazującym układ współrzędnych XYZ z obrotem przeciwnym do ruchu wskazówek zegara na płaszczyźnie XY. Prędkość kątowa wskazuje w dodatnim kierunku osi Z.
Rysunek 10.5 Ilustracja zastosowania reguły prawej dłoni w przypadku obrotów w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Zgodnie z regułą prawej dłoni, wektor prędkości kątowej skierowany jest w kierunku zgodnym z kierunkiem osi z z .

Można udowodnić, że wektor prędkości stycznej równy jest

v = ω × r . v = ω × r .

Czyli prędkość styczna jest iloczynem wektorowym prędkości kątowej i wektora położenia, tak jak to pokazano na Rysunku 10.6. Część (a) rysunku przedstawia sytuację, w której wektor prędkości kątowej skierowany jest zgodnie z kierunkiem osi zz, co oznacza, że ruch odbywa się w płaszczyźnie xyxy przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara. W części (b) wektor prędkości kątowej skierowany jest przeciwnie do kierunku osi zz, co oznacza, że obrót odbywa się w płaszczyźnie xyxy, w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Rysunek A w układzie współrzędnych XYZ pokazuje trzy wektory. Wektor Omega wskazuje w kierunku dodatnim osi Z. Wektor v znajduje się w płaszczyźnie. Wektor r jest skierowany od środka układu do początku wektora v. Rysunek B w układzie współrzędnych XYZ pokazuje trzy wektory. Wektor Omega wskazuje ku ujemnej części osi Z. Wektor v znajduje się w płaszczyźnie XY. Wektor r jest skierowany od środka układu do początku wektora v.
Rysunek 10.6 Wektory na rysunku przedstawiają prędkość kątową, wektor położenia oraz wektor prędkości liniowej. (a) Wektor prędkości kątowej skierowany jest zgodnie z kierunkiem osi z z , co oznacza obrót w płaszczyźnie x y x y w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu wskazówek zegara. (b) Wektor prędkości kątowej skierowany jest w kierunku przeciwnym do kierunku osi z z , wskazując na obrót w płaszczyźnie x y x y w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Przykład 10.1

Obroty koła zamachowego

Koło zamachowe leżące w płaszczyźnie kartki obraca się tak, że położenie kątowe danego punktu koła zmienia się zgodnie z zależnością θ=ωt=45,0rad/stθ=ωt=45,0rad/st. Koło obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Odpowiedz na następujące pytania:
  1. Jaka jest prędkość kątowa koła zamachowego?
  2. Jaki jest kierunek wektora prędkości kątowej?
  3. O ile radianów obróci się to koło zamachowe w ciągu 30 s?
  4. Jaka jest prędkość liniowa punktu koła położonego w odległości 10 cm od osi obrotu?

Strategia rozwiązania

Zależność położenia kątowego od czasu opisana jest równaniem θ(t)=ωtθ(t)=ωt. Aby wyznaczyć wartość prędkości kątowej, należy wyliczyć pierwszą pochodną θθ po czasie. Następnie należy przy pomocy reguły prawej dłoni wyznaczyć kierunek (zwrot) wektora prędkości kątowej. Aby wyznaczyć przemieszczenie kątowe koła zamachowego w czasie 30 s, wystarczy wyznaczyć ΔθΔθ dla zmiany położenia kątowego od chwili początkowej 0 do upływu 30 s. Aby wyznaczyć prędkość styczną dla punktu położonego w pewnej odległości od osi obrotu, mnożymy tę odległość przez prędkość kątową koła zamachowego.

Rozwiązanie

  1. ω=dθ/dt=45rad/sω=dθ/dt=45rad/s. Widzimy, że prędkość kątowa jest stała.
  2. Stosując regułę prawej dłoni zginamy palce w kierunku obrotu koła, tj. w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara w płaszczyźnie kartki. Wówczas odchylony kciuk wskaże nam kierunek wektora prędkości kątowej. Będzie on prostopadły do płaszczyzny strony i skierowany przed kartkę.
  3. Δ θ = θ ( 30 s ) θ ( 0 s ) = 45 , 0 r a d / s 30 , 0 s 45 , 0 r a d / s 0 s = 1350 , 0 r a d Δ θ=θ(30 s )θ(0 s )=45,0 r a d / s 30,0 s 45,0 r a d / s 0 s =1350,0 r a d
  4. v = r ω = 0 , 1 m 45 , 0 r a d / s = 4 , 5 m / s v=rω=0,1 m 45,0 r a d / s =4,5 m / s

Znaczenie

Jeżeli podzielimy otrzymane przemieszczenie kątowe przez 2π2π, to przekonamy się, że w ciągu 30 sekund koło zamachowe wykonało aż 215 obrotów. Masywne koło zamachowe może służyć do magazynowania energii, jeśli zminimalizuje się straty z powodu tarcia. Trwają badania nad zastosowaniem nadprzewodzących łożysk (ang. superconducting bearings), które pozwoliłyby kołu zamachowemu obracać się bez tarcia.

Przyspieszenie kątowe

Właśnie omówiliśmy prędkość kątową dla ruchu jednostajnego po okręgu, ale nie wszystkie ruchy są jednostajne. Wyobraźmy sobie łyżwiarza wirującego z wyciągniętymi rękami – jeśli przyciągnie ręce do siebie, jego prędkość kątowa wzrośnie – lub wirujący dysk twardy komputera, zwalniający aż do zatrzymania po wyłączeniu. Omówimy tę sytuację w dalszych podrozdziałach, ale widzimy już potrzebę zdefiniowania przyspieszenia kątowego do opisu sytuacji, w których zmienia się ωω. Im szybciej zmienia się ωω, tym większe jest przyspieszenie kątowe. Zdefiniujmy chwilowe przyspieszenie kątowe (ang. instantaneous angular acceleration) jako pochodną prędkości kątowej po czasie:

ε = lim Δ t 0 Δ ω Δ t = d ω d t = d 2 θ d t 2 , ε= lim Δ t 0 Δ ω Δ t = d ω d t = d 2 θ d t 2 ,
10.6

tj. granicę średniego przyspieszenia kątowego przy ΔtΔt dążącym do zera, ε=Δω/Δtε=Δω/Δt, gdy Δt0Δt0.

Jednostką przyspieszenia kątowego jest (rad/s)/s czyli rad/s2rad/s2.

W podobny sposób, w jaki zdefiniowaliśmy wektor prędkości kątowej ωω, możemy teraz zdefiniować wektor przyspieszenia kątowego εε (Rysunek 10.7). Jego długością jest wartość bezwzględna przyspieszenia kątowego εε, zdefiniowana powyższym równaniem (Równanie 10.6). Jeżeli wektor prędkości kątowej ωω jest skierowany wzdłuż osi +z+z, tak jak to pokazano na Rysunku 10.7, a dω/dtdω/dt ma wartość dodatnią, wówczas przyspieszenie kątowe εε jest dodatnie i skierowane zgodnie z kierunkiem osi +z+z. Podobnie, jeżeli wektor prędkości kątowej ωω jest skierowany zgodnie z osią +z+z, a dω/dtdω/dt jest ujemne, wówczas przyspieszenie kątowe jest ujemne, a wektor εε skierowany jest w kierunku przeciwnym do osi +z+z.

Rysunek A przedstawia obroty w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. przyspieszenie kątowe jest skierowane w tę samą stronę co prędkość kątowa. Napis nad rysunkiem głosi, że prędkość kątowa rośnie. Rysunek B pokazuje obroty w kierunku przeciwnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. przyspieszenie kątowe jest skierowane ku dodatniemu kierunkowi prędkości kątowej. Napis nad rysunkiem głosi, że prędkość kątowa maleje.
Rysunek 10.7 Rysunki (a) oraz (b) przedstawiają obroty w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. (a) Wektory przyspieszenia kątowego i prędkości kątowej mają ten sam kierunek i zwrot, co oznacza wzrost wartości prędkości kątowej. (b) Wektor przyspieszenia kątowego jest skierowany przeciwnie do wektora prędkości kątowej, więc wartość prędkości kątowej maleje.

Wektor przyspieszenia stycznego możemy wyrazić jako iloczyn wektorowy wektora przyspieszenia kątowego i wektora położenia. Wyrażenie to możemy otrzymać poprzez zróżniczkowanie wyrażenia v=ω×rv=ω×r (wykonanie tego pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie). Otrzymamy wówczas:

a s = ε × r . a s = ε × r .
10.7

Zależność pomiędzy przyspieszeniem stycznym a kątowym przedstawia Rysunek 10.8.

Wyrażenie na przyspieszenie styczne punktu obracającego się ciała można otrzymać podobnie, jak uzyskaliśmy zależność pomiędzy prędkością styczną a prędkością kątową. Jeżeli zróżniczkujemy po czasie Równanie 10.7 – pamiętając, że rr ma stałą wartość – otrzymamy:

a s = r ε . a s = r ε .
10.8

Tak więc wartość przyspieszenia stycznego atat jest równa iloczynowi promienia i przyspieszenia kątowego. Równania na prędkość i przyspieszenie styczne są ważne przy opisywaniu ruchu toczących się ciał (patrz podrozdział Moment pędu). Zastosujmy te pojęcia do analizy kilku prostych scenariuszy obrotu wokół stałej osi. Zanim to zrobimy, przedstawimy strategię rozwiązywania zadań, która przyda się do opisu kinematyki ruchu obrotowego.

Rysunek przedstawia układ współrzędnych XYZ z trzema wektorami. Wektor Alfa wskazuje w kierunku dodatniej części osi Z. Wektor a znajduje się w płaszczyźnie XY. Wektor r jest skierowany od środka układu do początku wektora a. Rysunek B jest w układzie współrzędnych XYZ i pokazuje trzy wektory. Wektor Alpha wskazuje w stronę ujemnej części osi Z. Wektor a znajduje się w płaszczyźnie XY. Wektor r skierowany od środka układu ku początkowi wektora a.
Rysunek 10.8 (a) Przyspieszenie kątowe skierowane jest w kierunku dodatnim osi z z dając przyspieszenie styczne w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. (b) Przyspieszenie kątowe jest skierowane w kierunku ujemnym osi z z dając przyspieszenie styczne w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Strategia rozwiązywania zadań: kinematyka ruchu obrotowego

  1. Sprawdź, czy opisana sytuacja dotyczy ruchu obrotowego.
  2. Określ dokładnie, co należy wyznaczyć w zadaniu (zidentyfikuj niewiadome). Warto wykonać szkic sytuacyjny.
  3. Wypisz w punktach, co zostało podane w zadaniu lub co można wywnioskować z treści zadania (zidentyfikuj dane).
  4. Rozwiąż odpowiednie równanie lub układ równań w celu wyznaczenia niewiadomych. Ponieważ znasz już równania ruchu postępowego, spróbuj myśleć w kategoriach analogicznych do ruchu postępowego.
  5. Wstaw do otrzymanych równań dane wraz z ich jednostkami i wylicz wartości niewiadomych. Pamiętaj, aby kąt wyrazić w radianach.
  6. Zadaj sobie pytanie, czy uzyskane rozwiązanie jest rozsądne, czy ma sens.

Zastosujmy teraz powyższą strategię rozwiązywania zadań do analizy kilku konkretnych przykładów.

Przykład 10.2

Wirujące koło rowerowe

Mechanik rowerowy umieszcza rower w stojaku do naprawy rowerów i zaczyna obracać tylne koło. W czasie 5,00 s od początku ruchu osiąga ono prędkość obrotową (częstotliwość obrotów) wynoszącą 250 obrotów na minutę.
  1. Wyznacz w rad/s2rad/s2 średnie przyspieszenie kątowe.
  2. Po jakim czasie koło się zatrzyma, jeżeli mechanik wciśnie hamulec, wytwarzając przyspieszenie kątowe 87,3rad/s287,3rad/s2?

Strategia rozwiązania

Wartość średnia przyspieszenia kątowego ε=Δω/Δtε=Δω/Δt może być wyznaczona bezpośrednio z jej definicji, ponieważ dane są początkowa i końcowa częstotliwość oraz czas ruchu. Widzimy, że Δt=5,00sΔt=5,00s, a Δf=fkoncfpocz=250obr/minΔf=fkoncfpocz=250obr/min, a znamy związek częstotliwości z prędkością kątową ω = 2πf ω = 2πf . W przypadku (b) znamy przyspieszenie kątowe oraz początkową częstotliwość. Możemy określić czas potrzebny na zatrzymanie koła z definicji przyspieszenia kątowego, wyznaczając z niej ΔtΔt. Otrzymamy:
Δ t = Δ ω / ε . Δ t= Δ ω / ε.

Rozwiązanie

  1. Aby skorzystać z definicji średniego przyspieszenia kątowego ε=Δω/Δtε=Δω/Δt należy wyznaczyć wartość ΔωΔω z ΔfΔf

    Δω= ωkoncωpocz=2π (fkoncfpocz)=2πradobr250obrmin1min60s=26,2rads.Δω=ωkoncωpocz=2π(fkoncfpocz)=2πradobr250obrmin1min60s=26,2rads.

    Wstawiając tę wielkość do równania na εε otrzymamy:

    ε=ΔωΔt=26,2rad/s5,00s=5,24rad/s2.ε=ΔωΔt=26,2rad/s5,00s=5,24rad/s2.
  2. Teraz prędkość kątowa maleje od wartości 26,2 rad/s do zera, czyli Δω=26,2rad/sΔω=26,2rad/s, a z danych zadania ε=87,3rad/s2ε=87,3rad/s2. Zatem,

    Δt=26,2rad/s87,3rad/s=0,300s.Δt=26,2rad/s87,3rad/s=0,300s.

Znaczenie

Należy zauważyć, że gdy mechanik obraca koło, przyspieszenie kątowe jest małe i dodatnie; potrzeba 5 sekund do osiągnięcia znacznej prędkości kątowej. Kiedy wciśnie on hamulec, przyspieszenie kątowe jest duże i ujemne. Prędkość kątowa szybko maleje do zera.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.1

Łopatki wentylatora w lotniczym silniku turbowentylatorowym (na zdjęciu poniżej) przyspieszane są w ciągu 20 s od spoczynku do prędkości obrotowej 40,0 obr/s. Jej wzrost jest stały w czasie. (Silnik turbowentylatorowy GE90-115B montowany w Boeingu 777, jak pokazano na zdjęciu, jest obecnie największym silnikiem turbowentylatorowym na świecie, o sile ciągu osiągającej 510 kN).

  1. Jaka jest wartość średniego przyspieszenia kątowego?
  2. Jaka jest wartość chwilowego przyspieszenia kątowego w dowolnej chwili w ciągu pierwszych 20 s?
Zdjęcie turbiny powietrznej pod skrzydłem samolotu.
Rysunek 10.9 (Źródło: “Bubinator”/ Wikimedia Commons)

Przykład 10.3

Turbina wiatrowa

Turbina wiatrowa (Rysunek 10.10) na farmie wiatrowej jest wyłączana w celu wykonania konserwacji. Potrzeba 30 s, aby wirnik turbiny zwolnił od roboczej prędkości kątowej do pełnego zatrzymania. W czasie zatrzymywania jego prędkość kątowa maleje z czasem, zgodnie z zależnością ω(t)=[(t30,0)2/100,0]rad/sω(t)=[(t30,0)2/100,0]rad/s. Jeśli turbina obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, patrząc w kierunku kartki, to:
  1. jaki jest kierunek wektora prędkości kątowej i wektora przyspieszenia?
  2. Jaka jest wartość średniego przyspieszenia kątowego?
  3. Jaka jest wartość chwilowego przyspieszenia kątowego dla t=0,0st=0,0s; t=15,0st=15,0s; t=30,0st=30,0s?
Rysunek widzianej z przodu turbiny wiatrowej obracającej się w kierunku przeciwnym niż kierunek ruchu wskazówek zegara.
Rysunek 10.10 Turbina wiatrowa obracająca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, widok z przodu.

Strategia rozwiązania

  1. Wiemy, że turbina obraca się w płaszczyźnie rysunku, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Za pomocą reguły prawej dłoni (Rysunek 10.6) możemy określić kierunek wektora prędkości kątowej i wektora przyspieszenia kątowego.
  2. W celu wyznaczenia średniego przyspieszenia kątowego musimy obliczyć wartości początkową i końcową prędkości kątowej. Znak wartości przyspieszenia kątowego określimy korzystając z rezultatów otrzymanych w punkcie (a).
  3. Mamy daną zależność prędkości kątowej od czasu. Korzystając z niej wyznaczymy zależności przyspieszenia kątowego od czasu poprzez wyznaczenie pierwszej pochodnej zależności prędkości od czasu.

Rozwiązanie

  1. Ponieważ turbina obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, to wektor prędkości kątowej ωω jest skierowany przed płaszczyznę kartki. Ponieważ jednak wartość prędkości kątowej maleje, wektor przyspieszenia kątowego εε wskazuje w kierunku przeciwnym do wektora prędkości kątowej.

  2. Początkowa wartość prędkości kątowej, w chwili t=0t=0 wynosi ω=9,0rad/sω=9,0rad/s Końcowa wartość prędkości kątowej jest równa zero, więc średnia wartość przyspieszenia kątowego równa się

    ε=ΔωΔt=ωω0tt0=0rad/s9,0rad/s30,0s0s=0,3rad/s2.ε=ΔωΔt=ωω0tt0=0rad/s9,0rad/s30,0s0s=0,3rad/s2.
  3. Wyliczając pierwszą pochodną zależności prędkości kątowej od czasu otrzymamy: ε=dω/dt=[(t30,0)/50,0]rad/s2ε=dω/dt=[(t30,0)/50,0]rad/s2

    ε(0,0s)=0,6rad/s2,ε(15,0s)=0,3rad/s2,ε(30,0s)=0rad/s2.ε(0,0s)=0,6rad/s2,ε(15,0s)=0,3rad/s2,ε(30,0s)=0rad/s2.

Znaczenie

Z obliczeń w punktach (a) i (b) wynika, że przyspieszenie kątowe εε i średnie przyspieszenie kątowe εε mają ujemne wartości. Wektor przyspieszenia kątowego turbiny ma przeciwny zwrot do wektora jej prędkości kątowej.

Znamy już podstawowe słownictwo do opisu kinematyki ruchu obrotowego wokół stałej osi i związków pomiędzy wielkościami obrotowymi. Więcej wielkości i związków pomiędzy nimi omówimy w następnym podrozdziale.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.