Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 110.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • pisać równania kinetyczne dla obrotów ze stałym przyspieszeniem kątowym;
  • wybierać odpowiednie równania służące do analizy ruchu w układzie wykonującym obroty wokół stałej osi spośród równań opisujących obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym;
  • wykorzystać rozwiązanie, które zostało otrzymane w wyniku zastosowania równań kinetycznych, do weryfikacji graficznej analizy obrotów wokół stałej osi ze stałym przyspieszeniem kątowym.

W poprzednim podrozdziale zdefiniowaliśmy zmienne obrotowe: przemieszczenie kątowe, prędkość kątową oraz przyspieszenie kątowe. W tym rozdziale wyprowadzimy zależności pomiędzy tymi wielkościami, a następnie użyjemy ich do opisu ruchu obrotowego wokół stałej osi ze stałym przyspieszeniem kątowym. W ten sposób sformułujemy podstawowe równania kinematyczne dla ruchu obrotowego. Jeżeli przyspieszenie kątowe jest stałe, to równania opisujące kinematykę ruchu obrotowego upraszczają się podobnie, jak w przypadku równań dla ruchu postępowego, omówionego w rozdziałach Ruch prostoliniowy oraz Ruch w dwóch i trzech wymiarach. Następnie użyjemy tego uproszczonego układu równań do przedstawienia zastosowań ruchu obrotowego w fizyce i technice, w sytuacjach, w których przyspieszenie kątowe jest stałe. Kinematyka ruchu obrotowego jest również warunkiem wstępnym do opisania dynamiki ruchu obrotowego w dalszej części tego rozdziału.

Kinematyka ruchu obrotowego

Korzystając z naszej intuicji, rozpoczniemy od określenia, w jaki sposób zmienne obrotowe θθ, ωω, εε oraz czas tt są ze sobą powiązane. Na przykład w poprzednim podrozdziale widzieliśmy, że jeżeli wektor przyspieszenia kątowego koła zamachowego ma ten sam zwrot, co wektor prędkości, to jego prędkość kątowa wzrasta z upływem czasu, podobnie jak jego przemieszczenie kątowe. W przeciwnym przypadku, czyli jeżeli wektor przyspieszenia kątowego jest przeciwnie skierowany do wektora prędkości kątowej, jego prędkość kątowa z upływem czasu maleje. Możemy opisać te przypadki i wiele innych za pomocą spójnego układu równań kinematycznych ruchu obrotowego, przy założeniu stałego przyspieszenia kątowego. Taką metodę opisu ruchu obrotowego nazywamy kinematyką ruchu obrotowego (ang. kinematics of rotational motion).

Na początek zauważmy, że jeżeli układ obraca się ze stałym przyspieszeniem kątowym, to prędkość kątowa wzrasta liniowo z upływem czasu. Wówczas średnia wartość prędkości kątowej wyraża się jako połowa sumy początkowej ω0ω0 i końcowej ωkωk wartości prędkości kątowej:

ω – = ω 0 + ω k 2 . ω – = ω 0 + ω k 2 .
10.9

Korzystając z definicji średniej prędkości kątowej, można otrzymać równanie wiążące położenie kątowe ze średnią prędkością kątową i czasem:

ω – = Δ θ Δ t . ω – = Δ θ Δ t .

Z poprzedniego równania otrzymujemy:

θ k = θ 0 + ω – t , θ k = θ 0 + ω – t,
10.10

gdzie przyjęliśmy, że w chwili początkowej t0=0t0=0. Równanie to może być bardzo przydatne, gdy znamy średnią prędkość kątową układu; można wówczas wyznaczyć wartość drogi kątowej (kątowego przemieszczenia) przebytej w danym czasie. Teraz zajmijmy się wyprowadzeniem wyrażenia wiążącego ωω, εε oraz tt. Rozpocznijmy od zdefiniowania przyspieszenia kątowego:

ε = d ω d t . ε= d ω d t .

Przekształćmy powyższe równanie do postaci εdt=dωεdt=dω, a następnie scałkujmy obustronnie od wartości początkowej czasu t0t0 do wartości końcowej tt oraz od ω0ω0 do ωkωk Ponieważ przyspieszenie kątowe εε w ruchu jednostajnym obrotowym jest wielkością stałą, można je wyłączyć przed znak całkowania. Otrzymamy wówczas po obu stronach znaku równości dwie całki oznaczone:

ε ∫ t 0 t d t ′ = ∫ ω 0 ω k d ω . ε ∫ t 0 t d t ′ = ∫ ω 0 ω k d ω.

Przyjmując t0=0t0=0, otrzymujemy

ε t = ω k − ω 0 . ε t = ω k − ω 0 .

Równanie to można przekształcić do postaci:

ω k = ω 0 + ε t , ω k = ω 0 + ε t ,
10.11

gdzie ω0ω0 jest początkową prędkością kątową. Powyższe równanie dla prędkości kątowej jest odpowiednikiem równania vk=v0+atvk=v0+at dla ruchu postępowego. Korzystając z tego równania oraz mając dane początkową prędkość kątową i przyspieszenie kątowe możemy wyznaczyć prędkość kątową obiektu w danej chwili tt.

Postąpmy teraz podobnie z równaniem ω=dθ/dtω=dθ/dt. Przekształcamy je do postaci ωdt=dθωdt=dθ, a następnie całkujemy obustronnie od wartości początkowych do końcowych. Tym razem musimy uwzględnić fakt, że prędkość kątowa, w ogólności, jest zależna od czasu. Otrzymamy wówczas:

∫ t 0 t ( ω 0 + ε t ′ ) d t ′ = ∫ θ 0 θ k d θ , ∫ t 0 t ( ω 0 + ε t ′ ) d t ′ = ∫ θ 0 θ k d θ,
∫ t 0 t ω 0 d t ′ + ∫ t 0 t ε t ′ d t ′ = [ ω 0 t ′ + ε ( t ′ 2 )2 ] t 0 t = ω 0 t + ε ( t 2 2 ) = θ k − θ 0 , ∫ t 0 t ω 0 d t ′ + ∫ t 0 t ε t ′ d t ′ = [ ω 0 t ′ + ε ( t ′ 2 )2 ] t 0 t = ω 0 t+ε ( t 2 2 ) = θ k − θ 0 ,

gdzie przyjęliśmy t0=0t0=0. Po przekształceniu otrzymujemy:

θ k = θ 0 + ω 0 t + 1 2 ε t 2 . θ k = θ 0 + ω 0 t + 1 2 ε t 2 .
10.12

Równanie to jest odpowiednikiem równania kinematycznego dla ruchu jednostajnego prostoliniowego, określającego zależność położenia od czasu. Równanie to było analizowane w rozdziale Ruch prostoliniowy. Można z niego otrzymać wartość drogi kątowej (przemieszczenia kątowego) obracającego się ciała sztywnego w dowolnym czasie tt, jeżeli są dane warunki początkowe (początkowe położenie kątowe i początkowa prędkość kątowa) oraz przyspieszenie kątowe.

Rozwiązując zadania rachunkowe możemy spotkać się z sytuacją, w której nie będzie nas interesować czas trwania ruchu, lecz końcowa prędkość kątowa ciała sztywnego. Aby otrzymać takie wyrażenie możemy napisać równanie na końcowe położenie (drogę kątową), w którym czas nie będzie występował w sposób jawny. W tym celu z równania na prędkość kątową (Równanie 10.11) wyznaczamy czas i otrzymane wyrażenie wstawiamy do Równania 10.12. Wówczas równanie na θkθk (Równanie 10.12) przyjmie postać:

θ k = θ 0 + ω 0 ( ω k − ω 0 ε ) + 1 2 ε ( ω k − ω 0 ε ) 2 = θ 0 + ω 0 ω k ε − ω 0 2 ε + 1 2 ω k 2 ε − ω 0 ω k ε + 1 2 ω 0 2 ε = θ 0 + 1 2 ω k 2 ε − 1 2 ω 0 2 ε , θ k − θ 0 = ω k 2 − ω 0 2 2 ε θ k = θ 0 + ω 0 ( ω k − ω 0 ε ) + 1 2 ε ( ω k − ω 0 ε ) 2 = θ 0 + ω 0 ω k ε − ω 0 2 ε + 1 2 ω k 2 ε − ω 0 ω k ε + 1 2 ω 0 2 ε = θ 0 + 1 2 ω k 2 ε − 1 2 ω 0 2 ε , θ k − θ 0 = ω k 2 − ω 0 2 2 ε

przyjmując, iż Δθ=θk−θ0Δθ=θk−θ0 otrzymujemy

ω k 2 = ω 0 2 + 2 ε ( Δ θ ) . ω k 2 = ω 0 2 + 2 ε ( Δ θ ) .
10.13

Równania od Równania 10.10 do Równania 10.13 opisują obroty wokół stałej osi ze stałym przyspieszeniem kątowym. Zostały one zebrane w Tabeli 10.1.

Zależność drogi kątowej (położenia kątowego) od średniej prędkości kątowej θ k = θ 0 + ω – t θ k = θ 0 + ω – t
Zależność prędkości kątowej od stałego przyspieszenia kątowego ω k = ω 0 + ε t ω k = ω 0 + ε t
Zależność drogi kątowej (położenia kątowego) od początkowej prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego θ k = θ 0 + ω 0 t + 1 2 ε t 2 θ k = θ 0 + ω 0 t + 1 2 ε t 2
Związek prędkości kątowej z drogą kątową i przyspieszeniem kątowym ω k 2 = ω 0 2 + 2 ε ( Δ θ ) ω k 2 = ω 0 2 + 2 ε ( Δ θ )
Tabela 10.1 Wzory kinematyczne

Zastosowanie równań opisujących kinematykę ruchu obrotowego

Teraz na kilku prostych przykładach zobaczmy, w jaki sposób można w codziennych sytuacjach zastosować podstawowe zależności kinematyczne do analizy ruchu obrotowego.

Przykład 10.4

Obliczenie przyspieszenia kołowrotka wędkarskiego

Rybak złapał na wędkę dużą rybę, która odpływając od łodzi ciągnie za sobą żyłkę z kołowrotka wędki. Początkowo kołowrotek nie obracał się (był w spoczynku). Żyłka rozwija się z kołowrotka o promieniu 4,50 cm (Ilustracja 10.11). Kołowrotek obraca się z przyspieszeniem kątowym 110rad/s2110rad/s2 przez 2,00 s.
  1. Jaka jest końcowa prędkość kątowa kołowrotka po 2 s?
  2. Ile obrotów w tym czasie zrobił kołowrotek?
Rysunek przedstawia kołowrotek wędkarski. Promień obroty wynosi 4,5 cm, obrót zachodzi w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara
Ilustracja 10.11 Żyłka rozwijająca się z kołowrotka porusza się ruchem prostoliniowym.

Strategia rozwiązania

Zidentyfikuj dane i porównaj z równaniami kinematycznymi dla przypadku stałego przyspieszenia. Poszukaj odpowiedniego równania, które można zastosować do wyznaczenia niewiadomych korzystając z informacji podanych w zadaniu.

Rozwiązanie

  1. Znając εε i tt mamy wyznaczyć ωω. Najprostszym równaniem, które możemy tu zastosować, jest równanie ωk=ω0+εtωk=ω0+εt, ponieważ występują tu wszystkie informacje podane w zadaniu oraz tylko jedna niewiadoma, której wartość mamy wyznaczyć. Załóżmy, że ω0=0ω0=0 (początkowo kołowrotek nie obracał się), więc

    ωk=0rad/s+110rad/s2⋅2,00s=220rad/s.ωk=0rad/s+110rad/s2⋅2,00s=220rad/s.

  2. Mamy wyznaczyć liczbę obrotów kołowrotka. Ponieważ jeden obrót oznacza obrót o kąt 2π2π rad, możemy znaleźć liczbę obrotów poprzez znalezienie θθ w radianach. Znając εε i tt oraz wiedząc, że ω0ω0 jest równa zero, możemy wyznaczyć θθ za pomocą równania:

    θk=θ0+ω0⁢t+12⁢ε⁢t2θk=0⁢rad+0⁢rad∕s⋅2,00⁢s+12⋅110⁢rad∕s2⋅2,00⁢s2θk=220⁢rad.θk=θ0+ω0⁢t+12⁢ε⁢t2θk=0⁢rad+0⁢rad∕s⋅2,00⁢s+12⋅110⁢rad∕s2⋅2,00⁢s2θk=220⁢rad. \begin{multiline} \theta_{\text{k}} &= \theta_0 + \omega_0 t + \frac12 \epsilon t^2 \\ &= \SI{0}{\radian} + \SI{0}{\radian\per\second} \cdot \SI{2,00}{\second} + \frac12 \cdot \SI{110}{\radian\per\second\squared} \cdot (\SI{2,00}{\second})^2 \\ &= \SI{220}{\radian} \text{.} \end{multiline}θk=θ0+ω0⁢t+12⁢ε⁢t2=0⁢rad+0⁢rad∕s⋅2,00⁢s+12⋅110⁢rad∕s2⋅2,00⁢s2=220⁢rad.

    Zamiana obrotów na radiany daje:

    liczba obrotów=220rad⋅1obr2πrad=35,0obr.liczba obrotów=220rad⋅1obr2πrad=35,0obr.

Znaczenie

Przykład ten pokazuje, że zależności między wielkościami obrotowymi są analogiczne do zależności pomiędzy wielkościami liniowymi. Odpowiedzi uzyskane w zadaniu są racjonalne. Po odwijaniu się żyłki przez dwie sekundy kołowrotek obraca się z prędkością kątową 220 rad/s, czyli wykonuje 2100 obr/min. (Nic dziwnego, że bębny kołowrotków czasem wydają dźwięki o wysokich częstotliwościach).

W poprzednim przykładzie rozważaliśmy kołowrotek wędkarski obracający się z dodatnim przyspieszeniem kątowym. Rozpatrzmy teraz sytuację, gdy kołowrotek obraca się z ujemnym przyspieszeniem kątowym.

Przykład 10.5

Obliczmy czas trwania obrotów, gdy kołowrotek zwalnia i zatrzymuje się. Teraz rybak wciska hamulec w kołowrotku sprawiając, że obraca on się z przyspieszeniem kątowym −300rad/s2−300rad/s2. Po jakim czasie kołowrotek się zatrzyma?

Strategia rozwiązania

W tym przykładzie mamy wyznaczyć czas tt, po jakim kołowrotek przestanie się obracać. Warunki początkowe i końcowe różnią się od tych z poprzedniego przykładu, ale dotyczącą tego samego kołowrotka. Teraz początkowa prędkość kątowa wynosi ω0=220rad/sω0=220rad/s, końcowa prędkość kątowa ωkωk jest równa zero, a przyspieszenie kątowe ε=−300rad/s2ε=−300rad/s2. Spośród dostępnych równań, równaniem, w którym występują wszystkie zmienne podane w przykładzie i szukany czas tt, jest równanie ωk=ω0+εtωk=ω0+εt. Możemy go użyć do wyliczenia tt.

Rozwiązanie

Zastosujmy równanie
ω k = ω 0 + ε t . ω k = ω 0 + ε t .

Wyznaczając z tego równania tt, a następnie wstawiając dane otrzymamy:

t = ω k − ω 0 ε = 0 r a d / s − 220 , 0 r a d / s − 300 , 0 r a d / s 2 = 0 , 733 s . t= ω k − ω 0 ε = 0 r a d / s − 220 , 0 r a d / s − 300 , 0 r a d / s 2 =0,733 s .

Znaczenie

Przypisując znak wartościom wielkości wektorowych, czyli wskazując kierunek tych wielkości, należy zachować ostrożność. Zauważmy, że czas potrzebny do zatrzymania kołowrotka jest mały, ponieważ duże jest opóźnienie (ujemne przyspieszenie). Żyłki wędkarskie często zrywają się w wyniku zbyt dużego przyspieszenia, dlatego wędkarze zazwyczaj pozwalają rybie płynąć przez chwilę, zanim użyją hamulca na bębnie. Zmęczona ryba płynie wolniej, więc można zastosować małe opóźnienie.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.2

Wirówka stosowana do ekstrakcji DNA wiruje z maksymalną prędkością 7000 obr/min, działając na próbkę siłą odśrodkową 6000 razy większą od siły ciążenia. Jeśli wirówka potrzebuje 10 s od chwili startu do osiągnięcia maksymalnej prędkości wirowania:

  1. Jakie jest przyspieszenie kątowe wirówki?
  2. Jakie jest przemieszczenie kątowe wirówki w tym czasie?

Przykład 10.6

Przyspieszenie kątowe śmigła

Ilustracja 10.12 przedstawia wykres zależności prędkości kątowej śmigła samolotu od czasu. Jego prędkość kątowa rozpoczyna się od wartości 30 rad/s i liniowo zmniejsza się do 0 rad/s w ciągu 5 sekund.
  1. Wyznacz przyspieszenie kątowe śmigła. Zweryfikuj otrzymany wynik przy użyciu równań kinematycznych.
  2. Wyznacz kąt, o jaki obróci się śmigło w ciągu tych 5 sekund. Zweryfikuj wynik przy użyciu równań kinematycznych.
Rysunek przedstawia wykres zależności prędkości kątowej śmigła od czasu. Na osi poziomej pokazany jest czas w sekundach, na osi pionowej prędkość kątowa w radianach na sekundę. Prędkość kątowa opada liniowo wraz z czasem od 30 radianów na sekundę do zero sekund dla czasu 5 sekund.
Ilustracja 10.12 Wykres zależności prędkości kątowej śmigła od czasu.

Strategia rozwiązania

  1. Ponieważ prędkość kątowa zmienia się liniowo w czasie, wnioskujemy, że przyspieszenie kątowe jest stałe i nie zależy od czasu. Przyspieszenie kątowe jest równe nachyleniu prostej obrazującej zależność prędkości kątowej od czasu, ε=dω/dtε=dω/dt. Dane do obliczenia nachylenia możemy odczytać bezpośrednio z Ilustracji 10.12. Otrzymujemy ω=0rad/sω=0rad/s, dla t=0st=0s oraz ω0=30rad/sω0=30rad/s dla t=5st=5s. Następnie możemy zweryfikować wynik przy użyciu równania ω=ω0+εtω=ω0+εt.

  2. Teraz zastosujemy równanie ω=dθ/dtω=dθ/dt. Ponieważ pierwsza pochodna położenia kątowego po czasie to prędkość kątowa, możemy wyznaczyć przemieszczenie kątowe całkując prędkość kątową. Zgodnie z rysunkiem oznacza to wyznaczenie pola powierzchni pod wykresem prędkości kątowej. Inaczej mówiąc:

    ∫θ0θkdθ=θk−θ0=∫t0tkω(t)dt.∫θ0θkdθ=θk−θ0=∫t0tkω(t)dt.
    Następnie, w celu sprawdzenia wyniku, użyjemy równania kinematycznego dla stałego przyspieszania.

Rozwiązanie

  1. Obliczając nachylenie otrzymamy:

    ε=ω−ω0t−t0=0rad/s−30,0rad/s5,0s−0s=−6,0rad/s2.ε=ω−ω0t−t0=0rad/s−30,0rad/s5,0s−0s=−6,0rad/s2.

  2. Możemy wyznaczyć pole obszaru pod krzywą poprzez obliczenie powierzchni trójkąta prostokątnego, jak pokazano na Ilustracji 10.13.

    Rysunek przedstawia wykres prędkości kątowej w radianach na sekundę w zależności od czasu w sekundach. Prędkość kątowa liniowo spada wraz z czasem, od 30 radianów na sekundę do zero sekund dla 5 seconds. Obszar pod krzywą został zacieniowany.
    Ilustracja 10.13 Pole pod krzywą jest polem trójkąta prostokątnego.
    Δθ=PΔ=12⋅30⁢rad∕s⋅5⁢s=75⁢rad⁢.Δθ=PΔ=12⋅30⁢rad∕s⋅5⁢s=75⁢rad⁢. \prefop{\Delta} \theta = P_{\mathrm{Δ}} = \frac12 \cdot \SI{30}{\radian\per\second} \cdot \SI{5}{\second} = \SI{75}{\radian} \text{.}
    θk=θ0+ω0t+12εt2.θk=θ0+ω0t+12εt2.

    Wstawiając θ0θ0 otrzymujemy:

    θ0=30,0⁢rad∕s⋅5,0⁢s+12⋅−6,0⁢rad∕s2⋅5,0⁢s2θ0=150,0⁢rad−75,0⁢rad=75,0⁢rad.θ0=30,0⁢rad∕s⋅5,0⁢s+12⋅−6,0⁢rad∕s2⋅5,0⁢s2θ0=150,0⁢rad−75,0⁢rad=75,0⁢rad. \begin{multiline} \theta_0 &= \SI{30,0}{\radian\per\second} \cdot \SI{5,0}{\second} + \frac12 \cdot (-\SI{6,0}{\radian\per\second\squared}) \cdot (\SI{5,0}{\second})^2 \\ &= \SI{150,0}{\radian} - \SI{75,0}{\radian} = \SI{75,0}{\radian} \text{.} \end{multiline}θ0=30,0⁢rad∕s⋅5,0⁢s+12⋅−6,0⁢rad∕s2⋅5,0⁢s2=150,0⁢rad−75,0⁢rad=75,0⁢rad.

    To potwierdza rozwiązanie otrzymane z wyliczenia pola pod krzywą zależności prędkości kątowej od czasu.

Znaczenie

Widzimy z części (b), że istnieją alternatywne podejścia do analizy obrotów wokół stałej osi ze stałym przyspieszeniem kątowym. Nasze rozwiązania zaczęliśmy od podejścia graficznego i zweryfikowaliśmy to rozwiązanie przy użyciu równań kinematyki ruchu obrotowego. Ponieważ ε=dω/dtε=dω/dt, możemy wykonać taką samą analizę graficzną wykresu zależności przyspieszenia kątowego od czasu. Obszar pod krzywą ε=f(t)ε=f(t) daje nam zmianę prędkości kątowej. Ponieważ w tej części przyspieszenie kątowe jest stałe, jest to proste ćwiczenie.
PoprzedniaNastępna
Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.