Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 110.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • na podstawie równania dla ruchu postępowego pisać analogiczne równanie dla ruchu obrotowego;
  • obliczać liniowe przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia punktów biorących udział w ruchu obrotowym na podstawie ich przyspieszenia i prędkości kątowej.

W tym podrozdziale odniesiemy każdą ze zmiennych obrotowych do zmiennych w ruchu postępowym, zdefiniowanych w rozdziałach Ruch prostoliniowy i Ruch w dwóch i trzech wymiarach. To pozwoli nam opisywać obroty wokół stałej osi.

Zmienne kątowe a zmienne liniowe

Jeśli porównamy definicje zmiennych obrotowych (które zdefiniowane zostały w podrozdziale Zmienne opisujące ruch obrotowy) z definicjami zmiennych kinematycznych w ruchu postępowym, zdefiniowanymi w rozdziałach Ruch prostoliniowy i Ruch w dwóch i trzech wymiarach, zauważymy, że istnieje odwzorowanie wielkości liniowych na obrotowe. Położenie, prędkość liniowa i przyspieszenie liniowe mają swoje odpowiedniki w wielkościach obrotowych.

Liniowe Obrotowe
Położenie x x θ θ
Prędkość v = d x / d t v= d x / d t ω = d θ / d t ω= d θ / d t
Przyspieszenie a = d v / d t a= d v / d t ε = d ω / d t ε= d ω / d t
Tabela 10.2 Związek pomiędzy wielkościami opisującymi ruch liniowy oraz obrotowy.

Porównajmy indywidualnie zmienne liniowe i obrotowe. Jednostką zmiennych liniowych położenia jest metr, podczas gdy jednostką położenia kątowego jest bezwymiarowa jednostka radian, co wynika z definicji θ=s/rθ=s/r, gdzie droga kątowa jest ilorazem dwóch wielkości, z których każda jest wyrażona w jednostkach długości. Jednostką prędkości liniowej jest m/s, a jej odpowiednik, prędkość kątowa, ma jednostkę rad/s. W podrozdziale Zmienne opisujące ruch obrotowy widzieliśmy, że w przypadku ruchu po okręgu o promieniu rr prędkość liniowa cząstki jest związana z prędkością kątową zależnością v=rωv=rω. Zależność ta ma zastosowanie również do punktów ciała sztywnego, obracającego się wokół stałej osi. Tutaj rozważamy jedynie ruch po okręgu. W ruchu po okręgu, zarówno jednostajnym jak i niejednostajnym, istnieje jeszcze przyspieszenie dośrodkowe (ang. centripetal acceleration) (patrz rozdział Ruch w dwóch i trzech wymiarach). Wektor przyspieszenia dośrodkowego skierowany jest do wnętrza toru, od cząstki wykonującej ruch po okręgu do osi obrotu. Wyprowadzenie wartości przyspieszenia dośrodkowego przedstawiono w rozdziale Ruch w dwóch i trzech wymiarach. Wartość przyspieszenia dośrodkowego wyraża się wzorem:

a d = v 2 r , a d = v 2 r ,
10.14

gdzie rr jest promieniem okręgu.

Tak więc w jednostajnym w ruchu po okręgu, w którym wartość prędkości kątowej jest stała, a przyspieszenie kątowe jest równe zeru, występuje przyspieszenie liniowe – konkretnie przyspieszenie dośrodkowe – ponieważ wartość prędkości liniowej w powyższym Równaniu 10.14 jest stała, a zmienia się kierunek wektora prędkości. Jeżeli ruch po okręgu jest ruchem niejednostajnym i obracające się ciało ma przyspieszenie kątowe, to w tym przypadku występuje zarówno zmieniające się przyspieszenie dośrodkowe (ponieważ zmienia się kierunek i zwrot wektora prędkości), jak i przyspieszenie styczne (ang. tangential acceleration) (ponieważ zmienia się wartość wektora prędkości stycznej). Zależność ta jest pokazana na Ilustracji 10.14, gdzie przedstawiono przyspieszenie dośrodkowe i przyspieszenie styczne, zarówno dla ruchu jednostajnego, jak i ruchu niejednostajnego po okręgu.

Rysunek A ilustruje jednolity ruch kołowy. Wektor przyspieszenia ma swój wektor skierowany do wewnątrz w kierunku osi obrotu. Nie ma przyspieszenia stycznego, a v2 jest równoważne v1. Rysunek A ilustruje nierównomierny ruch kołowy. Wektor przyspieszenia ma swój wektor skierowany do wewnątrz w kierunku osi obrotu. Obecne jest przyspieszenie styczne, a v2 jest większe niż v1.
Ilustracja 10.14 (a) Ruch jednostajny po okręgu. Wektor przyspieszenia dośrodkowego adad skierowany jest w kierunku do osi obrotu. Nie ma przyspieszenia stycznego. (b) Niejednostajny ruch po okręgu. Istnienie przyspieszenia kątowego jest przyczyną zmiany wartości przyspieszenia dośrodkowego oraz istnienia przyspieszenia stycznego asas.

Przyspieszenie dośrodkowe wywołane jest ciągłą zmianą kierunku prędkości, podczas gdy przyspieszenie styczne związane jest ze zmianą wartości wektora prędkości. Wektory przyspieszenia stycznego asas i dośrodkowego adad są zawsze prostopadłe do siebie, tak jak to przedstawiono na Ilustracji 10.14. Dla pełnego opisu musimy jeszcze dodać wektor przyspieszenia całkowitego dla punktu obracającego się ciała oraz cząstki wykonującej ruch po okręgu o promieniu rr. Wektor całkowitego przyspieszenia liniowego (ang. total linear acceleration) aa jest sumą wektorową przyspieszenia stycznego i dośrodkowego:

a = a d + a s . a = a d + a s .
10.15

W przypadku niejednostajnego ruchu po okręgu, wektor przyspieszenia całkowitego skierowany jest pod pewnym kątem między wektorami przyspieszenia stycznego i dośrodkowego, tak jak pokazano to na Ilustracji 10.15. Ponieważ adasadas, wartość całkowitego przyspieszenia liniowego wynosi:

| a | = a d 2 + a s 2 . | a | = a d 2 + a s 2 .
10.16

Zauważ, że jeżeli przyspieszenie kątowe jest równe zero, to całkowite przyspieszenie liniowe jest równe przyspieszeniu dośrodkowemu.

Rysunek pokazuję cząstkę wykonującą ruch obrotowy. Wektor ac tworzy kąt między wektorami a i at.
Ilustracja 10.15 Cząstka wykonuje ruch po okręgu z pewnym przyspieszeniem kątowym. Całkowite przyspieszenie liniowe cząstki jest sumą wektorową wektora przyspieszenia dośrodkowego i wektora przyspieszenia stycznego. Wektor całkowitego przyspieszenia liniowego leży pomiędzy wektorami przyspieszenia stycznego i dośrodkowego.

Związek pomiędzy wielkościami kątowymi i liniowymi

Przedstawmy teraz dwa związki między ruchem rotacyjnym i postępowym.

  1. Ogólnie rzecz biorąc liniowe równania kinematyczne mają swoje odpowiedniki w równaniach dla ruchu obrotowego. Tabela 10.3 prezentuje cztery liniowe równania kinematyczne i odpowiadające im równania dla ruchu obrotowego. Te dwa zestawy równań są podobne do siebie, ale opisują dwie różne sytuacje fizyczne, tj. obrót i ruch postępowy.
    Ruch obrotowyRuch postępowy
    θk=θ0+ωtθk=θ0+ωtx=x0+vtx=x0+vt
    ωk=ω0+εtωk=ω0+εtvk=v0+atvk=v0+at
    θk=θ0+ω0t+12εt2θk=θ0+ω0t+12εt2xk=x0+v0t+12at2xk=x0+v0t+12at2
    ωk2=ω02+2ε(Δθ)ωk2=ω02+2ε(Δθ)vk2=v02+2a(Δx)vk2=v02+2a(Δx)
    Tabela 10.3 Równania kinematyczne dla ruchu obrotowego i postępowego
  2. Drugi zestaw zależności dotyczy zmiennych liniowych i obrotowych w szczególnym przypadku ruchu po okręgu. Zależności te pokazano w trzeciej kolumnie Tabeli 10.4, gdzie znajdują się równania łączące zmienne obrotowe ze zmiennymi liniowymi.
    Ruch obrotowyRuch postępowyZwiązek pomiędzy wielkościami (rr = promień okręgu)
    θθssθ=s/rθ=s/r
    ωωvvω=v/rω=v/r
    εεasasε=as/rε=as/r
    adadad=v2/rad=v2/r
    Tabela 10.4 Wielkości ruchu postępowego i obrotowego i zależności między nimi

Przykład 10.7

Przyspieszenie liniowe wirówki

Wirówka o promieniu 20 cm zwalnia ze stałym przyspieszeniem kątowym od maksymalnej prędkości obrotowej wynoszącej 10 000 obr/min i zatrzymuje się po upływie 30 s. Przez cały ten czas wirówka obraca się w lewo. Jaka jest wartość całkowitego przyspieszenia liniowego punktu położonego na obrzeżu wirówki w chwili t=29,0st=29,0s? Jaki jest kierunek wektora całkowitego przyspieszenia liniowego?

Strategia rozwiązania

Dzięki podanym informacjom możemy obliczyć przyspieszenie kątowe, co następnie pozwoli nam wyznaczyć przyspieszenie styczne. Obliczając prędkość styczną w chwili t=29,0st=29,0s możemy wyznaczyć przyspieszenie dośrodkowe. Dzięki wyznaczonym wartościom przyspieszeń możemy obliczyć całkowite przyspieszenie liniowe. Na podstawie opisu obrotów przedstawionych w zadaniu możemy naszkicować kierunek całkowitego wektora przyspieszenia.

Rozwiązanie

Przyspieszenie kątowe:
ε = ω ω 0 t = 0 r a d / s 10 4 2 π / 60 , 0 r a d / s 30 , 0 s = 34 , 9 r a d / s 2 . ε= ω ω 0 t = 0 r a d / s 10 4 2 π / 60 , 0 r a d / s 30 , 0 s =34,9 r a d / s 2 .

Stąd, przyspieszenie styczne:

a s = r ε = 0 , 2 m ( 34 , 9 r a d / s 2 ) = 7 , 0 m / s 2 . a s =rε=0,2 m ( 34 , 9 r a d / s 2 ) =7,0 m / s 2 .

Prędkość kątowa w chwili t=29,0st=29,0s:

ω = ω 0 + ε t ω = 1,0 10 4 2 π rad 60,0 s + 34,9 rad s 2 29,0 s ω = 1047,2 rad s 1012,71 rad s = 35,1 rad s . ω = ω 0 + ε t ω = 1,0 10 4 2 π rad 60,0 s + 34,9 rad s 2 29,0 s ω = 1047,2 rad s 1012,71 rad s = 35,1 rad s . \begin{multiline} \omega &= \omega_0 + \epsilon t \\ &= \num{1,0e4} \cdot \frac{2\pi \si{\radian}}{\SI{60,0}{\second}} + (-\SI{34,9}{\radian\per\second\squared}) \cdot \SI{29,0}{\second} \\ &= \SI{1047,2}{\radian\per\second} - \SI{1012,71}{\radian\per\second} = \SI{35,1}{\radian\per\second} \text{.} \end{multiline} ω = ω 0 + ε t = 1,0 10 4 2 π rad 60,0 s + 34,9 rad s 2 29,0 s = 1047,2 rad s 1012,71 rad s = 35,1 rad s .

Tak więc, prędkość w chwili t=29,0st=29,0s można wyliczyć jako:

v = r ω = 0 , 2 m 35 , 1 r a d / s = 7 , 0 m / s . v=rω=0,2 m 35,1 r a d / s =7,0 m / s .

Teraz możemy wyznaczyć przyspieszenie dośrodkowe:

a d = v 2 r = ( 7 , 0 m / s ) 2 0 , 2 m = 245 , 0 m / s 2 . a d = v 2 r = ( 7 , 0 m / s ) 2 0 , 2 m =245,0 m / s 2 .

Ponieważ dwa wektory przyspieszenia są do siebie prostopadłe, wartość całkowitego przyspieszenia liniowego to:

| a | = a d 2 + a s 2 = ( 245 , 0 m / s 2 ) 2 + ( 7 , 0 m / s 2 ) 2 = 245 , 1 m / s 2 . | a | = a d 2 + a s 2 = ( 245 , 0 m / s 2 ) 2 + ( 7 , 0 m / s 2 ) 2 =245,1 m / s 2 .

Wirówka ma ujemne przyspieszenie kątowe. Oznacza to, że wiruje z coraz mniejszą prędkością kątową. Całkowity wektor przyspieszenia jest taki, jak pokazano na Ilustracji 10.16. Kąt pomiędzy wektorem przyspieszenia dośrodkowego a wektorem przyspieszenia całkowitego jest równy:

θ = arctg ( 7 , 0 245 ) = 1 , 6 . θ=arctg ( 7 , 0 245 ) =1, 6 .

Znak ujemny oznacza, że wektor przyspieszenia całkowitego jest ustawiony pod kątem w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Rysunek przedstawia przyspieszenie styczne a t skierowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Wektory a a c skierowane są ku środkowi koła, a napis “kierunek ruchu ” wskazuje kierunek przeciwny do kierunku wektora a t.
Ilustracja 10.16 Wektory przyspieszenia dośrodkowego, stycznego i całkowitego. Wirówka zmniejsza obroty, więc przyspieszenie styczne skierowane jest zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu wirówki.

Znaczenie

Z Ilustracji 10.16 wynika, że wektor przyspieszenia stycznego jest skierowany przeciwnie do kierunku obrotów. Wartość przyspieszenia stycznego jest znacznie mniejsza niż przyspieszenia dośrodkowego, więc wektor całkowitego przyspieszenia liniowego będzie tworzyć bardzo mały kąt z wektorem przyspieszenia dośrodkowego.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.3

Chłopiec wskakuje na platformę karuzeli o promieniu 5 m, która jest w spoczynku. Karuzela rozpoczyna obracać się ze stałym przyspieszeniem kątowym, osiągając prędkość kątową 5 rad/s po 20 sekundach. Jaką drogę na karuzeli chłopiec przebył w tym czasie?

Materiały pomocnicze

Poeksperymentuj z symulacją z repozytorium PhET. Zmieniając parametry tarczy obrotowej (kąt początkowy, prędkość kątową i przyspieszenie kątowe) umieszczaj biedronkę i chrząszcza w różnych odległościach od osi obrotu. W ten sposób możesz zbadać, jak ruch obiektu po okręgu zależy od jego położenia, prędkości i przyspieszenia. Użyj wykresów i wektorów prezentowanych w aplikacji.

Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.