William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyznaczać wektor momentu pędu;
obliczać całkowity moment pędu i moment siły względem punktu dla układu cząstek;
obliczać moment pędu bryły sztywnej, obracającej się wokół stałej osi;
obliczać moment siły przyłożony do bryły sztywnej, obracającej się wokół stałej osi;
stosować zasadę zachowania momentu pędu do analizy ruchu ciał, które zmieniają swoją prędkość kątową (szybkość obrotów).

Dlaczego Ziemia ciągle się obraca (wiruje)? Co spowodowało ten obrót? Dlaczego grawitacyjne przyciąganie ziemskie nie spowoduje zderzenia Księżyca z Ziemią? Jak to się dzieje, że łyżwiarz na lodzie zaczyna wirować szybciej przez zwykłe przyciągnięcie rąk do tułowia? Dlaczego, aby mógł obracać się szybciej, nie musi na niego działać zewnętrzny moment siły?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, należy zwrócić uwagę na fakt, że podobnie jak podczas ruchu postępowego, zachowany jest całkowity pęd we Wszechświecie, zachowany jest również całkowity moment pędu ruchu obrotowego. Całkowity moment pędu w ruchu obrotowym jest odpowiednikiem pędu w ruchu postępowym. W tym podrozdziale najpierw zdefiniujemy, a następnie przeanalizujemy moment pędu z różnych punktów widzenia. Najpierw jednak zajmiemy się momentem pędu pojedynczej cząstki. To pozwoli nam następnie na uogólnienie tego pojęcia na układ cząstek i bryłę sztywną.

Moment pędu pojedynczej cząstki

Ilustracja 11.9 pokazuje cząstkę w położeniu $\vec{r}$ z pędem $\vec{p} = m \vec{v}$ względem początku układu. Jej moment pędu można określić za pomocą wektorów położenia i pędu.

Moment pędu cząstki

Moment pędu $\vec{l}$ cząstki określa się jako wektor będący iloczynem wektorowym $\vec{r}$ i $\vec{p}$ , który jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory $\vec{r}$ i $\vec{p}$ :

\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p} .

11.7

Na układzie współrzędnych x y z, w którym x zwrócona jest ze strony, y wskazuje na prawo, a z wskazuje na punkt z. Wektor r wskazuje od początku do punktu na płaszczyźnie x y, w pierwszym kwadrancie. Wektor wskazuje od wierzchołka wektora r, pod kątem theta w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z kierunku wektora r, patrząc od góry. Oba wektory r i p znajdują się w płaszczyźnie xy. Wektor l zwraca się ku górze i jest prostopadły do płaszczyzny xy, zgodnej z regułą prawej dłoni. Kiedy prawą rękę ma palce zwijające się w lewo, patrząc od góry, kciuk wskazuje w kierunku l. Pokazujemy również elementy wektora r równoległe i prostopadłe do wektora p. Wektor r sub prostopadły jest rzutem wektora r prostopadłego do kierunku wektora p.

Ilustracja 11.9 W przestrzeni trójwymiarowej układ współrzędnych wybrano w taki sposób, by wektor położenia

\vec{r}

cząstki i wektor pędu

\vec{p}

leżały w płaszczyźnie

x y

. Moment pędu określony jest jako

\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}

i ma tutaj kierunek i zwrot osi

z

. Jak pokazano na rysunku, kierunek

\vec{l}

wyznaczony jest w oparciu o regułę prawej dłoni (wynika to z wyboru układu współrzędnych – jest on prawoskrętny).

Intencją przedstawionego wyboru kierunku wektora momentu pędu, prostopadłego do płaszczyzny zawierającej $\vec{r}$ i $\vec{p}$ , było to, by był on podobny do wyboru kierunku momentu siły prostopadłego do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory $\vec{r}$ i $\vec{p}$ , co omówiono w rozdziale Obroty wokół stałej osi. Wartość momentu pędu wynika z definicji iloczynu wektorowego:

l = r p sin θ,

gdzie $θ$ jest kątem między wektorami $\vec{r}$ i $\vec{p}$ . Jednostką momentu pędu jest $k g \cdot m / s$ .

Podobnie jak w przypadku definicji momentu siły możemy zdefiniować ramię (wektora) pędu $\vec{r}$ , będące jest odległością początku układu współrzędnych od prostej, na której leży wektor pędu $\vec{p}$ . Zgodnie z rysunkiem wynosi ono $r_{⊥} = r \sin θ$ . Zgodnie z tą definicją wielkość momentu pędu możemy wyrazić jako

l = r_{⊥} p = r_{⊥} m v .

Zwróćmy uwagę, że jeżeli kierunek $\vec{p}$ jest taki, że przechodzi przez początek układu, to $θ = 0^{\circ}$ , a zatem moment pędu jest równy zero, ponieważ ramię pędu jest równe zero. W związku z tym zauważmy, że wielkość momentu pędu zależy od wyboru początku układu współrzędnych.

Jeżeli obliczymy pochodną po czasie momentu pędu, to okaże się, że otrzymamy wyrażenie na moment siły cząstki. Mianowicie:

\frac{d \vec{l}}{d t} = \frac{d \vec{r}}{d t} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{d t} = \vec{v} \times m \vec{v} + \vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{d t} = \vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{d t} .

Skorzystaliśmy tutaj z definicji $\vec{p}$ oraz z faktu, że iloczyn wektorowy tych samych wektorów (tutaj prędkości) jest zerem. Z drugiej zasady dynamiki w postaci $d \vec{p} / d t = \sum \vec{F}$ oraz definicji momentu siły, możemy napisać

\frac{d \vec{l}}{d t} = \sum \vec{M} .

11.8

Zwróćmy uwagę na podobieństwo powyższego wzoru do drugiej zasady dynamiki w postaci $d \vec{p} / d t = \sum \vec{F}$ . Poniższa strategia rozwiązywania zadań może służyć jako wytyczna do obliczania momentu pędu cząstki.

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązywania zadań: moment pędu cząstki

Wybierz układ współrzędnych, w którym ma być obliczony moment pędu.
Zapisz wektor wodzący cząstki punktowej, używając wektorów jednostkowych osi.
Zapisz wektor pędu cząstki, używając wektorów jednostkowych.
Oblicz wartość iloczynu wektorowego $\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$ i użyj reguły prawej dłoni, aby ustalić kierunek i zwrot wektora momentu pędu.
Sprawdź, czy wektor momentu pędu zależy od czasu. Jeżeli tak, to istnieje niezerowy moment pędu względem początku układu i przy użyciu wzoru $d \vec{l} / d t = \sum \vec{M}$ oblicz moment siły. Jeśli nie istnieje zależność czasowa w wyrażeniu na moment pędu, to moment siły wynosi zero.

Przykład 11.4

Moment pędu i moment siły działającej na meteoroid

Obserwator z powierzchni ziemi przygląda się meteoroidowi wchodzącemu w atmosferę ziemską (Ilustracja 11.10). Pozycję meteoroidu względem obserwatora określa wektor

\vec{r} = 25 k m \cdot \hat{i} + 25 k m \cdot \hat{j}

. W chwili, gdy obserwator zauważa meteoroid, ma on pęd

\vec{p} = 15 k g \cdot m^{2} / s \cdot \hat{j}

, a jego stałe przyspieszenie wynosi

2 m / s^{2} \cdot \hat{j}

.

Jaki jest moment pędu meteoroidu względem początku układu, który przyjmujemy w miejscu obserwatora?
Jaki jest moment siły grawitacji działającej na meteoroid względem tego początku układu?

Przedstawiony jest układ współrzędnych xy, z dodatnim x po prawej, wzdłuż ziemi i dodatnim pionowo do góry. Obserwator jest pokazany w pobliżu pochodzenia. Wektor r jest pokazany od początku do meteoroidu w niektórych dużych dodatnich współrzędnych x i dodatnich y. Wektor p w miejscu meteoroidu wskazuje w dół.

Ilustracja 11.10 Obserwator widzi z Ziemi meteoroid w położeniu

\vec{r}

, który ma pęd

\vec{p}

.

Strategia rozwiązania

Rozłożymy przyspieszenie na składowe

x

i

y

i zastosujemy równania kinematyczne, aby wyrazić prędkość jako funkcję prześpieszenia i czasu. Za ich pomocą otrzymamy wyrażenie na pęd, a następnie, korzystając z wyrażenia na iloczyn wektorowy, obliczymy moment pędu. Ponieważ wektory położenia i pędu leżą w płaszczyźnie

x y

, to oczekujemy, że wektor momentu pędu będzie skierowany wzdłuż osi

z

. Aby znaleźć moment siły, obliczamy pochodną momentu pędu po czasie.

Rozwiązanie

Ponieważ meteoroid wchodzi w atmosferę ziemską pod kątem

{90,0}^{\circ}

względem poziomu, to składowe prześpieszenia w kierunkach

x

i

y

wynoszą:

a_{x} = 0 m / s^{2}, a_{y} = - 2,0 m / s^{2} .

Zapiszmy prędkości za pomocą równań kinematycznych.

v_{x} = 0 m / s, v_{y} = - 2,0 \cdot 10^{3} m / s - 2,0 m / s^{2} \cdot t .

Moment pędu wynosi:
$\begin{aligned} \vec{l} & = \vec{r} \times \vec{p} = (25,0 k m \cdot \hat{i} + 25,0 k m \cdot \hat{j}) \times 15,0 k g (0 \hat{i} + v_{y} \hat{j}) \\ = 15,0 k g (25,0 k m \cdot v_{y} \hat{k}) = 15,0 k g \cdot 2,50 \cdot 10^{4} m (- 2,0 \cdot 10^{3} m / s - 2,0 m / s^{2} \cdot t) \cdot \hat{k} . \end{aligned}$

W chwili $t = 0 s$ moment pędu meteoru względem początku układu wynosi:
${\vec{l}}_{0} = 15,0 k g \cdot 2,50 \cdot 10^{4} m \cdot (- 2,0 \cdot 10^{3} m / s) \cdot \hat{k} = 7,50 \cdot 10^{8} k g \cdot m^{2} / s \cdot (- \hat{k}) .$

To jest chwila, gdy obserwator zauważył meteor.
Aby znaleźć moment siły, liczymy pochodną momentu pędu po czasie. Wyznaczając pochodną po czasie $\vec{l}$ , którą wyznaczyliśmy wcześniej, otrzymujemy:

$\frac{d \vec{l}}{d t} = - 15,0 k g \cdot 2,50 \cdot 10^{4} m \cdot 2,0 m / s^{2} \cdot \hat{k} .$

Następnie, ponieważ $d \vec{l} / d t = \sum \vec{M}$ otrzymujemy:

$\sum \vec{M} = - 7,5 \cdot 10^{5} N \cdot m \cdot \hat{k} .$

Jednostka momentu siły została podana jako $N \cdot m$ . Jednostki tej jednak nie należy mylić z dżulem, mimo że dżul jest iloczynem $N \cdot m$ . W celu sprawdzenia, możemy zauważyć, że ramię siły jest $x$ – ową składową wektora $\vec{r}$ na Ilustracji 11.10, ponieważ jest ono prostopadłe do siły działającej na meteor, która ma kierunek prześpieszenia $\vec{a}$ , które z kolei jest skierowane pionowo w dół równolegle do toru ruchu meteoru. Według drugiej zasady dynamiki siła ta jest równa:
$\vec{F} = m a (- \hat{j}) = 15,0 k g \cdot 2,0 m / s^{2} \cdot (- \hat{j}) = 30,0 k g \cdot m / s^{2} \cdot (- \hat{j}) .$

Ponieważ wektor ramienia siły wynosi:

${\vec{r}}_{⊥} = 2.5 \cdot 10^{4} m \cdot \hat{i} .$

zatem, moment sił jest równy:
$\sum \vec{M} = {\vec{r}}_{⊥} \times \vec{F} = (2,5 \cdot 10^{4} m \cdot \hat{i}) \times (- 30,0 k g \cdot m / s^{2} \cdot \hat{j}) = 7,5 \cdot 10^{5} N \cdot m \cdot (- \hat{k}) .$

Znaczenie

Ponieważ meteor ma przyspieszenie skierowane w dół w kierunku Ziemi, a jego wektor wodzący i prędkość zmieniają się, to moment pędu

\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}

również zmienia się w funkcji czasu. Moment siły działający na meteor względem początku układu jest jednak stały, ponieważ ramię siły

{\vec{r}}_{⊥}

i siła działająca na meteor są stałymi. Ten przykład pokazuje, że moment pędu zależy od wyboru punktu, względem którego jest on obliczany. I to jest bardzo ważny wniosek. Metody stosowane w tym przykładzie są również istotne w zastosowaniu do układów takich jak układ cząstek i bryła sztywna, gdzie wielkość fizyczna – moment pędu również ma zastosowanie.

Sprawdź, czy rozumiesz 11.2

Proton poruszający się spiralnie wokół linii pola magnetycznego wykonuje ruch kołowy w płaszczyźnie kartki, jak pokazano poniżej. Promień toru jest równy 0,4 m, a proton ma prędkość $4,0 \cdot 10^{6} m / s$ . Ile wynosi moment pędu protonu względem początku układu?

Proton porusza się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Promień okręgu wynosi r. Proton znajduje się po prawej stronie środka okręgu, prędkość protonu wynosi v sub i ma kierunek i zwrot zgodny z kierunkiem dodatniej półosi y.

Moment pędu układu cząstek

Moment pędu układu cząstek to ważna wielkość fizyczna dla wielu dyscyplin naukowych, z których jedną jest astronomia. Rozważmy galaktykę spiralną, tj. obracającą się wyspę gwiazd, taką jak nasza Droga Mleczna. Poszczególne gwiazdy mogą być traktowane jako cząstki punktowe, z których każda ma swój własny moment pędu. Wektorowa suma poszczególnych momentów pędu daje łączny moment pędu galaktyki. W tej części opracujemy narzędzia dzięki którym będzie możliwe wyznaczenie całkowitego momentu pędu układu cząstek.

W poprzedniej części wprowadziliśmy pojęcie momentu pędu pojedynczej cząstki względem określonego punktu początkowego. Wyrażenie dla tego momentu pędu miało postać $\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$ , gdzie wektor $\vec{r}$ jest poprowadzony od punktu początkowego do cząstki, a $\vec{p}$ jest pędem cząstki. Jeśli mamy układ $N$ cząstek, z których dana $i$ – gdzie położenie $i$ -tej cząstki określa wektor ${\vec{r}}_{i}$ , a jej pęd ${\vec{p}}_{i}$ , to całkowity moment pędu układu cząstek jest sumą wektorową momentów pędu poszczególnych cząstek układu

\vec{L} = {\vec{l}}_{1} + {\vec{l}}_{2} + \dots + {\vec{l}}_{N} .

11.9

Podobnie, jeśli na $i$ -tą cząstkę działa moment siły ${\vec{M}}_{i}$ , to możemy znaleźć wypadkowy moment sił względem początku układu współrzędnych dla układu cząstek przez zróżniczkowanie powyższego Równania 11.9:

\frac{d \vec{L}}{d t} = \sum_{i} \frac{d {\vec{l}}_{i}}{d t} = \sum_{i} {\vec{M}}_{i} .

Suma poszczególnych momentów wytwarza zewnętrzny moment obrotowy działający na układ, który określamy jako $\sum \vec{M}$ . A zatem

\frac{d \vec{L}}{d t} = \sum \vec{M} .

11.10

Równanie 11.10 stwierdza, że szybkość zmian całkowitego momentu pędu układu równa jest wypadkowemu momentowi sił zewnętrznych działających na układ, gdy obie wielkości są mierzone względem określonego punktu początkowego.

Przykład 11.5

Moment pędu trzech cząstek

Na podstawie Ilustracji 11.11

należy określić całkowity moment pędu trzech cząstek względem początku układu.
Jaka jest szybkość zmiany momentu pędu?

Przedstawiono trzy cząstki na płaszczyźnie xy z różnymi wektorami położenia i pędu. Osie x i y pokazują pozycję w metrach i mają zasięg od -4,0 do 4,0 metrów. Cząstka 1 ma wartość x = -2,0 metrów i y = 1,0 metra, m sub 1 równa 2,0 kilograma, v sub 1 wynosi 4,0 j metrów z daszkiem na sekundę, w górę, a podczęść F 1 to -6,0 i z daszkiem Newton w lewo. Cząstka 2 ma wartość x = 4,0 metra i y = 1,0 metra, m sub 2 równa 4,0 kilograma, v sub 2 to 5,0 i z daszkiem na sekundę, z prawej, a F pod 2 to 10,0 j z daszkiem Newtonów w górę. Cząstka 3 ma wartość x = 2,0 m, a y = -2,0 m, m pod. 3 równa 1,0 kilograma, v sub 3 wynosi 3,0 i z daszkiem na sekundę, w prawo, a podpunkt 3 to -8,0 j z daszkiem Newtons w dół.

Ilustracja 11.11 Układ trzech cząstek rozmieszczonych na płaszczyźnie

x y

różniących się położeniem i wartością pędu.

Strategia rozwiązania

Określimy wektory położeń i pędów dla trzech cząstek. Obliczymy poszczególne momenty pędu i dodamy je wektorowo w celu znalezienia całkowitego momentu pędu. Następnie zrobimy to samo dla momentów sił.

Rozwiązanie

Cząstka 1: ${\vec{r}}_{1} = - 2,0 m \cdot \hat{i} + 1,0 m \cdot \hat{j}$ , ${\vec{p}}_{1} = 2,0 k g \cdot 4,0 m / s \cdot \hat{j} = 8,0 k g \cdot m / s \cdot \hat{j}$ ,

${\vec{l}}_{1} = {\vec{r}}_{1} \times {\vec{p}}_{1} = - 16,0 k g \cdot m^{2} / s \cdot \hat{k} .$

Cząstka 2: ${\vec{r}}_{2} = 4,0 m \cdot \hat{i} + 1,0 m \cdot \hat{j}$ , ${\vec{p}}_{2} = 4,0 k g \cdot 5,0 m / s \cdot \hat{i} = 20,0 k g \cdot m / s \cdot \hat{i}$ ,

${\vec{l}}_{2} = {\vec{r}}_{2} \times {\vec{p}}_{2} = - 20,0 k g \cdot m^{2} / s \cdot \hat{k} .$

Cząstka 3: ${\vec{r}}_{3} = 2,0 m \cdot \hat{i} - 2,0 m \cdot \hat{j}$ , ${\vec{p}}_{3} = 1,0 k g \cdot 3,0 m / s \cdot \hat{i} = 3,0 k g \cdot m / s \cdot \hat{i}$ ,

${\vec{l}}_{3} = {\vec{r}}_{3} \times {\vec{p}}_{3} = 6,0 k g \cdot m^{2} / s \cdot \hat{k} .$

Dodajmy poszczególne momenty pędu, aby znaleźć ich sumę względem początku układu:

${\vec{l}}_{T} = {\vec{l}}_{1} + {\vec{l}}_{2} + {\vec{l}}_{3} = - 30 k g \cdot m^{2} / s \cdot \hat{k} .$
Poszczególne siły i ramiona sił oraz momenty sił wynoszą
$\begin{aligned} {\vec{r}}_{1 ⊥} = 1,0 m \cdot \hat{j}, {\vec{F}}_{1} = - 6,0 N \cdot \hat{i}, {\vec{M}}_{1} = 6,0 N \cdot m \cdot \hat{k}, \\ {\vec{r}}_{2 ⊥} = 4,0 m \cdot \hat{i}, {\vec{F}}_{2} = 10,0 N \cdot \hat{j}, {\vec{M}}_{2} = 40,0 N \cdot m \cdot \hat{k}, \\ {\vec{r}}_{3 ⊥} = 2,0 m \cdot \hat{i}, {\vec{F}}_{3} = - 8,0 N \cdot \hat{j}, {\vec{M}}_{3} = - 16,0 N \cdot m \cdot \hat{k} . \end{aligned}$

Stąd

$\sum_{i = 1}^{3} {\vec{M}}_{i} = {\vec{M}}_{1} + {\vec{M}}_{2} + {\vec{M}}_{3} = 30 N \cdot m \cdot \hat{k} .$

Znaczenie

Przykład ten ilustruje zasadę superpozycji dla momentów pędu i momentów sił układu cząstek. Należy być ostrożnym określając wektory położenia

{\vec{r}}_{i}

cząstek przy obliczaniu momentów pędu i ramion sił

{\vec{r}}_{i ⊥}

przy obliczaniu momentów sił, ponieważ są to zupełnie różne wielkości.

Moment pędu bryły sztywnej

Badaliśmy moment pędu pojedynczej cząstki, który uogólniliśmy na układ cząstek. Teraz zastosujemy omówione w poprzednim rozdziale metody, aby wprowadzić i rozwinąć koncepcję momentu pędu dla bryły sztywnej. Ciała niebieskie, takie jak planety, mają moment pędu spowodowany zarówno ich obrotem wokół osi, jak i ruchem orbitalnym wokół gwiazd. W inżynierii, wszystko, co obraca się wokół osi, posiada moment pędu, czego przykładem są koła zamachowe, śmigła samolotów oraz wirujące części w silnikach. Znajomość momentów pędu tych obiektów ma zasadnicze znaczenie przy konstrukcji układu, którego są one częścią.

W celu wprowadzenia momentu pędu bryły sztywnej będziemy ją modelować przez sztywno ze sobą połączony układ, składający się z małych elementów masy $Δ m_{i}$ . Na Ilustracji 11.12, ruch bryły sztywnej ograniczony jest do obrotu wokół osi (symetrii) z prędkością kątową $ω$ . Zakładamy też, że rozkład masy jest osiowosymetryczny. Wszystkie elementy masy, które tworzą bryłę sztywną, okrążają oś z taką samą prędkością kątową. W części (a) rysunku mamy element masy $Δ m_{i}$ wskazywany przez wektor wodzący ${\vec{r}}_{i}$ wyprowadzony z początku układu współrzędnych, oraz promień $R_{i}$ okręgu, po którym porusza się masa $Δ m_{i}$ wokół osi $z$ . Wartość jego prędkości stycznej jest równa $v_{i} = R_{i} ω$ . Ponieważ wektory ${\vec{r}}_{i}$ i ${\vec{v}}_{i}$ są prostopadłe do siebie, wartość momentu pędu tego elementu masy jest równa

l_{i} = r_{i} Δ m_{i} v_{i} \sin 90^{\circ} .

Rysunek a pokazuje obiekt o kształcie klina drzwiowego i układ współrzędnych x y z. Obiekt jest rozmieszczony pionowo i wyśrodkowany na osi z, z szerokim pokrętłem na górze. Jeśli popatrzmy na obiekt z góry, zauważymy, że obraca się on wokół osi z, z kątową prędkością omega. Podświetlona jest niewielka część obiektu. Ten segment masowy, oznaczony jako Delta m sub i, znajduje się w wektorze r sub i, porusza się z wektorem prędkości v sub i i śledzi w lewym okręgu promień R sub i. Wektor r sub i rozciąga się od początku do segmentu masy i tworzy kąt theta pod i względem osi z. Wektor v sub i jest styczny do okręgu śledzonego przez segment masy. Rysunek b przedstawia układ współrzędnych xy i segment masy. Poniżej przedstawiono ponownie wektory r sub i i v sub i podobnie jak kąt theta sub i między wektorem r sub i a osią z. Przedstawiono również wektor pędu dynamicznego segmentu masowego, wektor li i. Wektor l sub i jest prostopadły do obydwu r i v, jak podano przez prawą rękę i ma składnik z w górę, pokazany na diagramie i oznaczony jako l sub i z. Pozostała strona prawego trójkąta, w której znajduje się tylna strona, i po stronie pionowej, to l sub i z pokazana jako linia przerywana. Kąt przylegający do tej strony i przeciwny do pionowej strony l sub i z, to theta i.

Ilustracja 11.12 (a) Ruch obrotowy bryły sztywnej wokół stałej, nieruchomej osi obrotu. Bryła sztywna jest symetryczna względem osi

z

. Element masy

Δ m_{i}

znajduje się w położeniu

{\vec{r}}_{i}

, który tworzy kąt

θ_{i}

z osią

z

. Pokazano ruch obrotowy nieskończenie małego elementu masy. (b)

{\vec{l}}_{i}

oznacza moment pędu elementu masy

Δ m_{i}

, a jego składowa równoległa do osi

z

wynosi

{({\vec{l}}_{i})}_{z}

.

Z reguły prawej dłoni, znajdujemy kierunek wektora momentu pędu, tak jak pokazano w części (b) rysunku. Suma momentów pędu wszystkich elementów masy rozpatrywanej bryły zawiera składowe, zarówno wzdłuż, jak i prostopadle do osi obrotu. Każdy element masy $Δ m_{i}$ ma składową momentu pędu prostopadłą do osi obrotu, która dodana do momentu pędu takiej samej masy $Δ m_{i}$ , znajdującej się po przeciwnej stronie osi obrotu, daje wypadkowy zerowy moment pędu bryły sztywnej w kierunku prostopadłym do osi obrotu. Tak więc składowe momentów pędu elementów masy $Δ m_{i}$ wzdłuż osi obrotu są jedynymi składnikami, które nadają wartość niezerową sumarycznemu momentowi pędu bryły sztywnej, skierowanemu równolegle do osi obrotu. Z części (b) rysunku składnik ${\vec{l}}_{i}$ jest wektorem równoległym do osi obrotu, a jego wartość wynosi

{(l_{i})}_{z} = l_{i} \sin θ_{i} = r_{i} Δ m_{i} v_{i} \sin θ_{i} = r_{i} \sin θ_{i} \cdot Δ m_{i} v_{i} = R_{i} Δ m_{i} v_{i} .

Wypadkowy moment pędu bryły sztywnej wzdłuż osi obrotu wynosi więc

L_{z} = \sum_{i} {(l_{i})}_{z} = \sum_{i} R_{i} Δ m_{i} v_{i} = \sum_{i} R_{i} Δ m_{i} \cdot R_{i} ω_{z} = ω_{z} \sum_{i} Δ m_{i} R_{i}^{2} .

Jak widać w powyższym wzorze, czynnik $\sum_{i} Δ m_{i} {R_{i}}^{2}$ jest momentem bezwładności bryły sztywnej względem osi obrotu. Dla cienkiej obręczy, o promieniu $R$ , obracającej się wokół osi symetrii prostopadłej do płaszczyzny obręczy, $R_{i} = R$ dla każdego $i$ , więc sumowanie ogranicza się do $R^{2} \sum_{i} Δ m_{i} = m R^{2}$ , co daje moment bezwładności cienkiej obręczy przedstawionej na Ilustracji 10.20. Zatem wartość momentu pędu wzdłuż osi obrotu bryły sztywnej obracającej się z prędkością kątową $ω_{z}$ wokół osi jest równa

L_{z} = I ω_{z} .

11.11

Równanie to jest analogiczne do równania na wartość pędu $p = m v$ . Kierunek wektora momentu pędu (ang. angular momentum) (dla bryły sztywnej obracającej się wokół stałej osi na określenie momentu pędu także używa się nazwy kręt) jest skierowany wzdłuż osi obrotu, a jego kierunek i zwrot określa reguła prawej dłoni.

Przykład 11.6

Moment pędu ramienia robota

Ramię robota łazika marsjańskiego podobnego do Curiosity pokazanego na Ilustracji 11.8 ma długość 1,0 m, a jego swobodny koniec wyposażony jest w kleszcze (chwytniki) do pobierania skał. Masa ramienia wynosi 2,0 kg, a masa kleszczy 1,0 kg – patrz Ilustracja 11.13. Ramię robota i kleszcze zaczynają się poruszać, osiągając prędkość kątową

ω = 0,1 π r a d / s

w czasie 0,1 s. Dalej ramię obraca się i podnosi marsjański kamień, o masie 1,5 kg. Osią obrotu jest punkt, w którym ramię robota łączy się z łazikiem.

Jaki jest moment pędu ramienia robota wokół osi obrotu po 0,1 s, czyli po tym, gdy przestało ono prześpieszać?
Jaki jest moment pędu ramienia robota, gdy jego kleszcze uchwyciły marsjańską skałę i jego ramię obraca się do góry?
W przypadku gdy kleszcze ramienia nie uchwyciły skały, jaki jest moment siły działającej na ramię względem punktu, w którym łączy się ono z łazikiem, gdy jego przyspieszenie zwiększa prędkość kątową od stanu spoczynku do prędkości końcowej?

Rysunek łazika marsjańskiego. Ramię z pazurem na końcu rozciąga się od jednego końca łazika i może obracać się w górę i w dół, aby podnieść skałę. Oś obrotu jest punktem, w którym ramię robota łączy się z łazikiem.

Ilustracja 11.13 Ramię robota łazika na Marsie odchyla się i podnosi marsjańską skałę. (Źródło: praca zmodyfikowana przez NASA / JPL-Caltech)

Strategia rozwiązania

Użyjemy Równania 11.11, aby znaleźć moment pędu dla różnych przypadków. Gdy ramię obraca się w dół, reguła prawej dłoni daje wektor momentu pędu skierowany przed kartkę (do czytelnika), który to kierunek nazwiemy dodatnim kierunkiem osi

z

. Gdy ramię obraca się w górę, reguła prawej ręki daje kierunek wektora momentu pędu za kartkę, tj. w ujemnym kierunku osi

z

. Moment bezwładności jest sumą poszczególnych momentów bezwładności. Ramię robota może być przybliżone jednorodnym prętem, a kleszcze i marsjańska skała mogą być przybliżone masami punktowymi, znajdującymi się w odległości 1 m od punktu początkowego. W etapie (c), aby znaleźć moment siły działający na ramię robota, użyjemy drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego.

Rozwiązanie

Wypisując poszczególne momenty bezwładności, otrzymujemy: ramię robota
$I_{R} = \frac{1}{3} m_{R} r^{2} = \frac{1}{3} \cdot 2,00 k g \cdot {(1,00 m)}^{2} = \frac{2}{3} k g \cdot m^{2},$
kleszcze:
$I_{K} = m_{K} r^{2} = 1,0 k g \cdot {(1,0 m)}^{2} = 1,0 k g \cdot m^{2},$
marsjańska skała:
$I_{MS} = m_{MS} r^{2} = 1,5 k g \cdot {(1,0 m)}^{2} = 1,5 k g \cdot m^{2} .$
Zatem bez marsjańskiej skały całkowity moment bezwładności jest równy

$I_{c} = I_{R} + I_{K} = 1,67 k g \cdot m^{2} .$
Natomiast wartość wektora momentu pędu wynosi

$L = I ω = 1,67 k g \cdot m^{2} \cdot 0,1 π r a d / s = 0,17 π m^{2} / s .$

Wektor momentu pędu skierowany jest przed kartkę, w kierunku wektora $\hat{k}$ , dlatego ramię robota obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Teraz w obliczeniach momentu bezwładności musimy uwzględnić masę marsjańskiej skały, otrzymujemy zatem:

$I_{c} = I_{R} + I_{K} + I_{MS} = 3,17 k g \cdot m^{2},$

oraz

$L = I ω = 3,17 k g \cdot m^{2} \cdot 0,1 π r a d / s = 0,32 π k g \cdot m^{2} / s .$

Wektor momentu pędu skierowany jest teraz za kartkę w kierunku $- \hat{k}$ i dlatego ramię robota obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Znajdźmy teraz moment siły, gdy kleszcze ramienia nie trzymają skały, licząc pochodną momentu pędu zgodnie z Równaniem 11.10 $d \vec{L} / d t = \sum \vec{M}$ . Ale ponieważ $L = I ω$ i wiedząc, że kierunki wektorów momentu pędu i momentu siły znajdują się wzdłuż osi obrotu, możemy opuścić notację wektorową, otrzymując równanie

$\frac{d L}{d t} = \frac{d (I ω)}{d t} = I \frac{d ω}{d t} = I ε = \sum M,$

które jest postacią drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego. Ponieważ $ε = 0,1 π r a d / s / (0,1 s) = π r a d / s^{2}$ , możemy obliczyć wypadkowy moment siły:

$\sum M = I ε = 1,67 k g \cdot m^{2} \cdot π r a d / s^{2} = 1,67 π N \cdot m .$

Znaczenie

Moment pędu w punkcie (a) jest mniejszy niż (b), ponieważ moment bezwładności w (a) jest większy niż (b), podczas gdy prędkość kątowa jest taka sama w obu przypadkach.

Sprawdź, czy rozumiesz 11.3

Co ma większy moment pędu: kula o masie $m$ , obracająca się ze stałą prędkością kątową $ω_{0}$ względem osi $z$ , czy walec o tej samej masie, promieniu i prędkości kątowej obracający się wokół osi $z$ ?

Materiały pomocnicze

Wejdź na stronę University of Colorado’s Interactive Simulation of Angular Momentum, aby dowiedzieć się więcej na temat momentu pędu.

11.2 Moment pędu

Moment pędu pojedynczej cząstki

Strategia rozwiązywania zadań: moment pędu cząstki

Moment pędu i moment siły działającej na meteoroid

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Moment pędu układu cząstek

Moment pędu trzech cząstek

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Moment pędu bryły sztywnej

Moment pędu ramienia robota

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie